量子力学基础习题一、填空题在题中的空格处填上正确答案1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________;1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________;1103、在电子衍射实验中,│ψ│2对一个电子来说,代表___________________;1104、测不准关系是_____________________,它说明了_____________________;1105、一组正交、归一的波函数ψ1, ψ2, ψ3,…;正交性的数学表达式为 ,归一性的表达式为 ;1106、│ψ x 1, y 1, z 1, x 2, y 2, z 2│2代表______________________;1107、物理量xp y - yp x 的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____;1108、质量为 m 的一个粒子在长为l 的一维势箱中运动,1体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ；2体系的本征值谱为____________________, 最低能量为____________ ；3体系处于基态时, 粒子出现在0 ─ l /2间的概率为_______________ ；4势箱越长, 其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ；5若该粒子在长l 、宽为2l 的长方形势箱中运动, 则其本征函数集为____________,本征值谱为 _______________________________;1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动;波函数ψ211x ,y ,z = _________________________；当粒子处于状态ψ211时,概率密度最大处坐标是_______________________；若体系的能量为2247ma h ,其简并度是_______________; 1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子,其能级E =2243ma h 的简并度是_____,E '=22827ma h 的简并度是______________;1111、双原子分子的振动,可近似看作是质量为μ= 2121m m m m +的一维谐振子,其势能为V =kx 2/2,它的薛定谔方程是_____________________________;1112、1927年戴维逊和革未的电子衍射实验证明了实物粒子也具有波动性;欲使电子射线产生的衍射环纹与Cu 的K α线波长为154 pm 的单色X 射线产生的衍射环纹相同, 电子的能量应为___________________J;1113、对于波函数ψj 、ψj ,其归一性是指 ,正交性是指 ;1114、若算符Fˆ满足 或满足 , 则算符F ˆ为厄米算符;1115、一个质量为m 的微观粒子在箱长为a 的一维势箱中运动时,体系的势能为 ,体系的零点能为 ;1116、质量为 m 的一个粒子在长为l 的一维势箱中运动,1体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ；2体系的本征值谱为____________________,最低能量为____________ ；1117、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动;波函数ψ211x ,y ,z = _________________________；当粒子处于状态ψ211时,概率密度最大处坐标是_______________________；若体系的能量为2247ma h ,其简并度是_______________; 1118、对于立方箱中的粒子,考虑E < 15h 2/8ml 2的能量范围;在此范围内有 个态 在此范围内有 个能级1119、对氢原子 1s 态：1 2ψ在 r 为_______________处有最高值；2 径向分布函数 224ψr π在 r 为____________处有极大值； 3 电子由 1s 态跃迁至 3d 态所需能量为_____________;1120、对于立方势箱中的粒子,考虑出22815ma h E <的能量范围,在此范围内有 个能级 在此范围内有 个状态二、选择填空题选择正确的答案,填在后面的括号内1201、首先提出能量量子化假定的科学家是：---------------------------A EinsteinB BohrC SchrodingerD Planck1202、任一自由的实物粒子,其波长为λ,今欲求其能量,须用下列哪个公式---------------A λch E = B 222λm h E = C 2) 25.12 (λe E = D A,B,C 都可以1203、下列哪些算符是线性算符-----------------------------------------------------A dxd B ∇2C 用常数乘 D1204、下列函数中A cos kxB e -bxC e -ikxD 2ekx - 1 哪些是dxd 的本征函数；--------------------------------------------------------------- 2 哪些是的22dxd 本征函数；------------------------------------------------------------- 3 哪些是22dx d 和dxd 的共同本征函数;----------------------------------------------- 1205、线性算符Rˆ具有下列性质 RˆU + V = R ˆU +R ˆV R ˆcV = c R ˆV 式中c 为复函数,下列算符中哪些是线性算符 -----------------------------------A AˆU =λU , λ=常数 B BˆU =U C CˆU =U 2 D D ˆU = xU d d E EˆU =1/U1206、电子自旋存在的实验根据是：---------------------------------------------------------------A 斯登--盖拉赫Stern-Gerlach 实验B 光电效应C 红外光谱D 光电子能谱1207、一个在一维势箱中运动的粒子,1 其能量随着量子数n 的增大：------------------------A 越来越小B 越来越大C 不变2 其能级差 E n +1-E n 随着势箱长度的增大：-------------------A 越来越小B 越来越大C 不变1208、立方势箱中的粒子,具有E =22812mah 的状态的量子数; n x n y n z 是--------- A 2 1 1 B 2 3 1 C 2 2 2 D 2 1 31209、处于状态ψ x =sin x a π的 一维势箱中的粒子,出现在x =4a 处的概率为----- A P =ψ4a = sin a π·4a = sin 4π = 22 B P =ψ 4a 2= 21 C P = a 2ψ 4a =a1 D P =a2 ψ 4a 2= a 1 E 题目提法不妥,所以以上四个答案都不对1210、在一立方势箱中,2247ml h E ≤的能级数和状态数分别是势箱宽度为l ,粒子质量为m ：-----------------------------------------------------------------A 5,11B 6,17C 6,6D 5,14E 6,141211、关于光电效应,下列叙述正确的是：可多选 ---------------------------A 光电流大小与入射光子能量成正比B 光电流大小与入射光子频率成正比C 光电流大小与入射光强度成正比D 入射光子能量越大,则光电子的动能越大1212、提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：----------------------------A de BröglieB A. EinsteinC W. HeisenbergD E. Schrödinger1213、微粒在间隔为1eV的二能级之间跃迁所产生的光谱线的波数v~应为：--------------------------------A 4032 cm-1B 8065cm-1C 16130cm-1D 2016cm-11eV=×10-19J1214、普朗克常数是自然界的一个基本常数,它的数值是：-------------------A ×10-23尔格B ×10-30尔格·秒C ×10-34焦耳·秒D ×10-16尔格·秒1215、首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是：-----------------A 薛定谔B 狄拉克C 海森堡D 波恩1216、下列哪几点是属于量子力学的基本假设多重选择：------------------- Ａ电子自旋保里原理Ｂ微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄米算符表征Ｃ描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的Ｄ微观体系的力学量总是测不准的,所以满足测不准原理1217、描述微观粒子体系运动的薛定谔方程是：----------------------------------A 由经典的驻波方程推得B 由光的电磁波方程推得C 由经典的弦振动方程导出D 量子力学的一个基本假设1218、一电子被1000V的电场所加速,打在靶上,若电子的动能可转化为光能,则相应的光波应落在什么区域AX光区B紫外区C可见光区D红外区1219、由戴维逊－革末的衍射实验,观察某金属单晶晶面间距d为104pm上反射,若一级衍射的布拉格角控制为45º,则此实验要用多大的加速电压来加速电子单位：V---A<10 B25C70 D1501220、一维势箱的薛定谔方程求解结果所得的量子数n,下面论述正确的是A 可取任意整数B 与势箱宽度一起决定节点数C 能量与n 2成正比例D 对应于可能的简并态三、判断题对判断给出的命题的对错,正确的题号后画√,错误的题号后画×1301、根据测不准原理,任一微观粒子的动量都不能精确测定,因而只能求其平均值;1302、波函数平方有物理意义, 但波函数本身是没有物理意义的;1303、任何波函数ψ x , y , z , t 都能变量分离成ψ x , y , z 与ψ t 的乘积; 1304、ψ=cos x , p x 有确定值, p 2x 没有确定值,只有平均值;1305、一维势箱中的粒子,势箱长度 为l , 基态时粒子出现在x =l /2处的概率密度最小; 1306、波函数本身是连续的,由它推求的体系力学量也是连续的;1307、测不准关系式是判别经典力学是否适用的标准;1308、光照射到金属表面时,金属中有光电子产生,且照射光的强度越大,电子逸出金属表面的动能越大;1309、量子力学中力学量算符都是线性的、厄米的;1310、在电子的衍射实验中采用单个电子穿过晶体粉末,在足够长的时间后,在屏上得到了衍射环纹,这说明单个电子也可以产生波;四、简答题1401、对一个运动速率v<<c 的自由粒子,有人作了如下推导 ：mv v E v h hp mv 21=====νλ A B C D E 结果得出211=的结论;问错在何处 说明理由; 1402、简述一个合格的波函数所应具有的条件1403、被束缚在0<x <a 区间运动的粒子,当处于基态时,出现在≤x ≤ 区间内的概率是多少1404、一维势箱中一粒子的波函数ψn x =2/l 1/2sin n πx /l 是下列哪些算符的本征函数,并求出相应的本征值;A x p ˆ Ｂ 2ˆx p Ｃ x ˆ ＤH ˆ= m h 2)2/(2π22d d x1405、说明下列各函数是Hˆ,M ˆ2, M ˆz 三个算符中哪个的本征函数 ψ2pz , ψ2px 和ψ2p11406、一维势箱中运动的一个粒子,其波函数为a x n a πsin 2,a 为势箱的长度,试问当粒子处于n =1或n =2的状态时,在0 ～a /4区间发现粒子的概率是否一样大,若不一样,n 取几时更大一些,请通过计算说明;1407、θθcos 3cos 53-是否是算符)d d sin cos d d (ˆ222θθθθF +-= 的本征函数,若是,本征值是多少1408、下列休克尔分子轨道中哪个是归一化的 若不是归一化的,请给出归一化系数;原子轨道ϕϕϕ321,,是已归一化的a. ()ϕϕ21121+=ψb. ()ϕϕϕ3212241+-=ψ 1409、已知一函数fx =2e 2x ,问它是否是x pˆ的本征函数相应的本征值是多少1410、有一粒子在边长为a 的一维势箱中运动;1计算当n =2时,粒子出现在0≤x ≤a /4区域中的概率；2根据一维势箱的2ψ图,说明0≤x ≤a/4区域中的概率; 五、证明题1501、已知一维运动的薛定谔方程为:m h 228[π-22d d x+V x ψ=E ψ ψ1和ψ2是属于同一本征值的本征函数, 证明:ψ1x d d 2ψ-ψ2x d d 1ψ=常数 1502、试证明实函数Φ2 φ=1/π1/2cos2φ和Φ2’φ=2/π1/2sin2φcos φ都是Φ方程22d d φ+ 4 Φ φ=0 的解; 1503、证明函数x +i y ,x -i y 和z 都是角动量算符zM ˆ的本征函数,相应的本征值是多少1504、已知有2n 个碳原子相互共轭的直链共轭烯烃的π分子轨道能量可近似用一维势阱的能级公式表示为E k = 2222)12(8+n mr h k k =1,2,…,2n 其中,m 是电子质量,r 是相邻碳原子之间的距离,k 是能级序号;试证明它的电子光谱第一吸收带即电子基态到第一激发态的激发跃迁波长λ与n 成线性关系;假定一个粒子在台阶式势阱中运动,势阱宽度为l ,而此台阶位于l /2～l 之间;1505、证明同一个厄米算符的、属于不同本征值的本征函数相互正交;1506、证明厄米算符的本征值是实数;1507、已知Aˆ和B ˆ是厄米算符,证明A ˆ+B ˆ和A ˆ2也是厄米算符; 1508、证明描述在一球面上运动的粒子刚性转子的波函数θψcos 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛π3=是三维空间中运动的自由粒子势能V=0的薛定谔方程的解,并求粒子的能量; 已知)]sin 1)(sin sin 1)(1[2222222222φθr θθθθr r r r r m ∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-=∇ ; 1509、证明描述在一球面上运动的粒子刚性转子的波函数φθθψi 21e sin cos 21-⎪⎭⎫ ⎝⎛2π15=是在三维空间中运动的自由粒子势能V =0的薛定谔方程的解,并求粒子的能量;已知)]sin 1)(sin sin 1)(1[2222222222φθr θθθθr r r r r m ∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-=∇ ; 1510、证明波函数φθθψi 21e sin cos 21-⎪⎭⎫ ⎝⎛2π15=是角动量平方的本征函数,并求粒子的角动量;已知角动量平方算符)sin 1sin cos (ˆ2222222φθθθθθM ∂∂+∂∂+∂∂-= ; 六、计算题1601、波长λ=400 nm 的光照射到金属铯上,计算金属铯所放出的光电子的速率;已知铯的临阈波长为600 nm;1602、光电池阴极钾表面的功函数是 eV;当波长为350 nm 的光照到电池时,发射的电子最大速率是多少1 eV=×10-19J, 电子质量m e =×10-31 kg1603、设体系处在状态ψ=c 1ψ211+ c 2ψ210中, 角动量M 2和M z 有无定值;其值为多少 若无,则求其平均值;1604、函数ψ x = 2a 2sin a x π - 3a2sin a x π2 是不是一维势箱中粒子的一种可能状态 如果是, 其能量有没有确定值本征值 如有, 其值是多少 如果没有确定值, 其平均值是多少1605、在长为l 的一维势箱中运动的粒子, 处于量子数为n 的状态, 求：1 在箱的左端1/4区域内找到粒子的概率；2 n 为何值时, 上述概率最大3 当n →∞时, 此概率的极限是多少4 3中说明了什么1606、1 写出一维简谐振子的薛定谔方程；2 处于最低能量状态的简谐振子的波函数是ψ0= π2α1/4 exp-α2x 2/2 此处,α=4π2k μ/h 21/4,试计算振子处在它的最低能级时的能量;3 波函数ψ在x 取什么值时有最大值 计算最大值处ψ2的数值;1607、氢分子在一维势箱中运动,势箱长度l =100nm,计算量子数为n 时的de Broglie 波长以及n =1和n =2时氢分子在箱中49nm 到51nm 之间出现的概率,确定这两个状态的节面数、节面位置和概率密度最大处的位置;1608、限制在一个平面中运动的两个质量分别为m 1和m 2的质点 , 用长为R 的、没有质量的棒连接着,构成一个刚性转子;1 建立此转子的Schrödinger 方程, 并求能量的本征值和归一化的本征函数；(2) 求该转子基态的角动量平均值;已知角动量算符 Mˆ=M ˆz =-i π2h φ∂∂; 1609、氢原子中,归一化波函数： 和 都是归一化的所描述的状态,其能量平均值是aR ；能量出现的概率是b ；角动量平均值是c ；角动量出现的概率是d ；角动量Z 分量的平均值是e ；角动量Z 分量 出现的概率是f;1610、已知类氢离子 的某一状态波函数为：则a 此状态的能量为； b 此状态的角动量的平方值；c 此状态角动量在Z 方向的分量为；d 此状态的值分别为； e 此状态角度分布的节面数为；2125、多电子原子的一个光谱支项为 3D 2, 在此光谱支项所表征的状态中,原子的总轨道角动量等于a ； 原子总自旋角动量等于b ；原子总角动量等于c ； 在磁场中 , 此光谱支项分裂出d 个蔡曼 Zeeman 能级 ;2403、一个电子主量子数为 4, 这个电子的 l , m , m s 等量子数可取什么值这个电子共有多少种可能的状态量子力学基础习题参考答案1100、填填空题在题中的空格处填上正确答案1101、E =h ν p =h /λ1102、,mvh p h ==λ 小 1103、电子概率密度1104、∆x ·∆p x ≥π2h微观物体的坐标和动量不能同时测准, 其不确定度的乘积不小于π2h;1105、a ∫ψ*iψi d τ = 0, i ≠jb ∫ψ*iψi d τ = 11106、电子1出现在x 1,y 1,z 1, 同时电子2出现在x 2, y 2, z 2处的概率密度 1107、-i ·π2h x y∂∂ - y x ∂∂1108、1ψ =l2sin l x n π n =1, 2, 3,…2 E = 2228ml h n ; 228mlh 3 1/24 增长 5ψ=l2sin l x n xπl 22sin ly n y 2πE = 2228ml hn x + 222)2(8l m h n y1109、1ψ211x ,y ,z =38a sin a π2 x sin a πy sin a π z2a /4, a /2, a /2 3a /4, a /2, a /236 1110、3, 4 1111、[]ψψμπE x k h =+∇-22128221112、T = ()λh m m p 22122==×10-17 J 1113、），j i d j i ==⨯⎰1*τψψ），j i d j i ≠=⨯⎰0*τψψ 1114、ττd F d F ψψ=ψψ⎰⎰ΛΛ**)(ττd F d F 2*12*1)(ψψ=ψψ⎰⎰ΛΛ1115、零,228ma h1116、1 ψ =l2sin l x n π n =1, 2, 3,…2 E = 2228ml h n ; 228mlh 1117、 1ψ211x ,y ,z =38asin a π2 x sin a πy sin a π z 2 a /4, a /2, a /2 3a /4, a /2, a /23 61118、17,51119、1 O 或核附近 2 a 0 或 pm 3 8×9 eV1120、E = )(222zyxn n n ++ 228ma h共有17个状态, 这些状态分属6个能级;1200、选择填空题选择正确的答案,填在后面的括号内1201、D1202、B1203、D1204、1 B, C 2 A, B, C 3 B, C1205、A, D1206、A1207、1 B 2 A1208、C1209、E1210、B1211、C,D1212、A1213、B1214、C1215、C1216、A ,B1217、D1218、A1219、C1220、C1300、判断题对判断给出的命题的对错,正确的题号后画√,错误的题号后画×1301、×1302、×1303、×1304、×1305、×1306、×1307、×1308、×1309、√1310、×1400、简答题1401、A,B两步都是对的, A中v是自由粒子的运动速率, 它不等于实物波的传播速率u, C中用了λ= v/ν, 这就错了; 因为λ= u/ν;又D 中E =h ν是粒子的总能量, E 中E =21mv 2仅为v <<c 时粒子的动能部分,两个能量是不等的; 所以 C, E 都错;1402、1 单值的; 2 连续的, 一级微商也连续; 3 平方可积的, 即有限的;1403、P = aaa275.025.0⎰sin 2a x π d x = + π1=1404、A.不是 B.是,本征值为 n 2h 2/4l 2C.不是D.是,本征值为 n 2h 2/8ml 21405、p p z 022= 是M zˆ,M ˆ,H ˆ2共同的本征函数 p x 2为p 12和p 12-的线性组合,是M ˆ,Hˆ2共同 的本征函数p 12 是M z ˆ,M ˆ,Hˆ2共同的本征函数 1406、P =⎰⎰π=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π402240d sin 2d sin 2a/a/x a xn a x a x n a =2sin 2141ππ-n nn =1,P =πn 2141-n =2,P =41.n =2时,粒子出现在0—a /4区间概率更大些;1407、θθθsin cos d d-= θθθcos cos d d 22-= θθθθ23cos sin 3cos d d-= θθθθθcos sin 6cos 3cos d d 23322+-=()=-θθFcos 3cos 5ˆ3 ()θθθθθθcos 3cos 15cos 3cos sin 30cos 153232+-++--=()θθθθcos 6cos sin 30cos 30232++--=()θθθθθθcos 6cos sin 30cos 30cos 30cos 3023332+++---=()θθcos 36cos 6032+--=12()θθcos 3cos 532- 是,本征值为1221408、归一化条件：112=∑=ni i cA =∑=212i i c 21)212=,a 是归一化的;B23)42()41(2)(22312=-+=∑=i i c ,b 不是归一化的;归一化因子32即61; 1409、x x x x f p2e 2d di )(ˆ -= x2e i 4 -= )(i 2x f -=)(i x f hπ=fx 是x pˆ的本征函数,本征值为πi h; 1410、x ax n a a d )sin 2(240π⎰ 当n =2时 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-044sin 882a a x a a a =4182=⋅a a 22ψ1500、证明题1501、11ψ212d d xψ = 21ψ222d d x ψ ψ1222d d x ψ - ψ2212d d x ψ = 0xd dψ1x d d 2ψ - ψ2x d d 1ψ = 0 ψ1x d d 2ψ - ψ2xd d 1ψ = 常数1502、将()()φφ2cos /12/12πΦ=代入()φΦ方程()()()()()()02cos 42cos 42cos 42sin 22cos 4/1/1/1/1/12/12/12/12/12/122=+-=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+πππφφφφφφφφφd dd d说明()φΦ2是()φΦ方程的解;将()()φφφcos sin /22/12πΦ'=代入()φΦ方程()()()()()()[]()0cos sin 4cos sin 2cos sin 2cos sin 4cos sin 4/2/2/2sin cos /2/22/12/12/1222/12/122=+--=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+πππππφφφφφφφφφφφφφφd dd d 说明()φΦ'2也是()φΦ方程的解; 1503、()()()[]()()()()()()[]iy x y iy x x i iy x y x i yhzxy hz MM +-+-=+--=π∂∂∂∂π∂∂∂∂π22ˆˆ 故x +i y 是M z ˆ本征函数,本征值为 π2h()()()[]()()()()()()[]iy x y iy x x i iy x y x i yhzxy hz MM ----=---=π∂∂∂∂π∂∂∂∂π22ˆˆ 故x -i y 是M z ˆ本征函数,本征值为 π2h - ()()()()[]z z y z x i z yhzM ⋅==--=π∂∂∂∂π002ˆ故z 是M zˆ本征函数,本征值为 01504、第一吸收带是由HOMO 到LUMO 跃迁产生; 对本题HOMO k =n ; LUMO k =n +1;()()[]()()()1282281222228212121++==-+=∆++n mr mr n mr hn h n h n n EE hc∆=λ所以 ()()h n mrc hhc n mr Ehc/1282128+===⨯+∆λ 即h mrc h mrcn /8/16+=λ1505、设u 1,u 2,...,u n ,...是算符Aˆ的分别属于本征值λ,,λ,λn 21.的本征函数,则有 ,ˆu u Am m m λ= ,ˆu u An n n λ=()****ˆm m mm m u λuλu A==可得τu u λτu A u n m n n m d d ˆ**⎰⎰=()τu u λτu u A n mm n m d d ˆ**⎰⎰= 根据的厄米性,从上式可得τu u λτu u λn m m n m n d d **⎰⎰= ()0d *=-⎰τu u λλn m m nλλm n ≠ 0d *=∴⎰τu u n m1506、按厄米算符的定义,有()ud τu A ud τA u ⎰⎰=ˆˆ**同时下列本征方程成立:()***ˆˆu λu A λu,u A==代入上式,得: τu u λτu u λd d ***⎰⎰=由此可得 *λλ=故λ必为实数;1507、1. ∫u B A ˆˆ+v d τ=∫u A ˆv d τ+∫u B ˆv d τ =∫Aˆuv d τ+∫B ˆuv d τ =∫A ˆu +B ˆuv d τ =∫A ˆu +B ˆuv d τ =∫B Aˆˆ+v d τ 由此得证2. ∫u A A ˆˆv τd =∫u AˆA ˆv τd =∫Aˆu A ˆv τd =∫Aˆu A ˆv τd =∫A Aˆˆuv τd=∫Aˆ2uv τd 由此得证 1508、三维空间自由粒子的薛定谔方程ψψE H =ˆ 222ˆ∇-=mH 当r 为常数,ψ与r,φ无关;⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=θθθθmr H sin cos 2ˆ2222 θN θθθθmr H cos sin cos 2ˆ2222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-= ψ =()θθmr N cos cos 222---=ψ2222cos mr θN mr = 22maE =∴ 当ψ与φ无关,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=θθθθsin cos ˆ2222 M 2ˆ2=ψM2=M1509、三维空间自由粒子的薛定谔方程 ψψE H =ˆ 222ˆ∇-=mH 当r 为常数,ψ与r 无关,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=2222222sin 1sin cos 2ˆφθθθθθmr H )e sin cos (ˆˆi φθθN H H-=ψ =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-2222222sin 1sin cos 2φθθθθθmr N φθθi e sin cos - =222mrN -ψ-φθθi e sin cos -+φφφθθθθθθi i i 2e sin cos e cos sin e sin cos ----- =222mr N φθθi e sin cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-θθθψ222sin 11sin cos 式中θθθ222sin 1sin cos +-=1=ψH ˆmr N 262 N φθθi e sin cos =mr262 ψ,2226mr E =∴ 1510、φθθN φθθθθθM ψi 2222222e sin cos sin 1sin cos ˆ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-= =2N -ψ-φθθi e sin cos -+φφφθθθθθθi i i 3e sin cos e cos sin e sin cos ----- =2 N φθθi e sin cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-θθθψ222sin 11sin cos 式中θθθ222sin 1sin cos +-=1 226ˆ =ψMN φθθi e sin cos -=ψ26 ,26 为一常数,证毕; 6=M 1600、计算题1601、1-241-9--34s kg m 10626.6s kg m 100.1106.626⋅⋅⨯=⋅⋅⨯⨯==-λhp T = m p 22 = 3123410109.92)10626.6(--⨯⨯⨯ J = ×10-17 J 1602、T = h ν- h ν0= λhc -0λhcT = 1/2 mv 2 v = )11(20λλ-m hc = ×105 m ·s -11603、1ψ是Mˆ2属于同一本征值2π2h 2的本征函数的线性组合, 所以,ψ是Mˆ2的本征函数, 其本征值亦为2π2h 22ψ是Mˆz 属于本征值h 和0的本征函数的线性组合, 它不是M ˆz 的本征函数, 其M z 无确定值, 其平均值为<M z >= 22.2121)2/(c c h c +π 1604、1. 该函数是一维箱中粒子的一种可能状态, 因a 2sin a x π及a2sin a x π2是方程的解,其任意线性组合也是体系可能存在的状态;2. 其能量没有确定值, 因该状态函数不是能量算符的本征函数;3. <E > = 22135mah 1605、1 ψn =l2sin l x n πP 1/4=∫4/0l 2n ψd x =41 - πn 21sin 2πn2 n =3, P 1/4,max = 41 + π613 lim ∞→n P 1/4 = lim ∞→n 41 - πn 21sin 2πn =414 3说明随着粒子能量的增加, 粒子在箱内的分布趋于平均化;1606、1 - μ228πh 22dx d + 21kx 2 ψ=E ψ2 E = μα2228πh =π4h μK=21h ν 3 x =0时 , dxd ψ= 0, 有最大值 ψ00 = π2α1/4最大值处 x =0 ψ02=πα21/2= πα1607、E kmh p h2==λ 势箱中⎪⎭⎫⎝⎛==lhn E m kE2228故λ= 2l /n =200/n nm()()[]()()π-π⨯π-=π==⎰⎰n n n dxl x n l dx p 98.0sin 02.1sin 02.0//221251951492sin ψn =1 P 1=n =2 P 2=n =1时 无节面,概率密度最大在50nm 处; n =2时 节面数=n -1=1,节面在50nm 处,概率密度最大在25nm 和75nm 处;1608、1 Schrödinger 方程为 - I h 228π22d d φφψ）（ = E ψ φ E = I h m 2228π, ψ φ =π21e im φm =0,±1,±2,...2 <Mˆ> = 0 1609、a ； b ；c ；d1e f0 1610、a－；b0；c0；d2,0,0；e0。
![[0131]《量子力学基础》在线作业及参考答案](https://img.taocdn.com/s1/m/4851090d05087632301212ac.png)
