高二数学上学期创高杯竞赛试题

高中数学竞赛试题一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数\( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)，求\( f(-1) \)的值。

A. 0B. -8C. -6D. 12. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = a_n + 2n \)，求\( a_3 \)的值。

A. 7B. 9C. 11D. 133. 若圆\( (x-3)^2 + (y-4)^2 = 25 \)与直线\( 2x + 3y - 6 = 0 \)相切，求圆心到直线的距离。

A. 5B. 10C. 15D. 204. 已知三角形ABC的三个内角A、B、C的度数分别为40°、60°和80°，求\( \sin B \)的值。

A. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)B. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C. \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)D. \(\frac{1}{2}\)二、填空题（每题5分，共20分）5. 若\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{5}{6} \)，\( a \)和\( b \)为正整数，求\( a + b \)的值。

6. 已知等差数列\( \{c_n\} \)的首项为2，公差为3，求第10项\( c_{10} \)的值。

7. 已知函数\( g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求\( g(2) \)的值。

8. 若正六边形的边长为1，求其外接圆的半径。

三、解答题（每题15分，共60分）9. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)。

10. 解不等式：\( |x-2| + |x+3| > 8 \)。

11. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a > b > 0 \)，求椭圆的焦点坐标。

高中数学竞赛赛题精选(带答案)高中数学竞赛是中学生竞赛中最重要的一部分，它不仅需要智力，还需要充分发挥数学能力和思维能力。

以下是一些高中数学竞赛赛题的精选和解答。

1. 设$a_n=x^n$+5的前n项和为S(n)，求S(n+1)-S(n)的值。

解：S(n+1)-S(n)=(x^n+1+5)-(x^n+5)=(x^n+1)-(x^n)=x^n(x-1)。

由于$a_n=x^n+5$，所以S(n)=a_0+a_1+...+a_n=（x^0+5）+（x^1+5）+...+（x^n+5）=（x^0+x^1+...+x^n）+5(n+1)，因此S(n+1)-S(n)=x^n(x-1)=(S(n+1)-S(n)-5(n+2))/(x^0+x^1+...+x^n)。

2. 已知函数f(x)=sin(x)+cos(x)，0≤x≤π/2，求f(x)在[0,π/4]上的最小值。

解：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，当0≤x≤π/4时，x+π/4≤π/2，sin(x+π/4)不小于0，因此f(x)的最小值由sin(x+π/4)的最小值决定。

sin(x+π/4)的最小值为-√2/2，因此f(x)的最小值为-1。

3. 已知正整数n，设P(n)是n的质因数分解中所有质因数加起来的和，Q(n)是n的数字分解中所有数位加起来的和。

给定P(n)+Q(n)=n，求最小的n。

解：P(n)的范围是2到9×log_10n之间，因此可以枚举P(n)和Q(n)，判断它们之和是否等于n。

当P(n)取到最小值2时，Q(n)的最大值为9log_10n，因此n的最小值为11。

4. 已知函数f(x)=2cos^2x-3cosx+1，x∈[0,2π]，求f(x)的最小值。

解：由于f(x)=2cos^2x-3cosx+1=2(cosx-1/2)^2-1/2，因此f(x)的最小值为-1/2，且取到最小值的x为0或2π。

5. 已知正整数n，求使得3^n的末2位是9的最小正整数n。

湖南省邵东县创新实验学校2020-2021学年高二数学上学期创高杯竞赛试题时量120分钟 总分150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．（5分）若131a 2⎛⎫= ⎪⎝⎭，13b log 2=，12c log 3=，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b a c <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<2．（5分）在等比数列{}n a 中，121a a =，369a a =，则24a a =（ ） A ．3B ．3±C 3D ．3±3．（5分）设命题1:()p f x x =在定义域上为减函数；命题:()cos()2q g x x π=+为奇函数，则下列命题中真命题是( ) A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝4．（5分）下面命题正确的是 A ．若0x ≠，则12x x+≥B ．命题“0x R ∃∈，2000x x -≤”的否定是“x R ∃∈，20x x ->”C ．若向量a ，b 满足0a b ⋅<，则a 与b 的夹角为钝角D ．“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件 5．（5分）在ABC △中, 3sin 2B =,1AB =,3BC =,则AC =（ ） A 7B ．2C ．3D 116．（5分）已知点P 为抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是,B A 点坐标为()3,4-，则+PA PB 的最小值是（ ）A ．5B ．4C ．5D ．2517．（5分）已知双曲线的一个焦点与圆2260x y x +-=的圆心重合，且其渐近线的方程为2y x =，则该双曲线方程为（ ）A．2212yx-=B．22136x y-=C．2212xy-=D．22136y x-=8．（5分）如图，某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A3B23C3D．39．（5分）已知α，β是两个不重合的平面，直线aα⊂，:p aβ，:qαβ，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）若x，y满足20,220,2,x yx yy--≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩则3x y+的最小值为（）A．2 B．10 C．4 D．811．（5分）以下命题正确的个数是（）①“1x>”是“12log(2)0x+<”的充分不必要条件②命题“20000,10x x x∃>+-<”的否定是“20,10x x x∀≤+-≥”③如果关于x的不等式|3||4|x x a-+-<的解集不是空集，则a的取值范围是(1,)+∞④命题“在ABC△中，若A B>，则sin sinA B>”的逆命题为假命题A．0 B．1 C．2 D．312．（5分）意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,，即()()()()()121,12F F F n F n F n===-+-()3,n n N*≥∈，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2019项的和为（ ） A ．672 B ．673C ．1346D ．2019第II 卷（非选择题)二、填空题13．（5分）《九章算术》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道数学问题：“今有勾八步，股十五步。

高二数学试题一,选择题(每题5分)1.在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是 ( )(A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －1212.若(1-2x )9展开式的第3项为288，则∞→n lim (n xx x 1112⋯++)的值是 ( ) （A ）2 （B ）1 （C ）21 （D ）52 3.整数组﹛X1,X2,X3,X4﹜适合0<X1≤X2≤X3≤X4<7,这样的数组共有 ( )（A ）108组 （B ）126组 （C ）252组 （D ）64组4.今有壹角币1张角,贰币1张,伍角币1张,一元币4张, 伍元币2张,用这些纸币任意付款, 则可付出不同数额的款子共有 ( )（A ）30种 （B ）29种 （C ）120种 （D ）119种5.有十二面的骰子上,数字1,2,3,4各标两面,数字5,6,7,8各标一面.观察发现骰子的12面的各面出现的概率是相同的,这个十二面骰子两次落下的结果总和是6的概率是( )(A) 1/9 (B) 5/114 (C )1/6 (D) 1/126. 0.9910的第1位小数为n 1, 第1位小数为n 2, 第1位小数为n 3, 则n 1 n 2, n 3, 分别是( )(A) 9 4 0 (B) 9 0 4 (C) 9 2 0 (D) 9 0 27, 设f(x)是定义在R 上的奇函数,当x>0时, f ，(x)>0,且f(-3)=0.则不等式xf(x)>0的解集是 ( )（A ）(-3,0)U(3,+∞) （B ）(-3,0)U(0,3)（C ）（-∞,3)U(3,+∞) （D ）（-∞,3)U(0,3)二,填空题(每题5分)8．湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm 的空穴，则该球的半径为___________.9．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中， 第________左至右第14与第15个数的比为3:2.第0行 1第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1…… …… ……10.方程1234567891023x x x x x x x x x x +++++++++=的非负整数解共有_____组11.如果从数1,2,…，14中，按从小到大的顺序取出a 1,a 2,a 3,使同时满足a 2-a 1≥3与 a 3-a 2≥3,那么所有符合上述要求的不同取法共有__________种.12.如图,1, 2, 3表示开关,并且各开关开的概率均为p, 各开关互相独立.求A 到B 是通路的概率__________.三,解答题(每题10分)13. 已知0,,,1)1(3)(123<∈+++-==m R n m nx x m mx x f x 其中的一个极值点是函数（1）求m 与n 的关系表达式；（2）当)(,]1,1[x f y x =-∈函数时的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围。

高中数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数不是有理数？A. πB. √2C. 1/3D. -3.142. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，求f(-2)的值。

A. -1B. 3C. 5D. 73. 一个圆的半径为5，它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求第5项的值。

A. 11B. 13C. 15D. 175. 以下哪个是二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的根？A. 2B. 3C. -2D. -3二、填空题（每题4分，共20分）6. 一个三角形的内角和为______度。

7. 若a，b，c是三角形的三边，且a^2 + b^2 = c^2，则此三角形是______三角形。

8. 一个正六边形的内角为______度。

9. 将一个圆分成4个扇形，每个扇形的圆心角为______度。

10. 若sinθ = 1/2，且θ在第一象限，则cosθ = ______。

三、解答题（每题10分，共65分）11. 证明：对于任意实数x，等式e^x ≥ x + 1成立。

12. 解不等式：2x^2 - 5x + 3 > 0。

13. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，求前n项和Sn。

14. 求函数y = x^3 - 3x^2 + 2x的极值点。

15. 已知椭圆的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1（a > b > 0），求椭圆的焦点坐标。

四、附加题（10分）16. 一个圆内接正六边形的边长为a，求圆的半径。

答案一、选择题1. A2. B3. B4. C5. A二、填空题6. 1807. 直角8. 1209. 9010. √3/2三、解答题11. 证明：设g(x) = e^x - (x + 1)，则g'(x) = e^x - 1。

当x < 0时，g'(x) < 0，当x > 0时，g'(x) > 0。

高二数学竞赛试题及答案高二数学竞赛模拟试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.AF1.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不BE同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量OA共线的向量共有( )A.2个B. 3个C.6个D. 7个213CD2.若(3a -2a) n 展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是( )A.4B.5C. 6D. 83. 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为( )3311A. 20B. 10C. 20D. 104.抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=-3，则这条抛物线的焦点坐标是( )A.(3，0)B.(2，0)C.(1，0)D.(-1，0)5.已知向量m=(a，b)，向量n⊥m，且|n|=|m|，则n的坐标可以为( )A.(a，-b)B.(-a，b)C.(b，-a)D.(-b，-a)6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是( )DCAB A B③②①④111A.①④B.②③C.②④D.①②7.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A.36种B.48种C.72种D.96种8.已知直线l、m，平面?、β，且l⊥?,m?β.给出四个命题：(1)若?∥β,则l⊥m;(2)若l⊥m,则?∥β;(3)若?⊥β,则l∥m;(4)若l∥m,则?⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.29.已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2，+∞)上递增，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞，4)B.(-4，4]C.(-∞，-4)∪[2，+∞)D.[-4，2)10.4名乘客乘坐一列火车，有5节车厢供他们乘坐。

假设每个人进入各节车厢是等可能的，那么这4名乘客分别在不同车厢的概率为( )A54A54A44A44 A、4 B、4 C、5 D、5 5544二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在题中横线上.11.从?a?b?的二项展开式的各项中任取两项，这两项中至少有一项含有的二项式系1 7数的概率为。

高二数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 5 \)，则\( f(-1) \)的值为多少？A. 12B. 10C. 8D. 62. 已知圆的半径为5，圆心在原点，求圆上一点到原点的距离最远是多少？A. 10B. 5C. 15D. 203. 一个等差数列的前三项分别为2，5，8，求这个数列的第20项是多少？A. 47B. 49C. 52D. 554. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度？A. 5B. 6C. 7D. 85. 已知\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，求\( \cos(\alpha) \)的值（假设\( \alpha \)在第一象限）？A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. \( -\frac{3}{5} \)6. 一个函数\( g(x) \)满足\( g(x) = x^2 + 2x + 3 \)，求\( g(-1) \)的值？A. 1B. 3C. 5D. 7二、填空题（每题5分，共20分）7. 已知\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)的根，求\( a + b \)的值。

______（答案：-5）8. 一个数列的前五项为1, 1, 2, 3, 5，这个数列是斐波那契数列，求第10项的值。

______（答案：55）9. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，求这个三角形的面积。

______（答案：6）10. 已知\( \tan(\beta) = 2 \)，求\( \sin(\beta) \)的值。

______（答案：\( \frac{2\sqrt{5}}{5} \)）三、解答题（每题25分，共50分）11. 证明：对于任意实数\( x \)，不等式\( e^x \ge x + 1 \)恒成立。

创新数学大赛高中试题在数学的海洋中，创新是推动知识前行的风帆。

今年的高中创新数学大赛，旨在激发学生们对数学的热爱和探索精神。

以下是一些精心设计的试题，它们不仅考验学生的数学基础，更挑战他们的创新思维和解决问题的能力。

试题一：几何图形的变换在平面直角坐标系中，给定一个由四个点A(1,2), B(3,4), C(5,1), D(2,0)组成的四边形ABCD。

现在需要通过旋转和平移操作，将这个四边形变换到一个新的位置，使得它的对角线相交于坐标系的原点。

请给出具体的旋转角度和平移向量。

试题二：函数的极限探索考虑函数f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1)。

当x趋近于1时，求f(x)的极限。

并证明你的结论。

试题三：概率与统计在一个班级中，有50名学生，他们的成绩分布如下：20名学生成绩在60-69分之间，15名学生成绩在70-79分之间，10名学生成绩在80-89分之间，5名学生成绩在90-99分之间。

假设成绩分布是均匀的，计算这个班级的平均成绩和标准差。

试题四：数列与级数给定一个数列：a1 = 2, a2 = 3, a3 = 5, ...，其中an = an-1 + an-2（对于n > 2）。

求这个数列的第20项。

试题五：组合数学问题在一个有100个座位的电影院里，有10个不同的电影可供选择。

如果每个座位可以独立选择播放的电影，不考虑座位是否被占用，计算总共有多少种不同的电影播放组合。

试题六：线性代数与矩阵给定一个3x3的矩阵A：\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0\end{{bmatrix} } \]求矩阵A的特征值和对应的特征向量。

试题七：拓扑学初步考虑一个平面上的简单闭曲线，它将平面划分为内部和外部两个区域。

如果在这个曲线上添加一个点，使得这个点与曲线上的其他点不重合，这个新的图形能否将平面划分为三个区域？请给出你的解释。

高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列哪个数不是无理数？A. πB. √2C. √3D. 0.33333（无限循环）答案：D2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2x)的值。

A. 4x^2 - 16x + 16B. 4x^2 - 12x + 12C. 4x^2 - 8x + 4D. 4x^2 - 4x + 4答案：C3. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定答案：B4. 一个圆的半径为3，求其内接正六边形的边长。

A. 3√3B. 6C. 2√3D. 3答案：A5. 已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，求第10项a10的值。

A. 29B. 32C. 35D. 38答案：A6. 根据题目所给的函数f(x) = 2x - 1，求f(x+1)的值。

A. 2x + 1B. 2x + 3C. 2x - 1D. 2x - 3答案：A7. 若x^2 - 5x + 6 = 0，求x的值。

A. 2, 3B. -2, -3C. 2, -3D. -2, 3答案：A8. 已知一个等比数列的首项a1=3，公比q=2，求第5项a5的值。

A. 48B. 96C. 192D. 384答案：A9. 一个圆的直径为10，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π答案：B10. 已知一个二次方程x^2 + 8x + 16 = 0，求其根的判别式Δ。

A. 0B. 64C. -64D. 16答案：A二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）11. 若一个数列{an}是等差数列，且a3 = 7，a5 = 13，求a7的值。

答案：1912. 已知一个函数y = x^3 - 3x^2 + 2x，求其一阶导数dy/dx。

答案：3x^2 - 6x + 213. 一个长方体的长、宽、高分别是2，3，4，求其表面积。