2021届河南省中原名校高三上学期期末联考数学(理)试题Word版含解析

2021～2021学年高三10月质量检测理科数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两局部。

总分值150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内工程填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

4.本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、函数、导数、三角函数、三角恒等变换、解三角形、平面向量。

一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1.设命题p ：∀x<－1，x 2＋2π>0，那么⌝p 为 A.∃x 0<－1，x 02＋0x 2≤0 B.∃x 0≥－1，x 02＋0x 2≤0 C.∀x<－1，x 2＋x 2≤0 D.∀x ≥－1，x 2＋x 2≤0 ＝{x|lnx<0}，N ＝{x|x ≤12}，那么M ∩N ＝ A.∅ B{x|≤12} C.{x|x<1}D.{x|0<x ≤12} 3.函数f(x)＝xlnx －x 3的图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，那么tanα＝A.－1B.－2C.－3D.－4“焦点访谈〞是时事、政治评论性较强的一个节目，坚持用“事实说话〞，深受广阔人民群众的喜爱，其播出时间是晚上看电视节目人数最多的“黄金时间〞，即晚上7点半到8点之间的一个时刻开始播出，这一时刻也是时针与分针重合的时刻，高度显示“聚焦〞之意，比喻时事、政治的“焦点〞，那么这个时刻大约是 ＝3512⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1235⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝351log 2，那么以下结论正确的选项是 A.b>c>aB.c>a>bC.a>b>cD.c>b>a6.函数f(x)＝2cos sin 1x x x x ++的局部图象大致为 7.企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P ＝P 0e －kt (其中P 0，k 是正的常数)。

2020届河南省中原名校高三上学期期末联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|230A x x x =--≤，{}|21xB y y ==+，则A B =I （） A ．∅ B ．(]1,3C ．(]0,3D ．()1,+∞【答案】B【解析】根据一元二次不等式的解集和指数函数的值域求得. 【详解】由已知解得[]()1,3,1,A B =-=+∞， 所以(]1,3A B =I ，故选B. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解集、指数函数的值域和集合的交集运算，属于基础题. 2．已知20191i z =+，则2z i -=（ ） A．B．C ．2D【答案】A【解析】首先化简复数z ，再代入模的计算. 【详解】由201911z i i =+=-，所以|2||13|z i i -=-=故选：A 【点睛】本题考查复数的计算，属于基础计算题型. 3．若tan 13θ= ，则cos2θ=( ) A ．45-B ．15-C ．15D ．45【答案】D【解析】222222cos cos2cos cos sin sin sin θθθθθθθ-=-=+. 分子分母同时除以2cos θ，即得：2211149cos211519tan tan θθθ--===++.故选D.4．若直线1y x =+和曲线ln 2y a x =+相切，则实数a 的值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．32【答案】B【解析】设切点为()00,ln 2x a x +，求出函数在0x x =处的导数后可得切线的斜率，从而可用a 表示切点的横坐标，最后根据切点在切线上得到关于a 的方程，解该方程后可得实数a 的值. 【详解】设切点为()00,ln 2x a x +，因为a y x'=，故切线的斜率01a k x ==， 所以0x a =，所以ln 21a a a +=+，因为0a >，故1a =， 故选B. 【点睛】解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率，本题为基础题．5．已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若174a a =，且47522a a +=，则5S =（ ） A ．32 B ．31C ．30D ．29【答案】B【解析】根据已知求出4712,4a a ==，再求出公比和首项，最后求5S . 【详解】 因为174a a =，所以2444,0,2n a a a =>∴=Q . 因为47522a a +=， 所以714a =. 所以3111,16.82q q a =∴==，，所以55116[1()]2=31112S-=-.故选B【点睛】本题主要考查等比数列的通项的基本量的计算，考查等比中项的应用，考查等比数列的前n项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．函数|2|()ln cosxf x xπ=-的部分图像大致为（）A．B．C．D ．【答案】B【解析】利用函数的奇偶性可排除两个答案，再根据2x =时，函数值的正负可得正确答案. 【详解】 因为|2()|()lncos()()x f x x f x π--=--=，所以()f x 为偶函数，排除A,D ； 当2x =时，(2)ln co 4s 20f π=->，故排除C ；故选B. 【点睛】本题考查根据函数的解析式选择对应函数图象，考查数形结合思想的应用，求解时要充分利用函数的性质和特殊点寻找解题的突破口.7．如图所示，半径为1的圆O 是正方形MNPQ 的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ 内，用A 表示事件“豆子落在圆O 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OEF （阴影部分）内”，则()|P B A =（ ）A ．4π B ．14C ．16π D ．18【答案】B【解析】利用几何概型先求出()22124P A ππ⨯==，()22114216P AB ππ⨯⨯==，再由条件概率公式求出(|)P B A ．【详解】如图所示，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内，用A表示事件“豆子落在圆O内”，B表示事件“豆子落在扇形(OEF阴影部分)内”，则()22124P A ππ⨯==，()22114216P ABππ⨯⨯==，()()116(|)44P ABP B AP Aππ∴===．故选B．【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型、条件概率能等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．我国古代科学家祖冲之儿子祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”(“幂”是截面积，“势”是几何体的高)，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的三视图所表示的几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为( )A．12π-B．8π-C．122π-D．122π-【答案】A【解析】首项把三视图转换为几何体，得该几何体表示左边是一个棱长为2的正方体，右边是一个长为1，宽和高为2的长方体截去一个底面半径为1，高为2的半圆柱，进一步利用几何体的体积公式，即可求解，得到答案. 【详解】根据改定的几何体的三视图，可得该几何体表示左边是一个棱长为2的正方体，右边是一个长为1，宽和高为2的长方体截去一个底面半径为1，高为2的半圆柱， 所以几何体的体积为2122222112122V ππ=⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=-，故选A. 【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.9．设实数,x y 满足不等式组00152x y y x y x⎧⎪⎪⎨-⎪⎪-⎩………„，(2,1)是目标函数z ax y =-+取最大值的唯一最优解，则实数a 的取值范围是（ ）. A ．(0,1) B ．(0,1] C ．(,2)-∞- D ．(,2]-∞-【答案】C【解析】作出不等式组所对应的平面区域，分类讨论确定目标函数的最优解，即可得到答案． 【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OABC ）. 则(1,0),(2,1),(0,5)A B C由z y ax =-得y ax z =+，平移直线y ax z =+，则直线的截距最大时，z 也最大， 当0a =时，y z =在C 处的截距最大，此时不满足条件.当0a >时，直线y ax z =+，在C 处的截距最大，此时不满足条件.当0a <时，直线y ax z =+，要使(2,1)是目标函数z y ax =-取最大值的唯一最优解， 则y ax z =+在B 处的截距最大，此时目标函数的斜率a 须小于直线BC 的斜率2-，即2a <-. 故选：C ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题． 10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2(1)n n S a n n=+-()*n N ∈，则数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和是（ ） A ．922B ．611C ．12D ．511【答案】D【解析】根据公式2n ≥时，1n n n S S a --= ，化简为14n n a a --=，说明数列{}n a 是等差数列，代入等差数列求和，得到1111132(1)21n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭，利用裂项相消法求和. 【详解】 由2(1)n n S a n n=+-()*n N ∈得2(1)n n S na n n =--.则当2n ≥时， 11(1)4(1)n n n n n a S S na n a n --=-=----，整理得14n n a a --=，所以{}n a 是公差为4的等差数列，又11a =，所以43n a n =-*()n N ∈，从而()2133222(1)2n n n a a S n n n n n n ++=+=+=+， 所以1111132(1)21n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭，设故数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和10T ,101111111151...12223101121111T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和10511T =.故选：D 【点睛】本题考查数列n a 和n S 的关系求通项公式，以及裂项相消法求和，重点考查转化与变形，计算能力，属于中档题型. 11．函数()2log ,0,2,0,xx x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x fx f x =-+的零点个数是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．6【答案】A【解析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数． 【详解】 函数()()()2384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点即方程()23f x =和()2f x =的根， 函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2384g x f x f x =-+有5个零点,故选：A.【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．12．已知圆()(221:31C x y -+-=和焦点为F 的抛物线221:8,C y x N C =是上一点，M 是2C 上，当点M 在1M 时，MF MN +取得最小值，当点M 在2M 时，MF MN -取得最大值，则12M M =A． B．C．D【答案】D【解析】根据抛物线的定义和三角形中两边之差小于第三边转化111MF MN C D +-…，当且仅当1,,M C D 三点共线，且点N 在线段1MC 上时等号成立，求得点1M 的坐标，再根据三角形中两边之差小于第三边转化11MF MN FC ≤+-，当且仅当M 为线段1FC 的延长线与抛物线的交点，且点N 在线段1MC 上时等号成立，求得2M 的坐标，从而求出12M M ，得解. 【详解】由已知得：(()13,,2,0C F ，记2C 的准线为l ,如图,过点M 作l 的垂线,垂足为D ,过点1C 作l 的垂线，垂中为1D ，则111||||||||||11MF MN MD MN MD MC C D +=++--厖,当且仅当1,,M C D 三点共线，且点N 在线段1MC 上时等号成立，此时MF MN +取得最小值，则点1M的坐标为(，()111||||||1||11MF MN MF MC MF MC FC ---=-+≤+„,当且仅当M 为线段1FC 的延长线与抛物线的交点，且点N 在线段1MC 上时等号成立，此时MF MN -取得最大值，又直线1FC的方程为2)y x =-，由22)8y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，解得1x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，或442x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以2M 的坐标为(4,42)， 所以2212(41)(4222)17M M =-+-=,故选：D .【点睛】本题关键在于根据抛物线的定义和三角形中两边之差小于第三边将所求的线段的和或差转化，进而得到取得最值的位置，属于中档题.二、填空题13．“关注夕阳、爱老敬老”—某马拉松协会从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金.下表记录了第x 年（2013年是第一年）与捐赠的现金y （万元）的对应数据，由此表中的数据得到了y 关于x 的线性回归方程ˆ0.35y mx =+，则预测2019年捐赠的现金大约是______万元.x3 4 5 6 y2.5344.5【答案】5.25【解析】首先根据数据求样本中心点(),x y ，代入求m ，当7x =时，求2019年捐赠的现金. 【详解】由已知得样本点的中心点的坐标为(4.5,3.5)，代入ˆ0.35ymx =+，得3.5 4.50.35m =+，即0.7m =，所以ˆ0.70.35yx =+，取7x =， 得ˆ0.770.35 5.25y=⨯+=，预测2019年捐赠的现金大约是5.25万元. 故答案为：5.25 【点睛】本题考查回归直线方程的求解和应用，属于基础题型.14．某年级有1000名学生，一次数学测试成绩()2105,10X N :，()951050.34P X ≤≤=，则该年级学生数学成绩在115分以上的人数大约为______.【答案】160【解析】根据考试的成绩X 服从正态分布(105N ，210)．得到考试的成绩X 关于105X =对称，根据(95105)0.34P X =剟，得到1(115)(10.68)0.162P X =-=…，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数． 【详解】Q 考试的成绩X 服从正态分布(105N ，210)．∴考试的成绩X 关于105X =对称，(95105)0.34P X =Q 剟， 1(115)(10.68)0.162P X ∴=-=…，∴该班数学成绩在115分以上的人数为0.161000160⨯=故答案为：160． 【点睛】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩X 关于105X =对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解． 15．已知()4121x a x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中含3x 的项的系数为5，则a =_________． 【答案】2【解析】首先原式展开为()()()44412111x x x a x x⋅-+⋅-+-，然后分别求每一项中含有3x 的系数，最后求a . 【详解】由题意知原式展开为()()()44412111x x x a x x⋅-+⋅-+-，所以412(1)x a x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中含3x 的项为224334412C ()()C ()x x x a x x ⋅-+-+-， 即3(134)a x -，由已知条件知1345a -=，解得2a = . 【点睛】本题考查了二项式定理的综合问题，意在考查二项式定理指定项的求法，属于基础题. 16．三棱锥P ABC -中，点P 到A 、B 、C 三点的距离均为8，PA PB ⊥，PA PC ⊥，过点P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，此时cos PAO ∠=，则三棱锥P ABC -外接球的体积为______.【答案】【解析】先证明出PA ⊥平面PBC ，根据cos PAO ∠=计算出AD 、BD ，并证明出点D 为BC 的中点，可得出BC ，利用勾股定理可证明出PB PC ⊥，然后构造正方体模型可求出三棱锥P ABC -外接球的半径长，最后利用球体体积公式可计算出结果. 【详解】因为PA PB ⊥，PA PC ⊥，PB PC P ⋂=,故PA ⊥平面PBC ，因为8PA PB PC ===，故AB AC ==cos3PA PAO AD ∠==Q ，AD ∴===BD ==PA ⊥Q 平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，BC PA ∴⊥.PO ⊥Q 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，BC PO ∴⊥.PA PO P =Q I ，BC ∴⊥平面PAO ，PD ⊂Q 平面PAO ，PD BC ∴⊥，8PB PC ==Q ，D ∴为BC 的中点，2BC BD ∴==222PB PC BC ∴+=.故PC PB ⊥，构造正方体模型可知，四面体P ABC -的外接球半径2R ==，因此，三棱锥P ABC -外接球的体积为(343V π=⨯=.故答案为：2563π.【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积的计算，解题的关键在于推导出线面垂直关系，并结合几何体的结构找出合适的模型计算出外接球的半径，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题17．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3m a sinA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，，()n cosC c =r ，，b m n =⋅r r．（1）求角A 的大小；（2）若a =3，求△ABC 的周长L 的取值范围． 【答案】（1）3A π=（2）L ∈（6，9]【解析】（1）由条件b m n =⋅r r可得3b acosC =，再结合正弦定理及三个角之间的关系可得3tanA =A ；（2）利用余弦定理再结合基本不等式，求得3＜b+c≤6，即可得到周长L 的范围． 【详解】（1）由题意33m a sinA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，，()n cosC c =r ，，b m n =⋅r r． 所以33b acosC =+， 由正弦定理，可得33sinB sinAcosC sinCsinA =+， 因为()B A C π=-+，所以sinB=sin （A +C ）=sinAcosC+cosAsinC ，又由(0,)C π∈，则sin 0C >， 整理得3tanA =，又因为(0,)A π∈，所以3A π=．（2）由（1）和余弦定理2222cos a b c bc A =+-，即2222232cos3b c bc b c bc π=+-=+-，即229b c bc +-=，整理得2()39b c bc +-=，又由2()2b c bc +≤（当且仅当b=c=3时等号成立） 从而22219()3()()24b c b c b c +≥+-=+，可得b+c ≤6， 又b+c ＞a=3，∴3＜b+c ≤6，从而周长L ∈（6，9]. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和的应用，以及基本不等式求最值的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18．如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PB BC ⊥，PD CD ⊥，且PA AB =，E 为PD 中点．(1)求证：PA ⊥平面ABCD ； (2)求二面角A BE C --的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 10. 【解析】（1）推导出BC AB ⊥，BC PB ⊥，从而BC ⊥平面PAB ，进而BC PA ⊥．求出CD PA ⊥，由此能证明PA ⊥平面ABCD ．（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A BE C --的正弦值．【详解】（1）∵底面ABCD 为正方形， ∴BC AB ⊥，又BC PB ⊥，AB PB B ⋂=， ∴BC ⊥平面PAB ， ∴BC PA ⊥.同理CD PA ⊥，BC CD C ⋂=， ∴PA ⊥平面ABCD .（2）建立如图的空间直角坐标系A xyz -，不妨设正方形的边长为2.则 (0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(0,1,1)E ，(2,0,0)B设(;,)m x y z =r为平面ABE 的一个法向量，又(0,1,1)AE =u u u r ，(2,0,0)AB =u u u r ，020m AE y z m AB x ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩u u u v v u u uv v ，令1y =-，1z =，得(0,1,1)m =-r 同理(1,0,2)n =r 是平面BCE 的一个法向量， 则10cos ,||||25m n m n m n ⋅<>===⨯r rr rr r . ∴二面角A BE C --的余弦值为10-.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．19．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在坐标原点O ，其右焦点为()1,0F ，且点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上．()1求椭圆C 的方程；()2设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线MF交椭圆C 于另一点N ，直线MB 交直线4x =于Q 点，求证：A ，N ，Q 三点在同一条直线上．【答案】（1）22143x y += （2）见解析【解析】（1）设椭圆的方程为22221x y a b +=，由题意可得2222211914c a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解方程组即可.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为1x my =+，由方程组221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得()2234690m y my ++-=，根据韦达定理求出点Q 的坐标，根据向量即可求出//AN AQ u u u r u u u r ，且向量AN u u u r 和AQ uuur 有公共点A ，即可证明．【详解】（1）不妨设椭圆的方程为22221x y a b+=，(0)a b >>.由题意可得2222211914c a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =，故椭圆的方程22143x y +=.（1）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线MN 的方程为1x my =+，由方程组221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得22(34)690m y my ++-=223636(34)0m m ∆=++>Q122634m y y m ∴+=-+，122934y y m =-+， Q 直线BM 的方程可表示为11(2)2y y x x =--， 将此方程与直线4x =成立，可求得点Q 的坐标为112(4,)2y x -， 22(2,)AN x y ∴=+u u u r ，112(6,)2y AQ x =-u u u r ， ()()()211212211622226222y x y x y y x x x --+-+=--Q ()()()2112161221212y my y my my ⎡⎤⎡⎤+--++⎣⎦⎣⎦=+-()22121211964()6()463434011mm my y y y m m my my ----+++===--，//AN AQ ∴u u u r u u u r ，Q 向量AN u u u r 和AQ uuur 有公共点A ，A ∴，N ，Q 三点在同一条直线上．【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，向量问题等基础知识，考查了运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想，应用意识，是中档题．20．在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶甲、乙两村各50户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况.子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查.并把调查结果转化为各户的贫困指标x .将指标x 按照[)0,0.2，[)0.2,0.4，[)0.4,0.6，[)0.6,0.8，[]0.8,1.0分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若00.6x ≤<，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”，且当0.8 1.0x ≤≤时，认定该户为“低收入户”；当00.2x ≤<时，认定该户为“亟待帮助户".已知此次调查中甲村的“绝对贫困户”占甲村贫困户的24%.（1）完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为绝对贫困户数与村落有关：甲村 乙村 总计 绝对贫困户 相对贫困户 总计（2）某干部决定在这两村贫困指标处于[)00.4,的贫困户中，随机选取3户进行帮扶，用X 表示所选3户中“亟待帮助户”的户数，求X 的分布列和数学期望EX .附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0k2.0722.7063.8415.024【答案】（1）列联表见解析，没有90%的把握认为绝对贫困户数与村落有关（2）详见解析【解析】（1）根据频率分布直方图，通过计算，完成列联表，同时根据公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，计算出2K 的值，对照表格得出结果. （2）求出X 分别为0，1，2，3时的概率，求出X 的分布列，进而可求出数学期望EX . 【详解】解：（1）由题意可知，甲村中“绝对贫困户”有500.2412⨯=（户），甲、乙两村的绝对贫困户有()0.250.500.750.210030++⨯⨯=（户），可得出如下列联表：()221001232183812 2.706307050507K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯.故没有90%的把握认为绝对贫困户数与村落有关.（2）贫困指标在[)00.4,的贫困户共有()0.250.50.210015+⨯⨯=（户），“亟待帮助户”共有0. 250.21005⨯⨯=（户）， 依题意X 的可能值为0，1，2，3，()31031524091C P X C ====，()2110531545191C C P X C ====， ()1210531520291C C P X C ====，()353152391C P X C ====， 则X 的分布列为故24452020123191919191EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查列联表的完善，独立性检验，以及分布列及数学期望，是中档题.21．已知函数()2ln 2f x x x ax x =-+，a ∈R ．（Ⅰ）若()f x 在()0,∞+内单调递减，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，证明：1212x x a+>． 【答案】（Ⅰ）e ,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭（Ⅱ）见证明【解析】（I ）先求得函数的导数，根据函数在()0,∞+上的单调性列不等式，分离常数a 后利用构造函数法求得a 的取值范围.（II ）将极值点12,x x 代入导函数列方程组，将所要证明的不等式转化为证明12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，利用构造函数法证得上述不等式成立. 【详解】（I ）()ln 24f x x ax +'=-． ∴()f x 在()0,∞+内单调递减，∴()ln 240f x x ax =+-≤在()0,∞+内恒成立，即ln 24x a x x ≥+在()0,∞+内恒成立． 令()ln 2x g x x x =+，则()21ln xg x x--'=， ∴当10e x <<时，()0g x '>，即()g x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭内为增函数； 当1x e >时，()0g x '<，即()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内为减函数． ∴()g x 的最大值为1g e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴e,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ， 则()ln 240f x x ax =+-='在()0,∞+内有两根1x ，2x ， 由（I ），知e 04a <<．由1122ln 240ln 240x ax x ax +-=⎧⎨+-=⎩，两式相减，得()1212ln ln 4x x a x x -=-． 不妨设120x x <<，∴要证明1212x x a +>，只需证明()()121212142ln ln x x a x x a x x +<--． 即证明()1212122ln ln x x x x x x ->-+，亦即证明12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+． 令函数． ∴22(1)'()0(1)x h x x x --=≤+，即函数()h x 在(]0,1内单调递减． ∴()0,1x ∈时，有()()10h x h >=，∴2(1)ln 1x x x ->+． 即不等式12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+成立． 综上，得1212x x a +>． 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数，考查利用导数研究函数极值点问题，考查利用导数证明不等式，考查利用构造函数法证明不等式，难度较大，属于难题. 22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t x y t x=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0απ<<），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()12cos28cos ρθθ-=．（1）判断直线l 与曲线C 的公共点的个数，并说明理由；（2）设直线l 与曲线C 交于不同的两点A B ，，点()11P -，，若1143PA PB -=，求tan α的值．【答案】（1）两个，理由见解析；（2）43. 【解析】（1）先将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得到一元二次方程，根据判别式，即可判断出结果； （2）先由（1）设方程()22sin 2sin 4cos 30t t ααα⋅-+⋅-=的两根为12t t ，，得到1222sin 4cos sin ααα++=t t ，12230sin α-⋅=<t t ，再由1143PA PB -=，得到121224sin 2cos 33αα+=+=⋅t t t t ，求解即可得出结果. 【详解】（1）由()1cos28cos ρθθ-=得2sin 4cos ρθθ=，所以22sin 4cos ρθρθ=，即24y x =，将直线l 的参数方程代入24y x =，得()()21sin 41cos t t αα-+=+， 即()22sin 2sin 4cos 30t t ααα⋅-+⋅-=，由0απ<<知2sin 0α>，()222sin 4cos 12sin 0ααα∆=++>，故直线l 与曲线C 有两个公共点；（2）由（1）可设方程()22sin2sin 4cos 30t t ααα⋅-+⋅-=的两根为12t t ，， 则1222sin 4cos sin ααα++=t t ，12230sin α-⋅=<t t ， 故12121124sin 2cos 33PA PB t t PA PB PA t t αα-+-===+=⋅， ∴22sin 4sin cos 4cos 4αααα++=，即24sin cos 3sin ααα=， ∴4tan 3α=. 【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及由参数的方法判断直线与曲线位置关系，熟记极坐标与直角坐标的互化公式，以及参数方法研究曲线的弦长等即可，属于常考题型.23．已知函数()1f x x a x =++-.（1）当2a =时，求不等式()8f x x ≥+的解集；（2）若关于x 的不等式()5f x x ≤-的解集包含[]0,2，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(][),37,x ∈-∞-+∞U （2）40a -≤≤【解析】（1）按21,21,x x x ≤-≥-<<进行分类，得到等价不等式组，分别解出解集，再取并集，得到答案；（2）将问题转化为()15f x x a x x =++-≤-在[]0,2x ∈时恒成立，按[]0,1x ∈和(]1,2x ∈分类讨论，分别得到不等式恒成立时对应的a 的范围，再取交集，得到答案.【详解】解：（1）当2a =时，()218f x x x x =++-≥+等价于 1218x x x ≥⎧⎨+≥+⎩或2138x x -≤<⎧⎨≥+⎩或2218x x x <-⎧⎨--≥+⎩， 解得7x ≥或x ∈∅或3x ≤-，所以不等式的解集为：(][),37,x ∈-∞-+∞U .（2）依题意即()15f x x a x x =++-≤-在[]0,2x ∈时恒成立，当[]0,1x ∈时，15x a x x ++-≤-，即4x a +≤，所以44a x a --≤≤-对[]0,1x ∈恒成立 ∴4014a a --≤⎧⎨≤-⎩，得43a -≤≤； 当(]1,2x ∈时，15x a x x ++-≤-， 即62x a x +≤-，6226x a x x ≤+≤-- 所以636a x x a-⎧≤⎪⎨⎪≤+⎩对任意(]1,2x ∈恒成立， ∴62326a a-⎧≤⎪⎨⎪≤+⎩，得04a a ≤⎧⎨≥-⎩∴40a -≤≤， 综上，40a -≤≤.【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，分类讨论研究不等式恒成立问题，属于中档题.。

2021届河南省中原名校高三上学期第二次质量考评（9月） 数学（理）试题 (考试时间：120分钟 试卷满分:150分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答題卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3。

考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合A= {*∈-N x x x ,0<72},则B={A y N yy ∈*∈,6|}的子集个数是 A.4 个 B.8 个 C.16 个 D.32 个2.某食品的广告词为:“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而它的实际效果却大着呢，原来这句话的等价命题是A.不拥有的人们不一定幸福B.不拥有的人们可能幸福C.拥有的人们不一定幸福D.不拥有的人们不幸福3.下列函数中，既是偶函数,又在区间（0, +∞)上单调递减的函数是A. 2x y =B. ||1ln x y =C. ||2x y = D. x y cos = 4.若函数⎩⎨⎧≤=0>,ln 0,2)(x x x x f x ，则))1((e f f (其中e 为自然对数的底数）= A. e 1 B. 21 C. -2 D. eln2 5.把函数x y 2=的图象向右平移t 个单位长度，所得图象对应的函数解析式为32xy =,则t 的值为 A. 21 B. log 23 C. log 32 D.3 6.“函数)2<<2(cos ln ππx x y -=的图象是7.若26cos cos ,22sin sin =+=+y x y x ，则)sin(y x +等于 A. 23 B. 22 C. 26 D.1 8.若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，1)41(=f ，当0<x 时，m x x f +-=)(log )(2，则实数m =A. -1B. OC.lD.2 9.已知16log ,17log ,171716171===c b a ,则a ，b ，c 的大小关系为 A.a>b>c B.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a10.定义在R 上的函数)(x f 的导函数为)('x f ,若对任意实数x ，有)(x f >)('x f ，且2019)(+x f 为奇函数，则不等式0<2019)(x e x f =的解集为A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(e 1,∞-) D. ),1(+∞e11.已知函数)32sin()(π-=x x f ，若方程31)(=x f 在（0, π）的解为 )<(,2121x x x x ，则=)-sin(21x xA. 332-B. 23-C. 21-D. 31- 12.已知R b a ∈,，函数⎪⎩⎪⎨⎧≥++-=0,)1(21310<,)(23x ax x a x x x x f ，若函数b ax x f y --=)(恰有三个零点，则A. a < -l ，b<0B. a< -1,b>0C. a> -1,b<0D. a>-l ，b>0二、填空题（本大翠共4小题,每小题5分，共20分）13.若函数)3)(()(+-=x a x x f 为偶函数,则=)2(f .14.=-⎰dx x x π0)cos (sin .15已知函数)1(2lg 2+--=a x x a y 的定义域为集合A ，若A ∈4,则实数a 的取值集合是 16.己知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+-∈+-∈+-∈+=),)(232,22[),2sin(),)(22,22[),2sin(z k k k x x z k k k x x y ππππππππππ的图象与直线)0>)(2(m x m y +=恰有四个公共),(),,(),,(),,(44132111y x D y x C y x B y x A ，其中4321<,<<x x x x ，则=+44tan )2(x x .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本题满分10分）已知函数)44)(23c x x x x f ++-=有三个不同零点，求c 的取值范围.18.(本题满分12分）设函数R x x x f ∈=,sin )(.(1)已知]2,0[πθ∈,函数)(θ+x f 是偶函数，求θ的值; (2)求函数22)]4([)]12([ππ+++=x f x f y 的值域. 19.(本题满分12分）已知:p m <a +1 <m 2 +2； q:函数a x x f -=2log )(在区间（41,4)上有零点. (1)若m= 1，求使q p ∧⌝)(为真命题时实数a 的取值范围；(2)若p 是q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.20.(本题满分12分〉设函数)44)(23c x x x x f ++-=，且函数)(x f 的图象关于直线1=x 对称.(1)求函数)(x f 在区间[0,4]上的最小值； (2)设xx f x h )()(=，不等式02)2(≥⋅-x x k h 在∈x [-l,l]上恒成立，求实数的取值范围. 21.(本题满分12分）—片森林原来面积为计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的41，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(2)今后最多还能砍伐多少年？22.(本题满分12分）已知函数)1(ln )(+-=x a x x f ,(其中R a ∈)在点（)1(,1f )处的切线与x 轴平行.(1)求)(x f 的单调区间；(2)若存在1 >0x ，当),1(0x x ∈时，恒有)1(>2122)(2-++-x k x x x f ，求k 的取值范围.。

中原名校2021－2022学年上期第一次联考高三数学(理)试题(考试时间：120分钟试卷满分：150分)注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合M＝{x|x2－2x－15>0}，P＝{x|y＝log3(1－x)}，则(∁R M)∩P＝A.(－∞，－3)B.(0，5]C.[－3，1)D.[－3，1]2.下列函数中是奇函数，且在区间(0，＋∞)上为减函数的是A.y＝13x B.y＝1x－x C.y＝log2|x| D.y＝2x＋2－x3.已知m∈R，则“幂函数f(x)＝x n＋1在(0，＋∞)上为增函数”是“指数函数g(x)＝(2m－1)x 为增函数”的A.充分不必要条件B，必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知α∈(0，π)，tanα＝－125，则co sα＝A.－513B.513C.－1213D.12135.已知锐角三角形的三边长分别为2，5，m，则实数m的取值范围是A.(3，7) ) 7) D.(3)6.已知函数f(x)＝2x2＋alnx的图象在点(1，2)处的切线过点(0，－5)，则实数a的值为A.3B.－3C.2D.－27.函数f(x)＝|tan(2x －3π)|的最小正周期是 A.2π B.π C.4π D.2π 8.已知函数f(x)＝x 22a x 2log x x 2⎧-<⎨≥⎩，，，若f(x)存在最小值，则实数a 的取值范围是A.(－∞，2]B.[－1，＋∞)C.(－∞，－1)D.(－∞，－1]9.如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物AB 的高度；在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距10米的C ，D 两个观测点，并在C ，D 两点处分别测得塔顶的仰角分别为45°和60°，且∠BDC ＝60°，则此建筑物的高度为3 3米 C.10米 D.5米10.已知函数f(x)＝2cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<2π)，其图象两相邻对称中心之间的距离为2π，若对任意的x ∈(3π，712π)，f(x)<－1，则φ的取值范围是 A.(12π，3π) B.[6π，2π] C.[0，6π] D.[6π，3π] 11.已知x ＝2ln3π，y ＝3ln2π，z ＝2ln π3，则x ，y ，z 的大小关系为A.x>z>yB.x>y>zC.y>x>zD.z>x>y12.已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且满足f(x)＝2x 3x 0x 1x 2lnx x 1⎧-+≤<⎨-≥⎩，，，若关于x 的方程[f(x)]2＋(a －1)f(x)－a ＝0有10个不同的实数解，则实数a 的取值范围是A.(1，2)B.(－2，－1)∪{2ln2－2}C.(－2，2ln2－2)D.(－2，2ln2－2]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知函数f(x)＝()32x 3log 2x 5x 22x 2-⎧-+<⎪⎨≥⎪⎩，，，若{(x)＝2，则a ＝ 。

河南省中原名校联盟2020-2021学年高三上学期第一次质量考评数学（理科）试题一、单选题(★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 已知复数，则的共轭复数（）A．B．C．D．(★★★) 3. 已知，则（）A．B．C．D．(★★) 4. 的展开式中的系数为（）A．B．32C．64D．(★★) 5. 已知，，，则，，的大小关系正确的是（）A．B．C．D．(★★) 6. 已知实数，满足不等式组，则的最大值为（）A．20B．18C．12D．4(★★) 7. 已知双曲线 C的方程为，其离心率，则双曲线 C的上焦点 F 到其渐近线的距离为（）A．B．C．D．(★★★) 8. 函数在内的极小值为（）A．B．C．D．(★★★) 9. 已知函数，若为偶函数，且时，，若在上的值域为，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．(★★★) 10. 在古代，正四棱台也叫“方亭”，竖着切去“方亭”两个边角块，把它们合在一起是“刍甍”，图1是上底为 a，下底为 b的一个“方亭”，图2是由图1中的“方亭”得到的“刍甍”，已知“方亭”的体积为，“刍甍”的体积为，若（约等于0.618，被称为黄金分割比例，且恰好是方程的一个实根，台体的体积公式为，则（）A．B．C．D．(★★★) 11. 已知抛物线的焦点为 F，过 F的直线 l与 C交于两点（设点 A在第一象限），分别过作准线的垂线，垂足分别为，若为等边三角形，的面积为，四边形的面积为，则（）A．B．C．D．(★★★★) 12. 已知函数（为常数）满足，，若在上的最大值和最小值分别为，，则的值为（）A．或15B．或11C．或9D．5或二、填空题(★★) 13. 函数的图象在处的切线方程为__________．(★★) 14. 已知非零向量，满足，且，则向量与的夹角为__________．(★★★) 15. 已知的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，若，且的面积为，则的最小值为__________．(★★★) 16. 已知正三棱锥的底面边长为3，其外接球的球心在三棱锥的内部，且外接球的表面积为，若 D为 BC中点，则异面直线 PD与 AB所成角的余弦值为__________．三、解答题(★★★) 17. 已知数列是等比数列，若，且，，成等差数列．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和．(★★★) 18. 如图，为圆锥的顶点，为底面圆心，点，在底面圆周上，且，点，分别为，的中点．求证：；若圆锥的底面半径为，高为，求直线与平面所成的角的正弦值．(★★) 19. 在5月31日世界无烟日来临前夕，甲、乙两个单位随机抽取部分烟民进行调查，得到他们每月吸烟数量（单位：盒）的茎叶图如下所示．（1）若规定每月吸烟不超过10盒称为“初级烟民”’，否则称为“非初级烟民”．试根据所给的茎叶图，填写下列2×2列联表．并分析是否有95%的把握认为两个单位的烟民中的“初级烟民”所占比例有差别：初级烟民非初级烟民合计甲单位烟民数（单位：个）乙单位烟民数（单位：个）合计（2）设吸烟盒数的平均数为 ，方差为 ，若出现吸烟盒数不在 内的烟民，则需要对该烟民进行跟踪观察，根据所给数据分析在乙单位调査的烟民中，是否有需要跟踪观察的烟民．（参考数据：）附： ，其中 ．0.10.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828(★★★) 20. 如图，直线 与椭圆交于 M ， N 两点，与直线交于点 P ，且椭圆 E 的离心率为．（1）若点 M在第二象限，且的最小值为（其中 O为坐标原点），求椭圆 E的方程；（2）若椭圆 E的方程为（1）中所求方程，且，求的取值范围．(★★★★★) 21. 已知函数．（1）若的极小值为，求实数的值；（2）若，求证：．(★★) 22. 在直角坐标系中，曲线 C的参数方程为（为参数），以原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为．（1）求直线 l被曲线 C截得的弦长；（2）设点 P的直角坐标为，直线 l与曲线 C交于两点，求．(★★) 23. 已知函数的最小值为 m．（1）求 m的值；（2）若，且，求证：．。

河南省中原名校2021届高三第三次联考数学〔理〕试题〔时间120分钟，总分值1 50分〕本卷须知：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上，第I 卷〔客观题共60分〕一、选择题：本大题共1 2小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上．1．复数1012i i-= A ．-4+ 2iB ．4- 2iC ．2- 4iD ．2+4i 2．己知集合{|||2,},{|2,}A x x x R B x x x Z =≤∈=≤∈，那么A B =A ．〔0,2〕B ．[0,2]C ．{0,2}D ．{0,1,2}3．某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸〔单位：cm 〕。

可得这个几何体的体积是A ．313cmB ．323cmC ．343cmD ．383cm 4．执行右面的框图，假设输入的N 是6，那么输出p 的值是A ．1 20B ．720C ．1440D ．50405．用0，1，2，3，4排成无重复数字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，那么这样的五位数的个数是A ．36B ．32C ．24D ．206．假设110tan ,(,),tan 342ππααα+=∈则sin(2)4πα+的值为 A ．210- B ．210 C ．3210 D ．72107．假设第一象限内的点A 〔x ，y 〕，落在经过点〔6，-2〕且具有方向向量(3,2)a =-的直线l 上，那么3223log log y x -有A ．最大值32B ．最大值lC ．最小值32D ．最小值l8．己知实数x ，y 满足121,y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩如果目标函数z=x-y 的最小值为-1，那么实数m=A ．2B ．5C ．6D ．79．如以下列图为函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤的局部图像，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么f 〔-1〕=A ． 2B 3C 3D ．—210．如图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴、y 轴正半轴上移动，那么OB OC⋅的最大值是A ．2B ．12+C ．πD ．411．点M 〔-3，0〕，N 〔3，0〕，B 〔l ，0〕，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C相切的两直线相交于P ，那么P 点的轨迹方程为A ．221(1)8y x x -=> B ．221(1)8y x x -=<- C ．221(0)8y x x +=> D ．221(1)10y x x -=>12．函数()f x 的定义域为D ，假设满足：①()f x 在D 内是单调函数；②存在[,]22a b D ⊆，使得()f x 在[,]22a b 上的值域为[,]a b ，那么就称函数()y f x =为“优美函数〞，假设函数()log ()(0,1)x c f x c t c c =->≠是“优美函数〞，那么t 的取值范围为A ．〔0，1〕B ．1(0,)2C ．1(,)4-∞D ．〔0，14〕第二卷〔主观题，共90分〕本卷包括必考题和选考题两局部。

高三数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.集合{}2|,M y y x x R ==-∈，{}22|2,N x x y x R =+=∈，则M N ⋂=（ ） A ．()(){}1,1,1,1--- B ．{}1- C ．[]1,0- D．⎡⎤⎣⎦2.命题:p “0x R ∃∈，使得200310x x -+≥”，则命题p ⌝为（ ）A ．x R ∀∈，都有2310x x -+≤B ．x R ∀∈，都有2310x x -+<C ．0x R ∃∈，使得200310x x -+≤D ．0x R ∃∈，使得200310x x -+<3.已知函数()ln(1)xf x e x =++的图像在()()0,0f 处的切线与直线40x ny -+=垂直，则n 的值为（）A ．B ．C ．D ．4.已知向量()2,1a =，()1,3b =，则向量2a b -与a 的夹角为（ ） A ． B ． C. D ．5.在《张丘建算经》有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减.初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布几何？”（）A ．30尺B ．60尺 C.90尺 D ．120尺6.已知命题:p “()0,x ∀∈+∞，ln 43x x +≥”；命题:q “()00,x ∃∈+∞，001842x x +≤”.则下列命题为真命题的是（） A ．()p q ⌝∧ B ．p q ∧ C.()p q ∨⌝ D ．()()p q ⌝∧⌝ 7.已知函数()sin 0,02y x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（）A ．1,26π B ．1,6π C.1,3π D ．1,23π8.若等比数列{}n a 的前项和为n S ，且23S =，663S =，则5S =（） A ．33- B ．15 C.31 D ．33-或319.已知实数,x y 满足12724y x x x y ⎧≥⎪⎪≤⎨⎪-≥⎪⎩，则23z x y =-的最小值为（ ）A ．32-B ．16- C.10- D ．6-10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．)91π++．)928π+-C.)92π++．)918π++-11.定义在实数集R 上的函数()f x ，满足()()()22f x f x f x =-=-，当[]0,1x ∈时，()2x f x x =⋅.则函数()()lg g x f x x =-的零点个数为（）A ．99B ．100 C.198 D ．200 12.已知函数()f x 的定义域为R ,()'fx 为函数()f x 的导函数，当[)0,x ∈+∞时，()'2sin cos 0x x f x ->且x R ∀∈，()()cos 21f x f x x -++=.则下列说法一定正确的是（）A ．15324643f f ππ⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．15344643f f ππ⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.3134324f f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．1332443f f ππ⎛⎫⎛⎫-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()[](]213,3,030,3x x f x x ⎧-+∈-⎪=∈，则()33f x -=⎰ ． 14.如图，已知ABC ∆中，D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，连接AD ，E 为线段AD 的中点，若CE mAB nAC =+，则m n += ．15.已知三棱锥A BCD -中，AB CD ==，BC AD ==，AC BD ==则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为 ．16.已知定义在()0,+∞的函数()()41f x x x =-，若关于x 的方程()()()2320f x t f x t +-+-=有且只有3个不同的实数根，则实数t 的取值集合是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）如图，D 是ABC ∆内一点，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足2D B ∠=∠，1cos 3D ∠=-，2AD =，ACD ∆的面积是.（1）求线段AC 的长；（2）若BC =，求线段AB 的长.18. （本小题满分12分）在一次水下考古活动中，某一潜水员需潜水50米到水底进行考古作业.其用氧量包含一下三个方面：①下潜平均速度为x 米/分钟，每分钟用氧量为21100x 升；②水底作业时间范围是最少10分钟最多20分钟，每分钟用氧量为0.3升；③返回水面时，平均速度为12x 米/分钟，每分钟用氧量为0.32升.潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y 升. （1）如果水底作业时间是10分钟，将y 表示为x 的函数；（2）若[]6,10x ∈，水底作业时间为20分钟，求总用氧量y 的取值范围； （3）若潜水员携带氧气13.5升，请问潜水员最多在水下多少分钟（结果取整数）？ 19. （本小题满分12分）已知函数()2332cos 2sin cos 232f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像，求当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域.20. （本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足137a =，1341n n n a a a +=+，n N *∈. （1）求证：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，并且求出数列{}n a 的通项公式； （2）求数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .21. （本小题满分12分）已知正三棱柱'''ABC A B C -如图所示，其中G 是BC 的中点，,D E 分别在线段AG ，'AC上运动，使得//DE 平面''BCC B ，F 是'BB 上的一点，且''284CC BC B F ===. （1）求证：''C F B D ⊥；（2）求二面角'''A B C C --的余弦值； （3）求线段DE 的最小值.22. （本小题满分10分） 已知函数()21ln 2f x x m x =-. （1）求函数()f x 的极值；（2）若1m ≥，试讨论关于x 的方程()()21f x x m x =-+的解的个数，并说明理由.试卷答案一、选择题1-5:DBDCC 6-10:AADBD 11、12：BB1.【解析】由2y x =-，x R ∈得0y ≤，所以集合(],0M ∈-∞，由222x y +=，x R ∈得N ⎡=⎣，所以M N ⎡⎤⋂=⎣⎦，故选D .3.【解析】依题意得，()'11x f x e x =++，所以()'0112f =+=.显然0n ≠，直线40x ny -+=的斜率为1n ，所以121n⋅=-，解得2n =-，故选D . 4. 【解析】依题意得，()23,1a b -=-，所以向量2a b -与a 的夹角的余弦值为()2102a b a a b a-⋅==-2a b -与a 的夹角为45，故选C . 6. 【解析】取12x =，可知ln 43x x +<，故命题p 为假命题；当00x >时，001842x x +≥=，当且仅当014x =时等号成立，故名气q 为真命题.所以()p q ⌝∧为真命题，p q ∧、()p q ∨⌝、()()p q ⌝∧⌝为假命题，故选A .7.【解析】由图像知，224433T ππππω⎛⎫=+==⎪⎝⎭，解得12ω=.当23x π=时，1y =，所以12sin 123πϕ⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭，所以122,232k k Z ππϕπ⨯+=+∈，当0k =时，6πϕ=.故选A .9. 【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，观察可知，当直线23z x y =-过点(7,10)C 时，z 有最小值，最小值为16-.故选B .10. 【解析】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥和一个圆锥拼接而成，故()()221233489182S πππ⎫=⨯⨯⨯⨯-+⨯=++-⎪⎪⎭.故选D .11. 【解析】()f x 是偶函数图像关于直线1x =对称，周期是2，画图可得. 12. 【解析】令()()2sin F x x f x =-，则()()''sin 2F x x fx =-.因为当[)0,x ∈+∞时，()'2sin cos 0x x f x ->，即()'sin 2x f x >，所以()()''sin 20F x x f x =->，所以()()2sin F x x f x =-在[)0,x ∈+∞上单调递增.又x R ∀∈，()()cos 21f x f x x -++=，所以()()22sin f x f x x -+=，所以()()()()2222sin sin 2sin sin x f x x x f x x f x ⎡⎤---=-+=+-⎣⎦，故()()2sin F x x f x =-为奇函数，所以()()2sin F x x f x =-在R 上单调递增，所以5463F F ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即15344643f f ππ⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B . 二、填空题13.964π+14.12- 15.77π 16.{2,5- 13. 【解析】分部积分，第一部分公式法，第二部分几何意义 14. 【解析】依题意得，()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，故112115223336CE CA AE CA AD AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=+=-++=- ⎪⎝⎭，151362m n +=-=-.15. 【解析】因为该三棱锥的对棱两两相等，所以可构造长、宽、高分别是6,4,5的长方形，如图所示，三棱锥A BCD -的外接球即为所构造的长方体的外接球，所以所求外接球的半径R ==A BCD -的外接球的表面积为224477S R πππ==⋅=.16. 【解析】作出()f x 图像，研究关于y 的二次方程()2320y t y t +-+-=根的分步.设()()232g y y t y t =+-+-，当2t =时，0y =，1y =显然符合题意.2t <时，一正一负根，()()00,10g g <<，方程的根大于1，()()()2220fx t f x t +-+-=只有1根；2t >时，两根同号，只能有一个正根在区间()0,1，而()()02,1240g t g t =-=->，对称轴()30,12ty -=∈，13t <<，05t ∆=⇒=±5t =-.所以取值集合中两个实数值. 三、解答题17.（本小题满分10分）解：（1）由1cos 3D ∠=-,sin D ∠=1sin 2ACD S AD CD D ∆=⨯⨯∠= 6CD ∴=……3分在ACD ∆中由余弦定理2222cos 48AC AD CD AD CD D =+-⋅∠=AC ∴=……5分（2）由已知21cos cos 212sin 3D B B ==-=-sin B ∴∠= ……7分在ABC ∆中，AC BC =，由正弦定理()sin sin 2sin sin AB AB AB ACACB B D Bπ==∠=∠-∠=所以8AB =……10分（也可以用等腰三角形求线段AB 的一半） 18.（本小题满分12分） 解：（1）依题意下潜时间50x 分钟，返回时间100x分钟， 250100100.30.32100x y x x∴=⨯+⨯+⨯整理得()32302x y x x∴=++>……4分 （2）由（1）同理得[]()326146,102x y x x∴=++≥∈函数在[]6,8x ∈是减函数，[]8,10x ∈是增函数所以潜水员最多在水下18分钟. ……12分19.（本小题满分12分）解：依题意，()2332cos 2sin cos 232f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2111cos 22cos cos cos 2cos cos 222x x x x x x x x ⎛⎫=+-=++- ⎪ ⎪⎝⎭1cos 213cos 22cos 2222223x x x x x x π+⎛⎫=+-==+ ⎪⎝⎭. ……3分 （1）令()3222232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得()71212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 即函数()f x 的单调递减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.……6分（2）将函数()f x 的图像向右平移3π个单位长度，得到函数23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，()23g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象. ……9分因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()g x ∈即函数()g x 的值域为.……12分20.（本小题满分12分）解：（1）由137a =，13,41n n n a a n N a *+=∈+ 所以141114333n n n n a a a a ++==+……2分 即1111223n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭所以数列12na -是以13为首项，13为公比的等比数列111112333n nn a -⎛⎫⎛⎫∴-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……4分 所以数列{}n a 的通项公式为3,231nn na n N *=∈⨯+……6分 （2）23n n n nn a =+……7分 设231123133333n n n n n T --=+++++ 则234111231333333n n n n n T +-=+++++ 两式相减得231121111111333333233n n n n n n n T ++⎛⎫=++++-=--⎪⎝⎭ 所以332443n nnT +=-⨯……10分 又22462n n n ++++=+所以2323434n n n S n n +=-+++⨯（或写成其它等价形式）……12分 21.（本小题满分12分）解：（1）如图，连接'B G ，因为G 是BC 的中点，所以AG GC ⊥，所以AG ⊥平面''BB C C .因为'C F ⊂平面''BB C C ，所以'AG C F ⊥. ……2分因为'''C B B GBB ∠=∠，且''''14B F BG BC B B ==，所以'''C B FB BG ∆∆，所以''B GC F ⊥.因为'AG B G G ⋂=，所以'C F ⊥平面'AB G .因为'B D ⊂平面'AB G ，所以''C F B D ⊥. ……4分（2）如图，以G 为坐标原点，GB 、GA 所在直线分别为x 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则，()0,0,0G ，()1,0,0B ，()'1,4,0B，('0,A ，()1,0,0C -,(A .所以(''B A =-，()'2,4,0B C =--. 设平面''A B C 的法向量为(),,m x y z =，则'''00m B A m B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0240x x y ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩，令2z =，得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则平面''A B C的一个法向量为()2. ……6分又平面''B CC 的一个法向量为()0,0,1n =， 所以所求二面角的余弦值为219cos ,m nm n m n ⋅==……8分 （3）由题意，可设()(0,0,0D k k ≤≤，()'01CE CA λλ=≤≤，由('1,CA =，得(),4CE λλ=，又()1,0,0C -，所以()1,4E λλ-，所以()1,4DE k λλ=--.易知(GA =为平面''BCC B 的一个法向量.因为//DE 平面''BCC B ，所以0DE GA ⋅=k =，所以(DE λ==，……11分 又因为221161721171717λλλ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以当117λ=时，线段DE . ……12分22.（本小题满分12分）解：（1）依题意得，()2'm x m f x x x x -=-=，()0,x ∈+∞， 当0m ≤时，()'0f x >，故函数()f x 在()0,+∞上单调递增，()f x 无极值；……2分当0m >时，()'fx =， 令()'0fx >，得0x <<()f x 单调递减， 令()'0f x >，得x >，函数()f x 单调递增，故函数()f x有极小值()1ln 22mm f m m =-=-. ……5分 综上所述，当0m ≤时，函数()f x 无极值；当0m >时，函数()f x 有极小值()1ln 2m m -，无极大值.（2）令()()()()22111ln 2F x f x x m x x m x m x =-++=-++-，0x >，问题等价于求()F x 函数的零点个数. ……7分易得()()()'11x x m m F x x m x x --=-++-=-. ①若1m =，则()'0Fx ≤，函数()F x 为减函数， 注意到()3102F =>，()4ln 40F =-<，所以()F x 有唯一零点；……9分 ②若1m >，则当01x <<或x m >时，()'0F x <，当1x m <<时，()'0F x >，所以函数()F x 在()0,1和(),m +∞上单调递减，在()1,m 上单调递增，注意到()1102F m =+>，()22ln(22)0F m m m +=-+<，所以()F x 有唯一零点. ……11分综上，若1m ≥，函数()F x 有唯一零点，即方程()()21f x x m x =-+有唯一解. ……12分。

2021年高三上学期期末统一考试数学理试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上.3、不可以使用计算器.4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为( )A．B．C．D．2．等差数列的前n项和为,若，则的值是( )A．130 B．65 C．70 D．753．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若△的三个内角满足，则△（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形5．直线的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．6．有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．7．若右边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为（ ） A ．n 5B ．n 6C ．n 7D ．n 88．如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法： ①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形的面积不改变； ③棱始终与水面平行； ④当时，是定值.其中所有正确的命题的序号是（ ） A ．①②③ B ．①③ C ．②④ D ．①③④第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分.) 9．在二项式的展开式中，含的项的系数是__________ 10．曲线、直线与轴所围成的图形面积为_________11．已知函数的导数处取得极大值，则的取值范围为__________12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积．．．等于 13．已知直线与圆相交于两点，且 则的值是14．如下图，对大于或等于2的自然数的次幂进行如下方式的“分裂”：仿此，的“分裂”中最大的数是 ； 的“分裂”中最大的数是 ；HGF ED1C1B1A1DCBA 241357341315171944616365672213323542792313533791143252729三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分12分）函数的部分图象如下图所示，该图象与轴交于点，与轴交于点，为最高点，且三角形的面积为． （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）若，求的值．16．（本小题满分12分）已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根,数列的前n 项的和为，且 (). （1） 求数列，的通项公式； （2） 记,求证：.17．（本小题满分14分） 如图，三棱柱中，平面,、分别为、的中点，点在棱上，且.（Ⅰ）求证：平面;（Ⅱ）在棱上是否存在一个点，使得平面将三棱柱分割成的两部分体积之比为115，若存在， 指出点的位置；若不存在，说明理由.18．（本小题满分14分）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下月份 1 2 3 4 5 （万盒）44566（Ⅰ）该同学为了求出关于的线性回归方程，根据表中数据已经正确计算出，试求出的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；（Ⅱ）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为，求的分布列和数学期望．19．(本小题满分14分) 已知函数，其中实数是常数． （Ⅰ）已知，，求事件：“”发生的概率；（Ⅱ）若是上的奇函数，是在区间上的最小值，求当时的解析式；（Ⅲ）记的导函数为，则当时，对任意，总存在使得，求实数的取值范围．20．(本小题满分14分) 已知函数，.（Ⅰ）若函数在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围； （Ⅱ）若函数的图象在处的切线的斜率为，且 ，已知，求证：；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试比较与的大小，并说明你的理由.中山市高三级xx 学年度第一学期期末统一考试DEC1A 1B 1Ax数学试卷（理科）答案一、选择题二、填空题9．160； 10．； 11．； 12．； 13．；14．11（本空2分）；（为奇数）的“分拆”的最大数是，所以（本空3分，写成“”或“”都给3分） 三、解答题15．（本小题满分12分） 解：（I ）∵， ∴周期 ……….2分 由，得， ……………………………………3分 ∵，∴，∴． …………………………………………….6分 （Ⅱ）由，得， ∵， ∴，∴234cos22cos 1,sin 22sin cos 55ααααα=-===，∴． …………………….12分16．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵是方程的两根，且数列的公差，∴，公差 ∴ ( ) ………………4分 又当n=1时，有b 1=S 1=1－当).2(31),(21,2111≥=∴-=-=≥---n b b b b S S b n n n n n n n n 有时 ∴数列{b n }是等比数列， ∴ ( ) …………8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 …………10分∴.03)1(83)12(23)12(2111≤-=--+=-+++n n n n n n n n c c ∴…………………………12分17．（本小题满分14分）A 11A（I ）证明：取的中点M ，为的中点， 又为的中点，在三棱柱中，分别为的中点， ,为平行四边形，平面，平面 平面…………………….7分（II ）设上存在一点,使得平面EFG 将三棱柱分割成两部分的体积之比为1︰15，则， ，所以符合要求的点不存在 ……………………….14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）11(12345)3,(44566)555x y =++++==++++=，因线性回归方程过点，∴，∴6月份的生产甲胶囊的产量数：…………….6分（Ⅱ）31254533991054010(0),(1),84428421C C C P P C C ξξ======== 213454339930541(2),(3).84148421C C C P P C C ξξ======== …………………….10分…………………….14分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当时，等可能发生的基本事件共有9个：(00)(01)(02),(10)(11)(12)(20)(21)(22).，，，，，，，，，，，，，，，，其中事件： “”，包含6个基本事件：故． 即事件“”发生的概率 …………………….4分（Ⅱ）是上的奇函数，得（5分） ∴ ,① 当时，因为，所以，在区间上单调递减，从而； ② 当时，因为，所以，在区间上单调递增，从而, 综上，知…………………….9分（Ⅲ）当时，当()()()()02,1,01,0>'∈<'∈x f x x f x 时当时 ，即 又， 而，对任意，总存在使得且，解得.…………………….14分 20．(本小题满分14分) 解（Ⅰ），， .要使函数在其定义域内为单调函数，则在定义域内， ① 当时，在定义域内恒成立，此时函数在其定义内为单调递减函数，满足题意； ②当时，要使222111()()0a f x a a a x x x a a'=+-=-+-≥恒成立，则，解得；此时函数在其定义内为单调递增函数，满足题意；③ 当时，恒成立；此时函数在其定义内为单调递减函数，满足题意； 综上所述，实数的取值范围是；…………………….4分（注: 本问也可采用“分离变量”的方法，酌情给分） （Ⅱ）由题意知，可得，解得，所以 于是/2211()1211n n n n a f n a na a n +=-+=-+-+，下面用数学归纳法证明成立，数学归纳法证明如下：（i ）当时，，不等式成立；（ii ）假设当时，不等式成立，即成立，则当时，1(2)1(22)21452(1)2k k k a a a k k k k +=-+≥+⨯+=+>++， 所以当时，不等式也成立， 由（i ）（ii ）知时都有成立. …………………….8分（Ⅲ） 由（Ⅱ）得1111(22)1[2(1)222]121n n n n n a a a n a n n a ----=-++≥-+-++=+，（）于是， （）成立， 所以，，成立累乘可得：，则成立，（） 所以2111111212(1...)(1)1222525n n a -≤++++=-<+.40195 9D03 鴃2~34752 87C0 蟀37878 93F6 鏶s33413 8285 芅20271 4F2F 伯dV•32242 7DF2 緲`27246 6A6E 橮23228 5ABC 媼。

2021届河南省中原名校高三上学期第四次质量考评数学（理）试题一、单选题1．己知复数z 满足：21zi i =+，其中i 是虚数单位，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i -D ．1i +【答案】B【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念求解． 【详解】 由zi 2＝1+i ，得z 211ii i +==--， ∴1z i =-+． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．已知集合A ＝{x ∈R |22122x x-＜＜8}，B ＝{y |y =，则A ∩B ＝（ ）A ．()()1,11,3-B ．()1,3-C ．[)0,3D ．03)1[)(1⋃，， 【答案】D【解析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】 由221282x x -<<，得2123222x x --<<，即2123x x -<-<. 由212x x -<-，得1x ≠； 由223x x -<，得13x -<<.A ＝{x |﹣1＜x 2﹣2x ＜3}＝{x |﹣1＜x ＜3且x ≠1}，B ＝{y |y ≥0}，∴A ∩B ＝[0，1）∪（1，3）． 故选：D ． 【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．3．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，p ：m ⊥n ，若p 是q 的必要条件，则q 可能是（ ） A ．q ：m ⊥α，n ∥β，α⊥β B ．q ：m ⊥α，n ⊥β，α∥β C ．q ：m ⊂α、n ⊥β，α∥β D ．q ：m ⊂α，n ∥β，α⊥β【答案】C【解析】由题意知，若p 是q 的必要条件，则只需q ⇒p 即可；分别判断四个选项中是否满足q 能推出p ，即可得出结论． 【详解】若p 是q 的必要条件，则只需q ⇒p 即可；对于选项A ，m 、n 的位置关系是平行或异面，q 不能推出p ，所以A 错误； 对于选项B ，结论为m ∥n ，则q 不能推出p ，所以B 错误； 对于选项C ，若n ⊥β，α∥β，则n ⊥α； 又m ⊂α，所以m ⊥n ，即q ⇒p ，所以C 正确；对于D ，m 、n 的位置关系是平行或异面或相交，则q 不能推出p ，所以D 错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查了空间中的线面位置关系应用问题，也考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题．4．设函数f （x ）在（﹣∞，+∞）内的导函数为f '（x ），若()1x f lnx x+=，则()()0'0f f =（ ） A ．2 B ．﹣2C ．1D ．1e +【答案】B【解析】可令lnx ＝t ，从而得出x ＝e t ，代入原函数即可求出()11tf t e =+，求导函数，即可求出f （0），f ′（0）的值，从而得出()()0'0f f 的值．【详解】令lnx ＝t ，则x ＝e t，代入()1x f lnx x +=得，()111t t te f t e e +==+， ∴()1't f t e=-， ∴()()0112'01f f +==--．故选：B ． 【点睛】本题考查了换元法求函数解析式的方法，对数式和指数式的互化，基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．5．己知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x >0时，24()4x x ef x e =+，则当x <0时，()f x 的最小值为A ．-1B ．-2C ．2D ．1【答案】A【解析】根据函数奇偶性的性质，要求函数当x ＜0时，f （x ）的最小值，可以转化为求函数在x ＞0的最大值，结合最值关系进行求解即可． 【详解】当x ＞0时，()2444444x x x x e f x e e e ==≤==++1， 当且仅当e x 4x e=，即e x ＝2，x ＝ln 2时取等号， 即当x ＞0时，函数f （x ）的最大值为1， ∵函数f （x ）为奇函数， ∴函数关于原点对称，则当x ＜0时，f （x ）的最小值﹣1， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查函数最值的求解，结合函数奇偶性的性质和对应关系是解决本题的关键．难度不大．6．己知{a n }是等差数列，其前n 项和S n ＝n 2﹣2n +b ﹣1，{b n }是等比数列，其前n 项和T n 32na =-，则数列{ b n +a n }的前5项和为（ ） A ．37 B ．-27C ．77D ．46【答案】C【解析】由等差数列的求和公式、等比数列的求和公式，结合数列的递推式，可得b ＝1，a ＝2，求得数列{a n }，{b n }的通项公式，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和． 【详解】{a n }是等差数列，其前n 项和221n S n n b =-+-，由等差数列的求和公式可得b ﹣1＝0，即b ＝1， 即S n ＝n 2﹣2n ，a 1＝S 1＝﹣1，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝n 2﹣2n ﹣（n ﹣1）2+2（n ﹣1）＝2n ﹣3， 则a n ＝2n ﹣3，n ∈N ；{b n }是等比数列，其前n 项和32nn a T =-， 则2a-3＝﹣2，即a ＝2， 则b n +a n ＝n +2n ，数列{ b n +a n }的前5项和为（1+2+...+5）+（2+4+ (32)12=⨯5×6()521212-+=-77． 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的分组求和，以及化简运算能力，属于中档题．7．已知实数x ，y 满足约束条件010240y y x y x ≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则目标函数z ＝y +x 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可得到结果． 【详解】由题意，实数x ，y 满足约束条件010240y y x y x ≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩的可行域如图：目标函数z ＝y +x 经过可行域的C 时，取得最大值，此时10240x y x y --=⎧⎨--=⎩解得C （3，2），所以目标函数z ＝y +x 的最大值为：5， 故选：B ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 8．设函数()cos()1(3f x x πωω=+->0);将()f x 图象的所有点的横坐标向右平移3π个单位长 度，纵坐标不变，所得函数图象的一个对称中心为(,1)4π--，则ω的最小值为（ ） A ．27B ．107C ．127D ．227【答案】B【解析】由题意利用函数y ＝Acos （ωx +φ）+b 的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得ω的最小值． 【详解】∵函数f （x ）＝cos （ωx 3π+）﹣1（ω＞0），将f （x ）图象的所有点的横坐标向右平移3π个单位长度，纵坐标不变， 可得函数y ＝cos （ωx 33ωππ-+）﹣1的图象， 所得函数图象的一个对称中心为14π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， 则cos [ω⋅（4π-）33ωππ-+）]﹣1＝﹣1，∴cos [ω⋅（4π-）33ωππ-+]＝0，即ω⋅（4π-）33ωππ-+=kπ2π+， 即ω12277k =-，k ∈Z ，∴ω的最小值为107， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查函数y ＝Acos （ωx +φ）+b 的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．9．己知函数y ＝f （x ）在R 上单调递增，函数y ＝f （x +1）的图象关于点（﹣1，0）对称，f （﹣1）＝﹣2，则满足﹣2≤f （lgx ﹣1）≤2的x 的取值范围是（ ） A ．1[,10]10B ．1[,100]100C ．[1,100]D ．1[,1000]10【答案】C【解析】根据y ＝f （x +1）的图象关于点（﹣1，0）对称,即可得出f （x ）是奇函数，从而根据f （﹣1）＝﹣2得出f （1）＝2，从而根据﹣2≤f （lgx ﹣1）≤2得出f （﹣1）≤f （lgx ﹣1）≤f （1），再根据f （x ）在R 上单调递增即可得出﹣1≤lgx ﹣1≤1，解出x 的范围即可． 【详解】∵y ＝f （x +1）的图象关于点（﹣1，0）对称， ∴y ＝f （x ）的图象关于原点对称，∴函数f （x ）为奇函数，且f （﹣1）＝﹣2， ∴f （1）＝2，∴由﹣2≤f （lgx ﹣1）≤2得，f （﹣1）≤f （lgx ﹣1）≤f （1），且f （x ）在R 上单调递增， ∴﹣1≤lgx ﹣1≤1，即0≤lgx ≤2，解得1≤x ≤100， ∴x 的取值范围是[1，100]． 故选：C ． 【点睛】本题考查了奇函数的定义，奇函数图象的对称性，图象的平移，增函数的定义，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．10．己知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n +2＝a n +a n +1，若将a n +2＝a n +a n +1变形为a n +2﹣a n +1＝a n ，可得a 1+a 2+…+a n ＝（a 3﹣a 2）+（a 4﹣a 3）+（a 5﹣a 4）+…+（a n +2﹣a n +1）＝a n +2﹣a 2＝a n +2﹣2，类似地，可得a 12+a 22+a 32+…+a 20192＝（ ） A ．202020191a a - B ．202020191a a + C ．201920181a a - D ．202020191a a +【答案】A【解析】将a n +2＝a n +a n +1，变形为a n +2﹣a n ＝a n +1，所以两边同时乘以a n +1得：a n +2a n +1﹣a n +1a n ＝a n +12，从而求和． 【详解】由21n n n a a a ++=+得21n n n a a a ++-=，所以22111n n n n n a a a a a ++++-=.所以()()()222222123132214332202020192019201820202019121202020191n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++=+-+-++-=+-=-.故选：A ． 【点睛】本题主要考查类比推理，运用类比推理数列求和，是基础题．11．己知f （x ）＝|lnx |，k ∈（0，e ﹣1），则函数y ＝f （x ）﹣kx 的零点个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】问题转化为f （x ）与y ＝kx 的交点个数，根据图象，求出k 的范围，得出结论． 【详解】y ＝0，转化为f （x ）与y ＝kx 的交点个数，图象如下：当y ＝kx 与f （x ）＝|lnx |相切时，设切点为（m ，n ），m ＞1， f '（x ）1x =，得k 1m=， 又n ＝km ，n ＝lnm ，得lnm ＝1，m ＝e ， 所以k 1e =，故0＜k 1e＜时，有三个交点， 故选：D ． 【点睛】考查函数零点与函数交点的关系，求函数的切线方程，中档题．12．在三棱锥A -BCD 中，平面ABC 丄平面ADC , AD 丄AC ,AD =AC , 3ABC π∠=，若此三棱锥的外接球表面积为28π，则三棱锥A -BCD 体积的最大值为（ ） A ．7 B ．12 C ．6 D ．533【答案】C【解析】设三棱锥A ﹣BCD 外接球的半径为R ，三棱锥的外接球球心为O ，△ABC 的外心为O 1，△ABC 的外接圆半径为r ，取DC 的中点为O 2，过O 2作O 2E ⊥AC ，则OO 1⊥平面ABC，OO2⊥平面ADC，连结OA，O1A，则O1A＝r，设AD＝AC＝b，则OO1＝O2E12=b，由S＝4πR2＝28π，解得R7=，由正弦正理求出b3r=，若三棱锥A﹣BCD的体积最大，则只需△ABC的面积最大，由此能求出三棱锥A﹣BCD的体积的最大值．【详解】根据题意，设三棱锥A﹣BCD外接球的半径为R，三棱锥的外接球球心为O，△ABC的外心为O1，△ABC的外接圆半径为r，取DC的中点为O2，过O2作O2E⊥AC，则OO1⊥平面ABC，OO2⊥平面ADC，如图，连结OA，O1A，则O1A＝r，设AD＝AC＝b，则OO1＝O2E12=b，由S＝4πR2＝28π，解得R7=，在△ABC中，由正弦正理得2rACsin ABC=∠，∴2r3bsinπ=，解得b3r=，在Rt△OAO1中，7＝r2+（12b）2，解得r＝2，b＝23，∴AC＝23，若三棱锥A﹣BCD的体积最大，则只需△ABC的面积最大，∴1131222ABCS AB BC sin ABC=⋅⋅⋅∠≤⨯⨯=33，∴三棱锥A﹣BCD的体积的最大值：11332333D ABC ABCV S AD-=⋅⋅=⨯⨯=6．故选：C．【点睛】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题13．已知a =（4，﹣1），b =（2，t 2﹣1），若a b ⋅=5，则t ＝_________. 【答案】2±【解析】结合已知，直接利用向量数量积的坐标表示代入即可求解t ． 【详解】∵a =（4，﹣1），b =（2，t 2﹣1）， t 2＝4， 则t ＝±2． 故答案为：±2． 【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示的简单应用是，属于基础试题． 14．若sinα＝2cos （π+α），则2122sin sin αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________. 【答案】25-【解析】由已知求得tanα，再由同角三角函数基本关系式化弦为切求解． 【详解】由sinα＝2cos （π+α）＝﹣2cosα，得tanα＝﹣2．∴2122sin sin αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭sinαcosα2221sin cos tan sin cos tan αααααα==++ 222(2)15-==--+．故答案为：25-． 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式、倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．15．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，过点A 作平面A 1BC 1的垂线l ，则直线l 与直线CC 1所成角的余弦值为_________.【答案】3 【解析】连结DB 1，则DB 1⊥平面A 1BC 1，从而l ∥DB 1，直线l 与直线CC 1所成角为∠D 1DB ，由此能求出结果． 【详解】如图，连结DB 1，则DB 1⊥平面A 1BC 1， ∴l ∥DB 1，直线l 与直线CC 1所成角为11D DB ∠，连结B 1D 1，在Rt △D 1DB 1中，设DD 1＝a ，则DB 13a =， ∴cos ∠D 1DB 1333a==． 故答案为：3．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．己知函数f （x ）对x ∈R 均有f （x ）+2f （﹣x ）＝mx ﹣6，若f （x ）≥lnx 恒成立，则实数m 的取值范围是_________. 【答案】(,e]-∞-【解析】根据条件利用解方程组法求出f （x ）的解析式，然后由f （x ）≥lnx 恒成立，可得m 2lnx x +≤-恒成立，构造函数()2lnxg x x+=，求出g （x ）的最小值，可进一步求出m 的范围． 【详解】∵函数f （x ）对x ∈R 均有f （x ）+2f （﹣x ）＝mx ﹣6①， ∴将﹣x 换为x ，得f （﹣x ）+2f （x ）＝﹣mx ﹣6②， ∴由①②，解得f （x ）＝﹣mx ﹣2． ∵f （x ）≥lnx 恒成立，∴m 2lnxx+≤-恒成立， ∴只需m 2()min lnxx +≤-． 令()2lnx g x x +=-，则g '（x ）21lnx x +=，令g '（x ）＝0，则x 1e =，∴g （x ）在（0，1e ）上单调递减，在（1e ，+∞）上单调递增，∴1()min g x g e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴m ≤﹣e ，∴m 的取值范围为（﹣∞，﹣e ]． 故答案为：（﹣∞，﹣e ]． 【点睛】本题考查了利用解方程组法求函数的解析式和不等式恒成立问题，考查了函数思想和方程思想，属中档题．三、解答题17．已知ABC ∆的内角的对边分别为,,a b c ，若b =2270a ac c -+-=.（1）求B ;（2）若ABC ∆的周长为5,求ABC ∆的面积. 【答案】（1）3π（2 【解析】（1）由已知可得a 2+c 2﹣b 2＝ac ，由余弦定理可得cosB 12=，结合范围B ∈（0，π），可求B 的值．（2）由已知可求a +c ＝5，两边平方后可求ac 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）∵a 2﹣ac +c 2﹣7＝0，b 7=，∴a 2+c 2﹣b 2＝ac ，∴由余弦定理可得cosB 2221222a cb ac ac ac +-===，∵B ∈（0，π）， ∴B 3π=．（2）∵△ABC 的周长为57+，b 7=，∴a +b +c ＝57+，即a +c ＝5， ∴（a +c ）2＝a 2+c 2+2ac ＝25， 又∵a 2+c 2＝7+ac ， ∴ac ＝6， ∴S △ABC 12=acsinB 12=⨯6333⨯=， 所以ABC 的面积为33. 【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．18．如图，在四棱锥S -ABCD 中，四边形ABCD 菱形，0120ADC ∠=,平面SAD ⊥平面 ABCD ，32==丄，SA SD SA SD .E ，F 分别是线段 SC ，AB 上的一点,12SE AF EC FB ==.（1）求证：EF 平面SAD ;（2）求平面DEF 与平面SBC 所成锐二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）40【解析】（1）先证明平行四边形AGEF ，得到AG ∥EF ，再证明EF ∥平面SAD ； （2）以OA ，OB ，OS 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系如图，求出平面DEF 的法向量和平面SBC 的一个法向量，利用向量的夹角公式求出二面角的余弦值，从而求出平面DEF 与平面SBC 所成锐二面角的正弦值． 【详解】（1）过点E 作EG ∥DC ，如图，连接AG ，因为12SE EC =，所以13EG SE DC SC ==， 故EG ∥CD ，EG 13CD =，由12AF FB =，AF 13AB =， 因为菱形ABCD ，所以EG ∥AF ，EG ＝AF ， 故平行四边形AGEF ，所以AG ∥EF ，又EF ⊄平面SAD ，AG ⊂平面SAD ，所以//EF 平面SAD . （2）取AD 中点O ，等腰三角形SAD ，故SO ⊥AD ，连接OB ， 菱形ABCD ，∠ADC ＝120°，所以OB ⊥OA ， 又平面SAD ⊥平面ABCD 所以SO ⊥平面ABCD ，以OA ，OB ，OS 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系如图， 因为SA ＝SD ＝，所以AD ＝AB ＝CD ＝6，SO ＝3， ∠ADC ＝120°，所以AF ＝2，OB =，AO ＝OD ＝3， 所以A （3，0，0），D （﹣3，0，0），S （0，0，3）， F （20），B （0，，0），C （﹣6，0）， 又13SE SC ==（﹣2，﹣1），得E （﹣22），所以()03SB =-，()600BC =-，，，()5DF =，，()1DE =，， 设平面DEF 的一个法向量为()m x y z =，，，由00m DF m DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得5020x x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，故512m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面SBC 的一个法向量为()n a b c =，，，由00n SB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得300c a ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，故(013n =，，，所以25323102405321()43cos m n -+⋅==+-+＜，＞， 平面DEF 与平面SBC 所成锐二面角的正弦值为1590．【点睛】考查线线平行，线面平行的判定，利用向量法求二面角余弦值，考查运算能力和空间想象能力，中档题．19．已知函数f （x ）的定义域I ＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），在（0，+∞）上为增函数，且∀x 1，x 2∈I ，恒有f （x 1x 2）＝f （x 1）+f （x 2）． （1）求证：f （x ）是偶函数：（2）若f （m ）﹣f （2m +1）＜3m 2+4m +1，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）证明见解析（2）1(,1),0(0,)3⎛⎫-∞-⋃-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】（1）利用偶函数的定义直接证明；（2）通过对函数的自变量的取值的任意性，利用赋值法借助于奇偶性，单调性得到关于m 的不等式． 【详解】（1）因为12,x x I ∀∈，恒有()()()1212f x x f x f x =+，所以令121x x ==，得()()121f f =，所以10f =（）. 令121x x ==-，得()()121f f =-，所以()10f -=. 令12,1x x x ==-，得()()()()1f x f x f f x -=+-=，所以f x （）是偶函数.（2）设()()2g x f x x =+，则g x （）是偶函数，且在()0,+∞上为增函数.()()221341f m f m m m -+<++，即()()()222121f m m f m m +<+++，即()()21g m g m <+.由g x （）是偶函数，得()()21g m g m <+，由g x （）在()0,+∞上为增函数，得|m |＜|2m +1|，即()2221m m <+.解得13m >-或1m <-.又0m ≠， 所以实数m 的取值范围是()()1,1,00,3⎛⎫-∞-⋃-⋃+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决抽象函数的单调性的关键，综合考查函数性质的应用．20．己知数列{n a }的前n 项和为n S ,12,2(2)n n a S S n n ==-≥. （1）试判定{1n a -}是否是等比数列，并说明理由； （2）求数列{n na }的前n 项和n T ；【答案】（1）数列{}1n a -不是等比数列,理由见解析（2）2122(1)2n n n n T n -++=--【解析】（1）运用数列的递推式，以及等比数列的定义，即可得证； 【详解】（1）因为()122n n S S n n -=-≥， 所以当3n ≥时，()1221n n S S n --=--， 所以121n n a a -=-，，即()1121n n a a --=-.所以()11231n n a n a --=≥-. 当2n =时，12122a a a +=-，得20a =，所以21111211a a --==-≠-， 因此数列{}1n a -不是等比数列.（2）由（1），得{}1n a -从第二项起，是以2为公比的等比数列. 所以()222*1122,212,n n n n n a a n n N ----=-⋅=-=-+≥∈.因此，222,12,1,21,22,2n n n n n n a na n n n n --⎧==⎧==⎨⎨-+≥-⋅+≥⎩⎩. ()01222232223n n T n n -=-⨯-⨯--⋅++++①()1212422322223n n T n n -=-⨯-⨯--⋅+⨯+++.②①-②得()()23211222222222n n n n n T n ---+-=-------+⋅-()()()()()2111212222422121222n n n n n n n n n ----+-+-⨯=--+⋅-=----. 所以()212212n n n n T n -++=--.【点睛】本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式，以及求和公式的运用，考查数列的分组求和、错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．21．已知函数1()x e f x a x-=+.（1）判断()f x 极值点的个数；（2）若x >0时，xe >()f x 恒成立，求实数a 的取值范围【答案】（1）0 （2）(,0]-∞【解析】（1）求导，根据导数与函数单调性及极值的关系，分别求得函数f （x ）极值点的个数；（2）e x ＞f （x ），（x ＞0），可化为（1﹣x ）e x +ax ﹣1＜0．设h （x ）＝（1﹣x ）e x +ax ﹣1，（x ＞0），则问题等价于当x ＞0时，h （x ）＜0．，根据函数h （x ）的性质，分类讨论，即可求得实数a 的取值范围． 【详解】（1）由f （x ）1x e x -=+a ，得f '（x ）()211x x e x-+=．x ≠0； 设g （x ）＝（x ﹣1）e x +1，则g '（x ）＝xe x ，当x ∈（﹣∞，0）时，g '（x ）＜0，所以g （x ）在（﹣∞，0）上是减函数， 当x ∈（0，+∞）时，g '（x ）＞0，所以g （x ）在（0，+∞）上是增函数， 所以g （x ）≥g （0）＝0，所以()0f x '≥，所以f （x ）在定义域上是增函数，f （x ）极值点个数为0． （2）e x ＞f （x ）（x ＞0），可化为（1﹣x ）e x +ax ﹣1＜0．令h （x ）＝（1﹣x ）e x +ax ﹣1，（x ＞0），则问题等价于当x ＞0时，h （x ）＜0． ∴h '（x ）＝﹣xe x +a ，令m （x ）＝﹣xe x +a ，则m （x ）在（0，+∞）上是减函数． 当a ≤0时，m （x ）<m （0）＝a ≤0．所以h '（x ）＜0，h （x ）在（0，+∞）上是减函数． 所以h （x ）＜h （0）＝0． ②当a ＞0时，m （0）＝a ＞0， m （a ）＝﹣ae a +a ＝a （1﹣e a ）＜0， 所以存在x 0∈（0，a ），使m （x 0）＝0．当x ∈（0，x 0）时，m （x ）＞0，h '（x ）＞0，h （x ）在（0，x 0）上是增函数． 因为h （0）＝0，所以当x ∈（0，x 0）时，h （x ）＞0，不满足题意． 综上所述，实数a 的取值范围是（﹣∞，0]． 【点睛】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性及极值的关系，考查利用导数研究函数的性质，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于难题． 22．已知函数()()2142alnx f x x a R =-∈． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）设a ＝4，且06x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，求证：11224cos x tanx e e -＜＜．【答案】（1）当0a ≤时，f x （）在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减 （2）证明见解析【解析】（1）求导，判断单调性即可；（2）x ₁＜x ₂∈（0，1），则f （x 1）＜f （x 2），即2211221122lnx x lnx x --＜，得到22121()122x x x e x -＜，即得()221sin 2sin e x cos x x cosx-<，再利用三角函数12-cos 2x ∈（1124--，），所以11224cos x e e --＜，代入即可证明． 【详解】 （1）易知()2ln 142a x f x x =-的定义域为()0,∞+， ()2444a a x f x x x x-='=-， 当0a ≤时，0f x <（）恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递减. 当0a >时， 由()00f x x '⎧>⎨>⎩，解得02x <<； 由()00f x x '⎧<⎨>⎩，解得x >所以f x （）在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减， 综上所述，当0a ≤时，f x （）在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减. （2）当4a =时，()212f x lnx x =-， 由（1）可知()21ln 2f x x x =-在01（，）上单调递增. 设()12,0,1x x ∈，且12x x <，则()()12f x f x <，即22112211ln ln 22x x x x -<-， 所以()2211221ln2x x x x <-，所以()22121122x x x e x -<. 因为0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0sin 1x cosx <<<. 所以()221sin 2sin e x cos x x cosx-<，即1cos22e x tanx -<， 因为0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以20,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1111cos2,1,cos2,2224x x ⎛⎫⎛⎫∈-∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以11224cos x e e --<.综上可得，11224e e cos x tanx --<<. 【点睛】题考查了导数的综合应用，利用函数进行不等式比较大小，属于难题．。