高二数学极坐标与参数方程PPT优秀课件

x＝3－2 t2 ∴曲线 C 的参数方程为 y＝3t－2 t3
(t 为参数)．
考点三 极坐标、参数方程的综合应用
利用极坐标、参数方程与普通方程间的转化，把 点、线和曲线等问题转化为熟知内容，进而解决 有关问题．
例3 (2011 年盐城市高三调研)已知直线 l 的参数方 程xy＝＝1t ＋2t (t 为参数)和圆 C 的极坐标方程 ρ＝
x＝a＋rcosθ，
y＝b_＋__r_si_n_θ___其___中_. θ是参数． 当圆心在(0,0)时，方程为
x＝rcosθ， y＝rsinθ.
(3)椭圆 中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种 情况： ①椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的参数方程是x__＝y_＝_a_cbo_ss_iθn_，θ___. 其 中 θ 是参数．
参数)，
所以曲线 C 的直线坐标方程为 y＝12x2(x∈[－
2,2])，
联立解方程组得xy＝＝00，，
或x＝2 3， y＝6.
根据 x 的范围应舍去x＝2 3， y＝6，
故 P 点的直角坐标为(0,0)．
考点一
考点探究·挑战高考
考点突破 极坐极系与直角坐标系的互化
1．极坐标的四要素：(1)极点；(2)极轴；(3)长 度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一 不可．
＝sinθ＋π4cos π4－cosθ＋π4sin π4＝ 22，
cosθ＝ cosθ＋ π4 －π4
＝cosθ＋π4 cos
π4＋sinθ＋π4 sin
π4＝
2 2.
所以点 P 的坐标为
2，
2 2
.
从而椭圆 C 上到直线 l 的距离最小的点 P 的坐标为

y
直线 ρ（cosθ+ 3 sinθ）= 2 化为
普通方程 x 3 y 2 .圆上任一
O
x x 点 P( x，y) 到得距离为
d | x 3y2| ． 2
思绪分析
例 6 在极坐标系中，设圆 C：ρ= 3 上的点到直线 l：ρ（cosθ+ 3 sinθ）= 2 的距离为 d，求 d 的最大值.
的点的坐标. 思 路：直线上每个点对应一个参数，求出
这个参数即可．
过程解析
解 （ 1） 因 P 为 椭 圆 x2 y2 1 上 任 意 点 ， 故 可 设 4
P(2cosq ,sinq ) ,其中q R ． 依题意，直线 l 的普通
方程为 x 2y 0 ．因此点 P 到直线 l 的距离是
C
O
x
思绪分析
例 1 在极坐标系中，已知圆 C 的圆心坐标为 C (2，
π )，半径 R= 5 ，求圆 C 的极坐标方程. P
3
C
思路 1：运用直接法，寻求点 P 的极径r与 O
x
极角q的关系，即是圆的极坐标方程.
思路 2：化为直角坐标研究.
求解过程
解 设 P( ρ，θ )是圆 C 上的任意一点，则
基础知识
极坐标与直角坐标旳互化
x r cosq，
y
r
sin q ．
r 2 x2 y2，
tan
q
y (x x
0)．
一般，将直角坐标化为极坐标时，r 0，0 ≤q 2π．
经典例题
例 1 在极坐标系中，已知圆 C 的圆心坐标为 C (2， π )，半径 R= 5 ，求圆 C 的极坐标方程. 3
2.
过程解析
（2）设 P（x，y）为曲线 x2 y2 9 (0≤ x ≤3，0 ≤ y ≤3)

所以，经过伸缩变换后，直线 2x＋4y＝1 变成直线 x′＋y′＝1. (2)将 ①代入 x ＋ y ＝ 4，得到经过伸缩变换后的图形的方程为 x′2 y′2 ＋ ＝4. 4 16
2 2 x ′ y ′ 所以，圆 x2＋y2＝4 经过伸缩变换后变成椭圆 ＋ ＝1. 16 64 2 2
x ′ y′ 答案：(1)x′＋y′＝1 (2) ＋ ＝4 4 16
2
2
5x＇＝x 例 3 在平面直角坐标系中，经过伸缩变换 曲线 C 变 4y＇＝y，
为曲线 x′2＋y′2＝1，求曲线 C 的方程． 解析：设曲线 C 上任意一点为(x，y)，经过伸缩变换后对应点的 坐标为(x′，y′)，
5x′＝x， 由 得 4y′＝y
x y 1 代入 x′ ＋y′ ＝1，得25＋16＝1. y′＝4y.
题型二 伸缩变换
例 2 在平面直角坐标系中， 求下列方程所对应的图形经过伸缩
x＇＝2x， 变换 后的图形． y′＝4y
(1)2x＋4y＝1；(2)x2＋y2＝4.
x′＝2x， 解析：由伸缩变换式 得 y′＝4y
1 y＝4y′.
1 x＝ x′， 2
①
(1)将①代入 2x＋4y＝1，得到经过伸缩变换后的图形方程为 x′ ＋y′＝1.
2.平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中方程表示图形,那么平面图形的伸缩变换 就可归纳为坐标伸缩变换,这就是用代数方法研究几何变换. (2)设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 ������' = ������������(������ > 0), φ: 的作用下,点 P(x,y)对应到点 P'(x',y'),称 φ 为平面直 ������' = ������������(������ > 0) 角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

当 θ1=θ2，|AB|＝/ρ1—-ρ2/
• 3．直线的极坐标方程：若直线过点M(ρ0，θ0)，且极 轴到此直线的角为α，则它的方程为：
• ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． • 几个特殊位置的直线的极坐标方程 • (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π+θ0； • (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0 ＋t2cos α，y0＋t2sin α)． (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝t1＋2 t2， 中点 M 到定点 M0 的距离|MM0|＝|t|＝t1＋2 t2. (4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0.
[解] (1)直线 l 的普通方程为 xsin α－ycos α＋cos α＝0. 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ＝4sin θ， 即 ρ2cos2θ＝4ρsin θ，∵ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＝4y.
x＝tcos α， (2)将 l: y＝1＋tsin α 代入曲线 C∶x2＝4y 中， 得 t2cos2α－4tsin α－4＝0.
意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以 便正确地求出角θ. • (2)注意“双坐标系”是直角坐标与极坐标互化的 前提．若要判断曲线的形状，通常是先将极坐标 方程化为直角坐标方程，再判断．
(3)极坐标系中两点间的距离公式：已知点 A(ρ1，θ1)，
B(ρ2，θ2)，那么|AB|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2.

∴直角坐标方程为 x2＋y2＝4ay. (2)把方程变形为 ρ2＝9(ρcos θ＋ρsin θ )， ∵ρ 2＝x2＋y2，ρ cos θ ＝x，ρ sin θ ＝y， ∴直角坐标方程为 x2＋y2＝9(x＋y)． 答案：(1)x2＋y2＝4ay (2)x2＋y2＝9(x＋y)
4．(1)直角坐标方程x＋y－2＝0化为极坐标方程是________；

2
（3）直线 l 过点 P a, 且与极轴平行，则直线 l 的极坐标方程为 sin 2
a
0
题型一 求简单的极坐标方程
解析：在圆上任取一点 P(ρ，θ )，那么，在△AOP 中，|OA|＝8， 解析：在圆上任取一点 P(ρ，θ)，那么，在△AOP 中，|OA|＝8， π π |AP|＝5，∠AOP＝ － θ 或 . θ － π π 3 p A － 3 . |AP|＝5，∠AOP＝ －θ 或θ 3 3 π 82＋ρ2－52 82＋ρ2－52 π 由余弦定理，得 cos －θ＝ . 由余弦定理，得 cos － . θ＝ 3 2 × 8 ρ 2×8ρ 3 π π ＋ 39 ＝ 为所求的极坐标方程． ＋ 即 ρ －16ρcosθ 39 ＝ 00为所求的极坐标方程． － － θ 33
2 2 即 ρ －16ρcos
＋ 39 ＝ 0 ＋ 答案：ρ －16ρcosθ－ 39 ＝ 0 3 3
π ，半径为 5 的圆的方程． 例 1 在极坐标平面上，求圆心A8， π 3 ，半径为 例 1 在极坐标平面上，求圆心 A8， 5 的圆的方程． 3
3π sin －θ 4
＝
. 7π sin 12
ρ

x
y
a b
r r
cos sin
(为参数)
其中参数的几何意义为: θ为圆心角
4.椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)的参数方程为:
x
y
a b
cos sin
(为参数)
双基自测
1．极坐标方程 ρ＝cos θ 和参数方程xy＝ ＝2－＋1t－t， (t 为参
数)所表示的图形分别是( )．
A．直线、直线
答案 (－4,0)
4．(2013·广州调研)已知直线 l 的参数方程为：xy＝＝12＋t，4t (t 为参数)， 圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2 2sin θ，则直线 l 与圆 C 的位置关系为 ________．
x＝2t，
解析 将直线 l 的参数方程：
化为普通方程得，y＝1＋2x，
y＝1＋4t
圆 ρ＝2 2sin θ 的直角坐标方程为 x2＋(y－ 2)2＝2，圆心(0， 2)到
重点方法：<1>消参的方法；<2>极 坐标方程化为直角坐标方程的方法； <3>设参的方法。
1、过定点 M 0 (x0 , y0 ) 、倾斜角为 的直线 l 的参
数方程为
x
y
x0 y0
t cos t sin
，(t
为参数)
我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式，其
中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x,y)为终 点的有向线段的数量M0M。当点M在点M0的上方时， t>0；当点M在点M0的下方时，t<0；当点M与点M0重合 时，t=0。很明显，我们也可以参数t理解为以M0为原点， 直线l向上的方向为正方向的数轴上点M的坐标，其长度

谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升程 极品 课件系列
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3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克