课时规范训练

课时规范练76排列与组合基础巩固练1.为庆祝建校50周年,某校计划举行庆祝活动,共有4个节目,要求A节目不排在第一个,则节目安排的方法数为()A.9B.18C.24D.272.(2024·广东茂名模拟)将4个6和2个8随机排成一行,则2个8不相邻的情况有()A.480种B.240种C.15种D.10种3.(2024·山东师范大学附中校考)从6个黄色球和4个蓝色球中任取4个,则至少有两个蓝色球的取法种数是()A.90B.120C.114D.1154.(2024·河北衡水二中期末)7名身高各不相同的同学站成一排,若身高最高的同学站在中间,且其每一侧同学的身高都依次降低,则7名同学所有不同的站法种数为()A.20B.40C.8D.165.(2024·内蒙古赤峰模拟)某校有5名大学生观看冰球,速滑,花滑三场比赛,每名大学生仅观看一场比赛,每场比赛至少有1名大学生且至多2名大学生观看,则这5人观看比赛的方案种数为()A.150B.90C.60D.156.(2024·广东汕头模拟)现将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,要求A,B相邻,且B,C不相邻,则不同的排列方式有()A.192种B.240种C.120种D.28种7.(2024·山东青岛模拟)某教育局为振兴乡村教育,将5名教师安排到3所乡村学校支教,若每名教师仅去一所学校,每所学校至少安排1名教师,则不同的安排情况有()A.300种B.210种C.180种D.150种8.(2024·湖北新高考质检)A,B,C,D,E五名同学站成一排合影,若B站在两端,C和D相邻,则不同的站队方式共有种.(用数字作答)9.(2024·山东聊城模拟)某综合性大学数学系为了提高学生的数学素养,开设了“古今数学思想”“世界数学通史”“几何原本”“什么是数学”四门选修课程,要求每位学生从大一到大三的三个学年内将四门选修课程全部修完,且每学年最多选修两门,若同一学年内选修的课程不分前后顺序,则每位学生共有种不同的选修方式可选.(用数字作答)综合提升练10.(2024·河北开滦模拟)某公司人事部安排小张、小胡等6名工作人员去4个不同的岗位工作,其中每个岗位至少一人,每个人只去一个岗位工作,且小张、小胡这2人必须在一起,则不同的安排方法有()A.240种B.320种C.156种D.180种11.(2024·福建福州模拟)“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一,登舟比赛的划手分为划左桨和划右桨.某训练小组有6名划手,其中有2名只会划左桨,2名只会划右桨,2名既会划左桨又会划右桨.现从这6名划手中选派4名参加比赛,其中2名划左桨,2名划右桨,则不同的选派方法共有()A.15种B.18种C.19种D.36种12.(2024·山东潍坊模拟)过去的一年,我国载人航天事业突飞猛进,其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试,主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项,连续5天完成,且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试,超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试,则选拔测试的安排方案有()A.24种B.36种C.48种D.60种13.(2024·河北张家口模拟)小李在2005年10月18日出生,他在设置手机的数字密码时,打算将自己出生日期的后6个数字0,5,1,0,1,8进行某种排列,从而得到密码.如果排列时要求两个1不相邻,两个0也不相邻,那么小李可以设置的不同密码有个(用数字作答).创新应用练14.(2024·山东德州模拟)已知数列{a n},a i∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5,6.满足条件“1≤a1+a2+…+a6≤3”的数列的个数为.课时规范练76排列与组合1.B解析由题意,先从后面3个位置中选择一个安排A节目,然后其他3个节目任意排在剩下的3个位置,共有C31A33=18种方法.2.D解析若2个8不相邻,只需将2个8插入4个6所形成的5个空中,有C52=10种方法,故2个8不相邻的情况有10种.3.D解析由题意,第一类,恰有两个蓝色球,有C42C62=90种;第二类,恰有三个蓝色球,有C43C61=24种;第三类,恰有四个蓝色球,有C44=1种.根据分类加法计数原理可得,至少有两个蓝色球的取法种数是90+24+1=115.4.A解析让最高的同学站中间,再在剩余的6人中选择3人,放在左边,剩余3人放在右边,共有C63=20种站法.5.B解析将5名大学生分为1,2,2三组,共有C52C32C11A22=15种方法,则将这三组分配给观看冰球,速滑,花滑三场比赛,共有15×A33=90种方法,则这5人观看比赛的方案种数为90.6.A解析当A,B相邻时,不同的排列方式有A55A22=240种,当A,B,C相邻,且B在A,C中间时,不同的排列方式有2A44=48种,则要求A,B相邻,且B,C不相邻,则不同的排列方式有240-48=192种.7.D解析由于每所学校至少安排1名教师,则不同的安排情况有(C52C32A22+C53)A33=150种.8.24解析C,D相邻,将C,D排在一起并看成一个整体,有A22=2种方法;B站两端,有2种方法;再排A,E与C,D,有A33=6种方法,故不同的站队方式共有2×2×A33=24种.9.54解析由题意可知三年内将四门选修课程全部修完,且每学年最多选修两门,则四门学科可按2,1,1和2,2,0两种情况分成三组,若按2,1,1分成三组,有C42=6种分组方法,若按2,2,0分成三组,有C42C22A22=3种分组方法,所以每位学生共有(6+3)A33=54种不同的选修方式可选.10.A解析将6人分4组有两种情况:{3,1,1,1},{2,2,1,1}.(1)当各组人数按{3,1,1,1}分组:小张、小胡必在3人组,从其余4人选1人与小张、小胡捆绑,有C41=4种,此4组人任意安排到4个岗位,有A44=24种方法,故共有4×24=96种;(2)当各组人数按{2,2,1,1}分组:小张、小胡必在其中一个2人组,从其余4人选2人为另一个2人组,有C42=6种,此4组人任意安排到4个岗位,有A44=24种方法,故共有6×24=144种.综上,不同的安排方法有96+144=240种.11.C解析根据题意,记A={只会划左桨的两人},B={只会划右桨的两人},C={既会划左桨又会划右桨的两人},则不同的选派方法有以下三种:(1)从A中选择2人划左桨,划右桨的在B∪C中选两人,共有C22C42=6种;(2)从A中选择1人划左桨,则从C中选1人划左桨,再从B∪C剩下的3人中选2人划右桨,共有C21C21C32=12种;(3)从B中选2人划右桨,从C中选2人划左桨,共有C22C22=1种,所以不同的选派方法共有19种.12.B解析当前庭功能和失重飞行在相邻两天时,不同的安排方案有A44A22=48种.当前庭功能、失重飞行、超重耐力相邻,且超重耐力在前庭功能和失重飞行中间时,不同的安排方案有A33A22=12种,所以符合题意的安排方案有48-12=36种.13.84解析将6个数字进行排列,因为其中有两个0,两个1,故共有A66A22A22=180(种)排法;其中两个1相邻的排法有A55A22=60(种),同理,两个0相邻的排法有A55A22=60(种).两个1相邻且两个0也相邻的排法有A44=24(种).故符合题意的密码有180-60-60+24=84(个).14.266解析设S=a1+a2+a3+a4+a5+a6,由题知,1≤S≤3,可得S=1,2,3.(1)当S=1时,可得a1,a2,…,a6中有:三个1,两个-1,一个0;两个1,一个-1,三个0;一个1,其余是0.这样的数列个数为C63C32+C62C41+C61=126.(2)当S=2时,可得a1,a2,…,a6中有:四个1,两个-1;三个1,一个-1,两个0;两个1,四个0.这样的数列个数为C64+C63C31+C62=90.(3)当S=3时,可得a1,a2,…,a6中有:四个1,一个-1,一个0;三个1,三个0.这样的数列个数为C64C21+C63=50.则满足条件的数列的个数共有126+90+50=266。

课时规范训练[A 级 基础演练]1．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12D ．－15解析：选A.记b n ＝3n －2，则数列{b n }是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝(－b 1)＋b 2＋…＋(－b 9)＋b 10＝(b 2－b 1)＋(b 4－b 3)＋…＋(b 10－b 9)＝5×3＝15.故选A.2．(2021·河北承德模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ＝1，2，3，…)，当首项a 1和公差d 变化时，若a 5＋a 8＋a 11是一个定值，则下列各数中为定值的是( )A ．S 17B ．S 18C ．S 15D ．S 16解析：选C.由等差数列的性质得a 5＋a 11＝2a 8，所以a 5＋a 8＋a 11为定值，即a 8为定值．又由于S 15＝15（a 1＋a 15）2＝15×2a 82＝15a 8，所以S 15为定值．故选C.3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋12π，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 016＝( )A.2 015×2 0162B ．2 016×2 0172C.2 015×2 0152D ．2 016×2 0162解析：选B.a n ＝n 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋12π＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2n2（n 为奇数），（n 为偶数），∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 016＝－12＋22－32＋42－…－2 0152＋2 0162＝(22－12)＋(42－32)＋…＋(2 0162－2 0152)＝1＋2＋3＋4＋…＋2 016＝2 016×2 0172.4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2D ．2解析：选A.由等差数列性质及前n 项和公式，得 S 8＝8（a 1＋a 8）2＝4(a 3＋a 6)＝4a 3，所以a 6＝0.又a 7＝－2，所以公差d ＝－2，所以a 9＝a 7＋2d ＝－6.5．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( )A ．3 690B ．3 660C ．1 845D ．1 830解析：选D.当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝4k －1， 当n ＝2k －1时，a 2k －a 2k －1＝4k －3， ∴a 2k ＋1＋a 2k －1＝2，∴a 2k ＋1＋a 2k ＋3＝2， ∴a 2k －1＝a 2k ＋3， ∴a 1＝a 5＝…＝a 61.∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 60＋a 61)＝3＋7＋11＋…＋(4×30－1)＝30×（3＋119）2＝30×61＝1 830.6．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n(a n ＋1)，记S n 为{a n }的前n 项和，则S 2 017＝ ． 解析：由a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n(a n ＋1)可得该数列是周期为4的数列，且a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－1，a 4＝0，a 5＝1，所以S 2 017＝504(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2 017＝504×(－2)＋1＝－1 007.答案：－1 0077．(2021·江西八所中学联考)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＋(－1)na n ＝cos(n ＋1)π，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 017＝ ．解析：∵a n ＋1＋(－1)na n ＝cos(n ＋1)π＝(－1)n ＋1，∴当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝－1，k ∈N *，∴S 2 017＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 016＋a 2 017)＝1＋(－1)×1 008＝－1 007.答案：－1 0078．等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{}a n 的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{}b n 的前n 项和T n .解：(1)由a 1＝10，a 2为整数，知等差数列{}a n 的公差d 为整数． 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0. 解得－103≤d ≤－52.因此d ＝－3.数列{}a n 的通项公式为a n ＝13－3n .(2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －110＝n10（10－3n ）.9．(2021·辽宁五校联考)已知等差数列{}a n ，公差d >0，前n 项和为S n ，S 3＝6且满足a 3－a 1，2a 2，a 8成等比数列．(1)求{}a n 的通项公式；(2)设b n ＝1a n ·a n ＋2，求数列{}b n 的前n 项和T n .解：(1)由S 3＝6，得a 2＝2. ∵a 3－a 1，2a 2，a 8成等比数列，∴2d ·(2＋6d )＝42，解得，d ＝1或d ＝－43.∵d >0，∴d ＝1，∴数列{}a n 的通项公式为a n ＝n . (2)∵b n ＝1a n ·a n ＋2＝1n （n ＋2），∴T n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n （n ＋2）＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝3n 2＋5n 4（n ＋1）（n ＋2）. [B 级 力量突破]1．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不犯难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公认真算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从其次天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问其次天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里解析：选B.由题意，知每天所走路程形成以a 1为首项，公比为12的等比数列，则a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝96，即其次天走了96里．故选B.2．已知数列5，6，1，－5，…，该数列的特点是从其次项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于( )A ．5B ．6C ．7D ．16解析：选C.依据题意这个数列的前7项分别为5，6，1，－5，－6，－1，5，6，发觉从第7项起，数字重复消灭，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又由于16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7.故选C. 3．数列{a n }的通项为a n ＝(－1)n(2n ＋1)sin n π2＋1，前n 项和为S n ，则S 100＝ ．解析：由a n ＝(－1)n(2n ＋1)sinn π2＋1可得全部的偶数项为1，奇数项有以下规律：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，a 5＝－10，a 9＝－18，…⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝8，a 7＝16，a 11＝24，…所以a 1＋a 5＋…＋a 97＝25×(－2)＋25×242×(－8)＝－2 450，a 3＋a 7＋…＋a 99＝25×8＋25×242×8＝2 600，a 2＋a 4＋…＋a 100＝50×1＝50 所以S 100＝－2 450＋2 600＋50＝200. 答案：2004．(2021·昆明调研)已知等差数列{}a n 中，a 2＝4，a 4是a 2与a 8的等比中项． (1)求数列{}a n 的通项公式； (2)若a n ＋1≠a n ，求数列{}2n －1·a n 的前n 项和．解：(1)由a 2＝4，且a 4是a 2，a 8的等比中项可得a 1＋d ＝4，a 24＝a 2a 8，即(4＋2d )2＝4(4＋6d )，化简得d 2－2d ＝0， 则d ＝0或d ＝2，由于a 2＝4，当d ＝0时，a n ＝4； 当d ＝2时，a 1＝2，则a n ＝2n . (2)∵a n ＋1≠a n ，∴a n ＝2n ，则2n －1a n ＝2n －1·2n ＝2n ·n ，∵S n ＝21＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n，(*1)(*1)×2得，2S n ＝22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)·2n＋n ·2n ＋1，(*2)(*1)－(*2)得，－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2（1－2n）1－2－n ·2n ＋1，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.5．在等比数列{}a n 中，a 1>0，n ∈N *，且a 3－a 2＝8，又a 1、a 5的等比中项为16. (1)求数列{}a n 的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ，数列{}b n 的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n<k 对任意n ∈N*恒成立？若存在，求出正整数k 的最小值；不存在，请说明理由．解：(1)设数列{}a n 的公比为q ，由题意可得a 3＝16，∵a 3－a 2＝8，则a 2＝8，∴q ＝2.∴a n ＝2n ＋1.(2)∵b n ＝log 42n ＋1＝n ＋12，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n （n ＋3）4.∵1S n＝4n （n ＋3）＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋3，∴1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫11－14＋12－15＋13－16＋…＋1n －1n ＋3＝43⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1n ＋1－1n ＋2－1n ＋3<43⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＝229， ∴存在正整数k ，其最小值为3.。

课时规范训练(二)[基础对点练]题组一酸、碱、盐的性质1．我国科学家在国际上首次实现了从二氧化碳到淀粉的全合成。

通常条件下，下列物质中不能与CO2发生反应的是()A．H2SO4B．CaOC．H2O D．NaOH解析：A CO2是酸性氧化物，能与碱、碱性氧化物和水发生反应，不能与酸反应。

2．在西汉刘安组织编撰的《淮南万毕术》中，有“曾青得铁则化为铜”的记载，这个反应属于()A．分解反应B．化合反应C．复分解反应D．置换反应解析：D“曾青得铁则化为铜”是指铁和硫酸铜溶液反应生成硫酸亚铁和铜，发生反应的化学方程式为Fe＋CuSO4===FeSO4＋Cu，属于一种单质与一种化合物反应生成另一种单质和另一种化合物的反应，因此该过程中涉及的反应类型为置换反应。

3．食盐、食醋、纯碱等均为家庭厨房中常用的物质，利用这些物质能完成的实验是()①检验自来水中是否含氯离子②鉴别食盐和纯碱③检验鸡蛋壳能否溶于酸④除去热水瓶中的水垢A．①②③④B．①③C．只有②④D．②③④解析：D检验自来水中的氯离子需要加入硝酸酸化的硝酸银溶液，根据所给物质不能完成，①不选；鉴别食盐(NaCl)和纯碱(Na2CO3)可以选择食醋，能产生气泡的是纯碱，②符合；检验鸡蛋壳能否溶于酸可选择食醋，食醋与鸡蛋壳的主要成分CaCO3反应，③符合；可用食醋除去热水瓶中的水垢(主要成分为CaCO3)，④符合。

4．只用一种试剂就能鉴别KCl、K2CO3、Ba(NO3)2三种无色溶液，该试剂是() A．稀盐酸B．稀硫酸C．硝酸银溶液D．氯化钠溶液解析：B将稀硫酸加入KCl溶液中无明显现象，加入碳酸钾溶液中会产生气泡，加入硝酸钡溶液中会产生白色沉淀，可以鉴别这三种物质，故选B 。

题组二 物质的转化5.下列各选项中，不能满足如图一系列关系的选项是( )A ．X 为铜、Y 为氧化铜、Z 为硫酸铜B ．X 为二氧化碳、Y 为氧气、Z 为一氧化碳C ．X 为碳酸钙、Y 为氧化钙、Z 为氢氧化钙D ．X 为氢氧化钠、Y 为氯化钠、Z 为碳酸钠解析：D 铜与氧气反应生成氧化铜，氧化铜能与硫酸反应生成硫酸铜，硫酸铜溶液与铁反应生成铜，故不选A ；二氧化碳发生光合作用生成氧气，氧气与碳反应可生成一氧化碳，CO 继续燃烧生成CO 2，故不选B ；碳酸钙高温分解生成氧化钙，氧化钙与水反应生成氢氧化钙，氢氧化钙与CO 2反应生成碳酸钙，故不选C ；氢氧化钠与盐酸反应生成氯化钠，氯化钠不能直接转化生成碳酸钠，故选D 。

课时规范训练[A 级 基础演练]1．已知直线l 1：ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋2＝0，则“a ＝－2”是“l 1⊥l 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若l 1⊥l 2，则a ×1＋a (a ＋1)＝0，解得a ＝－2或a ＝0，所以“a ＝－2”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件．故选A.2．(2021·宁夏银川模拟)已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a 等于( )A ．3B ．1C ．－1D ．3或－1解析：选C.由题意知，l 1∥l 2⇔1a －2＝a 3≠62a，即a ＝－ 1.故选C. 3．已知直线l 的倾斜角为34π，直线l 1经过点A (3，2)和B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2的方程为2x ＋by ＋1＝0，且直线l 2与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：选B.∵直线l 的斜率为－1，∴直线l 1的斜率为1，∴k AB ＝2－（－1）3－a ＝1，解得a ＝0.∵l 1∥l 2，∴－2b＝1，解得b ＝－2，∴a ＋b ＝－2.4．已知直线l 过点P (3，4)且与点A (－2，2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( ) A ．2x ＋3y －18＝0 B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0解析：选D.设所求直线方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2， ∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0.5．从点(2，3)射出的光线沿与向量a ＝(8，4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋6y －16＝0D ．6x ＋y －8＝0解析：选A.由直线与向量a ＝(8，4)平行知：过点(2，3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0，2)，又点(2，3)关于y 轴的对称点为(－2，3)，所以反射光线过点(－2，3)与(0，2)，由两点式可得A 正确．6．过点A (1，2)且与原点距离最大的直线方程是 ． 解析：由题意知，所求直线与OA 垂直， 因k OA ＝2，则所求直线的斜率k ＝－12.所以直线的方程是y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.答案：x ＋2y －5＝07．(2021·合肥调研)斜率为2，且与直线2x ＋y －4＝0的交点恰好在x 轴上的直线方程是 ． 解析：∵2x ＋y －4＝0与x 轴的交点坐标为(2，0)． ∴所求直线的方程为y ＝2(x －2)即2x －y －4＝0. 答案：2x －y －4＝08．点(2，3)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是 ．解析：设对称点为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －3a －2＝1，a ＋22＋b ＋32＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3.答案：(－4，－3)9．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1，6)，求BC 所在直线的方程．解：作出草图，如图所示．设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1，6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0.10．已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0相互平行，且l 1，l 2之间的距离为5，求直线l 1的方程．解：∵l 1∥l 2，∴m 2＝8m ≠n－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2. ①当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0，把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0，∴|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或n ＝18.所以，所求直线的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0.②当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，l 2的方程为4x －8y －2＝0，∴|－n ＋2|16＋64＝5，解得n＝－18或n ＝22.所以，所求直线的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.[B 级 力量突破]1．若曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的切线为l ，则点P (3，2)到直线l 的距离为( ) A.722B ．922C.1122D ．91010解析：选A.由题意得切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k ＝y ′|x ＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l 的方程为y －(－1)＝－1·，整理得x ＋y ＋2＝0.由点到直线的距离公式，得点P (3，2)到直线l 的距离为|3＋2＋2|12＋12＝722. 2．若三条直线l 1：4x ＋y ＝4，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my ＝4不能围成三角形，则实数m 的取值最多有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个解析：选C.三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－16；若l 2∥l 3，则m 的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m ＝－1或23，故实数m 的取值最多有4个．3．(2021·浙江台州中学质检)已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0相互垂直，则ab 的最小值为( )A ．1B ．2C ．2 2D ．2 3解析：选B.由已知两直线垂直得(b 2＋1)－ab 2＝0，即ab 2＝b 2＋1.两边同除以b ，得ab ＝b 2＋1b ＝b ＋1b.由基本不等式，得b ＋1b≥2b ·1b＝2当且仅当b ＝1时等号成立，故选B. 4．(2021·郑州一中月考)点P 为x 轴上的一点，A (1，1)，B (3，4)，则|PA |＋|PB |的最小值是 ． 解析：点A (1，1)关于x 轴的对称点A ′(1，－1)，则|PA |＋|PB |的最小值是线段A ′B 的长＝52＋22＝29.答案：295．若直线l 过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点，且|AB |＝5，求直线l 的方程． 解：过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0.求得B 点坐标为(1，4)，此时|AB |＝5， 即x ＝1为所求．设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k （x －1）.得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2.(k ≠－2，否则与已知直线平行)． 则B 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2.由已知⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52， 解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.。

一、基础知识1．对下列各句中加点词的解释，不正确的一项是( )A ．窃．以为与君实游处相好之日久 窃：私下 B ．冀．君实或见恕也 冀：希望 C ．重念蒙君实视遇．．厚 视遇：看待 D ．非特．朝廷士大夫而已 特：特别 解析：D 项，特：仅，只是。

答案：D2．下列各组句子中，加点词语的意义和用法相同的一组是( )A ．⎩⎨⎧恩所加则思无因．喜以谬赏罚所及则思无因．怒而滥刑 B ．⎩⎨⎧亏无为之大道哉．岂人主之子孙则必不善哉．C ．⎩⎨⎧恩所．加则思无因喜以谬赏山峦为晴雪所．洗 D ．⎩⎨⎧将有作则．思知止以安人此则．岳阳楼之大观也 解析：A 项，“因”都是“因为”的意思。

B 项，表疑问；表反问。

C 项，“所”字结构；与“为”连用，被。

D 项，连词，那么；动词，是。

答案：A3．下列各句中，加点词语的意义与现代汉语不同的一项是( )A ．非特朝廷士大夫而已．．B ．人习于苟且．．非一日 C ．辟邪说．．，难壬人，不为拒谏 D ．重念蒙君实视遇厚，于反覆．．不宜卤莽 解析：A 项，罢了；B 项，得过且过，没有长远打算；C 项，不正确的言论；D项，古义指书信往返，今义是重复的意思。

答案：D4．下列各句中，加点词语的用法与其他三项不同的一项是()A．将有作则思知止以安．人B．想谗邪则思正．身以黜恶C．乐．盘游则思三驱以为度D．总此十思，弘．兹九德解析：C项，意动用法，其余三项为使动用法。

答案：C二、语言文字运用阅读下面的文字，完成5～7题。

隋唐一统，特别是唐太宗平东突厥、平高昌，促进了丝绸之路贸易发展。

唐太宗对来自昭武九姓的使者说：“西突厥已降，商旅可行矣。

”于是，“诸胡大悦”(《新唐书·西域传下》)。

唐人文献和小说笔记里，商胡或胡商，是出现____________甚高的词语。

吐鲁番出土文书中，对于贸易物品的规格和价格管理，____________，就是为____________和外商进行边境贸易的需要而定，当地居民不可能有如此巨大的需求。

一、基础知识1.下列诗句中加点的词，解释不正确的一项是()A.沉吟．．至今沉吟：沉思吟味B.悠悠．．我心悠悠：长远的样子，形容思虑连绵不断C.枉用相存．．相存：相互记住D.契阔．．谈讌契阔：聚散，这里指久别重逢解析：C“相存”，相问候。

2.下列诗句中加点的词，与现代汉语意思相同的一项是()①我有嘉宾．．．．②人生几何③譬如朝露．．至今．．④沉吟⑤枉用．．相存⑥开荒．．南野际⑦依依．．．．墟里烟⑧复得返自然A.①④⑥⑦B.②④⑤⑧C.①③⑥⑧D.②③⑤⑦解析：C与现代汉语不同的是：②“几何”在现代汉语中除了表示“多少”的意思外，还是数学上的一个术语。

④“沉吟”在诗中的意思是“沉思吟味”，在现代汉语中是低声吟咏(文辞、诗句等)；(遇到复杂或疑难的事)迟疑不决，低声自语。

⑤“枉用”在诗中的意思是“屈驾用来”，在现代汉语中是“白白地用”。

⑦“依依”，在诗中是“隐约的样子”，在现代汉语中是“形容留恋，不忍分离”的意思。

3.下列各句中，没有使用比喻修辞手法的一项是()A.譬如朝露，去日苦多。

B.误落尘网中，一去三十年。

C.久在樊笼里，复得返自然。

D.开荒南野际，守拙归园田。

解析：D除D项外，其他各项均运用了比喻的修辞手法。

4.补写出下列句子中的空缺部分。

(1)在《短歌行》中，曹操说，如果我有嘉宾，我就会“”相欢迎；同时，他还设想，那些嘉宾会像老朋友一样“”，接连前来。

(2)在《短歌行》中，曹操借周公的典故来表达自己对人才的尊重与渴望的两句是：“，。

”(3)陶渊明在《归园田居》(其一)中用鸟和鱼来表达自己回归田园后的欢喜与惬意的两句是：“，。

”答案：(1)鼓瑟吹笙越陌度阡(2)周公吐哺天下归心(3)羁鸟恋旧林池鱼思故渊二、语言文字运用(2024·四川成都七中高一期中)阅读下面的文字，完成5～6题。

《归园田居》(其一)是陶渊明的一首代表作。

这是一首蔑视尘俗、融入自然实现自我的生命之歌，使得这首诗成为杰出的田园诗篇。

课时规范练1集合（原卷版）基础巩固练1.(2024·湖南常德)已知集合A={x|-1<x<3},B={x|x2-5x+4<0},则A∪B=()A.{x|1<x<3}B.{x|1<x<4}C.{x|-1<x<3}D.{x|-1<x<4}2.(2024·广东江门)已知集合A={-1,0,1},B={m|m2-1∈A,m-1∉A},则集合B中所有元素之和为()A.0B.1C.-1D.23.(2023·全国乙,理2)设全集U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1<x<2},则{x|x≥2}=()A.∁U(M∪N)B.N∪∁U MC.∁U(M∩N)D.M∪∁U N4.已知全集U={1,2,3,4},集合A={1},∁U(A∪B)={3},则集合B可能是()A.{4}B.{1,4}C.{2,4}D.{1,2,3}5.(2024·山东青岛)已知全集U=R,集合A,B满足A⊆(A∩B),则下列关系一定成立的是()A.A=BB.B⊆AC.A∩(∁U B)=⌀D.(∁U A)∩B=⌀6.(2024·浙江余姚)已知集合A={(x,y)|y=x2},集合B={(x,y)|y=1-|x|},则集合A∩B的真子集个数为()A.1B.2C.3D.47.(多选题)(2024·河北衡水中学检测)已知集合U为全集,集合A,B,C均为U的子集.若A∩B=⌀,A∩C≠⌀,B∩C≠⌀,则()A.A⊆∁U(B∩C)B.C⊆∁U(A∪B)C.A∪B∪C=UD.A∩B∩C=⌀8.(2024·山东聊城检测)已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|a<x<3},若对于∀x∈A,都有x∈B,则a的取值范围为()A.(-∞,0]B.(-∞,0)C.[0,2]D.(2,3)9.如图所示的Venn图中,A,B是非空集合,定义集合A B为阴影部分表示的集合.若A={x|x=2n+1,n ∈N,n≤4},B={2,3,4,5,6,7},则A B=.综合提升练10.已知集合A={x|2x>1},B={x|ln x>1},则下列集合为空集的是()A.A∩(∁R B)B.(∁R A)∩BC.A∩BD.(∁R A)∩(∁R B)11.(2024·山东青岛)已知全集U=R,A={x|3<x<7},B={x||x-2|<4},则下图中阴影部分表示的集合为()A.{x|-2<x≤3}B.{x|-2<x<3}C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1,2,3}12.(2024·福建厦门)设集合A={x|1≤x≤3},集合B={x|y= -1},若A⫋C⫋B,写出一个符合条件的集合C=.13.(2024·北京西城区)正整数集合A={a1,a2,a3,…,a n},且a1<a2<a3<…<a n,n≥3,B中所有元素之和为T(B),集合C={T(B)|B⊆A,B≠⌀},若A={1,2,5},则集合C=.创新应用练14.设集合的全集为U,定义一种运算☉,M☉N={x|x∈M∩(∁U N)},若全集U=R,M={x||x|≤2},N={x|-3<x<1},则M☉N=()A.{x|-2≤x<1}B.{x|1<x≤2}C.{x|1≤x≤2}D.{x|-2≤x≤1}15.(多选题)设集合M={x|x=6k1+2,k1∈Z},N={x|x=6k2+5,k2∈Z},P={x|x=3k3+2,k3∈Z},则()A.M∩N≠⌀B.M∪N=PC.M=PD.∁P M=N课时规范练1集合（答案）1.D 解析集合B={x|x 2-5x+4<0}={x|(x-1)(x-4)<0}={x|1<x<4},则A ∪B={x|-1<x<4},故选D .2.C 解析令m 2-1分别等于-1,0,1,解得m=0,±1,±2,又m-1∉A ,所以m=-1,±2,因此B={-1,2,-2},所以集合B 中所有元素之和是-1,故选C .3.A 解析M ∪N={x|x<2},故∁U (M ∪N )={x|x ≥2}.故选A .其他选项均不符合题意.4.C 解析∵U={1,2,3,4},∁U (A ∪B )={3},∴A ∪B={1,2,4},又A={1},∴B 可以是{2,4}或{1,2,4},故选C .5.C 解析因为A ⊆(A ∩B ),可得A ⊆B.对选项A,当A 为B 的真子集时,不成立;对选项B,当A 为B 的真子集时,也不成立;对选项C,A ∩(∁U B )=⌀,恒成立;对选项D,当A 为B 的真子集时,不成立,故选C .6.C 解析联立 2,|,可得x 2+|x|-1=0,因为|x|≥0,解得|x|=5-12,所以方程组 = 2,=1-| |的解为=5-12=3-52或 =-52=3-52,因此A ∩B=所以集合A ∩B 的真子集个数为22-1=3,故选C .7.AD 解析根据题意,作出Venn 图.由图可得A ⊆∁U (B ∩C ),故选项A 正确;集合C 不是∁U (A ∪B )的子集,故选项B 错误;A ∪B ∪C 不一定为全集U ,故选项C 错误;A ∩B ∩C=⌀∩C=⌀,故选项D 正确,故选AD .8.B 解析若对于∀x ∈A ,都有x ∈B ,则A ⊆B ,由已知可得a<0,故选B .9.{1,2,4,6,9}解析由Venn 图可知,AB={x|x ∈(A ∪B ),x ∉(A ∩B )},因为A={x|x=2n+1,n ∈N ,n ≤4}={1,3,5,7,9},B={2,3,4,5,6,7},则A ∪B={1,2,3,4,5,6,7,9},A ∩B={3,5,7},因此A B={1,2,4,6,9}.10.B 解析集合A={x|2x >1}={x|x>0},集合B={x|ln x>1}={x|x>e},所以∁R A={x|x ≤0},∁R B={x|x ≤e},A ∩(∁R B )={x|0<x ≤e},故选项A 不满足题意;(∁R A )∩B=⌀,故选项B 满足题意;A ∩B={x|x>e},故选项C 不满足题意;(∁R A )∩(∁R B )={x|x ≤0},故选项D 不满足题意,故选B .11.A 解析由于|x-2|<4⇒-4<x-2<4⇒-2<x<6,∴B={x|-2<x<6},则A ∪B={x|-2<x<7},图中阴影部分为∁(A ∪B )A={x|-2<x ≤3},故选A .12.{x|1≤x ≤4}(答案不唯一)解析A={x|1≤x ≤3},B={x|x ≥1},故若A ⫋C ⫋B ,则其中一个满足条件的集合C={x|1≤x ≤4}.13.{1,2,3,5,6,7,8}解析因为A={1,2,5},所以B={1},{2},{5},{1,2},{1,5},{2,5},{1,2,5},所以T (B )=1,2,5,3,6,7,8,故C={1,2,3,5,6,7,8}.14.C 解析由题意得M={x||x|≤2}={x|-2≤x ≤2},∁U N={x|x ≤-3或x ≥1},则M ☉N={x|1≤x ≤2},故选C .15.BD解析M={x|x=6k1+2,k1∈Z},N={x|x=6k2+5,k2∈Z},P={x|x=3k3+2,k3∈Z},对A,由6k1+2=6k2+5⇒k1=k2+12,等式不成立,故M∩N=⌀,A错误;对BCD,当k3为奇数时,可令k3=2k2+1,则3k3+2=6k2+5;当k3为偶数时,可令k3=2k1,则3k3+2=6k1+2.故M∪N=P,且N=∁P M,BD正确,C错误.故选B。

课时规范训练A基础巩固练1．(多选题)下列各组对象能构成集合的有()A．接近于1的所有正整数B．小于0的实数C．(2023，1)与(1，2023)D．某校高一(1)班的聪明学生解析：BC A中，接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；B 中小于0是一个明确的标准，能构成集合；C中(2023，1)与(1，2023)是两个不同的点，是确定的，能构成集合；D中“某校高一(1)班的聪明学生”中“聪明”的标准不确定，因而不能构成一个集合．2．给出下列关系：①13∈R；②5∈Q；③－3∉Z；④－3∉N，其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：B 13是实数，①正确；5是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－3是无理数，④正确．故选B．3．下列说法中正确的是()A．某学校高一(8)班比较漂亮的女生能确定一个集合B．由1，32，64，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12，0.5组成的集合有5个元素C．将小于100的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到两个不同的集合D．方程x2＋1＝2x的解集中只有一个元素解析：D A是错误的，因为“漂亮”是个模糊的概念，因此不满足集合中元素的确定性；B是错误的，32＝64，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＝0.5，根据互异性，得由1，32，64，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12，0.5组成的集合只有3个元素：1，32，0.5；C是错误的，根据集合中元素的无序性可知，小于100的自然数无论按什么顺序排列，构成的集合都是同一集合；D是正确的，方程x2＋1＝2x有两个相等的解，即x1＝x2＝1，其解集中只有一个元素，故D正确．4．下列各组中，集合P与Q表示同一个集合的是()A．P是由元素1，3，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－3|构成的集合B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集解析：A由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B，C，D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不表示同一个集合．5．已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是()A．1∈M B．0∈MC．－1∈M D．－2∈M解析：C由2∈M知2为方程x2－x＋m＝0的一个解，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2.所以方程为x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.故方程的另一根为－1.6．(多选题)集合A中含有三个元素2，4，6，若a∈A，且6－a∈A，那么a 可以为()A．2 B．－2C．4 D．6解析：AC若a＝2，则6－2＝4∈A；若a＝4，则6－4＝2∈A；若a＝6，则6－6＝0∉A．7．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________．解析：因为x∈N，2<x<a，且集合P中恰有三个元素，易知a＝6.答案：68．若由a ，b a ，1组成的集合A 与由a 2，a ＋b ，0组成的集合B 相等，则a 2023＋b 2023的值为________．解析：由已知可得a ≠0，因为两集合相等，又1≠0，所以b a ＝0，所以b ＝0，所以a 2＝1，即a ＝±1，又当a ＝1时，集合A 不满足集合中元素的互异性，舍去，所以a ＝－1. 所以a 2023＋b 2023＝－1.答案：－19．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，a ∈R .(1)求实数a 的取值范围；(2)若a ∈A ，求实数a 的值．解：(1)如果a －3＝2a －1，则a ＝－2.由于a －3，2a －1是集合A 含有的两个元素，所以实数a ≠－2.(2)因为a ∈A ，所以a ＝a －3或a ＝2a －1.当a ＝a －3时，0＝－3，不成立；当a ＝2a －1时，a ＝1，此时A 中有两个元素－2，1，符合题意，综上所述，实数a 的值为1.B 能力进阶练10．若集合A 的元素y 满足y ＝x 2＋1，集合B 的元素(x ，y )满足y ＝x 2＋1(A ，B 中x ∈R ，y ∈R )，则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A 且2∈BB ．(1，2)∈A 且(1，2)∈BC ．2∈A 且(3，10)∈BD ．(3，10)∈A 且2∈B解析：C 集合A 中的元素为y ，是数集，又y ＝x 2＋1≥1，故2∈A ；集合B 中的元素为点(x ，y )且满足y ＝x 2＋1，经验证，(3，10)∈B ，故选C ．11．(多选题)由a 2，2－a ，4组成一个集合A ，且集合A 中含有3个元素，则实数a 的取值不可能是( )A ．1B ．－2C ．－1D ．2解析：ABD 由题意知a 2≠4，2－a ≠4，a 2≠2－a ，解得a ≠±2，且a ≠1，即a 的取值不可能是1，±2.12．已知集合A 含有两个元素1和2，集合B 表示方程x 2＋ax ＋b ＝0的解组成的集合，且集合A 与集合B 相等，则a ＝________，b ＝________．解析：因为集合A 与集合B 相等，且1∈A ，2∈A ，所以1∈B ，2∈B ，即1，2是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个实数根．所以⎩⎨⎧1＋2＝－a ，1×2＝b ，所以⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝2.答案：－3 213．已知集合A 的元素是a ，b ，2，集合B 的元素是2，b 2，2a ，若A ＝B ，求实数a ，b 的值．解：由已知A ＝B 得⎩⎨⎧a ＝2a ，b ＝b 2，① 或⎩⎨⎧a ＝b 2，b ＝2a ，② 解①得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝0，b ＝1.解②得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.又由集合元素的互异性，得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.C 探索创新练14．已知a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ，则：(1)若A 中只有1个元素，则a ＝________；(2)若A有且只有2个元素，则集合A的个数是________．解析：因为a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N，若a＝0，则4－a＝4，此时A满足要求；若a＝1，则4－a＝3，此时A满足要求；若a＝2，则4－a＝2.此时A含1个元素．答案：(1)2(2)2。

课时规范训练(十五)[基础对点练]题组一Fe2＋、Fe3＋的性质1．人体血红蛋白中含有Fe2＋，如果误食亚硝酸盐会使人中毒，因为亚硝酸盐会使Fe2＋发生变化，生成高铁血红蛋白而丧失与O2结合的能力。

该过程中铁元素的化合价()A．升高B．不变C．降低D．无法判断解析：A亚硝酸盐会使Fe2＋转变为Fe3＋，生成高铁血红蛋白而丧失与O2结合的能力，则此过程中铁元素的化合价升高，故A正确。

2．下列实验设计及其对应的离子方程式均正确的是()A．把铁片插入CuSO4溶液中，验证古代湿法冶铜：2Fe＋3Cu2＋===2Fe3＋＋3CuB．某溶液中滴入KSCN溶液显红色，说明含Fe3＋：Fe3＋＋3SCN－===Fe(SCN)3 C．FeCl3溶液中加入铜粉：Fe3＋＋Cu===Fe2＋＋Cu2＋D．若要求用两种单质和一种溶液来测定Zn、Cu、Ag三种金属的活动性顺序，可用Zn、Cu和AgNO3溶液反应：Zn＋2Ag＋===Zn2＋＋2Ag解析：B A中正确的离子反应为Fe＋Cu2＋===Fe2＋＋Cu；C中离子反应为2Fe3＋＋Cu===2Fe2＋＋Cu2＋；D中Zn、Cu均能与AgNO3发生置换反应生成Ag，则不能比较Zn、Cu的活动性，D错误。

3．酸性溶液中能大量共存的是()A．Fe3＋、Na＋、Cl－、SO2－4B．K＋、Ca2＋、NO－3、HCO－3C．K＋、Ba2＋、NO－3、SO2－4D．K＋、Fe2＋、Cl－、NO－3解析：A A项，Fe3＋、Na＋、Cl－、SO2－4之间不反应，且均不与H＋反应，能大量共存；B项，HCO－3与H＋不能大量共存；C项，Ba2＋、SO2－4反应生成硫酸钡沉淀，不能大量共存；D项，酸性条件下，NO－3具有强氧化性，能氧化Fe2＋，不能大量共存。

题组二Fe2＋、Fe3＋的检验和除杂4．已知硝酸能将Fe2＋氧化为Fe3＋。

下列物质反应后一定能使KSCN溶液变红的是()①过量的Fe与Cl2反应②Fe和过量的稀硫酸反应③向FeCl2溶液中通入少量Cl2④Fe和Fe2O3的混合物溶于盐酸中⑤向Fe(NO3)2溶液中加入过量稀硫酸A．只有③④⑤B．只有①③⑤C．只有①②③D．全部解析：B能使KSCN溶液变红的是Fe3＋。

课时规范训练[A 级 基础演练]1．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n 是( )A.n2n ＋1B.n 2n －1C.n 2n －3 D ．n 2n ＋3解析：选B.由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项为n2n －1.2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1a n －1＋1，则a 4等于( )A.53 B ．43 C ．1D ．23 解析：选A.由a 1＝1，a n ＝1a n －1＋1得，a 2＝1a 1＋1＝2，a 3＝1a 2＋1＝12＋1＝32，a 4＝1a 3＋1＝23＋1＝53.3．(2021·保定高三调研)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式为a n ＝( ) A ．2n－1 B ．2n －1＋1C ．2n －1D ．2n －2解析：选A.由题意知a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2n，∴a n ＝2n－1.4．(2021·银川模拟)设数列{}a n 满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，记数列{}a n 的前n 项之积为T n ，则T 2 016的值为( )A ．－12B ．1 C.12D ．2解析：选B.由a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2，a 5＝12可知，数列{}a n 是周期为3的数列，且a 1·a 2·a 3＝－1，从而T 2 016＝(－1)672＝1.5．(2021·吉林长春质量检测)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，{S n ＋na n }为常数列，则a n ＝( ) A.13n －1B ．2n （n ＋1）C.6（n ＋1）（n ＋2）D ．5－2n 3解析：选B.由题意知，S n ＋na n ＝2，当n ≥2时，S n －1＋(n －1)a n －1＝2，∴(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13·24·…·n －1n ＋1，则a n ＝2n （n ＋1），当n ＝1时上式成立，所以a n ＝2n （n ＋1），故选B.6．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( ) A ．15 B ．12 C ．－12D ．－15解析：选A.由题意知，a 1＋a 2＋…＋a 10 ＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10×(3×10－2) ＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋ ＝3×5＝15.7．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( ) A ．2n －1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n n －1C ．n 2D ．n解析：选D.法一：由已知整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1，∴a n ＋1n ＋1＝a n n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是常数列，且a n n ＝a 11＝1，∴a n＝n .法二(累乘法)：当n ≥2时，a n a n －1＝n n －1. a n －1a n －2＝n －1n －2，…，a 3a 2＝32，a 2a 1＝21，两边分别相乘得a na 1＝n . 又∵a 1＝1，∴a n ＝n .8．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44B ．3×44＋1 C ．45D ．45＋1解析：选A.法一：a 1＝1，a 2＝3S 1＝3，a 3＝3S 2＝12＝3×41，a 4＝3S 3＝48＝3×42，a 5＝3S 4＝3×43，a 6＝3S 5＝3×44.故选A.法二：当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1，∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1， ∴该数列从第2项开头是以4为公比的等比数列，又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 （n ＝1），3×4n －2（n ≥2）. ∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44.9．(2021·云南文山检测)设S n 是数列{a n }的前n 项和，假如S n ＝3a n －2，那么数列{a n }的通项公式为 ．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3a 1－2，解得a 1＝1.当n ≥2时，S n ＝3a n －2，S n －1＝3a n －1－2，两式相减得a n＝3a n －3a n －1，故a n a n －1＝32，数列{a n }为首项为1，公比为32的等比数列，其通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.答案：a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －110．若数列{}a n 的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{}a n 的通项公式是a n ＝ ．解析：当n ＝1时，S 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n ＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －1＋13＝23(a n －a n －1)，∴a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2， ∴{}a n 是以1为首项的等比数列，其公比为－2， ∴a n ＝1×(－2)n －1，即a n ＝(－2)n －1.答案：(－2)n －1[B 级 力量突破]1．(2021·哈三中一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ∈N *)，则S 6＝( ) A ．44B ．45C.13×(46－1) D ．14×(45－1) 解析：选B.由a n ＋1＝3S n 得a 2＝3S 1＝3.当n ≥2时，a n ＝3S n －1，则a n ＋1－a n ＝3a n ，n ≥2，即a n ＋1＝4a n ，n≥2，则数列{a n }从其次项起构成以3为首项，4为公比的等比数列，所以S 6＝a 73＝3×453＝45，故选B.2．(2021·浙江台州调考)现定义a n ＝5n＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15n，其中n ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫110，15，12，1，则a n 取最小值时，n 的值为( )A.110 B ．15 C.12D ．1解析：选A.令5n＝t >0，考虑函数y ＝t ＋1t，易知其在(0，1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且当t ＝1时，y 的值最小，再考虑函数t ＝5x，当0<x ≤1时，t ∈(1，5]，可知当n ＝110时，a n 取得最小值．3．(2021·东北三校联考)已知数列{a n }满足：a n ＝13n 3－54n 2＋3＋m ，若数列的最小项为1，则m 的值为( )A.14 B ．13 C ．－14D ．－13解析：选B.令f (x )＝13x 3－54x 2＋3＋m ，x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )＝x 2－52x ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞时，f ′(x )>0，故x ＝52为函数f (x )的微小值点，也是最小值点．由于n ∈N *，且a 2＝23＋m ，a 3＝34＋m ，故a 2<a 3，即a 2为数列{a n }的最小项，故23＋m ＝1，解得m ＝13，故选B.4．在数列{a n }中，a 1＝1，对于全部的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝ ． 解析：由题意知：a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －12(n ≥2)，∴a 3＋a 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫542＝6116. 答案：61165．已知数列{a 2n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 018＝ ． 解析：∵a 1＝1，∴a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1，a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的周期数列，∴a 2 018＝a 2＝0. 答案：06．(2021·山东潍坊调研)已知{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是 ．解析：法一(定义法)：由于{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ>0，即λ>－(2n ＋1)(*)．由于n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.法二(函数法)：设f (n )＝a n ＝n 2＋λn ，其图象的对称轴为直线n ＝－λ2，要使数列{a n }为递增数列，只需使定义域在正整数上的函数f (n )为增函数，故只需满足f (1)<f (2)，即λ>－3.答案：λ>－3。