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二 圆锥曲线的参数方程庖丁巧解牛知识·巧学一、椭圆的参数方程中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：(1)椭圆2222b y a x +=1(a>b>0)的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin ,cos b y a x (θ为参数，且0≤θ<2π）. (2)椭圆2222a y b x +=1(b>a>0)的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin ,cos a y b x (θ为参数,且0≤θ<2π). 以(x 0，y 0)为中心，半长轴为a ，半短轴为b ，焦点连线平行于x 轴的椭圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos 00b y y a x x （θ是参数）. 方法点拨 在利用⎩⎨⎧==θθsin ,cos b y a x 研究椭圆问题时，椭圆上的点的坐标可记作(acos θ,bsin θ).二、双曲线的参数方程中心在原点，坐标轴为对称轴的双曲线的参数方程有以下两种情况：(1)双曲线2222b y a x -=1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕtan ,sec b y a x （φ为参数）； (2)双曲线2222a y b x -=1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕtan ,sec a y b x （φ为参数）. 以(x 0，y 0)为中心，半实轴为a ，半虚轴为b ，焦点连线平行于x 轴的双曲线的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθtan ,sec 00b y y a x x (θ为参数，0≤θ<2π，θ≠2π,23π). 方法点拨 在利用⎩⎨⎧==ϕϕtan ,sec b y a x 研究双曲线问题时，双曲线上的点的坐标可记作(asec φ,btan φ).三、抛物线的参数方程顶点在坐标原点的抛物线参数方程：抛物线y 2=2px(p>0)的参数方程：⎩⎨⎧==pt y pt x 2,22(p>0,t 为参数,t∈R ), 其中参数t 可视为该抛物线y 2=2px(p>0)上任一点P 与抛物线顶点O 所连直线OP 的斜率的倒数.设抛物线上任一点P(x,y),则t=yx .以(x 0，y 0)为顶点，焦参数为p ，对称轴平行于x 轴的抛物线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=pty y pt x x 2,2020（t 是参数）,其中参数t 是抛物线上任意一点与顶点连线的斜率的倒数.辨析比较 抛物线y 2=-2px(p>0)的参数方程：x=⎩⎨⎧=-=pt y pt x 2,22(p>0,t 为参数,t∈R )； 抛物线x 2=2py(p>0)的参数方程：⎩⎨⎧==pt y pt x 2,22(p>0,t 为参数,t∈R )；抛物线x 2=-2py(p>0)的参数方程：⎩⎨⎧=-=pt y pt x 2,22(p>0,t 为参数,t∈R ). 问题·探究问题 1 举一些现实生活中的例子,说明圆锥曲线的参数方程同圆锥曲线的普通方程相比有何特点，圆锥曲线的参数方程在解题中有什么样的作用?探究：弹道曲线是炮弹飞行的轨迹.在军事上，当炮弹发射出去后，需要知道各个时刻炮弹的位置，很显然相应的位置与炮弹发射出去后的时间有着密切的关系，通过建立适当的坐标系，选择时间作为参数，很容易建立起相应的参数方程，这比根据已知条件直接去找炮弹飞行的普通方程方便得多，并且根据实际军事需要，这样也容易知道各个时刻炮弹所处的位置，有利于为现代战争赢得时间.这正是抛物线的参数方程在实际生活中的具体应用.当然圆锥曲线的参数方程的应用还不止这些，再比如：在研究人造地球卫星的运行轨道时，常常也用其参数方程的形式来予以研究.问题2 在使用圆锥曲线的参数方程解题时，需要能够正确地把普通方程转化为参数方程.那么，在把普通方程转化为参数方程时，是否会出现不同的结果呢?探究：会.例如:椭圆2222b y a x +=1的参数方程可以是x=⎩⎨⎧==θθsin ,cos b y a x 的形式，也可以是⎩⎨⎧==θθsin ,sin b y a x 的形式，它们二者只是形式上不同而已，但实质上都是表示同一个椭圆(通过消参数即可看出)，同样，对于双曲线、抛物线亦是如此.典题·热题例1已知A 、B 分别是椭圆93622y x +=1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求△ABC 的重心G 的轨迹的普通方程.思路分析：本题有两种思考方式，求解时把点C 的坐标设为一般的(x 1,y 1)的形式或根据它在该椭圆上运动也可以设为(6cos θ,3sin θ)的形式，从而予以求解.图2-2-1解：由动点C 在该椭圆上运动，故据此可设点C 的坐标为(6cos θ,3sin θ).点G 的坐标为(x,y)，则由题意可知点A(6，0)、B(0，3).由重心坐标公式,可知有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+=++=,sin 13sin 330,cos 223cos 606θθθθy x 由此消去θ,得到4)24(2-+(y-1)2=1即为所求. 深化升华 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便.例2实数x 、y 满足9)2(16)1(22++-y x =1，试求x-y 的最大值与最小值，并指出何时取得最大值与最小值.思路分析：本题的思考方式也许容易想到由已知方程予以变形代换，但容易看到会出现开方，很不利于求x-y 的最大值与最小值.这时，根据已知条件可考虑借助于相应的参数方程来求解，借助于正弦、余弦的有界性从而把问题解决. 解：由已知可设⎩⎨⎧-=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-.2sin 3,1cos 4,sin 32,cos 41θθθθy x y x 即则x-y=(4cos θ+1)-(3sin θ-2)=(4cos θ-3sin θ)+3=5cos(θ+α)+3，其中cos α=54,sin α=53.当cos(θ+α)=1,即θ+α=2k π,k∈Z 时， cos θ=cos(2k π-α)=cos α=54，sin θ=sin(2k π-α)=-sin α=53-. ∴x=4×54+1=521,y=3×(53-)-2=519-时，x-y 的最大值为8. 同理,当x=511-,y=51-时，x-y 的最小值为-2. 误区警示 本题易错点主要有两点:(1)对于椭圆的参数方程不会转化而直接使用普通方程；(2)在使用参数方程运算时不考虑α的实际取值.例3点P 在圆x 2+(y-2)2=41上移动，点Q 在椭圆x 2+4y 2=4上移动，求PQ 的最大值与最小值，及相应的点Q 的坐标.思路分析：点P 与点Q 都是动点，PQ 的表达式中会有两个参变量，最大值与最小值都难求.点P 在圆上，圆是一个中心对称图形.当椭圆上的点到圆心距离最远时，它到圆上的点也会是最远，故先将求PQ 转化为求圆心O′与Q 的距离.点Q 在椭圆上，可利用椭圆的参数方程表示点P 的坐标.解：设Q(2cos α,sin α),O′(0,2),则O′Q 2=(2cos α)2+(sin α-2)2=4cos 2α+sin 2α-4sin α+4=-3(sin α+32)2+8+34， 故当sin α=32-时，O′Q 2取最大值为328，此时，O′Q=3212. 当sin α=1时，O′Q 2取最小值为1，此时，O′Q=1. 又圆的半径为21，故圆上的点P 与Q 的最大距离为PQ=21+3212. P 与Q 的最小距离为PQ=1-21=21.PQ 取最大值时，sin α=32-,cos α=35941±=-±， Q 的坐标为(32,352-)或(352-,32-)；PQ 取最小值时，sin α=1,cos α=0，点Q 的坐标为(0,1).深化升华 本题的解法再次体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性,并且对于椭圆的参数方程要求更高了，因为所给方程不是椭圆的标准方程的形式.运用参数方程显得很简单，运算更简便.例4设P 是椭圆43622y x +=1在第一象限部分的弧AB 上的一点，求使四边形OAPB 的面积最大的点P 的坐标.思路分析：由于P 是椭圆43622y x +=1在第一象限部分的弧AB 上的一动点，因此四边形OAPB 的形状不定，则不能用特殊四边形的面积公式来求其最值，只能考虑把四边形分解为几个三角形，利用三角形的知识来求其面积的最大值.解：∵点P 是椭圆43622y x +=1在第一象限部分的弧AB 上的一点, ∴设P(6cos θ,2sin θ),θ∈(0,2π)(图略). 法一:直线AB 方程为26y x +=1,即x+3y-6=0.欲使S OAPB 最大,只需P 到AB 的距离最大. ∵d P-AB =10|1)4sin(2|610|6sin 6cos 6|-+=-+πθθθθ∈(0,2π), ∴2sin(θ+4π)>0.∴当θ=4π时,d max =10)12(6-. ∴(S △APB )max =10)12(643621-+=6(2-1).∴(S OAPB )max =21·6·2+6(2-1)=26. 法二:S OAPB =S △POA +S △POB =21·2·6cos θ+21·6·2sin θ =6(sin θ+cos θ)=26sin(θ+4π),θ∈(0,2π), ∴当θ=4π时,(S OAPB )max =26,此时点P 的坐标为(23,2). 拓展延伸 分析本题所求的最值可以有几个转化方向，即转化为求S △POA +S △POB ，S OAPB 的最大值或者求点P 到AB 的最大距离，或者求S OAPB 的最大值.。
湖南省蓝山二中高二数学《第二讲 参数方程 二、圆锥曲线的参数方
程（二）》教案 新人教A 版
知识与技能：理解椭圆的参数方程，掌握参数方程的应用.
过程与方法：通过学习圆锥曲线的参数方程，得出参数方程与普通方程互化的方法. 情感、态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学的现实应用价值，从而提高学习数学的
兴趣，坚定信心.
教学过程： 一、复习回顾
椭圆 )0(12222>>=+b a b y a x 的一个参数方程) (.sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩
⎨⎧==b y a x
二、新课
例1. 如图，已知椭圆14
22
=+y x 上一点M (除短轴端点处)与短轴两端点B 1、B 2的连线分别交x 轴于P 、Q 两点，求证|OP | · |OQ |为定值.
练习1. 椭圆19
162
2=+y x 的内接矩形的最大面积是_______24___________.
练习2. 已知A 、B 是椭圆14
92
2=+y x 与坐标轴正半轴的两交点，在第一象限的椭圆弧上求一点P ，使四边形OAP B 的面积最大.
课后作业
y x
O B 2B 1M P Q
.,116252.11625)1(2121222
2面积的最大值求四边形是椭圆的焦点、上的点，是椭圆、）（面积的最大值求，、为轴和原点的对称点分别关于上的点，是椭圆设QF PF F F y x Q P PQR R Q y P y x P =+∆=+。
