2017年高二上学期数学竞赛试卷 Word版含答案

2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及详解(纯word)1.2017年全国高中数学联赛江苏赛区预赛试卷及详解2.填空题1.已知向量$\overrightarrow{AP}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{PB}=\begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix}$，则向量$\overrightarrow{AP}$与$\overrightarrow{AB}$的夹角等于$\frac{\pi}{4}$。

2.已知集合$A=\{x| (ax-1)(a-x)>0\}$，且$a\in A$，$3\notin A$，则实数$a$的取值范围是$1\leq a<2$或$2<a\leq 3$。

3.已知复数$z=\cos(\frac{2\pi}{3})+i\sin(\frac{2\pi}{3})$，则$z^3+z^2=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$。

4.在平面直角坐标系$xOy$中，设$F_1$，$F_2$分别是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的左、右焦点，$P$是双曲线右支上一点，$M$是$PF_2$的中点，且$OM\perp PF_2$，$3PF_1=4PF_2$，则双曲线的离心率为$5$。

5.定义区间$[x_1,x_2]$的长度为$x_2-x_1$。

若函数$y=\log_2x$的定义域为$[a,b]$，值域为$[0,2]$，则区间$[a,b]$的长度的最大值与最小值的差为$3$。

6.若关于$x$的二次方程$mx^2+(2m-1)x-m+2=0(m>0)$的两个互异的根都小于$1$，则实数$m$的取值范围是$\left(\frac{3+\sqrt{7}}{4},+\infty\right)$。

7.若$\tan4x=\frac{3\sin4x\sin2x\sinx}{\cos8x\cos4x\cos4x\cos2x\cos2x\cos x\cos x}$，则$\sin^2x+\sin^24x+\sin^28x=3$。

2017年浙江高中数学竞赛一，填空题（每题8分，共80分）1. 在多项式()()610321x x x 的展开式+-的系数为______.2. 已知()5log35log172+=-a a ，则实数a=_________.3. 设()[]1,02在b ax x x f ++=中有两个实数根，则b a 22-的取值范围是___________.4. 设()1sin sin sin cos cos cos sin ,,222222=+-+-∈y x yx y x x x R y x 且，则=-y x _______. 5.已知两个命题，命题()()0log :>=x x x f p a 函数单调递增；命题函数:q ()012>++=ax x x g ()R x ∈,q p q p ∧∨为真命题，若为假命题，则实数a 的取值范围为____.6. 设S 是⎪⎭⎫ ⎝⎛850，中所有有理想的集合，对简分数()1,,=∈q p S pq，定义函数,1p q p q f +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛则()32=x f 在S 中根的个数为___________.7. 已知动点P ,M,N 分别在x 轴上，圆()()12122=-+-y x 和圆()()34322=-+-y x 上，则PN PM +的最小值为__________.8. 已知棱长为1的正四面体P —ABC,PC 的中点为D,动点E 在线段AD 上，则直线与平面ABC 所成的角的取值范围为__________.9.已知平面向量0.10,321,,,=⋅<<===c b c b a ρρρρρ若λ()c b λλ---1所有取不到的值的集合为____________.10. 已知()()()0421212,0.1,0,2222=---+-+⎩⎨⎧≥-<-=x a x x f x x f x x x x x f 方程有三个根.321x x x <<若()12232x x x x -=-，则实数a=_______.二. 解答题11. （本题满分20分）设()()()，⋯=+=+=+,2,1,316,322121n x f x x f x x f n n 对每个n ，求()x x f n 3=的实数解。

2017年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2017A1、设)(x f 是定义在R 上函数，对任意的实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f ，又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为 ◆答案： 21-★解析：由条件知，1)()7(-=+x f x f ，即1)14()7(-=++x f x f ，故)14()(+=x f x f ，即函数)(x f 的周期为14，所以21)5(1)2()100(-=-=-=-f f f2017A 2、若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围为 ◆答案： []13,1+-★解析：由1cos 22=+y x 得[]3,1cos 212-∈-=y x ，得[]3,3-∈x ，21cos 2x y -=，所以()1121cos 2--=-x y x ，[]3,3-∈x 可求得其范围为[]13,1+-。

2017A 3、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为110922=+y x ，F 是C 的焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积最大值为 ◆答案：2113 ★解析：由题意得()0,3A ，()1,0F ，设P 点的坐标为()θθsin 10,cos 3，其中⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ，则 ()ϕθθθ+=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆sin 2113cos 321sin 10321OFP OAP OAPF S S S ，可得面积最大值为2113。

2017A 4、若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”，则平稳数的个数 是 ◆答案： 75★解析：考虑平稳数abc 。

①若0=b ，则1=a ，{}1,0∈c ，有2个平稳数；②若1=b ，则{}2,1∈a ，{}2,1,0∈c ，有632=⨯个平稳数； ③若[]8,2∈b ，则a ，{}1,,1+-∈b b b c ，有63337=⨯⨯个平稳数； ④若9=b ，则{}9,8,∈c a ，有422=⨯个平稳数； 综上可知，平稳数的个数为7546362=+++。

高二数学竞赛试题及答案高二数学竞赛模拟试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.AF1.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不BE同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量OA共线的向量共有( )A.2个B. 3个C.6个D. 7个213CD2.若(3a -2a) n 展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是( )A.4B.5C. 6D. 83. 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为( )3311A. 20B. 10C. 20D. 104.抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=-3，则这条抛物线的焦点坐标是( )A.(3，0)B.(2，0)C.(1，0)D.(-1，0)5.已知向量m=(a，b)，向量n⊥m，且|n|=|m|，则n的坐标可以为( )A.(a，-b)B.(-a，b)C.(b，-a)D.(-b，-a)6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是( )DCAB A B③②①④111A.①④B.②③C.②④D.①②7.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A.36种B.48种C.72种D.96种8.已知直线l、m，平面?、β，且l⊥?,m?β.给出四个命题：(1)若?∥β,则l⊥m;(2)若l⊥m,则?∥β;(3)若?⊥β,则l∥m;(4)若l∥m,则?⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.29.已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2，+∞)上递增，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞，4)B.(-4，4]C.(-∞，-4)∪[2，+∞)D.[-4，2)10.4名乘客乘坐一列火车，有5节车厢供他们乘坐。

假设每个人进入各节车厢是等可能的，那么这4名乘客分别在不同车厢的概率为( )A54A54A44A44 A、4 B、4 C、5 D、5 5544二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在题中横线上.11.从?a?b?的二项展开式的各项中任取两项，这两项中至少有一项含有的二项式系1 7数的概率为。

第二十八届“希望杯”全国数学邀请赛高二（特） 第2试试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（每小题4分，共40分）1.设x ，y ，z 都是正实数，01a <<，若log x a a x =，1log y aa y =，1()log xa z a=，则（ ）A ．y z x <<.B ．x z y <<.C ．x y z <<.D ．z x y <<. 2.函数sin cos y ax ax =+的最小正周期为4，则它们的对称轴可能是直线（ ） A ．12x π=-. B ．0x =. C ．12x π=. D ．12x =. 3.二元不等式142x y xy +≤+所表示的平面上的区域是（ ）A ．B ．C ．D ．4.If ABC ∆ and DEF ∆satisfy thatsin cos A D =,sin cos B E =,sin cos C F =,then （ ）A ．Both ABC ∆ and DEF ∆ are acute triangles .B ．Both ABC ∆ and DEF ∆ are obtuse triangles .C. ABC ∆ is an acute triangles ,and DEF ∆is an obtuse triangles . D ．ABC ∆ is an obtuse triangles ,and DEF ∆is an acute triangles .（英汉小词典：acute 锐角的；obtuse 钝角的）5.已知等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n A 与n B ，且5393n n A n B n +=+（1,2,3,n =），则使nna b 为整数的正整数n 的个数是（ ） A ．3. B ．4. C.5. D ．6.6.在三棱锥VABC 中，AVB AVC ∠=∠，则VA BC ⊥是VB VC =的（ A ．充分不必要条件.B ．充要条件. C.必要不充分条件.D ．既不充分也不必要条件.7.For a tan rec gular triangle ABC in a Cartesian coordinate system ，there are (2,1)AB =，(3,)AC m =，then the number of different possible values of m is （ ）A ．0.B ．1. C.2. D ．3.8.一项“闯关”游戏的规则为：在桌面上抛掷一个各面内分别写有1,2,3，…，12的正十二面体n 次，若抛掷n 次后朝下的面内n 个数的和不小于211n +，则算过关，现有一人做此游戏，他最多只能连过（ ）A ．10关.B ．11关. C.12关. D ．13关. 9.The number of roots of the equation cos(cos )sin αα= inthe int erval ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦is （ ）A ．0.B ．1. C.2. D ．3.10.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >），若过右焦点F 且倾斜角为30︒的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．（1,2）. B．. C.[2,)+∞. D．)+∞. 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每小题4分，共40分.）11.集合{1,1,12}A d d =++，2{1,,}B r r =，若A B =，则r = ． 12.已知方程24210x x --=的两个根为cos α，cos β，α，β(0,)π∈，则cos()αβ-= ．13.光线沿着直线3+1=0x y +射入，遇到直线210x y --=反射，则反射光线所在直线的方程是 ．14.已知整数a ，b ，c 满足22222874a b c ab b c +++<++，则a b c ++= ． 15.已知i x R +∈（1,2,,2017i =）满足122017x x x ≥≥≥，122017420x x x +++=，如果121()k k y x x x k=+++（1,2,,2017k =），则122017y y y +++的最小值是 ．16.已知数列{}n a ，满足11a =，11(21)n n n n a n a a a ++=++，则2017a = ． 17.数列2{lg(10002)}a-的前n 项和为n S ，则使n S 取得最大值的n 的值是 .18.棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是棱11A B 上的动点，过点P 、B 、1D 作截面，则截面面积的最小值是 .19.正方形ABCD 的边长为a ，点A 和B 在抛物线2y x =上，点C 和D 在直线21y x =-上，则a = .20.已知圆C 经过双曲线22(2)(1)1916x y +--=的两个焦点，并且与x 轴交于M 、N 两点，若8MN =，则圆C 的方程是 .三、解答题 每题要写出推算过程.21. 若正数a ，b ，c 满足1a b c ++=，求证：2221a b c +++≤.22. 如图，四面体ABCD 中，DA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，1DA AC ==，BC =（1）求异面直线AB ，CD 所成角的余弦值；（2）若E ，F 分别为AB ，CD 上的点，且满足AE AB CF CD λλ==，01λ<<.若EF 与平面ABC 所成角为α，求sin α的最大值.23.数列{}n a 中，已知13a =，2112(1)n n n a a a --=-（2n ≥）.（1）判断数列{}n a 的单调性，并证明你的结论； （2）若数列{}n b 满足2n n n a b a =-（n N +∈），求数列{}n b 的通项公式.试卷答案一、选择题1-5:DDBDC 6-10:BCBBB二、填空题11.12-13.91330x y ++=14.415.420 16.21201717.1919.20.22(2(5)41x y ++-=）三、解答题21.原不等式等价于2222()a b c a b c +++≤++，ab bc ca ≤++，即23()abc ab bc ca ≤++222222=2()a b b c c a abc a b c +++++，也即222222abc a b b c c a ≤++，（*） 又222222a b b c b ac +≥，222222b c c a c ab +≥， 222222c a a b a bc +≥，上面三式相加即得（*）. 故待证不等式成立.22.（1）作CG ⊥平面ABC ，以CA ，CB ，CG 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则cos ,||||AB CDAB CD AB CD <>=623==， 所以，异面直线AB ，CD （2）FE FA AE =+()FC CA AE =++ ()CF CA AE =-++CD CA AB λλ=-++(1,0,1)(1,0,0)(λλ=-++- (2,)λλ=-+-.易知，平面ABC 的法向量(0,0,1)n =.于是||sin |cos ,|||||FE n FE n FE n α=<>====≤当12λ=，即12λ=时，等号成立. 所以sin α23.（1）数列{}n a 是递减数列. 首先，由数学归纳法易证2n a >（n N +∈）又212(1)nn n n n a a a a a +-=--221112(1)21n n n n n a a a a a ⎛⎫-+==-+ ⎪--⎝⎭， 由2n a >，得111n a <-， 即1121n n a a +<<-， 所以10n n a a +-<， 故数列{}n a 是递减数列. （2）1112n n n a b a +++=-222(1)22(1)nn nn a a a a -=-- 222(2)n nn a b a ==-， 又11132a b a ==-， 所以2224122()n n n n b b b b ---===11822312n n n b b ---====，即123n n b -=.。

2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 。

5.正三棱锥P-ABC 中，AB=1，AP=2，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值； （2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中，2a，3a =则1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x +是奇函数，()2xf x +是偶函数，则(1)f 的值为 .4.在ABC ∆中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|xxa -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-，1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图，点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY.四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈，集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a的公比为32a q a ==，故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案解：设,,z a bi a b R =+∈，由条件得(9)10(1022)a bi a b i ++=+-+，比较两边实虚部可得9101022a a b b +=⎧⎨=-+⎩，解得：1,2a b ==，故12z i =+，进而||z =3.答案：74-。

2017年浙江高中数学竞赛一，填空题（每题8分，共80分）1. 在多项式()()610321x x x 的展开式+-的系数为______.2. 已知()5log35log172+=-a a ，那么实数a=_________.3. 设()[]1,02在b ax x x f ++=中有两个实数根，那么b a 22-的取值范围是___________.4. 设()1sin sin sin cos cos cos sin ,,222222=+-+-∈y x yx y x x x R y x 且，那么=-y x _______. 5.已知两个命题，命题()()0log :>=x x x f p a 函数单调递增；命题函数:q ()012>++=ax x x g ()R x ∈,q p q p ∧∨为真命题，若为假命题，那么实数a 的取值范围为____.6. 设S 是⎪⎭⎫ ⎝⎛850，中所有有理想的集合，对简分数()1,,=∈q p S pq，概念函数,1p q p q f +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛则()32=x f 在S 中根的个数为___________.7. 已知动点P ,M,N 别离在x 轴上，圆()()12122=-+-y x 和圆()()34322=-+-y x 上，那么PN PM +的最小值为__________.8. 已知棱长为1的正四面体P —ABC,PC 的中点为D,动点E 在线段AD 上，那么直线与平面ABC 所成的角的取值范围为__________.9.已知平面向量0.10,321,,,=⋅<<===c b c b a若λ，()λλ---1所有取不到的值的集合为____________. 10. 已知()()()0421212,0.1,0,2222=---+-+⎩⎨⎧≥-<-=x a x x f x x f x x x x x f 方程有三个根.321x x x <<若()12232x x x x -=-，那么实数a=_______.二. 解答题11. （此题总分值20分）设()()()，⋯=+=+=+,2,1,316,322121n x f x x f x x f n n 对每一个n ，求()x x f n 3=的实数解。

可编辑修改精选全文完整版2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数.对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时.)9(log )(2x x f -=.则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x .则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中.椭圆C 的方程为1109:22=+y x .F 为C 的上焦点.A 为C 的右顶点.P 是C 上位于第一象限内的动点.则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1.则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 。

5.正三棱锥P-ABC 中.AB=1.AP=2.过AB 的平面α将其体积平分.则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中.点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点.则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中.M 是边BC 的中点.N 是线段BM 的中点.若3π=∠A .ABC ∆的面积为3.则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a .对任意正整数n .有n n n a a a +=++12.n n b b 21=+.则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数.不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数.满足1321=++x x x .求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z .0)Re(2>z .且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）. （1）求)Re(21z z 的最小值； （2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图.在ABC ∆中.AC AB =.I 为ABC ∆的内心.以A 为圆心.AB 为半径作圆1Γ.以I 为圆心.IB 为半径作圆2Γ.过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a . ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一.使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同.则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数.n m ≥.n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数.且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x .均存在一个)1(n i i ≤≤.使得x m m x a i )1(2+≥.这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.5.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中.2a =.3a =则1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+.则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数.若2()f x x +是奇函数.()2xf x +是偶函数.则(1)f 的值为 . 4.在ABC ∆中.若sin 2sin A C =.且三条边,,a b c 成等比数列.则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中.,E F 分别在棱,AB AC 上.满足3BE =.4EF =.且EF 与平面BCD 平行.则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中.点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-.在K 中随机取出三个点.则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数.在平面直角坐标系xOy 中.二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4.则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥.则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题.共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa -<-对所有[1,2]x ∈成立.求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列.数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-.1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠.并且存在正整数,s t .使得s t a b +是整数.求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中.曲线21:4C y x =.曲线222:(4)8C x y -+=.经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l .与2C 交于两个不同的点,Q R .求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=.令max{,,}d a b c =.证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m .证明：存在正整数k .使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A .每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同）.满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图.点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点.直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q .BQ 与AC 的交点为X .CP 与AB 的交点为Y .BQ 与CP 的交点为T .求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈.1220,,,{1,2,,10}b b b ∈.集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<.求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a 的公比为33232a q a ==.故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案：5。

2017年全国高中数学联赛新疆赛区预赛高二试题详解一．填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分，把答案填在横线上）1.函数()(sin 1)(cos 1)()f x x x x R =--∈的值域为 .解: ()sin cos (sin cos )1f x x x x x =-++,记sin cos )[4t x x x π=+=+∈, 213()(1)[0,22g t t +=-∈. 2.设平面向量,a b 满足||3a b +=，则a b ⋅的最大值为 .解1：坐标化：令1122(,),(,)a x y b x y ==，则1212(,)a b x x y y +=++， 22121212129()()4()4x x y y x x y y a b =+++≥+=⋅，则max 9()4a b ⋅=. 解2：2229||||||24a b a b a b a b =+=+-⋅+⋅219(9||)44a b a b ⋅=--≤. （*） 当32a b ==时，由（*）得max 9()4a b ⋅=. 解3：222119(||||)(9||)444a b a b a b a b ⋅=+--=--≤. 3.在数列{}n a 中，对15n ≤≤，有2n a n =，且对一切正整数n ，都有514n n n n a a a a ++++=+，则2023a = .解: 当4n ≥时，514n n n n a a a a ++++=+,431n n n n a a a a ++-+=+,3122n n n n a a a a +-+-+=+,2213n n n n a a a a +-+-+=+,将以上4式相加即得53n n a a +-=，即8n n a a +=，故当4n ≥时，数列{}n a 是周期为8的数列，2023835377a a a ⨯+==.当15n ≤≤时，有2n a n =，6251a a a a +=+，222651251222a a a a =+-=+-=，227623222317a a a a =+-=+-=，故202317a =.4.在边长为3的正方形中随机选取n 个点，其中与正方形的顶点距离小于1的点有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率为 .解：由几何概型概率计算公式得21443m nπ⋅=，从而9m n π=. 5.在某次交友活动中，原计划每2个人都要恰好握1次手，但有4个人各握2次手之后就离开了，这样，整个活动共握了60次手，那么最开始参加活动的人数是 .解：设参加活动的人数为4n +，其中中途退出的4个人之间的握手次数为24(06)x x C ≤≤=.从而由题意得24260n C x +⋅=+，则(1)1042n n x -=+.由06x ≤≤且x 为整数，可得3,11x n ==.故最开始参加活动的人数为415n +=.6.已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为1,3,2AB BC CD DA ====，则四边形ABCD的面积为.解：连结BD ，则四边形ABCD 的面积11sin sin sin 3sin 22ABD CBD S S S AB AD A CB CD C A C ∆∆=+=⋅+⋅=+. 由A C π+=，可得C A π=-，故4sin S A =.由余弦定理得，2222cos 54cos BD AB AD AB AD A A =+-⋅=-，2222cos 1312cos 1312cos BD CB CD CB CD C C A =+-⋅=-=+.因此，54cos 1312cos A A -=+，即1cos 2A =-. 由于0A π<<，故23A π=. 因此，四边形ABCD 的面积4sin 23S A ==.7.如图，在矩形ABCD 中，3,4AB AD ==，E 为AB 上一点，1AE =.现将BCE ∆沿CE 折起，使得点B 在平面ABCD 上的投影落在AD 上，则四棱锥B AECD -的体积为 .解：如图，过B 作BF AD ⊥，连结EF 、CF .由题意，F 即为点B 在平面ABCD 上的投影落，故BF ⊥平面AECD ，从而BF EF ⊥，BF CF ⊥.设,BF x AF y ==，则有 2221,(4)3EF x CF y =+=-+.由222222,BF EF BE BF CF BC +=+=知 2222222312,3(4)34..2x x y x y y ⎧=⎪⎧++=⎪⎪⇒⎨⎨+-+=⎪⎩⎪=⎪⎩ 则四棱锥B AECD -的体积为111343(13)4332AECB V S BF =⋅⋅=⨯⨯+⨯=四边形8.设函数2012()n n f x a a x a x a x =++++，其中012,,,,n a a a a 为非负整数.已知(1)4f =，(5)152f =，则(6)f = .解：由题设：(1)4f =，(5)152f =，知0124n a a a a ++++=，（1） 0125255152n n a a a a ++++=，（2）由（1）得：n a 是不超过4的正整数，0121,,,,n a a a a -都是不超过3的非负整数. 45625(5)152f =>=，则13n ≤≤.又2n =，225254100a ≤⨯=，故1,2n =都不可能，则只能3n =且31a =（不然32a ≥，335152a ⨯>），与（2）相矛盾），此时0123a a a ++=，（3）.又由（2）得01252527a a a ++=，（4）.由于012,,{0,1,2,3}a a a ∈，符合（3）、（4）的仅0122,0,1a a a ===，则23()2f x x x =++，则(6)254f =.二．解答题（本大题共3小题，其中第1题16分，第2,3小题各20分，共56分）1.已知正数,,x y z 满足1x y z ++=，求证：对任意正整数n ，有113n n n n x y z -++≥. 证法1：由n 维均值不等式知，111(1)()33n n n x n nx -+-⋅≥. 同理可证111(1)()33n n n y n ny -+-⋅≥， 111(1)()33n n n z n nz -+-⋅≥. 以上三式相加即得11111()3(1)333n n n n n n x y z n x y z n --++≥++⋅--⋅=. 证法2：由幂平均不等式知，113()33n n n n n x y z x y z -++++≥⋅=. 2.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，椭圆短轴的上下两个端点分别为,A B .以A 为圆心，椭圆长半轴长为半径的圆与椭圆交于,C D 两点. CD的中点的纵坐标为6-（1）求椭圆的方程；（2）直线l 过椭圆右焦点F 且不垂直于x 轴，l 与椭圆交于,M N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为'N .问直线'MN 是否经过定点？若经过定点，求出这个定点；否则，说明理由. 解：（1）由12c e a ==知，2214c a =，22214a b a -=，2b a =，故椭圆方程为2222413x y a a +=. A的方程为222()2x y a +-=.联立2222222(),241,3x y a a x y a a ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x得22222()4213a y y a a -+=. 6-是上述方程的根，故222(6)21a a --+=，解得2a =. 故椭圆方程为22143x y +=. （2）由（1）知224,3a b ==，222431c a b =-=-=，故(1,0)F .设1122(,),(,)M x y N x y ，则'22(,)N x y -.设l 的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入22143x y +=得222(1)143x k x -+=，即 2222(34)84120k x k x k +-+-=.221212228412,3434k k x x x x k k -+==++. '12121212(2)MN y y k x x k x x x x ++-==--， 'MN ：121112(2)()(1)k x x y x x k x x x +-=-+--,即 12121112()(2)()(1)()x x y k x x x x k x x x -=+--+--.令0y =，即得1211120(2)()(1)()k x x x x k x x x =+--+--，121112(2)()(1)()0x x x x x x x +--+--=，11212111211212(1)()(2)(1)()22x x x x x x x x x x x x x x x --+----=-+=+-+- 1212122()2x x x x x x -+=+-12122212x x x x -=-+- 2222412223418234k k k k-⋅-+=--+22222(412)2(34)182(34)k k k k --+=--+ 3015146-=-=-=-. 故直线'MN 是否经过定点（4,0）.3.有9个人参加乒乓球单打比赛，每2个人之间最多比赛1场.已知比赛共举办了28场.求证：必然有4个人，他们之间都互相比赛过.解：用点129,,,v v v 代表参加乒乓球单打比赛的9个人．构造一个图(,)G V E 如下：点集129{,,,},i V v v v v =和j v 连一条边（记作i j v v E ∈）当且仅当i v 和j v 打过比赛．由题意G 中含有28条边．称12{,,,}k i i i v v v 构成一个k -团（29k ≤≤），如果该集合中任意两点之间都有边相连．称图G 所包含的最大团中点的数目为图G 的团数．这样，问题转化为证明：图G 中必然存在一个4-团．即团数至少为4 .用反证法，假设图G 的团数目3w ≤．因为图G 中有边，故2w ≥．只需考虑以下两种情况：情况1 3w =．不妨设123{,,}A v v v =为图G 的一个3一团．令456789\{,,,,,}B V A v v v v v v ==.则A 中含有3条边，B 中的每个点最多与A 中的2个点相连，否则G 中就会产生一个4-团．与假设矛盾．若B 中仍包含一个3-团．不妨设为1456{,,}B v v v =. 取21789\{,,}B B B v v v ==. 则同理可得，2B 中的每个点最多与1B 中的2个点相连，而2B 中最多含有3条边，故G 中最多含有3+2×6+3+2×3+3=27条边，与假设矛盾．若B 中不含有3-团，则在B 中取这样的3个点，不妨记为4v 、5v 、6v ，使得集合1456{,,}B v v v =是集合B 的所有三元子集中包含边数最多的．设该边数为1e ，则102e ≤≤．取21789\{,,}B B B v v v ==．若113e ≤≤，则2B 中的每个点最多与1B 中的2个点相连，否则B 中会产生一个3-团，与假设矛盾．而2B 中最多含有2条边，故G 中最多含有3+2×6+2+2×3+2=25条边．与题设矛后；若10e =，则1B 和2B 中都不含边，且1B 和2B 之间也没有边相连．否则与1B 的取法矛盾．故1B 中最多含有3+2×6=15条边．同样与题设矛盾．情况 2 2w =．我们断定，在图G 中必然存在这样的3个点1v 、2v 、3v ，使得12v v E ∈，13v v E ∈， 但23v v E ∉．否则，由于2w =，G 最多含有4条边，与题设矛盾．现在在图G 中新增加一条边23v v ，得到一个新图'G ．则'G 的团数'3w =．根据情况1的证明，'G 最多含有27-1=26条边．同样与题设矛盾．因此，图G 中必然含有一个4-团．即必然有4个人．他们之间都互相比赛过．。

高二上学期数学竞赛一、选择题（每小题6分,满分30分）2. 设a , b ∈R , ab ≠0，那么，直线 ax -y +b =0和曲线 bx 2+ay 2=ab 的图形是(A) (B) (C) (D)2. 一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P,直线PF 1（F 1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）A ．21B ．22 C ．23 D ．13- 3. 当210<<k 时，方程kx x =-1的解的个数是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．34. 若x ∈[-125π,-3π]，则y = tan(x +32π)-tan(x +6π)+cos(x +6π)的最大值是(A)2512 (B)2611 (C)3611 (D)35125．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ),,0[),(+∞∈++=λλ则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心二.填空题(每小题8分,满分40分)6. 不等式|x |3-2x 2-4|x |+3＜0的解集是__________7. 设F 1,F 2是椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|:|PF 2|=2:1，则△PF 1F 2的面积等于. __________8. 已知A ={x |x 2-4x +3＜0,x ∈R }, B ={x |x 2-2(a +7)x +5≤0,x ∈R }．若A ⊆B , 则实数a 的取值范围是____________.9. 若方程2a ·9sinx +4a ·3sinx +a – 8=0有解，则a 的取值范围是________.10. 已知x ,y 都在区间(-2,2)内，且xy ＝-1，则函数u =244x -+299y -的最小值是________.三.解答题(满分50分)1. （本题满分10分）有三个城镇，分别位于A ，B ，C 三点处，且AB=AC=a ，BC=2b.今计划合建一个中心院，为同时方便三镇，准备建在BC 的垂直平分线上的P 点处，（建立坐标系如图）若希望点P 到三镇距离的平方和为最小，点P 应位于何处？2. （本题满分10分）已知a,b,c ∈R ，函数f(x)= ax 2+bx+c. （1）若a+c=0，f(x)在[-1,1]上的最大值为2，最小值为25-，证明：a ≠0且|a b |<2；（2）若a>0，p 、q 满足p+q=1，且对任意的实数x 、y 均有pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)，证明：0≤p ≤1.3. （本题满分15分） 已知直线l 与圆0222=++x y x 相切于点T ，且与双曲线122=-y x 相交于A 、B 两点.若T 是线段AB 的中点，求直线l 的方程.4．（本题满分15分）已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.高二数学竞赛答案1—5 BDDCB 。

2017年上海市高中数学竞赛试卷（2017年3月27日 星期日 上午8：30～10：30）【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空（前4小题每小题7分，后4小题每小题8分，供60分）1．计算：0!1!2!100!i +i +i ++i = 95+2i ．（i 表示虚数单位）2．设θ是某三角形的最大内角，且满足sin 8sin 2θθ=，则θ可能值构成的集合是279,,,,3321010πππππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭．（用列举法表示） 3．一个九宫格如图，每个小方格内都填一个复数，它的每行、每列及对角线上三个格内的复数和都相等，则x 表示的复数是 1122i + ．4．如图，正四面体ABCD 的棱长为6cm ，在棱AB 、CD 上各有一点E 、F ，若1AE =cm ，2CF =cm ，则线段EF．5．若关于x 的方程4(3)250x xa ++⋅+=至少有一个实根在区间[1,2]内，则实数a 的取值范围为 8.25,3⎡---⎣ ． 6．a 、b 、c 、d 、e 是从集合{}1,2,3,4,5中任取的5个元素（允许重复），则abcd e +为奇数的概率为 17943125． 7．对任意实数x 、y ，函数()f x 满足()()()1f x f y f x y xy +=+--，若(1)1f =，则对负整数n ，()f n的表达式 2322n n +- ． 8．实数x 、y 、z 满足0x y z ++=，且2221x y z ++=，记m 为2x 、2y 、2z 中最大者，则m 的最小值为 12． i x 1A B F D E二、（本题满分14分）设()f x =a 的值：至少有一个正数b ，使()f x 的定义域和值域相同．解：若a ＝0，则对每个正数b，()f x =[)0,+∞，故a ＝0满足条件若a ＞0，则对每个正数b，()f x =D ＝{}[)20,0,b x a x bx a ⎛⎤+≥=-∞-+∞ ⎥⎝⎦，但()f x =A [)0,⊆+∞ 故D ≠A ，即a ＞0不合条件若a ＜0，则对每个正数b，()f x =D ＝0,b a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 由于此时()max 2b f x f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故()f x =⎡⎢⎣所以，04a b a a a <⎧⎪-=⇔⇔=-⎨=-⎪⎩综合所述，a 的值为0或－4三、（本题满分14分） 已知双曲线22221x y a b-=（a 、b ∈+R ）的半焦距为c ，且2b ac =．,P Q 是双曲线上任意两点，M 为PQ 的中点，当PQ 与OM 的斜率PQ k 、OM k 都存在时，求PQ OM k k ⋅的值． 解：∵M 是PQ 的中点，设M （x 0，y 0），P （x 0＋α，y 0＋β－），Q （x 0－α，y 0－β） 于是00,OM PQ y k k x βα== ∵P 、Q 都在双曲线上，所以 ()()()()2222220022222200220020220440OM PQ b x a y a b b x a y a b b x a y y b ac c k k x a a aαβαβαββα+-+=---=-=∴⋅====相减得： 又由)222212c a b c a b ac⎧=+⎪⇒=⎨=⎪⎩舍负根∴12OM PQ k k ⋅=四、（本题满分16分）设[]x 表示不超过实数x 的最大整数．求集合2|,12004,2005k n n k k ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=≤≤∈⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭N 的元素个数． 解：由()2212111002200520052005k k k k ++-=≤≤，解得 即当()()2222111,2,3,,100212005200520052005k k k k k ⎡⎤⎡⎤++⎡⎤⎡⎤===+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 时或 22210021500,0,1,2,,1002,0,1,,500200520052005k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 当时能取遍 ()()222222222211003,1004,,2004,1,2005200511003100420041,,,,2005200520052005200520041002100210031002501,200520052k k k k k k n n +=->⎡⎤+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤≥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦-=⎡⎤⎡⎤>⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦= 另外,当时由于故即各不相同，这些数有个注意到＝就知集合,12004,50110021503005k k N ⎧⎫⎡⎤⎪⎪≤≤∈⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭共有＋＝个元素.五、（本题满分16分）数列{}n f的通项公式为n n n f ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，n ∈+Z ． 记1212C +C +C n n n n n n S f f f =，求所有的正整数n ，使得n S 能被8整除．解：记αβ==则()()()()1000S11n ni i i i i in n ni in nn ni i i in ni in nC CC Cαβαβαβαβ=====--⎫⎤=-=+-+⎪⎦⎭⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦∑∑注意到3553,12222+=⋅=，可得()1121S3S Sn n n n nn n++++⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥=-+--⎢⎥⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎭=-*因此，S n+2除以8的余数，完全由S n+1、S n除以8的余数确定11211122122,3S C f S C f C f==+=，故由(*)式可以算出{}n S各项除以8的余数依次是1,3，0,5，7,0，1,3，……，它是一个以6为周期的数列，从而83nS n⇔故当且仅当38nn S时，。

2017年广西创新杯数学竞赛高二年级决赛试题参考答案一、选择题（每小题6分，共36分）1. 已知向量,a b 满足1a =，a 与b 的夹角为3π，若对一切实数x ，2xa b a b +≥+恒成立，则b 的取值范围是（ ） A ．1[,)2+∞ B ．1(,)2+∞ C ．[1,)+∞ D ．(1,)+∞ （韦兴洲供题）答案：C 解析：由对一切实数x ，2xa b a b +≥+恒成立，得222xa b a b +≥+，即222224+42x a b xa b a b a b +≥++，把1a =，a 与b 的夹角为3π代入，整理得()222310x x b b b ++--≥恒成立，故()22=44310b b b ∆---≤，解得1b ≥． 2. 设)2017sin(sin o a =，)2017sin(cos o b =，)2017cos(sin o c =，)2017cos(cos o d =，则d c b a ,,,的大小关系是（ ）A.d c b a <<<B.c d a b <<<C.a b d c <<<D. b a c d <<< （王强芳供题）答案：B解析：o o o 21736052017+⨯= ，o o o o 217cos 2017cos ,217sin 2017sin ==∴ o o o 225217180<< 21217cos 217sin 0π->->>>∴o ob a o o =>=>∴)217sin(cos )217sin(sin 00)217cos(cos )217cos(sin >=>=dc o o 因此cd a b <<<，选B3．已知两个等差数列和的前n 项和分别为n A 和n B ,且,则当n na b 为正偶数时,n 的值可能是（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3（苏华东供题）答案：D解析：（排除法）当n =6时，76131145117)(11)(11111111111111111166=++⨯==++=++=B A b b a a b b a a b a ，不{}n a {}n b 7453n n A n B n +=+是正偶数，选项A 错；当n =5时，9394597)(9)(9999191919155=++⨯==++=++=B A b b a a b b a a b a ，不是正偶数，选项B 错；当n =4时，547374577)(7)(7777171717144=++⨯==++=++=B A b b a a b b a a b a ，不是正偶数，选项C 错；当n =3时，10354557)(5)(5555151515133=++⨯==++=++=B A b b a a b b a a b a ，是正偶数，因此答案选D ．4. 已知b a <<0，在b a ,之间插入一个正数k ，使得b k a ,,成等比数列，在b a ,之间插入两个正数n m ,，使得b n m a ,,,成等差数列，则2)1(+k 与)1)(1(++n m 的大小关系为（ ）A. 2)1(+k )1)(1(++<n mB. 2)1(+k )1)(1(++=n mC. 2)1(+k )1)(1(++>n mD. 不确定（王强芳供题）答案：A解析：b k a ,,成等比数列，则ab k =2， 所以)1)(1(11212)1(22++=+++<++=++=+b a b a ab ab ab k k k ． b n m a ,,,成等差数列，则n m b a +=+且m n m n a b ->-=-)(3．所以)1()1()1()1(+++=+++n m b a ，且)1()1()1()1(+-+>+-+m n a b 因此)1)(1()1)(1(++>++b a n m ．2)1(+∴k )1)(1(++<n m ．5．设)(x f 是定义在R 上的偶函数，对R x ∈，都有)2()2(+=-x f x f ，且当]0,2[-∈x 时，1)21()(-=x x f ，若在区间(－2，6]内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．)D ．,2)（唐光明供题）答案：D解析：∵对于任意的R x ∈，都有)2()2(+=-x f x f ，∴函数)(x f 是一个周期函数，且T=4．又∵]0,2[-∈x 时，1)21()(-=x x f ，且函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，若在区间(－2，6]内关于x 的方程)1(0)2(log )(>=+-a x x f a 恰有3个不同的实数根，则函数)(x f y =与)2(log +=x y a 在区间（-2，6]上有三个不同的交点，如下图所示：又3)2()2(==-f f ，则有34log <a ，且38log >a . 解得：243<<a .选D.6. 黑板上写有1，12，13，…，1100共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）（A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99 （赵继源供题）答案：C解析：1)1)(1(-++=++b a ab b a ∵计算结果与顺序无关． ∴顺次计算得：21)121)(11(=-++，31)131)(12(=-++，41)141)(13(=-++，…… 1001)11001)(199(=-++． 二、填空题（每小题9分，共54分）1. 若函数0(log )(>=a x x f a 且)1≠a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a = ． （唐光明供题）答：42或2． 解析：当10<<a 时，有)2(lo g 3lo g a a a a =，解得42=a ．当1>a 时，有)2(lo g lo g 3a a a a =，解得2=a ．2．若直线经过圆的圆心，则的最小值为________________（苏华东供题）答案：9解析：将圆的方程变形为()()221417x y -+-=,可知圆心为()1,4,半径为．直线过圆心()1,4．即()141,0,0a b a b+=>>． 0,0a b >>,()144559a b a b a b a b b a⎛⎫∴+=++=++≥= ⎪⎝⎭,当且仅当4a b b a =即3,6a b ==时取等号．3.已知)cos 1(22cos )(x a x x f +-=的最小值为12-，则实数a 的值为 ．（黎福庆供题）答案：2-解：2()2cos 122cos f x x a a x =---2212(cos )2122a x a a =----， (1) 2a >时，()f x 当cos 1x =时取最小值14a -；(2) 2a <-时，()f x 当cos 1x =-时取最小值1；(3) 22a -≤≤时，()f x 当cos 2a x =时取最小值21212a a ---． 又2a >或2a <-时，()f x 的最小值不能为12-， 故2112122a a ---=-，解得2a =-2a =-舍去) 4. 在四面体ABCD 中，2DA DB DC ===，DA DB ⊥，DA DC ⊥，且DA 与平面ABC．则该四面体外接球体积为 ． （卢瑞庚供题）答案：.34π解析：如图，作DO ABC ⊥面于O ，连结AO ，并延长交BC 于点E ，连结DE ．则DAE ∠是DA 与平面1(0,0)x y a b a b+=>>22280x y x y +--=a b +22280x y x y +--=1(0,0)x y a b a b +=>>ABC 所成的角，cos DAE ∠= ∵ 2DA DB DC ===，DA DB ⊥，DA DC ⊥，∴ DA DBC ⊥面，O 为ABC △的外心，且AB AC ==∴ DA DE ⊥，E 为BC 中点，结合cos DAE ∠=知，AE =，BE ===∴ 2B C B E ==DB DC ⊥．∴ DA 、DB 、DC 两两互相垂直，四面体外接球半径R =．.34343ππ==R V 5．不等式213328x x +-+≥的解集为__________． （赵继源供题）答案：为(][)+∞-∞-,12,解析：当12<<-x 时，()()31212=--+=-++x x x x ，且()x x x x x g -+-++=+=12123333⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-x x 33391在(]1,2--上是减函数，在[)1,1-上是增函数()()()2812==-<g g x g ． 当1≥x 时，()12-++=x x x f 是增函数，所以当1≥x 时，()1233-++=x x x g 是增函数， 且()()2813312=≥+=-+g x g x x ．当2-≤x 时，()12-++=x x x f 是减函数，所以当2-≤x 时，()1233-++=x x x g 是减函数，且()()2823312=-≥+=-+g x g x x ． 所以不等式213328x x +-+≥的解集为(][)+∞-∞-,12, ．6．设[]a 表示不大于a 的最大整数，则方程178x x ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的最大正整数解为_____． （赵继源供题） 答案：104. 解析：设1187≥=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡m x x ，则r m x +=7，70<≤r ，18-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡m x ，所以m x m <≤-81，m x m 888<≤-，所以，m r m m 8788<+≤-． r m r +≤<8，70<≤r ，151<≤m当71≤≤m 时，解为r m x +=7，1,,2,1,0-=m r ．当148≤≤m 时，解为r m x +=7，6,,7,8 --=m m r ．当14=m ，68=-=m r 成立，所以1046147=+⨯=x ．三、解答题（每小题20分，共60分）13.（20分）已知抛物线2x y =与直线)12()2(--+=k x k y ．（1）证明：无论k 为什么实数，该抛物线与直线恒有两个不同的交点．（2）设该抛物线与直线的两个不同交点分别为),(),,(2211y x B y x A ，若21,x x 均为整数，求实数k 的值．（王强芳供题）（1）证明：联立⎩⎨⎧--+==)12()2(2k x k y x y 消去y 得0)12()2(2=-++-k x k x ……5分因04)2(84)12(4)2(222>+-=+-=--+=∆k k k k k ，所以，该抛物线与直线恒有两个不同的交点． ……10分（2）解：由（1）及根与系数的关系得 12,22121-=+=+k x x k x x ． 消去k 得1)2)(2(522212121-=--⇒-=--x x x x x x ． ……15分不妨设21x x <，则⎩⎨⎧=--=-121221x x ⎩⎨⎧==⇒3121x x ，于是2=k ． ……20分14. 设函数1c o s 4s i n 3)(++=x x x f ，求实数b a ,和实数]2,0[πθ∈使得1)()(=-+θx bf x af 对任意实数x 恒成立．（黎福庆供题）解：由题设可得1)sin(5)(++=ϕx x f ，其中20π<<ϕ且34tan =ϕ， 1)sin(5)(+-+=-θϕθx x f ，将它们代入条件1)()(=-+θx bf x af 中,可得1)sin(5)sin(5=++-+++b a x b x a θϕϕ，............................5分即0)1()cos(sin 5cos )sin(5)sin(5=-+++-+++b a x b x b x a ϕθθϕϕ， 所以0)1()cos(sin 5)sin()cos (5=-+++-++b a x b x b a ϕθϕθ.........................10分 由已知条件，上式对任意R x ∈恒成立，故必有0cos =+θb a ①0sin =θb ②01=-+b a ③这三个式子应同时成立. ................................15分若0=b ，则由①知0=a ，显然不满足③式，故0≠b .所以，由②知0sin =θ, 故πθ=或πθ20，=．当πθ20，=时，1cos =θ，则①、③两式矛盾.故πθ=，1cos -=θ.由①、③知21==b a . ............................20分 15.（20分）在锐角ABC ∆中，已知BC AH ⊥于点H ，P 为高AH 上的一点，过点P 作AB 的垂线与ABH ∆的外接圆交于点D D ',，过P 作AC 的垂线与ACH ∆的外接圆交于点E E ',.证明：E E D D '',,,四点共圆，并指出所共圆的圆心．（王强芳供题） 证明：因为BC AH ⊥，且A 、H 、C 、E 四点共圆，所以EC AE ⊥因为BC AH ⊥，且A 、H 、B 、D 四点共圆，所以DB AD ⊥……5分 而BC AP ⊥2222AC AB PC PB -=-⇒)()(2222EC AE DB AD +-+=2222DB DA PB PA AB PD -=-⇒⊥2222EA EC PA PC CA EP -=-⇒⊥ ……10分将三式相加即可得0)(222=-AE AD ，所以AE AD = ……15分又⊥'D D 直径AB ，⊥'E E 直径AC E A AE D A AD '='=⇒, E E D D '',,,四点共圆，其圆心为A ……20分。

2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a中，2a =，3a =1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x +是奇函数，()2x f x +是偶函数，则(1)f 的值为 .4.在ABC ∆中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|xxa -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-，1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图，点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈，集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值.。

2017年浙江省高中数学竞赛试卷一、填空题：本大题共10个小题,每小题8分,共80分. 1.在多项式310(1)(2)x x -+的展开式中6x 的系数为 ． 2.已知3)a -=,则实数a = ．3.设2()f x x ax b =++在[]0,1中有两个实数根,则22a b -的取值范围为 ．4.设x ,y R ∈,且222222sin cos cos cos sin sin 1sin()x x x y x yx y -+-=+,则x y -= ．5.已知两个命题,命题p :函数()log a f x x =(0x >)单调递增；命题q ：函数2()1g x x ax =++ （x R ∈）．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则实数a 的取值范围为 ．6.设S 是5(0,)8中所有有理数的集合，对简分数q S p ∈，(,)1p q =，定义函数1()q q f p p +=，则2()3f x =在S 中根的个数为 ． 7.已知动点P ，M ，N 分别在x 轴上，圆22(1)(2)1x y -+-=和圆22(3)(4)3x y -+-=上，则||||PM PN +的最小值为 ．8.已知棱长为1的正四面体P ABC -，PC 的中点为D ，动点E 在线段AD 上，则直线BE 与平面ABC 所成的角的取值范围为 ．9.已知平面向量a r ，b r ，c r ，满足||1a =r ，||2b =r ，||3c =r ，01λ<<，若0b c ⋅=r r，则|(1)|a b c λλ---r r r所有取不到的值的集合为 ．10. 已知22,0,()1,0,x x f x x x -<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩方程()|()240f x f x ax +---=有三个根123x x x <<．若32212()x x x x -=-，则实数a = ．二、解答题：本大题共5个小题，满分120分，将答案填在答题纸上）11. （本题满分20分）设1()f x =1()n f x +，1,2,n =L ．对每个n ， 求()n f x 3x =的实数解．12. （本题满分20分）已知椭圆22162x y +=的右焦点为F ，过F 的直线(2)y k x =-交椭圆于P ，Q 两点(0)k ≠．若PQ 的中点为原点，直线ON 交直线3x =于M ． （Ｉ）求MFQ ∠的大小； （Ⅱ）求PQMF的最大值．13. （本题满分20分）设数列{}n a 满足：1|2|2n n a a +-=，||2n a ≤，1,2,3,n =L ． 证明：如果1a 为有理数，则从某项后{}n a 为周期数列．14. （本题满分30分）设1a ，2a ，3a ；1b ，2b ，3b Z +∈，证明：存在不全为零的数1λ，2λ， {}30,1,2λ∈，使得112233a a a λλλ++和112233b b b λλλ++同时被3整除．15. （本题满分30分）设{}12,,n a a a σ=…,为{}1,2,,n …的一个排列，记11()ni i i F a a σ+==∑，11n a a +=，求min ()F σ．。