2第四章(1)逻辑代数07

掌握对偶规则的目的：当证明某一等式相等后，根 据对偶规则，其对偶式也相等。使证明的式子数目减少 一半。起到事半功倍的效果。
目的：要求学会证明函数相等的方法，运用逻辑代数的 基本定律，得出一些常用公式。 说明：两个乘积 项相加时，若乘 吸收律： AB A B A 积项分别包含B和 B B 1 （互补率） /B 两 个 因 子 。 而 证： AB A B A B B A 1 A 其余因子相同。 对偶式： A B A B A
A B & F A B F A B F
◇与非门真值表：
A B F A B 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1
与非门运算顺序是： 先与后非 有0为1,全1为0 即：当输入A、B中，只要有一个 0, 输出就是1,只有输入全为1时， 输出才是0。
A B F
F
1 0
◇工作波形图：
或非逻辑是或逻辑运算和非逻辑运算的组合。它是将 输入变量先进行或运算，然后再进行非运算。 能够实现或非逻辑运算的电路称为或非门。 ◇或非逻辑表达式： F A B
A B C D
F
A,B为两个单刀双掷开关。 灯亮的条件是：一个开关打在上 220V F 面，另一个开关打在下面。两个开关 同时打在上面或者下面，则灯不亮。 假设： ★取F=1列与项逻辑式。 开关打在上面为1 真值表： ★如果输入变量是“1”,记原 开关打在下面为0 A B F 变量。如果输入变量是“0”,记 反变量。 灯亮为1 0 0 0 灯灭为0 0 1 1 ★对任何一种输入变量组合， 异或运算特点： 1 0 1 变量之间是“与”运算。 相异为1，相同为0 1 1 0 ★各组合之间是“或”逻辑关系。 ◇由真值表写出逻辑表达式： F AB A B A B


吸收律：A AB A B 对偶式：A A B AB
证：A AB A A A B 1 A B A B


则两项定能合并 成一项，消去B和 /B两个因子。
说明：两个乘积项相加时，其中一项的部分因子恰好 是另一乘积项的补 A ，则该乘积项中的 A 是多余的。
0
与或非逻辑是与逻辑运算和或非逻辑运算的组合。它是 将输入变量A,B及C,D先进行与运算，然后再进行或非运算。 能够实现与或非逻辑运算的电路称为与或非门。 ◇逻辑符号：
A B C D A B
◇与或非门真值表：◇逻辑表达式：
+
F
& &
1
A F B C D
F
C D
每组有0为1, 某组全1为0。
A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1


作业: P110习题四:1(1)，2(1)，3(4)，4(3，4)
B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
F 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0
F AB CD ◇工作波形图：
F' A B C
对偶规则： 如果两个函数 F 和 G 相等，那么它们各自的对偶 式 F′ 和 G′也相等。 F´= A+BC 例：F = A(B+C) G = AB+AC G´= (A+B)(A+C) 由乘对加的分配率知： 由加对乘的分配率知: F = A(B+C)=AB+AC
∴ F=G
F´= A+BC = (A+B)(A+C) ∴ F´= G´
A
B
◇异或逻辑符号：
A B
=1
F
⊕
异或逻辑基本运算规律： 00=0 11=0 10=01=1 推论： A A 0 A A 1 A0 A A 1 A A B A B ◇异或门工作波形图：
A B F
A
B
220V
F
灯亮的条件是： 两个开关均打 在上面，或均 打在下面。 ◇同或逻辑表达式
AB A B
A B A B
包含率 AB AC BC AB AC A B A C B C A B A C
两点说明： 1、乘法运算中乘号“·”可以省略，A · B 可写为AB 2、运算顺序，先括号，再算乘，最后加。 这些基本定律反应了逻辑代数的基本规律，其正确性 都可以利用真值表加以验证。 例：证明反演率 A B A B, AB A B
AB AC 推论： AB AC BCDE AB AC 证：AB AC BC BCDE
AB AC BC 1 DE
AB AC BC AB AC 对偶式： A B A C B C D E A B A C
A F A B F A B F
◇或非门逻辑符号：
B
≥1
+
◇或非门真值表： 或非门运算顺序是： 先或后非 ◇或非门工作波形 有 1 为 0, 全 0 为 1 A B F A B A 即：当输入 A 、 B 中， 0 0 1 B 只 要 有 一 个 1, 输 出 就 0 1 0 是 0, 只 有 输 入 全 为 0 F 1 0 0 时，输出才是1。 1 1
例2: 已知 F A B C D E 求 F 解：利用反演规则直接写出 F A B C D E 注意：不属于单个变量上的反号保持不变。 （3）、对偶规则： 首先了解什么是对偶式；


对偶式：已知函数为 F ，将 F 中的所有 “·” 换为 “＋”，“＋” 换为 “·” ，0 换为 1 ，1 换为 0，变量保持 不变。得到的函数式就是原函数的对偶式 F′。 例：F AB C F ' A BC F ( A B )( A C 1) F ' AB AC 0 F A B C
例1:已知 F A B CD
求F
解：由反演规则直接得出 F ( A B) C D 由反演率得 本例说明：


F A B CD A B CD ( A B ) C D


1、由反演规则求反函数，比直接用反演率求反函数方便、简单。 2、在运算过程中适当增加括号，以保证原函数的运算顺序不变。
交叉互换率：AB AC A C A B
A C A B A A AB AC BC 证右：
0 AB AC BC AB AC 对偶式： A B A C AC AB
加对乘的分配率： A+BC = (A+B)(A+C) 证：(A+B)(A+C)=AA+AC+AB+BC =(A+AC+AB)+BC =A(1+C+B)+BC = A+BC 对偶式： A(B+C)=AB+AC
≥1
G AB AC
C
1

C
AC
两种不同的电路形式，表示同一种逻辑功能。
交换率 结合率 分配率 吸收率 0－1率 互补率 重叠率 非非率 反演率
A+B=B+A A+(B+C)=(A+B)+C A(B+C)=AB+AC A+AB=A A+1=1,A+O=A
A A 1 A+A=A
A A
AB=BA A(BC)=(AB)C A=A A·0=0,A·1=A A A 0 A·A=A
包含律：AB AC BC AB AC 证：AB AC BC AB AC A ABC AB AC ABC ABC
AB1 C AC 1 B
若两个乘积项中分别 包含A和 A两个因子， 而这两个乘积项的其 余因子组成第三个乘 积项，则第三个乘积 项是多余的。可消去
逻辑运算 逻辑表达式 逻辑符号
真值表
A B 0 1 0 1 B 0 1 0 1 F 0 0 0 1 F 0 1 1 1 0
F
基本运算规则
A A A A 1 A A0 0
与
F A B
A B
&
0 1 1 A 0
A＋A A
或
F A B
A B
≥1
F
0 1 1
A＋1 1 A＋0 A
1、逻辑函数间的相等 设有两个逻辑函数 F = f (A1A2---An) G = g (A1A2---An)
看出：F和G都是变量 A1A2---An的逻辑函数。 如果:2n 种组合中每一状态组合F和G值相同， 则称为F和G相等，记作F=G。 如果F=G，其真值表相同。反之，F和G真值 表相同，F一定等于G。 因此，要证明两个逻辑函数相等，只需列出真 值表，若真值表相同，那么这两个函数一定相等。


0 0 0 1 0 1 1
0 0 0 1 0 1 1
从真值表中可以看出： 每一种组合 F 和 G 都相 等，所以 F = G。 即：F 和 G是同一逻 辑的两种不同表达式。
(2)、实现F和G的逻辑电路图
A B C
A B
1
≥1

F A B C
将运算符号变为逻辑符号
C
BC
A B
A A 0
A A A＋A 1
A
F 1 0
非
FA
A
1
F
0 1
实际的逻辑问题比与、或、非复杂得多。利用这三种 基本逻辑关系，可以得出处理实际逻辑问题的各种复合逻 辑，如与非、或非、与或非、异或、同或逻辑等。 1、 与非逻辑 与非逻辑是与逻辑运算和非逻辑运算的组合。它是将 输入变量先进行与运算，然后再进行非运算。 能够实现与非逻辑运算的电路称为与非门。 ◇与非逻辑表达式： F A B ◇与非门逻辑符号：