结构力学下册第三章(部分)

D MB B
Me y1
FBx
AC 段：
FBy
M (x)
=
FA x
−
MA
=
⎜⎛ ⎝
F0
+
Me
+
MA 2a
+
MB
⎟⎞x ⎠
−
MA
∂M (x) = x ∂F0
∂M (x) = x −1 ∂M A 2a
∂M (x) = x ∂M B 2a
BD 段： M ( y1 ) = FBx y1 + M B = F0 y1 + M B
∫ ∫ （b）非线性杆的应变能密度
vε
=
σdε
ε
=
Bε 1 2dε
ε
= 2 Bε 3 2 3
ΔAy
D
G ΔAx
相应的应变能表达式
∫ Vε
=
V vε dV
=
2 Bε 3 2 Al = 3
2BAl ⎜⎛ ε l ⎟⎞3 2 3 ⎝l⎠
=
2BAl ⎜⎛ Δl ⎟⎞3 2 3 ⎝l⎠
杆的变形和节点位移间的关系与（a）情况相同，故结构的应变能
Δ Ay
− Δ Axctg30°
sin 30° =
Δ Ay 2
−
3Δ Ax 2
∑ Vε =
应变能：
EA 2li
(Δli
)2
=
EA 2(2a)
⎜⎜⎝⎛
Δ Ay 2
−
3 2
Δ Ax
⎟⎟⎠⎞ 2
+
EA 2( 3a)
Δ2Ax
[( ) ] = EA 48a
9+6
3 Δ2Ax − 6
3Δ Ax Δ Ay + 3Δ2Ay
xdx1
+
a 0
Me
(
y2
+
a)dy2
⎤ ⎥⎦
=
17M ea2 6EI
A 截面的转角
∫ ∫ ∫ θA
=
1 EI
⎡ ⎢ ⎣
2a M ( x) ∂M (x) dx +
0
∂M A
a 0
M
(
y2 )
∂M ( y2 ) ∂M A
⎤ dy2 ⎥
⎦
=
1 EI
⎡ ⎢⎣
2a 0
Mex 2a
(
x 2a
−1)dx1
⎤ ⎥⎦
=
FB 2
+
q0 l 3
−
MA l
FC
=
FB 2
+
q0 l 6
+
MA l
各段的弯矩方程及偏导数
CB 段：
M (x1 ) =
⎜⎛ ⎝
FB 2
+
q0l 6
+
MA l
⎟⎞ ⎠
x1
−
1 ⎜⎛ q0 6⎝ l
⎟⎞ ⎠
x13
；
∂M ( x1 ) = x1 ; ∂M ( x1 ) = x1
∂FB
2 ∂M A l
5
FC
x2
dx
+
a 0
FC
a2dy1
∂M C
4
下册第三章
能量法习题答案
EC 段：
M (x2 ) =
FBx l
−
FBy x2
=
⎜⎛ ⎝
F 2
−
MC l
⎟⎞l ⎠
−
Fx2
C 截面两侧的相对转角
∂M (x2 ) = −1
∂M C
∫ ∫ ∫ ∫ θC
=
1 EI
⎡ ⎢ ⎣
l 0
Fy12 2l
dy1
−
l 0
Fy22 2l
dy2
+
l 0
2
⎛ ⎜⎝
M (x1 )
=
⎜⎛ ⎝
FA 2
+
ql 8
⎟⎞ ⎠
x1
∂M (x1 ) = x1
∂FA
2
B x1
FB
FA q
A
x2
C
FC
M (x2 )
=
⎜⎛ ⎝
FA 2
+
3ql 8
⎟⎞ ⎠
x2
−
qx22 2
∂M (x2 ) = x2
∂FA
2
令 FA=0，则 A 点铅垂位移
∫ ∫ Δ Ay
=
1 EI
l 0
2
qlx12 16
Vε
=
4BAa ⎜⎛ Δ Ay 3 ⎜⎝
− 3Δ Ax 4a
⎟⎞3 2 ⎟⎠
+
2
3EAa 3
⎜⎜⎝⎛
3Δ Ax 3a
⎟⎟⎠⎞ 3
2
3-6、试用卡氏第二定理求习题 3-3 各分题中截面 A 的铅垂位移。 （b）在 A 点虚设铅垂力 FA，可得约束反力
FB
=
FA 2
+
ql 8
FC
=
FA 2
+
3ql 8
各段的弯矩方程及相应偏导数为
D MC
MC
F
x1
C
x2 E
y1 A
FAx
FAy
y2 B
FBx
FBy
解、（a）如图所示，在铰 C 两侧虚设一对外力偶 MA，由整体和局部的平衡方程得到
FAy = FBy = F
FBx
=
F 2
−
MC l
FAx
=
F 2
+
MC l
刚架各段的弯矩方程及相应偏导数为
AD 段：
M (y1 )
=
FAx y1
=
⎜⎛ ⎝
故
FN1 =
2− 2
2
F
⇒
FN 2
=
2 2
F ； FN 3
=
FN 4
=
FN 5
=
FN 6
= 1− 2
2
F
（c）解除 B 点约束，代之以相应的约束反力 FB，则弯矩方程为
CB 段： M (x) = FB x
M (x) = x
∂FB
CD 段： M (y1 ) = FBl
∂M (y1 ) = l
∂FB
DA 段： M (y2 ) = FBl − Fy2
+
1 EI
l⎛ l 2 ⎜⎝
q0l 2
x2
−
q0 6l
x23
⎞ ⎟⎠
x2 l
dx2
=
q0l 3 45EI
3-12、试用卡氏第二定理求解图示超静定结构。己知各杆的 EA，EI 相同。
解、（a）结构为一次超静定。将 1 杆作为多余约束，解除 1 杆的约束，代之以相应的约束力 X，由各节点 的平衡条件可得各杆内力，各杆内力、内力对多余约束力的偏导数及杆长数列表如下
∂M ( y) = l ∂FA
C
令 FA=0，则 A 点铅垂位移
2
下册第三章
∫ ∫ Δ Ay
=
1 EI
l qx3 dx
02
+1 EI
l ql 3 dy = 5ql 4
02
8EI
能量法习题答案
3-7、试用卡氏第二定理求图示各刚架截面 A 的位移和截面 B 的转角。略去剪力 FS，和轴力 FN 的影响， EI 为已知。
=
1 EI
l 0
2⎛ ⎜⎝
q0l 6
x1
−
q0 6l
x13
⎞ ⎟⎠
x1 2
dx1
+
1 EI
l⎛ l 2 ⎜⎝
q0l 2
x2
−
q0 6l
x23
⎞⎛ ⎟⎠ ⎜⎝
l 2
−
x2 2
⎞ ⎟⎠
dx2
=
5q0l 4 768EI
∫ ∫ θA
=
1 EI
l 0
2⎛ ⎜⎝
q0l 6
x1
−
q0 6l
x13
⎞ ⎟⎠
x1 l
dx1
Fl 2
−
Fx1
⎞⎟⎠dx1
−
l 0
2
⎛ ⎜⎝
Fl 2
−
Fx2
⎞⎟⎠dx2
⎤ ⎥ ⎦
=
0
3-9、试用卡氏第二定理求位于水平平面内的开口圆环 A、B 两点间的相对位移。弹性常数 E，G 及环杆直
径 d 为已知，两 F 力沿铅垂方向作用。
解、弯矩 M (θ ) = FR sinθ
∂M (θ ) = R sinθ
π 0
FR3
(1− cosθ
)2dθ
=
⎛ FR3 ⎜⎜⎝
1 EI
+
3 GI p
⎞ ⎟⎟⎠
3-11、试用卡氏第二定理求图示梁在荷载作用下 A 截面的转角及 B 截面的铅垂位移。EI 为已知。
FB
q0
MA
C
A
x
B
FC
FA
解、如图所示，在 A、B 截面分别虚设外力偶 MA 和外力 FB，根据平衡方程可得
FA
(b)若三角架由非线性弹性材料制成，其应力-应变关系为σ = B ε (见图)，B 为常数，且拉伸和压缩
相同。
1
下册第三章
解、（a）由变形几何图可得到节点位移与各杆变形之间的关系，即 AC 杆变形
能量法习题答案
Δl2 = Δ Ax
Δl2 A
AB 杆变形
( ) ( ) Δl1 =
AG − DG sin 30° =
； ∂M (y2 ) = l