职高高二数学教案坐标变换与参数方程(供参考)

直角坐标系坐标系与参数方程数学教案【教案名称】：直角坐标系与参数方程的转化及应用【教学目标】：1.理解直角坐标系和参数方程的概念；2.掌握直角坐标系与参数方程之间的转化方法；3.能够应用直角坐标系与参数方程解决实际问题。

【教学重点】：1.直角坐标系与参数方程的概念；2.直角坐标系与参数方程的转化方法。

【教学难点】：【教学准备】：1.教师准备：投影仪、电脑；2.学生准备：纸和笔。

【教学过程】：一、引入（10分钟）1.教师通过投影仪展示直角坐标系的图片，让学生了解直角坐标系的概念和基本原理。

2.教师解释参数方程的概念，并通过实例引导学生理解参数方程代表了一种曲线的轨迹。

二、直角坐标系与参数方程的转化（30分钟）1.教师以一个简单的直角坐标系方程为例，将其转化为参数方程，详细解释转化的步骤和方法。

2.教师给学生讲解如何从参数方程反推回直角坐标系的方程，引导学生理解直角坐标系与参数方程之间的关系。

3.教师设计相关练习，让学生通过实践巩固掌握直角坐标系与参数方程的转化方法。

三、直角坐标系与参数方程的应用（40分钟）1.教师通过实际问题引导学生探究直角坐标系与参数方程的应用场景，如天梯问题、抛体运动问题等。

2.教师解答学生在探究过程中遇到的问题，引导学生分析解决问题的思路和方法。

3.教师设计相关练习，让学生通过实际应用问题的解决，巩固直角坐标系与参数方程的转化技巧。

四、归纳总结（10分钟）1.教师与学生一起总结直角坐标系与参数方程的转化方法和应用场景。

2.教师强调掌握直角坐标系与参数方程的转化方法对于解决实际问题的重要性。

【教学延伸】：教师可以引导有兴趣的学生进一步学习极坐标系与参数方程之间的转化方法和应用。

【板书设计】：x轴、y轴x=f(t)y=g(t)x=f(y)y=g(x)x=f(t)y=g(t)【教学反思】：本节课通过引入直角坐标系和参数方程的概念，让学生对两者有了初步的了解。

通过演示和实例讲解，学生能够理解直角坐标系和参数方程之间的转化方法。

“参数方程》教案(新人教选修)”一、教学目标1. 理解参数方程的定义和特点。

2. 学会将直角坐标方程转换为参数方程。

3. 能够解参数方程并将其转换回直角坐标方程。

4. 掌握参数方程在实际问题中的应用。

二、教学内容1. 参数方程的定义和特点引入参数方程的概念，解释参数方程中的参数意义。

分析参数方程与直角坐标方程的关系。

2. 参数方程的转换教授如何将直角坐标方程转换为参数方程。

练习将给定的直角坐标方程转换为参数方程。

3. 解参数方程讲解参数方程的解法步骤。

练习解给定的参数方程并将其转换回直角坐标方程。

4. 参数方程的应用通过实际问题引入参数方程的应用。

练习解决实际问题，运用参数方程。

三、教学方法1. 讲授法：讲解参数方程的定义、特点和转换方法。

2. 练习法：通过练习题让学生巩固参数方程的转换和解法。

3. 问题解决法：通过实际问题引导学生运用参数方程解决实际问题。

四、教学准备1. 教学PPT：制作参数方程的相关PPT课件。

2. 练习题：准备一些参数方程的练习题供学生练习。

3. 实际问题：准备一些实际问题供学生解决。

五、教学过程1. 引入参数方程的概念，解释参数方程中的参数意义。

2. 讲解如何将直角坐标方程转换为参数方程，并进行练习。

3. 讲解参数方程的解法步骤，并进行练习。

4. 通过实际问题引入参数方程的应用，并进行练习。

教学反思：在课后对教学效果进行反思，观察学生对参数方程的理解程度和应用能力。

根据学生的反馈情况进行调整教学方法和教学内容，以便更好地达到教学目标。

六、教学评估1. 课堂问答：通过提问学生，了解他们对参数方程的理解程度。

2. 练习题：布置一些参数方程的练习题，评估学生的掌握情况。

3. 实际问题解决：让学生解决一些实际问题，观察他们运用参数方程的能力。

七、拓展与延伸1. 讲解参数方程在实际应用中的更深入例子，如工程、物理等领域。

2. 介绍参数方程与其他数学概念的联系，如极坐标方程。

3. 引导学生进行参数方程的相关研究项目，加深对参数方程的理解。

选修4-4 教案教案1 平面直角坐标系（1 课时）教案2 平面直角坐标系中的伸缩变换（1 课时）教案3 极坐标系的的概念（1 课时）教案4 极坐标与直角坐标的互化（1 课时）教案5 圆的极坐标方程（2 课时）教案6 直线的极坐标方程（2 课时）教案7 球坐标系与柱坐标系（2 课时）教案8 参数方程的概念（1 课时）教案9 圆的参数方程及应（2 课时）教案10 圆锥曲线的参数方程（1 课时）教案11圆锥曲线参数方程的应用（1 课时）教案12 直线的参数方程（2 课时）教案13 参数方程与普通方程互化（2 课时）教案14 圆的渐开线与摆线（1 课时）课题：1、平面直角坐标系教学目的：知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法能力与与方法：体会坐标系的作用情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识教学重点：体会直角坐标系的作用教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题授课类型：新授课12 坐标系的作用————教学过程————复习回顾和预习检查1 平面直角坐标系中刻画点的位置的方法情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。

情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。

要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。

刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x 确定2、平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。

它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y）确定3、空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。

数学选修4-4 坐标系与参数方程导学案本章考试说明要求：1．坐标系的有关概念 2．简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的极坐标方程 3．极坐标方程与直角坐标方程的互化 4．参数方程 5．直线、圆和椭圆的参数方程 6．参数方程与普通方程的互化 7．参数方程的简单应用 本章具体内容：一、坐标系的有关概念1．平面直角坐标系的建立：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系.2．空间直角坐标系的建立：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系.3．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线OX ，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取 方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。

（其中O 称为 ，射线OX 称为 ）如图，设M 是平面上的任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线OX 为始边，射线OM 为终边所成的角。

那么有序数对(,)ρθ称为点M 的极坐标。

其中ρ称为 ，θ称为 . 由极径的意义可知0ρ≥.当极角θ的取值范围是[)0,2π时，平面上的点（除去极点）就与极坐标()(),0ρθρ≠建立一一对应的关系.约定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角. 4．极坐标的统一形式一般地，如果(),ρθ是点M 的极坐标，那么 或 ()k Z ∈,都可以作为点M 的极坐标. 二、简单图形的极坐标方程1．直线的极坐标方程：若直线过点00(,)M ρθ，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为： .注：几个特殊位置的直线的极坐标方程 （1）直线过极点方程： 图：（2）直线过点)0,(a M 且垂直于极轴 方程： 图：（3）直线过(,)2M b π且平行于极轴方程： 图： 练习：按下列条件写出直线的极坐标方程：①经过极点，且倾斜角为6π的直线； ②经过点2,4A π⎛⎫⎪⎝⎭，且垂直于极轴的直线； ③经过点3,3B π⎛⎫-⎪⎝⎭，且平行于极轴的直线； ④经过点()4,0C ，且倾斜角为34π的直线. 2．圆的极坐标方程： 若圆心为00(,)M ρθ，半径为r 的圆方程为： .注：几个特殊位置的圆的极坐标方程 （1）当圆心位于极点方程： 图： （2）当圆心位于(,0)M r方程： 图： （3）当圆心位于(,)2M r π方程： 图： 练习：按下列条件写出圆的极坐标方程： ①以()2,0A 为圆心，2为半径的圆； ②以4,2B π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，4为半径的圆； ③以()5,C π为圆心，且过极点的圆；④以4D π⎫⎪⎭为圆心，1为半径的圆. 三、极坐标方程与直角坐标方程的互化以直角坐标系的O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P 的直角坐标极坐标分别为（x ，y ）和(,)ρθ，则x =2ρ=y = tan θ=练习：①将下列各点的极坐标化为直角坐标：4π⎫⎪⎭= ； 6,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭= ； 112,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭= ； ()5,π= ； 34,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭= ； 34π⎛⎫- ⎪⎝⎭= . ②将下列各点的直角坐标化为极坐标：)= ；()1,1--= ；()3,0-= ；()0,5= ；(4,-= ；()= .考点1 极坐标与直角坐标互化例1 在极坐标中，求两点)4,2(),4,2(ππ-QP之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程.练习1 已知圆C：22(1)(1x y++=，则圆心C的极坐标为__(0,02)ρθπ>≤<练习2 在极坐标中，求两点间的距离：（1）)215,12(),35,5(00BA（2）)125,8(),12,3(ππBA（3）)0,0)(,(),,(212211>>ρρθρθρBA练习3 （1）在极坐标中，点),(θρP关于极轴的对称点的坐标为；（2）在极坐标中，求点)6,5(πM关于直线4πθ=的对称点的坐标为.考点2 极坐标方程与直角坐标方程互化例2 已知曲线C的极坐标方程是4sinρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的方程是40x y--=，点P是曲线C上的动点，点Q是直线l上的动点，求PQ的最小值．练习1 在极坐标系中，圆2cos=θρ与直线1cos=θρ的位置关系是．练习2 在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()6sin3cos=+θθρ的距离的最小值是_____ ．练习3在极坐标系中，过点4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sinρθ=的切线，则切线的极坐标方程是．练习4 设过原点O的直线与圆C：22(1)1x y-+=的一个交点为P，点M为线段OP的中点.（1）求圆C的极坐标方程；（2）求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．极坐标系强化训练1．点M的直角坐标是(1-，则点M的极坐标为（）A．(2,)3πB．(2,)3π-C．2(2,)3πD．(2,2),()3k k Zππ+∈2．极坐标方程cos2sin2ρθθ=表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆3．在极坐标系中，直线24sin=⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ被圆4=ρ截得的弦长为__ .4．设(A2，32π），(B3，3π）是极坐标系上两点，则AB= _.5．已知某圆锥曲线C的极坐标方程是22225916cosρθ=+，则曲线C的离心率为（）A．45B．53C．35D．456．在极坐标系中，已知曲线)3,1(.cos4:)3cos(:21-∈==+mCmC若和θρπθρ，则曲线C1与C2的位置关系是A．相切B．相交C．相离D．不确定7．在极坐标系中，直线21cos=θρ与曲线θρcos2=相交于A、B两点，O为极点，则∠AOB= 23π8．与曲线01cos=+θρ关于4πθ=对称的曲线的极坐标方程是01sin=+θρ9．以坐标原点为极点，横轴的正半轴为极轴的极坐标系下，有曲线C：4cosρθ=，过极点的直线θϕ=（Rϕ∈且ϕ是参数）交曲线C于两点AO,，令OA的中点为M.（1）求点M在此极坐标下的轨迹方程（极坐标形式）.（2）当53πϕ=时，求M点的直角坐标.10．已知直线lkkCl若直线和圆),0)(4cos(2:4)4sin(:≠+⋅==-πθρπθρ上的点到圆C上的点的最小距离等于2。

高中数学参数与坐标教案教学目标：1. 了解参数方程和坐标的基本概念；2. 学会根据参数方程确定图形的特点和性质；3. 掌握参数方程与坐标系之间的转换方法；4. 能够应用参数方程和坐标系解决实际问题。

教学重点：1. 参数方程的理解和应用；2. 参数方程与坐标之间的转换；3. 解决实际问题的能力。

教学难点：1. 参数方程与坐标系之间的转换方法；2. 实际问题的解决方法。

教学过程：一、导入（5分钟）教师引导学生回顾直角坐标系和极坐标系的基本概念，并提出参数方程与坐标系的关系。

二、讲解参数方程（15分钟）1. 介绍参数方程的定义和表示方法；2. 通过例题讲解参数方程与图形的关系；3. 引导学生思考参数方程的应用场景。

三、讲解坐标与参数方程的转换（20分钟）1. 介绍参数方程与坐标系的转换方法；2. 通过实例演示参数方程转换为直角坐标系和极坐标系的过程；3. 练习相应的题目巩固知识点。

四、实际问题解决（15分钟）1. 给出实际问题，要求学生利用参数方程和坐标系解决；2. 引导学生分析问题、建立参数方程和运用坐标系解决问题。

五、总结与评价（5分钟）1. 整理本节课的主要内容和重点知识；2. 要求学生对本节课进行自我评价，并提出问题和建议。

六、作业布置（5分钟）老师布置适当数量的习题作业，以巩固学生对参数方程与坐标的理解和运用。

教学反思：1. 每个环节的时间控制要合理，确保学生能够充分理解和消化所学知识；2. 老师应该引导学生积极思考，培养学生的问题解决能力；3. 作业的布置要有针对性，既巩固知识点又提高学生的解决问题的能力。

参数方程教案教案名称：参数方程教学案教学目标：1. 了解参数方程的概念和基本性质。

2. 掌握参数方程与直角坐标系之间的转换。

3. 学习如何绘制和分析参数方程描述的曲线。

教学重点：1. 参数方程的定义和表示。

2. 参数方程与直角坐标系之间的转换方法。

3. 使用参数方程绘制和分析曲线的技巧。

教学难点：1. 参数方程与直角坐标系之间的转换。

2. 如何使用参数方程绘制和分析曲线。

教学准备：1. 教师准备示例题和练习题，以及相应的教学材料。

2. 学生准备笔记本和作业本，以及绘图工具。

教学过程：Step 1：导入引导学生回顾直角坐标系中的函数和曲线方程的概念，并提问是否存在其他表示方式。

Step 2：引入参数方程概念1. 向学生解释参数方程的定义和含义：参数方程是一组用参数表示的方程，参数的变化会导致曲线的形状和位置改变。

2. 提供示例方程，比如x = cos(t)，y = sin(t)，引导学生理解参数t的作用。

Step 3：参数方程与直角坐标系的转换1. 介绍如何将参数方程转换为直角坐标系中的函数方程：通过消元参数的方法，将参数方程中的参数表示为变量和常数的关系。

2. 通过示例方程，如x = 2t，y = t + 1，演示如何将参数方程转换为直角坐标系中的函数方程。

Step 4：使用参数方程绘制曲线1. 要求学生在笔记本上记录示例方程，并按照给定的参数范围，计算对应的坐标点。

2. 使用计算的坐标点，绘制曲线，并分析曲线的形状和特点。

Step 5：练习与巩固1. 发放练习题，让学生自主练习，提醒他们注意平面几何的知识，在绘制曲线时进行相应的分析。

2. 教师对学生的练习结果进行讲评，解答疑惑。

Step 6：拓展与应用1. 介绍参数方程在物理学和工程学中的应用，如描述运动轨迹和曲线造型等。

2. 提供更复杂的参数方程练习题，让学生进行拓展和应用。

Step 7：总结与归纳1. 教师对参数方程的概念和性质进行总结，并与学生一起归纳常见的参数方程形式。

坐标系与参数方程教案教案标题：坐标系与参数方程教案教案目标：1. 了解坐标系和参数方程的基本概念；2. 掌握坐标系和参数方程在二维图形中的应用；3. 能够根据给定的图形要求，构建相应的坐标系和参数方程。

教案步骤：一、导入（5分钟）1. 利用实例引入坐标系的概念，例如使用座标系向学生解释地理位置的界定等。

二、概念讲解（15分钟）1. 介绍笛卡尔坐标系，解释坐标轴、坐标点、坐标等基本概念；2. 解释参数方程的概念，讲解参数和参数方程的含义。

三、练习与巩固（20分钟）1. 学生通过练习在二维平面上标出给定点的坐标；2. 学生尝试画出给定的直线或曲线。

四、拓展应用（15分钟）1. 通过示例演示参数方程的使用，例如绘制心形线等特殊图形；2. 学生自主思考如何用参数方程绘制其他图形。

五、深入探究（15分钟）1. 学生讨论和探究坐标系和参数方程在三维空间中的应用；2. 学生尝试绘制立体图形的参数方程。

六、总结与评价（5分钟）1. 老师对学生学习的情况进行总结和评价；2. 学生发表对这次学习的体会和收获。

七、作业布置（5分钟）1. 布置相关的课后作业，如绘制给定图形的坐标系和参数方程。

教学资源：1. 教材《数学教材》；2. 讲义/课件。

评价方法：1. 课堂练习和教师观察：观察学生在练习和巩固环节的表现；2. 学生讨论和发言：评估学生在深入探究环节中的参与程度；3. 课后作业评分：评估学生对于坐标系和参数方程的独立应用能力。

教案备注：根据教学时间的具体安排和学生的实际情况，可以适当调整每个环节的时间分配。

同时，教师可以根据学生的学习进度和理解情况，加入适当的示例讲解，提高教学灵活性。

第一章 坐标系第一课时 平面直角坐标系 一、理解新知 1．平面直角坐标系 （1）平面直角坐标系的作用：使平面上的点与 、曲线与 建立联系，从而实现 的结合． （2）坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的 元素，将几何问题转化为 问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成 结论． 2．平面直角坐标系中的伸缩变换 （1）平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归纳为 伸缩变换，这就是用 研究 变换． （2）平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P (x ，y )是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ＞0)y ′＝μy (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．二、考点例题考点一 求轨迹方程[例1] (2012·湖北高考改编)设A 是单位圆122=+y x 上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m >0，且m ≠1)．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标． 方法规律小结求轨迹的常用方法(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的五个步骤直接求解．(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程．(3)代入法：如果动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (11,y x )，而Q (11,y x )又在某已知曲线上，则可先列出关于x ，y ，11,y x 的方程组，利用x 、y 表示11,y x ，把11,y x 代入已知曲线方程即为所求． (4)参数法：动点P (x ，y )的横纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参数即得其轨迹方程． 变式训练1．二次方程x 2－ax ＋b ＝0的两根为sin θ，cos θ，求点P (a ，b )的轨迹方程(其中|θ|≤π4)．2．△ABC 中，若BC 的长度为4，中线AD 的长为3，求A 点的轨迹方程．考点二 用坐标法解决几何问题[例2] 已知△ABC 中，AB ＝AC ，BD 、CE 分别为两腰上的高．求证：BD ＝CE . 方法规律小结建立平面直角坐标系的原则根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：①如果图形有对称中心，选对称中心为原点，②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴， ③使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上． 变式训练1．求证等腰梯形对角线相等．已知：等腰梯形ABCD .求证：AC ＝BD . 2．已知△ABC 中，BD ＝CD ， 求证：AB 2＋AC 2＝2(AD 2＋BD 2)． 考点三 直角坐标系中的伸缩变换[例3] 求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x 2＋y 2＝1变成曲线x ′29＋y ′24＝1.方法规律小结 坐标伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ＞0y ′＝μy μ＞0注意变换中的系数均为正数．在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标伸缩变换φ可以求变换前和变换后的曲线方程．已知前换前后曲线方程也可求伸缩变换φ. 变式训练1．求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x 24＋y 29＝1变成曲线x ′216＋y ′29＝1.2．求4x 2－9y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y 后的图形所对应的方程．第二课时 极坐标系理解新知1．极坐标系的概念（1）极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做 ，自极点O 引一条射线Ox ，叫做 ；再选定一个 ，一个角度单位(通常取弧度)及其 (通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． （2）极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M ，用ρ表示 ，用θ表示 ，ρ叫做点M 的 ，θ叫做点M 的 ，有序数对 就叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． 2．极坐标和直角坐标的互化（1）互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．（2）互化公式，二、考点例题考点一 求点的极坐标[例1] 已知点Q (ρ，θ)，分别按下列条件求出点P 的极坐标．（1）点P 是点Q 关于极点O 的对称点； （2）点P 是点Q 关于直线θ＝π2的对称点．方法规律小结设点M 的极坐标是),(θρ，则M 点关于极点的对称点的极坐标是),(θρ-或),(πθρ+；M 点关于极轴的对称点的极坐标是),(θρ-；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是),(θπρ-或),(θρ--．另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的． 变式训练1．设点A (1，π3)，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求：（1）点A 关于极轴的对称点； （2）点A 关于直线l 的对称点；（3）点A 关于极点的对称点．(限定ρ>0，－π＜θ≤π)．2．在极坐标系中，点A 的极坐标是(3，π6)，求点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标(规定ρ>0，θ∈[0,2π])．考点二 点的极坐标与直角坐标的互化[例2] （1）把点A 的极坐标(2，7π6)化成直角坐标；（2）把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标．(ρ>0，0≤θ<2π)．方法规律小结（1）极坐标和直角坐标互化的前提条件有三，即极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，有相同的长度单位，三者缺一不可．（2）熟记互化公式，必要时可画图来分析． 变式训练1．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为 ( ) A ．(2，π4) B ．(2，3π4) C ．(2，5π4) D ．(2，7π4)2．若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系． （1）已知点A 的极坐标(4，5π3)，求它的直角坐标； （2）已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π)第三课时 圆的极坐标方程理解新知1．曲线的极坐标方程（1）在极坐标系中，如果曲线C 上 的极坐标中有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点 ，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的 ． （2）建立曲线的极坐标方程的方法步骤是：①建立适当的极坐标系，设),(θρP 是曲线上任意一点． ②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式． ③将列出的关系式整理、化简．④证明所得方程就是曲线的极坐标方程．2．圆的极坐标方程（1）圆心在C (a,0)(a ＞0)，半径为a 的圆的极坐标方程为 . （2）圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程为 . （3）圆心在点(a ，π2)处且过极点的圆的方程为二、考点例题考点一 圆的极坐标方程[例1] 求圆心在),(00θρ，半径为r 的圆的方程． 方法规律小结几种特殊情形下的圆的极坐标方程当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r 2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos θ，若再有ρ0＝r ，则其方程为ρ＝2ρ0cos θ＝2r cos θ，若ρ0＝r ，θ0≠0，则方程为ρ＝2r cos(θ－θ0)，这几个方程经常用来判断图形的形状和位置． 变式训练1．在极坐标系中，以(a 2，π2)为圆心，a2为半径的圆的方程是________．2．求圆心在A (2，3π2)处并且过极点的圆的极坐标方程．考点二 极坐标方程与直角坐标的互化[例2] 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：（1）y 2＝4x ；（2）x 2＋y 2－2x －1＝0；（3）ρ＝12－cos θ.方法规律小结在进行两种坐标方程间的互化时，要注意：（1）互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同．（2）由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在0≤θ＜2π范围内求值．（3）由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简．（4）由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形． 变式训练1．把下列直角坐标方程化为极坐标方程．（1）y ＝3x ；（2）x 2－y 2＝1.2．把下列极坐标方程化为直角坐标方程． （1）ρ2cos 2θ＝1；（2）ρ＝2cos(θ－π4)．第四课时 直线的极坐标方程理解新知1．直线的极坐标方程（1）若直线经过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程为 ． （2）当直线l 过极点，即ρ0＝0时，l 的方程为 .（3）当直线l 过点M (a,0)且垂直于极轴时，l 的方程为 . （4）当直线l 过点M (b ，π2)且平行于极轴时，l 的方程为 .2．图形的对称性（1）若ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于 对称．（2）若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线 所在直线对称． （3）若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于 对称．二、考点例题考点一 求直线的极坐标方程[例1] 求从极点出发，倾斜角是π4的射线的极坐标方程．方法规律小结求直线的极坐标方程，首先应明确过点),(00θρM ，且极轴到此直线的角为α的直线极坐标方程的求法．另外，还要注意过极点、与极轴垂直和平行的三种特殊情况的直线的极坐标方程． 变式训练1．求过A (2，π4)且垂直于极轴的直线的方程．2．设点A 的极坐标为(2，π6)，直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3，求直线l 的极坐标方程．考点二 直线的极坐标方程的应用[例2] 在极坐标系中，直线l 的方程是ρsin(θ－π6)＝1，求点P (2，－π6)到直线l 的距离．方法规律小结对于研究极坐标方程下的距离及位置关系等问题，通常是将它们化为直角坐标方程，在直角坐标系下研究．变式训练1．在极坐标系),(θρ(0≤θ<2π)中，曲线θρsin 2=与1cos -=θρ的交点的极坐标为________ 2．已知直线的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝22，则点A (2，7π4)到这条直线的距离是________第五课时 柱坐标系理解新知柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系O xyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用),(θρ(ρ≥0,0≤θ＜2π)来表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标．这时点P 的位置可用有序数组 (z ∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组),,(z θρ之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组),,(z θρ叫做点P 的柱坐标，记作 ，其中 (2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标),,(z θρ之间的变换公式为二、考点例题考点一 将直角坐标化为柱坐标[例1] 设点A 的直角坐标为(1，3，5)，求它的柱坐标．方法规律小结知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定ρ和θ，尤其是θ，要注意求出θtan 后，还要根据点M 所在象限确定θ的值(θ的范围是[0,2π))． 变式训练1．点A 的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标 2．点M 的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标．考点二 把点的柱坐标化为直角坐标[例2] 已知点P 的柱坐标为(4，π3，8)求它的直角坐标．方法规律小结知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z 即可．变式训练1．点N 的柱坐标为(2，2π，3)，求它的直角坐标． 2．已知点A 的柱坐标为(1，π，2)，B 的柱坐标为(2，π2，1)，求A 、B 两点间距离．第六课时 球坐标系理解新知球坐标系（1）定义：建立空间直角坐标系O xyz ，设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为ϕ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角θ，这样点P 的位置就可以用有序数组 表示．这样，空间的点与有序数组),,(θϕr 之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组),,(θϕr 叫做点P 的球坐标，记作 ，其中（2）空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标),,(θϕr 之间的变换关系为 二、考点例题考点一 将点的球坐标系化为直角坐标[例1] 已知点P 的球坐标为(4，3π4，π4)求它的直角坐标．方法规律小结已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求得，但要分清哪个角是φ，哪个角是θ. 变式训练1．求下列各点的直角坐标：（1）M (2，π6，π3)；（2）N (2，3π4，7π6)．2．将M 的球坐标),,(πππ化成直角坐标．考点二 将点的直角坐标化为球坐标[例2] 设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求它的球坐标． 方法规律小结由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点M 的球坐标为(r ，φ，θ)，再利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，求出r 、θ、φ代入点的球坐标即可；也可以利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x ，cos φ＝zr .特别注意由直角坐标求球坐标时，θ和φ的取值应首先看清点所在的象限，准确取值，才能无误．变式训练1．求下列各点的球坐标：（1）M (1，3，2)；（2）N (－1,1，－2)．第二章 参数方程第一课时 参数方程的概念理解新知1．参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标x ，y 都是某个变数t (θ，φ，…)的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝fty ＝gt ①，并且对于每一个t 的允许值，方程组①所确定的点(x ，y ) ，那么方程组①就叫这条曲线的 ，t 叫做 ，相对于参数方程而言，直接给出坐标间关系的方程叫 ．2．参数的意义是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有 意义或 意义的变数，也可以是 的变数．二、考点例题考点一 求曲线的参数方程[例1] 如图，△ABP 是等腰直角三角形，∠B 是直角，腰长为a ，顶点B 、A 分别在x 轴、 y 轴上滑动，求点P 在第一象限的轨迹的参数方程．方法规律小结求曲线参数方程的主要步骤第一步，画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系．第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略． 变式训练1．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为π60 rad/s ，试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．2．选取适当的参数，把直线方程y ＝2x ＋3化为参数方程．考点二 参数方程表示曲线上的点（1）判断点M 1(0,1)，M 2(5,4)与曲线C 的位置关系．（2）已知点M 3(6，a )在曲线C 上，求a 的值．方法规律小结参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是一致的． 变式训练1．曲线4)1(22=+-y x 上的点可以表示为( ) A ．(－1＋cos θ，sin θ) B ．(1＋sin θ，cos θ) C ．(－1＋2cos θ，2sin θ) D ．(1＋2cos θ，2sin θ)2．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 为参数，a ∈R)．点M (5,4)在该曲线上，求常数a .第二课时 圆的参数方程理解新知圆的参数方程（1）在t 时刻，圆周上某点M 转过的角度是θ，点M 的坐标是(x ，y )，那么θ＝ωt (ω为角速度)．设|OM |＝r ，那么由三角函数定义，有cos ωt ＝ ，sin ωt ＝ ，即圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为 (t 为参数)．其中参数t 的物理意义是：（2）若取θ为参数，因为θ＝ωt ，于是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为 (θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM 0(M 0为t ＝0时的位置)绕点O 时针旋转到 的位置时，OM 0转过的角度．（3）若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程为二、考点例题考点一 求圆的的参数方程[例1] 圆)0()(222>=+-r r y r x ，点M 在圆上，O 为原点，以∠MOx ＝φ为参数，求圆的参数方程．方法规律小结（1）确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos φ，y ＝r sin φ.（2）由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程． 变式训练1．已知圆的方程为x y x 222=+，写出它的参数方程．2．已知点P (2,0)，点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．考点二 圆的参数方程的应用[例2] 若x ，y 满足4)2()1(22=++-y x ，求2x ＋y 的最值．方法规律小结圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题． 变式训练1．求原点到曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2sin θ，y ＝－2＋2cos θ(θ为参数)的最短距离．2．已知圆C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．第三课时 参数方程与普通方程的互化一、理解新知1．参数方程转化为普通方程曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过_________而从参数方程得到普通方程．2．普通方程转化为参数方程如果知道变数y x ,中的一个与参数t 的关系，例如)(t f x =，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系)(t g y =，那么⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 就是曲线的参数方程。

坐标变换与参数方程教案全
一、概述
坐标变换是图形几何中最重要的概念之一，是指将坐标系中的点、线、曲线或曲面进行空间变换，以达到一定的几何要求。

它包括以下几种：平
移变换、旋转变换、缩放变换和投影变换等。

其中，参数方程是用于表示
几何形状及其变化的数学方法，可以用它来获得几何形状的参数表示，以
及其参数的变化情况。

本文主要讲解坐标变换，重点介绍参数方程的概念
和特点，并结合实例介绍如何使用参数方程进行坐标变换。

二、坐标变换
1.平移变换
平移变换是在坐标系中的点、线、曲线或曲面，分别沿着X、Y、Z三
个方向移动而形成的新点、线、曲线或曲面。

在三维坐标系中，平移变换
可以表示为：
X'=X+x，Y'=Y+y，Z'=Z+z
其中，x、y和z分别表示沿着X、Y、Z三个方向的移动距离。

2.旋转变换
旋转变换是指沿着其中一轴旋转形成的新点、线、曲线或曲面。

X'=X cos θ+Y sin θ，Y'=-X sin θ+Y cos θ，Z'=Z
其中，θ表示旋转角度。

3.缩放变换
缩放变换是指对坐标系中的点、线、曲线或曲面，分别沿着X、Y、Z 三个方向的缩放而形成的新点、线、曲线或曲面。

高二数学平面直角坐标系与参数方程的优秀教案范本一、引言直角坐标系与参数方程是高中数学中重要的概念和工具。

本教案旨在通过合理设计的教学流程和活动，帮助学生深入理解直角坐标系与参数方程的概念、性质和应用，并能灵活运用于解决实际问题。

二、教学目标1. 理解直角坐标系的构建原理，并能准确描述平面上的点坐标。

2. 掌握参数方程的定义与基本性质，能用参数方程描述直线、圆和抛物线等基本几何图形。

3. 能够将参数方程与直角坐标系相互转换，建立二者之间的联系，并应用于解决实际问题。

4. 培养学生独立思考和合作探究的能力，培养学生对数学的兴趣和创新意识。

三、教学流程1. 第一步：引入直角坐标系的概念- 在黑板上画出直角坐标系的示意图，并引导学生认识坐标轴、原点和四象限的概念。

- 通过举例，让学生理解点坐标的表示方法，并进行实际测量和绘制。

- 练习题：给出几个点的坐标，要求学生用直角坐标系表示出来。

2. 第二步：介绍参数方程的定义与基本性质- 通过例题引导学生理解参数的概念，并给出参数方程的定义及其表示形式。

- 通过实例演示，解释参数方程的意义和应用领域。

- 练习题：给出几个参数方程，要求学生画出对应的几何图形。

3. 第三步：直角坐标系与参数方程的相互转换- 引导学生探究参数方程与直角坐标系之间的关系，建立二者之间的转换方法。

- 借助示意图和实例，演示直角坐标系与参数方程之间的转换过程。

- 练习题：给出几个参数方程，要求学生用直角坐标系表示出来；给出几个直角坐标系，要求学生写出对应的参数方程。

4. 第四步：应用实例分析- 给出一些实际问题，引导学生运用直角坐标系与参数方程的知识进行分析与解决。

- 提供适当的辅助材料，帮助学生加深对直角坐标系与参数方程在实际问题中的应用理解。

- 练习题：给出几个实际问题，要求学生运用所学知识解决。

五、教学活动与方法1. 教师讲解与演示：通过引入、例题演示、转换方法等方式，重点讲解直角坐标系与参数方程的概念和性质。

参数方程1、概念：一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程f (x, y)=0叫做曲线的普通方程. 2、直线的参数方程过P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩()t 为参数。

其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t 1和t 2，则 ○1PA ＝1t ; PB ＝2t ; PB PA ⋅＝2121t t t t ⋅=⋅;○2AB ＝21t t -＝212214)(t t t t ⋅-+． ⎪⎩⎪⎨⎧⋅-+=+==+=+2122121214)(t t t t t t t t PB PA 异号同号③．线段AB 的中点所对应的参数值等于221tt +．3、圆的参数方程圆心为(,)a b ，半径为r 的圆的普通方程是222()()x a y b r -+-=，它的参数方程为：cos ()sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数。

4、椭圆的参数方程椭圆12222=+n y m x ，的参数方程为)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==n y m x ，5、双曲线的参数方程双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕtan cos b y a x6、抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线22(0)y px p =>的参数方程为22().2x pt t y pt ⎧=⎨=⎩为参数7、参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。

高中数学备课教案极坐标系与参数方程高中数学备课教案：极坐标系与参数方程一、引言数学中的坐标系是描述平面上点位置的重要工具，常见的坐标系有直角坐标系和极坐标系。

而参数方程则是一种描述曲线的方程形式。

本教案将介绍高中数学中的极坐标系和参数方程，并探讨其应用。

二、极坐标系1. 定义与转换公式极坐标系是以原点为中心，极轴为正方向的坐标系。

任意点P在极坐标系中的位置可以由两个量确定：极径r和极角θ。

其中，极径r表示点P距离原点的长度，极角θ表示点P与极轴的夹角。

将直角坐标系中的点(x, y)转换为极坐标系中的点(r, θ)的公式为：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)2. 极坐标下的曲线方程在极坐标系中，曲线的方程可以表示为r = f(θ)，其中f(θ)是关于θ的函数。

常见的极坐标曲线有：- 极径为常数：以原点为圆心的圆。

- 极径关于角度的函数：如r = a + bsin(θ)，表示螺旋线。

- 极径为角度的函数：如r = aθ，表示阿基米德螺线。

三、参数方程1. 定义与示例参数方程是用参数表示自变量和因变量之间关系的方程。

常用的参数方程形式为x = f(t)和y = g(t)，其中x和y分别表示平面上的横纵坐标，t是参数。

例如，参数方程x = cos(t)，y = sin(t)，描述了一个单位圆的轨迹。

2. 参数方程与直角坐标系之间的转换将参数方程x = f(t)和y = g(t)转换为直角坐标系中的方程，可以通过消去参数t来实现。

通常使用代数方法或几何方法进行转换，并根据具体情况选择适当的方法。

四、极坐标系与参数方程的应用1. 曲线的绘制极坐标系和参数方程在曲线的绘制中具有很强的优势，特别适用于描述复杂的几何图形，如心形线、螺旋线等。

通过设置极角或参数的范围，可以绘制出完整的曲线图形。

2. 积分计算对于一些特殊形状的区域，使用极坐标系可以简化积分计算。

通过转换成极坐标系的面积元素，可以减少积分的复杂程度，简化计算过程。

16.3 参数方程【学习目标】1.分析直线、圆等的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程.2.举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，感受参数方程的优越性．【学习重点】1.根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义；2.分析直线、圆等几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程.【学习难点】根据几何性质选择适当的参数，建立曲线的参数方程.【学习过程】：一、自主学习，阅读课本P47—48页完成下列内容．（一）知识梳理1、曲线的参数方程（1）参数方程的概念一般地, 如果曲线上任意一点),(y x P 的坐标,x y 都能用某一个变量t 的函数来表示:(),(),x f t y g t =⎧⎨=⎩则称这个方程组是曲线的参数方程，变量t 叫做参数. 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间的关系的方程叫做 .(2) 参数方程和普通方程的互化1) 曲线的参数方程通过消去参数得到普通方程.主要方法有: ① 代入法 ; ② 利用代数或三角函数中的恒等式消去参数.2) 如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入 求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么 就是参数方程.（二）例题讲解例1已知直线的普通方程是,12=-y x 若选取参数,2y t =试写出直线的参数方程.例2 已知直线过点),1,0(A 且倾斜角是.6π求直线的参数方程.例3 已知圆的圆心在原点,半径是3, ),(y x P 是圆上任意一点, 试写出该圆的参数方程.例4 设直线的参数方程是⎩⎨⎧+-=--=.24,1t y t x 求直线的普通方程.例5 设圆的参数方程是 ⎩⎨⎧+=-=.2sin 2,3cos 2θθy x 求圆的普通方程.总结1、直线的参数方程：过定点0,0()M x y ,倾斜角为α的直线l 的参数方程:2、圆的参数方程: 以00(,)O x y 为圆心,r 为半径的参数方程二、自学检测1.下列哪个点在曲线)(2cos sin 为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 上（C ） A ．(2,7) B ．)32,31( C ．)21,21( D ．(1,0)2．曲线)(sin 2cos 12为参数θθθ⎩⎨⎧=+=y x 的轨迹是（D ）A ．一条直线B ．一条射线C ．一个圆D ．一条线段3．直线34()45x t t y t=+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为_________________4．直线3()14x at t y t =+⎧⎨=-+⎩为参数过定点_____________ 5．圆的参数方程为3sin 4cos ()4sin 3cos x y θθθθθ=+⎧⎨=-⎩为参数，则此圆的半径为____________ 三、反馈练习1．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）A ．1(,2B ．31(,)42- C ． D ． 2．方程)(cos 2为参数θθ⎩⎨⎧==y x 表示的曲线是（ D ）A ．余弦曲线B ．与x 轴平行的线段C ．直线D ．与y 轴平行的线段3．曲线25()12x t t y t =-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是 4. 已知抛物线的普通方程为,052=+-y x 若选取参数,x t =试写出抛物线的参数方程.5. 已知直线过点),1,1(A 且倾斜角是.3π求直线的参数方程.6. 已知圆的圆心在)1,0(,半径是2. 试写出该圆的参数方程.7. 将下列曲线的参数方程化为普通方程: (1) ⎩⎨⎧-=-=.13,2t y t x (2) ⎩⎨⎧+=-=.1,42t y t x (3) ⎩⎨⎧+==.5sin ,cos θθy x课后作业。

【关键字】数学第二十二课时：坐标轴的平移（一）【教学目标】知识目标：（1）理解坐标轴平移的坐标变换公式；（2）掌握点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐目标计算；能力目标：通过对坐标轴平移的坐标变换公式的学习，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高．【教学重点】坐标轴平移中，点的新坐标系坐标和原坐标系坐目标计算．【教学难点】坐标轴平移的坐标变换公式的运用．【教学设计】学生曾经学习过平移图形．平移坐标轴和平移图形是两种相关的变化方式，从平移的运动过程上看，平移坐标轴和平移图形是两种相反的过程．向左平移图形的效果相当于将坐标轴向右平移相同的单位；向上平移图形的效果相当于将坐标轴向下平移相同单位．要强调坐标轴平移只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度．坐标轴平移的坐标变换公式，教材中是利用向量来进行推证的，教学时要首先复习向量的相关知识．例1是利用坐标轴平移的坐标变换公式求点的新坐标系坐目标知识巩固性题目，教学中要强调公式中各量的位置，可以根据学生情况，适当补充求点在原坐标系中坐目标题目．例2是利用坐标轴平移的坐标变换公式化简曲线方程的知识巩固性题目．教学中要强调新坐标系原点设置的原因，让学生理解为什么要配方．【课时安排】1课时．【教学过程】揭示课题2.1坐标轴的平移与旋转创设情境兴趣导入在数控编程和机械加工中，经常出现工件只作旋转运动（主运动），而刀具发生与工件相对的进给运动．为了保证切削加工的顺利进行，经常需要变换坐标系．例如，圆心在O1(2,1),半径为1的圆的方程为．对应图形如图2-1所示．如果不改变坐标轴的方向和单位长度，将坐标原点移至点处，那么，对于新坐标系，该圆的方程就是．图2-1动脑思考探索新知只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度的坐标系的变换，叫做坐标轴的平移．下面研究坐标轴平移前后，同一个点在两个坐标系中的坐标之间的关系，反映这种关系的式子叫做坐标变换公式．图2-2如图2-2所示，把原坐标系平移至新坐标系，在原坐标系中的坐标为．设原坐标系两个坐标轴的单位向量分别为i和j，则新坐标系的单位向量也分别为i和j，设点P在原坐标系中的坐标为，在新坐标系中的坐标为，于是有xi+y j，x1i+y1 j，x0i+yo j，因为，所以，即．（转下节）第二十三课时：坐标轴的平移（二）【教学目标】知识目标：（1）理解坐标轴平移的坐标变换公式；（2会利用坐标轴平移化简曲线方程．（3）掌握点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐目标计算；能力目标：通过对坐标轴平移的坐标变换公式的学习，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高．【教学重点】坐标轴平移中，点的新坐标系坐标和原坐标系坐目标计算．【教学难点】坐标轴平移的坐标变换公式的运用．【教学设计】学生曾经学习过平移图形．平移坐标轴和平移图形是两种相关的变化方式，从平移的运动过程上看，平移坐标轴和平移图形是两种相反的过程．向左平移图形的效果相当于将坐标轴向右平移相同的单位；向上平移图形的效果相当于将坐标轴向下平移相同单位．要强调坐标轴平移只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度．坐标轴平移的坐标变换公式，教材中是利用向量来进行推证的，教学时要首先复习向量的相关知识．例1是利用坐标轴平移的坐标变换公式求点的新坐标系坐目标知识巩固性题目，教学中要强调公式中各量的位置，可以根据学生情况，适当补充求点在原坐标系中坐目标题目．例2是利用坐标轴平移的坐标变换公式化简曲线方程的知识巩固性题目．教学中要强调新坐标系原点设置的原因，让学生理解为什么要配方．【课时安排】1课时．【教学过程】 （接上节）于是得到坐标轴平移的坐标变换公式（2.1） 或 （2.2）【想一想】公式(2.1)和公式(2.2)的区别在哪里？使用公式要注意些什么问题？巩固知识 典型例题例1 平移坐标轴，将坐标原点移至1O （2，－1），求下列各点的新坐标：O (0,0)，A (2,1)，B (－1,2)，C (2,－4)，D (－3,－1)，E (0,5)．解 由公式(2.2)，得将各点的原坐标依次代入公式，得到各点的新坐标分别为O （－2，1），A （0，2），B （－3，3），C （0，－3），D （－5，0），E （－2，6）．例2 利用坐标轴的平移化简圆042422=--++y x y x 的方程，并画出新坐标系和圆. 解 将方程的左边配方，得9)1()2(22=-++y x ．这是以点（－2，1）为圆心，3为半径的圆．平移坐标轴，使得新坐标原点在点1O （－2，1），由公式（2.1）得112,1.x x y y =-⎧⎨=+⎩ 将上式代入圆的方程，得 92121=+y x ． 这就是新坐标系111x O y 中，圆的方程．新坐标系和圆的图形如图2-3所示．运用知识 强化练习1．平移坐标轴，把坐标原点移至1O （－1，－3），求下列各点的新坐标：A （3，2），B （－5，4），C （6，－2），D （1，－3），E （－5，－1）．2．利用平移坐标轴，化简方程226420x y x y ++-+=，并指出新坐标系原点的坐标． 继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题2．1（必做）；学习与训练检测题2．1（选做）第二十四课时：坐标轴的旋转（一）【教学目标】知识目标：（1）理解坐标轴旋转的坐标变换公式，（2）掌握点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算．能力目标：通过坐标轴旋转的坐标变换公式的学习，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高．【教学重点】坐标轴旋转中，点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算．【教学难点】坐标轴旋转的坐标变换公式的运用．【教学设计】强调坐标轴的旋转不改变坐标原点的位置和单位长度，只改变坐标轴方向．教材中采用数形结合的方式，结合一种比较直观的位置来进行介绍，并利用两角差的三角函数公式来推导坐标变换公式．这个公式也适用于其他类型的位置关系．要分析坐标轴旋转的两组公式的形式特点，帮助学生来进行记忆．两组公式的形式基本相近，符号可以用“新减加，原加减”来进行记忆．分清公式1111cos sin ,cos sin .x x y y y x θθθθ=-⎧⎨=+⎩和公式11cos sin ,cos sin .x x y y y x θθθθ=+⎧⎨=-⎩的不同意义，前者是用新坐标系相对原坐标系的旋转角θ和点的新坐标系坐标表示原坐标系的坐标，适用于求点的原坐标系坐标；后者是用新坐标系相对原坐标系的旋转角θ和点的原坐标系坐标表示新坐标系的坐标，适用于求点的新坐标系坐标．例3是利用坐标轴平移的坐标变换公式求点的新坐标系坐标的知识巩固性题目，教学中要强调公式中各量的位置，可以根据学生情况，适当补充求原坐标系坐标的题目．例4是综合使用坐标轴变换的题目，首先进行坐标轴平移，然后进行坐标轴旋转．这类问题虽然比较复杂，但是在实际生产中会遇到．通过这类问题的解决，可以培养学生的有序思维习惯，从而提高学生的数学素养．【课时安排】1课时．【教学过程】动脑思考 探索新知不改变坐标原点的位置和单位长度，只改变坐标轴方向的坐标系的变换，叫做坐标轴的旋转．设点M 在原坐标系xOy 中的坐标为(x,y)，对应向量OM 的模为r ，幅角为α．将坐标轴绕坐标原点，按照逆时针方向旋转角θ形成新坐标系11x Oy ，点M 在新坐标系11x Oy 中的坐标为),(11y x （如图2-4），则cos ,sin x r y r αα==，),cos(1θα-=r x )sin(1θα-=r y ,于是1sin cos cos sin cos sin y r r y x αθαθθθ=-=-．由此得到坐标轴的旋转的坐标变换公式⎩⎨⎧-=+=.sin cos ,sin cos 11θθθθx y y y x x （2.3） 将新坐标系看作原坐标系，则旋转角度为θ-，代入公式（2.3）得⎩⎨⎧+=-=.sin cos ,sin cos 1111θθθθx y y y x x （2.4） 【想一想】公式（2.3）和公式（2.4）的区别在哪里？使用公式要注意些什么问题？（转下节）第二十五课时：坐标轴的旋转（二）【教学目标】知识目标：（1）理解坐标轴旋转的坐标变换公式，（2）掌握点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算．能力目标：通过坐标轴旋转的坐标变换公式的学习，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻图2-4 x炼和提高．【教学重点】坐标轴旋转中，点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算．【教学难点】坐标轴旋转的坐标变换公式的运用．【教学设计】强调坐标轴的旋转不改变坐标原点的位置和单位长度，只改变坐标轴方向．教材中采用数形结合的方式，结合一种比较直观的位置来进行介绍，并利用两角差的三角函数公式来推导坐标变换公式．这个公式也适用于其他类型的位置关系．要分析坐标轴旋转的两组公式的形式特点，帮助学生来进行记忆．两组公式的形式基本相近，符号可以用“新减加，原加减”来进行记忆．分清公式1111cos sin ,cos sin .x x y y y x θθθθ=-⎧⎨=+⎩和公式11cos sin ,cos sin .x x y y y x θθθθ=+⎧⎨=-⎩的不同意义，前者是用新坐标系相对原坐标系的旋转角θ和点的新坐标系坐标表示原坐标系的坐标，适用于求点的原坐标系坐标；后者是用新坐标系相对原坐标系的旋转角θ和点的原坐标系坐标表示新坐标系的坐标，适用于求点的新坐标系坐标．例3是利用坐标轴平移的坐标变换公式求点的新坐标系坐标的知识巩固性题目，教学中要强调公式中各量的位置，可以根据学生情况，适当补充求原坐标系坐标的题目．例4是综合使用坐标轴变换的题目，首先进行坐标轴平移，然后进行坐标轴旋转．这类问题虽然比较复杂，但是在实际生产中会遇到．通过这类问题的解决，可以培养学生的有序思维习惯，从而提高学生的数学素养．【课时安排】1课时．【教学过程】巩固知识 典型例题例3 将坐标轴旋转π3，求点A (2,1)，B (－1,2)，C (0,5)的新坐标（如图2－5）． 解 由公式（2.3）得 将各点的原坐标分别代入公式，得到各点的新坐标分别为A,21－3)，B (－21+3,1+23)，C (235,25)． 例4 设点M 在原坐标系xOy 中的坐标为(x,y)，首先平移坐标轴，将坐标原点移至)(0,01y x O ,构成坐标系111x O y ，然后再将坐标轴绕点1O 旋转θ角构成新坐标系212x O y ，求点M 在新坐标系212x O y 中的坐标．解 设点M 在坐标系111x O y 中的坐标为),(11y x ，点M 在新坐标系212x O y 中的坐标为),(22y x ，则由公式（2.2）得⎩⎨⎧-=-=.,0101y y y x x x 由公式（2.3） 得 ⎩⎨⎧-=+=.sin cos ,sin cos 112112θθθθx y y y x x 因此得理论升华 整体建构 ⎩⎨⎧-=+=.sin cos ,sin cos 11θθθθx y y y x x （2.3） ⎩⎨⎧+=-=.sin cos ,sin cos 1111θθθθx y y y x x （2.4） 继续探索 活动探究(1)读书部分：阅读教材 (2)书面作业：教材习题2．1（必做）；学习与训练检测题2．1（选做）第二十六课时： 参数方程（一）【教学目标】知识目标：（1）理解曲线的参数方程的概念．（2）理解参变量的概念，会由参变量的取值范围确定函数的定义域．（3）会用“描点法”做出简单的参数方程的图像．能力目标：（1）通过参数方程的学习，了解通过选取适当的参变量来研究曲线的特征的方法．（2）提高分析和解决问题的能力．【教学重点】参数方程的概念及用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．【教学难点】难点是用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．【教学设计】对求曲线的参数方程不做过多的叙述．例题1的作用在于完成求曲线的参数方程与解析几何中求曲线的方程相衔接．参变量选取的不同，曲线会有不同形式的参数方程．由于学生的工作岗位是技能型岗位，遇到的问题中，参变量一般都是给定的，所以不要在“为什么选这个量作参变量”上下工夫．例1中，结合图形介绍选θ为参变量即可．例题2是用“描点法”做出简单的参数方程的图像．用“描点法”作图关键是如何选点，一般都需要讨论范围和对称性，然后再选取一些点来用于描图．考虑到参数方程中，一般都已经确定参变量的取值范围，从中可以确定曲线的范围，而且讨论图形的对称性比较复杂，在实际作图中，只要求指明定义域，而不要求讨论对称性．对于基础比较好的学生可以在教师的指导下，做关于对称性的研讨．【课时安排】1课时．【教学过程】创设情境 兴趣导入如图2-6所示，质点M 从点（1，0）出发，沿着与x 轴成60º角的方向，以10 m/s 的速度运动．质点所做的运动是匀速直线运动，其运动轨迹是经过点（1，0），倾斜角为60º的直线（x 轴上方的部分）．容易求得其方程为【想一想】为什么要附加条件1x >？动脑思考 探索新知但是，这个方程不能直接反映出运动轨迹与时间t 的关系．为此，我们分别研究运动轨迹上的点M ),(y x 的坐标与时间t 的关系，得即 51,(0)5 3.x t t y t =+⎧⎪>⎨=⎪⎩时间t 确定后，点M ),(y x 的位置也就随之确定.【想一想】为什么要附加条件0>t ？由此看到，曲线上动点M (x ，y )的坐标 x 和y ，可以分别表示为一个新变量t 的函数．即可以用方程组⎩⎨⎧==).(),(t y y t x x （2.5） 来表示质点的运动轨迹．我们把方程（2.5）叫做曲线的参数方程，变量t 叫做参变量．相应地把以前所学过的曲M线方程f(x，y)＝0叫做普通方程．（转下节）第二十七课时：参数方程（二）【教学目标】知识目标：（1）理解曲线的参数方程的概念．（2）理解参变量的概念，会由参变量的取值范围确定函数的定义域．（3）会用“描点法”做出简单的参数方程的图像．能力目标：（1）通过参数方程的学习，了解通过选取适当的参变量来研究曲线的特征的方法．（2）提高分析和解决问题的能力．【教学重点】参数方程的概念及用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．【教学难点】难点是用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．【教学设计】对求曲线的参数方程不做过多的叙述．例题1的作用在于完成求曲线的参数方程与解析几何中求曲线的方程相衔接．参变量选取的不同，曲线会有不同形式的参数方程．由于学生的工作岗位是技能型岗位，遇到的问题中，参变量一般都是给定的，所以不要在“为什么选这个量作参变量”上下工夫．例1中，结合图形介绍选θ为参变量即可．例题2是用“描点法”做出简单的参数方程的图像．用“描点法”作图关键是如何选点，一般都需要讨论范围和对称性，然后再选取一些点来用于描图．考虑到参数方程中，一般都已经确定参变量的取值范围，从中可以确定曲线的范围，而且讨论图形的对称性比较复杂，在实际作图中，只要求指明定义域，而不要求讨论对称性．对于基础比较好的学生可以在教师的指导下，做关于对称性的研讨．【课时安排】1课时．【教学过程】巩固知识典型例题例1写出圆心在坐标原点，半径为r的圆的参数方程．解如图2-7所示，设圆上任意点P（x，y）联结OP，设角θ为参变量，则cossin x ry rθθ=⎧⎨=⎩为所求的圆的参数方程．与普通方程相类似，作参数方程所表示的曲线的图形时依然采用“描点法”．首先选取参变量的取值范围内的一些值，求出相应的x 与y 的对应值，以每一数对（x ，y ）作为点的坐标描出相应的点，最后将这些点连成光滑的曲线就是所求的图形．例2 作出参数方程的图形．解 由于,t ∈R 所以x ∈R ．选取参变量的取值范围内的一些值，列表：以表中的每对（x ，y ）的值作为点的坐标，描出各点，用光滑的曲线联结各点得到图形，如图2-8所示．【想一想】如果例2中的参变量t 换为θsin ，那么，曲线的范围会不会发生变化？继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题2．2（必做）；学习指导2．2（选做）(3)实践调查：辨识专业课本上的参数方程并指出参数方程中的参数．第二十八课时：参数方程与普通方程互化（一）【教学目标】知识目标：（1）掌握由曲线参数方程求曲线普通方程的基本方法，会将简单的参数方程化为普通方程．（2）掌握圆心为坐标原点半径为R 的圆的参数方程．了解椭圆及其的参数方程，了解圆的渐开线、摆线的参数方程．能力目标：通过参数方程的学习，了解通过选取适当的参变量来研究曲线的特征的方法，提高分析和解决问题的能力．【教学重点】 t … －2.5 －2 －1.5 －1 0 1 1.5 2 2.5 … x … －15.63 －8 －3.38 －1 0 1 3.38 8 15.63 …y … 6.25 4 2.25 1 0 1 2.25 4 6.25 … 图2－7把曲线的参数方程化为普通方程．【教学难点】难点是曲线的参数方程化为普通方程．【教学设计】参数方程与普通方程的互化的重点是将参数方程化为普通方程．这是本章的教学重点和难点．有些参数方程是无法化为普通方程的．我们只能将一些简单的参数方程化为普通方程．常用的方法是代入消元法和加减消元法，加减消元法中经常使用一些三角恒等式．例题3的（1）和（2），在消去参数化为普通方程后，取值范围并没有改变．（3）中给出了参变量的取值范围，化为普通方程后，必须对变量x 或y 的取值进行限制，以保证方程是等价变换，不改变方程所表示图形的范围．生产实际中，会遇到用参数方程表示的曲线和用普通方程表示的曲线的交点的问题．解决这类问题的一般的方法是将参数方程代入普通方程，求出对应参变量的值．然后，再将参变量的取值代入参数方程，从而求出交点的坐标．需要注意的是，将参数方程代入普通方程求参变量的值时，必须考虑到各种情况，不要丢解．另一种方法是将参数方程化为普通方程，再联立两个普通方程为方程组，求方程组的解．椭圆、渐开线、摆线是与生产实际相联系的内容．在教学中，要特别注意不要加大难度和添加过多的内容，要考虑到学生的实际水平和生产的实际需要．【课时安排】课时．【教学过程】动脑思考 探索新知实际应用中，主要是将参数方程化为普通方程．其核心是消去参变量，常用的方法是加减消元法、代入消元法．巩固知识 典型例题例3 将下列参数方程化为普通方程．（1）1,3x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩；（2）3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩；（3）51,(0)x t t y =+⎧⎪>⎨=⎪⎩． 解 （1）由11x t t x==得，代入3y t =，得 3y x=． （2）由3cos x α=得22cos 9x α=， 由3sin y α=得22sin 9y α=． 将上面的两个等式两边分别相加，利用三角恒等式22sin cos 1αα+=，得229x y +=．【小提示】对于含有三角函数的参数方程，在利用加减消元法消去参数时，利用三角恒等式是经常使用的方法。