高二数学参数方程(精选.)

§7.6 圆的参数方程一．教学内容分析教科书根据三角函数的定义，推导出了圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程，然后直接给出圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的参数方程cos sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩（为参数）. 在具体教学过程中，对如何根据圆的平移得到后一个参数方程，可作适当的介绍.在介绍了圆的参数方程以后，教科书简单介绍了一般的参数方程和普通方程的概念.在此，对参数方程的教学要求要注意控制，不要让学生系统地学习怎样求曲线的参数方程，而只是为了在某些问题的叙述中，能使学生区分曲线的参数方程和普通方程这两种不同形式，初步了解参数方程和普通方程的意义，能够把一些简单曲线（如圆和直线等）的参数方程化为普通方程. 在曲线方程的某些问题中，借助于参数方程，能使它们的解决变得容易.因为参数方程把曲线上点的坐标通过参数直接表示出来，比较清楚地指出了曲线上点的坐标的特点.教科书中的例6，就是把曲线的普通方程转化为参数方程后加以解决的.许多问题可以作这样的转化，当然有时也把给定参数方程的问题转化为普通方程来解决.教科书中的例6也可以直接用普通方程来解决.二．教学目标概览1.理解圆心在原点,半径为r 的圆的参数方程,能较熟练地求出圆心在原点,半径为r 的圆的参数方程.2.明确参数θ的意义,能说明参数θ与圆上一点坐标变量,x y 之间的联系.3.理解圆心不在原点的圆的参数方程,能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程.4.了解一般曲线的参数方程和普通方程的意义.5.能将圆的参数方程与普通方程进行相互转化,会用圆的参数方程去解决一些简单的问题.6.通过本节的教学互动,进一步培养学生观察、猜想、验证、证明的能力，激发其学习数学的兴趣.三．聚焦重点难点重点是圆心在原点,半径为r 的圆的参数方程以及圆心不在原点的圆的参数方程.难点是圆的参数方程的应用和“观察、猜想、验证、证明”能力的培养.四．教与学辅助工具几何画板.五．教与学师生互动1．观察研究，发现规律．在几何画板平台上，画出如图7—36所示的圆.拖动点P ，使其在圆上运动，让学生观察，从圆O 与x 轴的正半轴的交点o P 开始，按逆时针方向旋转运动到点P 时oPOP θ∠=与P 的位置变 化之间的关系.得到结论：点P 的位置与旋转角θ有密切的关系. 当θ变化时，点P 在圆O 上的位置也随着变化.然后，教师引导学生根据三角函数的定义，找出点P 的横坐标x 与纵坐标y 关于θ的函数关系，从而得出圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程是cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（1） 其中，θ是参数.请问，参数θ的几何意义是什么？（以x 轴正半轴为始边，以OP 为终边的角）2．创设情景，得出新知.在坐标系（几何画板平台上）中，先画出圆心在1(,)O a b ，半径为r 的圆.请问，能否给出它的参数方程？（若学生反映较困惑，则给出引导1）引导1：能否利用圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程来解决这个问题？（这时，在坐标系中画出圆心在原点O ，半径为r的圆.）经教师的引导，学生通过观察两个圆可以得到如下结论：由于两个圆的大小一样，则可以把圆1O 看成是由圆O 按向量(,)v a b 平移而得到.于是，师生一起，利用向量平移的有关知识，求出圆心在1O ，半径为r 的圆的参数方程是cos sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩（为参数） （2） 3．对照比较，由特殊到一般.与圆的参数方程概念对照比较，引导学生得出一般的参数方程的概念：（由学生自己归纳） 一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即()()x f t y g t =⎧⎨=⎩（3） 并且对于t 的每一个允许值，由方程组（3）所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上，那么方程组（3）就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数.在这里，需向学生强调参数方程中的参数，可以是有物理的（如时间、位移、离心角）几何意义的参数（如斜率等）. 也可以是没有明显意义的参变数，要注意参数的取值范围与x 、y 的取值范围的制约关系. 然后指出：相对于参数方程来说，以前所学习过的关于x 、y 的直角坐标方程，叫做曲线的普通方程.4．课堂练习181P 练习1，2要求：练习1，口答；练习2，学生上台板演. 之后由台下的学生来评价板演学生的作业情况，最后，教师点评总结.5． 例题讲解1例1（80P 例6）如图7—38，已知点P 是圆2216x y +=上的一个动点，点A 是x 轴上的定点，坐标为(12,0).当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹是什么？分析：由于点M 为点P 和点A 的中点，点A的坐标已知，点P 在已知圆上，故而点P 的坐标可以用参数θ来表示，所以，点M 的坐标便可以表示了，由此便可以求出线段PA 的中点M 的轨迹方程，进而知道其轨迹.解：设点M 的坐标是(,)x y .因而圆2216x y +=的参数方程为4cos ,4sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩所以可设点P 的坐标为(4cos ,sin )θθ.由线段中点坐标公式得点M 得轨迹参数方程为62cos ,2sin .x y θθ=+⎧⎨=⎩所以，线段PA 的中点的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆.（说明：讲解此题时，可先让学生来试着解决，教师引导帮助.）想一想1：这个问题不用参数方程怎么解决？（由此得到求轨迹的一种重要方法：相关点法（或代入法））想一想2：若点M 不是线段PA 的中点，那么点M 的轨迹又是什么呢？想一想3：若点M 在线段PA 的延长线或反向延长线上，那么点M 的轨迹又是什么呢？6．课堂练习281P 练习3.请学生上讲台来板演.想一想1：你能否根据题意粗略的画出线段PQ 中点的轨迹？想一想2：如果在线段PQ 上任取一点M ，那么点M 的轨迹是什么？想一想3：如果在线段PQ 的延长线或反向延长线上任取一点M ，那么点M 的轨迹是什么？ （说明：这样可以培养学生的观察、猜想、验证、证明的能力，激发学生学习的兴趣）7．例题讲解2例2 求函数sin 1()cos 2f θθθ-=-的最大值和最小值. 分析：sin 1()cos 2f θθθ-=-的形式相似于斜率2121y y k x x -=-的形式，因此可以把sin 1()cos 2f θθθ-=-看作是动点(cos ,sin )θθ与定点(2,1)连线的斜率.所求问题转化为求斜率()f θ的最大值和最小值.由于动点(cos ,sin )θθ在圆221x y +=上，因此可以把这个问题转化到图形上来处理.(利用几何画板作出圆221x y +=以及相关的点，这样，学生就很清楚地知道，当过定点(2,1)与动点(cos ,sin )θθ的直线与圆相切时，取得最值)解：根据题意，作出如图7—39所示的图. 所要求的函数sin 1()cos 2f θθθ-=-的最大值与最 小值，就转化为求动点P 与定点(2,1)连线的斜率的最大值与最小值.从图7—39可以得知，当直线PM 和圆相切时，分别得到其最大值与最小值.设直线PM 的斜率为k ，所以，其方程为：1(2)y k x -=-，即120kx y k -+-=.当直线PM 与圆相切时，1OP =，即1=，解得 0k =或43k =. 所以，min ()0f θ=，max 4()3f θ=. 点评：从例2可以看出，转化的思想方法与数形结合的思想方法对于学生的学习以及解题是相当有帮助的.8．课堂小结（可让学生总结）1． 圆的参数方程cos sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩（为参数），θ的几何意义. 2. 圆的参数方程的应用（例1，例2），以及在解题中转化的思想方法与数形结合的思想方法的应用.3．在学习中，应多注意观察、猜想、验证、证明，这样有助于培养自己对问题的观察力，对知识的洞察力.9．作业习题7.6 9，10.六．教学设计说明（1）本节教学内容是圆的参数方程及其应用.教学设计方案在继续遵循“以学生为本，发展学生个性”教学思想原则基础之上，着力研究结构性原则和适应性原则在教学中的应用.一要注意数学教学中不应把培养学生解决某一个（或类）具体的数学问题的能力当作能力培养的目标，而应着眼于培养学生良好的认知结构（知识结构与认识结构的综合体）.二要注意数学教学适应学生的思维发展水平，并且要积极促进思维的发展，不能在“低水平上重复”.（2）重视学生的学习经历和经验，强调积极主动学习态度的形成，使获得基础知识与基本技能的过程同时成为学会学习和形成正确价值观的过程，促进学生素质的全面发展.（3）本课利用了几何画板平台进行辅助教学，提高了教学的效率，让“静”数学变成“动”数学，充分调动了学生的积极性，激发了学生学习的兴趣，让教学重点难点得到很好的解决.（4）通过例6与练习3，在几何画板平台上，引导学生观察，然后猜想、验证，最后证明，培养其思考问题、解决问题的能力和以科学家的方式考虑问题，这对于学生的整体发展和个性的发展是相当有益的.。

高考复习之参数方程一、考纲要求1. 理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方程与普通方程的互化方法. 会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念 . 会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化 . 会正确将极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程 . 不要求利用曲线的参数方程或极坐标方程求两条曲线的交点.二、知识结构1.直线的参数方程(1) 标准式过点Po(x0,y0)，倾斜角为α的直线l( 如图 ) 的参数方程是x x0t cosa为参数 )(ty y0t sin a(2) 一般式过定点 P0(x 0,y 0) 斜率 k=tg α = b的直线的参数方程是ax x0at(t 不参数 )②y y0bt在一般式②中，参数 t不具备标准式中t 的几何意义，若 a2+b2=1, ②即为标准式，此时，｜ t ｜表示直线上动点P 到定点 P0的距离；若a2+b2≠ 1，则动点 P 到定点 P0的距离是a2b2｜t｜.直线参数方程的应用设过点 P (x ,y), 倾斜角为α的直线 l 的参数方程是000x x0t cosa（ t 为参数）y y0t sin a若 P 、 P是 l上的两点，它们所对应的参数分别为t ,t，则1212(1)P 1、 P2两点的坐标分别是(x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α)(x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α) ；(2)｜ P1P2｜=｜ t 1-t 2｜ ;(3)线段 P1P2的中点 P所对应的参数为 t ，则t=t1t 22中点t1t 2｜P 到定点 P 的距离｜ PP ｜=｜ t ｜ =｜002(4)若 P0为线段 P1P2的中点，则t 1+t 2=0.2.圆锥曲线的参数方程(1)圆x a r cos圆心在 (a,b) ，半径为 r 的圆的参数方程是b( φ是参数 )y r sinφ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，φ∈［ 0,2π］ ( 见图 ) (2)椭圆椭圆 x2y 21(a＞b＞0)的参数方程是a 2b2x a cosy bsin(φ为参数)椭圆y 2y2(a ＞b＞ 0) 的参数方程是a12b2x b cos( φ为参数 )y asin3.极坐标极坐标系在平面内取一个定点O，从 O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向) ，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线 Ox 叫做极轴 .①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可 .点的极坐标设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox 到OM的角度，那么ρ叫做 M点的极径，θ叫做 M点的极角，有序数对 ( ρ , θ ) 叫做 M点的极坐标 .( 见图 )极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与 x 轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位 .(2)互化公式x cos2x2y2 y( xy sin 'tg0)x三、知识点、能力点提示( 一 ) 曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化例 1在圆x2+y2-4x-2y-20=0上求两点 A 和 B，使它们到直线4x+3y+19=0 的距离分别最短和最长 .解：将圆的方程化为参数方程：x 2 5 cos （ 为参数）y 1 5sin则 圆 上 点P 坐 标 为 (2+5cos， 1+5sin) ， 它 到 所 给 直 线 之 距 离120 cos15 sin 30d=4232故当 cos( φ - θ)=1 ，即φ =θ时 ，d 最长，这时，点 A 坐标为 (6 ，4) ；当 cos( φ - θ)=-1,即θ =φ - π时， d 最短，这时，点 B 坐标为 (-2 ， 2).( 二 ) 极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化说明 这部分内容自 1986 年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.例 2极坐标方程ρ =1所确定的图形是（ ）2 3 sincosA. 直线B. 椭圆C. 双曲D. 抛 物线11 1解： ρ =231cos2[1 ()] 1 sin()2 26( 三 ) 综合例题赏析例 3x3 cos(是参数 )的两个焦点坐标是椭圆1（ ）y 5sinA.(-3 ， 5) ， (-3 ， -3)B.(3 ， 3) ， (3 ， -5)C.(1 ，1) ， (-7 ， 1)D.(7 ， -1) ，(-1 ， -1)解：化为普通方程得( x3) 2 ( y 1)21925∴ a 2=25,b 2=9, 得 c 2＝１６ ,c=4.∴ F(x-3,y+1)=F(0, ± 4)∴在 xOy 坐标系中，两焦点坐标是 (3 ， 3) 和 (3 ， -5).应选 B.例 4 参数方程xcos sin22(02 )表示y1(1sin )2A. 双曲线的一支，这支过点(1 ， 1)B. 抛物线的一部分，这部分过(1 ，21 )2C. 双曲线的一支，这支过 (-1 ， 1)D.抛物线的一部分，这部分过 (-1 ，21 ) 2解：由参数式得 x 2=1+sin θ=2y(x ＞ 0)即 y= 1x 2(x ＞ 0).2∴应选 B.例 5x sin ( )在方程( θ为参数 ) 所表示的曲线一个点的坐标是ycosA.(2,-7)B. （ 1 ，2）C.( 1 ， 1)D.(1 ，0)3 322解： y=cos2 =1-2sin2 =1-2x 2将 x= 1 代入，得 y=12 2∴应选 C.例 6 下列参数方程 (t 为参数 ) 与普通方程 x 2-y=0 表示同一曲线的方程是( )x t x cost xtgtC.A.B.ycos 2t1 cos 2t yty1 cos2tx tgtD.1 cos2t y1 cos2t解：普通方程x 2-y 中的 x ∈ R ， y ≥ 0， A. 中 x=｜ t ｜≥ 0， B. 中 x=cost ∈〔 -1,1 〕，故排除 A. 和 B.2cos 2 t2t=11 2C. 中 y=2t =ctg 2tx 2 =，即 x y=1，故排除 C.2sintg∴应选 D.例 7曲线的极坐标方程ρ =４ sin θ化 成直角坐标方程为 ( )A.x 2 +(y+2) 2=4B.x2+(y-2)2=4C.(x-2) 2+y 2=4D.(x+2) 2 +y 2=4解：将ρ = x 2y 2 ，sin θ =y 代入ρ =4sin θ，得 x 2+y 2=4y ，即 x 2+(y-2) 2=4. x 2 y 2∴应选 B.例 8 极坐标ρ =cos( ) 表示的曲线是 ( )4A. 双曲线B. 椭圆C.抛物线D.圆解：原极坐标方程化为ρ =12(cos θ +sin θ ) 22=ρcos θ +ρsin θ，∴普通方程为2 (x 2+y 2)=x+y ，表示圆 .应选 D. 例 9在极坐标系中，与圆ρ =4sin θ相切的条直线的方程是 ( )A. ρ sin θ =2B. ρcos θ =2C. ρ cos θ =-2D.ρcos θ =-4例 9 图解：如图 .⊙ C 的极坐标方程为ρ =4sin θ， CO ⊥ OX,OA 为直径，｜ OA ｜ =4,l 和圆相切，l 交极轴于 B(2， 0) 点 P(ρ , θ ) 为 l 上任意一点，则有cos θ =OB2，得ρ cos θ =2，OP∴应选 B.例 10 4ρsin 22 =5 表示的曲线是 ()A. 圆B. 椭圆C.双曲线的一支D. 抛 物线解： 4ρ sin 2 2 =54ρ·cos2 122 cos5.把ρ = x 2y 2ρ cos θ =x ，代入上式，得2 x 2 y 2 =2x-5.平方整理得 y 2=-5x+25. . 它表示抛物线 .4∴应选 D.例 11极坐标方程 4sin 2θ =3 表示曲线是 ()A. 两条射线B.两条相交直线C.圆D. 抛 物线2y 2223x , 它表示两相交直线 .解：由 4sin θ =3, 得 4· x 2 y 2 ＝3, 即 y =3 x ，y=± ∴应选 B.四、能力训练( 一 ) 选择题1. 极坐标方程ρ cos θ = 4表示 ( )3A. 一条平行于 x 轴的直线B. 一条垂直于 x 轴的直线C. 一个圆D.一条抛物线2. 直线： 3x-4y-9=0 与圆：x 2 cos ( 为参数 ) 的位置关系是 ( ) y 2 sin,A. 相切B.相离C. 直线过圆心D.相交但直线不过圆心3. 若 (x ， y) 与 ( ρ，θ )( ρ∈ R)分别是点 M 的直角坐标和极坐标， t 表示参数，则下列各组曲 线：①θ =和 sin θ = 1；②θ =和 tg θ =3，③ρ 2-9=0 和ρ = 3 ；④6263x22t2和x2 2t y1y3 t3 t2其中表示相同曲线的组数为 ( )A.1B.2C.3D.44. 设 M(ρ 1，θ 1) ，N(ρ 2，θ 2) 两点的极坐标同时满足下列关系：ρ 1+ρ 2=0 ，θ1+θ 2=0，则 M ， N 两点位置关系是 ()A. 重合B. 关于极点对称C.关于直线θ =D. 关 于 极 轴2对称5. 极坐标方程ρ =sin θ +2cos θ所表示的曲线是 ( )A. 直线B. 圆C.双曲线D. 抛物线6. 经过点 M(1，5) 且倾斜角为的直线， 以定点 M 到动点 P 的位移 t 为参数的参数方程3是( )x 1 1tx 1 1tx 1 1tA ．2 B.2 C.23 3 3yt t t5y 5y 5222y1 3 tD.2 x51t2m 2 2m7. 将参数方x am 2 2m 2y b2m 2m 2 2m 2(m 是参数， ab ≠ 0) 化为普通方程是 ( )x 2 y 2 1( x a)x 2 y 2 1( xa) A.b 2B.b 2a 2a 2C. x 2y 21( x)x 2 y 2 1( xa)a 2b 2aD.b 2a 28. 已知圆的极坐标方程ρ =2sin( θ+) ，则圆心的极坐标和半径分别为 ()6A.(1,),r=2 B.(1,),r=1C.(1,),r=1 D.(1,363- ),r=23xt19. 参数方程t (t为参数 ) 所表示的曲线是 ( )y2A. 一条射线B.两条射线C.一条直线D.两 条直线x 2 tg10. 双曲线( θ为参数 ) 的渐近线方 程为 ( )y 1 2 secA.y-1=1( x 2)B.y=1 x C.y-1=2(x2)22D.y+1= 2(x2)11. 若直线x 4 at( (t 为参数 ) 与圆 x 2+y 2-4x+1=0 相切，则直线的倾斜角为( )y btA.B.2 C.或2D.333 3 3或 53x 2 pt 2 为参数 ) 上的点 M ，N 对应的参数分别为 t 1，t 2，且 t 1+t 2=0，12. 已知曲线(ty2 pt那么 M ， N 间的距离为 ()A.2p(t 1+t 2)B.2p(t 22 C.│2p(t 1-t 2)│1+t 2)D.2p(t 1-t 2) 213. 若点 P(x ，y) 在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，点 M(-2xy ，y 2-x 2) 也在单位圆上运动，其运动规律是( )A. 角速度ω，顺时针方向B. 角速度ω，逆时针方向C. 角速度 2ω , 顺时针方向D.角速度 2ω，逆时针方向14. 抛物线 y=x 2-10xcos θ +25+3sin θ-25sin2θ与 x 轴两个交点距离的最大值是( )A.5B.10C.23D.315. 直线ρ =3 与直线 l 关于直线θ =( ρ∈ R)对称，则 l 的方程是 ( )2cossin4A ．3B ．3sin2 coscos 2 cosC ．3D ．32 sincos2sincos( 二 ) 填空题x3 4 t16. 若直线 l的参数方程为5 (t 为参数 ) ，则过点 (4 ，-1) 且与 l 平行的直线3 ty25在 y 轴上的截距为.xcoscos17. 参数方程1 （为参数）化成普通方程为.sinycos118. 极坐标方程ρ =tg θ sec θ表示的曲线是.19. x 1 3t(t 为参数 ) 的倾斜角为；直线上一点 P(x ， y) 与点 M(-1 ，直线2 3ty 2) 的距离为.( 三 ) 解答题20. 设椭圆x 4 cos( θ为参数 ) 上一点 P ，若点 P 在第一象限， 且∠ xOP=，求y 2 3 sin3点 P 的坐标 .21. 曲线 C 的方程为x 2 pt 2y(p ＞ 0， t 为参数 ) ，当 t ∈［ -1 ， 2］时 ，曲线 C 的端2 pt点为 A ， B ，设 F 是曲线 C 的焦点，且 S =14，求 P 的值 .△ AFB22. 已知椭圆 x2y 2 =1 及点 B(0 ，-2) ，过点 B 作直线 BD ，与椭圆的左半部分交于 C 、2D 两点，又过椭圆的右焦点F 2 作平行于 BD 的直线，交椭圆于G ， H 两点 .(1) 试判断满足│2BD 是否存在 ?并说明理BC │·│ BD │ =3│ GF │·│ F 2H │成立的直线由 .(2) 若点 M 为弦 CD 的中点， S △ BMF2=2，试求直线 BD 的方程 .x 8 4sec23. 如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线( θ为参数 ) 的左焦点y 3tg和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为9，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离. 424.A ，B 为椭圆x2y 2上的两点，且 OA⊥ OB，求△ AOB的面积的最大a2b2 =1，(a ＞ b＞ 0)值和最小值 .25. 已知椭圆x2y 2=1，直线 l ∶xy=1，P 是 l 上一点，射线 OP交椭圆于点 R，24161282又点 Q在 OP上且满足│ OQ│·│ OP│ =│OR│ ，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程.参考答案( 一 )1.B 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.A 8.C 9.B 10.C 11.C 12.C 13.C 14.C 15.D( 二 )16.-4 ；17.y ２=-2(x- 1),(x≤ 1);18. 抛 物线； 19.135 °,|32 t|22 ( 三 )20.(8 5 , 4 15) ； 21.2 3 ;55322.(1) 不存在， (2)x+y+2=0 ； 23. 1(27-341 ) ；24.Smax=ab， s max =a 2b 2;5 2a 2b 2(x 1) 2 ( y 1) 2不同时为零 )25.=1(x,y)5522。

参数方程大全范文参数方程是一种用来描述曲线、曲面或立体图形的数学方法。

与直角坐标系的方程不同，参数方程使用一个或多个参数来表示曲线或曲面上的点的坐标。

以下是一些常见的参数方程的示例：1.二维平面上的曲线：- 直线：x = at + b, y = ct + d （a, b, c, d为常数）- 抛物线：x = at^2 + bt + c, y = dt^2 + et + f （a, b, c, d, e, f为常数）- 椭圆：x = a*cos(t), y = b*sin(t) （a, b为常数）- 双曲线：x = a*sec(t), y = b*tan(t) （a, b为常数）- 阿基米德螺线：x = at*cos(t), y = at*sin(t) （a为常数）- 伯努利双纽线：x = a*cosh(t), y = b*sinh(t) （a, b为常数）2.三维空间中的曲线：- 直线：x = at + b, y = ct + d, z = et + f （a, b, c, d, e, f为常数）- 螺线：x = at*cos(t), y = at*sin(t), z = bt （a, b为常数）- 柱面：x = a*cos(t), y = a*sin(t), z = bt （a, b为常数）- 螺旋线：x = a*cos(t), y = a*sin(t), z = bt （a, b为常数）3.二维平面上的曲面：-零面：x=u,y=v,z=0（u,v为任意参数）- 平面：x = au + bv + c, y = du + ev + f, z = gu + hv + i （a, b, c, d, e, f, g, h, i为常数）- 圆柱面：x = a*cos(u), y = a*sin(u), z = bt （a, b为常数）- 双曲面：x = a*cosh(u)*cos(v), y = b*cosh(u)*sin(v), z = c*sinh(u) （a, b, c为常数）- 椭球面：x = a*cos(u)*sin(v), y = b*sin(u)*sin(v), z =c*cos(v) （a, b, c为常数）4.三维空间中的曲面：- 球面：x = a*sin(u)*cos(v), y = b*sin(u)*sin(v), z =c*cos(u) （a, b, c为常数）- 圆环面：x = (a + b*cos(v))*cos(u), y = (a +b*cos(v))*sin(u), z = b*sin(v) （a, b为常数）- 柱面：x = a*cos(u), y = a*sin(u), z = v （a为常数）- 双曲抛物面：x = a*u*cos(v), y = a*u*sin(v), z = u^2/2 （a 为常数）- 椭球体：x = a*cos(u)*sin(v), y = b*sin(u)*sin(v), z =c*cos(v) （a, b, c为常数）以上是一些常见的参数方程的示例，其中的参数和常数可以根据需要适当调整。

高中参数方程知识点总结参数方程是描述曲线的一种方式，在高中数学中扮演着重要的角色。

掌握参数方程的知识对于解决各种曲线问题，如求切线、求导数、求曲线的长度等有着重要的意义。

本文将总结高中数学中与参数方程相关的知识点。

一、参数方程的基本概念参数方程是以参数的形式来表示一组变量之间的函数关系。

在二维空间中，我们可以使用参数方程来表示平面上的曲线，通常是用一个参数（通常记作t）来描述该曲线上的点的变化。

例如，对于一个平面上的点P，其坐标可以表示为两个参数函数x(t)和y(t)，即P(x(t), y(t))。

二、参数方程的画法在平面上画出参数方程所代表的曲线需要以下步骤：1.取一组参数值，通常在给定的范围内均匀取值，例如取t从0到2π之间的值；2.使用这组参数值，通过计算得到曲线上的一组点的坐标；3.将这组点依次连接起来，即可得到曲线的大致形状。

举例说明，考虑参数方程x(t) = 3cos(t) y(t) = 2sin(t)要画出该曲线，可以取不同的t值，然后计算x和y的值，并将这些点连接起来，如下表所示：t x(t) y(t)0 3 0π/6√3 1π/3 1.5 √3/2π/20 12π/3-1.5 √3/25π/6-√3 1π-3 0将上述点连接起来，即可得到一个椭圆形的曲线。

三、参数方程与笛卡尔坐标系的转换在解决和参数方程相关的问题时，有时需要将参数方程转换为笛卡尔坐标系中的方程。

常用的转换方法有以下两种：1.直接替换法：将参数方程中的x和y分别替换为它们关于参数的表达式，例如将x(t)和y(t)分别替换为x和y，所得到的方程即为笛卡尔坐标系中的方程；2.消参法：将一个参数表达式代入另一个参数表达式中，消去参数，得到一个只含有一个变量的方程。

四、参数方程的性质参数方程代表了平面上的曲线，具有以下性质：1.对称性：某些参数方程具有对称性，例如x(t) = t, y(t) = -t表示的曲线以y轴为对称轴；2.点的处置：曲线上的不同点对应不同的参数值，但是一个参数值对应的点可能不止一个。

高二数学参数方程试题1.直线的参数方程是（）A．（t为参数）B．（t为参数）C．（t为参数）D．（为参数）【答案】C.【解析】A：这与直线方程中矛盾，故A错误，同理选项D中也错误，而B消去参数后可得：，∴B错误，C消去参数后可得：，正确.【考点】直线的参数方程.2.在极坐标系中，曲线：与曲线：的一个交点在极轴上，则=_______.【答案】【解析】∵曲线的极坐标方程为：，∴曲线的普通方程是x+y 1=0，∵曲线的极坐标方程为ρ=a（a＞0）∴曲线的普通方程是∵曲线：与曲线：ρ=a（a＞0）的一个焦点在极轴上∴令y=0则x=，点（，0）在圆上解得a=，故答案为： .【考点】简单曲线的极坐标方程.3.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，过点的直线的参数方程为（为参数），直线与曲线相交于两点．（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若，求的值.【答案】(1)直角坐标方程为，普通方程为；(2).【解析】(1)由得，极坐标方程得，将参数方程中的参数消去可得的普通方程；(2)将参数方程代入直角坐标方程化为关于的一元二次方程，结合条件利用韦达定理解出.试题解析：(1)由得∴曲线的直角坐标方程为直线的普通方程为(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中，得设两点对应的参数分别为则有∵∴即∴解之得:或 (舍去)∴的值为.【考点】1.参数方程；2.极坐标方程；3.一元二次方程的解法.4.参数方程(为参数)化成普通方程是A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以由，可得，消去，得，，且，即，故选D。

【考点】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，三角函数倍半公式。

点评：小综合题，通过消去参数，可以得到普通方程。

消参数的方法有：代入法、加减法、平方关系法等，要结合具体题目灵活选择。

5.参数方程(0≤t≤5)表示的曲线（形状）是【答案】线段【解析】消去t2得，x-2=3(y-1)是直线，又由0≤t≤5,得2≤x≤77,故为线段。

高二数学参数方程试题答案及解析1.方程（t为参数）表示的曲线是（）。

A．一条直线B．两条射线C．一条线段D．抛物线的一部分【答案】B【解析】当时，；当时，，将参数方程化为普通方程为，或，表示两条射线，答案选B.【考点】参数方程与基本不等式2.经过点，倾斜角为的直线，与曲线：（为参数）相交于两点．（1）写出直线的参数方程，并求当时弦的长；（2）当恰为的中点时，求直线的方程；（3）当时，求直线的方程；（4）当变化时，求弦的中点的轨迹方程．【答案】(1);(2);(3)或（4）【解析】(1)将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程；掌握常见的将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程;(2)解决直线和曲线的综合问题：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与曲线的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.（4）根据题意设点根据点到直线的距离公式.试题解析：解：（1）的参数方程（为参数）． 1分曲线化为：，将直线参数方程的代入，得∵恒成立， 3分∴方程必有相异两实根，且，．∴∴当时，． 5分（2）由为中点，可知，∴，故直线的方程为． 7分（3）∵，得∴,∴或故直线的方程为或 9分（4）∵中点对应参数∴（参数），消去，得弦的中点的轨迹方程为；轨迹是以为圆心，为半径的圆． 10分【考点】（1）求弦长问题；（2）求直线方程；（3）中点弦的轨迹方程.3.将参数方程（t为参数）化成普通方程为_________．【答案】.【解析】将参数方程化为普通方程，就是将其中的参数消去，利用代入法化为普通方程为即为所求.【考点】参数方程化为普通方程.4.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．（Ⅰ）求圆C的圆心到直线l的距离；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B．若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）将两个参数方程转化为普通方程，直线l的方程为，圆C的方程为，可以得出圆心坐标，利用点到直线的距离公式即可求出所要求的距离；（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，化简得，设t1、t2是上述方程的两个实根，得．试题解析：（Ⅰ）由，可得，即圆C的方程为．由可得直线l的方程为．所以，圆C的圆心到直线l的距离为．…（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，即．由于△=．故可设t1、t2是上述方程的两个实根，所以，又直线l过点，故由上式及t的几何意义得．【考点】参数方程.5.曲线与坐标轴的交点是（）A．B．C．D．【解析】令x=0，得，代入方程得，因此与y轴交点坐标为；令y=0，得，代入方程得，因此与y轴交点坐标为，所以答案选B.【考点】参数方程与交点坐标6.直线的斜率为______________________。

高考参数方程归纳总结一、参数方程的基本概念参数方程是指使用参数表示自变量和因变量之间的关系。

在数学中，参数方程常用于描述曲线、曲面或其他几何体的运动和变化规律。

在高考中，参数方程也是一道经典的考题类型，要求考生对参数方程的性质和特点进行分析和应用。

二、常见的参数方程类型1. 二维平面曲线的参数方程二维平面曲线的参数方程常用于描述平面上的曲线轨迹。

常见的参数方程类型有：- 抛物线的参数方程：x = t, y = at²- 圆的参数方程：x = rcos(t), y = rsin(t)- 椭圆的参数方程：x = acos(t), y = bsin(t)- 双曲线的参数方程：x = asec(t), y = btan(t)2. 三维空间曲线的参数方程三维空间曲线的参数方程常用于描述空间中的曲线轨迹。

常见的参数方程类型有：- 直线的参数方程：x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct- 空间曲线的参数方程：x = f(t), y = g(t), z = h(t)3. 二维平面曲面的参数方程二维平面曲面的参数方程常用于描述平面上的曲面形状。

常见的参数方程类型有：- 圆柱面的参数方程：x = acos(t), y = asin(t), z = bt- 双曲抛物面的参数方程：x = at, y = bt², z = ct4. 三维空间曲面的参数方程三维空间曲面的参数方程常用于描述空间中的曲面形状。

常见的参数方程类型有：- 球面的参数方程：x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ- 椭球面的参数方程：x = a sinφcosθ, y = b sinφsinθ, z = c cosφ- 椭圆抛物面的参数方程：x = at², y = bt, z = ct三、参数方程的性质和应用1. 曲线的方向性在参数方程中，通过参数的增加方向可以确定曲线的运动方向。