材料力学能量法第3节卡式定理

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材料力学能量法第3节卡式定理

q 2 M ( x) (l x) M e 2
M 1 M e
（2）计算 B 截面转角 B
M q 2 1 M ( x) (l x) M e M e 2 M ( x) M ( x) Bq M e dx EI M e 1 l q 2 [ ( l x ) M ] ( 1 ) d x e EI 0 2 3 l ql 顺时针转向 Me EI 6 ql 3 顺时针转向 B 令 Me 0 6 EI
2
1 dFi dyi U dFi yi 2
(3)
比较(2)(3)式
1 dFi dyi U dFi yi (3) 2 U ( F1 , F2 , Fn ) yi i 1,2,3,... Fi
U U dFi Fi
(Hale Waihona Puke 2)梁的变形能对某一载荷 Fi 的偏导数，等于在该载荷处沿载荷方向的位移，这就是卡氏定理，也称卡氏第二定理。由意大利工程师 A 卡斯蒂利亚诺（1847-1884）于1873年提出的。卡氏定理对其他线弹性结构也是适用的。
广义力的函数：设在如图所示梁上，作用有 n 个力 y2 ，， yn 。 F1， F2 ，， Fn ，其相应位移分别为 y1，在载荷施加过程中，外力所做的功转变成梁的变形能。这样，变形能应为广义力 Fi 的函数
U f ( F1, F2 ,, Fn )
若 Fi
(1) ( 2)
Fi dFi ，则 U
U U dFi Fi
卡式定理的推导 —— 改变加力的次序 (1)先施加 dFi ：在施加 dFi 时，其作用点沿 dFi 方向的 1 dF dy 位移为 dyi ，梁的变形能为 i i；

材料力学卡式定理

l
(2)
于是(1)式改写为
y / l
(3)
3
梁内任一点处的比能
u
1 2
E 2
1 2
E 2
l2
y2
(4)
梁的应变能
l
U VudV 0 (AudA)dx
l 1 E 2
( 02
l2
y2dA)dx 1 EI 2
A
2l
(5)
由卡氏第一定理
m U 1 EI (2 ) EIθ
(6)
2 lx)
2
dx
1 ( 5PL3 RC L3 ) 0
EI 48
3
RC
5P 16
能量法求解超静定结构，适用任意荷载作用下、线性或非线性弹性杆系、刚架或曲杆等超静定系统。
14
2.求 wB
① 求内力
M
AB ( x)
5P 16
(L
x)
P(0.5L
x)
M BC ( x)
5P 16
Px L EI Px
1 EI
x 0
P(L
x1 ) ( x1
x)dx1
P
x3 [
(L
x)x2
Lx 2 ]
EI 3
2
12
例6 等截面梁如图，用卡氏定理求B 点的挠度。
P 0.5 L
B
A
L
解：1.依 wC 0 求多余反力，
卡氏定理解 ① 取静定基如图 C 超静定结构
② 求内力
M AB ( x) RC (L x) P(0.5L x)
L x1
O
x
w
①求内力 M AB ( x1) P(L x1) Px ( x x1) M BC ( x1) P(L x1)

材料力学第三章能量法

三、卡氏第二定理（线弹性体）
Di
Vc Fi
在线弹性范围内
余能定理 Vc V
Di
V Fi
卡氏第二定理：线弹性杆件或杆系的应变能对于作用在该杆件或杆系上的某一荷载的变化率，就等于与该荷载相应的位移。
卡氏第二定理适用于一切受力状态下的线弹性体。
卡氏第二定理公式D及i 含义VF：i
若结构的应变能 V 表示为F1、F2 …Fi …的函数，则应变能对任一载荷Fi的偏导数等于Fi作用点沿Fi方向位移。
C
与需求位移相应的虚设外力
F。求偏导后令其为零。
（2）列弯矩方程
M
x
F 2
ql 2
x
qx 2 2
0
x
l 2
M
x
F 2
ql 2
x
qx 2 2
0
x
l 2
（3）求梁的应变能
M 2 l/2
x
1
V 2 0
dx
2EI
EI
l/2
0
F 2
ql 2
x
qx 2 2
2 dx
1 EI 1 EI
V W
一、杆件基本变形的应变能
(一)轴向拉伸(压缩)
1、杆的应变能
轴力沿轴线不变的情况:
dW Fd(Dl) W Dl1 Fd(Dl) 0
线弹性范围内 W 1 FDl
1
2
V
F
W
FN
2
F Dl Dl
FNl EA
应变能
V
FN2l 2EA
F
l
Dl
F
Dl d (Dl)
Dl1
Dl
(一)轴向拉伸(压缩)

材料力学下册第三章能量法

σ2
σ3
∫ ∫ ∫ Vε =
V vε dV =
( σ ε1 dε )dV
V0
∫ ∫ ∫ Vc =
V vc dV =
( σ1 ε dσ )dV
V0
Mechanics of Materials
三、应变能的计算
F
原理： W = Vε
线弹性体
1. 基本变形形式 F
轴向拉（压）杆
F
Vε
=W
=
1 2
FΔl
Δl = FN l EA
最终值——简单加载。
Clapeyron’s theorem (克拉贝依隆原理)
Vε
=
1 2
FwC
+
1 2
Meθ A
=
F 2l3 96EI
+
M
2 e
l
6EI
+
FMel 2 16EI
wC
=
Fl 3 48EI
+
Mel2 16EI
θA
=
Fl 2 16EI
+
Mel 3EI
Me
F
A
θθAAMF wCF C
wCM
T (x) + dT (x)
FN(x) M(x)
FN(x) ＋dFN(x) M(x) + dM(x)
dx
dVε
=
dW
=
1 2
FN
(
x
)
d
Δ
+
1 T( x)dϕ
2
+
1 2
M(x)dθ
= FN2 ( x)d x + T 2 ( x)d x + M 2 ( x)d x

材料力学第十三章能量法

Vε Vε (D1 , D 2 ,, D i ,, D n )
假设位移 Di 有一微小增量 dDi 其它位移均保持不变梁的应变能也有一增量 dVe
外力功的增量
d W Fi d D i
Ve d Ve d Di D i
d Ve d W
Ve Fi D i
卡氏第一定理
卡氏第一定理
Vε
l
0
F ( x) T ( x) dx dx 0 2GI 2 EA p
l
2 N
2
F ( x) M ( x) d x s dx 0 2 EI 0 2GA
l l
2
2 S
应变能恒为正，是内力或外力的二次函数。
非线性函数
一般情况：非线性弹性体
s s1 s e
外力作功：
de e 1
DAB 方向水平向外
§3-4 用能量法解超静定系统
解超静定问题要综合考虑三方面几何方面 —— 建立变形几何相容条件物理方面 —— 建立补充方程静力学方面 —— 建立平衡方程
等直杆，发生基本变形，材料为线性弹性体非等直杆或杆系结构，受较复杂荷载作用，材料为非线性弹性体易难
能量法
例1：求图示超静定梁支座处的约束力。
③ 先加M，后加F
A
M AM
F
B
AF DCF
AM
Ml 3EI
D CF
Fl 48 EI
3
AF
Fl 16 EI
2
1 1 应变能： V M ε AM ( FD CF M AF ) 2 2 2 3 2 2 1 F l M l MFl ( ) EI 96 6 16
Ve Fi D i

卡氏定理材料力学

2Ma 3EI
（
）
DF FD
CD段:
M (x)
Mx , 2a
M (x) F
x,
MC
CB段: M (x) M ,
M (x) 2a x, a F
2a
C
M
AB段: M (x) 0,
M (x) x, F
a
B
A FAx
（4）带入卡氏定理求解。
Dx
l
M (x) M (x) d x EI F
FAy
2a
MC, 在D截面虚设一水平力F 。 MC
DF
C
（2）取刚架为研究对象， a
受力图如图所示。
M
FD
FAx F
B
a
A FAx
FAy
FD
F
1 2a
(M
MC)
FAy
（3）分段列出弯矩方程及偏导方程。
2a
CD段:
MC
M
( x1 )
[F
1 2a
(M
MC
)]x1
Cx aM 2
x
1
DF FD
M (x1) F
新位移 i 上也做功，系统的总的应变能为
V
Fi
i
1 2
Fi
i
（2）
由（1）＝（2），并忽略二阶小量，得
V Fi
i
V Fi
i
若将结构的应变能表示为载荷F1，F2，，Fn 的函数，则应变能对任一载荷Fi的偏导数，等于Fi作用
点沿Fi作用方向的位移 i ,称为卡氏第二定理。
说明（1）卡氏定理只适用线弹性结构。
i
V Fi
FN (x) FN (x) d x L EA Fi

材料力学卡式定理

M
AB
(x)
P

11 x 3 L 16
M
BC
(x)
P

5( L x ) 16
③ 变形
wB U P

0
M ( x ) M ( x ) EI P
2
dx
L
L
1 EI
0 .5 L
P(
11 x 3 L 16
) dx

0 .5 L
P( ) ( L x ) dx 16 5
荷载之变化率，就等于与该荷载相应的位移。
适用条件：适用一切受力状态下的弹性杆件，其中， Pi ——作用在杆件上的广义力；
i ——与 Pi 相应的广义位移。
用卡氏定理的注意事项
①U——整体结构在外载作用下的线
P1 P2
弹性变形能 ② Pi 视为变量，结构反力和变形能
等都必须表示为 Pi的函数 ③ i为 Pi 作用点的沿 Pi 方向的变形。
dx M ( x ) M ( x ) EI Pn
L

M n ( x ) M n ( x ) GI
P
L
Pn

dx
L
例5 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。 P A 解：求挠度，建坐标系 ①求内力 M ( x ) xP A xP
EI
L
x
O
②将内力对PA求偏导
M ( x ) PA x

(
1 E 2 l
2
2
0

y dA ) dx
2 A
1 EI 2 l

2
(5)
由卡氏第一定理
m U 1 EI 2 l ( 2 ) EI θ l

材料力学第十三章能量法

单元体上外力作功： W s e1 d e 0
应变能密度：
ve
e1 s d e
0
边长为dx、dy、dz的单元体： dVe ve d x d y d z
杆： Ve dVe V ve dV
线性弹性体：
ve
s e1
0
de
1 2
s
1e1
1 2
Ee12
1 2E
s
2 1
ve
1 d
0
1 2
1
AF
Fl 2 16 EI
应变能：
Vε
1 2
M AM
(1 2
FDCF
M AF )
1
F 2l3 (
M
2l
MFl 2
)
EI 96 6 16
④ M、F 分别单独作用
F
A
DCF
B
A M AM
B
DCF
Fl 3 48 EI
AM
Ml 3EI
应变能之和： VεF VεM
1 2
FDCF
1 2
M AM
1 EI
VεS
l
s
FS2 (x) d x 2GA
s — 剪切形状因数
S
S
通常，梁的剪切应变能远小于弯曲应变能。
杆件发生组合变形
在线弹性、小变形的条件下，每一基本变形的内力仅在其相应的基本变形上作功，在其他基本变形上不作功。
Vε
l FN2 (x) d x 0 2EA
l T 2 (x) dx
0 2GIp
材料是线弹性的，但变形 D 与力F 不是线性的
几何非线性弹性问题
材料是非线性弹性的
物理非线性弹性问题

材料力学第8章-能量法3-1

d
FN dx d(l) = EA
0 N
Mdx d EI
0
Tdx d GI p
0 S 0
1 F d l M d F d T d
F FN T T M M dx dx dx EA EI GI p
0 N 0 0
2.力和位移应理解为广义力和广义位移。
能量法/虚功原理单位力法图乘法
上节回顾
1、可能内力,可能位移,虚位移 2、虚功原理
在外力作用下处于平衡的结构，任意给它一个虚位移，则外力在虚位移上所做的虚功，等于结构内力在虚变形上所作的功。
W Wi
* e
e

*
外力虚功
内力虚功

l
W
Fi
5 M a 3
0 1c
2 Fa a
M
0 2c
3 a 2
Fa a 3 2 2 0 M 3c a 3
能量法/虚功原理单位力法图乘法
A
EI1
a
C
EI 2
a
F B
1
2Fa Fa

1

2a 5a/3
2
3a/2
-

2a/3
3
根据图乘法，自由端的挠度为：
1 1 0 0 yB 1M1c 2 M 2c EI 3M 30c EI1 2 1 Fa a 5 3 1 Fa a 2a a Fa a a EI1 2 3 2 EI 2 2 3
能量法/超静定问题力法例如图超静定梁, EI为常数,试求B点的约束反力。
第八章
一、杆件的应变能

第10章能量法 (材料力学)

(Energy Method)
T 2 ( ρ) 2 Ip η Vε d Ad x d Ad x l A 2G l A 2G l T 2 T 2l ( ) ρ 2dA 2G I p A 2GI p
Me l Vε 2GI p
2
Me Tl Mel 将代入上式得 Vε 2 GI p GI p
1 1 1 F 2 l 3 M e 2 l M e Fl 2 Vε F 1 M e 2 ( ) 2 2 EI 96 6 16
共1页 17
(Energy Method)
先加力 F 后,再加力偶 Me （1）先加力F后,C 点的位移
l/2 l/2
F
A
C B
Fl 1 48 EI
1 1 Vε W FΔl FN Δl 2 2
Fl FN l Δl EA EA
2 F 2l FN l Vε 2 EA 2 EA
当轴力或截面发生变化时:
共1页
2 FNi li Vε i 1 2 E i Ai n
6
(Energy Method)
2 FN ( x )dx 当轴力或截面连续变化时： ε V 0 2 EA( x ) l
l
2
2
2 3
F
B
x
l
14
(Energy Method) 例题2
解：
试求图示梁的变形能,并利用功能原理求C截
F
A C x1 a l x2 b B
面的挠度.
M 2 ( x) Vε dx l 2 EI Fb 2 Fa ( x1 ) ( x2 )2 a b l dx1 l dx 2 0 0 2 EI 2 EI F 2b 2 a 3 F 2a 2 b 3 F 2a 2b 2 2 2 6 EIl 2 EIl 3 2 EIl 3

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例11-7 如图所示悬臂梁，已知梁的抗弯刚度为EI，试用莫尔定理计算自由端 B 截面的挠度 yB和转角B。解：(1)计算 B 截面挠度 yB
首先在 B 截面处添加一
个力 F，在载荷F和 q 共
同作用下梁的弯矩方程
M
(x)

F
(l

x)

q 2
(l

x)
M F

(l

x)
yBqF

Fi

FN2 (x)dx 2EA

FN (x) FN (x) dx EA Fi
（b2 (x)dx
2GI p

T (x) GI p

T (x) Fi
dx
（c）弯曲
yi

U Fi

Fi

M 2 (x)dx 2EI

M (x) M (x) dx EI Fi
M (x) EI

M (x) F
dx

1 EI
[F (l

x)

q 2
(l

x)][(l

x)]dx
（1）计算 B 截面挠度 yB
yBqF

M (x) EI

M (x) Fi
dx

l3 EI

F 3

ql 8

向下
令 F 0
yB

ql 4 8EI
向下
（2）计算 B 截面转角 B
广义力的函数：设在如图所示梁上，作用有 n 个力 F1，F2 ，，Fn ，其相应位移分别为 y1，y2 ，，yn 。
在载荷施加过程中，外力所做的功转变成梁的变形
能。这样，变形能应为广义力 Fi 的函数
U f (F1, F2 ,, Fn )
(1)
若 Fi
Fi dFi ，则 U
U

U Fi
q 2
(l

x)2

Me ] (1)dx

l EI

ql 3 6

Me

令 Me 0
B

ql3 6EI
顺时针转向顺时针转向
1 2
dFi

dyi

U

dFi

yi
(3)
yi

U (F1, F2 ,Fn ) Fi
i 1,2,3,...
结论梁的变形能对某一载荷 Fi 的偏导数，等于
在该载荷处沿载荷方向的位移，这就是卡氏定理，也称卡氏第二定理。由意大利工程师 A 卡斯蒂利亚诺（1847-1884）于1873年提出的。卡氏定理对其他线弹性结构也是适用的。
同理，在 B 截面处添加
一共同个作力用偶下M梁e，的在弯M矩e和方程q
M
(
x)

q 2
(l

x)2

M
e
M 1 M e
（2）计算 B 截面转角 B
M
(x)

q 2
(l

x)2

M
e
M M e

1
BqMe

M (x) EI

M (x) M e
dx

1 EI
l
0 [
dFi
(2)
卡式定理的推导 —— 改变加力的次序
(1)先施加位移为
ddFyii，：梁在的施变加形dF能i 时为，12其dF作i 用dy点i ；沿
dFi
方向的
(2)再施加 F1，F2 ，，Fn 时，尽管梁上已有了dFi，但是
F1，F2，，Fn的效应并不因此而改变，n 个力所做的
功仍为式(1) 。不过，在施加 F1，F2，，Fn 过程中，
yi

U (F1, F2 , Fn ) Fi
i 1,2,3,...
说明
• 卡氏第二定理只适用于线性弹性体；
• 1Fi 为广义力，yi 为其相应的广义位移。
一个力一个力偶一对力一对力偶
一个线位移一个角位移相对线位移相对角位移
卡式定理的应用
（a）轴向拉伸与压缩
δi

U Fi
在 dFi 的方向（即Fi 的方向）上又发生了位移 yi，常
力 dFi 做功 dFi yi 。故在施加F1 ，F2 ，，Fn 时，总共
做功为 U dFi yi ；
(3)这种加载方式下梁的变形能为
1 2
dFi

dyi
U

dFi

yi
(3)
比较(2)(3)式
U

U Fi
dFi
(2)

材料力学能量法第3节卡式定理

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