浙江省苍南县“姜立夫杯”2018年高二上学期数学竞赛试卷 Word版含答案

2 f (1) 1 a b f (0) b ，所以 f (1) 1 a b 1，
解得 a 1 . （2）当 0 a 1 时，即 1 a 0 ，此时函数 f (x) 的最值在抛物线的顶点和右端点取得，而对
22 b 0 有 f (1) 1 a 1， f ( a ) a2 1 .
24 （3）当 1 a 1时，即 2 a 1，此时函数 f (x) 的最值在抛物线的顶点和左端点取得，而对
22 b 0 有 f (0) b 1 ， f ( a ) a2 1 .
24 （4）当 a 1 时，即 a 2 ，此时函数 f (x) 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意 b 1有
2018
13.设实数
x1
，
x2
，…，
x2018
满足
x2 n1

xn xn2 (n

1,
2, ,
2016)
和
xn 1，证明： x x 1009 1010 1.
n1
14.将 2n(n 2) 个不同整数分成两组 a1 ， a2 ，…， an ； b1 ， b2 ，…， bn .证明
．
8.设 f (x) x 1 x x 2 ，则 f ( f (x)) 1 0 有
个不同的解．
9.设 x, y R 满足 x 6 y 4 x y 12 0 ，则 x 的取值范围为
．
10.四面体 P ABC ， PA BC 6 ， PB AC 8 ， PC AB 10 ，则该四面体外接球的半径
2 f (0) b 1 ，所以 f (1) 1 a b 1，解得 a 3 .

高二数学竞赛试题及答案高二数学竞赛模拟试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.AF1.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不BE同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量OA共线的向量共有( )A.2个B. 3个C.6个D. 7个213CD2.若(3a -2a) n 展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是( )A.4B.5C. 6D. 83. 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为( )3311A. 20B. 10C. 20D. 104.抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=-3，则这条抛物线的焦点坐标是( )A.(3，0)B.(2，0)C.(1，0)D.(-1，0)5.已知向量m=(a，b)，向量n⊥m，且|n|=|m|，则n的坐标可以为( )A.(a，-b)B.(-a，b)C.(b，-a)D.(-b，-a)6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是( )DCAB A B③②①④111A.①④B.②③C.②④D.①②7.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A.36种B.48种C.72种D.96种8.已知直线l、m，平面?、β，且l⊥?,m?β.给出四个命题：(1)若?∥β,则l⊥m;(2)若l⊥m,则?∥β;(3)若?⊥β,则l∥m;(4)若l∥m,则?⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.29.已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2，+∞)上递增，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞，4)B.(-4，4]C.(-∞，-4)∪[2，+∞)D.[-4，2)10.4名乘客乘坐一列火车，有5节车厢供他们乘坐。

假设每个人进入各节车厢是等可能的，那么这4名乘客分别在不同车厢的概率为( )A54A54A44A44 A、4 B、4 C、5 D、5 5544二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在题中横线上.11.从?a?b?的二项展开式的各项中任取两项，这两项中至少有一项含有的二项式系1 7数的概率为。

|m|
l
O
O
l
1√
= 1.
5
1+ k2
y = kx + m
A(x1, y1), B(x2, y2)
x2 + 9y2 − 9 = 0
(1 + 9k2)x2 + 18kmx + (9m2 − 9) = 0
第3页
(
)
18km
9km m
x1 + x2 = − 1 + 9k2
AB
(
− 1 +)9k2 , 1 + 9k2 .
f (x) = −2
x = −1 f (x) = 0
1
x = −3, x =
3
3
9. x, y ∈ R
x
−
6√y
−
√ 4x
−
y
+
12
=
0
x
√
√
答案 14 − 2 13 ≤ x ≤ 14 + 2 13.
解析
x
−
6√y
−
√ 4x
−
y
+
12
=
0
⇒
√ (x
−
y
−
2)2
+
(√y
−
3)2
=
1
.
. . √ x − y − 2 = cos θ
1≤i≤n,1≤j≤n
1≤i<j≤n
证明
∑
∑
Tn =
|ai − bj| −
(|aj − ai| + |bj − bi|)
1≤i≤n,1≤j≤n
1≤i<j≤n

2018年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试题参考答案二、填空题9、(1,1)- 10、2004 11 12 13、0x =14、10a -<< 三、解答题15、解：设l 方程为1(1)y m x -=--，则1(1,0)P m +，(0,1)Q m +-----------------1分 从而可得直线PR 和QS 的方程分别为120m x y m+--=和22(1)0x y m -++=--------2分 又||PRQS，11|221|32||m m RS +++++∴== 又22|||PR QS +==-----------------------------------------------------------------------5分 所以四边形PRSQ 的面积为：2123212PRSQ m S +++==21191()5480m m ++--------------------------------8分 219118(2)54805≥+-=。

所以四边形PRSQ 面积的最小值为185--------------------------------------------------------------10分16、解：设椭圆的离心率为e ，则1||MF e d=，即1||MF de =，--------------------------1分 又12||||2MF MF a +=，所以2||2MF a de =-，---------------------------------------3分由题意可得212||||MF d MF =，所以22(2)d e d a de =-，故22a d e e=+，------5分 由d 不小于左顶点到左准线的距离且不大于右顶点到左准线的距离，即2222222112a a a a a e e ca d a e c c a a ae e c⎧≥-⎪⎪+-≤≤+⇒⇒≤<⎨⎪≤+⎪+⎩-----------------------------9分 11e ≤<时，符合条件的点M 存在， 当01e <<时，点M 不存在。

n
n
n
n
∑ ∑ ∑ ∑ T= n+1
bn+1 − ai + an+1 − bi − an+1 − ai − bn+1 − bi + bn+1 − an+1 + Tn
解得 a ≥ 1。………………………………………………………………10 分
（2）当 0 < − a ≤ 1 时，即 −1 ≤ a < 0 ，此时函数 f (x) 的最值在抛物线的顶点和右 22
端点取得，而对 b = 0 有 f (1) = 1 + a < 1, f (− a ) = −a2 < 1。
x≤0 x≤2
由 f ( f (x)) +1 =0 得 到
x + 3, x > 2
f (x) = −2, 或 f (x) = 0 。 由 f (x) = −2, 得 一 个 解 x = −1 ； 由 f (x) = 0 得 两 个 解
x = −3, x = 1 ，共 3 个解。 3
9. 设 x, y ∈ R 满足 x − 6 y − 4 x − y +12=0 ，则 x 的取值范围为 ______________。 解 由 x − 6 y − 4 x − y +12=0 ⇒ ( x − y − 2)2 + ( y − 3)2 =1。令
−
2018 4
=5 16
(52018
− 1)
−
2018 4
=52019 16
−
8077 16
。
3.
已知α , β
∈

3π 4
,π

， cos(α

2020年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案） 1.已知集合{}2|1A x y x ==-，集合{}2|1B y y x ==-，则A B =（）A ．φB ．{}|1x x ≥C ．{}|0x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2．函数x a x x f cos sin )(+=的图象关于直线6π=x 对称，则实数a 的值是（ ）A ．21B ．2C ．23D ．33．设3log 2a =，5log 2b =，1()3c π-=，则（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>4．如图，已知正四面体A BCD -中，E 为棱CD 的中点，F 为棱BC 上的动点，则cos EAF ∠的最大值为（） A ．23B ．63C ．73D ．335．已知函数()||f x x x =，若存在[)1,x ∈+∞，使得(2)0f x k k --<，则k 的取值范围是（）A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．1(,)2+∞D ．1(,)4+∞6．在面积为2的ABC ∆中，,E F 分别是,AB AC 的中点，点P 在直线EF 上，则2PC PB BC +的最小值是（）A ．1B ．2C ．23D ．437．如图，圆C 与x 轴相切于点T （1，0），与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且|AB |＝4．三角形AMN ∆的另外两个顶点,M N 恰好在圆O ：x 2+y 2＝1上，则||||||||NA MB NB MA +的值为（ ） A ．25B ．52-C ．52+D ．2558．设[]x 为不超过x 的最大整数，n a 为[][)(0,)x x x n ⎡⎤∈⎣⎦可能取到所有值的个数，n S 是数列121n a n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭前n 项的和，则下列四个结论中正确的个数为（ ）① 2020是数列{}n a 中的项 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.）9．已知函数212()log (45)f x x x =--，则函数()f x 的单调递减区间为_____________.10．已知(3,4),(1,2)a b ==-，则|2|a b +=___________.11．对任意的实数,a b ，直线()()(22)0a b x b a y a b ++-++=恒经过的一个定点的坐标是___________.12．已知函数()2221f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是．13．已知实数,,a b c 满足2a b c ++=，2224a b c ++=，且a b c >>，则a 的取值范围是_____________.14．定义()S n 为正整数n 的各位数字之和，例如(2020)20204S =+++=，当10009999n ≤≤时，()nS n 的最小值为___________. 三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知函数x x x x f cos sin sin 3)(2⋅+=.(1) 求函数)(x f 的最小正周期；(2) 求函数)(x f 在],0[π的单调递增区间和最大值.16．已知实数0a >，关于x 的方程2|1|x ax bx -+=恰有三个不同的实数根123,,x x x .且123x x x <<；(1) 当2b =时，求实数a 的值；(2) 记函数2()|1|f x x ax bx =-++，证明：132()()2()f x f x f x +>.17．已知11111211,1,,14n n n n n n n n nb a b a a b bc b a b +++==-===+-，， 记n S 为数列{}n c 的前n 项和. (1) 求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2) 证明：11.n nS a <- 2020年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二答题卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9.________________10.________________11.________________ 12.________________ 13.________________ 14.________________三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知函数x x x x f cos sin sin 3)(2⋅+=.(1)求函数)(x f 的最小正周期；(2)求函数)(x f 在],0[π的单调递增区间和最大值.16．已知实数0a >，关于x 的方程2|1|x ax bx -+=恰有三个不同的实数根123,,x x x .且123x x x <<；(1)当2b =时，求实数a 的值；(2)记函数2()|1|f x x ax bx =-++，证明：132()()2()f x f x f x +>.17.已知11111211,1,,14n n n n n n n n nb a b a a b bc b a b +++==-===+-，， 记n S 为数列{}n c 的前n 项和. (1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)证明：11.n nS a <- 2018年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试题参考答案一、 选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9.___()5,+∞_______10.____11.___()2,0-______ 12.____(],2-∞-____13._____4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭____ 14.______109919__________ 三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知函数x x x x f cos sin sin 3)(2⋅+=.(1)求函数)(x f 的最小正周期；(2)求函数)(x f 在],0[π的单调递增区间和最大值.16．已知实数0a >，关于x 的方程2|1|x ax bx -+=恰有三个不同的实数根123,,x x x .且123x x x <<；(1)当2b =时，求实数a 的值；(2)记函数2()|1|f x x ax bx =-++，证明：132()()2()f x f x f x +>.解：1(1)0,||2x x a x>+-=由题意知，恰有三个不同实数根， 12x a x ∴+-=有两个不同实数根，12x a x +-=-恰有一个实数根，4a ∴=211111(2)|1|,()2,x ax bx f x bx -+=∴=同理，2233()2,()2,f x bx f x bx ==要证明132()()2()f x f x f x +>，只要证：1322x x x +>，由题意知：20,0,00,10b x x a x ax <<<>∴-+>若则而当时，21x ax bx -+=不存在三个实数根，0b ∴> 2x 是方程21x ax bx -+=-的唯一实数根，22()40,2,21a b a b a b x ∴∆=--=∴=+=-∴=（舍去）13,x x 是方程21x ax bx -+=的两个不等实根，131x x ∴=1322x x x ∴+>=，132()()2()f x f x f x ∴+>成立。

2018年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案）1．若函数()2log 1a y x ax =-+有最小值，则a 的取值范围是 （ ）A.01a <<B.02,1a a <<≠C.12a <<D.2a ≥2. 设)2008sin(sin 0=a ，)2008sin(cos 0=b ，)2008cos(sin 0=c ，)2008cos(cos 0=d ,则d c b a ,,,的大小关系是 （ ）Ａ.d c b a <<< Ｂ.c d a b <<< Ｃ.a b d c <<< Ｄ.b a c d <<<3．函数()f x 是(0,)+∞上的单调递增函数，当*n N ∈时，*()f n N ∈，且[()]3f f n n=，则(1)f的值等于 （ ） A.1 B.2 C.3 D.44．5名志愿者随意进入3个不同的奥运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为 （ ） A.53 B.151 C.85 D.81505．已知圆4)3(22=+-y x 和过原点的直线kx y =的交点为P 、Q ，则|OP|·|OQ|的值为（ ）A.215k+ B.21k + C.10 D.5 6．已知()122007122007f x x x x x x x =+++++++-+-++- （x ∈R ），且2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的值有 （ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个7. 设函数1463)(23+++=x x x x f ，且1)(=a f ，19)(=b f ，则=+b a （ ）A.2B.1C.0D.2-8．连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于72和34，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N ③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为1其中真命题为 （ ） A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9．已知平面上三个点A 、B 、C 满足||3,||4,|A B B C C A ===，则···A B B C B C C A C A A B++=____________. 10．右图的发生器对于任意函数()x f ，D x ∈可制造出一系列的数据，其工作原理如下：①若输入数据D x ∉0则发生器结束工作；②若输入数据D x ∈0时，则发生器输出1x ，其中()01x f x =，并将1x 反馈回输入端.定义()12+=x x f ,)50,0(=D .若输入10=x ,那么当发生器结束工作时,输出数据的总个数为 .11．已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 .12． 从m 个男生，n 2个人当组长，假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．若A 的概率和B 的概率相等，则(),m n 的可能值为 ． 13．若关于,x y 的方程组22110ax by x y +=⎧⎨+=⎩有解，且所有的解都是整数，则有序数对(),a b 的数目为 .14．已知数列}{n a 满足10a =，),2,1(1211 =+++=+n a a a n n n ，则n a =___ .三、解答题（本大题共3小题，第15题8分，第16、17题各12分,满分32分. 要求写出必要的解答过程）15．已知函数()a x x x x f ++=2cos cos sin 3（a 为常数）． （Ⅰ）求函数()x f 的最小正周期，并指出其单调减区间；（Ⅱ）若函数()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，　上恰有两个x 的值满足()2=x f ，试求实数a 的取值范围．16．已知数列{}n a 中11a =，.关于x 的方程21sin(cos )(21)sin10n n x a x a +-++=有唯一解． (１) 求数列{}n a 的通项公式；(２) 设n n b na =,求数列{}n b 的前n 项和n s ； (３) 设21[1]log (1)n n n c a =++，求证：3n c <．17．是否存在一个二次函数)(x f ，使得对任意的正整数k ，当 5555个k x =时，都有52555)(个k x f =成立？请给出结论，并加以证明．。

2018年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高 二 试 题命题人：薛祖坚一、选择题（每小题5分，共40分）1、动点P 在抛物线26y x =-上运动,定点(0,1)A ，线段PA 中点的轨迹方程是( )．A 、2(21)12y x +=-B 、2(21)12y x +=C 、2(21)12y x -=-D 、2(21)12y x -=2、实数x 、y 满足不等式组010,1220y y x y x x y ω≥⎧-⎪-≥=⎨+⎪--≥⎩，则有( )A 、113ω-≤≤B 、1123ω-≤≤C 、12ω≥-D 、112ω-≤<3、直线y x m =+与抛物线22x y =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且0OA OB ⋅= ，则m 的值等于( )A 、1B 、－1C 、2D 、－24、在圆22(3)(5)2x y -+-=的切线中，在两坐标轴上截距绝对值相等的直线共有（ ）A 、4条B 、5条C 、6条D 、8条 5、方程(1)(1)1(0)x y x +-=≠表示的曲线关于（ ）对称.A 、y x =B 、2y x =+C 、y x =-D 、(1,1)-6、平面直角坐标系中,横、纵坐标都是整数的点称为整点。

那么满足不等式22(||1)(||1)2x y -+-<的整点(,)x y 的个数为( )个.A 、16B 、17C 、18D 、257、已知()(2005)(2006)f x x x =-+的图象与x 轴、y 轴有3个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是（ ） A 、(0,1) B 、(0,2) C、 D、 8、设,,x y z 都是正数，则2222xy yzx y z +++的最大值为（ ）A 、1B 、2 C、2 D、59、不论,a b 为何值，直线0ax by a b +-+=过定点______________________. 10、若函数()f x 满足()()(),f a b f a f b +=且(1)1f =,则(2)(3)(2005)(1)(2)(2004)f f f f f f +++的值等于__________________.11、若P 是双曲线2213x y -=的右支上的动点，F 是双曲线的右焦点，已知(3,1)A ，则||||PA PF +的最小值是_____________________________. 12、正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11()2n n nS a a =+，则该数列的通项公式n a =__________ 13、方程221(1)cos2202x x x x--++--=的解为____________________. 14、如果关于x 的不等式|||||1|x a x x -<++的解集为一切实数，那么实数a 的取值范围是_____________________答题卷一、选择题（每小题5分，共40分）二、填空题（每小题5分，共30分）9、_________________ 10、__________________ 11、____________________12、________________ 13、__________________ 14、____________________15、已知过点(1,1)A 且斜率为(0)m m ->的直线l 与,x y 轴分别交于点,P Q ，过,P Q 作直线20x y +=的垂线，垂足为,R S . 求四边形PRSQ 面积的最小值。

参考答案1．18【解析】sin10sin50sin70︒︒︒=000001sin80sin10cos10cos20cos4018sin10cos20cos40cos10cos108===2．8【解析】由f(x)=x 2−1，得f ′(x)=2x ，则x n+1=x n −x n2−12x n =x n2+12x n，所以x n+1−1==(x n −1)22x n，x n+1+1==(x n +1)22x n，所以x n+1−1x n+1+1=(x n −1)2(x n+1)2，所以ln xn+1−1x n+1+1=ln (x n −1)2(x n+1)2＝2ln x n −1x n+1，即，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，则．3．{}1,0-【解析】当()0,12x ∈时， ()1212x f x x -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=1200x -⎡⎤⨯=⎢⎥⎣⎦当[)12,20x ∈时， ()1212x f x x -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=()111⨯-=- 所以值域为{}1,0-4．1322i -± 【解析】由题意可设(),,,0,x yi x y R y x yi αβ=+∈≠=- ，由2R αβ∈得()()232322303x yi x yi R x y y y x x yix y++=∈⇒-=⇒=±-+所以αβ= ()()2222234x xi x yi x yi x yi x y x ±++===-+ 1322i -± 5．【解析】 【分析】 由正弦定理得，，由此能sinβ，cosβ，tanα＝sin∠BAC＝sin（α+β）得cosα，sinα，从而得到cos∠BAC，由此利用余弦定理能求出BC．【详解】∵在△ABC中，AB＝2，AC＝4，是的中点，记∠CAD＝α，∠BAD＝β，∴，，∴sin，sin＝CD sin∠ADC，∵BD＝CD，sin∠ADB＝sin∠ADC，∴sinα：sinβ＝：CD sin∠ADC2：1．即得sinβ，cosβ，∴tanα＝sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝sinα，∴，∴cos2α+cosα2，解得cosα，或cosα（舍），sinα，∴sin∠BAC，cos∠BAC，∴BC．故答案为．【点睛】本题考查三角形边长的求法，解题时要认真审题运算，注意正弦定理和余弦定理的合理运用,是中档题. 6． 【解析】 【分析】如图建立空间坐标系，利用长度关系明确P 点坐标，借助向量夹角公式得到结果. 【详解】,设∵∴,故答案为：【点睛】本题以棱锥为背景，考查角的大小的度量，考查空间坐标法，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题. 7．223x y +=【解析】设点P 为()11,x y ，则1l 方程为()11y y k x x -=- ，与2212x y +=联立方程组得()()()2221111124220k x k y kx x y kx +--+--= ，所以()222111102210k x kx y y ∆=⇒--+-= ，由题意得()22211112210k x kx y y --+-=的两根乘积为-1，所以222111211132y x y x -=-⇒+=-，当1l 的斜率不存在时也满足，因此点P 轨迹方程为223x y += 8．()2,4【解析】设直线方程x ty m =+ ,与抛物线方程联立得()22440160y ty m t m --=∴∆=+>中点()2222,2,13230MC l M t m t k k m t t +=-∴=-∴->当0t = 时,显然有两条直线满足题意,因此0t ≠时,还有两条直线满足题意,即()2,4r ==点睛：解析几何范围问题，一般解决方法为设参数，运用推理，将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，然后直接推理、计算，并在计算推理的过程中列不等关系，从而得到取值范围． 9．165【解析】由题意得22112t at b a b t t ⎛⎫⎛⎫+++++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即][()22211120,2,,22,4t a t b b u au u t u t t t ⎛⎫⎛⎫++++=∴-=+=+∈-∞-⋃+∞⇒≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此224a b +()()()()246422342222414112121141u u u u u a au u u u u u+-=+++≥==++-+++ 116142145≥++-=+ 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10．32,e e --（）【解析】令()()()()23,xxf x f xg xh x ee==，则()()()()()()23230,0xxf x f x f x f xg xh x e e --=>=''<'()()()()220162201732016320172016201720162017,f f f f e e e e ⨯⨯⨯⨯∴()()()()2320162016,,20172017f f e e f f --∴即()()20162017f f 的范围是32,e e --（）点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e=，()()0f x f x '+<构造()()xg x e f x =， ()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x +<'构造()()g x xf x =等11．【解析】试题分析：()1由柯西不等式得()2333b c a ab bc ac a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭⎭，再次代入得a b c ==时，取等号()2由（1）知， a b c ==时， 0∆=，此时()f x 仅有一个零点；当a b c 、、不全相等时， 0∆<，此时()f x 零点个数为0 解析：（1）由柯西不等式得()2333b c a ab bc ac a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭⎭()()22223332222a b c b c ac b a a b c ab bc ac++=++⇒++≥++，当且仅当222222b c a a b c==，即a b c ==时，取等号.12．（1）2， 1；（2）()813y x =--. 【解析】试题分析：（1）在1C ， 2C 的方程中，令0y =，可得1b =，且()1,0A -， ()1,0B是上半椭圆1C 的左、右顶点，设1C 半焦距为c ，由c a =及2221a c b -==，联立解得a ；（2）由（1）知，上半椭圆1C 的方程为()22104y x y +=≥，由题意知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为()1y k x =-（0k ≠），代入1C 的方程，整理得：()2224240kx kx k +-+-=，设点P 的坐标为(),P P x y ，由根公式，得点P 的坐标为22248,44k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 同理，得点Q 的坐标为()21,2k k k ----．由 10AP AQ ⋅=，即可得出k 的值，从而求得直线方程.试题解析（1）在1C ， 2C 的方程中，令0y =，可得1b =，且()1,0A -， ()1,0B 是上半椭圆1C 的左、右顶点，设1C 半焦距为c ，由c a =及2221a c b -==可得设1C 半焦距为c ，由c a =2221a c b -==可得2a =，∴2a =， 1b =． （2）由（1）知，上半椭圆1C 的方程为()22104y x y +=≥， 易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为()1y k x =-（0k ≠）， 代入1C 的方程，整理得： ()2224240k x kx k +-+-=（*）设点P 的坐标为(),P P x y ，∵直线l 过点B ，∴点P 的坐标为22248,44k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 同理，由()()()210,{10,y k x k y x y =-≠=-+≤得点Q 的坐标为()21,2k k k ----．依题意可知AP AQ ⊥，∴()22,44kAP k k =-+， ()1,2AQ k k =-+． ∵AP AQ ⊥，∴0AP AQ ⋅=，即()2224204k k k k -⎡⎤-+=⎣⎦+， ∵0k ≠，∴()420k k -+=，解得83k =-， 经检验， 83k =-符合题意，故直线l 的方程为()813y x =--． 13．见解析【解析】试题分析:根据平角得R A S 、、三点共线，根据同弦所对角相等得 F R S E 、、、四点共圆．根据四点共圆性质得MRB FRA ∠=∠，即得MB FA =，同理可得NB AE =，根据等量性质得MN AE AF =+．试题解析:解：延长1BO 、2BO 分别与圆1O 、圆2O 相交于点R S 、，连结RM RF RB SA SE SN AB 、、、、、、．则90BAR BAS ∠=∠=︒，所以R A S 、、三点共线．又90RFS SER ∠=∠=︒，于是F R S E 、、、四点共圆．故MRF MBF EFB ERS ∠=∠=∠=∠，从而MRB FRA ∠=∠，因此MB FA =，同理NB AE =．所以MN AE AF =+．14．见解析【解析】试题分析： 放缩证明：先证12n a n ≤+，再证()111xn x x ++＞．前面用数学归纳法证明，后面用导数求证，再令11x n =+，则有()()112112n n n n n +-++＜．由裂项相消法求和可得结论试题解析:下面用数学归纳法证明：当2n ≥， n N ∈时， 12n a n ≤+， ①当2n =时， 222111111124422a a a a ⎛⎫=-=--+≤= ⎪+⎝⎭，上述结论成立；②设n k = 2k ≥（）时， 12k a k ≤+成立，则当1n k =+时 21k k k a a a +=-+=2211112422k a k ⎛⎫⎛⎫--+≤-- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭211444k k k ++=++＜ 2114312k k k k +=++++，（） 所以当1n k =+时，结论也成立．综合①②得，对任意的2n ≥， n N ∈都有12n a n ≤+． 当1n =时， 11121113S a n+==+＜； 当2n ≥时， 2112nn i S i =++∑＜． 下面证明： 21211123ni n n i =++++∑＜，即证明212123ni n n i =++∑＜ 2n ≥（）． 设函数()()111xf x n x x =+-+ 0x （＞），则 ()()()22110111x f x x x x =-=+++'＞， 所以()f x 在0+∞（，）上是增函数，所以()()00f x f =＞恒成立，即()111xn x x ++＞． 令11x n =+，则有()()112112n n n n n +-++＜． 故()()22121211123nn i i n n n n n n i ==+⎡⎤+-+=⎣⎦+∑∑＜ 所以2121123ni n n i =+++∑＜．综上可得2113nn S n +≤+．。

高二竞数学赛试题班别＿＿＿ 姓名 ＿＿＿＿座号 ＿＿＿＿ 总分＿＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（每题5分，共1.已知函数f(x)是R 上的奇函数，g(x)是R 上的偶函数，若129)()(2++=-x x x g x f ，则=+)()(x g x f ( ) A ．1292-+-x xB ．1292-+x xC ．1292+--x x D.1292+-x x2．已知椭圆22143x y +=上的任意一点(,)P x y 可使20x y m ++≥恒成立，则实数m 的取值范围是 （ )(A) (,4]-∞-. (B ）[4,)-+∞． (C) (,4]-∞．(D ）[4,)+∞．3．如果一元二次方程09)3(222=+---b x a x 中，a 、b 分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P= ( ) A ．181B ．91 C ．61 D ．1813 4．若b a <<0，且1=+b a ，则下列各式中最大的是（ ） （A ）1- （B ）1log log 22++b a（C ）b 2log（D ）)(log 32232b ab b a a +++二、填空题（每题5分，共 5．在ABC ∆中，若21tan =A ，31tan =B ，且最长的边的长为1，则最短的边的的长等于 ．6．设函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是关于x 的奇函数，则函数()y f x =在区间[]0,100上至少有 个零点.7．满足方程2=所有实数解为 ．8．若z y x ,,均为正实数，且1222=++z y x ，则xyzz S 2)1(2+=的最小值为 ．三．解答题（每题15分，共60分）1. 已知函数()x x x f -+=1ln )(在区间[]()*∈Nn n ,0上的最小值为nb，令()n n b n a -+=1ln ，()*-∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅=N k a a a a a a p kk k 2421231，求证：.11221-+<+⋅⋅⋅++n n a p p p2．求所有正整数x ，y ，使得23x y +与23y x +都是完全平方数．3．在周长为定值的△ABC 中，已知|AB|=6，且当顶点C 位于定点P 时， cosC 有最小值为257. (1)建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程. (2)过点A 作直线与(1)中的曲线交于M 、N 两点，求||||⋅的 最小值的集合.4.求所有使得下列命题成立的正整数 (2)n n ≥: 对于任意实数 12,,,n x x x ,当 10nii x==∑ 时, 总有110ni i i x x+=≤∑ ( 其中 11n xx += ).高二数学竞赛答案A D A C 5.55 6． 50 7．20102011x ≤≤ 8．223+．三．解答题（每题15分，共60分）1.解：（1）因为()x x x f -+=1ln )(，所以函数的定义域为()+∞-,1，…（2分）又xxx x f +-=-+='1111)(.……………………………………………（4分） 当[]n x ,0∈时， 0)(<'x f ，即)(x f 在[]()*∈Nn n ,0上是减函数，故().1ln )(n n n f b n -+==()()().1ln 1ln 1ln n n n n b n a n n =++-+=-+=…………………………（7分）因为()()()141421212222<-=+-k k k k k ,所以()()()()()121121212126754532312421253122222+<+⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅k k k k k k k . …………………………………………………………………………（12分） 又容易证明1212121--+<+k k k ，所以 ()()()*-∈--+<+<⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=N k k k k k k a a a a a a p k k k 1212121242125312421231，………………………………………………………………（13分）n p p p +⋅⋅⋅++21()()()12123513--++⋅⋅⋅+-+-<n n112-+=n 112-+=n a .即 .11221-+<+⋅⋅⋅++n n a p p p ……………………（15分）2．求所有正整数x ，y ，使得23x y +与23y x +都是完全平方数．解：若x =y ，则x 2+3x 是完全平方数. ∵ x 2＜x 2+3x ＜x 2+4x +4= (x +2)2，∴ x 2+3x = (x +1)2，∴ x =y =1. ………………3分 若x ＞y ，则x 2＜x 2+3y ＜x 2+3x ＜x 2+4x +4= (x +2)2. ∵ x 2+3y 是完全平方数，∴ x 2+3y = (x +1)2，得3y = 2x +1，由此可知y 是奇数，设y = 2k +1，则x =3k +1，k 是正整数.又 y 2+3x = 4k 2+4k +1+9k +3=4k 2+13k +4是完全平方数，且 (2k +2)2=4k 2+8k +4＜4k 2+13k +4＜4k 2+16k +16= (2k +4)2， ∴ y 2+3x =4k 2+13k +4=(2k +3)2，得 k =5，从而求得x =16，y =11. …………………12分 若x ＜y ，同x ＞y 情形可求得 x =11，y =16.综上所述，(x ，y )= (1，1), (11，16), (16，11)． …………………15分 3．解：(1) 以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设|CA|+|CB|=2a(a>3)为定值，所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，所以焦距 2c=|AB|=6. 因为1||||182||||236||||2|)||(|||||26||||cos 22222--=--+=-+=CB CA a CB CA CB CA CB CA CB CA CB CA C又 22)22(||||a a CB CA =≤⋅，所以 2181cos a C -≥，由题意得 25,25718122==-a a. 此时，|PA|=|PB|，P 点坐标为 P(0，±4).所以C 点的轨迹方程为)0(1162522≠=+y y x (2) 不妨设A 点坐标为A(-3，0)，M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).当直线MN 的倾斜角不为900时，设其方程为 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得 0)1169(83)16251(2222=-+++k x k x k 显然有 △≥0， 所以 222122212516400225,2516150k k x x k k x x +-=+-=+而由椭圆第二定义可得25165311442553125251614453125251614481251645025259)(325)535)(535(||||22222222212121+-⋅+=+-+=+-+++=++-=--=⋅k k kk k k k k x x x x x x只要考虑251653114422+-k k 的最小值，即考虑2516531144251612++-k 取最小值，显然. 当k=0时，||||⋅取最小值16.当直线MN 的倾斜角为900时，x 1=x 2=-3,得 16)534(||||2>=⋅BN BM 但)0(1162522≠=+y y x ，故0≠k ，这样的M 、N 不存在，即||||BN BM ⋅的最小值的集合为空集.4.解： 当 2n = 时，由 120x x +=，得 21221120x x x x x +=-≤．所以 2n = 时命题成立. …………………… 3分当 3n = 时，由 1230x x x ++=，得2222123123122331()()2x x x x x x x x x x x x ++-++++==()02232221≤++-x x x 所以 3n = 时命题成立. ………………… 6分当 4n = 时，由 12340x x x x +++=，得212233441132424()()()0x x x x x x x x x x x x x x +++=++=-+≤．所以 4n = 时命题成立． ……………… 9分当 5n ≥ 时，令 121x x ==，42x =-，350n x x x ====,则 10ni i x ==∑.但是,1110ni i n x x+==>∑，故对于 5n ≥ 命题不成立．综上可知，使命题成立的自然数是 2,3,4n =. …………… 15分。

苍南县“姜立夫杯〞2021年高二数学上学期竞赛试题考生考前须知：1本卷一共有17道题目,全卷满分是100分,考试时间是是120分钟.2在答题之前,必须在试题卷、答题卷的密封线内填写上好自己的、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或者黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上答题无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、选择题〔本大题一一共8小题，每一小题4分，满分是32分，每一小题有且仅有一个正确之答案〕 1．集合{}13A xx x Z =-≤∈，，{}21B y y x x R ==-+∈，，那么A B ⋂的非空．．真子集．．．有〔 〕 A ．31个 B ．30个 C ．15个 D ．14个2．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()10302020102S S S S -=-，那么数列{}n a 的公比为〔 〕 A ．18 B ．14 C ．12D ．13．假设函数2243()2log 3a x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，，，，〔0a >且1a ≠〕的值域为[)3+∞，，那么实数a的取值范围为〔 〕A ．(]13，B ．(13)，C ．(3)+∞，D ．[)3+∞，4．方程201625375112017x x x -+-+-=一共有〔 〕实根 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个或者3个以上5．如图，在三棱锥P ABC -中，PAB △，PBC △均为等边三角形，且AB BC ⊥。

那么二面角A PC B --的余弦值为〔 〕A．3 B．136．假设实数a b ,满足20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，那么22a b a b ++的最大值为〔 〕A ． 1B ． 54C ． 75D ． 27．正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，在对角线D A 1上取点M ，在1CD 上取点N ，使得线段MN 平行于对角面11A ACC ，那么MN 的最小值为〔 〕A．1 CD．28．一共面向量a ，b ，c 满足||3a =，=2b c a +且||||b b c =-．假设对每一个确定的向量b ，记||b ta -(t ∈R)的最小值为min d ，那么当b 变化时，min d 的最大值为〔 〕 A ．43B ．2C ．4D ．6二、填空题〔本大题一一共6个小题，每一小题6分，满分是36分.〕9．设()f x 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有()()341f x f x +⋅-=-。

卜人入州八九几市潮王学校高二数学上学期竞赛试题考生本卷须知：1本卷一共有17道题目,全卷总分值是100分,考试时间是是120分钟.3本卷所有试题都必须用蓝色或者黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上答题无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、选择题〔本大题一一共8小题，每一小题4分，总分值是32分，每一小题有且仅有一个正确之答案〕 1．集合{|1}A x x =>，{|}B x x m =<，且A B R =，那么m 的值可以是A.1-B.0C.1D.22.将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，那么ϕ的一个可能取值为 A.34π B.4π C.0D.4π-3．公差不为0的等差数列{n a }的前21项的和等于前8项的和．假设80k a a ＋＝，那么k ＝ A ．20B ．21 C ．22 D ．234．A ．假设直线l 不平行于平面α，那么α内不存在直线平行于直线lB ．假设直线l 不垂直于平面α，那么α内不存在直线垂直于直线lC ．假设平面α不平行于平面β，那么β内不存在直线平行于平面αD ．假设平面α不垂直于平面β，那么β内不存在直线垂直于平面α5．正三棱锥的底面边长是a ，侧棱与底面所成的角是60︒，过底面的一边作一截面使其与底面成30︒的二面角，那么此截面的面积是A ．24a B ．238a C ．23a D ．28a 6．圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，俯视图侧视图正视图P为x轴上的动点，那么PM PN+的最小值为A．4-B1C．6-7．正三角形ABC的边长为1,点P是AB边上的动点,点Q是AC边上的动点，且ABAPλ=，()ACAQλ-=1，R∈λ，那么CPBQ⋅的最大值为A.23B.23- C.83D.83-8．函数()[]f x x x=-,其中[]x表示不超过实数x关于x的方程()f x kx k=+有三个不同的实根,那么实数k的取值范围是A．111[1,)(,]243--B．111(1,][,)243--C．111[,)(,1]342--D．111(,][,1)342--二、填空题〔本大题一一共6个小题，每一小题6分，总分值是36分.〕9．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，那么该几何体的体积是▲。

浙江省苍南县“姜立夫杯”2018年高二数学上学期竞赛试题考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案） 1.若集合{0}A x x =≥，且A B B ⋂=，则集合B 可能是（ ） A.{}1,2 B.{1}x x ≤ C.{1,0,1}- D.R2.若对任意实数x 都有x x x f x f sin cos 3)(2)(-=-+，则函数()y f x =的图象的对称轴方程为（ ） A ．Z k k x ∈+=,4ππ B ．Z k k x ∈-=,4ππ C ． Z k k x ∈+=,8ππ D ．Z k k x ∈-=,6ππ3.一个水平放置的一个的正三棱锥,其底面是边长为6的正三角形、侧棱长均为5， 其主视图，俯视图如图所示，则其侧视图（ ）A.形状是等腰三角形，面积为133B.形状是等腰三角形，面积为2393 C.不是等腰三角形，面积为 133 D.不是等腰三角形，面积为2393 4.已知在△ABC 中，∠ACB=，AB=2BC ，现将△ABC 绕BC 所在直线旋转到△PBC ，设二面角P﹣BC ﹣A 大小为θ，PB 与平面ABC 所成角为α，PC 与平面PAB 所成角为β，若0＜θ＜π，则α、sin β的范围分别是（ ）)33,0(],3,0(.πA ]33,0(],3,0(.πB)21,0(],3,0(.πC 1.(0,],(0,)62D π 5.202,()342x f x x x x ≤≤=+-函数的最大值是（ ）A. 5B. 6C.7D.86.已知点()1,1A --．若曲线T 上存在两点,B C ，使ABC ∆为正三角形，则称T 为“正三角形”曲线．给定下列三条曲线：①222x y +=；②()3003x y x +-=≤≤；③1(0)y x x=->． 其中，“正三角形”曲线的个数是（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 37.如图，圆C 分别与x 轴、y 轴正半轴相切于A 、B ，过劣弧AB 上一点T 作圆C 的切线，分别交x 轴、y 轴正半轴于M 、N 两点，若点Q （2,1）是 切线上一点，则∆MON 周长的最小值为（ ） A ． 8 B ． 10 C ． 12 D ． 548.已知平面向量a ，b ，|a |=1,|b |=2， e r 为平面单位向量且|a ·e r |+|b r ·e r|的最大值为7，则下列结论成立的是（ ）A ．|a +b r |=|a -b r | B.b r ·(a -b )=0 C. a ·(a -b )=0 D. min ,||3t R b ta ∈-=r r二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.） 9. 在ABC △中，2a =，3b =，4c =，则sin 2sin AC= ▲ ． 10. 设{}n a 的公比为q 的等比数列,其前n 项和为n S ,且32420192018,S S S =+ 则q = ▲11. 432(1)0[0,)x x x a x a x -+-++≥∈+∞对恒成立，则a= ▲12.2()3,|(())0}|()0},xf x x ax b x f f x x f x a b φ=++⋅===≠+函数若{{则取值范围是 ▲ 13.在三棱锥ABC P -中，BC AB ⊥,32,2,AB BC PA PB ===当三棱锥ABC P -体积取最大时，锐二面角P-AC-B 的大小=θθtan ,则 ▲ ．14. 22224560,24x y x y xy x y x y x y +--++=+-+、是实数，则的取值范围是▲三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知圆22-(2)40)2x a y a a y kx +-=>=+C:（）（与直线交于M 、N 两点，其中C 为圆心，=2a (1)若, 125CM CN ⋅=-uuu r uuu r ,求k 的值;=1,k (2)若当CMN ∆面积取最大时，求a 的值.16. 已知函数()2f x x ax b =++.(1) 0a ≠且1b =,求()y f x =在区间0,a ⎡⎤⎣⎦上的最大值； (2) 若,a b Z ∈，且()a b f x +是的零点，求所有可能b 的值.17. 已知{a n }满足，++∈+==N n a a a a n n n ,144,812211 （1)证明：;811≤<+n n a a（2）证明：1211121119n n a a a +++>-+++L2018年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二答题卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9.________________ 10.________________ 11.________________ 12.________________ 13.________________ 14.________________三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知圆22-(2)40)2x a y a a y kx +-=>=+C:（）（与直线交于M 、N 两点， 其中C 为圆心，=2a (1)若, 125CM CN ⋅=-uuu r uuu r , 求k 的值;=1,k (2)若当CMN ∆面积取最大时，求a 的值.16. 已知函数()2f x x ax b =++.(1) 0a ≠且1b =,求()y f x =在区间0,a ⎡⎤⎣⎦上的最大值； (2) 若,a b Z ∈，且()a b f x +是的零点，求所有可能b 的值.17.已知{a n }满足，++∈+==N n a a a a n n n ,144,812211 （1)证明：;811≤<+n n a a （2）证明：9211111121->++++++n a a a n Λ2018年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试题参考答案一、 选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9.8710. 12018 11.212.[0,4) 13.2 14. ]3,313[-- 三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知圆22-(2)40)2x a y a a y kx +-=>=+C:（）（与直线交于M 、N 两点 其中C 为圆心，=2a (1)若,125CM CN ⋅=-uuu r uuu r , 求k 的值; =1,k (2)若当CMN ∆面积取最大时，求a 的值.解析：(1)125CM CN⋅=-uuu r uuu r得3cos,5MCN∠=-……2分……2分1=22k=或……1分（其他方法酌情给分）(2)设圆心到直线的距离为d,S==……2分当CMN∆面积取最大时d (2)=4a=……1分（其他方法酌情给分）16. 已知函数()2f x x ax b=++.(1) 0a≠且1b=,求()y f x=在区间0,a⎡⎤⎣⎦上的最大值；(2) 若,a b Z∈，且()a b f x+是的零点，求所有可能b的值.解析：（1）当a>0时，()222max1[1,21],|()|21f x x ax a f x a=++∈+=+……2分当a<0时, ()222max4-4-1[,1],|()|max||,144a af x x ax f x⎧⎫=++∈=⎨⎬⎩⎭……2分=2441,0aa-≤-<⎧⎪⎨⎪⎩，a……1分（2）()()()20f a b a b a a b b+=++++=得22230a ab b b+++=……1分2=b-8b∆必为完全平方数……1分2222=b-8b=,()16m N m∆∈-=令m得(b-4){{{{42444-44-848444-44-2b m b m b m b mb m b m b m b m--=--=--=--=-+=-+=-+=-+=或或或所有可能b的值为9、8、-1、0 ……3分17. 已知{a n}满足，++∈+==Nnaaaannn,144,812211（1)证明：;811≤<+n n a a （2）证明：9211111121->++++++n a a a n Λ 解析：（1）0>n a 易得=-+n n a a 1014)12(141441442223222≤+--=+--=-+n n n n n n n n n a a a a a a a a a ……2分∴≤≤∴+,811n n a a 014)12(22<+--n n n a a a ;811≤<∴+n n a a ……2分 （用nnn n n n a a a a a a 14114421+=+=+同样给分） （2）284414422221+=+≤+=+nnn n n n n n a a a a a a a a ……2分 12211+=+≥+n n n n a a a a ,)11(2111+≥++nn a a 111292)11(11--⋅=⋅+≥+n n n a a ,1)21(911-⋅≤+n n n a a ……3分 =+11n a 1)21(91111-⋅-≥+-n n n a a ……2分 92])21()21(211[911111111221->+++-≥++++++-n n a a a n n ΛΛ…1分。