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量子动力学物理状态和观测量随时间的变化

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2.2 薛定谔图像与海森堡图像

2.2 薛定谔图像与海森堡图像



V x xi
;
dxi dt

1 i
xi ,
1 i
i
pi


pi m

由于 xi
与 V x 对易，dxi dt
与自由粒子情形相同。
d 2xi
dt 2

1 i
dxi dt
,



1 i

pi m
,


1 V x m xi
即基矢随时间变化为 a,t H u a 。
t
t0
可见海森堡图像的基矢与薛定谔图像的态矢旋转方向相反，
前者满足错号的薛定谔方程：
i a,t a。,t
t


注：基矢对应的本征值则由上可知不随时间变化，与么正 等价观测量具有相同本征谱这点相一致。
十、算符和态矢的展开
1
i
p
d x





x i p d x ',x
xdx'
方法二为 ，
1
1
i
p


d
x



x
i
p d x ',x
x d x
两者都得到相同的结果 x x d x
t0

2t 2 4m2
表明粒子的位置会随时间而变得越来越不确定。
八、 Ehrenfest定理
考虑粒子在势场 V x中运动。
p2 V x , V x 是x，y，z算符的函数
2m
dpi
dt

量子力学_第三章3.8力学量期望值随时间的变化__守恒定律

量子力学_第三章3.8力学量期望值随时间的变化__守恒定律

2. 例子（运动恒量举例）
<1>自由粒子的动量
ˆ2 p ˆ 当粒子不受外力，即 H 时 2 ˆ p ˆ, H ˆ ] i [p ˆ ] j[p ˆ ] k[p ˆ]0 ˆ x,H ˆ y,H ˆ z,H 如果 0 ， [p t
dp 0 ，即为量子力学中的动量守恒定律。 则有 dt
ˆ 的本征值 C 1 。 所以 P
Байду номын сангаас
ˆ (x, t) (x, t) ； P ˆ (x, t) (x, t) 即： P 1 1 2 2
ˆ 的本征函数中本征值为 1 的 为有偶宇称态，本征值为 1 称P 1
的 2 为有奇宇称态。
ˆ 在空间反演不变时的宇称守恒： c. H
2 2 ˆ L 2 ˆ 2 , H] ˆ [L ˆ2 , ˆ2 , ˆ 2 , U(r)] 0 [L (r )] [L ] [L 2r 2 r r 2r 2 ˆ ,H ˆ ] 0； ˆ2 ,L ˆ ] 0 , [L ˆ ,H ˆ ] [L ˆ2 , L ˆ ]0， ˆ ,H ˆ ] [L ˆ2 , L ˆ ]0 [L [ L [L z x z
化。因 完全描写态，知道 ( r , t ) 后，即可求得每一个时刻 t 各 dinger 方 程 ， 故 o 力 学 量 的 变 化 。 而 态 ( r , t ) 的 变 化 遵 从 Schr
2 dinger 方程不仅可以直接描写 ( r , t ) 的变化，而且还能间 Schr o
二、守恒定律
ˆ 1 d F F ˆ 不显含时间 t ，即 ˆ,H ˆ ] 中，如果 F 1. 在运动方程 [F dt t i ˆ dF F ˆ ˆ ＝0，即 F 平均值不随 0 ，并且 [F, H] 0 (即对易)，则有 dt t

第五章力学量随时间的演化与守恒量教材

第五章力学量随时间的演化与守恒量教材

第五章 力学量随时间的演化与守恒量§1 力学量随时间的变化在经典力学中，处于一定状态下的体系的每一个力学量作为时间的函数，每一个时刻都有一个确定值；但是， 在量子力学中，只有力学量的平均值才可与实验相比较，力学量随时间的演化实质是平均值和测量值的几率分布随时间的演化。

一、守衡量力学量ˆA在任意态()t ψ上的平均值随时间演化的规律为 ˆˆ1ˆˆ,dA A A H dt t i ∂⎡⎤=+⎣⎦∂， 其中ˆH为体系的哈密顿量。

[证明] 力学量ˆA的平均值表示为()ˆ()(),()A t t A t ψψ=，()A t 对时间t 求导得 ()()ˆ()()()ˆˆ,()(),(),()ˆ11ˆˆˆˆ (),()(),()ˆ11ˆˆˆˆ (),()(),()1 d A t t t A A t t A t t dt t t t A H t A t t AH t i i t A t HA t t AH t i i tψψψψψψψψψψψψψ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭∂=-+ψ+∂=ˆˆˆ,AA H i t∂⎡⎤+⎣⎦∂⇒ˆ()1ˆˆ,d A t A A H dt i t∂⎡⎤=+⎣⎦∂ 1、 守恒量的定义若ˆA不显含t ， 即ˆ0A t ∂∂=， 当ˆˆ,0A H ⎡⎤=⎣⎦，那么力学量ˆA 称为守恒量。

2、守恒量的性质(1)、在任意态()t ψ上，守恒量的平均值都不随时间变化0dA dt =。

(2)、在任意态()t ψ上，守恒量的取值几率分布都不随时间变化。

[证明] 由于ˆˆ[,]0A H =知，存在正交归一的共同本征函数组{}nψ（n 是一组完备的量子数），即 ˆˆn n nn n nH E A A ψψψψ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 正交归一化条件(),n m mn ψψδ=对于体系的任意状态()t ψ可展开为： ()()n nnt a t ψψ=∑， 展开系数为()(),()n n a t t ψψ=在体系的任意态()t ψ上测量力学量ˆA 时，得到本征值nA 的几率为2|()|n a t ， 而 ()()()()()()*2*()()()()()()(),,()(),,1()1() ,,()(),,11ˆ (),,()n n n n n n n n n n n n n n n da t da t d a t a t a t dt dt dtt t t t t t t t i t t i i t i t H t t i i ψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ=+∂∂⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=-+()()()()()()()()()()ˆ(),,()11ˆˆ (),,()(),,() (),,()(),,()0n n n n n n n n n n n n t H t t H t t H t i i E Et t t t i i ψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ=-+=-+= 这表明2|()|n a t 是与时间无关的量。

高等量子力学 量子动力学

高等量子力学 量子动力学

六、能量本征矢
知道时间演化算符随时间变化，还需要知道它如何作用于 一态矢才能求出态矢的时间变化。如果我们选用能量本征态 为基，则时间演化算符对态的作用可轻易求得。 有
Η a′ = Ε a′ a′ ； α , t0 = 0 = a′ a′ a = ca′ a′ a′ a′
e
− iHt
= a′′ a′′ e
− i Η ( t − t0 )
t0

容易验证该 u ( t , t0 ) 满足 Schrodinger 方程：
∂ i ∂ t exp − i t dt ′Η ( t ′ ) = − i Η ( t ) u ( t , t ) ′ ′ Η u ( t , t0 ) = − dt t ( ) 0 t0 ∂t ∂t t0
第二章：量子动力学
(物理状态和观测量随时间的变化)
2.1 时间演化和 Schrodinger 方程


时间在量子力学中是参量而非算符，因而不是 可观测量。与谈论坐标算符那样谈论时间算符 是无意义的。 相对性量子理论确将时空对等处理，但代价是 将位置作为参量而非观测量处理。
一、时间演化算符

设一物理态矢在 t0 由 α 表示，在 t > t0 状态由 α , t0 ; t lim α , t0 ; t = α ，简写成， 表示。由于时间是连续参量，
= ca ' a '
a'
：
iΕα ′t − iΕ a′′t * B = Ca ′ a ′ e B Ca′′e a′′ = a ′′ a′
C
a ′a ′′
* a′
Ca′′

量子力学中的波函数演化与测量

量子力学中的波函数演化与测量

量子力学中的波函数演化与测量量子力学是一个以概率为基础的理论，旨在描述微观世界中的粒子行为。

在量子力学中，波函数是描述系统状态的数学对象。

波函数演化和测量是量子力学研究中的重要问题。

波函数演化是指根据系统的哈密顿量，描述波函数随时间的演化规律。

根据薛定谔方程，波函数的时间演化由哈密顿量决定，即iħ∂ψ/∂t=Hψ。

在经典物理学中，物体的位置和动量可以同时确定。

而在量子力学中，波函数则包含了物体的位置和动量的信息。

波函数的演化可以由薛定谔方程通过时间演化算符U(t)=exp(-iHt/ħ)来表达。

量子系统的演化在数学上由波函数的线性叠加性质来描述。

在量子力学中，系统的状态可以用一系列基态的线性组合来表示，即|ψ⟩=c1|1⟩+c2|2⟩+...+cn|n⟩。

每个基态对应一种特定的物理量，如位置或动量。

通过演化算符作用在初始态上，波函数会随着时间的推移而发生演化。

在测量过程中，波函数会发生塌缩现象。

量子力学规定，测量结果只能是波函数所对应的一系列基态中的某一个。

当进行测量时，波函数将塌缩为一个特定的基态，而其他基态的几率将被消除。

根据量子力学的统计解释，这种塌缩现象是不可预测的。

测量的结果可以用波函数的模方来描述。

波函数的模方代表了在测量时发现某个特定基态的几率。

具体地，当测量引起波函数的塌缩时，系统将处于被测量基态的状态，而其他基态的几率将为零。

这解释了为什么测量量子系统时，它的状态将塌缩为所测量基态的同一结果。

测量过程中，观测者的角色是非常关键的。

量子力学将观测者与测量过程相互关联起来。

观测者的存在不仅影响测量结果，还会影响从测量中得到的信息。

这种关联性被称为“观察效应”。

量子力学的波函数演化和测量是一对相互关联的概念。

系统的演化是根据波函数的动力学方程进行的，而测量过程则是将波函数塌缩为特定基态的结果。

这两个概念的理解对于量子力学的研究和应用都至关重要。

总之，量子力学中的波函数演化和测量是研究微观世界行为的重要问题。

量子力学中的时间演化和时间不变性

量子力学中的时间演化和时间不变性

量子力学中的时间演化和时间不变性在量子力学中，时间演化和时间不变性是两个重要的概念。

时间演化描述了量子系统随时间的变化，而时间不变性则指的是量子系统在不同时间点上的性质保持不变。

本文将探讨量子力学中的时间演化和时间不变性，并讨论它们在实际应用中的意义。

首先，让我们来了解一下量子力学中的时间演化。

根据量子力学的基本原理，一个量子系统的状态可以用波函数来描述。

波函数的时间演化由薛定谔方程给出。

薛定谔方程是一个偏微分方程，描述了波函数随时间的变化。

根据薛定谔方程，波函数的时间演化是通过一个算符来实现的，这个算符被称为时间演化算符。

时间演化算符作用在波函数上，使其随时间变化。

时间演化算符的形式可以通过哈密顿算符来确定。

哈密顿算符是描述量子系统能量的算符，它包含了系统的动能和势能。

通过求解薛定谔方程，我们可以得到哈密顿算符的本征值和本征态。

本征态对应于量子系统的稳定状态，而本征值则对应于系统的能量。

时间演化算符可以通过哈密顿算符的本征态和本征值来表示。

具体而言，时间演化算符可以写成指数形式，其中指数项的参数与哈密顿算符的本征值有关。

时间演化算符的作用是将波函数从一个时间点演化到另一个时间点。

它描述了量子系统在不同时间点上的状态之间的关系。

通过时间演化算符，我们可以计算量子系统在任意时间点上的波函数。

这为我们研究量子系统的动力学性质提供了重要的工具。

例如，我们可以通过时间演化算符来计算量子系统的平均能量、概率分布等物理量。

除了时间演化，时间不变性也是量子力学中的一个重要概念。

时间不变性指的是量子系统在不同时间点上的性质保持不变。

换句话说，如果一个系统在某个时间点上具有某个性质，那么在任意其他时间点上，它仍然具有相同的性质。

这是由于量子力学中的哈密顿算符是时间无关的。

哈密顿算符的本征值和本征态在时间演化下保持不变。

因此，量子系统的能量和稳定态在时间演化过程中保持不变。

时间不变性在实际应用中具有重要意义。

例如，在量子计算中，时间不变性可以用于设计稳定的量子比特。

量子力学中的时间演化与时间守恒

量子力学中的时间演化与时间守恒量子力学是研究微观粒子行为的物理学分支，它描述了微观世界中的粒子和能量的行为。

时间演化和时间守恒是量子力学中的两个重要概念，它们揭示了微观粒子在时间上的变化和守恒规律。

本文将深入探讨量子力学中的时间演化与时间守恒。

首先，我们来了解时间演化在量子力学中的意义。

在经典物理学中，时间是一个绝对的概念，被认为是不可逆转的。

然而，在量子力学中，时间演化却不同。

根据量子力学的基本原理，微观粒子的状态可以用波函数来描述，而波函数的演化遵循著名的薛定谔方程。

薛定谔方程描述了波函数随时间的变化，即时间演化。

量子力学中的时间演化可以通过薛定谔方程的求解来实现。

薛定谔方程是一个偏微分方程，它包含了微观粒子的动能和势能。

通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子的波函数随时间的变化规律。

这种变化是连续的，即波函数在不同时间点上的取值是连续变化的，而不是突变的。

这意味着微观粒子的状态是连续演化的，而不是突然发生变化的。

在量子力学中，时间演化还可以用算符的形式来描述。

量子力学中的算符是描述物理量的数学对象，它可以对波函数进行操作。

时间演化算符是一个重要的算符，它描述了波函数随时间的演化。

时间演化算符的作用是将波函数在一个时间点上的取值映射到另一个时间点上的取值。

通过对时间演化算符的作用，我们可以得到任意时间点上的波函数。

时间演化在量子力学中有着重要的应用。

例如，在量子力学中，我们可以通过时间演化来计算粒子在不同时间点上的位置和动量。

通过对波函数进行时间演化，我们可以得到粒子的位置和动量随时间的变化规律。

这为我们研究微观粒子的运动提供了重要的工具。

除了时间演化，时间守恒也是量子力学中的一个重要概念。

时间守恒是指在一个封闭系统中，总能量守恒的规律。

在量子力学中，能量是一个重要的物理量，它决定了粒子的行为。

根据量子力学的基本原理，一个封闭系统中的总能量是守恒的，即总能量在时间上不变。

时间守恒的概念可以通过量子力学的哈密顿算符来描述。

量子物理学对时间与空间的理解与解释

量子物理学对时间与空间的理解与解释量子物理学是研究微观世界的学科，它提供了一种新的视角来理解时间与空间。

在传统物理学中，时间与空间被认为是绝对且独立的存在，然而，量子理论的发展改变了这种观点。

本文将从量子力学的角度，讨论量子物理学对时间与空间的理解与解释。

一、时间的量子观1. 不确定性原理下的时间根据不确定性原理，我们无法同时准确测量粒子的位置和动量。

这意味着我们无法准确预测粒子在某一时刻的位置。

时间在量子力学中也受到不确定性的影响，我们无法精确定义一个粒子的绝对时间。

相反，时间在量子物理学中被看作是一种概率性的存在，它与测量的过程和粒子的状态相关联。

2. “不连续”的时间在经典物理学观念中，时间是连续且无限可分的，这意味着时间可以被任意细分。

然而，量子物理学表明，时间可能是离散的，存在于一系列的时间点上。

这种离散和不连续的时间称为“量子时间”。

根据量子力学，粒子的状态和演化可能只在特定的时间点上发生。

二、空间的量子观1. 不确定性原理下的空间类似于时间，空间也受到不确定性原理的限制。

我们无法同时准确测量粒子的位置和动量，因此无法精确定义粒子的绝对位置。

相反，空间在量子物理学中被看作是一种概率性的存在，与测量和粒子状态相关。

2. 空间的量子化量子物理学认为，空间可能是离散和量子化的。

这意味着空间可以被看作是由一系列最小单位构成的，类似于像素构成图像一样。

这些最小单位被称为“空间量子”或“空间量子化”。

三、相对论与量子物理学的结合相对论与量子物理学是现代物理学的两大支柱。

相对论描述了宏观世界的引力和时空结构，而量子物理学描述了微观世界的粒子和能量交换。

将相对论和量子力学结合起来，可以解释时间与空间的微观行为。

1. 量子引力理论量子引力理论是一种旨在将量子力学和广义相对论相结合的理论。

这个理论试图解释引力如何在量子层面上与时间和空间相互作用。

它提供了一种新的视角来理解时间和空间的微观性质。

2. 弦理论弦理论是一种结合了相对论和量子力学的理论，它将粒子看作是一维的振动弦。

量子力学中的动力学演化与时间发展算符

量子力学中的动力学演化与时间发展算符量子力学是研究微观粒子行为的理论框架，它描述了微观粒子如何在不同的状态之间转变，并且可以用数学工具来预测它们的行为。

动力学演化和时间发展算符是量子力学中非常重要的概念，它们描述了量子系统随时间的演化规律和状态的变化。

动力学演化是指量子系统如何从一个初始状态随时间演化到另一个状态。

在量子力学中，一个系统的状态可以用波函数表示，而动力学演化可以由薛定谔方程来描述。

薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，它描述了波函数随时间的变化规律。

薛定谔方程可以写成如下形式：iħ∂ψ/∂t = Hψ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常数的约化形式，ψ是系统的波函数，H是系统的哈密顿算符。

薛定谔方程告诉我们，系统的波函数随时间的变化是由哈密顿算符决定的。

时间发展算符是描述量子系统随时间演化的数学工具。

时间发展算符可以用来计算系统在任意时间的状态，它可以通过薛定谔方程进行推导。

时间发展算符可以写成如下形式：U(t, t0) = exp(-iH(t-t0)/ħ)其中，U(t, t0)表示从时间t0到时间t的时间发展算符，exp是指数函数，-iH(t-t0)/ħ是哈密顿算符的时间积分。

时间发展算符告诉我们，系统的波函数在任意时间t的状态可以通过初始状态和哈密顿算符来计算得到。

动力学演化和时间发展算符的概念在量子力学中有广泛的应用。

通过动力学演化和时间发展算符，我们可以研究量子系统的时间演化规律，预测系统在不同时间的状态，以及计算系统在不同时间的物理量。

例如，我们可以通过时间发展算符来计算系统在某个时刻的位置、动量、能量等物理量。

此外，动力学演化和时间发展算符还可以用于描述量子系统的相互作用和演化过程。

在量子力学中，相互作用可以通过哈密顿算符的形式来描述。

通过时间发展算符，我们可以计算系统在相互作用下的演化过程，研究系统的态随时间的变化。

总之，动力学演化和时间发展算符是量子力学中非常重要的概念。

量子力学中的测量为何测量会改变物体的状态

量子力学中的测量为何测量会改变物体的状态量子力学是描述微观世界的理论框架，于20世纪初建立，其研究对象是微观粒子，如电子、光子等。

测量是量子力学中一个重要的概念，而人们普遍观察到的现象是，测量一个量子系统的状态会改变它的状态。

这种奇特的现象对于量子力学的理解起着至关重要的作用。

本文将探讨量子力学中测量的意义以及测量为何会改变物体的状态。

1. 量子力学中的测量意义在经典物理学中，测量是对物体状态的观测，不会对物体的状态产生具有根本性的改变。

然而，在量子力学中，情况却完全不同。

量子力学认为，测量不仅是对物体状态的观测，同时也是对物体状态的投影或干涉的过程。

量子系统的状态被描述为波函数，测量会导致波函数的坍缩，从而使得系统处于一个确定的状态。

量子力学中的测量具有概率性。

根据波函数的坍缩，测量结果并不确定，而是以概率形式给出。

测量结果的概率由波函数的模方给出，即波函数的幅度的平方。

这种概率性的存在是量子力学与经典力学的重要区别之一。

2. 系统的态和观测算符在量子力学中，一个系统的态由波函数描述。

即量子力学认为，一个系统在给定时刻的态可以由其波函数确定，而波函数的演化由薛定谔方程决定。

然而，在测量时，我们实际上是对某个物理量进行观测，而不是观测整个系统。

在量子力学中，每个物理量都对应一个与之相关的观测算符。

观测算符作用在波函数上，得到观测值，即测量结果。

观测算符的本征态（归一化的特征向量）对应于测量结果的可能取值。

当进行测量时，系统的波函数会坍缩为观测算符的某个本征态。

3. 变换和叠加态当系统处于多个本征态上时，它处于叠加态中。

叠加态是量子力学中的一个重要概念，描述了系统具有多个可能的状态的叠加。

在测量之前，系统处于叠加态中，即处于所有可能状态的线性组合。

然而，一旦测量进行，系统将坍缩为其中一个本征态上。

测量结果的不确定性以及叠加态的存在导致了测量后的状态改变。

在测量之前，我们无法确定系统处于哪个本征态，而只能得到观测值的概率。

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1

x x d x


两者都得到相同的结果 经典物理并无态矢的概念，但有平移、时间演化等。平移和时 间演化等作用于物理量如坐标，角动量等可观测量而使其改变。 因此，方法2）似乎与经典力学的联系更密切。
四、薛定谔绘景与海森堡绘景中的态矢和观测量

, t0 0; t S u t , t0 0 在薛定谔绘景中态矢随时间变化，
2. 对一般

ca a
a
C t c ，
a
* a
iE t a cae a a a
由于振荡项的作用，一般 C t 随时间而变小。 原则上，态消亡后仍有可能复活。
dE E ， E 为能量本征态的态密度， 对准连续谱， a'
二、时间演化算符的性质
, t0 ; t 1. (时间的)连续性 lim t t0
2. 幺正性（几率守恒） , t0 , t0 1 , t0 ; t , t0 ; t 1 即对 有
a a

lim u (t 0 , t ) 1
t t 0
u to , t u t o , t 1
这里 u t u t , t0 0 e

iHt
，算符不变 A S t A S t0 0。

it
2
c e
仍为
it
2

若 c 1, c 0 ，则
, t0 0; t
态。
八、自旋进动（续）

若 t0 0 时为sx
sx , to 0; t
2
c c 态，
则 t 时处于sx 态的几率为：
1 2
，
2
1 1 it 2 1 1 it 2 1 1 e | e | 2 2 2 2
a
即
Ca t 0 Ca t Ca t 0 e
iat
展开系数的模不变，但相位变化了。由于不同分量的相对相 位发生变化， , t0 0 与 , t0 ; t 可以是完全不同的。 i t 对 ,0 a ，则 ,0; t a e ，态保持为H与A的共同本征态。
i t exp i u t , t0 dt t t0 t t
i dt t t u t , t0 t0
t
3. 不同时的H不对易，如磁场方向随时间而变的自旋磁场作用 n 此时的解为 t t i t
a a a ； , t0 0 a a a ca a a a
e
iHt
a a e
a a
iHt
a a a e
a
i ' t
a
a
iat
；
, t0 0, t e
iHt
, t0 0 a a e
z

对 S 态， z E
e B |e| B Sz , 2me c m c e

i S z t 设 C | C | ， u t , 0 exp
, t0 0; t u t,0 c e
ca ' a '
a'
：
a
i t iat * B Ca a e B Cae a a
C
a a
* a
Ca
a | B | a e
i Ea Ea t
可见期望值一般是随时间变化的。 3. 对 a 也是B的本征态之特例（ B与H对易），则
u t0 dt , t0 1 idt
这里的 与坐标平移算子中的 相同，否则将推不出量子 力学的经典极限即牛顿运动定律
四、薛定谔方程
1. 时间演化算符的薛定谔方程 idt 由 u பைடு நூலகம்t dt , t0 u t dt , t u t , t0 1 u t , t0 ( (t-t0)不必为无穷小)
第二章：量子动力学
(物理状态和观测量随时间的变化) 2.1

时间演化和 Schrodinger 方程 时间在量子力学中是参量而非算符，不是可观测量。 相对性量子理论通过将位置作为参量而将时空对等处理

一、时间演化算符
时间演化 , t0 , t0；t
, to ; t u t, t0 , t0
B | Ca |2 a | B | a ' 不随时间变化
a
（与H对易的观测量是运动的常数）
八、自旋进动
e 考虑电子与磁场作用： s B e 0 me c eB 若 BBZ 。 ˆ ， S z ， , S 0
z
me c
t i , t0 ; t , t0 ; t t
五、时间演化算符的形式解
1. H与 t 无关，如稳恒磁场与磁矩的相互作用 此时容易解得
i
u t , t0 u t , t 0 t
u t , t0 e
it t0
2. H t ，但 t1 , t2 0 ，如方向恒定的交变磁场。则： i t u t , to exp dt t t0 容易验证该 u t , t0 满足 Schrodinger 方程：
2.2 薛定谔绘景与海森堡绘景
一、量子动力学的两种描述方法

薛定谔绘景：i）态矢随时间变化（通过作用于态矢的时 间演化算符描述），ii）观测量算符与时间无关。 海森堡绘景: i)态矢与时间无关, ii)观测量算符随时间变化 海森堡绘景和薛定谔绘景是等价的。

二、么正算符 量子力学中么正算符有多种功用： 1）一种表象的基矢与另一表象的基矢可由么正算符联系， 态矢本身不变，但其展开系数则因表象而变； 2）作用于态矢的空间平移和时间演化算符。在这种么正 算符作用下，态矢改变，但态矢的内积不变 ：

有 u t dt , t0 u t , t0 idt u t , t0
即
i
u t , t0 u t , t 0 t
2. 态矢时间演化的薛定谔方程 , t 对态矢 u t , t0 , t0 u t , t0 , t0 0 ，有 i 或 当然，若知 u t , t0 ，并知其对初态的作用，则无需解此方程 。
u t , t0 1 n 1

to
dt1 dt2
1
t0

n1
t0
dtn t1 t2
tn
在这一章中我们主要讨论第一种情形。
六、能量本征矢
知道时间演化算符随时间变化，还需知它如何作用于一态矢 才能求出态矢的时间变化。如果选用能量本征态矢为基，则 时间演化算符对态的作用可轻易求得。 有
0 0

即当时间大于特征时间
t
E
后，c t 将与1有较大差别。
t E
可见对非能量本征态，当演化时间超过
特征便消失了 （∆t寿命）。

时原态的
tE 常被称为时间---能量测不准关系。
要注意的是，这种测不准关系与不兼容算符的测不准关系 有本质的不同（时间是参量，不是算符。）




i p d x i p d x i x 1 x p d x ', x x dx' i p d x i p d x i 方法二： ，1 x 1 x p d x ', x x d x

ca g E |EEa ，有 C t dE E g E 2 eiE t ，
其中
dE E g E 1
2
。
九、关联振幅和能量一时间测不准关系（续）
3. 若初态近似为能量为 E0 的本征态，能量展宽为 E 。

则 C t eiE t dE E g E 2 ei E E t ，积分贡献主要来源 于 E E0 t 1 。
a
六、能量本征矢（续）
由上讨论可见量子力学的基本任务是找出与H对易的观测量 及其本征态。将初态由这个观测量的本征态展开，便可求出 态随时间的变化。 对有简并情形，我们需要找出一组完整的相互对易且与 H 对易的算符,并用它们的共同本征态为基。该基一般用组合 ' 指标 K ' 表征， K a, b, c, 这样,将任意态 以 K ' 展开将可求得其时间的演化了。
t2 t1 t0
三、时间演化算符的表达
与空间平移相似，考虑无穷小时间演化算符 u t0 dt , t0 ：
, t0 ; t0 dt u t0 dt, t0 , to
算符的连续性、幺正性和组合性可由 u t0 dt, t0 1 idt 且 为厄米算符来满足。 考虑到 的量纲与频率相同和经典力学中Hamiltonian是时 间演化的生成元，可合理地将 写为 ， 即
2 t cos for sx 2 sin 2 t for s x 2

可见在磁场作用下,原处于 sx 的自旋产生转动而处于 sx 的混和态，而且 sx 2 cos t 以角频率ω 振荡，且 等 于两态的能量差。类似可得 s y sin t , sz 0 ,即自旋