下载文档原格式
第06讲 怎样用向量法解三角函数问题一、学问与方法本讲主要探究平面对量与三角函数以及解三角形的综合问题的命题形式与解题思路,主要体现在以下 3 个方面。
（1）题设给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.（2）给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量表达式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,探求值域或最值或参数的取值范围等.（3) 运用向量法解三角形主要是向量的垂直与夹角问题,一对向量垂直与向量所在直线的垂直是一样的,向量的线性运算与向量的坐标运算是求解两向量关系问题的两大途径,关于夹角问题,可以把两个向量的夹角放在三角形中,利用正余弦定理. 三角形的面积公式求解.二、典型例题【例1】(1) .在锐角ABC 中,若137,8,,cos ,sin ,22a b m A n A ⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 且m ⊥n , 则ABC 的面积为().A.C. D.(2) .平面直角坐标系中,角θ满意()34sin,cos ,0,12525OA θθ=-==-,设点B 是角θ终边上一动点,则| OA OB -∣的取值范围为【分析】 第(1)问,要求三角形的面积,只需求出B ∠的正弦值,而这就要借助已知条件两个向量的垂直关系,先求出A ∠, 进而再运用正弦定理求(B ∠或其三角函数值),最终利用三角形的内角定理,找到问题的解. 第(2)问是三角函数定义、二倍角公式与用坐标运算). 两个视角各具特色,作为填空题, 从“形”的角度处理相对简捷.【解析】(1) 1,sin 02m n A A ⊥∴=, 又090,cos 0A A ∠<<∴≠则有tan A =因此60A ∠=.由正弦定理知sin sin a b A B=, 又7,8,60a b A ∠===, 843sin sin6077B ∴==又ABC 为锐角三角形,1cos 7B ∴=.()11sin sin sin cos cos sin 272714C A B A B A B =+=+=+⨯=1sin 2ABCSab C ∴==故选C . （2）【解法1】 由2247sin 2sincos,cos 2cos 12225225θθθθθ==-=-= 可得 θ 为第四象限的角,且 sin 24tan cos 7θθθ==-. ∴ 点 B 在射线 ()2407y x x =-, 即 ()24700x y x += 上运动.又 OA OB BA -=, 而点 A 到射线的距离为 725d ==, 故所求取值范围为 7,25∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭. 【解法2】设OB t =, 由2247sin 2sincos,cos 2cos 12225225θθθθθ==-=-=, 可得θ为第四象限的角, 324cos<,cos sin 225OA OB πθθ⎛⎫∴=-=-= ⎝⎭>⎪. 由2222248||212cos<,125OA OB OA OB OA OB t t OA OB t t -=+-⋅=+-=+>-224494925625625t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（当且仅当2425t =时等号成立），故OA OB -的取值范围为7,25∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.【解法3】 由 2247sin 2sincos,cos 2cos 12225225θθθθθ==-=-=设 (0)OB t t =>, 则依据三角函数定义可得点 B 坐标为 724,2525t t ⎛⎫-⎪⎝⎭.由此可得 2222227242477||012525252525OA OB t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(当且仅当 2425t = 时等号成立).故 OA OB - 的取值范围为 7,25∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.【例2】（1）已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 且()3cos cos cos 2αβαβ+-+=, 求α和β的值; (2) 求246cos cos cos 777πππ++的值. 【解析】(1) 原条件可化为()3sin sin 1cos cos cos 2αβαβα+-=-. 构造向量()()sin ,1cos ,sin ,cos m n ααββ=-=由m nm n ⋅得23cos sin 2αα-+解得211 cos 0,cos ,0,222πααα⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3πα∴=.3παββ=根据和的对称性可知(2) 如图129-所示,将边长为 1 的正七边形ABCDEFO 放人直角坐标系中,则()224466 1,0,cos ,sin ,cos ,sin ,cos ,sin 777777OA AB BC CD ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8810101212cos ,sin,cos ,sin ,cos ,sin .777777DE EF FO ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0OA AB BC CD DE EF FO ++++++=故2468101224 1coscos cos cos cos cos ,0sin sin 77777777ππππππππ⎛+++++++++ ⎝()681012sinsin sin sin 0,07777ππππ⎫+++=⎪⎭即246810121coscos cos cos cos cos 0777777ππππππ++++++=，① 86104122 coscos ,cos cos ,cos cos 777777ππππππ===由三角函数诱导公式可得 ∴①式可化为24612cos cos cos 0.777πππ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭2461coscos cos 7772πππ∴++=-【例3】已知()()() cos ,sin ,cos ,sin ,sin 2sin ,cos 2cos a b x x c x x αααα===++，其中0x απ<<<。
向量与三角函数创新题型的解题技巧导言向量与三角函数是高中数学中重要的概念和工具。
在解题过程中，我们经常会遇到创新型的题目，需要我们运用向量和三角函数的知识来解决。
然而，这些题目往往较为复杂和难以直接套用常规的解题方法。
本文将介绍一些解题技巧，帮助读者更好地解答向量与三角函数创新题型。
技巧一：理解向量运算在解答向量与三角函数创新题型时，熟练掌握向量运算是非常重要的。
向量运算包括向量加法、向量减法和向量数乘。
首先，我们需要清楚地理解向量的几何意义，即向量是有方向和大小的量，并可以表示为一个有向线段。
在题目中，通常会涉及向量的平移、旋转以及投影等运算。
理解这些运算的几何意义可以帮助我们更好地理解问题，从而找到解题的关键。
技巧二：灵活运用平移与旋转许多向量与三角函数创新题型涉及到平移和旋转操作。
平移是指将向量的起点平移至其他位置，旋转是指将向量绕定点旋转一定的角度。
在解题过程中，我们可以通过平移和旋转来简化问题，使得解题更加容易。
例如，对于一个平面上的向量问题，我们可以通过平移将向量的起点设置为坐标原点，从而大大简化计算。
类似地，我们还可以通过旋转来使向量与坐标轴对齐，从而化简计算过程。
技巧三：利用三角函数的性质三角函数是向量与三角函数创新题型中经常会涉及到的概念。
在解答这类题目时，熟练掌握三角函数的性质是非常重要的。
首先，我们需要理解三角函数的定义和图像。
例如，正弦函数和余弦函数的图像是周期性的，周期为2π。
其次，我们还需要掌握三角函数的基本关系式，如正弦定理、余弦定理和正切函数的定义等。
利用这些性质和关系式，我们可以将问题转化为一些简单的代数方程或三角方程，然后再进行求解。
技巧四：巧用向量之间的关系在解决向量与三角函数创新题型时，我们经常会用到一些向量之间的关系。
例如，向量的数量积和叉积可以帮助我们求解角度和长度等问题。
在应用这些关系式时，我们需要注意向量的顺序和方向，以及向量之间的运算法则。
灵活运用这些关系式可以帮助我们简化计算，从而更快地解决问题。
专题提能课|平面向量、三角函数与解三角形热点问题的突破策略授课提示：对应学生用书第90页任何范围问题，其本质都是函数问题，三角形的范围(或最值)问题也不例外．三角形中的范围(或最值)问题的解法主要有两种：一是用函数求解，二是利用基本不等式求解．由于三角形中的范围问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数问题的基本要求外，还有自己独特的解法．1．与边或角有关的范围(最值)问题[典例1] (1)(2019·石家庄高三一检)如图，平面四边形ABCD 的对角线的交点位于四边形的内部，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝CD ，AC ⊥CD ，当∠ABC 变化时，对角线BD 的最大值为________．解析：设∠ABC ＝θ，θ∈(0，π)，则由余弦定理得AC 2＝3－22cos θ， 由正弦定理得1sin ∠ACB ＝AC sin θ，得sin ∠ACB ＝sin θAC.在△DCB 中，由余弦定理可得，BD 2＝CD 2＋2－22CD cos(π2＋∠ACB )＝AC 2＋2＋22AC sin ∠ACB ＝3－22cos θ＋2＋22AC ×sin θAC ＝5＋22·(sin θ－cos θ)＝5＋4sin(θ－π4)，当θ＝3π4时，[sin(θ－π4)]max ＝1，∴BD 2max ＝9， ∴BD max ＝3. 答案：3(2)(2018·高考北京卷)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝______；c a的取值范围是______．解析：由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B.又∵S ＝34(a 2＋c 2－b 2)， ∴12ac sin B ＝34×2ac cos B ， ∴tan B ＝3， ∵B ∈(0，π2)，∴∠B ＝π3.又∵∠C 为钝角， ∴∠C ＝2π3－∠A >π2，∴0<∠A <π6.由正弦定理得ca ＝sin (2π3－∠A )sin A＝32cos A ＋12sin A sin A ＝12＋32·1tan A .∵0<tan A <33， ∴1tan A>3， ∴c a >12＋32×3＝2，即c a >2. 答案：π3(2，＋∞)[方法总结] 三角形中边或角范围问题的解决方法求解边或角的取值范围是命题的热点，主要形式和解决方法有：要建立所求式子与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求式子的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果范围过大． [对点全练](2019·大庆一模)若满足条件AB ＝3，C ＝π3的三角形ABC 有两个，则边长BC 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(2，2)解析：设BC ＝a ，∵C ＝π3，AB ＝3，∴由正弦定理AB sin C ＝BC sin A ，得332＝asin A，∴sin A ＝a 2.由题意得，当A ∈(π3，2π3)且A ≠π2时，满足条件的△ABC 有两个，∴32<a2<1，解得3<a <2，则边长BC 的取值范围是(3，2)． 答案：C2．与面积有关的范围或最值问题[典例2] (2019·东北三省四市一模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，b ＝2，则△ABC 的面积的最大值是( ) A ．1 B. 3 C ．2D ．4解析：∵2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，∴2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B. ∵0<B <π， ∴cos B ＝12，∴B ＝π3.∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，b ＝2，∴a 2＋c 2－4＝ac .∵a 2＋c 2≥2ac ，∴2ac －4≤ac ， 即ac ≤4，当且仅当a ＝c 时等号成立， ∴S △ABC ＝12ac sin B ≤12×4×32＝3，故△ABC 的面积的最大值为 3. 答案：B[方法总结] 求解三角形中面积的范围(或最值)问题的方法一般要由题目已知条件(三角恒等关系式、边角大小等)结合正、余弦定理，先得到面积的表达式，再通过基本不等式、三角函数的最值等方法求得面积的最值或范围． [对点全练](2019·云南师大附中月考)在△ABC 中，D 为AC 上一点，且AD ＝2，DC ＝1，BD 为∠ABC的平分线，则△ABC 面积的最大值为________．解析：如图，因为BD 为∠ABC 的平分线，且AD ＝2，CD ＝1，所以由角平分线定理知ABBC ＝ADDC＝2.令BC ＝m ，AB ＝2m ，由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边知1<m <3.在△ABC 中，由余弦定理知cos ∠ABC ＝4m 2＋m 2－92×2m ×m ＝54－94m 2，所以S △ABC ＝12·2m ·m ·sin ∠ABC＝m 21－cos 2∠ABC ＝m 2 1－(54－94m 2)2＝ (94m 2－94)(94－m 24) ＝34(m 2－1)(9－m 2)≤34(m 2－1＋9－m 22)2＝3，当且仅当m 2－1＝9－m 2，即m ＝5时取等号，所以△ABC 面积的最大值为3. 答案：3平面向量数量积的应用中，常考查向量的模或数量积的最值或范围问题，能力要求较高，综合性强．1．平面向量模的最值或范围问题[典例3] (2018·高考浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )A.3－1B.3＋1 C ．2D ．2－3解析：设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1,0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2,0)为圆心，1为半径的圆．因为a 与e 的夹角为π3，不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.故选A.答案：A[方法总结] 求向量模的最值(范围)的2种方法1．代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．2．几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解． [对点全练](2019·广州模拟)已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1)，(2，0)，(0，－2)，O 为坐标原点，动点P 满足|CP →|＝1，则|OA →＋OB →＋OP →|的最小值是( ) A.3－1 B.11－1 C.3＋1D.11＋1解析：已知点C 坐标为(0，－2)，且|CP →|＝1，所以设P (cos θ，－2＋sin θ)，则|OA →＋OB →＋OP →|＝(cos θ＋2)2＋(sin θ－1)2 ＝4＋22cos θ－2sin θ ＝4＋23cos (θ＋φ)≥4－23＝3－1.答案：A2．数量积的最值(范围)问题[典例4] (2019·潍坊期末统考)已知△ABC 是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( ) A ．－2 B ．－32C ．－3D ．－6解析：取BC 的中点D ，连接PD (图略)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →＝2|P A →||PD →|cos ∠APD ≥－2|P A →||PD →|，又|P A →|＋|PD →|≥2|P A →||PD →| ，∴|P A →||PD →|≤14(|P A →|＋|PD →|)2.又|P A →|＋|PD →|的最大值为23(即∠APD ＝180°时)， ∴P A →·(PB →＋PC →)的最小值为－2×14×(23)2＝－6，故选D.答案：D[方法总结] 数量积的最值或范围问题的2种求解方法1．临界分析法：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围．2．目标函数法：将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围． [对点全练]若a ，b ，c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最大值为________．解析：依题意可设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(cos θ，sin θ)，则(a －c )·(b －c )＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin(θ＋π4)，所以(a －c )·(b －c )的最大值为1＋ 2.答案：1＋2[典例5] (2019·开封模拟)已知两个不共线的向量a ，b 满足a ＝(1，3)，b ＝(cos θ，sin θ)，θ∈R.(1)若2a －b 与a －7b 垂直，求|a ＋b |的值；(2)当θ∈[0，π2]时，若存在两个不同的θ，使得|a ＋3b |＝|ma |成立，求正数m 的取值范围．解析：(1)由条件知|a |＝2，|b |＝1， 又2a －b 与a －7b 垂直，所以(2a －b )·(a －7b )＝8－15a ·b ＋7＝0，所以a ·b ＝1. 所以|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝4＋2＋1＝7， 故|a ＋b |＝7.(2)由|a ＋3b |＝|ma |，得|a ＋3b |2＝|ma |2， 即|a |2＋23a ·b ＋3|b |2＝m 2|a |2，即4＋23a ·b ＋3＝4m 2,7＋23(cos θ＋3sin θ)＝4m 2， 所以43sin(θ＋π6)＋7＝4m 2.由θ∈[0，π2]，得θ＋π6∈[π6，2π3]，若存在两个不同的θ，使得|a ＋3b |＝|ma |成立， 则π3≤θ＋π6≤2π3且θ＋π6≠π2， 此时32≤sin(θ＋π6)<1， 所以13≤7＋43sin(θ＋π6)<7＋43，即13≤4m 2<7＋43，所以134≤m 2<7＋434＝(2＋32)2，因为m >0，所以132≤m <2＋32.[方法总结] 向量与三角函数综合问题的特点与解题思路以向量为载体考查三角函数的综合应用题目，通过向量的坐标运算构建出三角函数，然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题或三角函数求值问题．有时还融入参数，考查分类讨论的思想方法． [对点全练]已知函数f (x )＝sin x －3cos x ＋2，记函数f (x )的最小正周期为β，向量a ＝(2，cos α)，b ＝(1，tan(α＋β2))，0＜α＜π4，且a ·b ＝73.(1)求f (x )在区间[2π3，4π3]上的最值；(2)求2cos 2α－sin[2(α＋β)]cos α－sin α的值．解析：(1)f (x )＝sin x －3cos x ＋2＝2sin(x －π3)＋2，∵x ∈[2π3，4π3]，∴x －π3∈[π3，π]，∴f (x )的最大值是4，最小值是2. (2)由(1)知β＝2π，∴a ·b ＝2＋cos αtan(α＋π)＝2＋sin α＝73，∴sin α＝13，∴2cos 2α－sin[2(α＋β)]cos α－sin α＝2cos 2α－sin 2αcos α－sin α＝2cos α＝21－sin 2α＝423.。
平面向量与解三角形的综合解答题求解高考每年的17题都是在数列和三角函数中选取，而三角函数题又会综合解三角形和向量等知识综合出题，我们看题目的已知条件，形式相当吓人，其实也就是纸老虎，一般由正弦定理即可化简，大家注意，在处理大题的时候，这几个字“由正弦定理得”最好还是写上，人家改卷老师一看就知道，哦，这个人还是会点的，不是瞎掰。
题目解答过程中需要积累的就是在三角形中正弦值相等的角可以相等或者互补，很多同学忽略互补的情况导致错误，再就是内角和定理的灵活应用，这点不需要多说，因为此题本身条件限制，所以也只有一种。
方法1还是采用平方法，还是较常规的，大家往前面翻一翻记录，看看向量问题的处理用到平方法的有多少，你就会知道这个方法的妙处了。
方法2对于许多平面几何还不错的同学来说解决起来是比较容易的，由1可得等腰三角形的相关性质都可以用，适当选取建立平面直角坐标系，通过设点坐标，用数量积来解决，比较困难的是题中m的取值范围由角的范围来限定，转化成了二次函数值域问题结束。
名师专题讲座(二)三角函数、平面向量的高考解答题型及求解策略专题概述高考对本部分内容的考查主要有：三角恒等变换与三角函数图象和性质结合，解三角形与恒等变换、平面向量的综合，难度属于中低档题，但考生得分不高，其主要原因是公式不熟导致运算错误．考生在复习时，要熟练掌握三角公式，特别是二倍角的余弦公式，在此基础上掌握一些三角恒等变换．要注意公式的多样性和灵活性，注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化.题型一 三角函数的图象与性质题型概览：(1)三角函数的性质问题，往往都要先化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求解．要注意在进行此步骤之前，如果函数解析式中出现α及其二倍角、半角或函数值的平方，应根据变换的难易程度去化简，往往要利用到二倍角公式、升幂或降幂公式，把解析式统一化成关于同一个角的三角函数式．(2)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调性、最值与周期．(2018·合肥模拟)已知函数f (x )＝(23·cos ωx ＋sin ωx )sin ωx －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋ωx (ω>0)，且函数y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值和函数f (x )的单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域． [审题程序]第一步：化简f (x )为“一角一函数”形式；第二步：求ω和单调递增区间；第三步：求f (x )在给定区间上的值域．[规范解答] (1)f (x )＝23cos ωx sin ωx ＋sin 2ωx －cos 2ωx ＝3sin2ωx －cos2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6.由函数f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4， 得14T ＝14·2π2ω＝π4，即ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z . (2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，所以－1≤f (x )≤2， 所以函数f (x )的值域为[－1,2]．[解题反思] 此类题目是三角函数问题中的典型题型，该题综合考查了三角函数的诱导公式、由三角函数值求参数、三角函数的周期、三角函数在指定区间上的最值等，考查考生的运算求解能力、逻辑推理能力以及转化与化归思想、应用意识等．该题的亮点有二：一是第(1)问，由f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离得出f (x )的周期从而求出ω，求出f (x )的单调递增区间，经典而又不失新意；二是第(2)问考查函数f (x )在给定区间上的最值问题．需结合y ＝sin x的图象及自变量的变化求解，否则容易出现－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤12，从而出现f (x )∈[－1,1]的错误．[答题模板] 解决这类问题的答题模板如下：[题型专练]1．设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． [解] (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx＝32－3·1－cos2ωx 2－12sin2ωx ＝32cos2ωx －12sin2ωx ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 因为y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω>0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.设t ＝2x －π3，则函数f (x )可转化为y ＝－sin t .当π≤x ≤3π2时，5π3≤t ＝2x －π3≤8π3，如图所示，作出函数y ＝sin t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，8π3上的图象． 由图象可知，当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，8π3时， sin t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， 故－1≤－sin t ≤32，因此－1≤f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤32.故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 题型二 解三角形应用题型概览：(1)已知两角A ，B 与一边a ，由A ＋B ＋C ＝π及a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可先求出角C 及b ，再求出c .(2)已知两边b ，c 及其夹角A ，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，先求出a ，再求出角B ，C .(3)已知三边a ，b ，c ，由余弦定理可求出角A ，B ，C .(4)已知两边a ，b 及其中一边的对角A ，由正弦定理a sin A ＝b sin B 可求出另一边b 的对角B ，由C ＝π－(A ＋B )，可求出角C ，再由a sin A ＝c sin C 可求出c ，而通过a sin A ＝bsin B 求角B 时，可能有一解或两解或无解的情况．(2017·湖南五市十校3月联考)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝bc .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，求BC 边上的中线AM 的最大值．[审题程序]第一步：依据余弦定理角化边；第二步：依据余弦定理求cos B 及AM ；第三步：由余弦定理和重要不等式求AM 的最大值．[规范解答] (1)∵b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.又0<A <π，∴A ＝π3.(2)在△ABC 中，A ＝π3，a ＝3，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得b 2＋c 2＝bc ＋3.则b 2＋c 2＝bc＋3≥2bc ，得bc ≤3(当且仅当b ＝c 时取等号)．在△ABC 中，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac .在△ABM 中，由余弦定理，得AM 2＝AB 2＋BM 2－2·AB ·BM ·cos B ＝c 2＋a 24－2·c ·12a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2c 2＋2b 2－a 24＝2bc ＋34≤94， ∴AM ≤32.∴AM 的最大值是32.[解题反思] 三角形中的边角关系的转化往往通过正余弦定理．求解与三角形有关的最值问题时，常利用余弦定理和基本不等式构造不等关系．[答题模板] 解决这类问题的答题模板如下：[题型专练]2．(2018·宁波统考)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c sin C －b sin B ＝(a －b )sin A .(1)求角C ；(2)若c ＝5，求△ABC 的面积的最大值．[解] (1)由c sin C －b sin B ＝(a －b )sin A 及正弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12又C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)∵c ＝5，由(1)知C ＝π3，∴a 2＋b 2－25＝ab ，又a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)，∴a 2＋b 2－25＝ab ≥2ab －25，即ab ≤25，∴△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ≤12×25×32＝2534.当且仅当a ＝b ＝c ＝5，即△ABC 为等边三角形时，面积取得最大值2534.题型三 三角函数、解三角形与平面向量的综合应用 题型概览：(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x 4. (1)若m ·n ＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值； (2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数 f (A )的取值范围．[审题程序]第一步：化简m ·n ＝1；第二步：应用三角函数诱导公式求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ； 第三步：由正弦定理求角；第四步：求三角函数的值域．[规范解答] (1)m ·n ＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2x 4 ＝32sin x 2＋1＋cos x 22＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12， ∵m ·n ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12. ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C .∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0.∴cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3.∴0<A <2π3.∴π6<A 2＋π6<π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 又∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12. ∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12. 故函数f (A )的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1，32. [解题反思] 本例将平面向量的坐标运算、三角恒等变换、解三角形等知识综合考查．有一定难度．无论(1)还是(2)通过三角恒等变换转化为“一角一函数”的形式都是高考的重点．在(2)中利用正余弦定理转化为给定区间上的最值问题也是热点问题，考查了三角函数的性质．[答题模板] 解决这类问题的答题模板如下：[题型专练]3．(2017·山东淄博3月模拟)已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx －sin 2ωx ＋1(ω>0)的图象中相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求ω的值及函数f (x )的单调递减区间；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且满足a ＝3，f (A )＝1，求△ABC 面积S 的最大值．[解] (1)f (x )＝32sin2ωx －1－cos2ωx 2＋1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋12.因为函数f (x )的图象中相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以T＝π，即2π2ω＝π，所以ω＝1.所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12. 令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )．所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )． (2)由f (A )＝1得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12.因为2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6， 所以2A ＋π6＝5π6，得A ＝π3.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即(3)2＝b 2＋c 2－2bc cos π3，所以bc ＋3＝b 2＋c 2≥2bc ，解得bc ≤3，当且仅当b ＝c 时等号成立．所以S △ABC ＝12bc sin A ≤12×3×32＝334.。
三角函数平面向量及解三角形的综合运用运用三角函数、平面向量和解三角形的综合运用时，常涉及到问题的空间几何解析、力学问题、电磁场问题等等。
本文将从求解平面三角形、力学问题和电磁场问题三个方面进行综合运用的详细说明。
1.求解平面三角形在平面三角形的解析中，我们经常会使用到三角函数的性质。
例如，已知三角形的两边和一个角，可以通过余弦定理求解出第三边的长。
另外，已知三个角或三个边中的一对和对应的一个角，我们可以利用正弦定理求解出其他的边和角。
举例说明：假设有一个平面三角形ABC，其中已知AB=3，AC=4，∠BAC=60°。
求解BC的长度和∠ABC、∠ACB的大小。
首先，我们可以利用余弦定理计算出BC的长度：BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cos(∠BAC)BC² = 3² + 4² - 2·3·4·cos(60°)BC²=9+16-24·0.5BC²=25-12=13BC=√13接下来，利用正弦定理求解∠ABC和∠ACB的大小：sin(∠ABC) / AB = sin(∠BAC) / BCsin(∠ABC) / 3= sin(60°) / √13sin(∠ABC) = 3·sin(60°) / √13∠ABC = arcsin(3·sin(60°) / √13)sin(∠ACB) / AC = sin(∠BAC) / BCsin(∠ACB) / 4 = sin(60°) / √13sin(∠ABC) = 4·sin(60°) / √13∠ACB= arcsin(4·sin(60°) / √13)通过以上计算，我们可以得出BC≈3.605，∠ABC≈39.23°，∠ACB≈80.77°。
高中数学平面向量及其应用的解题技巧高中数学中，平面向量是一个重要的概念，它在各个数学分支中都有广泛的应用。
掌握平面向量的解题技巧，不仅能够帮助我们更好地理解数学知识，还能够提高解题的效率和准确性。
本文将从基本概念、解题方法和应用举例三个方面，介绍高中数学平面向量的解题技巧。
一、基本概念平面向量是空间中的一个有向线段，可以用有序数对表示。
在平面直角坐标系中，向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的投影。
向量的模表示向量的长度，记作|AB|或||AB||。
向量的方向可以用与x轴正方向的夹角表示。
二、解题方法1. 向量的表示与运算在解题过程中，我们需要掌握向量的表示与运算方法。
例如，已知向量A(3,4)和向量B(-2,1)，求向量A与向量B的和、差以及数量积。
解答：向量A与向量B的和为A+B=(3+(-2),4+1)=(1,5)；向量A与向量B的差为A-B=(3-(-2),4-1)=(5,3)；向量A与向量B的数量积为A·B=3×(-2)+4×1=-6+4=-2。
2. 向量的模和方向在解题过程中，我们需要计算向量的模和方向。
例如，已知向量A(3,4)，求向量A的模和方向。
解答：向量A的模为|A|=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5；向量A的方向可以用与x轴正方向的夹角表示，tanθ=4/3，所以θ=arctan(4/3)≈53.13°。
3. 向量的共线与垂直在解题过程中，我们需要判断向量的共线与垂直关系。
例如，已知向量A(3,4)和向量B(6,8)，判断向量A与向量B是否共线或垂直。
解答：向量A与向量B的方向相同，且比值相等，即3/6=4/8=1/2，所以向量A与向量B共线。
三、应用举例1. 平面向量的线性运算已知向量A(2,3)和向量B(1,2)，求2A-3B的模和方向。
解答：2A-3B=2(2,3)-3(1,2)=(4,6)-(3,6)=(1,0)；2A-3B的模为|2A-3B|=√(1²+0²)=√1=1；2A-3B的方向与x轴正方向平行，即与x轴的夹角为0°。
平面向量在解三角形中的应用摘要：平面向量的应用十分广泛，由于三角形中的有关线段可以视为向量，线线之间的位置关系、大小关系以及边角关系均可以用向量表示，这就为向量与三角形的沟通、联系、交汇提供了条件，用向量解决题目具有思路拓宽、方法灵活、综合性强的特点。
随着学生对解三角形的深入了解，知道了解三角形的方法有多种形式，而平面向量的解决方式能够让学生更容易解三角形，从而有效提高学生在解三角形的过程中能够多一种思路，提高学生的做题能力，并以此提高学生的准确性。
关键词：平面向量；三角形；应用引言：在近几年的高考中，平面向量已经成为必考的内容，它的引入能够让学生在解决问题的过程中增加了多种解决方式，这其中也让各个篇章中的知识点变得更加紧密，在结构上也能够加强学生对数学知识的认识与了解。
不仅如此，随着考查形式的灵活多变，也让解决问题的方式变得丰富多彩，也正是因为如此，让“数”与“形”变得和谐统一，两者的相互结合也让学生在解决问题上变得容易许多，从而能够有效增加学生做题的效率，并提高了学生的逻辑思考能力与观察能力。
1.利用向量辅助判断解三角形形状问题在解三角形问题中，学生需要在题干上了解题目中所需要解决的内容，首先就需要学生能够有效判断题目中所要解三角形的形状。
例如在人教A版高中数学必修5课本中，在题目中的余弦定理与正弦定理都能够解决问题，而有一些题目会将平面向量与解三角形的题目相互结合，这个过程就需要学生通过平面向量进行相关问题的解答。
例如，在已知三角形ABC中，O为三角形内一点，且满足向量OA加向量OB加向量OC等于向量0，并且向量｜OA｜等于向量｜OB｜等于向量｜OC|，则三角形ABC是什么三角形。
这就需要学生在做题的过程中能够对题目有所了解，从而有效判断三角形的形状。
在解决的过程中因为题目中的已知条件向量OA加上向量OB加上向量OC等于向量0，可以得到向量AO等于向量OB加上向量OC，在解决的过程中将BC的中点记为D，从而通过向量加法得到向量AO等于二倍的向量OD，因此O是三角形ABC的重心，又因为向量｜OA｜等于向量｜OB｜等于向量｜OC|，O是三角形ABC的外心，所以三角形ABC的外心与重心重合，因此也就判断出三角形是等边三角形。
平面向量与解三角形（解答题）1. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且8a =，.3A π=(1)若2B π≠，求2cos c bB−的值； (2)求||AB AC AB AC +−⋅的最小值．2.ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1sin cos .1cos 2sin 2A AB B+=+(1)求证：2;2A B π+=(2)若2223a c b ac +−，试求sin a cB b+⋅的取值范围.3.如图，某公园改建一个三角形池塘，90C ︒∠=，2AB =百米，1BC =百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.(1)若在ABC 内部取一点P ，建造连廊供游客观赏，方案一如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且23CPB π∠=，求连廊AP PC PB ++的长(单位为百米)； (2)若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，并建造连廊，使得DEF 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图②，使得DEF 为正三角形，设2S 为图②中DEF 的面积，求2S 的最小值；方案三如图③，使得EF 平行于AB ，且EF 垂直于DE ，设3S 为图③中DEF 的面积，求3S 的取值范围.4.在ABC 中，点P 为ABC 内一点．(1)若点P 为ABC 的重心，用AB ，AC 表示AP ；(2)记PBC ，PAC ，PAB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0A B C S PA S PB S PC ++=； (3)若点P 为ABC 的垂心，且230PA PB PC ++=，求cos .APB ∠5．已知向量(),u a b =，(),v c d =，其中(),,,0,.a b c d ∈+∞(1)若u v u v ⋅=，写出a ，b ，c ，d 之间应满足的关系式；(2)求证：()()()22222a b c d ac bd +++；(3)+的最大值，并求其取得最大值时x 的值．6. 平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD 的顶点在同一平面上，已知2,AB BC CD AD ====(1)当BD cos A C −是否为一个定值？若是，求出这个定值；否则，说明理由．(2)记ABD 与BCD 的面积分别为1S 和2S ，请求出2212S S +的最大值．7. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．而向量正是数与形“沟通的桥梁”．在ABC ∆中，试解决以下问题：(1)G 是三角形的重心(三条中线的交点)，过点G 作一条直线分别交,AB AC 于点,.M N()i 记a,b AB AC ==，请用a,b 表示AG ；(),ii AM mAB AN nAC ==，求4m n +的最小值.(2)已知点O 是ABC ∆的外心，且1143AO AB AC =+，求cos .BAC ∠8. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3.cos cos cos cos cos b c a aB C A B C+=+ (1)求tan tan B C ；(2)若3bc =，求ABC 面积S 的最小值.9. 已知梯形ABCD 中，2AB DC =，AB BC 2,60ABC ︒==∠=，E 为BC 的中点，连接.AE(1)若4AF FE =，求证：B ，F ，D 三点共线； (2)求AE 与BD 所成角的余弦值；(3)若P 为以B 为圆心、BA 为半径的圆弧AC(包含A ，)C 上的任意一点，当点P 在圆弧AC(包含A ，)C 上运动时，求PA PC ⋅的的最小值．10.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且223.222()C B bc bsincsin b c a +=++ (1)求角A 的大小；(2)若c a >，求a bm c+=的取值范围．11.对于给定的正整数n ，记集合123j {|(,,,,),,1,2,3,,}nn R x x x x x R j n αα==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅，其中元素α称为一个n 维向量．特别地，0(0,0,,0)=⋅⋅⋅称为零向量．设k R ∈，12(,,,)n n a a a R α=⋅⋅⋅∈，12(,,,)n n b b b R β=⋅⋅⋅∈，定义加法和数乘：1122(,,,)n n a b a b a b αβ+=++⋅⋅⋅+，12(,,,).n k ka ka ka α=⋅⋅⋅对一组向量1α，2α，…，(,2)s s N s α+∈，若存在一组不全为零的实数1k ，2k ，…，s k ，使得11220s s k k k ααα++⋅⋅⋅+=，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关． (Ⅰ)对3n =，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由． ①(1,1,1)α=，(2,2,2)β=；②(1,1,1)α=，(2,2,2)β=，(5,1,4)γ=；③(1,1,0)α=，(1,0,1)β=，(0,1,1)γ=，(1,1,1).δ=(Ⅱ)已知向量α，β，γ线性无关，判断向量αβ+，βγ+，αγ+是线性相关还是线性无关，并说明理由．(Ⅲ)已知(2)m m 个向量1α，2α，…，m α线性相关，但其中任意1m −个都线性无关，证明下列结论：(ⅰ)如果存在等式11220(,1,2,3,,)m m i k k k k R i m ααα++⋅⋅⋅+=∈=⋅⋅⋅，则这些系数1k ，2k ，…，m k 或者全为零，或者全不为零；(ⅱ)如果两个等式11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=，11220(,,1,2,3,,)m m i i l l l k R l R i m ααα++⋅⋅⋅+=∈∈=⋅⋅⋅同时成立，其中10l ≠，则1212.m m k k k l l l ==⋅⋅⋅=12.已知OAB ，OA a =，OB b =，||2a =，||3b =，1a b ⋅=，边AB 上一点1P ，这里1P 异于,.A B 由1P 引边OB 的垂线111,PQ Q 是垂足，再由1Q 引边OA 的垂线111,Q R R 是垂足，又由1R 引边AB 的垂线122,R P P 是垂足．同样的操作连续进行，得到点n P ，n Q ，()*.n R n N ∈设()(01)n n n AP t b a t =−<<，如图所示.(1)某同学对上述已知条件的研究发现如下结论：112(1)3BQ t b =−−⋅，问该同学这个结论是否正确并说明理由； (2)用n t 表示1.n t +13.射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，O 为透视中心，平面内四个点E ，F ，G ，H 经过中心投影之后的投影点分别为A ，B ，C ，.D 对于四个有序点A ，B ，C ，D ，定义比值CA CB x DADB=叫做这四个有序点的交比，记作().ABCD (1)证明：()()EFGH ABCD =；(2)已知3()2EFGH =，点B 为线段AD的中点，3AC =，sin 3sin 2ACO AOB ∠=∠，求cos .A14.如图1所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，满足2BD DC =，G 是线段AB 上的点，且满足32AG GB =，线段CG 与线段AD 交于点.O (1)若AO t AD =，求实数t ；(2)如图2所示，过点O 的直线与边AB ，AC 分别交于点E ，F ，设EB AE λ=，(0,0)FC AF μλμ=>>；()i 求λμ的最大值；()ii 设AEF 的面积为1S ，四边形BEFC 的面积为2S ，求21S S的取值范围．15.如图：在斜坐标系xOy 中，x 轴、y 轴相交成60︒角，1e 、2e 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+，则称有序实数对⟨,x y ⟩为向量OP 的坐标，记作OP =⟨,x y ⟩.在此斜坐标系xOy 中，已知ABC 满足：OA =⟨0,2⟩、OB =⟨2,1−⟩.(1)求OA OB ⋅的值；(2)若坐标原点O 为ABC 的重心(注：在斜坐标系下，若G 为ABC 的重心，依然有0GA GB GC ++=成立).①求ABC 的面积；②求满足方程11tan tan tan mA B C+=的实数m 的值．16.法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3.O(1)证明：123O O O 为等边三角形； (2)若123O O O ABCSmS= ，求m 的最小值．平面向量与解三角形1. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且8a =，.3A π=(1)若2B π≠，求2cos c bB−的值； (2)求||AB AC AB AC +−⋅的最小值．【答案】(1)因为8a =，3A π=，所以sin sin sin b c a B C A ===所以b B =，)8cos c C A B B B =+=，则216.cos c b B −== (2)由222222cos a b c bc A b c bc =+−=+−， 得2264.b c bc +=+因为222b c bc +，所以22642b c bc bc +=+， 所以64bc ，当且仅当8b c ==时，取等号， 2||()AB AC AB AC +=+222AB AC AB AC ++⋅22b c bc =++=，12AB AC bc ⋅=，令t 883t <，则21322bc t =−，则2211||16(2)1744AB AC AB AC t tt +−⋅=−+=−−+，因为883t <，所以2132(2)1784t −−−+<，所以||AB AC AB AC +−⋅的最小值为32.【解析】本题考查利用正弦定理解三角形，利用余弦定理解决范围问题.(1)先利用正弦定理分别求出b ，c ，再根据三角形内角和定理将C 用B 表示，再将所求化简即可得解;(2)利用余弦定理结合可得2264b c bc +=+，结合基本不等式求出bc的范围，计算可得1||64.2AB AC AB AC bc +−⋅=令t =.2.ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1sin cos .1cos 2sin 2A AB B+=+(1)求证：2;2A B π+=(2)若2223a c b ac +−，试求sin a cB b+⋅的取值范围. 【答案】证明：(1)原式化简得：21sin cos sin sin sin cos cos 2cos 2sin cos A AB A B A B B B B+=⇔+=，即sin cos()B A B =+，cos()cos()2B A B π∴−=+，(0,)2A B π+∈，(0,)22B ππ−∈， 2B A B π∴−=+，即2.2A B π+=(2)由22222A B A B A B C C B ππππ⎧=−⎧⎪+=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪++==+⎩⎪⎩且04B π<<，由余弦定理，2223a c b ac +−变为223cos 22a cb B ac+−=， 62B ππ∴<， 又04B π<<，;64B ππ∴<由正弦定理，sin sin sin sin sin a c A CB B b B++⋅=⋅ 2219sin sin cos 2cos 2cos cos 12(cos )48A C B B B B B =+=+==+−=+−，cos (2B ∈∴由二次函数值域，可得sina c B b+⋅的范围为【解析】本题考查利用正余弦定理解三角形，三角恒等变换的应用，余弦型函数的值域，二次函数的性质等知识点，属于较难题.3.如图，某公园改建一个三角形池塘，90C ︒∠=，2AB =百米，1BC =百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.(1)若在ABC 内部取一点P ，建造连廊供游客观赏，方案一如图①，使得点P 是等腰三角形PBC的顶点，且23CPB π∠=，求连廊AP PC PB ++的长(单位为百米)；(2)若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，并建造连廊，使得DEF 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图②，使得DEF 为正三角形，设2S 为图②中DEF 的面积，求2S 的最小值；方案三如图③，使得EF 平行于AB ，且EF 垂直于DE，设3S 为图③中DEF 的面积，求3S 的取值范围.【答案】(1)解：因为点 P 是等腰三角形 PBC 的顶点，且 23CPB π∠= ， 1BC = ， 所以 6PCB π∠=，PC PB =，由余弦定理可得， 222cos C 2PB PC BC PB PB PC +−∠=⋅ ，解得PC = ， 又因为 2ACB π∠=，故 3ACP π∠=， 在 Rt ACB 中， 2AB = ， 1BC = ，所以AC == ，在 ACP 中，由余弦定理可得， 2222cos3AP AC PC AC PC π=+−⋅⋅ ，解得3AP =， 故AP PC PB ++=+=， 所以连廊 AP PC PB ++ 的长为百米． (2)解：设图②中的正 DEF 的边长为 a ， (0)2CEF παα∠=<< ，则 sin CF a α= ，sin AF a α=− ， 设 1EDB ∠=∠ ， 则 213B DEB DEB ππ∠=−∠−∠=−∠ ， 233DEB DEB ππαπ=−−∠=−∠ ，所以 2133ADF πππα∠=−−∠=− ， 在 ADF 中，由正弦定理可得，sin sin DF AFA ADF=∠∠ ，即sin 2sinsin()63aa αππα−=− ， 即21sin()sin 32a a παα−=−， 即32177a ===(其中 θ 为锐角，且tan θ= ，所以 222133sin 60247Sa =︒⨯=， 即 ()2min S = ； 图③中，设 BE x = ， (0,1)x ∈ ， 因为 //EF AB ，且 EF DE ⊥ ，所以 3FEC π∠= ， 6DEB π∠= ， 2EDB π∠= ，所以 cos 62DE x x π== ，222cos3CE EF CE xπ===− ，所以22111(22)))222DEFSEF DE x x x x =⋅⋅=⋅−=−+=−+， 所以当 12x = 时， DEF S 取得最大值8 ，无最小值，即DEF S ⎛∈ ⎝⎦， 故3.S ⎛∈ ⎝⎦【解析】本题考查利用正弦定理、余弦定理解决距离问题、利用正弦定理解决范围与最值问题，属于较难题.(1)先由 PBC 中的余弦定理求出 PC ，再由 APC 中的余弦定理求出 AP ，即可得到答案；(2)设图②中的正 DEF 的边长为 a ， (0)2CEF παα∠=<<，图③中，设 BE x = ， (0,1)x ∈ ，分别表示出方案②和方案③中的面积，利用三角函数的性质以及二次函数的性质求解最值即可．4.在ABC 中，点P 为ABC 内一点．(1)若点P 为ABC 的重心，用AB ，AC 表示AP ；(2)记PBC ，PAC ，PAB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0A B C S PA S PB S PC ++=； (3)若点P 为ABC 的垂心，且230PA PB PC ++=，求cos .APB ∠【答案】解：(1)由题意，不妨设BC 边上的中点为点D ，所以23AP AD =，又1()2AD AB AC =+，所以，11.33AP AB AC =+(2)证明：令A B C S S S S =++，则B CS S AP AD S +=||||||||C B B C B C S S DC DB AD AB AC AB AC S S S S BC BC =+=+++()()C B S SAP AP PB AP PC S S=+++，则0B C A S PB S PC S AP +−=，所以0A B C S PA S PB S PC ++=；(3)因为P 是ABC 的垂心，230PA PB PC ++=， 所以由(2)易知，::1:2:3.A B C S S S =记ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，则1tan 2:1tan 2A B FC PC BFBF A AF S S FC AF B PC AF BF⋅====⋅，同理:tan :tan B C S S B C =，所以，tan :tan :tan 1:2:3A B C =，又tan tan tan tan()1tan tan A B C A B A B −−=−+=−，所以，2tan 2tan 3tan 12tan A AA A−−=−， 即tan 1A =或1−，又tan A ，tan B ，tan C 同号，所以tan 1A =，所以tan 3C = 又四边形CDPE 中，因为P 是ABC 的垂心，所以90CDP CEP ∠=∠=︒， 所以，180DPE C ∠+∠=︒，又DPE APB ∠=∠，所以，180APB C ∠+∠=︒，所以，tan tan 3APB C ∠=−=−，即cos 10APB ∠=−【解析】本题考查向量的线性运算，向量的几何应用，属于难题. (1)根据向量的线性运算化简即可；(2)利用面积与边长的比例关系化简整理即可；(3)利用(2)的结论得出A ，B ，C 的关系，结合正切的和差角公式计算即可. 5．已知向量(),u a b =，(),v c d =，其中(),,,0,.a b c d ∈+∞(1)若uv u v ⋅=，写出a ，b ，c ，d 之间应满足的关系式； (2)求证：()()()22222a b c d ac bd +++；(3)23x −的最大值，并求其取得最大值时x 的值． 【答案】解：(1)由向量(),u a b =，(),v c d =，得2222,,u v ac bd u a b v c d ⋅=+=+=+， 因为u v u v ⋅=，所以()()()22222ac bd a b c d +=++，即2222222222222a c abcd b d a c a d b c b d ++=+++，所以22222abcd a d b c =+，即()20ad bc −=， 所以0ad bc −=；(2)因为cos ,u v ac bd u v u v ⋅=+=， 而cos ,1u v，所以()222222,ac bd u v cos u vu v +=，当且仅当cos ,1u v =，即//u v 时取等号，所以()()()22222a b c d ac bd +++；(3)由413030x x +⎧⎨−⎩可得1334x −，当3x =5==，当134x =−5+==， 当1334x −<<时，由(2)可得，()11x=+=⎡⎣，，即18x =−时，取等号，+的最大值为1.8x =−【解析】本题考查向量数量积的坐标运算，向量模的坐标表示，利用向量的数量积证明等式. (1)根据数量积得坐标运算及平面向量的模的坐标公式计算即可得出结论； (2)根据cos ,u v ac bd u v u v ⋅=+=，结合余弦函数的值域即可得证；(3)利用(2)中的结论即可得出答案.6. 平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD 的顶点在同一平面上，已知2,AB BC CD AD ====(1)当BD cos A C −是否为一个定值？若是，求出这个定值；否则，说明理由．(2)记ABD 与BCD 的面积分别为1S 和2S ，请求出2212S S +的最大值．【答案】解：(1)法一：在ABD 中，由余弦定理得222cos 2AD AB BD A AD AB+−=⋅，即222cosA =2168BD A −=①，同理，在BCD 中，22222cos 222BD C +−=⨯⨯，即28cos 8BD C −=②，①-cos 1A C −=，所以当BD cos A C −为定值，定值为1；法二：在ABD 中，由余弦定理得2222cos BD AD AB AD AB A =+−⋅即222222cos BD A =+−⨯⨯，即216BD A =−， 同理，在BCD 中，2222cos 88cos BD CD CB CD CB C C =+−⋅=−，所以1688cos A C −=−，1cos A C −=，即cos 1A C −=，所以当BD cos A C −为定值，定值为1；222222221211(2)44S S AB AD sin A BC CD sin C +=⋅⋅+⋅⋅ 22221241244sin A sin C sin A cos C =+=+−221241)sin A A =+−−22412cos A A =−++， 令)cos ,1,1A t t =∈−，所以2224122414y t t ⎛=−++=−+ ⎝⎭，所以6t =，即cos A =时，2212S S +有最大值为14.【解析】本题考查余弦定理，考查三角形面积公式，属于较难题.(1)法一：在ABD 2168BD A −=，在BCD 中由余弦定理得28cos 8BD C −=，两式相减可得答案；法二：在ABD 中由余弦定理得216BD A =−，在BCD 中由余弦定理得288cos BD C =−，两式相减可得答案；(2)由三角形面积公式可得222122412S S cos A A +=−++，令()cos ,1,1A t t =∈−转化为二次函数配方求最值即可．7. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．而向量正是数与形“沟通的桥梁”．在ABC ∆中，试解决以下问题：(1)G 是三角形的重心(三条中线的交点)，过点G 作一条直线分别交,AB AC 于点,.M N()i 记a,b AB AC ==，请用a,b 表示AG ； (),ii AM mAB AN nAC ==，求4m n +的最小值.(2)已知点O 是ABC ∆的外心，且1143AO AB AC =+，求cos .BAC ∠ 【答案】解：(1)()i 设D 是BC 中点，则1()2AD a b =+，重心是中线靠近边的三等分点，21()33AG AD a b ∴==+；1111()3333ii AG AB AC AM AN m n=+=+，M ，G ，N 三点共线，G 在线段MN 上，则111(0,0)33m n m n+=>>， 1111414(4)()(5)(523333m n m n m n m n n m ∴+=++=+++=，当且仅当21n m ==时取等号，4m n ∴+的最小值为3； (2)由1143AO AB AC =+可知点O 在ABC 的内部，如图所示，取AB 的中点P ，AC 的中点Q ，由外心性质可知OP AB ⊥，OQ AC ⊥，从而212AO AB AP AB c ⋅=⋅=，即2111()432AB AC AB c +⋅=，所以22111cos 432c bc BAC c +⋅∠=，故11cos 34b BACc ⋅∠=， 同理，由212AO AC AQ AC b ⋅=⋅=可得11cos 46c BAC b ⋅∠=，联立11cos ,3411cos ,46b BAC c c BAC b ⎧⋅∠=⎪⎪⎨⎪⋅∠=⎪⎩得cos 2BAC ∠=【解析】本题考查了平面向量基本定理，余弦定理，基本不等式的应用，属于综合题． (1)()i 根据重心的定义以及平面向量基本定理可表示AG ；()ii 平面向量基本定理结合基本不等式可得结果；(2)由外心性质可得关于cos BAC ∠的方程，解方程可得cos .BAC ∠8. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3.cos cos cos cos cos b c a aB C A B C+=+ (1)求tan tan B C ；(2)若3bc =，求ABC 面积S 的最小值.【答案】解：3(1)cos cos cos cos cos b c a aB C A B C+=+， ()()cos cos cos cos cos 3cos .b C c B A a B C A ∴+=+由正弦定理得(sin cos cos sin )cos sin (cos cos 3cos ).B C B C A A B C A +=+ ()()sin cos sin cos cos 3cos .B C A A B C A ∴+=+ 因为0A π<<，则sin 0A >，A B C π++=，()sin sin B C A ∴+=，则()cos cos sin sin cos cos A B C B C B C =−+=−，所以，cos cos cos 3cos A B C A =+，即2cos cos cos 0A B C +=， 所以，()2sin sin cos cos cos cos 0B C B C B C −+=，2sin sin cos cos B C B C ∴=，即1tan tan .2B C =(2)由(1)得1tan tan .2B C =若tan 0tan 0B C <⎧⎨<⎩，则B 、C 均为钝角，则B C π+>，矛盾， 所以，tan 0B >，tan 0C >，此时B 、C 均为锐角，合乎题意，tan tan tan tan ()2(tan tan )4tan tan tan1B CA B C B C B C +∴=−+==−+−−=−当且仅当tan tan 2B C ==时，等号成立，且A 为钝角. tan 22A −，则()tan 22A π−，且A π−为锐角，由()()()()()()()22sin tan 22cos 1cos 0sin 0A A A sin A cos A A A πππππππ−⎧−=⎪−⎪⎪−+−=⎨⎪−>⎪⎪−>⎩，解得()22sin 3A π−，即22sin 3A ，当且仅当tan tan 2B C ==时，等号成立， 3bc =，13322sin sin 2223S bc A A ∴==⨯=因此，ABC【解析】本题主要考查正弦定理，两角和与差的三角函数公式，三角形面积公式，属于较难题. (1)利用正弦定理结合两角和的余弦公式化简可得出2sin sin cos cos B C B C =，即可求得tan tan B C 的值；(2)分析可知B 、C 均为锐角，利用两角和的正切公式结合基本不等式可得出tan 22A −，求出sin A 的最小值，即可求得S 的最小值.9. 已知梯形ABCD 中，2AB DC =，AB BC 2,60ABC ︒==∠=，E 为BC 的中点，连接.AE(1)若4AF FE =，求证：B ，F ，D 三点共线； (2)求AE 与BD 所成角的余弦值；(3)若P 为以B 为圆心、BA 为半径的圆弧AC(包含A ，)C 上的任意一点，当点P 在圆弧AC(包含A ，)C 上运动时，求PA PC ⋅的的最小值．【答案】解：(1)如图1，12BD BC CD BC BA =+=+1111111()()2525252BF BE EF BC EA BC EB BA BC BC BA =+=+=++=+−+2155BC BA =+25BF BD ∴=又点B 是公共点，B ∴，F ，D 三点共线.(2)如图1，2222211||()422cos601724BD BD BC BA BC BC BA BA ︒==+=+⋅+=+⨯⨯+= ||7BD ∴=12AE AB BE BC BA =+=− 2222211||()122cos604324AE AE BC BA BC BC BA BA ︒∴==−=−⋅+=−⨯⨯+=||3AE ∴=2211113()()22224AE BD BC BA BC BA BC BA BC BA ⋅=−⋅+=−−⋅11334422cos602242︒=⨯−⨯−⨯⨯⨯=− cos AE ∴<，3||||37AE BD BD AE BD −⋅>===⋅⨯(3)如图2，PA BA BP =−，PC BC BP =−2()()()PA PC BA BP BC BP BA BC BP BA BP BC BP ∴⋅=−⋅−=⋅+−⋅+⋅ 设ABP θ∠=，[0,]3πθ∈，则3CBPπθ∠=−，22cos 422cos 22cos()33PA PC ππθθ⋅=⨯⨯+−⨯⨯−⨯⨯− 64cos 4(coscos sinsin )6)333πππθθθθ=−−+=−+[0,]3πθ∈，∴当6πθ=时，min ()6PA PC ⋅=−【解析】本题考查平面向量和三角函数的综合应用，属于拔高题.(1)利用平面向量的线性运算求得25BF BD =，即可求证三点共线；(2)求出||BD 、||AE 和AE BD ⋅，由夹角公式即可求解;(3)设ABP θ∠=，[0,]3πθ∈，求出6)3PA PC πθ⋅=−+，利用三角函数的性质即可求解.10.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且223.222()C B bc bsincsin b c a +=++ (1)求角A 的大小；(2)若c a >，求a bm c+=的取值范围． 【答案】解：(1)由22(1cos )(1cos )cos cos 222222C B b C c B b c b C c B bsincsin −−+++=+=− 22222212222222b c a b c a c b b c a b c aa a⎛⎫++−+−++−=−+=−= ⎪⎝⎭， 所以322()b c a bcb c a +−=++，可得22()3b c a bc +−=， 则222b c a bc +−=，由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +−===，又(0,)A π∈，解得3A π=；(2)由正弦定理得21sin ()cos sin sin sin 23222sin sin sin C C C A B m C C Cπ+−+++===2cos )1111222sin 22222sin cos 2sin2tan 2222C C C C C C C C +=+=+=+=+，因为c a >，所以3C π>，又23B C π+=，所以233C ππ<<，所以623C ππ<<tan 2C<<1tan2C<<， 所以12m <<，则a bm c+=的取值范围为(1,2).【解析】本题，考查利用余弦定理解三角形，利用正弦定理解决范围问题，三角恒等变换，考查了运算能力，属于中档题.(1)利用降幂公式化简，再根据余弦定理即可求解；(2)根据正弦定理及三角恒等变换将a b m c +=可化为122tan 2m C =+，结合233C ππ<<即可求出m 的取值范围. 11.(本小题12分)对于给定的正整数n ，记集合123j {|(,,,,),,1,2,3,,}nn R x x x x x R j n αα==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅，其中元素α称为一个n维向量．特别地，0(0,0,,0)=⋅⋅⋅称为零向量．设k R ∈，12(,,,)n n a a a R α=⋅⋅⋅∈，12(,,,)n n b b b R β=⋅⋅⋅∈，定义加法和数乘：1122(,,,)n n a b a b a b αβ+=++⋅⋅⋅+，12(,,,).n k ka ka ka α=⋅⋅⋅对一组向量1α，2α，…，(,2)s s N s α+∈，若存在一组不全为零的实数1k ，2k ，…，s k ，使得11220s s k k k ααα++⋅⋅⋅+=，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关． (Ⅰ)对3n =，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由． ①(1,1,1)α=，(2,2,2)β=；②(1,1,1)α=，(2,2,2)β=，(5,1,4)γ=；③(1,1,0)α=，(1,0,1)β=，(0,1,1)γ=，(1,1,1).δ=(Ⅱ)已知向量α，β，γ线性无关，判断向量αβ+，βγ+，αγ+是线性相关还是线性无关，并说明理由．(Ⅲ)已知(2)m m 个向量1α，2α，…，m α线性相关，但其中任意1m −个都线性无关，证明下列结论：(ⅰ)如果存在等式11220(,1,2,3,,)m m i k k k k R i m ααα++⋅⋅⋅+=∈=⋅⋅⋅，则这些系数1k ，2k ，…，m k 或者全为零，或者全不为零；(ⅱ)如果两个等式11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=，11220(,,1,2,3,,)m m i i l l l k R l R i m ααα++⋅⋅⋅+=∈∈=⋅⋅⋅同时成立，其中10l ≠，则1212.m m k k k l l l ==⋅⋅⋅= 【答案】(Ⅰ)解：对于①，设120k k αβ+=，则可得1220k k +=，所以,αβ线性相关； 对于②，设1230k k k αβγ++=，则可得{12312312325020240k k k k k k k k k ++=++=++=，所以1220k k +=，30k =，所以,,αβγ线性相关；对于③，设12340k k k k αβγδ+++=，则可得{124134234000k k k k k k k k k ++=++=++=，解得123412k k k k ===−，所以,,,αβγδ线性相关；(Ⅱ)解：设123()()()0k k k αββγαγ+++++=，则131223()()()0k k k k k k αβγ+++++=，因为向量α，β，γ线性无关，所以{131223000k k k k k k +=+=+=，解得1230k k k ===， 所以向量αβ+，βγ+，αγ+线性无关，(Ⅲ)证明：(ⅰ1122)0m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=，如果某个0i k =，1i =，2，⋯，m ，则112211110i i i i m m k k k k k ααααα−−+++++++⋅⋅⋅+=，因为任意1m −个都线性无关，所以1k ，2k ，⋯1i k −，1i k +，⋅⋅⋅，m k 都等于0， 所以这些系数1k ，2k ，⋅⋅⋅，m k 或者全为零，或者全不为零，(ⅱ)因为10l ≠，所以1l ，2l ，⋅⋅⋅，m l 全不为零，所以由11220m m l l l ααα++⋅⋅⋅+=可得21211m m l l l l ααα=−−⋅⋅⋅−，代入11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=可得2122211()0m m m m l l k k k l l αααα−−⋅⋅⋅−++⋅⋅⋅+=，所以2122111()()0m m m l l k k k k l l αα−++⋅⋅⋅+−+=， 所以21210l k k l −+=，⋯，110m m l k k l −+=，所以1212.m mk k k l l l ==⋅⋅⋅= 【解析】本题主要考查平面向量的综合运用，新定义概念的理解与应用等知识，属于较难题． (Ⅰ)根据定义逐一判断即可；(Ⅱ)设123()()()0k k k αββγαγ+++++=，则131223()()()0k k k k k k αβγ+++++=，然后由条件得到1230k k k ===即可；(Ⅲ)(ⅰ)如果某个0i k =，1i =，2，⋯，m ，然后证明1k ，2k ，⋯1i k −，1i k +，⋅⋅⋅，m k 都等于0即可；(ⅱ)由11220m m l l l ααα++⋅⋅⋅+=可得21211m m l ll l ααα=−−⋅⋅⋅−，然后代入11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=证明即可．12.(本小题12分)已知OAB ，OA a =，OB b =，||2a =，||3b =，1a b ⋅=，边AB 上一点1P ，这里1P 异于,.A B 由1P 引边OB 的垂线111,PQQ 是垂足，再由1Q 引边OA 的垂线111,Q R R 是垂足，又由1R 引边AB 的垂线122,R P P 是垂足．同样的操作连续进行，得到点n P ，n Q ，()*.n R n N ∈设()(01)n n n AP t b a t =−<<，如图所示.(1)某同学对上述已知条件的研究发现如下结论：112(1)3BQ t b =−−⋅，问该同学这个结论是否正确并说明理由；(2)用n t 表示1.n t +【答案】解：(1)该同学的结论正确，证明如下：由已知，得||3AB =，||3OB =，||2OA =，由余弦定理知222||||||2cos 32||||2OB AB OA ABO OB AB+−∠===， 又111||||3AP t b a t =−=，则111||||||33BP AB AP t =−=−，11112||||cos )(1)||3BQ BP ABO t t b ∴=⋅∠=−=−， 即112(1)3BQ tb =−−⋅；(2)由已知1cos ||||2a b AOB a b ⋅∠===⋅⨯，||||3OB AB ==，cos BAO ∴∠=1||||cos (2||)n n nAP AR BAO OR +∴=⋅∠=−|cosn OQ AOB =⋅∠1||)6n BQ =−⋅1||cos 66n BP ABO =+⋅∠1||)69n AP =+⋅ 1||9n AP =⋅， 即151||3||189n n t b at b a +−=−−1n +=， 115.918n n t t +∴=−+【解析】本题考查了向量的数量积、向量的夹角，涉及余弦定理及数列的递推关系，属于较难题. (1)由余弦定理结合向量条件求出cos ABO ∠即可证得．(2)由向量的夹角先求出cos AOB ∠，再求出151||3||189n n AP AP +=−⋅，即可解答.13.(本小题12分)射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，O 为透视中心，平面内四个点E ，F ，G ，H 经过中心投影之后的投影点分别为A ，B ，C ，.D 对于四个有序点A ，B ，C ，D ，定义比值CACB x DA DB=叫做这四个有序点的交比，记作().ABCD(1)证明：()()EFGH ABCD =；(2)已知3()2EFGH =，点B 为线段AD 的中点，3AC =，sin 3sin 2ACO AOB ∠=∠，求cos .A【答案】解：(1)由题意，在AOC ，AOD ，BOC ，BOD 中，1sin sin 21sin sin 2AOC BOC OA OC AOCS CA OA AOCCB S OB BOCOB OC BOC ⋅⋅⋅∠⋅∠===⋅∠⋅⋅⋅∠， 1sin sin 21sin sin 2AOD BOD OA OD AODS DA OA AODDB S OB BODOB OD BOD ⋅⋅⋅∠⋅∠===⋅∠⋅⋅⋅∠，则sin sin sin sin ()sin sin sin sin OA AOC OB BOD AOC BODCB ABCD DA OB BOC OA AOD BOC AOD DB⋅∠⋅∠∠⋅∠==⋅=⋅∠⋅∠∠⋅∠①又，在EOG ，EOH ，FOG ，FOH 中，1sin sin 21sin sin 2EOG FOG OE OG EOGS GE OE EOGGF S OF FOGOF OG FOG ⋅⋅⋅∠⋅∠===⋅∠⋅⋅⋅∠， 1sin sin 21sin sin 2EOH FOH OE OH EOHS HE OE EOHHF S OF FOHOF OH FOH ⋅⋅⋅∠⋅∠===⋅∠⋅⋅⋅∠， 则sin sin sin sin ()sin sin sin sin GEOE EOG OF FOH EOG FOHGF EFGH HE OF FOG OE EOH FOG EOH HF⋅∠⋅∠∠⋅∠==⋅=⋅∠⋅∠∠⋅∠②，又EOG AOC ∠=∠，FOH BOD ∠=∠，FOG BOC ∠=∠，EOH AOD ∠=∠，由①②可得，sin sin sin sin sin sin sin sin AOC BOD EOG FOHBOC AOD FOG EOH∠⋅∠∠⋅∠=∠⋅∠∠⋅∠，即()()EFGH ABCD =(2)由题意3()2EFGH =，由(1)可知，3()2ABCD =，则32CACB DA DB =，即3.2CA DB CB DA =，又点B 为线段AD 的中点，即12DB DA =， 故3CACB=，又3AC =，则2AB =，1BC =， 设OA x =，OC y =，且OB =，由ABO CBO π∠=−∠可知，coscos 0ABO CBO ∠+∠=， 2222220=，解得22215x y +=③，又在AOB 中，利用正弦定理可知，sin sin AB xAOB ABO =∠∠④，在BOC 中，利用正弦定理可知，sin sin OByBCO CBO=∠∠⑤，且sin sin ABO CBO ∠=∠，则④⑤可得，sin 3sin 2x AB BCOy AOB OB ∠=⋅==∠，即x =⑥， 由③⑥解得，3x=，y =，即3OA =，OC =，则222222325cos .22326OA AB OB A OA AB +−+−===⋅⨯⨯【解析】本题考查新定义问题，正，余弦定理的综合应用，三角形面积公式，属于较难题.(1)由题意，结合新定义可得sin sin ()sin sin CAAOC BODCB ABCD DA BOC AOD DB∠⋅∠==∠⋅∠①，同理sin sin ()sin sin EOG FOHGF EFGH HE FOG EOH HF∠⋅∠==∠⋅∠②，再利用角相等，即可证明；(2)结合(1)中的结论，利用正余弦定理，逐步分析求解即可. 14.(本小题12分)如图1所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，满足2BD DC =，G 是线段AB 上的点，且满足32AG GB =，线段CG 与线段AD 交于点.O(1)若AO t AD =，求实数t ；(2)如图2所示，过点O 的直线与边AB ，AC 分别交于点E ，F ，设EB AE λ=，(0,0)FC AF μλμ=>>；()i 求λμ的最大值；()ii 设AEF 的面积为1S ，四边形BEFC 的面积为2S ，求21S S 的取值范围． 【答案】解：(1)依题意，因为2BD DC =，所以1121()3333AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC =+=+=++=+，因为G 、O 、C 三点共线所以存在实数m 使得GO mOC =，所以111m AO AC AG m m=+++， 因为32AG GB =，所以11211115m m AO AC AG AC AB m m m m =+=+⨯++++， 又因为AO t AD =，所以22135(1)31mt t m m ⎧==⎨++⎩，解得：12t =，15m =综上所述，1.2t =(2)证明：()i 根据题意(1)AB AE EB AE AE AE λλ=+=+=+，同理可得：(1)AC AF μ=+，由(1)可知，111236AO AD AB AC ==+，所以1136AO AE AF λμ++=+， 因为E ，O ，F 三点共线，所以存在实数n ，使得EO nEF =所以(1)AO n AE nAF =−+ 所以11136n n λμ++⎧−==⎨⎩， 化简得23λμ+=， 又因为0λ>，0μ>所以21129(2)()2228λμλμλμ+==，当且仅当322λμ==，即34λ=，32μ=时等号成立. ()ii 根据题意，11||||sin 2S AE AF BAC =∠，211(1)||(1)||sin ||||sin 22S AE AF BAC AE AF BAC λμ=++∠−∠，所以2111(1)||(1)||sin ||||sin 22(1)(1)11||||sin 2AE AF BAC AE AF BAC S S AE AF BAC λμλμ++∠−∠==++−∠， 由()i 可知23λμ+=，则320μλ=−>，所以302λ<<，所以2221172232()22S S λλλ=−++=−−+，易知，当12λ=时，21S S 有最大值7.2则2137(,].22S S ∈ 【解析】本题主要考查平面向量的基本定理，考查三角形的面积，考查二次函数的最值，利用基本不等式求最值，属于较难题.(1)由题知2133AD AB AC =+，12115m AO AC AB m m =+⨯++，根据AO t AD =，化简即可；(2)()i 根据题意(1)AB AE λ=+，(1)AC AF μ=+，根据E ，O ，F 三点共线，存在实数n ，使得EO nEF =，有(1)AO n AE nAF =−+，化简可得23λμ+=，利用基本不等式即可得解；()ii 根据题意，11||||sin 2S AE AF BAC =∠，211(1)||(1)||sin ||||sin 22S AE AF BAC AE AF BAC λμ=++∠−∠，所以221172()22S S λ=−−+，利用二次函数的最值即可得解. 15.(本小题12分)如图：在斜坐标系xOy 中，x 轴、y 轴相交成60︒角，1e 、2e 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+，则称有序实数对⟨,x y ⟩为向量OP 的坐标，记作OP =⟨,x y ⟩.在此斜坐标系xOy中，已知ABC 满足：OA =⟨0,2⟩、OB =⟨2,1−⟩.(1)求OA OB ⋅的值；(2)若坐标原点O 为ABC 的重心(注：在斜坐标系下，若G 为ABC 的重心，依然有0GA GB GC ++=成立).①求ABC 的面积；②求满足方程11tan tan tan mA B C+=的实数m 的值． 【答案】解：(1)由题知，22OA e =，122OB e e =−，则22121222(2)424cos6020;OAOB e e e e e e ︒⋅=⋅−=⋅−=−=(2)①由题知，O 为ABC 的重心，则OAB 的面积为ABC 面积的13，由(1)知OA OB ⊥，又||2OA =，212||(2)4OB e e =−==则ABC 面积为1322ABCS=⨯⨯=②由①知，2,1OC OA OB =−−=<−−>，则2,3BA OA OB =−=<−>，4,0BC OC OB =−=<−>，2,3AC OC OA =−=<−−>，则212||(23)4BA e e =−+==||4BC =，212||(23)4AC e e =−−=设AB c =，AC b =，BC a =， 则由11tan tan tan mA B C+=，结合正弦、余弦定理化简得： 11sin cos cos tan ()()tan tan cos sin sin C A Bm C A B C A B=+=+ sin cos sin cos sin sin sin()cos sin sin cos sin sin C A B B A C A B C A B C A B ++=⋅=⋅ 22222sin 12sin sin cos C c ab A B C ab a b c =⋅=⋅+− 22222271161972c a b c ⨯===+−+−， 故1.2m =【解析】本题考查了余弦定理、三角形面积公式和向量的数量积，属于较难题.(1)先得出OA =⟨0,2⟩22e =，OB =⟨2,1−⟩122e e =−，由向量的数量积计算可得结果；(2)①OA =⟨0,2⟩，OB =⟨2,1−⟩，O 为ABC 的重心，则OAB 的面积为ABC 面积的13，计算面积即可；②易得11()tan tan tan m C A B=+⋅，由三角恒等变换和余弦定理化简可得结果. 16.(本小题12分)法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3.O(1)证明：123O O O 为等边三角形；(2)若123O O O ABCSmS= ，求m 的最小值．【答案】解：(1)如图，连接 1AO ， 3AO ，则13AO =，33AO =， 133O AO A π∠=+在 13O AO 中，由余弦定理得： 222131313132cos O O AO AO AO AO O AO =+−⋅⋅∠ ， 即22222132cos 32cos 33333b c bc A b c bc O O A ππ⎛⎫+−+ ⎪⎛⎫⎝⎭=+−⋅⋅+= ⎪⎝⎭2212cos 23b c bc A A ⎛⎫+−⨯ ⎪ ⎪⎝⎭==22222222sin 2sin 363b c a b c Aa b c A+−+−+++==+ 同理可得222212sin 6a b c O O B ++= ，sin sin a bA B= ， sin sin a B b A ∴= ， 1213O O O O ∴= .同理： 1223O O O O = ，即 123O O O为等边三角形.12322213cos sin (2)sin 4432O O O b c bc A A m SO O bc A +−+=⨯=⨯=)()21sin cos sin b c m A A A c bϕ∴+−+=+，(其中sin ϕ=，cos ϕ=，22b c b c c b cb+⨯= ， )max21sin cos m A A ⎤−+=⎦， 12 ，解得： 1m当且仅当 3A π=， b c = 时 m 取到最小值1.【解析】本题考查利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状，考查三角形的面积公式，属于难题.(1)连接 1AO ， 3AO ，在 13O AO 中，由余弦定理可求出 13O O，同理可得 12O O ，再结合正弦定理即可证明 1213O O O O = ，同理可得 1223OO O O = ；(2)由 123O O O ABCSmS= 化简可得 ()sin b c A c b ϕ+=+ ，再由基本不等式求出 b c c b+ 的最小值，即可求出m 的最小值.。
用平面向量解决三角函数问题
平面向量是重要的数学概念和工具，与代数、几何有着密切的联系，使得它成为了高中数学知识网络的一个交汇点. 三角函数是重要的基本初等函数，它的定义和性质有着十分鲜明的特征和规律性，与代数、几何密不可分. 因此，三角函数与平面向量的综合题近几年备受高考命题者的垂青，它也是近几年高考的热点. 此类问题常以向量为知识背景，更多是以载体形式出现的，考查向量的工具作用，将三角函数作为考查的重点，在掌握三角函数的公式和性质的同时，如何理解以平面向量为载体的知识背景，如何将平面向量的知识背景转化为三角函数之间的关系式，如何用平面向量解决与三角函数有关的问题，这些都是解决这类问题的关键所在. 本文结合实例，通过以下几个不同的命题方向来探究一下如何利用平面向量解决与三角函数有关的问题.。
