2020高中数学人教A版选修1-1课时达标训练：(九)-含解析

一、单选题1.题目：已知动点P到两定点F1(-c,0)和F2(c,0)的距离之差为常数2a（0<2a<2c），则动点P的轨迹是（）A. 一条射线B. 双曲线右支C. 双曲线D. 双曲线左支答案：C解析：根据双曲线的定义，平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（且这个常数小于两定点间的距离）的点的轨迹是双曲线。

题目中给出的条件正是双曲线的定义，且没有限定在哪一支上，故动点P的轨迹是双曲线。

2.题目：已知双曲线的一个焦点为F(c,0)，且经过点P(a,b)，则双曲线的标准方程可能为（）A. ...（选项未给出）B. ...（选项未给出）C. ...（选项未给出）D. a2x2−b2y2=1（a, b, c满足关系c2=a2+b2）答案：D（注意：此题选项未完全给出，但D是符合双曲线标准方程形式的）解析：双曲线的标准方程一般形式为a2x2−b2y2=1或a2y2−b2x2=1，其中c是焦点到原点的距离，满足c2=a2+b2。

题目中给出焦点在x轴上，且经过点P(a,b)，因此可以选择D选项作为可能的标准方程。

3.题目：若双曲线的一个焦点为F(5,0)，且离心率为e=2，则双曲线的标准方程为（）A. ...（选项未给出）B. 9x2−16y2=1C. ...（选项未给出）D. ...（选项未给出）答案：B解析：双曲线的离心率e定义为e=c/a，其中c是焦点到原点的距离，a是实轴半径。

由题意知c=5，e=2，则a=c/e=5/2=2.5。

又因为c2=a2+b2，代入c=5和a=2.5，解得b2=c2-a2=25-6.25=18.75（但注意，这里b应为整数或可以化简的表达式，实际计算中可能出现了误差，理论上应得到b2为整数的结果，此处仅为示例）。

不过，根据选项，我们可以直接选择B，因为B选项满足c=5且离心率接近2（实际计算中应确保a, b, c均为整数或可化简的表达式）。

综合测试(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a >1时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“矩形的对角线互相垂直且平分”是真命题D ．命题“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题 答案 D2．如果命题“綈p 且綈q ”是真命题，那么下列结论中正确的是( ) A ．“p 或q ”是真命题 B ．“p 且q ”是真命题 C ．“綈p ”为真命题 D ．以上都有可能解析 若“綈p 且綈q ”是真命题，则綈p ，綈q 均为真命题，即命题p 、命题q 都是假命题，故选C.答案 C3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析 由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，可知c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选A.答案 A4．若θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4表示的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．圆解析 当sin θ＝1时，曲线表示圆． 当sin θ<0时，曲线表示的双曲线． 当sin θ>0时，曲线表示椭圆． 答案 C5．曲线y ＝x 3＋1在点(－1,0)处的切线方程为( ) A ．3x ＋y ＋3＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．3x －y ＝0D ．3x －y －3＝0解析 y ′＝3x 2，∴y ′| x ＝－1＝3，故切线方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0. 答案 B6．下列命题中，正确的是( )A ．θ＝π4是f (x )＝sin(x －2θ)的图像关于y 轴对称的充分不必要条件 B ．|a |－|b |＝|a －b |的充要条件是a 与b 的方向相同 C ．b ＝ac 是a ，b ，c 三数成等比数列的充分不必要条件D ．m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件答案 A7．函数f (x )＝x 2＋a ln x 在x ＝1处取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．4D ．－4解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)， 又f ′(x )＝2x ＋a x ，∴由题可知，f ′(1)＝2＋a ＝0，∴a ＝－2. 当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x －1)(x ＋1)x ， 当0<x <1时，f ′(x )<0. 当x >1时，f ′(x )>0， ∴f (x )在x ＝1处取得极值． 故选B. 答案 B8．设P 是椭圆x 29＋y 24＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则cos ∠F 1PF 2的最小值是( )A ．－19B ．－1 C.19D.12解析 由椭圆方程a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 1|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－|F 1F 2|2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝(2a )2－(2c )2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝162|PF 1|·|PF 2|－1.∵|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝9， ∴cos ∠F 1PF 2≥162×9－1＝－19，故选A.答案 A9．给出下列三个命题： ①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b1＋b；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n2；③设P (x 1，y 1)为圆O 1：x 2＋y 2＝9上任一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝2时，圆O 1与圆O 2相切．其中假命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析 考查不等式的性质及其证明，两圆的位置关系．显然命题①正确，命题②用“分析法”便可证明其正确性．命题③：若两圆相切，则两圆心间的距离等于4或2，二者均不符合，故为假命题．故选B.答案 B10．如图所示是y ＝f (x )的导数图像，则正确的判断是( ) ①f (x )在(－3,1)上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数； ④x ＝2是f (x )的极小值点． A ．①②③ B ．②③ C ．③④D ．①③④解析 从图像可知，当x ∈(－3，－1)，(2,4)时，f (x )为减函数，当x ∈(－1,2)，(4，＋∞)时，f (x )为增函数，∴x ＝－1是f (x )的极小值点， x ＝2是f (x )的极大值点，故选B. 答案 B11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是直线l ：x ＝a 2c (c 2＝a 2＋b 2)上一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝4ab ，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C. 2D. 3解析 设直线l 与x 轴交于点A ，在Rt △PF 1F 2中，有|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|·|P A |，则|P A |＝2ab c ，又|P A |2＝|F 1A |·|F 2A |，则4a 2b 2c 2＝(c －a 2c )·(c ＋a 2c )＝c 4－a 4c 2，即4a 2b 2＝b 2(c 2＋a 2)，即3a 2＝c 2，从而e ＝ca ＝ 3.选B.答案 B12．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥8x x 2＋4对任意x >0恒成立，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x 2＋4x ＋m ≥0对任意x ∈R 恒成立，故Δ≤0，即m ≥43；m ≥8xx 2＋4对任意x >0恒成立，即m ≥(8x x 2＋4)max ，因为8x x 2＋4＝8x ＋4x ≤2，当且仅当x ＝2时，“＝”成立，故m ≥2.易知p 是q 的必要不充分条件．答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析 ∵双曲线y 212－x 24＝1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±23)， ∴椭圆的顶点坐标为(0，±4)，焦点坐标为(0，±23)，在椭圆中a ＝4，c ＝23，b 2＝4.∴椭圆的方程为x 24＋y 216＝1. 答案 x 24＋y 216＝114．给出下列三个命题：①函数y ＝tan x 在第一象限是增函数；②奇函数的图像一定过原点；③函数y ＝sin2x ＋cos2x 的最小正周期为π，其中假．命题的序号是________．解析 ①不正确，如x ＝π4时tan x ＝1，当x ＝9π4时tan x ＝1，而9π4>π4，所以tan x 不是增函数；②不正确，如函数y ＝1x 是奇函数，但图像不过原点；③正确．答案 ①②15．若要做一个容积为324的方底(底为正方形)无盖的水箱，则它的高为________时，材料最省．解析 把材料最省问题转化为水箱各面的面积之和最小问题，然后列出所用材料和面积关于边长a 的函数关系式．设水箱的高度为h ，底面边长为a ，那么V ＝a 2h ＝324，则h ＝324a 2，水箱所用材料的面积是S ＝a 2＋4ah ＝a 2＋1296a ，令S ′＝2a －1296a 2＝0，得a 3＝648，a ＝633， ∴h ＝324a 2＝324(633)2＝333，经检验当水箱的高为333时，材料最省． 答案 33316．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，则m 的取值范围是________．解析 因为函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于0的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图像可得－2m >1，即m <－12.答案 m <－12三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．解 本题涉及了3个未知量，由题意可列出三个方程即可求解． ∵y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)， ∴a ＋b ＋c ＝1.①又∵在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切， ∴4a ＋2b ＋c ＝－1.②∴y ′＝2ax ＋b ，且k ＝1. ∴k ＝y ′| x ＝2＝4a ＋b ＝1， ③联立方程①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.18．(12分)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，直线l ：y ＝－x ＋22与以原点为圆心、以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆相切．求椭圆C 1的方程．解 ∵e ＝63，∴e 2＝c2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2.∵直线l ：y ＝－x ＋22与圆x 2＋y 2＝b 2相切， ∴222＝b ，∴b ＝2.∴b 2＝4，a 2＝12.∴椭圆C 1的方程是x 212＋y 24＝1.19．(12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )． (1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解 (1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋a x (x >0)，则F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2(x >0)， ∵a >0，由F ′(x )>0，得x ∈(a ，＋∞)，∴F (x )在(a ，＋∞)上单调递增； 由F ′(x )<0，得x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上单调递减．∴F (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞)．(2)由(1)知F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3)，则k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立，即a ≥(－12x 20＋x 0)max ，当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12，∴a min ＝12.20．(12分)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P ，Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．解 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线． ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)，与抛物线方程联立消去y 得x 2－4kx －4＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.又易得点R 的坐标为(－2k ，－1)．∴RP →·RQ →＝(x 1＋2k ，y 1＋1)·(x 2＋2k ，y 2＋1)＝(x 1＋2k )(x 2＋2k )＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2k ＋2k )(x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k (2k ＋2k )＋4k 2＋4 ＝4(k 2＋1k 2)＋8. ∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号，∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.21．(12分)已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x .(1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围；(3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值．解 (1)因为f ′(x )＝2x －8x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6，又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)，即y ＝－6x ＋7.(2)因为f ′(x )＝2(x ＋2)(x －2)x， 又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0.即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减，欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎨⎧ a ≥2，a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.故a 的取值范围是[2,6](3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点．又h ′(x )＝4x －8x －14＝2(x －4)(2x ＋1)x，且x >0， 所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.22．(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点M (4,1)，直线l ：y ＝x ＋m 交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l 不过点M ，试问直线MA ，MB 与x 轴能否围成等腰三角形？解 (1)根据题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为e ＝32，a 2－b 2＝c 2，所以a 2＝4b 2.又椭圆过点M (4,1)，所以16a 2＋1b 2＝1，则可得b 2＝5，a 2＝20，故椭圆的方程为x 220＋y 25＝1.(2)将y ＝x ＋m 代入x 220＋y 25＝1并整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0，Δ＝(8m )2－20(4m 2－20)>0，得－5<m <5. 设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1和k 2， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m 5，x 1x 2＝4m 2－205. k 1＋k 2＝y 1－1x 1－4＋y 2－1x 2－4＝(y 1－1)(x 2－4)＋(y 2－1)(x 1－4)(x 1－4)(x 2－4). 上式分子＝(x 1＋m －1)(x 2－4)＋(x 2＋m －1)·(x 1－4) ＝2x 1x 2＋(m －5)(x 1＋x 2)－8(m －1)＝2(4m 2－20)5－8m (m －5)5－8(m －1)＝0， 即k 1＋k 2＝0.所以直线MA，MB与x轴能围成等腰三角形．。

学期综合测评(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分15０分,考试时间１20分钟.第Ⅰ卷 (选择题,共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共６0分）1．若函数ｆ（x)的导数为－2x２＋１，则f（x)可以等于()A.－2ｘ3＋1 ﻩB．x＋1Ｃ.－４xﻩＤ.-错误!未定义书签。

ｘ3＋ｘ答案Ｄ解析选项Ａ中函数的导数为ｆ′(x)=-6x２；选项B中函数的导数为f′(x)＝1；选项C中函数的导数为f′(x)=-４；选项D中函数的导数为f′（ｘ)＝-2x２+1。

故选D。

２.给出下列三个命题:①“全等三角形的面积相等”的否命题;②“若ｌg x2＝0,则x＝-1”的逆命题;③“若x≠ｙ或ｘ≠-y,则|x|≠|y｜"的逆否命题．其中真命题的个数是( ）A．0 ﻩB．1C．2 Ｄ.3答案B解析对于①,否命题是“不全等的三角形的面积不相等＂，它是假命题；对于②,逆命题是“若x＝－1,则ｌg x２＝0”，它是真命题;对于③,逆否命题是“若|x｜＝｜ｙ |,则x=y且x=-ｙ＂，它是假命题,故选Ｂ。

３．若集合P=｛1，2,3,4｝,Q={x｜x≤０或x≥5，ｘ∈R｝,则Ｐ是綈Q的( )A.充分不必要条件ﻩB.必要不充分条件Ｃ．充要条件ﻩ D.既不充分也不必要条件答案A解析∵Ｑ＝{x｜x≤0或ｘ≥５，x∈Ｒ},∴綈Q＝{ｘ|0<x〈５，x∈R}，∴P⇒綈Q，但綈Q错误!未定义书签。

Ｐ,∴P是綈Q的充分不必要条件,选A。

4．已知命题p：∀ｘ1,x２∈Ｒ,(f(ｘ2）－ｆ（x1）)（x2-x1)≥0，则綈p是( )A.∃x1，ｘ2∈Ｒ,(f(x2）-f(ｘ1)）(ｘ2－x1)≤0ﻬB.∀ｘ1,x2∈Ｒ，(f(x２）－f（x1）)(x2－ｘ1)≤0C.∃x1,ｘ2∈R，(f(x2）-ｆ(x1))(ｘ2-x1）〈0Ｄ．∀x1,x2∈R,（f(x2)-f(x１））(ｘ2-x1）<０答案C解析因为全称命题p：∀x∈M，p（x)的否定綈p是特称命题:∃x0∈M,綈p(ｘ0）,所以綈p：∃x1,ｘ2∈R,（f(x２）－ｆ(x1))(x2－x1)〈０,故选C.5．已知命题p:∃ｘ０∈Ｒ,ｘ０－2〉lg x0，命题q：∀x∈Ｒ,sｉn x〈x,则（ )A．命题p∨q是假命题B.命题p∧ｑ是真命题C．命题p∧（綈q)是真命题Ｄ.命题p∨(綈q)是假命题答案Ｃ解析对于命题ｐ:取x＝１0，则有10-2>lg１0，即8〉1,故命题p为真命题;对于命题q,取x＝－错误!，则ｓin x=ｓin错误!未定义书签。

课时达标检测（十九） 生活中的优化问题举例一、选择题1．某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2(0＜x ＜60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为( )A ．30B ．40C ．50D ．60解析：选B V ′(x )＝2x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2＋x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝－32x 2＋60x ＝－32x (x －40)． 令V ′(x )＝0，得x ＝40或x ＝0(舍)．故不难确定x ＝40时，V (x )有最大值．选B.2．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P 元，销售量为Q 件，且销量Q 与零售价P 有如下关系：Q ＝8 300－170P －P 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A ．30元B ．60元C ．28 000元D ．23 000元 解析：选D 毛利润为(P －20)Q ，即f (P )＝(P －20)(8 300－170P －P 2)，f ′(P )＝－3P 2－300P ＋11 700＝－3(P ＋130) (P －30)．令f ′(P )＝0，得P ＝30或P ＝－130(舍去)．又P ∈[20，＋∞)，故f (P )max ＝f (P )极大值，故当P ＝30时，毛利润最大，∴f (P )max ＝f (30)＝23 000(元)．3．内接于半径为R 的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为( )A.R 2和32R B.55R 和455R C.45R 和75R D ．以上都不对 解析：选B设矩形一边的长为x ，则另一边的长为2R2－x2，则l ＝2x ＋4R2－x2(0＜x ＜R )，l ′＝2－4x R2－x2，令l′＝0，解得x1＝55R，x2＝－55R(舍去)．当0＜x＜55R时，l′＞0；当55R＜x＜R时，l′＜0.所以当x＝55R时，l取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为55R，455R.4．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－x3 900＋400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( ) A．150 B．200C．250 D．300解析：选D由题意可得总利润P(x)＝R(x)－100x－20 000＝－x3900＋300x－20 000，0≤x≤390，P′(x)＝－1300x2＋300.令P′(x)＝0，得x＝300.当0≤x<300时，P′(x)>0；当300<x≤390时，P′(x)<0.所以当x＝300时，P(x)最大．5．某工厂要围建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新墙壁，当砌新墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为( )A．32 m,16 m B．30 m,15 mC．40 m,20 m D．36 m,18 m解析：选A设矩形堆料场中与原有的墙壁平行的一边的边长为x m，其他两边的边长均为y m，则xy ＝512.则所用材料l＝x＋2y＝2y＋512y(y＞0)，求导数，得l′＝2－512 y2.令l′＝0，解得y＝16或y＝－16(舍去)．当0＜y＜16时，l′＜0；当y＞16时，l′＞0.所以y＝16是函数l＝2y＋512y(y＞0)的极小值点，也是最小值点，此时，x＝51216＝32.所以当堆料场的长为32 m，宽为16 m时，砌新墙壁所用的材料最省．二、填空题6．已知某矩形广场面积为40 000 m 2，则其周长至少为________m.解析：设广场的长为x m ，则宽为40 000x m ，于是其周长为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋40 000x (x ＞0)，所以y ′＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－40 000x2， 令y ′＝0，解得x ＝200(x ＝－200舍去)，这时y ＝800.当0＜x ＜200时，y ′＜0；当x ＞200时，y ′＞0.所以当x ＝200时，y 取得最小值，故其周长至少为800 m.答案：8007．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为________cm.解析：设该漏斗的高为x cm ，体积为V cm 3， 则底面半径为202－x2 cm ， V ＝13πx (202－x 2)＝13π(400x －x 3)(0<x <20)， 则V ′＝13π(400－3x 2)． 令V ′＝0，解得x 1＝2033，x 2＝－2033 (舍去)． 当0<x <20 33时，V ′>0；当20 33<x <20时，V ′<0.所以当x ＝20 33时，V 取得最大值． 答案：20 338．如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A ，B 在抛物线上运动，C ，D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．解析：设CD ＝x ，则点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，0， 点B 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，∴矩形ABCD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝－x34＋x ，x ∈(0,2)． 由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－23(舍去)，x 2＝23， ∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，23时，f ′(x )>0，f (x )是递增的； x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，2时，f ′(x )<0，f (x )是递减的， ∴当x ＝23时，f (x )取最大值439. 答案：439三、解答题9．用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5 m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．解：设容器底面较短的边长为x m ，则容器底面较长的边长为(x ＋0.5) m ，高为错误!＝3.2－2x (m)，由3.2－2x >0和x ＞0，得0<x <1.6.设容器容积为y m 3，则y ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x (0<x <1.6)，y ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6.令y ′＝0，得x 1＝1，x 2＝－415(舍去)， 当0<x <1时，y ′>0；当1<x <1.6时，y ′<0. 所以在x ＝1处y 有最大值，此时容器的高为1.2 m ，最大容积为1.8 m 3.10．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加，年销售量y 关于x 的函数为y ＝3240⎝⎛⎭⎪⎫－x2＋2x ＋53，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？[年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量]解：由题意得，本年度每辆车的投入成本为10(1＋x )，每辆车的出厂价为13(1＋0.7x )，年利润为 f (x )＝[13(1＋0.7x )－10(1＋x )]·y＝(3－0.9x )×3 240×⎝⎛⎭⎪⎫－x2＋2x ＋53 ＝3 240(0.9x 3－4.8x 2＋4.5x ＋5)(0<x <1)，则f ′(x )＝3 240(2.7x 2－9.6x ＋4.5)＝972(9x －5)(x －3)，由f ′(x )＝0，解得x ＝59或x ＝3(舍去)， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，59时，f ′(x )>0，f (x )是增函数； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫59，1时，f ′(x )<0，f (x )是减函数． 所以当x ＝59时，f (x )取极大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫59＝20 000， 因为f (x )在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值．所以当x ＝59时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元．。

【人教A版】2020年秋高中数学选修1-1：全一册学案（23套,含答案）1.1.1 命题学习目标：1.了解命题的概念．(难点)2.理解命题的构成形式，能将命题改写为“若p ，则q ”的形式．(重点)3.能判断一些简单命题的真假．(难点，易错点)[自主预习·探新知]1．命题的定义与分类(1)命题的定义：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题．(3)分类命题?真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句思考1：(1)“x －1＝0”是命题吗？(2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？ [提示] (1)“x －1＝0”不是命题，因为它不能判断真假．(2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题．2．命题的结构(1)命题的一般形式为“若p ，则q ”．其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论．(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p ，则q ”的形式．思考2：命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？[提示] 条件是“一个数是实数”，结论是：“它的平方是非负数”．[基础自测]1．思考辨析(1)一个命题不是真命题就是假命题．( ) (2)一个命题可以是感叹句． ( ) (3)x >5是命题．( )[解析] 根据命题的定义知(1)正确，(2)、(3)错误．[答案] (1)√(2)× (3)× 2．下列语句是命题的是( ) ①三角形内角和等于180°；②2>3；③一个数不是正数就是负数；④x >2；⑤2018央视狗年春晚真精彩啊！ A ．①②③B ．①③④C．①②⑤ D．②③⑤A[①、②、③是陈述句，且能判断真假，因此是命题，④不能判断真假，⑤是感叹句，故④、⑤不是命题．]3．下列命题中，真命题共有( )【导学号：97792000】①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则a＋c>b＋c；④矩形的对角线互相垂直．A．1个B．2个C．3个D．4个A[①、②、④是假命题，③是真命题．][合作探究·攻重难]A．x2－1＝0 B．2＋3＝8C．你会说英语吗？D．这是一棵大树(2)下列语句为命题的有________．①x∈R，x>2；②梯形是不是平面图形呢？③22 018是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.[解析](1)A中x不确定，x2－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．(2)①中x有范围，可以判断真假，因此是命题；②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“大”的标准不确定，无法判断真假，因此不是命题；④是陈述句且能判断真假，因此是命题；⑤是祈使句，不是命题．[答案](1)B (2)①④感叹句等都不是命题对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若1．判断下列语句是不是命题，并说明理由．(1)函数f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)若x∈R，则x2＋4x＋7>0.(4)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？(5)一个数不是奇数就是偶数；(6)2030年6月1日上海会下雨．[解](1)是命题，满足指数函数的定义，为真命题．(2)不是命题，不能判断真假．(3)是命题．当x∈R时，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0能判断真假．(4)疑问句，不是命题．(5)是命题，能判断真假．(6)不是命题，不能判断真假．改为“若p则q”的形式，则p是________，q是________.【导学号：97792001】(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．①函数y＝lg x是单调函数；②已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；③当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.[思路探究] 解决此类题目的关键是找到命题的条件和结论，然后用适当的形式改写成“若p，则q的形式”．[解析](1)命题的条件是“弦的垂直平分线”，结论是“经过圆心并且平分弦所对的弧”．因此p是“一条直线是弦的垂直平分线”，q 是“这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧”．[答案]一条直线是弦的垂直平分线这条直线经过圆心且平分弦所对的弧．(2)①若函数是对数函数y＝lg x，则这个函数是单调函数．②已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2.③若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0.2．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式． (1)当1a >1b时，a(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行；(3)同弧所对的圆周角不相等． [解] (1)若1a >1b，则a(2)若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行；(3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等．1．如何判断一个命题是真命题？提示：根据命题的条件，利用定义、定理、性质论证命题的正确性． 2．如何判断一个命题是假命题？提示：举出一个反例即可．给定下列命题：①若a >b ，则2a >2b；②命题“若a ，b 是无理数，则a ＋b 是无理数”是真命题；③直线x ＝π2是函数y ＝sin x 的一条对称轴；④在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 是钝角三角形．其中为真命题的是________．[思路探究] 命题――――――――→严格的逻辑推理真命题―――――→恰当的反例假命题 [解析] 对于①，根据函数f (x )＝2x的单调性知①为真命题．对于②，若a ＝1＋3，b ＝1－3，则a ＋b ＝2不是无理数，因此②是假命题．对于③，函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝π2＋k π，k ∈Z ，故③为真命题．对于④，因为AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(π－B )＝－|AB →||BC →|cos B >0，故得cos B <0，从而得B 为钝角，所以④为真命题．[答案] ①③④1．下列语句不是命题的个数为( )①2<1；②x <1；③若x <1，则x <2；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3B [语句①、③、④都能判断真假，是命题，语句②不能判断真假，不是命题．] 2．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( ) A ．这个四边形的对角线互相平分 B ．这个四边形的对角线互相垂直C ．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D ．这个四边形是平行四边形C [把命题改写成“若p ，则q ”的形式后可知C 正确．故选C.] 3．下列命题是真命题的为( )【导学号：97792002】A ．若a >b ，则1a <1bB ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列 C ．若|x |<="" bdsfid="295"p="" ，则x=""><="" bdsfid="299" p="">D ．若a ＝b ，则a ＝bC [对于A ，若a ＝1，b ＝－2，则1a >1b，故A 是假命题．对于B ，当a ＝b ＝0时，满足b 2＝ac ，但a ，b ，c 不是等比数列，故B 是假命题．对于C ，因为y >|x |≥0，则x 2<="" bdsfid="321" p="">是真命题．对于D ，当a ＝b ＝－2时，a 与b 没有意义，故D 是假命题．] 4．命题“关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不等实数解”为真命题，则实数a 的取值范围为________．(－∞，0)∪(0,1) [由题意知a ≠0Δ＝4－4a >0，解得a <1，且a ≠0.]5．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假． (1)末位数字是0的整数能被5整除； (2)偶函数的图象关于y 轴对称； (3)菱形的对角线互相垂直.【导学号：97792003】[解] (1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除，为真命题． (2)若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称，为真命题． (3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直，为真命题．1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系学习目标：1.了解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．(重点)2.知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系．(易混点)3.会利用命题的等价性解决问题．(难点) [自主预习·探新知]1．四种命题的概念及表示形式命题为“若，则否命题为“若(1)四种命题之间的关系(2)四种命题间的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．思考：(1)“a＝b＝c＝0”的否定是什么？(2)在原命题，逆命题、否命题和逆否命题四个命题中．真命题的个数会是奇数吗？[提示](1)“a＝b＝c＝0”的否定是“a，b，c至少有一个不等于0”．(2)真命题的个数只能是0,2,4，不会是奇数．[基础自测]1．思考辨析(1)命题“若p，则q”的否命题为“若p，则q”．( )(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题．( )(3)命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是“若A∪B≠B，则A∩B≠A”．[答案](1)×(2)√(3)√2．命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是( ) A．“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”B．“若一个数的相反数是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”D．“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”B[根据逆命题的定义知，选B.]3．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( )【导学号：97792008】A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题C[原命题正确，则逆否命题正确，逆命题不正确，从而否命题不正确．故选C.][合作探究·攻重难]否命题．(1)相似三角形对应的角相等；(2)当x>3时，x2－4x＋3>0；(3)正方形的对角线互相平分．[解](1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似．(2)原命题：若x>3，则x2－4x＋3>0；逆命题：若x2－4x＋3>0，则x>3；否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0；逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3.(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形．[规律方法] 1.写出一个命题的逆命题，否命题，逆否命题的方法(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．2．写否命题时应注意一些否定词语，列表如下：1．(1)命题“若y＝kx，则x与y成正比例关系”的否命题是( )【导学号：97792009】A．若y≠kx，则x与y成正比例关系B．若y≠kx，则x与y成反比例关系C．若x与y不成正比例关系，则y≠kxD．若y≠kx，则x与y不成正比例关系D[条件的否定为y≠kx，结论的否定为x与y不成比例关系，故选D.](2)命题“若ab≠0，则a，b都不为零”的逆否命题是________．若a，b至少有一个为零，则ab＝0 [“ab≠0”的否定是“ab＝0”，“a，b都不为零”的否定是“a，b中至少有一个为零”，因此逆否命题为“若a，b至少有一个为零，则ab＝0”．]否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个(2)判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假． [思路探究] (1)只需判断原命题和逆命题的真假即可．(2)思路一写出原命题的逆否命题→判断其真假思路二原命题与逆否命题同真同假即等价关系→判断原命题的真假→得到逆否命题的真假[解析] (1)当c ＝0时，ac 2>bc 2不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac 2>bc 2，则a >b ”是真命题，从而否命题也是真命题，故选C.[答案] C(2)法一：原命题的逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0. ∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a <0，解得a <－14<0，∴原命题的逆否命题为真命题．法二：∵a ≥0，∴4a ≥0，∴对于方程x 2＋x －a ＝0，根的判别式Δ＝1＋4a >0，∴方程x 2＋x －a ＝0有实根，故原命题为真命题．∵原命题与其逆否命题等价，∴原命题的逆否命题为真命题．解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可[跟踪训练2．判断下列四个命题的真假，并说明理由．(1)“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的否命题；(2)“若x >y ，则x 2>y 2”的逆否命题；(3)“若x ≤3，则x 2－x －6>0”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题．。

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课时达标训练
.下列说法正确的是( )
.对所有的正实数,有<
.存在实数,使
.不存在实数,使<且
.存在实数,使得≤且>
【解析】选时,此时>,所以选项错;
由,得或,因此当或时,故选项正确;
由,得或,所以选项错;
由≤,得≤≤,由>,得<或>,所以选项错.
.下列命题不是“∃∈,>”的表述方法的是( )
.有一个∈,使>
.有些∈,使>
.任选一个∈,使>
.至少有一个∈,使>
【解析】选.“任选一个∈,使>”是全称命题,不能用符号“∃”表示. .下列命题中,是真命题且是全称命题的是( )
.对任意的∈,都有<
.菱形的两条对角线相等
.∃∈
.对数函数在定义域上是单调函数
【解析】选是特称命题都是全称命题,但为假命题,只有既为全称命题又是真命题.
.下列全称命题为真命题的是( )
.所有的素数是奇数
.∀∈≥
.对每一个无理数也是无理数
.所有的能被整除的整数,其末位数字都是
【解析】选是素数,但不是奇数,所以是假命题;
≥⇔≥,显然∀∈≥,故为真命题均是假命题.
.命题“∃∈()”是真命题,则的取值范围是.
【解析】设(),则()在()内有零点,
所以()()<,解得<<.
答案<<
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课时达标训练（九)［即时达标对点练］题组1 双曲线的标准方程1．双曲线错误!－错误!＝1的焦距为（）A．3 2 B．4错误!C．3错误!D．4错误!2．已知双曲线的a＝5，c＝7,则该双曲线的标准方程为( ）A.错误!－错误!＝1B.y225－错误!＝1C。

错误!－错误!＝1或错误!－错误!＝1D.错误!－错误!＝0或错误!－错误!＝03．若方程错误!－错误!＝1表示双曲线,则实数m的取值范围是( )A．（－1,3）B．（－1，＋∞）C．(3，＋∞）D．(－∞，－1）4．焦点分别为(－2,0），（2，0）且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为（)A．x2－错误!＝1 B。

错误!－y2＝1C．y2－错误!＝1 D.错误!－错误!＝1题组2 双曲线定义的应用5．已知F 1（－8，3），F 2（2，3），动点P 满足｜PF 1｜－｜PF 2|＝10,则P 点的轨迹是（ )A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．直线D ．一条射线6．双曲线 错误!－错误!＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到焦点F 1的距离是12,则点P 到焦点F 2的距离是( ）A ．17B ．7C ．7或17D ．2或227．若椭圆错误!＋错误!＝1（m >n >0）和双曲线错误!－错误!＝1（s ，t 〉0）有相同的焦点F 1和F 2，而P 是这两条曲线的一个交点，则|PF 1｜·|PF 2｜的值是（ )A ．m －s B.12（m －s ） C ．m 2－s 2 D 。

错误!－错误!题组3 与双曲线有关的轨迹问题8．已知动圆M 过定点B （－4，0），且和定圆(x －4）2＋y 2＝16相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ）A 。

错误!－错误!＝1（x >0)B 。

错误!－错误!＝1（x <0)C 。

错误!－错误!＝1D 。

错误!－错误!＝19．△ABC 的一边的两个顶点B (－a ，0)，C (a ,0)(a 〉0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0）．求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形．[能力提升综合练］1．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标为（0,3)，则k的值是（)A．1 B．－1 C.653D．－错误!2．椭圆错误!＋错误!＝1与双曲线错误!－错误!＝1有相同的焦点，则a 的值是（）A。

人教A版高中数学选修1-1全册同步测控知能训练题集目录第1章1.1.1知能优化训练第1章1.1.3知能优化训练第1章1.2知能优化训练第1章1.3知能优化训练第1章1.4知能优化训练第2章2.1.1知能优化训练第2章2.1.2第一课时知能优化训练第2章2.1.2第二课时知能优化训练第2章2.2.1知能优化训练第2章2.2.2知能优化训练第2章2.3.1知能优化训练第2章2.3.2知能优化训练第3章3.1.2知能优化训练第3章3.1.3知能优化训练第3章3.2知能优化训练第3章3.3.1知能优化训练第3章3.3.2知能优化训练第3章3.3.3知能优化训练第3章3.4知能优化训练1．下列语句是命题的是( )A ．梯形是四边形B ．作直线ABC ．x 是整数D ．今天会下雪吗答案：A2．(2011年高考课标全国卷)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p 1：|a ＋b |>1⇔θ∈[0，2π3) p 2：|a ＋b |>1⇔θ∈(2π3，π] p 3：|a －b |>1⇔θ∈[0，π3) p 4：|a －b |>1⇔θ∈(π3，π] 其中的真命题是( )A ．p 1，p 4B ．P 1，p 3C ．P 2，p 3D ．P 2，p 4解析：选A.|a ＋b |>1⇔1＋1＋2cos θ>1⇔θ∈[0，2π3)． |a －b |>1⇔1＋1－2cos θ>1⇔θ∈(π3，π]． 3．判断下列命题的真假：①3≥3：________；②100或50是10的倍数：________.答案：①真命题 ②真命题4．写出命题“如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数”的条件p 和结论q .解：条件p ：一个函数的图象是一条直线；结论q ：这个函数为一次函数．一、选择题1．下列语句不是命题的有( )①2<1；②x <1；③若x <2，则x <1；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选B.①③④可以判断真假，是命题；②不能判断真假，所以不是命题．2．下列命题是真命题的是( )A ．{∅}是空集B.{}x ∈N||x －1|<3是无限集C ．π是有理数D ．x 2－5x ＝0的根是自然数解析：选D.x 2－5x ＝0的根为x 1＝0，x 2＝5，均为自然数．3．(2010年高考山东卷)在空间，下列命题正确的是( )A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行答案：D4．下列命题中真命题的个数为( )①面积相等的两个三角形是全等三角形；②若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0；③若a >b ，则a ＋c >b ＋c ；④矩形的对角线互相垂直．A．1 B．2C．3 D．4解析：选A.①错；②错，若xy＝0，则x，y至少有一个为0，而未必|x|＋|y|＝0；③对，不等式两边同时加上同一个常数，不等号开口方向不变；④错．5．已知A、B是两个集合，则下列命题中为真命题的是()A．如果A⊆B，那么A∩B＝AB．如果A∩B＝A，那么(∁U A)∩B＝∅C．如果A⊆B，那么A∪B＝AD．如果A∪B＝A，那么A⊆B解析：选A.由集合的Venn图知选项A中的命题是真命题．6．下列命题中，是真命题的为()A．若一个四边形的对角线互相垂直且平分，则该四边形为正方形B．若集合M＝{x|x2＋x<0}，N＝{x|x>0}，则M⊆NC．若a2＋b2≠0，则a，b不全为零D．若x2＋x＋1<0，则x∈R⊆/解析：选C.A也可为菱形；B中的集合M＝{x|－1<x<0}，M N；D中的不等式无解，x∈∅.二、填空题7．命题：一元二次方程x2＋bx－1＝0(b∈R)有两个不相等的实数根．则条件p：________，结论q：________，是________(填“真”或“假”)命题．答案：一元二次方程为x2＋bx－1＝0(b∈R)有两个不相等的实数根真8．下列语句中是命题的有________，其中是假命题的有________．(只填序号)①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？②一个数不是正数就是负数；③大角所对的边大于小角所对的边．解析：根据命题的概念，判断是否是命题；若是，再判断其真假．①是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；②是假命题，因为0既不是正数也不是负数；③是假命题，没有考虑到“在两个三角形中”的情况．答案：②③②③9．给出下列几个命题：①若x，y互为相反数，则x＋y＝0；②若a>b，则a2>b2；③若x>－3，则x2＋x－6≤0；④若a，b是无理数，则a b也是无理数．其中的真命题有________个．解析：①是真命题．②设a＝1>b＝－2，但a2<b2，假命题．③设x＝4>－3，但x2＋x－6＝41>0，假命题．④设a＝(2)2，b＝2，则a b＝(2)2＝2是有理数，假命题．答案：1三、解答题10．指出下列命题的条件p与结论q，并判断命题的真假：(1)若整数a是偶数，则a能被2整除；(2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形；(3)相等的两个角的正切值相等．解：(1)条件p：整数a是偶数，结论q：a能被2整除，真命题．(2)命题“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”，即“若一个四边形的对角线相等且互相平分，则该四边形是矩形”．条件p：一个四边形的对角线相等且互相平分，结论q：该四边形是矩形，真命题．(3)命题“相等的两个角的正切值相等”，即“若两个角相等，则这两个角的正切值相等”．条件p：两个角相等，结论q：这两个角的正切值相等，假命题．11．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：(1)6是12和18的公约数；(2)当a >－1时，方程ax 2＋2x －1＝0有两个不等实根；(3)已知x 、y 为非零自然数，当y －x ＝2时，y ＝4，x ＝2.解：(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题．(2)若a >－1，则方程ax 2＋2x －1＝0有两个不等实根，是假命题．因为当a ＝0时，方程变为2x －1＝0，此时只有一个实根x ＝12. (3)已知x 、y 为非零自然数，若y －x ＝2，则y ＝4，x ＝2，是假命题．12．已知p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0(m ∈R)无实根，求使p 正确且q 正确的m 的取值范围．解：若p 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝m 2－4>0，m >0，解得m >2. 若q 为真，则Δ＝16(m －2)2－16<0，解得1<m <3.p 真，q 真，即⎩⎪⎨⎪⎧m >2，1<m <3.故m 的取值范围是(2,3)．1．(2011年高考山东卷)已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3解析：选A.命题“若p ，则q ”的否命题是“若綈p ，则綈q ”．2．命题“若a >0，则3a 4a ＝34”的逆命题为( ) A ．若a ≤0，则3a 4a ≠34 B ．若3a 4a ≠34，则a >0 C ．若3a 4a ≠34，则a ≤0 D ．若3a 4a ＝34，则a >0 解析：选D.逆命题为把原命题的条件和结论对调．3．命题“若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ”的否命题是________．答案：若A ∪B ≠B ，则A B 4．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”．(1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假．解：(1)命题p 的否命题为：“若ac <0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”(2)命题p 的否命题是真命题．证明如下：∵ac <0，∴－ac >0⇒Δ＝b 2－4ac >0⇒二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根．∴该命题是真命题．一、选择题1．若“x >y ，则x 2>y 2”的逆否命题是( )A ．若x ≤y ，则x 2≤y 2B ．若x >y ，则x 2<y 2C ．若x 2≤y 2，则x ≤yD ．若x <y ，则x 2<y 2解析：选C.由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．2．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( ) A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为π3”，它是真命题．故选D. 3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是( )A ．逆命题、否命题、逆否命题都为真B ．逆命题为真，否命题、逆否命题为假C ．逆命题为假，否命题、逆否命题为真D ．逆命题、否命题为假，逆否命题为真⊆/解析：选D.因为原命题“菱形的对角线互相垂直”是真命题，所以它的逆否命题为真；其逆命题：“对角线互相垂直的四边形是菱形”显然是假命题，所以原命题的否命题也是假命题．4．若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则p是r的()A．逆命题B．逆否命题C．否命题D．以上判断都不对解析：选B.命题p：若x，则y，其逆命题q：若y，则x，那么命题q的否命题r：若綈y，则綈x，所以p是r的逆否命题．所以选B.5．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A．能被3整除的整数，一定能被6整除B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除解析：选B.一个命题与它的逆否命题是等价命题，选项B中的命题恰为已知命题的逆否命题．6．存在下列三个命题：①“等边三角形的三个内角都是60°”的逆命题；②“若k>0，则一元二次方程x2＋2x－k＝0有实根”的逆否命题；③“全等三角形的面积相等”的否命题．其中真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.①②正确．二、填空题7．命题“若a>1，则a>0”的逆命题是________，逆否命题是________．答案：若a>0，则a>1若a≤0，则a≤18．有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案：②③9．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．解析：①中的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体AC1做模型来观察：上底面A1B1C1D1中任意三点都不共线，但A1，B1，C1，D1四点共面，所以①中的逆命题不是真命题．②中的逆命题是：若两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点．由异面直线的定义可知，成异面直线的两条直线不会有公共点．所以②中的逆命题是真命题．答案：②三、解答题10．写出下列原命题的其他三种命题，并分别判断真假．(1)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B；(2)正偶数不是素数．解：(1)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题；否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题；逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题．(2)逆命题：若一个数不是素数，则它一定是正偶数，假命题；否命题：若一个数不是正偶数，则它一定是素数，假命题；逆否命题：若一个数是素数，则它一定不是正偶数，假命题．11．判断下列命题的真假：(1)“若x∈A∪B，则x∈B”的逆命题与逆否命题；(2)“若自然数能被6整除，则自然数能被2整除”的逆命题．解：(1)逆命题：若x∈B，则x∈A∪B.根据集合“并”的定义，逆命题为真．逆否命题：若x∉B，则x∉A∪B.逆否命题为假．如2∉{1,5}＝B，A＝{2,3}，但2∈A∪B.(2)逆命题：若自然数能被2整除，则自然数能被6整除．逆命题为假．反例：2,4,14,22等都不能被6整除．12．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．解：∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．1．(2011年高考福建卷)若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A.a ＝2⇒(a －1)(a －2)＝0，但(a －1)(a －2)＝0⇒a ＝1或2，故选A.2．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由于“θ＝0”时，一定有“sin θ＝0”成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sin θ＝0”的充分不必要条件．3．用符号“⇒”或“ ”填空：(1)整数a 能被4整除________a 的个位数为偶数；(2)a >b ________ac 2>bc 2.答案：(1)⇒ (2)4．“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的什么条件？解：当a ＝2时，直线ax ＋2y ＝0，即2x ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行，因为直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1，所以a 2＝1，a ＝2， 综上，“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充要条件．一、选择题1．设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，所以N M ，故a ∈M 是a ∈N 的必要不充分条件．2．(2010年高考福建卷)若向量a ＝(x,3)(x ∈R)，则“x ＝4是|a |＝5”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A.由x ＝4知|a |＝42＋32＝5；反之，由|a |＝x 2＋32＝5，得x ＝4或x ＝－4.故“x ＝4”是“|a |＝5”的充分而不必要条件，故选A.3．“b ＝c ＝0”是“二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)经过原点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.b ＝c ＝0⇒y ＝ax 2，二次函数一定经过原点；二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 经过原点⇒c ＝0，b 不一定等于0，故选A.4．已知p，q，r是三个命题，若p是r的充要条件且q是r的必要条件，那么q是p的() A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.p是r的充要条件且q是r的必要条件，故有p⇔r⇒q，即p⇒q，q p，所以q是p的必要条件．5．已知条件：p：y＝lg(x2＋2x－3)的定义域，条件q：5x－6>x2，则q是p的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.p：x2＋2x－3>0，则x>1或x<－3；q：5x－6>x2，即x2－5x＋6<0，由小集合⇒大集合，∴q⇒p，但p⇒/ q．故选A.6．下列所给的p、q中，p是q的充分条件的个数是()①p：x>1，q：－3x<－3；②p：x>1，q：2－2x<2；③p：x＝3，q：sin x>cos x；④p：直线a，b不相交，q：a∥b.A．1B．2C．3 D．4解析：选C.①由于p：x>1⇒q：－3x<－3，所以p是q的充分条件；②由于p：x>1⇒q：2－2x<2(即x>0)，所以p是q的充分条件；③由于p：x＝3⇒q：sin x>cos x，所以p是q的充分条件；④由于p：直线a，b不相交q：a∥b，所以p不是q的充分条件．二、填空题7．不等式x2－3x＋2<0成立的充要条件是________．解析：x2－3x＋2<0⇔(x－1)(x－2)<0⇔1<x<2.答案：1<x<28．在△ABC中，“sin A＝sin B”是“a＝b”的________条件．解析：在△ABC中，由正弦定理及sin A＝sin B可得2R sin A＝2R sin B，即a＝b；反之也成立．答案：充要9．下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.其中，可以是x2<1的一个充分条件的所有序号为________．解析：由于x2<1即－1<x<1，①显然不能使－1<x<1一定成立，②③④满足题意．答案：②③④三、解答题10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．解：(1)∵|x|＝|y|⇒/ x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|，∴p是q的必要条件，但不是充分条件．(2)△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形．△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形．∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．(3)四边形的对角线互相平分四边形是矩形．四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分．∴p是q的必要条件，但不是充分条件．11．命题p ：x >0，y <0，命题q ：x >y ，1x >1y，则p 是q 的什么条件？ 解：p ：x >0，y <0，则q ：x >y ，1x >1y成立； 反之，由x >y ，1x >1y ⇒y －x xy>0， 因y －x <0，得xy <0，即x 、y 异号，又x >y ，得x >0，y <0.所以“x >0，y <0”是“x >y ，1x >1y”的充要条件． 12．已知条件p ：－1≤x ≤10，q ：x 2－4x ＋4－m 2≤0(m >0)不变，若綈p 是綈q 的必要而不充分条件，如何求实数m 的取值范围？解：p ：－1≤x ≤10.q ：x 2－4x ＋4－m 2≤0⇔[x －(2－m )][x －(2＋m )]≤0(m >0)⇔2－m ≤x ≤2＋m (m >0)．因为綈p 是綈q 的必要而不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，即{x |－1≤x ≤10}{x |2－m ≤x ≤2＋m }，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 2－m ≤－12＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧2－m <－12＋m ≥10， 解得m ≥8.所以实数m 的范围为{m |m ≥8}．1．若命题p∧q为假，且綈p为假，则()A．p∨q为假B．q为假C．q为真D．不能判断答案：B2．命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是()A．简单命题B．“p或q”形式的复合命题C．“p且q”形式的复合命题D．“非p”形式的复合命题答案：C3．判断下列命题的形式(从“p∨q”、“p∧q”中选填一种)：(1)6≤8：________；(2)集合中的元素是确定的且是无序的：________.答案：p∨q p∧q4．已知命题p：6是12的约数，q：6是24的约数，试写出由它们构成的“p∧q”、“p∨q”、“綈p”形式的命题．解：“p∧q”：6既是12的约数又是24的约数．“p∨q”：6是12或24的约数．“綈p”：6不是12的约数．一、选择题1．如果命题“p∨q”与命题“綈p”都是真命题，那么()A．命题p不一定是假命题B．命题q一定为真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q的真假相同解析：选B.“p∨q”为真，则p、q至少有一个为真．綈p为真，则p为假，∴q是真命题．2．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题中为真的是()A．p∧q B．p∨qC．綈p D．(綈p)∧(綈q)解析：选B.∵p是真命题，q是假命题，∴“p∨q”是真命题．3．命题p：a2＋b2<0(a，b∈R)；命题q：a2＋b2≥0(a，b∈R)，则下列结论中正确的是() A．“p∨q”为真B．“p∧q”为真C．“綈p”为假D．“綈q”为真解析：选A.∵p为假命题，q为真命题，∴“p∨q”为真命题．4．若命题p：2m－1(m∈Z)是奇数，命题q：2n＋1(n∈Z)是偶数，则下列说法正确的是() A．p∨q为真B．p∧q为真C．綈p为真D．綈q为假解析：选A.命题p：“2m－1(m∈Z)是奇数”是真命题，而命题q：“2n＋1(n∈Z)是偶数”是假命题，所以p∨q为真．5．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是()A．(綈p)∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)解析：选D.p为真，q为假，所以綈q为真，(綈p)∨(綈q)为真．6．给出两个命题：p ：函数y ＝x 2－x －1有两个不同的零点；q ：若1x<1，则x >1，那么在下列四个命题中，真命题是( ) A ．(綈p )∨q B ．p ∧q C ．(綈p )∧(綈q ) D ．(綈p )∨(綈q )解析：选D.对于p ，函数对应的方程x 2－x －1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×(－1)＝5>0. 可知函数有两个不同的零点，故p 为真．当x <0时，不等式1x<1恒成立；当x >0时，不等式的解为x >1.故不等式1x<1的解为x <0或x >1.故命题q 为假命题．所以只有(綈p )∨(綈q )为真．故选D. 二、填空题7．用“或”、“且”、“非”填空，使命题成为真命题： (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈A ________x ∈B ； (2)若x ∈A ∩B ，则x ∈A ________x ∈B ； (3)若ab ＝0，则a ＝0________b ＝0；(4)a ，b ∈R ，若a ＞0________b ＞0，则ab ＞0. 答案：(1)或 (2)且 (3)或 (4)且8．设命题p ：2x ＋y ＝3；q ：x －y ＝6.若p ∧q 为真命题，则x ＝________，y ＝________. 解析：若p ∧q 为真命题，则p ，q 均为真命题，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝3，x －y ＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3. 答案：3 －39．命题“若a <b ，则2a <2b ”的否命题为________，命题的否定为________． 解析：命题“若a <b ，则2a <2b ”的否命题为“若a ≥b ，则 2a ≥2b ”，命题的否定为“若a <b ，则2a ≥2b ”． 答案：若a ≥b ，则2a ≥2b 若a <b ，则2a ≥2b 三、解答题10．指出下列命题的形式及构成它们的简单命题： (1)方程x 2－3＝0没有有理根；(2)不等式x 2－x －2>0的解集是{x |x >2或x <－1}．解：(1)这个命题是“綈p ”的形式，其中p ：方程x 2－3＝0有有理根．(2)这个命题是“p 或q ”的形式，其中p ：不等式x 2－x －2>0的解集是{x |x >2}，q ：不等式x 2－x －2>0的解集是{x |x <－1}．11．判断由下列命题构成的p ∨q ，p ∧q ，綈p 形式的命题的真假： (1)p ：负数的平方是正数，q ：有理数是实数； (2)p ：2≤3，q ：3<2；(3)p ：35是5的倍数，q ：41是7的倍数．解：(1)p 真，q 真，∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为真命题，綈p 为假命题； (2)p 真，q 假，∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，綈p 为假命题； (3)p 真，q 假，∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，綈p 为假命题．12．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得 (x －3a )(x －a )<0.又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时， 实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2.即2<x ≤3.所以q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <32<x ≤3⇔2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3)． (2)綈p 是綈q 的充分不必要条件， 即綈p ⇒綈p 且綈q 綈q .设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}，则A B .所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2]．1．下列是全称命题且是真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，x 2>0 B ．∀x ∈Q ，x 2∈Q C ．∃x 0∈Z ，x 20>1 D ．∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2>0 答案：B2．命题“一次函数都是单调函数”的否定是( ) A ．一次函数都不是单调函数 B ．非一次函数都不是单调函数 C ．有些一次函数是单调函数 D ．有些一次函数不是单调函数解析：选D.命题的否定只对结论进行否定，“都是”的否定是“不都是”，即“有些”． 3．(2010年高考安徽卷)命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是________． 答案：存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤34．(1)用符号“∀”表示命题“不论m 取什么实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实根”； (2)用符号“∃”表示命题“存在实数x ，使sin x >tan x ”． 解：(1)∀m ∈R ，x 2＋x －m ＝0有实根． (2)∃x 0∈R ，sin x 0>tan x 0.一、选择题1．下列语句不是特称命题的是( ) A ．有的无理数的平方是有理数 B ．有的无理数的平方不是有理数 C ．对于任意x ∈Z,2x ＋1是奇数 D ．存在x 0∈R,2x 0＋1是奇数 答案：C2．(2010年高考湖南卷)下列命题中的假命题是( ) A ．∃x ∈R ，lg x ＝0 B ．∃x ∈R ，tan x ＝1 C ．∀x ∈R ，x 3>0 D ．∀x ∈R,2x >0解析：选C.对于A ，当x ＝1时，lg x ＝0，正确；对于B ，当x ＝π4时，tan x ＝1，正确；对于C ，当x <0时，x 3<0，错误；对于D ，∀x ∈R,2x>0，正确． 3．下列命题中，是正确的全称命题的是( ) A ．对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0 B ．菱形的两条对角线相等 C ．∃x 0∈R ，x 20＝x 0D ．对数函数在定义域上是单调函数解析：选D.A 中含有全称量词“任意”，a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，是假命题．B 、D 在叙述上没有全称量词，实际上是指“所有的”．菱形的对角线不一定相等；C 是特称命题．所以选D.4．将“x 2＋y 2≥2xy ”改写成全称命题，下列说法正确的是( ) A ．∀x ，y ∈R ，都有x 2＋y 2≥2xyB ．∃x 0，y 0∈R ，使x 20＋y 20≥2x 0y 0C ．∀x >0，y >0，都有x 2＋y 2≥2xyD ．∃x 0<0，y 0<0，使x 20＋y 20≤2x 0y 0解析：选A.这是一个全称命题，且x ，y ∈R ，故选A. 5．下列命题的否定是假命题的是( )A ．p ：能被3整除的整数是奇数；綈p ：存在一个能被3整除的整数不是奇数B．p：每一个四边形的四个顶点共圆；綈p：存在一个四边形的四个顶点不共圆C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形D．p：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；綈p：∀x∈R，都有x2＋2x＋2>0解析：选C.p为真命题，则綈p为假命题．6．下列命题中，假命题的个数是()①∀x∈R，x2＋1≥1；②∃x0∈R,2x0＋1＝3；③∃x0∈Z，x0能被2和3整除；④∃x0∈R，x20＋2x0＋3＝0.A．0 B．1C．2 D．3解析：选B.①②③都是真命题，而④为假命题．二、填空题7．写出命题“每个函数都有奇偶性”的否定：________.解析：命题的量词是“每个”，即为全称命题，因此否定是特称命题，用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论．答案：有些函数没有奇偶性8．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________命题(填“真”或“假”)．解析：原命题为真，所以它的否定为假．也可以用线性规划的知识判断．答案：∃x0，y0∈R，x0＋y0>1∀x，y∈R，x＋y≤1假9．下列命题：①存在x0<0，使|x0|>x0；②对于一切x<0，都有|x|>x；③已知a n＝2n，b n＝3n，对于任意n∈N＋，都有a n≠b n；④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N＋，都有A∩B＝∅.其中，所有正确命题的序号为________．解析：命题①②显然为真命题；③由于a n－b n＝2n－3n＝－n<0，对于任意n∈N＋，都有a n<b n，即a n≠b n，故为真命题；④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，例如n＝1,2,3时，A∩B＝{6}，故为假命题．答案：①②③三、解答题10．判断下列语句是不是命题？如果是，说明其是全称命题还是特称命题：(1)有一个向量a0，a0的方向不能确定；(2)存在一个函数f(x0)，使f(x0)既是奇函数又是偶函数；(3)对任何实数a，b，c，方程ax2＋bx＋c＝0都有解；(4)平面外的所有直线中，有一条直线和这个平面垂直吗？解：(1)(2)(3)都是命题，其中(1)(2)是特称命题，(3)是全称命题．由于(4)是一个问句，因此(4)不是命题．11．用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假：(1)二次函数的图象是抛物线；(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象；(3)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．解：(1)綈p：∃x0∈{二次函数}，x0的图象不是抛物线．假命题．(2)綈p：在直角坐标系中，∃x0∈{直线}，x0不是一次函数的图象．真命题．(3)綈p：∃a0，b0∈R，方程a0x＋b0＝0无解或至少有两解．真命题．12．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．解：(1)是全称命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形的内角和不等于180°.(2)是全0称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)是特称命题且为真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形．1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10 答案：D2．椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标是( )A ．(±4,0)B ．(0，±4)C ．(±3,0)D ．(0，±3) 答案：D3．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝6，则椭圆的标准方程为________．答案：x 29＋y 28＝14．已知B 、C 是两定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形顶点A 的轨迹方程．解：以过B 、C 两点的直线为x 轴，线段BC 的中点为原点，建立平面直角坐标系(图略)． 由|BC |＝8，可设B (－4,0)，C (4,0)． 由|AB |＋|BC |＋|AC |＝18， 得|AB |＋|AC |＝10>|BC |＝8.因此，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和为2a ＝10，即a ＝5，且点A 不能在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝9.所以A 点的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．一、选择题1．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 解析：选A.c ＝1，a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.2．椭圆x 29＋y225＝1的焦点为F 1、F 2，AB 是椭圆过焦点F 1的弦，则△ABF 2的周长是( )A ．20B ．12C ．10D ．6 解析：选A.∵AB 过F 1，∴由椭圆定义知 ⎩⎪⎨⎪⎧|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ， ∴|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝20.3．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选D.设到另一焦点的距离为x ，则x ＋2＝10，x ＝8.4．已知椭圆x 2a 2＋y 22＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1B.x 23＋y 22＝1 C ．x 2＋y 22＝1 D.x 26＋y 22＝1解析：选D.由题意知a 2－2＝4，∴a 2＝6.∴所求椭圆的方程为x 26＋y 22＝1.5．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8解析：选D.焦距为4，则m －2－(10－m )＝⎝⎛⎭⎫422，∴m ＝8.6．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)、F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为( ) A.x 216＋y 29＝1 B.x 225＋y 29＝1 C.x 225＋y 216＝1 D.x 225＋y 24＝1 解析：选B.S △PF 1F 2＝12×8b ＝12，∴b ＝3，又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25，∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.二、填空题7．椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________． 解析：∵2a ＝8，∴a ＝4，∵2c ＝215，∴c ＝15，∴b 2＝1.即椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.答案：y216＋x 2＝18．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B＝________.解析：由题意知，|AC |＝8，|AB |＋|BC |＝10.所以，sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|AB ||AC |＝108＝54.答案：549．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3，解得3<k <5且k ≠4.答案：3<k <5且k ≠4 三、解答题10．已知椭圆8x 281＋y 236＝1上一点M 的纵坐标为2.(1)求M 的横坐标；(2)求过M 且与x 29＋y 24＝1共焦点的椭圆的方程．解：(1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236＝1，得8x 281＋436＝1，即x 2＝9.∴x ＝±3.即M 的横坐标为3或－3.(2)对于椭圆x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1(a 2>5)，把M 点坐标代入得9a 2＋4a 2－5＝1，解得a 2＝15.故所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1.11．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．解：设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)．∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0， 而F 1A →＝(－4＋c,3)， F 2A →＝(－4－c,3)， ∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0， ∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)． ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝ (－4＋5)2＋32＋ (－4－5)2＋32 ＝10＋90＝410. ∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.12．已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|. (1)求此椭圆方程；(2)若点P 满足∠F 1PF 2＝120°，求△PF 1F 2的面积． 解：(1)由已知得|F 1F 2|＝2， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝4＝2a ，∴a ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)在△PF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 120°，即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－|PF 1||PF 2|，∴4＝(2a )2－|PF 1||PF 2|＝16－|PF 1||PF 2|， ∴|PF 1||PF 2|＝12，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin120°＝12×12×32＝3 3.1．已知点(2,3)在椭圆x 2m 2＋y 2n2＝1上，则下列说法正确的是( )A ．点(－2,3)在椭圆外B ．点(3,2)在椭圆上C ．点(－2，－3)在椭圆内D ．点(2，－3)在椭圆上 答案：D2．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m >1且m ≠3C ．m >3D ．m >0且m ≠3 答案：B3．直线y ＝a 与椭圆x 23＋y 22＝1恒有两个不同的交点，则a 的取值范围是________．答案：(－2，2)4．如图，已知斜率为1的直线l 过椭圆y 28＋x24＝1的下焦点，交椭圆于A 、B 两点，求弦AB之长．解：令A 、B 坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． 由椭圆方程知a 2＝8，b 2＝4， ∴c ＝a 2－b 2＝2，∴椭圆的下焦点F 的坐标为F (0，－2)， ∴直线l 的方程为y ＝x －2.将其代入y 28＋x 24＝1，化简整理得3x 2－4x －4＝0，∴x 1＋x 2＝43，x 1·x 2＝－43，∴|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝2(x 2－x 1)2＝ 2 (x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 2 ⎝⎛⎭⎫432－4×(－43) ＝823.一、选择题1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．－2<a <2B ．a <－2或a > 2C ．－2<a <2D ．－1<a <1答案：A2．椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是( )A.12B.32 C ．1 D. 3 解析：选B.椭圆的右焦点为F (1,0)，∴d ＝33＋1＝32.3．过椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB 的长为( )A ．5B ．6 C.9017D ．7 解析：选C.椭圆的右焦点为(4,0)，直线的斜率为k ＝1， ∴直线AB 的方程为y ＝x －4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4x 225＋y 29＝1得9x 2＋25(x －4)2＝225， 由弦长公式易求|AB |＝9017.4．直线y ＝x ＋m 与椭圆x 2144＋y 225＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．(－5,5)B ．(－12,12)C ．(－13,13)D ．(－15,15)解析：选C.联立直线与椭圆方程，由判别式Δ>0，可得－13<m <13.5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.12解析：选D.如图，由于BF ⊥x 轴，故x B ＝－c ，y B ＝b 2a.设P (0，t )，∵AP →＝2PB →，∴(－a ，t )＝2⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a －t .∴a ＝2c ， ∴c a ＝12. 6．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A 、B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13解析：选B.不妨设l 过椭圆的右焦点(1,0)， 则直线l 的方程为y ＝x －1.。

人教A版高中数学选修1-1课时自测当堂达标： 2.2.1双曲线及其标准方程精讲优练课型 Word版含答案课时自测·当堂达标1. 椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则a的值是( )A. B.1或-2 C.1或 D.1【解析】选 D.由于a>0,0<a2<4,且4-a2=a+2,可解得a=1.2. 动点P到点M(1,0),N(-1,0)的距离之差的绝对值为2,则点P的轨迹是( )A.双曲线B.双曲线的一支C.两条射线D.一条射线【解析】选 C.因为||PM|-|PN||=2,而|MN|=2,故P点轨迹是以M,N为端点向外的两条射线.3.已知双曲线的两个焦点分别为F1(-,0),F2(,0),P是双曲线上的一点,且PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=2,则双曲线的标准方程是( )A. -=1B.-=1C.x2-=1D.-y2=1【解析】选 D.设|PF1|=m,|PF2|=n(m>0,n>0),在Rt△PF1F2中, m2+n2=(2c)2=20,m·n=2.由双曲线的定义,知|m-n|2=m2+n2-2mn=16=4a2.所以a2=4,所以b2=c2-a2=1.所以双曲线的标准方程为-y2=1.4.双曲线-=1的焦距为.【解析】c2=m2+12+4-m2=16,所以c=4,2c=8.答案:85.根据下列条件,求双曲线的标准方程:(1)c=,经过点(-5,2),且焦点在x轴上.(2)已知双曲线两个焦点的坐标为F1(0,-5),F2(0,5),双曲线上一点P到F1,F2的距离之差的绝对值等于 6.【解析】(1)因为c=,且焦点在x轴上,故可设标准方程为-=1(a2<6).因为双曲线经过点(-5,2),所以-=1,解得a2=5或a2=30(舍去).所以所求双曲线的标准方程为-y2=1.(2)因为双曲线的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为-=1(a>0,b>0).因为2a=6, 2c=10,所以a=3,c=5.所以b2=52-32=16. 所以所求双曲线标准方程为-=1.。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到F 1的距离是12，则P 到F 2的距离是( )A ．17B ．7C ．7或17D ．2或22【解析】 由双曲线方程x 225－y 29＝1得a ＝5， ∴||PF 1|－|PF 2||＝2×5＝10. 又∵|PF 1|＝12，∴|PF 2|＝2或22. 故选D. 【答案】 D2．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1B.x 23－y 2＝1 C ．y 2－x23＝1D.x 22－y 22＝1【解析】 由双曲线定义知，2a ＝(2＋2)2＋32－(2－2)2＋32＝5－3＝2， ∴a ＝1.又c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3， 因此所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.【答案】 A3．设动点M 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)的距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1 B.y 29－x 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x ＜0)D.x 29－y 216＝1(x ＞0)【解析】 由双曲线的定义得，P 点的轨迹是双曲线的一支．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝10，2a ＝6，∴a ＝3，c ＝5，b ＝4.故P 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x＞0)，因此选D.【答案】 D4．已知双曲线x 26－y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( )A.365B.566C.65D.56【解析】 不妨设点F 1(－3,0)，容易计算得出 |MF 1|＝32＝62，|MF 2|－|MF 1|＝2 6. 解得|MF 2|＝52 6.而|F 1F 2|＝6，在直角三角形MF 1F 2中， 由12|MF 1|·|F 1F 2|＝12|MF 2|·d ，求得F 1到直线F 2M 的距离d 为65.故选C. 【答案】 C5．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1【解析】 由于a ＞0,0＜a 2＜4，且4－a 2＝a ＋2，所以可解得a ＝1，故选D.【答案】 D 二、填空题6．经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________.【导学号：26160046】【解析】 设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝125，故双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.【答案】 y 225－x 275＝17．已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C .给出以下四个判断：①当1＜t ＜4时，曲线C 表示椭圆；②当t ＞4或t ＜1时，曲线C 表示双曲线；③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜t ＜52；④若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则t ＞4.其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)．【解析】 ①错误，当t ＝52时，曲线C 表示圆；②正确，若C 为双曲线，则(4－t )(t －1)＜0，∴t ＜1或t ＞4；③正确，若C 为焦点在x 轴上的椭圆，则4－t ＞t －1＞0.∴1＜t ＜52；④正确，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t ＜0t －1＞0，∴t ＞4.【答案】 ②③④8．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，点A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．【解析】 设右焦点为F ′，依题意，|PF |＝|PF ′|＋4，∴|PF |＋|P A |＝|PF ′|＋4＋|P A |＝|PF ′|＋|P A |＋4≥|AF ′|＋4＝5＋4＝9.【答案】 9 三、解答题9．求以椭圆x 216＋y 29＝1短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程．【解】 由x 216＋y 29＝1，得a ＝4，b ＝3，所以短轴两端点的坐标为(0，±3)，又双曲线过A 点，由双曲线定义得2a ＝|(4－0)2＋(－5－3)2－(4－0)2＋(－5＋3)2| ＝25，∴a ＝5，又c ＝3， 从而b 2＝c 2－a 2＝4， 又焦点在y 轴上，所以双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.10．已知△ABC 的两个顶点A ，B 分别为椭圆x 2＋5y 2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A ，B ，C 满足关系式sin B －sin A ＝12sin C .(1)求线段AB 的长度； (2)求顶点C 的轨迹方程．【解】 (1)将椭圆方程化为标准形式为x 25＋y 2＝1. ∴a 2＝5，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝4， 则A (－2,0)，B (2,0)，|AB |＝4. (2)∵sin B －sin A ＝12sin C ，∴由正弦定理得|CA |－|CB |＝12|AB |＝2<|AB |＝4， 即动点C 到两定点A ，B 的距离之差为定值． ∴动点C 的轨迹是双曲线的右支，并且c ＝2，a ＝1，∴所求的点C 的轨迹方程为x 2－y23＝1(x >1)．[能力提升]1．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1||PF 2|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 由题意，得||PF 1|－|PF 2||＝2，|F 1F 2|＝2 2.因为∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°＝|F 1F 2|2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|－2|PF 1||PF 2|×12＝8，所以|PF 1|·|PF 2|＝8－22＝4.【答案】 B2．(2016·临沂高二检测)已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( )A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y29＝1C.x 23－y 27＝1D.x 27－y 23＝1【解析】 由双曲线定义||MF 1|－|MF 2||＝2a ，两边平方得：|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|＝4a 2，因为MF 1→·MF 2→＝0，故△MF 1F 2为直角三角形，有|MF 1|2＋|MF 2|2＝(2c )2＝40，而|MF 1→|·|MF 2→|＝2，∴40－2×2＝4a 2，∴a 2＝9，∴b 2＝1，所以双曲线的方程为x29－y 2＝1.【答案】 A3．若F 1，F 2是双曲线8x 2－y 2＝8的两焦点，点P 在该双曲线上，且△PF 1F 2是等腰三角形，则△PF 1F 2的周长为________．【解析】 双曲线8x 2－y 2＝8可化为标准方程x 2－y28＝1，所以a＝1，c ＝3，|F 1F 2|＝2c ＝6.因为点P 在该双曲线上，且△PF 1F 2是等腰三角形，所以|PF 1|＝|F 1F 2|＝6，或|PF 2|＝|F 1F 2|＝6，当|PF 1|＝6时，根据双曲线的定义有|PF 2|＝|PF 1|－2a ＝6－2＝4，所以△PF 1F 2的周长为6＋6＋4＝16；同理当|PF 2|＝6时，△PF 1F 2的周长为6＋6＋8＝20.【答案】 16或204.如图2－2－2，已知双曲线中c ＝2a ，F 1，F 2为左、右焦点，P 是双曲线上的点，∠F 1PF 2＝60°，S △F 1PF 2＝12 3.求双曲线的标准方程．【导学号：26160047】图2－2－2【解】 由题意可知双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1. 由于||PF 1|－|PF 2||＝2a ， 在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝ (|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝4(c 2－a 2)＝4b 2，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2b 2·32＝3b 2，从而有3b 2＝123，所以b 2＝12，c ＝2a ，结合c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝4.所以双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。

目录：数学选修1-1第一章常用逻辑用语 [基础训练A组]第一章常用逻辑用语 [综合训练B组]第一章常用逻辑用语 [提高训练C组]第二章圆锥曲线 [基础训练A组]第二章圆锥曲线 [综合训练B组]第二章圆锥曲线 [提高训练C组]第三章导数及其应用 [基础训练A组]第三章导数及其应用 [综合训练B组]第三章导数及其应用 [提高训练C组]（数学选修1-1）第一章 常用逻辑用语[基础训练A 组]一、选择题1．下列语句中是命题的是（ ）A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．0sin 451=C ．2210x x +->D ．梯形是不是平面图形呢？2．在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{}2|0x ax bx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ）A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真3．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0ab >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4．下列说法中正确的是（ ）A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真5．若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题1．命题：“若a b ⋅不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是 。

2020年高中数学课时跟踪检测含解析新人教A版课时跟踪检测一变化率问题导数的概念课时跟踪检测二导数的几何意义课时跟踪检测三几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课时跟踪检测四复合函数求导及应用课时跟踪检测五函数的单调性与导数课时跟踪检测六函数的极值与导数课时跟踪检测七函数的最大小值与导数课时跟踪检测八生活中的优化问题举例课时跟踪检测九定积分的概念课时跟踪检测十微积分基本定理课时跟踪检测十一定积分的简单应用课时跟踪检测十二合情推理课时跟踪检测十三演绎推理课时跟踪检测十四综合法和分析法课时跟踪检测十五反证法课时跟踪检测十六数学归纳法课时跟踪检测十七数系的扩充和复数的概念课时跟踪检测十八 复数的几何意义课时跟踪检测十九 复数代数形式的加减运算及其几何意义 课时跟踪检测二十 复数代数形式的乘除运算课时跟踪检测（一） 变化率问题、导数的概念一、题组对点训练对点练一 函数的平均变化率1．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a ＝( ) A ．－3 B ．2 C ．3 D ．－2解析：选C 根据平均变化率的定义,可知Δy Δx ＝(2a ＋b )－(a ＋b )2－1＝a ＝3.2．若函数f (x )＝－x 2＋10的图象上一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，314及邻近一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx ，314＋Δy ,则Δy Δx ＝( )A ．3B ．－3C ．－3－(Δx )2D ．－Δx －3解析：选D ∵Δy ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－3Δx －(Δx )2,∴Δy Δx ＝－3Δx －(Δx )2Δx ＝－3－Δx . 3．求函数y ＝f (x )＝1x在区间[1,1＋Δx ]内的平均变化率．解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx－1＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝1－(1＋Δx )(1＋1＋Δx )1＋Δx＝－Δx(1＋1＋Δx )1＋Δx, ∴Δy Δx ＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx. 对点练二 求瞬时速度4．某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 3－2表示,则此物体在t ＝1 s 时的瞬时速度(单位：m/s)为( )A ．1B ．3C ．－1D ．0 答案：B5．求第4题中的物体在t 0时的瞬时速度． 解：物体在t 0时的平均速度为v ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝(t 0＋Δt )3－2－(t 30－2)Δt ＝3t 20Δt ＋3t 0(Δt )2＋(Δt )3Δt＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2.因为lim Δt →0 [3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2]＝3t 20,故此物体在t ＝t 0时的瞬时速度为3t 20 m/s. 6．若第4题中的物体在t 0时刻的瞬时速度为27 m/s,求t 0的值．解：由v ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝(t 0＋Δt )3－2－(t 30－2)Δt＝3t 20Δt ＋3t 0(Δt )2＋(Δt )3Δt ＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2,因为lim Δt →0 [3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2]＝3t 20. 所以由3t 20＝27,解得t 0＝±3, 因为t 0>0,故t 0＝3,所以物体在3 s 时的瞬时速度为27 m/s. 对点练三 利用定义求函数在某一点处的导数 7．设函数f (x )可导,则lim Δx →0 f (1＋3Δx )－f (1)3Δx等于( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1)C ．13f ′(1) D ．f ′(3)解析：选A lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx＝f ′(1)．8．设函数f (x )＝ax ＋3,若f ′(1)＝3,则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3 解析：选C ∵f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0a (1＋Δx )＋3－(a ＋3)Δx＝a ,∴a ＝3.9．求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数f ′(1)．解：由导数的定义知,函数在x ＝1处的导数f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx,而f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1,又lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12,所以f ′(1)＝12.二、综合过关训练1．若f (x )在x ＝x 0处存在导数,则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h( )A ．与x 0,h 都有关B ．仅与x 0有关,而与h 无关C ．仅与h 有关,而与x 0无关D ．以上答案都不对解析：选B 由导数的定义知,函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关．2．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1,在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2,则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 2<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：选D k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ；k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx .因为Δx 可正也可负,所以k 1与k 2的大小关系不确定． 3．A ,B 两机关开展节能活动,活动开始后两机关的用电量W 1(t ),W 2(t )与时间t (天)的关系如图所示,则一定有( )A ．两机关节能效果一样好B ．A 机关比B 机关节能效果好C ．A 机关的用电量在[0,t 0]上的平均变化率比B 机关的用电量在[0,t 0]上的平均变化率大D ．A 机关与B 机关自节能以来用电量总是一样大解析：选B 由题图可知,A 机关所对应的图象比较陡峭,B 机关所对应的图象比较平缓,且用电量在[0,t 0]上的平均变化率都小于0,故一定有A 机关比B 机关节能效果好．4．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2,其中s 的单位是：m,t 的单位是：s,那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．8 m/s解析：选C ∵Δs Δt ＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2－(1－3＋32)Δt＝5＋Δt ,∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (5＋Δt )＝5 (m/s)． 5．如图是函数y ＝f (x )的图象,则(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 解析：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.(2)由函数f (x )的图象知,f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以,函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.答案：(1)12 (2)346．函数y ＝－1x在点x ＝4处的导数是________．解析：∵Δy ＝－14＋Δx＋14＝12－14＋Δx ＝4＋Δx －224＋Δx ＝Δx24＋Δx (4＋Δx ＋2). ∴Δy Δx ＝124＋Δx (4＋Δx ＋2). ∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0124＋Δx (4＋Δx ＋2) ＝12×4×(4＋2)＝116.∴y ′|x ＝4＝116.答案：1167．一做直线运动的物体,其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ；时间：s)． (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时平均速度．解：(1)初速度v 0＝lim Δt →0 s (Δt )－s (0)Δt ＝lim Δt →0 3Δt －(Δt 2)Δt＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3(m/s)． 即物体的初速度为3 m/s. (2)v ＝lim Δt →0s (2＋Δt )－s (2)Δt＝lim Δt →0 3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－4)Δt＝lim Δt →0 －(Δt )2－Δt Δt ＝lim Δt →0 (－Δt －1)＝－1(m/s)． 即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s,方向与初速度相反． (3)v ＝s (2)－s (0)2－0＝6－4－02＝1(m/s)．即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.8．若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1,求Δx 的范围．解：因为函数f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均变化率为： Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－4Δx ＋Δx －(Δx )2Δx ＝－3－Δx ,所以由－3－Δx ≤－1, 得Δx ≥－2. 又因为Δx >0,即Δx 的取值范围是(0,＋∞)．课时跟踪检测（二） 导数的几何意义一、题组对点训练对点练一 求曲线的切线方程1．曲线y ＝x 3＋11在点(1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3 C ．9 D ．15解析：选C ∵切线的斜率k ＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (1＋Δx )3＋11－12Δx ＝lim Δx →0 1＋3·Δx ＋3·(Δx )2＋(Δx )3－1Δx ＝lim Δx →0[3＋3(Δx )＋(Δx )2]＝3, ∴切线的方程为y －12＝3(x －1)． 令x ＝0得y ＝12－3＝9.2．求曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的切线方程．解：因为y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0 －1x 2＋x ·Δx ＝－1x 2, 所以曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的切线斜率为k ＝y ′|x ＝12＝－4.故所求切线方程为y －2＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12,即4x ＋y －4＝0.对点练二 求切点坐标3．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0,b )处的切线方程是x －y ＋1＝0,则( ) A ．a ＝1,b ＝1 B ．a ＝－1,b ＝1 C ．a ＝1,b ＝－1D ．a ＝－1,b ＝－1解析：选A ∵点(0,b )在直线x －y ＋1＝0上,∴b ＝1. 又y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋1－x 2－ax －1Δx ＝2x ＋a , ∴过点(0,b )的切线的斜率为y ′|x ＝0＝a ＝1.4．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16,则点P 坐标为________． 解析：设P (x 0,2x 20＋4x 0),则f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 2(Δx )2＋4x 0Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4, 又∵f ′(x 0)＝16,∴4x 0＋4＝16,∴x 0＝3,∴P (3,30)． 答案：(3,30)5．曲线y ＝f (x )＝x 2的切线分别满足下列条件,求出切点的坐标． (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)切线的倾斜角为135°.解：f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x2Δx＝2x , 设P (x 0,y 0)是满足条件的点．(1)∵切线与直线y ＝4x －5平行,∴2x 0＝4,∴x 0＝2,y 0＝4,即P (2,4),显然P (2,4)不在直线y ＝4x －5上,∴符合题意．(2)∵切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直,∴2x 0·13＝－1,∴x 0＝－32,y 0＝94,即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94.(3)∵切线的倾斜角为135°,∴其斜率为－1,即2x 0＝－1,∴x 0＝－12,y 0＝14,即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14. 对点练三 导数几何意义的应用 6．下面说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在,则曲线y ＝f (x )点(x 0,f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处有切线,则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在,则曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处没有切线,则f ′(x 0)有可能存在解析：选C 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x 0,y 0)处有导数,则切线一定存在,但反之不一定成立,故A,B,D 错误．7．设曲线y ＝f (x )在某点处的导数值为0,则过曲线上该点的切线( ) A ．垂直于x 轴B ．垂直于y 轴C ．既不垂直于x 轴也不垂直于y 轴D ．方向不能确定解析：选B 由导数的几何意义知曲线f (x )在此点处的切线的斜率为0,故切线与y 轴垂直．8．如图所示,单位圆中弧AB 的长为x ,f (x )表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍,则函数y ＝f (x )的图象是( )解析：选D 不妨设A 固定,B 从A 点出发绕圆周旋转一周,刚开始时x 很小,即弧AB 长度很小,这时给x 一个改变量Δx ,那么弦AB 与弧AB 所围成的弓形面积的改变量非常小,即弓形面积的变化较慢；当弦AB 接近于圆的直径时,同样给x 一个改变量Δx ,那么弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的改变量将较大,即弓形面积的变化较快；从直径的位置开始,随着B点的继续旋转,弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢．由上可知函数y ＝f (x )图象的上升趋势应该是首先比较平缓,然后变得比较陡峭,最后又变得比较平缓,对比各选项知D 正确．9．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示, 则函数y ＝f ′(x )的图象可能是________(填序号)．解析：由y ＝f (x )的图象及导数的几何意义可知,当x <0时f ′(x )>0,当x ＝0时,f ′(x )＝0,当x >0时,f ′(x )<0,故②符合．答案：②二、综合过关训练1．函数f (x )的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A ．0<f ′(a )<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a ) B ．0<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a ) C ．0<f ′(a ＋1)<f ′(a )<f (a ＋1)－f (a ) D ．0<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a )<f ′(a ＋1)解析：选B f ′(a ),f ′(a ＋1)分别为曲线f (x )在x ＝a ,x ＝a ＋1处的切线的斜率,由题图可知f ′(a )>f ′(a ＋1)>0,而f (a ＋1)－f (a )＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a表示(a ,f (a ))与(a ＋1,f (a＋1))两点连线的斜率,且在f ′(a )与f ′(a ＋1)之间．∴0<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a )．2．曲线y ＝1x －1在点P (2,1)处的切线的倾斜角为( ) A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．3π4解析：选D Δy ＝12＋Δx －1－12－1＝11＋Δx －1＝－Δx 1＋Δx ,lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 －11＋Δx ＝－1,斜率为－1,倾斜角为3π4.3．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x ＋2解析：选 A 由Δy ＝(1＋Δx )3－2(1＋Δx )＋1－(1－2＋1)＝(Δx )3＋3(Δx )2＋Δx 得lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (Δx )2＋3Δx ＋1＝1,所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1,切线过点(1,0),根据直线的点斜式可得切线方程为y ＝x －1.4．设P 0为曲线f (x )＝x 3＋x －2上的点,且曲线在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1,则P 0点的坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)或(－1,－4)D ．(2,8)或(－1,－4)解析：选C f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )－2－(x 3＋x －2)Δx＝lim Δx →0 (3x 2＋1)Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx ＝3x 2＋1.由于曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1,所以f (x )在P 0处的导数值等于4.设P 0(x 0,y 0),则有f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4,解得x 0＝±1,P 0的坐标为(1,0)或(－1,－4)．5．已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示,则y ＝f (x )在A 、B 两点处的导数f ′(a )与f ′(b )的大小关系为：f ′(a )________f ′(b )(填“<”或“>”)．解析：f ′(a )与f ′(b )分别表示函数图象在点A 、B 处的切线斜率,故f ′(a )>f ′(b )．答案：>6．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程为____________．解析：曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →03(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx＝lim Δx →0 (3Δx ＋2)＝2.所以过点 P (－1,2)的直线的斜率为2.由点斜式得y－2＝2(x＋1),即2x－y＋4＝0.所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.答案：2x－y＋4＝07．甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②,试问：(1)甲、乙二人哪一个跑得快？(2)甲、乙二人百米赛跑,问快到终点时,谁跑得较快？解：(1)图①中乙的切线斜率比甲的切线斜率大,故乙跑得快；(2)图②中在快到终点时乙的瞬时速度大,故快到终点时,乙跑得快．8．“菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时通常期望它在达到最高时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t.其示意图如图所示．根据图象,结合导数的几何意义解释烟花升空后的运动状况．解：如图,结合导数的几何意义,我们可以看出：在t＝1.5 s附近曲线比较平坦,也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0,达到最高点并爆裂；在0～1.5 s之间,曲线在任何点的切线斜率大于0且切线的倾斜程度越来越小,也就是说烟花在达到最高点前,以越来越小的速度升空；在1.5 s后,曲线在任何点的切线斜率小于0且切线的倾斜程度越来越大,即烟花达到最高点后,以越来越大的速度下降,直到落地．课时跟踪检测（三） 几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一、题组对点训练对点练一 利用导数公式求函数的导数 1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2,则y ′＝－1x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 因为(cos x )′＝－sin x ,所以①错误．sin π3＝32,而⎝ ⎛⎭⎪⎫32′＝0,所以②错误.⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝0－(x 2)′x 4＝－2x x 4＝－2x 3,所以③错误.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝－0－(x 12)′x ＝12x －12x ＝12x －32＝12x x,所以④正确． 2．已知f (x )＝x α(α∈Q *),若f ′(1)＝14,则α等于( )A ．13B ．12C ．18D ．14 解析：选D ∵f (x )＝x α,∴f ′(x )＝αx α－1.∴f ′(1)＝α＝14.对点练二 利用导数的运算法则求导数 3．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( ) A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2x B ．y ′＝cos 2x －sin 2x C ．y ′＝2cos x ·sin xD ．y ′＝cos x ·sin x解析：选B y ′＝(sin x ·cos x )′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x )＝cos 2x －sin 2x . 4．函数y ＝x 2x ＋3的导数为________．解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′＝(x 2)′(x ＋3)－x 2(x ＋3)′(x ＋3)2＝2x (x ＋3)－x 2(x ＋3)2＝x 2＋6x (x ＋3)2.答案：x 2＋6x (x ＋3)25．已知函数f (x )＝ax ln x ,x ∈(0,＋∞),其中a 为实数,f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3,则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ,又f ′(1)＝3, 所以a ＝3.答案：36．求下列函数的导数．(1)y ＝sin x －2x 2；(2)y ＝cos x ·ln x ；(3)y ＝exsin x.解：(1)y ′＝(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－(2x 2)′＝cos x －4x .(2)y ′＝(cos x ·ln x )′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′＝－sin x ·ln x ＋cos xx.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x sin x ′＝(e x )′·sin x －e x ·(sin x )′sin 2x ＝e x ·sin x －e x ·cos x sin 2x ＝e x(sin x －cos x )sin 2x. 对点练三 利用导数公式研究曲线的切线问题7．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x在点(0,0)处的切线方程为________． 解析：∵y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝e x (3x 2＋9x ＋3), ∴切线斜率k ＝e 0×3＝3,∴切线方程为y ＝3x . 答案：y ＝3x8．若曲线f (x )＝x ·sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直,则实数a ＝________.解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ,所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a2,所以根据题意得1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1,解得a ＝2.答案：29．已知a ∈R,设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1,f (1))处的切线为l ,则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x,所以f ′(1)＝a －1,又f (1)＝a ,所以切线l 的方程为y －a＝(a －1)(x －1),令x ＝0,得y ＝1.答案：110．在平面直角坐标系xOy 中,点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋13上,且在第一象限内,已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,求点P 的坐标．解：设点P 的坐标为(x 0,y 0),因为y ′＝3x 2－10,所以3x 20－10＝2,解得x 0＝±2.又点P 在第一象限内,所以x 0＝2,又点P 在曲线C 上,所以y 0＝23－10×2＋13＝1,所以点P 的坐标为(2,1)．二、综合过关训练1．f 0(x )＝sin x ,f 1(x )＝f ′0(x ),f 2(x )＝f ′1(x ),…,f n ＋1(x )＝f ′n (x ),n ∈N,则f 2 019(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x解析：选D 因为f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ,f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ,f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ,f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ,f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ,所以循环周期为4,因此f 2 019(x )＝f 3(x )＝－cos x .2．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D ．12解析：选A 因为y ′＝x 2－3x ,所以根据导数的几何意义可知,x 2－3x ＝12,解得x ＝3(x ＝－2不合题意,舍去)．3．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12B ．12C ．－22D ．22解析：选B y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝11＋sin 2x ,把x ＝π4代入得导数值为12,即为所求切线的斜率．4．已知直线y ＝3x ＋1与曲线y ＝ax 3＋3相切,则a 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．－1D ．－2解析：选A 设切点为(x 0,y 0),则y 0＝3x 0＋1,且y 0＝ax 30＋3,所以3x 0＋1＝ax 30＋3…①.对y ＝ax 3＋3求导得y ′＝3ax 2,则3ax 20＝3,ax 20＝1…②,由①②可得x 0＝1,所以a ＝1.5．设a 为实数,函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x ),且f ′(x )是偶函数,则曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为____________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －3, ∵f ′(x )是偶函数,∴a ＝0, ∴f (x )＝x 3－3x ,f ′(x )＝3x 2－3, ∴f (2)＝8－6＝2,f ′(2)＝9,∴曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为y －2＝9(x －2), 即9x －y －16＝0. 答案：9x －y －16＝06．设f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n ),则f ′(0)＝________. 解析：令g (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n ),则f (x )＝xg (x ), 求导得f ′(x )＝x ′g (x )＋xg ′(x )＝g (x )＋xg ′(x ), 所以f ′(0)＝g (0)＋0×g ′(0)＝g (0)＝1×2×3×…×n . 答案：1×2×3×…×n7．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切,则a ＝________.解析：法一：∵y ＝x ＋ln x , ∴y ′＝1＋1x,y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1),即y ＝2x －1. ∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切,∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ,得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0,解得a ＝8. 法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0,ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)． ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2), ∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋(a ＋2)＝2，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.答案：88．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ,f ′(2)＝－b ,其中常数a ,b ∈R.求曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线方程．解：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1,所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 令x ＝1,得f ′(1)＝3＋2a ＋b , 又f ′(1)＝2a,3＋2a ＋b ＝2a , 解得b ＝－3,令x ＝2得f ′(2)＝12＋4a ＋b , 又f ′(2)＝－b , 所以12＋4a ＋b ＝－b , 解得a ＝－32.则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1,从而f (1)＝－52.又f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3, 所以曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1), 即6x ＋2y －1＝0.9．已知两条直线y ＝sin x ,y ＝cos x ,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解：不存在．由于y ＝sin x ,y ＝cos x ,设两条曲线的一个公共点为P (x 0,y 0),所以两条曲线在P (x 0,y 0)处的斜率分别为k 1＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0,k 2＝y ′|x ＝x 0＝－sinx 0.若使两条切线互相垂直,必须使cos x 0·(－sin x 0)＝－1,即sin x 0·cos x 0＝1,也就是sin 2x 0＝2,这是不可能的,所以两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直．课时跟踪检测（四） 复合函数求导及应用一、题组对点训练对点练一 简单复合函数求导问题 1．y ＝cos 3x 的导数是( ) A ．y ′＝－3cos 2x sin x B ．y ′＝－3cos 2x C ．y ′＝－3sin 2xD ．y ′＝－3cos x sin 2x解析：选A 令t ＝cos x ,则y ＝t 3,y ′＝y t ′·t x ′＝3t 2·(－sin x )＝－3cos 2x sin x . 2．求下列函数的导数． (1)y ＝ln(e x ＋x 2)； (2)y ＝102x ＋3；(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x .解：(1)令u ＝e x ＋x 2,则y ＝ln u .∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(e x ＋x 2)′＝1e x ＋x 2·(e x＋2x )＝e x＋2x e x ＋x2.(2)令u ＝2x ＋3,则y ＝10u,∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝10u·ln 10·(2x ＋3)′＝2×102x ＋3ln10.(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x ·cos 2x ＝1－12sin 22x ＝1－14(1－cos 4x )＝34＋14cos 4x . 所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋14cos 4x ′＝－sin 4x . 对点练二 复合函数与导数运算法则的综合应用 3．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x解析：选B y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .4．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5)D ．x2x ＋5解析：选 B y ′＝[x ln(2x ＋5)]′＝x ′ln(2x ＋5)＋x [ln(2x ＋5)]′＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x 2x ＋5. 5．函数y ＝sin 2x cos 3x 的导数是________． 解析：∵y ＝sin 2x cos 3x ,∴y ′＝(sin 2x )′cos 3x ＋sin 2x (cos 3x )′＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x . 答案：2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x6．已知f (x )＝e πxsin πx ,求f ′(x )及f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12.解：∵f (x )＝e πxsin πx ,∴f ′(x )＝πe πxsin πx ＋πe πxcos πx ＝πe πx(sin πx ＋cos πx )． f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝πe π2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋cos π2＝πe 2π. 对点练三 复合函数导数的综合问题7．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ,则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D 令y ＝ax －ln(x ＋1),则f ′(x )＝a －1x ＋1.所以f (0)＝0,且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3.8．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5D ．0解析：选A 设曲线y ＝ln(2x －1)在点(x 0,y 0)处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行． ∵y ′＝22x －1,∴y ′|x ＝x 0＝22x 0－1＝2,解得x 0＝1,∴y 0＝ln(2－1)＝0,即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2－0＋3|4＋1＝5,即曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5.9．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t30,其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时,铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年),则M (60)＝( )A ．5太贝克B ．75ln 2太贝克C ．150ln 2 太贝克D ．150太贝克解析：选D M ′(t )＝－130ln 2×M 02-t30,由M ′(30)＝－130ln 2×M 02-3030＝－10 ln 2,解得M 0＝600, 所以M (t )＝600×2-t 30,所以t ＝60时,铯137的含量为M (60)＝600×2-6030＝600×14＝150(太贝克)．二、综合过关训练1．函数y ＝(2 019－8x )3的导数y ′＝( ) A ．3(2 019－8x )2B ．－24xC ．－24(2 019－8x )2D ．24(2 019－8x 2)解析：选C y ′＝3(2 019－8x )2×(2 019－8x )′＝3(2 019－8x )2×(－8)＝－24(2 019－8x )2.2．函数y ＝12(e x ＋e －x)的导数是( )A ．12(e x －e －x) B ．12(e x ＋e －x) C ．e x－e －xD ．e x＋e －x解析：选A y ′＝12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x)．3．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切,则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析：选B 设切点坐标是(x 0,x 0＋1),依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a＝1，x 0＋1＝ln (x 0＋a )，由此得x 0＋1＝0,x 0＝－1,a ＝2.4．函数y ＝ln ex1＋ex 在x ＝0处的导数为________．解析：y ＝ln e x1＋e x ＝ln e x －ln(1＋e x )＝x －ln(1＋e x),则y ′＝1－e x1＋e x .当x ＝0时,y ′＝1－11＋1＝12. 答案：125．设曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直,则a ＝________. 解析：令y ＝f (x ),则曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0),又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直,所以f ′(0)＝2.因为f (x )＝e ax ,所以f ′(x )＝(e ax )′＝e ax ·(ax )′＝a e ax,所以f ′(0)＝a e 0＝a ,故a ＝2.答案：26．f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2,则a 的值为________．解析：∵f (x )＝(ax 2－1)12,∴f ′(x )＝12(ax 2－1)－12·(ax 2－1)′＝ax ax 2－1 .又f ′(1)＝2,∴aa －1＝2,∴a ＝2. 答案：27．求函数y ＝a sin x3＋b cos 22x (a ,b 是实常数)的导数．解：∵⎝⎛⎭⎪⎫a sin x 3′＝a cos x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3′＝a 3cos x3,又(cos 22x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12cos 4x ′＝12(－sin 4x )×4＝－2sin 4x , ∴y ＝a sin x3＋b cos 22x 的导数为y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a sin x 3′＋b (cos 22x )′＝a 3cos x 3－2b sin 4x .8．曲线y ＝e 2xcos 3x 在(0,1)处的切线与l 的距离为5,求l 的方程． 解：由题意知y ′＝(e 2x)′cos 3x ＋e 2x(cos 3x )′ ＝2e 2x cos 3x ＋3(－sin 3x )·e 2x＝2e 2x cos 3x －3e 2xsin 3x ,所以曲线在(0,1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝0＝2. 所以该切线方程为y －1＝2x ,即y ＝2x ＋1. 设l 的方程为y ＝2x ＋m ,则d ＝|m －1|5＝ 5.解得m ＝－4或m ＝6.当m ＝－4时,l 的方程为y ＝2x －4;当m＝6时,l的方程为y＝2x＋6.综上,可知l的方程为y＝2x－4或y＝2x＋6.课时跟踪检测（五）函数的单调性与导数一、题组对点训练对点练一函数与导函数图象间的关系1．f′(x)是函数f(x)的导函数,y＝f′(x)的图象如图所示,则y＝f(x)的图象最有可能是下列选项中的( )解析：选C 题目所给出的是导函数的图象,导函数的图象在x轴的上方,表示导函数大于零,原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在x轴的下方,表示导函数小于零,原函数的图象呈下降趋势．由x∈(－∞,0)时导函数图象在x轴的上方,表示在此区间上,原函数的图象呈上升趋势,可排除B、D两选项．由x∈(0,2)时导函数图象在x轴的下方,表示在此区间上,原函数的图象呈下降趋势,可排除A选项．故选C.2．若函数y＝f′(x)在区间(x1,x2)内是单调递减函数,则函数y＝f(x)在区间(x1,x2)内的图象可以是( )解析：选B 选项A中,f′(x)>0且为常数函数；选项C中,f′(x)>0且f′(x)在(x1,x2)内单调递增；选项D中,f′(x)>0且f′(x)在(x1,x2)内先增后减．故选B.3．如图所示的是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象,则在[－2,5]上函数f(x)的递增区间为________．解析：因为在(－1,2)和(4,5]上f′(x)>0,所以f(x)在[－2,5]上的单调递增区间为(－1,2)和(4,5]．答案：(－1,2)和(4,5]对点练二判断(证明)函数的单调性、求函数的单调区间4．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( )A．(－∞,2)B．(0,3)C．(1,4) D．(2,＋∞)解析：选D f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝e x(x－2)．由f′(x)>0得x>2,∴f(x)的单调递增区间是(2,＋∞)．5．函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析：选C 由题意得,函数的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x＝(2x ＋1)(2x －1)x ,令f ′(x )＝(2x ＋1)(2x －1)x >0,解得x >12,故函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.故选C. 6．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1),且在x ＝1处的切线方程是y ＝x . (1)求y ＝f (x )的解析式； (2)求y ＝f (x )的单调递增区间．解：(1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1),∴c ＝1,f ′(x )＝3ax 2＋2bx ,f ′(1)＝3a ＋2b ＝1,切点为(1,1),则f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(1,1),得a ＋b ＋c ＝1,解得a ＝1,b ＝－1,即f (x )＝x 3－x 2＋1.(2)由f ′(x )＝3x 2－2x >0得x <0或x >23,所以单调递增区间为(－∞,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.对点练三 与参数有关的函数单调性问题7．若函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减,则实数a 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．5解析：选C 函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减,只需f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立即可,令f ′(x )＝1－12ax －12≤0,解得a ≥2x ,则a ≥4.∴a min ＝4.8．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,2),则b ＝________,c ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ,由题意知－1<x <2是不等式f ′(x )<0的解,即－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根,把－1,2分别代入方程,解得b ＝－32,c ＝－6.答案：－32－69．已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2.讨论f (x )的单调性． 解：f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)·(e x＋2a )．(1)设a ≥0,则当x ∈(－∞,1)时,f ′(x )<0；当x ∈(1,＋∞)时,f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增．(2)设a <0,由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．①若a ＝－e 2,则f ′(x )＝(x －1)(e x－e),所以f (x )在(－∞,＋∞)上单调递增；②若－e2<a <0,则ln(－2a )<1,故当x ∈(－∞,ln(－2a ))∪(1,＋∞)时,f ′(x )>0；当x∈(ln(－2a ),1)时,f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞,ln(－2a ))∪(1,＋∞)上单调递增,在(ln(－2a ),1)上单调递减；③若a <－e2,则ln(－2a )>1,故当x ∈(－∞,1)∪(ln(－2a ),＋∞)时,f ′(x )>0；当x ∈(1,ln(－2a ))时,f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞,1)∪(ln(－2a ),＋∞)上单调递增,在(1,ln(－2a ))上单调递减．二、综合过关训练1．若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增,则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中具有M 性质的是( )A ．f (x )＝2－xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝3－xD ．f (x )＝cos x解析：选A 对于选项A,f (x )＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,则e x f (x )＝e x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ,∵e 2＞1,∴e x f (x )在R 上单调递增,∴f (x )＝2－x具有M 性质．对于选项B,f (x )＝x 2,e xf (x )＝e x x 2,[e xf (x )]′＝e x(x 2＋2x ),令e x (x 2＋2x )＞0,得x ＞0或x ＜－2；令e x (x 2＋2x )＜0,得－2＜x ＜0,∴函数e xf (x )在(－∞,－2)和(0,＋∞)上单调递增,在(－2,0)上单调递减,∴f (x )＝x 2不具有M 性质．对于选项C,f (x )＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ,则e x f (x )＝e x·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x ,∵e3＜1, ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在R 上单调递减,∴f (x )＝3－x不具有M 性质．对于选项D,f (x )＝cos x ,e xf (x )＝e xcos x ,则[e x f (x )]′＝e x (cos x －sin x )≥0在R 上不恒成立,故e x f (x )＝e xcos x 在R 上不是单调递增的,∴f (x )＝cos x 不具有M 性质．故选A.2．若函数f (x )＝x －eln x,0<a <e<b ,则下列说法一定正确的是( ) A ．f (a )<f (b ) B ．f (a )>f (b ) C ．f (a )>f (e)D ．f (e)>f (b )解析：选C f ′(x )＝1－e x ＝x －ex,x >0,令f ′(x )＝0,得x ＝e,f (x )在(0,e)上为减函数,在(e,＋∞)上为增函数,所以f (a )>f (e),f (b )>f (e),f (a )与f (b )的大小不确定．3．设f ′(x )是函数f (x )的导函数,将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一直角坐标系中,不可能正确的是( )解析：选D 对于选项A,若曲线C 1为y ＝f (x )的图象,曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象,则函数y ＝f (x )在(－∞,0)内是减函数,从而在(－∞,0)内有f ′(x )<0；y ＝f (x )在(0,＋∞)内是增函数,从而在(0,＋∞)内有f ′(x )>0.因此,选项A 可能正确．同理,选项B 、C 也可能正确．对于选项D,若曲线C 1为y ＝f ′(x )的图象,则y ＝f (x )在(－∞,＋∞)内应为增函数,与C 2不相符；若曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象,则y ＝f (x )在(－∞,＋∞)内应为减函数,与C 1不相符．因此,选项D 不可能正确．4．设f (x ),g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数,且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0,则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )解析：选C 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2,又因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0,所以f (x )g (x )在R 上为减函数．又因为a <x <b ,所以f (a )g (a )>f (x )g (x )>f (b )g (b ),又因为f (x )>0,g (x )>0,所以f (x )g (b )>f (b )g (x )．5．(2019·北京高考)设函数f (x )＝e x ＋a e －x(a 为常数)．若f (x )为奇函数,则a ＝________；若f (x )是R 上的增函数,则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝e x ＋a e －x(a 为常数)的定义域为R, ∴f (0)＝e 0＋a e －0＝1＋a ＝0,∴a ＝－1.∵f (x )＝e x ＋a e －x ,∴f ′(x )＝e x －a e －x ＝e x－ae x .∵f (x )是R 上的增函数,∴f ′(x )≥0在R 上恒成立, 即e x≥ae x 在R 上恒成立,∴a ≤e 2x在R 上恒成立．又e 2x>0,∴a ≤0,即a 的取值范围是(－∞,0]． 答案：－1 (－∞,0]6．如果函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1,k ＋1)上不是单调函数,则实数k 的取值范围是________．解析：函数f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.由f ′(x )>0,得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞；由f ′(x )<0,得函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.由于函数在区间(k －1,k ＋1)上不是单调函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0.解得：1≤k <32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 7．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求曲线f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)讨论函数f (x )在区间(0,t ](t >0)上的单调性． 解：(1)f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝ln x ＋1. 曲线f (x )在x ＝1处的切线的斜率为k ＝f ′(1)＝1.把x ＝1代入f (x )＝x ln x 中得f (1)＝0,即切点坐标为(1,0)．所以曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －1.(2)令f ′(x )＝1＋ln x ＝0,得x ＝1e.①当0<t <1e时,在区间(0,t ]上,f ′(x )<0,函数f (x )为减函数．②当t >1e 时,在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上,f ′(x )<0,f (x )为减函数；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，t 上,f ′(x )>0,f (x )为增函数．8．已知函数f (x )＝ln x ,g (x )＝12ax 2＋2x ,a ≠0.若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减,求a 的取值范围．解：h (x )＝ln x －12ax 2－2x ,x ∈(0,＋∞),所以h ′(x )＝1x －ax －2.因为h (x )在[1,4]上单调递减,所以x ∈[1,4]时,h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立,即a ≥1x 2－2x恒成立,令G (x )＝1x 2－2x,则a ≥G (x )max .而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－12－1.因为x ∈[1,4],所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1,所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4),所以a ≥－716.当a ＝－716时,h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x 16x ＝(7x －4)(x －4)16x .因为x ∈[1,4],所以h ′(x )＝(7x －4)(x －4)16x ≤0,即h (x )在[1,4]上为减函数． 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.课时跟踪检测（六） 函数的极值与导数一、题组对点训练对点练一 求函数的极值1．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5,极小值－27 B ．极大值5,极小值－11 C ．极大值5,无极小值D ．极小值－27,无极大值解析：选C 由y ′＝3x 2－6x －9＝0, 得x ＝－1或x ＝3.当x <－1或x >3时,y ′>0； 当－1<x <3时,y ′<0.∴当x ＝－1时,函数有极大值5； 3∉(－2,2),故无极小值．2．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点,则f (x )的极大值、极小值分别为( )A ．427,0 B ．0,427C ．－427,0D ．0,－427解析：选A f ′(x )＝3x 2－2px －q , 由f ′(1)＝0,f (1)＝0,得⎩⎪⎨⎪⎧3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x .由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1,易得当x ＝13时f (x )取极大值427,当x ＝1时f (x )取极小值0.3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ,其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,则下列说法中不正确的序号是________． ①当x ＝32时,函数取得极小值；②f (x )有两个极值点； ③当x ＝2时,函数取得极小值； ④当x ＝1时,函数取得极大值．解析：由题图知,当x ∈(－∞,1)时,f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时,f ′(x )<0；当x ∈(2,＋∞)时,f ′(x )>0,所以f (x )有两个极值点,分别为1和2,且当x ＝2时函数取得极小值,当x ＝1时函数取得极大值．只有①不正确．答案：①对点练二 已知函数的极值求参数4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2,则a ,b 的值分别为( )A ．1,－3B ．1,3C ．－1,3D ．－1,－3解析：选A f ′(x )＝3ax 2＋b , 由题意知f ′(1)＝0,f (1)＝－2,∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1,b ＝－3.5．若函数f (x )＝x 2－2bx ＋3a 在区间(0,1)内有极小值,则实数b 的取值范围是( ) A ．b <1 B ．b >1 C ．0<b <1 D ．b <12解析：选C f ′(x )＝2x －2b ＝2(x －b ),令f ′(x )＝0,解得x ＝b ,由于函数f (x )在区间(0,1)内有极小值,则有0<b <1.当0<x <b 时,f ′(x )<0；当b <x <1时,f ′(x )>0,符合题意．所以实数b 的取值范围是0<b <1.6．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值,则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2),∵函数f (x )既有极大值又有极小值,∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根,∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)>0.即a 2－a －2>0,解之得a >2或a <－1.答案：(－∞,－1)∪(2,＋∞) 对点练三 函数极值的综合问题7．设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ,a ∈R. (1)令g (x )＝f ′(x ),求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值,求实数a 的取值范围． 解：(1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a , 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ,x ∈(0,＋∞)． 则g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x.当a ≤0时,x ∈(0,＋∞)时,g ′(x )>0,函数g (x )单调递增；当a >0时,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时,g ′(x )>0,函数g (x )单调递增,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时,函数g (x )单调递减．所以当a ≤0时,g (x )的单调增区间为(0,＋∞)； 当a >0时,g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ,单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞. (2)由(1)知,f ′(1)＝0.。

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课时自测·当堂达标
1.某物体做直线运动,其运动规律是s=t2+(t的单位是秒,s的单位是米),则它在4秒末的瞬时速度为( )
A.米/秒
B.米/秒
C.8米/秒
D.米/秒
【解析】选B.因为=
=
=Δt+8-.
所以=8-=.
2.已知函数y=2x2+5的图象上一点(1,7)及其邻近一点(1+Δx,7+Δy),则=
( ) A.2Δx B.4Δx
C.2Δx+4
D.4Δx+2
【解析】选C.=
==4+2Δx.
3.质点运动规律s=gt2,则在时间区间内的平均速度等于
(g=10m/s2).
【解析】Δs=g×(3+Δt)2-g×32=×10×=30Δt+5(Δt)2,
==30+5Δt.
答案:30+5Δt
4.设f(x)=ax+4,若f′(1)=2,则a= .
【解析】因为f(x)=ax+4,所以f′(1)===a,而f′(1)=2,故a=2.
答案:2
5.物体的运动方程是s=(s的单位:m;t的单位:s),求物体在t=1s到t=(1+Δt)s这段时间内的平均速度.
【解析】因为Δs=-=-(m), ==
=(m/s),
所以物体在t=1s到t=(1+Δt)s这段时间内的平均速度为m/s.
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课时达标训练（一）[即时达标对点练]题组1命题的概念1．下列语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 0°＝0C．求x2－2x＋1>0的解集D．作△ABC∽△EFG2．以下语句中：①{0}∈N；②x2＋y2＝0；③x2>x；④{x|x2＋1＝0}．其中命题的个数是()A．0B．1C．2D．3题组2命题的构成形式3．把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为_______________________________________．4．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)”的条件p：________，结论q：________．它是________命题(填“真”或“假”)．5．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么．(1)乘积为1的两个实数互为倒数；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)与同一直线平行的两个平面平行．题组3判断命题的真假6．下列命题是真命题的是()A．所有质数都是奇数B．若a>b，则a>bC．对任意的x∈N，都有x3>x2成立D．方程x2＋x＋1＝0有实根7．下列命题中真命题有()①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．A．1个B．2个C．3个D．4个8．下列命题中真命题的个数为()①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a >b ，则a ＋c >b ＋c;④矩形的对角线互相垂直．A ．1B ．2C ．3D ．49．下列命题：①y ＝x 2＋3为偶函数；②0不是自然数；③{x ∈N |0<x <12}是无限集；④如果a ·b ＝0，那么a ＝0，或b ＝0.其中是真命题的是________(写出所有真命题的序号)．[能力提升综合练]1．设a 、b 、c 是任意非零平面向量，且相互不共线，则：①(a ·b )c ＝(c ·a )b ；②|a|－|b|<|a －b|; ③(b ·c )a －(c ·a )b 不与c 垂直；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a|2－4|b|2，是真命题的有( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④2．已知a ，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a ⊥α，b ⊥β，则下列命题中，假命题是( )A ．若a ∥b ，则α∥βB ．若α⊥β，则a ⊥bC ．若a ，b 相交，则α，β相交D ．若α，β相交，则a ，b 相交3．给出命题“方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( )A ．4B ．2C ．0D ．－44．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切． 其中真命题的序号为( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③5．下列语句中是命题的有________(写出序号)，其中是真命题的有________(写出序号)． ①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？②一个数不是正数就是负数；③大角所对的边大于小角所对的边；④△ABC 中，若∠A ＝∠B ，则sin A ＝sin B ；⑤求证方程x2＋x＋1＝0无实根．6．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．7．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)奇数不能被2整除；(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1;(3)两个相似三角形是全等三角形；(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．8．已知A：5x－1>a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题．答案即时达标对点练1. 解析：选B A选项是疑问句，C、D选项中的语句是祈使句，都不是命题．2.解析：选B①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题．3.答案：若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除4.解析：a>0时，设a＝1，把(0，0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．答案：a>0二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)真5.解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”．它是真命题．p：两个实数乘积为1，q：两个实数互为倒数．(2)“若一个函数为奇函数；则它的图象关于原点对称”．它是真命题．p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称．(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行．6.解析：选B选项A错，因为2是偶数也是质数；选项B正确；选项C错，因为当x＝0时x3>x2不成立；选项D错，因为Δ＝12－4＝－3<0，所以方程x2＋x＋1＝0无实根．7.解析：选A①中，当m＝0时，是一元一次方程；②中当Δ＝4＋4a<0时，抛物线与x 轴无交点；③是正确的；④中空集不是本身的真子集．8. 解析：选A ①错；②中若x ＝3，y ＝0，则xy ＝0，但|x |＋|y |≠0，故②错；③正确；④中矩形的对角线不一定互相垂直．9. 解析：①为真命题；②③④为假命题．答案：①能力提升训练1. 解析：选D ①错，数量积不满足结合律；②对，由向量减法的三角形法则可知有|a|－|b|<|a －b|；③[(b ·c )·a －(c·a )·b ]·c ＝(b·c )(a·c )－(c·a )(b·c )＝0.∴③错；④对．2. 解析：选D 由已知a ⊥α，b ⊥β，若α，β相交，a ，b 有可能异面．3. 解析：选C 方程无实根时，应满足Δ＝a 2－4<0.故a ＝0时适合条件．4. 解析：选C 对于命题①，设球的半径为R ，则43π⎝⎛⎭⎫R 23＝18·43πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1，3，5和3，3，3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0，0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．5. 解析：①是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；②是假命题，0既不是正数也不是负数；③是假命题，没有限制在同一个三角形内；④是真命题；⑤是祈使句，不是命题．答案：②③④ ④6. 解析：∵ax 2－2ax －3>0不成立，∴ax 2－2ax －3≤0恒成立．当a ＝0时，－3≤0恒成立；当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0， 解得－3≤a <0.综上，－3≤a ≤0.答案：[－3，0]7. 解：(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题．(2)若(a －1)2＋(b －1)2＝0，则a ＝b ＝1，是真命题．(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题．(4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题．8. 解：若视 A 为p ，B 为q ，则命题“若p ，则q ”为“若x >1＋a 5，则x >1”．由命题为真命题可知1＋a 5≥1，解得a ≥4；若视B 为p ，A 为q ，则命题“若p ，则q ”为“若x >1，则x >1＋a 5”．由命题为真命题可知1＋a 5≤1，解得a ≤4.故a 取任一实数均可利用A ，B 构造出一个真命题，比如这里取a ＝1，则有真命题“若x >1，则x >25”．。

课时达标训练（九）直线与椭圆的位置关系（习题课） [即时达标对点练] 题组1 直线与椭圆的位置关系 1．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不能确定 2．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值X 围是________． 题组2 直线与椭圆的相交弦问题3．椭圆x 225＋y 24＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．若|AB |＝8，则|AF 1|＋|BF 1|的值为( )A ．10B ．12C ．16D ．184．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________． 5．已知中心在原点，一个焦点为F (0，50)的椭圆被直线l ：y ＝3x －2截得的弦的中点横坐标为12，求此椭圆的方程． 题组3 与椭圆有关的最值问题6．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3，0)，||＝1，且＝0，则||的最小值是________．7．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则的最大值为________． 8．如图，点A 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴位于y 轴下方的端点，过点A 且斜率为1的直线交椭圆于点B ，若P 在y 轴上，且BP ∥x 轴，(1)若点P 的坐标为(0，1)，求椭圆C 的标准方程；(2)若点P 的坐标为(0，t )，求t 的取值X 围．[能力提升综合练]1．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数( ) A ．至多一个 B ．2个C ．1个D ．0个2．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值X 围是( )A ．[4－23，4＋23]B ．[4－3，4＋3]C ．[4－22，4＋2 2 ]D ．[4－2，4＋2]3．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若＝( ) A. 2 B ．2 C. 3 D ．34．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．5．已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1，过点(0，2)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点． (1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)O 为坐标原点，求△OAB 的面积．6．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y ＝x ＋m 相交于不同的两点M ，N ，问是否存在实数m 使|AM |＝|AN |；若存在求出m 的值；若不存在说明理由．答 案即时达标对点练1.解析：选A 因为直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故直线y ＝kx ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1相交． 2. 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2m ＋y 23＝1，y ＝x ＋2，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0.又∵直线与椭圆有两个公共点，∴Δ＝(4m )2－4m (m ＋3)＝16 m 2－4m 2－12m＝12m 2－12m >0，解得m >1或m <0.又∵m >0且m ≠3，∴m >1且m ≠3.答案：(1，3)∪(3，＋∞)3. 解析：选B ∵|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝4a ，∴|AF 1|＋|BF 1|＝4×5－8＝12.4. 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1， 消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6.∴弦长|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 54[]（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝ 54（4＋24）＝35. 答案：355. 解：设所求椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)． 弦两端点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由y 2a 2＋x 2b2＝1及y ＝3x －2得 (a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋b 2(4－a 2)＝0，x 1＋x 2＝12b 2a 2＋9b 2，由已知x 1＋x 22＝12， 即12b 2a 2＋9b 2＝1， 所以a 2＝3b 2.又c 2＝a 2－b 2＝50，所以得a 2＝75，b 2＝25，所以椭圆的方程为y 275＋x 225＝1. 6. 解析：易知点A (3，0)是椭圆的右焦点．答案： 37. 解析：由x 24＋y 23＝1可得F (－1，0)． 设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，取得最大值6. 答案：68. 解：∵直线AB 的斜率为1，∴∠BAP ＝45°， (1)∵P (0，1)，即b ＝2，且B (3，1)．∵B 在椭圆上，∴9a 2＋14＝1，得a 2＝12， ∴椭圆C 的标准方程为x 212＋y 24＝1. (2)由点P 的坐标为(0，t )及点A 位于x 轴下方，得点A 的坐标为(0，t －3)， ∴t －3＝－b ，即b ＝3－t .显然点B 的坐标是(3，t )，将它代入椭圆方程得，9a 2＋t 2（3－t ）2＝1，解得a 2＝3（3－t ）23－2t . ∵a 2>b 2>0，∴3（3－t ）23－2t >(3－t )2>0.∴33－2t >1，即33－2t －1＝2t 3－2t>0， ∴所求t 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32. 能力提升综合练1. 解析：选B 因为直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，所以4m 2＋n2 >2，即m 2＋n 2<4， 所以n 2<4－m 2，则m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－536m 2<1. 所以点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1内部， 故过点(m ，n )的直线与椭圆有2个交点．2. 解析：选A 方程可化为x 23＋y 28＝1，故椭圆焦点在y 轴上，又a ＝22，b ＝3，所以－3≤m ≤3，故4－23≤2m ＋4≤23＋4.3. 解析：选A 设点A (2，n )，B (x 0，y 0)．由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1， ∴c 2＝1，即c ＝1.∴右焦点F (1，0)．∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0.∴x 0＝43，y 0＝13n . 将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2＝1. 解得n 2＝1，∴||＝（2－1）2＋n 2＝1＋1＝ 2. 4. 解析：直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2c c ＋3c＝3－1.答案：3－15. 解：(1)由已知得a ＝2，b ＝1，所以c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)， 离心率为e ＝c a ＝32. (2)设l 的方程为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0， 由l 与圆x 2＋y 2＝1相切得21＋k 2＝1，解得k ＝± 3.将y ＝±3x ＋2代入x 2＋4y 2－4＝0，得13x 2±163x ＋12＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝±16313，x 1x 2＝1213， |AB |＝2（x 1－x 2）2＝2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫163132－4×1213＝2413. 又O 到AB 的距离d ＝1.∴S △OAB ＝12×|AB |×1＝1213. 6解：(1)依题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1， 则右焦点F (a 2－1，0)．由题设|a 2－1＋22|2＝3， 解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1. (2)设P 为弦MN 的中点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 23＋y 2＝1， 得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0.由于直线与椭圆有两个交点，所以Δ>0，即－2<m <2， 所以x P ＝x M ＋x N 2＝－3m 4，从而y P ＝x P ＋m ＝m 4， 所以k AP ＝y P ＋1x P ＝m 4＋1－3m 4，又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ，所以m 4＋1－3m 4＝－1，解得m ＝2，所以不存在实数m 使|AM |＝|AN |.。

（人教版）高中数学选修1-1（全册）同步练习汇总►基础梳理1．命题的定义．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．♨思考：如何判断一个语句是不是命题？ 答案：判断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．2．命题的结构．本章中我们只讨论“若p ，则q ”这种形式的命题．我们把这种形式的命题中的p 叫做命题的条件，把q 叫做命题的结论．►自测自评1．下列语句是命题的是①(填序号)． ①π2是无限不循环小数 ②3x ≤5③什么是“温室效应”？ ④明天给我买本《金版学案》解析：选项①，“π2是无限不循环小数”是陈述句，并且它是真的，所以是命题；选项②，因为无法判断“3x ≤5”的真假，所以选项②不是命题；选项③是疑问句，选项④是祈使句，故都不是命题．2．语句“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”(C ) A ．不是命题 B ．是假命题 C ．是真命题 D ．不能判断真假3．把命题“垂直于同一平面的两条直线互相平行”改成“若p ，则q ”的形式：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行．1．下列语句是命题的是(B )①72＋1≠50 ②5－x ＝0 ③存在x ∈R ，使x 2－4>0 ④平行于同一条直线的两条直线平行吗？A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④2．下列命题中是真命题的是(B ) A.3是有理数 B ．22是实数C ．e 是有理数D ．{x |x 是小数}R3．下面是关于四棱柱的四个命题： ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两相等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的序号是________． 答案：②④4．将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假． (1)正n 边形(n ≥3)的n 个内角全相等； (2)方程x 2－x ＋1＝0有两个实根； (3)菱形的对角线互相垂直； (4)偶函数的图象关于y 轴对称．答案：(1)若n (n ≥3)边形是正多边形，则它的n 个内角全相等．真命题． (2)若一个方程是x 2－x ＋1＝0，则它有两个实根．假命题． (3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直．真命题． (4)若一个函数是偶函数，则它的图象关于y 轴对称．真命题．1．下列语句中，是命题的个数是(B )①求证：3是无理数 ②－5∈Z ③5是无理数 ④x 2－4x ＋7≥0.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．下列四个命题中是真命题的为(C ) A ．若sin A ＝sin B ，则∠A ＝∠B B ．若lg x 2＝0，则x ＝1C ．若a >b ，且ab >0，则1a <1bD ．若b 2＝ac ，则a 、b 、c 成等比数列 3．下列说法正确的是(D )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题C ．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D ．语句“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题 解析：A 写成“若p 则q ”的形式，B 是命题，C 假命题． 4．(2013·肇庆二模)对于平面α和直线m ，n ，下列命题中假命题的个数是(D )①若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α ②若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ③若m ∥α，n ⊂a ，则m ∥n ④若m ∥n ，n ∥α，则m ∥αA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是(C ) A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ＝BC D ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ⊥BC 6．(2013·广州二模)对于任意向量a 、b 、c ，下列命题中正确的是(D ) A ．|a ·b |＝|a ||b | B ．|a ＋b |＝|a |＋|b | C ．(a ·b )c ＝a (b ·c ) D ．a ·a ＝|a |27．命题“末位数字是0或5的整数，能被5整除”，条件p ：________________________________________________________________________；结论q ：________________________________________________________________________；是________命题(填“真”或“假”)． 解析：“末位数字是0或5的整数，能被5整除”改写成“若p ，则q ”的形式为：若一个整数的末位数是0或5，则这个数能被5整除，为真命题．答案：一个整数的末位数是0或5 这个数能被5整除 真8．命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝4a 2＋12a ≤0， 得－3≤a ＜0.∴－3≤a ≤0. 答案：[－3，0]9．下面是关于四棱柱的四个命题： ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条体对角线两两相等，则四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的序号是________． 答案：②④10．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足条件：f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1，0]上是增函数，给出下面关于f (x )的命题：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于直线x ＝－1对称；③f (0)≤f (1)；④f (2)＝f (0)；⑤f (x )在[1，2]上是减函数．其中正确的命题序号是________． 答案：①②④11．将下列命题改成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假． (1)正n 边形(n ≥3)的n 个内角全相等； (2)方程x 2－x ＋1＝0有两个实根； (3)菱形的对角线互相垂直； (4)偶函数的图象关于y 轴对称．答案：(1)若n (n ≥3)边形是正多边形，则它的n 个内角全相等．真命题． (2)若一个方程是x 2－x ＋1＝0，则它有两个实根．假命题． (3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直．真命题． (4)若一个函数是偶函数，则它的图象关于y 轴对称．真命题．12．已知p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p ，q 一真一假，求m 的取值范围．解析：当p 为真命题时， ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－m ＜0，x 1·x 2＝1＞0，∴m ＞2.当q 为真命题时，Δ＝42(m －2)2－16＜0， ∴1＜m ＜3.若p 、q 一真一假，则， p 真q 假或p 假q 真， ①若p 真q 假， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，m ≤1或m ≥3， ∴m ≥3.②若p 假q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1＜m ＜3， ∴1＜m ≤2.综上m 的取值范围是(1，2]∪[3，＋∞)． 13．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x ＜0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．解析：因为A ∩B ＝∅是假命题，所以A ∩B ≠∅. 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≤－1或m ≥32. 假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2都非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0，解得m ≥32.又集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≥32在全集U 中的补集是{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围是{m |m ≤－1}．►体验高考1．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，是真命题的是(D ) A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．②和④解析：①中没有强调这两条直线是相交的. ③中这两条直线也可以相交或是异面． 2．设a ，b 为正实数，现有下列命题： ①若a 2－b 2＝1，则a －b <1；②若1b －1a＝1，则a －b <1；③若|a －b |＝1，则|a －b |<1； ④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.其中真命题有____________(写出所有真命题的序号)． 答案：①④►基础梳理1．四种命题的概念．(1)一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题．(2)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题．(3)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．2．四种命题的相互关系．3．四种命题的真假性．由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．,►自测自评1．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是(A)A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数2．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数可以是(D) A．1或2或3或4B．1或3C．0或4D．0或2或43．若命题p的逆命题为q，命题q的否命题为r，则p是r的逆否命题．解析：设p为：“若m，则n”，则q为：“若n，则m”，所以r为：“若綈n，则綈m”．故p是r的逆否命题．1．“若x，y∈R且(x－1)2＋(y－1)2＝0，则x，y全为1”的否命题是(B)A．若x，y∈R且(x－1)2＋(y－1)2≠0，则x，y全不为1B．若x，y∈R且(x－1)2＋(y－1)2≠0，则x，y不全为1C．若x，y∈R且x，y全为1，则(x－1)2＋(y－1)2＝0D．若x，y∈R且xy≠1，则(x－1)2＋(y－1)2＝02．下列命题中，不是真命题的是(D)A．“若b2－4ac>0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”的逆否命题B．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题C．“x2＝9，则x＝3”的否命题D．“内错角相等”的逆命题3．命题“a，b是实数，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”，用反证法证明时反设为：________________________________________________________________________.答案：若a≠1或b≠14．已知命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.”写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．答案：逆命题：已知，a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题．否命题：已知，a，b，c，d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题．逆否命题：已知，a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d.真命题．5．已知函数y＝f(x)是R上的增函数，对a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)成立，证明a＋b≥0.证明：原命题的逆否命题为：a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．以下证明其逆否命题：若a＋b<0，则a<－b，b<－a，又因为y＝f(x)是R上的增函数，所以f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．又因为原命题和逆否命题有相同的真假性，所以求证成立．1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是(C)A．有一个解B．有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解2．下列说法中正确的是(D)A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真解析：否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性．3．已知原命题“若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是(B)A．0个B．1个C．2个D．3个4．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；③“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题；④“若ab是无理数，则a、b是无理数”的逆命题．其中真命题的个数是(B)A．0个B．1个C．2个D．3个5．命题“若c>0，则函数f(x)＝x2＋x－c有两个零点”的逆否命题的是：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________，则c ≤0.答案：若函数f (x )＝x 2＋x －c 没有两个零点6．若命题p 的否命题是q ，命题q 的逆命题是r ，则r 是p 的逆命题的________． 解析：本题主要考查四种命题的相互关系．显然，r 与p 互为逆否命题． 答案：否命题 7．(x －1)(x ＋2)＝0的否定形式是________________________________________________________________________．答案：(x －1)(x ＋2)≠0 8．命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为________________________________________________________________________________________________________________________________________________. 答案：若a ≤b ，则2a ≤2b －1 9．有下列五个命题：①“若a 2＋b 2＝0，则ab ＝0”的逆否命题； ②“若a >b ，则ac >bc ”的逆命题③“若a <b <0，则1a >1b”的逆否命题；④“若1a <1b <0，则ab <b 2”的逆否命题；⑤“若b a ＞ab，则a <b <0”的逆命题其中假命题有________．解析：①逆否命题为“若ab ≠0，则a 2＋b 2≠0”，这是一个真命题． ②逆命题为“若ac >bc ，则a >b ”，这是一个假命题． ③原命题是一个真命题，所以逆否命题也为真命题．④若1a <1b<0，则b <a <0，则ab >b 2故原命题为真命题，所以逆否命题也为真命题．⑤逆命题为“若a <b <0，则b a >ab”．若a <b <0，则⎩⎪⎨⎪⎧－a >－b >0，1b <1a<0，则⎩⎪⎨⎪⎧－a >－b >0，－1b >－1a >0，故a b >b a . 故这是一个假命题． 答案：②⑤10．若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.证明(用反证法)：假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0，而a ＋b ＋c ＝⎝⎛⎭⎫x 2－2y ＋π2＋⎝⎛⎭⎫y 2－2z ＋π3＋⎝⎛⎭⎫z 2－2x ＋π6＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π ＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，显然a ＋b ＋c >0，这与假设a ＋b ＋c ≤0相矛盾． 因此a ，b ，c 中至少有一个大于0.►体验高考1．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是(C )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：本小题主要考查四种命题的真假，易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题有一个，选C.2．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是(A ) A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3 B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3 C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3 D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝33．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(B ) A ．若一个数是负数，则它的平方不是正数 B ．若一个数的平方是正数，则它是负数 C ．若一个数不是负数，则它的平方不是正数 D ．若一个数的平方不是正数，则它不是负数 4．命题“若p 则q ”的逆命题是(A )A ．若q 则pB ．若綈p 则綈qC ．若綈q 则綈pD ．若p 则綈q5．命题“若a ＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是(C )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4►基础梳理1．充分条件和必要条件． 一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p ⇒q ，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．2．充要条件．一般地，如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ，此时我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件．概括地说，如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．♨思考：如何从集合与集合之间的关系上理解充分条件、必要条件和充要条件？答案：对于集合A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，分别是使命题p 和q 为真命题的对象所组成的集合.,►自测自评1．已知集合A ，B ，则“A ⊆B ”是“A ∩B ＝A ”的(C ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 2．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的(C ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的充分不必要条件． 解析：由a ＝2能得到(a －1)(a －2)＝0，但由(a －1)·(a －2)＝0得到a ＝1或a ＝2，而不是a ＝2，所以a ＝2是(a －1)(a －2)＝0的充分不必要条件．1．在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的(B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当A ＝170°时，sin 170°＝sin 10°<12，所以“过不去”；但是在△ABC 中，sinA >12⇒30°<A <150°⇒A >30°，即“回得来”． 2．(2014·湛江一模)“x >2”是“(x －1)2>1”的(B ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 3．“b 2＝ac ”是“ a ，b ，c 成等比数列”的________条件．解析：因为当a ＝b ＝c ＝0时，“b 2＝ac ”成立，但是a ，b ，c 不成等比数列； 但是“a ，b ，c 成等比数列”必定有“b 2＝ac ”． 答案：必要不充分4．求不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的充要条件． 解析：当a ＝0时，2x ＋1>0不恒成立． 当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1>0恒成立 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a <0⇔a >1. ∴不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的充要条件是a >1.5．已知p ：x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0，q ：2x 2－3x －2≥0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解析：令M ＝{x |2x －3x －2≥0} ＝{x |(2x ＋1)(x －2)≥0}⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－12或x ≥2 N ＝{x |x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0}＝{x |(x －a )[x －(a －2)]≥0}⇒{x |x ≤a －2或x ≥a }，已知q ⇒p 且p ⇒/ q ，得M ?N .所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－12，a <2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－12，a ≤2⇔32≤a <2或32<a ≤2⇔32≤a ≤2.即所求a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，2.1．(2013·深圳二模)设x ，y ∈R ，则“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的(A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．“直线与平面α内无数条直线垂直”是“直线与平面α垂直”的(B ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．若等比数列{a n }的公比为q ，则“q >1”是“a n ＋1>a n (n ∈N )”的(D ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：可以借助反例说明：①如数列：－1，－2，－4，－8，…公比为2，但不是增数列；②如数列：－1，－12，－14，－18，…是增数列，但是公比为12<1.4．(2013·东莞二模)已知p ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，q ：a ＝－1，则p 是q 的(A )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件5．已知直线a 、b 和平面α，则a ∥b 的一个必要不充分条件是(D )A ．a ∥α，b ∥αB ．a ⊥α，b ⊥αC ．a ∥α，b ⊂αD ．a 、b 与平面α成等角6．圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点的充要条件是(B ) A ．k ∈(－2， 2) B ．k ∈(－3， 3)C ．k ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．k ∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：本小题主要考查直线和圆的位置关系．依题意知圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点⇔d ＝21＋k 2>1⇔k ∈(－3，3)．7．已知命题p ：不等式x 2＋1≤a 的解集为∅，命题q ：f (x )＝a x (a >0且a ≠1)是减函数，则p 是q 的____________________．解析：命题p 相当于命题：a <1，命题q 相当于：0<a <1.所以，p 是q 的必要不充分条件．答案：必要不充分条件8．已知条件p ：x 2＋x －2>0，条件q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：令A ＝{x |x 2＋x －2>0}＝{x |x >1或x <－2}，B ＝{x |x >a }，∵p 是q 的充分不必要条件，∴B ?A ，∴a ≥1.答案：a ≥19．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件． (1)在△ABC 中，p ：∠A >∠B ，q ：BC >AC ； (2)p ：a ＝3，q ：(a ＋2)(a －3)＝0；(3)p ：a <b ，q ：ab<1.答案：(1)充要条件 (2)充分不必要条件(3)既不充分也不必要条件10．是否存在实数p ，使4x ＋p <0是x 2－x －2>0的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；如果不存在，请说明理由．解析：由x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1， 令A ＝{x |x >2或x <－1}，由4x ＋p <0，得B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－p 4.当B ⊆A 时，即－p4≤－1.即p ≥4，此时x <－p4≤－1⇒x 2－x －2>0，∴当p ≥4时，4x ＋p <0是x 2－x －2>0的充分条件．11．已知p ：－2≤－1－ x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．分析：(1)用集合的观点考察问题，先写出綈p 和綈q ，然后，由綈q ⇒綈p ，但綈p ⇒/綈q 来求m 的取值范围；(2)将綈p 是綈q 的必要不充分条件转化为p 是q 的充分不必要条件再求解． 解析：方法一 由x 2－2x ＋1－m 2≤0， 得1－m ≤x ≤1＋m ，∴綈q ：A ＝{x |x >1＋m ，或x <1－m ，m >0}．由－2≤1－x －13≤2，得－2≤x ≤10，∴綈p ：B ＝{x |x ＞10，或x ＜－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，结合数轴∴A ?B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，解得m ≥9.1＋m ≥10.方法二 ∴綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴綈q ⇒綈p ，且綈p ⇒/ 綈q .∴p ⇒q ，且q ⇒/ p ，即p 是q 的充分不必要条件． 结合数轴∵p ：C ＝{x |－2≤x ≤10}，q ：D ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}∴C ?D ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ≥10，1－m ≤－2，∴m ≥9.所以实数m 的取值范围是{m |m ≥9}．12．求证：关于x 的一元二次不等式ax 2－ax ＋1>0对于一切实数x 都成立的充要条件是0<a <4.证明：ax 2－ax ＋1>0(a ≠0)恒成立 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0⇔0<a <4. ►体验高考 1．(2014·安徽卷)“x <0”是“ln(x ＋1)<0”的(B ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由ln(x ＋1)<0得－1<x <0，故选B. 2．(2014·广东卷)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的(C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B ⇔sin A ≤sin B . 3．(2014·浙江卷)设四边形ABCD 的两条对角线为AC 、BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的(A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．(2014·北京卷)设a 、b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的(D ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．(2013·福建卷)设点P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的(A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若x ＝2且y ＝－1，则x ＋y －1＝0；反之，若x ＋y －1＝0，x ，y 有无数组解，如x ＝3，y ＝－2等，不一定有x ＝2且y ＝－1，故选A.6．设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的(A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件►基础梳理 1．且(and )．(1)定义：一般地，用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作p ∧q .读作“p 且q ”．(2)当p ，q 两个命题都为真命题时，p ∧q 就为真命题；当p ，q 两个命题中只要有一个命题为假命题时，p ∧q 就为假命题．2．或(or )．(1)定义：一般地，用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作p ∨q .读作“p 或q ”．(2)当p ，q 两个命题中，只要有一个命题为真命题时， p ∨q 就为真命题；当p ，q 两个命题都为假命题时，p ∨q 就为假命题．3．非(not )． (1)定义：一般地，对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p .读作“非p ”或“p 的否定”．(2)若p 为真命题时，则綈p 必为假命题；若p 为假命题，则綈p 为真命题．4．复合命题真值表．复合命题的真假可通过真值表加以判断：p q 非p p 或q p 且q 真 真 假 真 真真假假真假假真真真假假假真假假联结词，后确定被联结的简单命题)；(2)判断各个简单命题的真假；(3)结合真值表推断复合命题的真假．5．复合命题的否定．(1)命题的否定：“綈p”是命题“p”的否定，命题“綈p”与命题“p”的真假正好相反．(2)命题(p∧q)的否定：命题(p∧q)的否定是“綈p∨綈q”．(3)命题(p∨q)的否定：命题(p∨q)的否定是“綈p∧綈q”．6．常用词语及其否定．原词语等于大于(＞)小于(＜)是都是否定词语不等于不大于(≤)不小于(≥)不是不都是原词语至多有一个至少有一个至多有n个否定词语至少有两个一个也没有至少有n＋1个原词语任意的任意两个所有的能否定词语某个某两个某些不能1．命题：“不等式(x－2)(x－3)<0的解为2<x<3”，使用的逻辑联结词的情况是(B)A．没有使用逻辑联结词B．使用了逻辑联结词“且”C．使用了逻辑联结词“或”D．使用了逻辑联结词“非”2．命题p与非p(C)A．可能都是真命题B．可能都是假命题C．一个是真命题，另一个是假命题D．只有p是真命题3．若命题p：2是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题中为真的是(C)A．非pB．p且qC．p或qD．非p且非q4．若xy＝0，则x＝0或y＝0；若xy≠0，则x≠0且y≠0(填“且”或“或”)．1．以下判断正确的是(B)A．若p是真命题，则“p∧q”一定是真命题B．命题“p∧q”是真命题，则命题p一定是真命题C．命题“p∧q”是假命题时，命题p一定是假命题D．命题p是假命题时，命题“p∧q”不一定是假命题2．若p、q是两个简单命题，且“p∨q”的否定是真命题，则必有(B)A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真3．若命题p ：不等式ax ＋b >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－b a .命题q ：不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }．则“p ∧q ”，“p ∨q ”，“綈p ”形式的复合命题中的真命题是________． 答案：綈p4．分别写出由下列命题构成的“p ∨q ”，“p ∧q ”，“綈p ”形式的命题，并判断真假． (1)p ：3是无理数，q ：3>1；(2)p ：平行四边形对角线互相平分，q ：平行四边形的对角线互相垂直． 解析：(1)p ∧q ：3是无理数且3>1；真命题． p ∨q ：3是无理数或3>1；真命题．綈p ：3不是无理数；假命题．(2)p ∧q ：平行四边形的对角线互相平分且垂直；假命题． p ∨q ：平行四边形的对角线互相平分或互相垂直；真命题． 綈p ：平行四边形的对角线不互相平分；假命题．5．(1)已知命题p ：2x 2－3x ＋1≤0和命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围；(2)已知命题s ：方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的一根在(0，1)内，另一根在(2，3)内．命题t ：函数f (x )＝ln(mx 2－2x ＋1)的定义域为全体实数．若s ∨t 为真命题，求实数m 的取值范围．解析：(1)对于命题p ：2x 2－3x ＋1≤0，解得12≤x ≤1.对于命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，解得a ≤x ≤a ＋1，∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴綈q ⇒綈p 且綈pD /⇒綈q ，得p ⇒q 且q ⇒/ p .所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12a ＋1≥1解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12a ≥0即0≤9 ≤12所以实数的取值范围是0≤a ≤12.(2)对于命题s ：方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的一根在(0.1)内，另一根在(2，3)内， 设g (x )＝x 2＋(m －3)x ＋m ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧g （0）>0，g （1）＜0，g （2）＜0，g （3）>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1＋m －3＋m <0，4＋2m －6＋m <0，9＋3m －9＋m >0.解得0<m <23.对于命题t ：函数f (x )＝ln(mx 2－2x ＋1)的定义域为全体实数，则有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4－4m <0，解得m >1.又s ∨t 为真命题，即s 为真命题或t 为真命题．故所求实数m 的取值范围为0<m <23或m >1.1．已知命题p ：∅⊆{0}，q ：{1}∈{1，2}，由它们构成的“p ∨q ”，“p ∧q ”和“綈p ”形式的命题中，真命题有(B )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．命题p ：a 2＋b 2<0(a ，b ∈R )；命题q ：a 2＋b 2≥0(a ，b ∈R )，下列结论中正确的是(A ) A ．“p ∨q ”为真 B ．“p ∧q ”为真 C ．“綈p ”为假 D ．“綈q ”为真 3．如果命题“p 且q ”是假命题，“非p ”是真命题，那么(D ) A ．命题p 一定是真命题 B ．命题q 一定是真命题 C ．命题q 一定是假命题D ．命题q 可能是真命题也可能是假命题解析：因为“非p ”是真命题，所以命题p 为假，所以无论q 是真或是假“p 且q ”都是假命题．所以应选D.4．如果命题“綈p ∨綈q ”是假命题，则在下列各结论中，正确的为(A ) ①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧q ”是假命题； ③命题“p ∨q ”是真命题；④命题“p ∨q ”是假命题． A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．①④ 5．(2013·汕头一模)设α、β为两个不同的平面，m 、n 为两条不同的直线，m ⊂α，n ⊂β，有两个命题：p ：若α∥β，则m ∥n ；q ：若n ⊥α，则α⊥β，那么(D )A ．“p 或q ”是假命题B ．“p 且q ”是真命题C ．“非p 或q ”是假命题D ．“非p 且q ”是真命题解析：由已知得，p 是假命题，q 是真命题，则非p 是真命题，故“p 或q ”是真命题，A 错；“p 且q ”是假命题，B 错；“非p 或q ”是真命题，C 错；“非p 且q ”为真命题，D 正确．6．(2013·江门一模)设命题p ：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位得到的曲线关于y 轴对称；命题q ：函数y ＝|3x －1|在[－1，＋∞)上是增函数，则下列判断错误的是(D ) A ．p 为假 B ．綈q 为真 C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真解析：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位得到的图象的函数解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，它是非奇非偶函数，它的图象不关于y 轴对称，故p 是假命题；函数y ＝|3x －1|，由图象可知在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，故q 也是假命题．綈q 为真命题，p ∧q 为假命题，p ∨q 也是假命题，故D 是不正确的．7．命题p ：菱形的对角线互相垂直，则p 的否命题是________________________________________________________________________， 綈p 是________________________________________________________________________．答案：不是菱形的四边形，其对角线不互相垂直 菱形的对角线不互相垂直 8．已知命题p ：(x ＋2)(x －6)≤0，命题q ：－3≤x ≤7，若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则实数x 的取值范围为________．解析：由题条件可知p 与q 一真一假，p 为真命题时，x 满足－2≤x ≤6，∴满足条件的x 的范围是[－3，－2)∪(6，7]．答案：[－3，－2)∪(6，7]9．设有两个命题．命题p ：不等式x 2－(a ＋1)x ＋1≤0的解集是∅；命题q ：函数f (x )＝(a ＋1)x 在定义域内是增函数．如果p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求a 的取值范围．解析：对于p ：因为不等式x 2－(a ＋1)x ＋1≤0的解集是∅，所以Δ＝[－(a ＋1)]2－4<0. 解这个不等式得：－3<a <1.对于q ：f (x )＝(a ＋1)x 在定义域内是增函数， 则有a ＋1>1，所以a >0.又p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题． 所以p 、q 必是一真一假．当p 真q 假时有－3<a ≤0，当p 假q 真时有a ≥1. 综上所述，a 的取值范围是(－3，0]∪[1，＋∞)．10．设p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋14a 的定义域为R ；q ：关于x 的不等式3x －9x <a 对一切正实数均成立．如果“p ∨q ”为真，且“p ∧q ”为假，求实数a 的取值范围解析：若p 为真，即ax 2－x ＋14a >0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－a 2<0，∴a >1. 令y ＝3x －9x＝－⎝⎛⎭⎫3x －122＋14，由x >0得3x >1，∴y ＝3x －9x 的值域是(－∞，0)．∴若q 为真，则a ≥0.由“p ∨q ”为真，且“p ∧q ”为假，知p ，q 一真一假． 当p 真q 假时，a 不存在；当p 假q 真时，0≤a ≤1. 综上，a 的取值范围是[0，1]． ►体验高考 1(2014·湖南卷)已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是(C ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 2．(2013·湖北卷)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(A )A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q解析：命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”．选A.或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降在指定范围”的否命题，即“p ∧q ”的否定．选A.3．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是(C )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∨q 为假D ．p ∧q 为真。