2014年三角函数高考题5

三角函数高考大题(一)姓名________日期_________1.（14广东16）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ， （1）求A 的值；（2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f2.（14湖北17）某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位;h ）的变化近似满足函数关系；(1) 求实验室这一天的最大温差； (2) 若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？3.（2014•福建）已知函数f （x ）=cosx （sinx+cosx ）﹣． （1）若0＜α＜，且sin α=，求f （α）的值；（2）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间.三角函数高考大题（二）姓名________日期_________ 1.（2014•江西）已知函数f （x ）=sin （x+θ）+acos （x+2θ），其中a ∈R ，θ∈（﹣，）（1）当a=，θ=时，求f （x ）在区间[0，π]上的最大值与最小值；（2）若f （）=0，f （π）=1，求a ，θ的值．2.（14天津）（本小题满分13分）已知函数()23cos sin 3cos 34f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.（14山东本小题满分12分）已知向量()(),cos 2,sin 2,a m x b x n ==，函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图像过点,312π⎛⎫⎪⎝⎭和点2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭.（I ）求,m n 的值；（II ）将()y f x =的图像向左平移()0ϕϕπ<<个单位后得到函数()y g x =的图像，若()y g x =图像上各最高点到点()0,3的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间.三角函数高考大题（三）姓名________日期_________1.（2014•四川）已知函数f （x ）=sin （3x+）．（1）求f （x ）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f （）=cos （α+）cos2α，求cos α﹣sin α的值．2.（2014•重庆）已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π． （Ⅰ）求ω和φ的值； （Ⅱ）若f （）=（＜α＜），求cos （α+）的值．(14江苏本小题满分14分) 已知),2(ππα∈,55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值； (2)求)265cos(απ-的值.三角函数高考大题（四）姓名________日期_________1.（13天津）已知函数.(Ⅱ) 求f(x)在区间上的最大值和最小值.2.（13江苏）已知向量，。

2014年高考三角真题（理科）1(北京）15. （本小题13分）如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin （2）求AC BD ,的长2(福建）16（本小题满分13分） 已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. （1）若02πα<<，且2sin 2α=，求()f α的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.3(大纲）17.（本小题满分10分） ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，求B. 4(安徽）（16）（本小题满分12分）设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求⎪⎭⎫ ⎝⎛+4sin πA 的值. 5(江西）16.已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++，其中,(,)22a R ππθ∈∈-（1）当2,4a πθ==时，求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值；(2)若()0,()12f f ππ==，求,a θ的值. 6(广东）16、（12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ， （1）求A 的值；（2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f 。

7(湖北）17.（本小题满分11分）某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位：h ）的变化近似满足函数关系；()103c o s s i n ,[0,24)1212f t t t t ππ=--∈（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？8（湖南）18．（本小题满分l2分）如图5，在平面四边形ABCD 中，1,2,7AD CD AC ===（Ⅰ）求cos CAD ∠的值 （Ⅱ）若721cos ,sin 146BAD CBA ∠=-∠=，求BC 的长 9(辽宁）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙= ，1cos 3B =，3b =，求： （1）a 和c 的值； （2）cos()BC -的值.10(四川）16．已知函数()sin(3)4f x x π=+。

三角函数与解三角形一．选择题1．（2014•广西）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣2．（2014•广西）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．3．（2014•河南）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞04．（2014•河南）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④ D．①③5．（2014•四川）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动1个单位长度 B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度 D．向右平行移动π个单位长度6．（2014•陕西）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π7．（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增8．（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1 D．9．（2014•福建）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）是奇函数 B．y=f（x）的周期为πC．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称10．（2014•安徽）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．二．填空题11．函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为_________ ．12．（2014•重庆）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）= _________ ．13．（2014•上海）方程sinx+cosx=1在闭区间[0，2π]上的所有解的和等于_________ ．14．（2014•陕西）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），若•=0，则tanθ= _________ ．15．（2014•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为_________ ．16．（2014•湖北）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=1，b=，则B= _________ ．17．（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于_________ ．18．（2014•北京）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c= _________ ；sinA= _________ ．三．解答题19．（2014•广西）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．20．（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．21．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．22．（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．23．（2014•江西）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．24．（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．25．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．26．（2014•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．三角函数与解三角形一．选择题1．（2014•广西）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣考点：任意角的三角函数的定义专题：三角函数的求值．分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解答：解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r==5．∴cosα===﹣，故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．2．（2014•广西）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角专题：空间角．分析：由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则∠CEF为异面直线CE与BD所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值．解答：解：如图，取AD中点F，连接EF，CF，∵E为AB的中点，∴EF∥DB，则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角，∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，∴CE=CF．设正四面体的棱长为2a，则EF=a，CE=CF=．在△CEF中，由余弦定理得：=．故选：B．点评：本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．3．（2014•河南）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞0考点：三角函数值的符号专题：三角函数的求值．分析：化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案．解答：解：∵tanα＞0，∴，则sin2α=2sinαcosα＞0．故选：C．点评：本题考查三角函数值的符号，考查了二倍角的正弦公式，是基础题．4．（2014•河南）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③考点：三角函数的周期性及其求法专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论．解答：解：∵函数①y=cos丨2x丨=cos2x，它的最小正周期为=π，②y=丨cosx丨的最小正周期为=π，③y=cos（2x+）的最小正周期为=π，④y=tan（2x﹣）的最小正周期为，故选：A．点评：本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题．5．（2014•四川）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动1个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度D．向右平行移动π个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换专题：三角函数的图像与性质．分析：直接利用函数图象的平移法则逐一核对四个选项得答案．解答：解：∵由y=sinx到y=sin（x+1），只是横坐标由x变为x+1，∴要得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度．故选：A．点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．是基础题．6．（2014•陕西）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解．解答：解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是π，故选：B．点评：本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题．7．（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换专题：三角函数的图像与性质．分析：直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．解答：解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．即y=3sin（2x﹣）．由，得．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：B．点评：本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．8．（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1 D．考点：余弦定理；正弦定理专题：解三角形．分析：根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论．解答：解：∵3a=2b，∴b=，根据正弦定理可得===，故选：D．点评：本题主要考查正弦定理的应用，比较基础．9．（2014•福建）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）是奇函数B．y=f（x）的周期为πC．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换专题：三角函数的图像与性质．分析：利用函数图象的平移法则得到函数y=f（x）的图象对应的解析式为f（x）=cosx，则可排除选项A，B，再由cos=cos（﹣）=0即可得到正确选项．解答：解：将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得y=sin（x+）=cosx．即f（x）=cosx．∴f（x）是周期为2π的偶函数，选项A，B错误；∵cos=cos（﹣）=0，∴y=f（x）的图象关于点（﹣，0）、（，0）成中心对称．故选：D．点评：本题考查函数图象的平移，考查了余弦函数的性质，属基础题．10．（2014•安徽）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换专题：三角函数的求值．分析：利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出φ的最小值．解答：解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向右平移φ的单位，所得图象是函数y=sin（2x+﹣2φ），图象关于y轴对称，可得﹣2φ=kπ+，即φ=﹣，当k=﹣1时，φ的最小正值是．故选：C．点评：本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题．二．填空题11．函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为．考点：三角函数的最值专题：三角函数的求值．分析：展开两角和的正弦，合并同类项后再用两角差的正弦化简，则答案可求．解答：解：∵f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx=sinxcosφ+cosxsinφ﹣2sinφcosx=sinxcosφ﹣sinφcosx=sin（x﹣φ）．∴f（x）的最大值为1．故答案为：1．点评：本题考查两角和与差的正弦，考查了正弦函数的值域，是基础题．12．（2014•重庆）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）= ．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换专题：三角函数的图像与性质．分析：哟条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得sin（2ωx+φ﹣ω）=sinx，可得2ω=1，且φ﹣ω=2kπ，k∈z，由此求得ω、φ的值，可得f（x）的解析式，从而求得f（）的值．解答：解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得函数y=sin（2ωx+φ）的图象．再把所得图象再向右平移个单位长度得到函数y=sin[2ω（x﹣）+φ）]=sin（2ωx+φ﹣ω）=sinx的图象，∴2ω=1，且φ﹣ω=2kπ，k∈z，∴ω=，φ=，∴f（x）=sin（x+），∴f（）=sin（+）=sin=．故答案为：．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．13．（2014•上海）方程sinx+cosx=1在闭区间[0，2π]上的所有解的和等于．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象专题：三角函数的求值．分析：由三角函数公式可得sin（x+）=，可知x+=2kπ+，或x+=2kπ+，k∈Z，结合x∈[0，2π]，可得x值，求和即可．解答：解：∵sinx+cosx=1，∴sinx+cosx=，即sin（x+）=，可知x+=2kπ+，或x+=2kπ+，k∈Z，又∵x∈[0，2π]，∴x=，或x=，∴+=故答案为：点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，属基础题．14．（2014•陕西）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），若•=0，则tanθ= ．考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用．分析：由条件利用两个向量的数量积公式求得 2sinθcosθ﹣cos2θ=0，再利用同角三角函数的基本关系求得tan θ解答：解：∵=sin2θ﹣cos2θ=2sinθcosθ﹣cos2θ=0，0＜θ＜，∴2sinθ﹣cosθ=0，∴tanθ=，故答案为：．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．15．（2014•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+），从而求得函数的最小正周期解答：解：∵函数y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，故函数的最小正周期的最小正周期为=π，故答案为：π．点评：本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．16．（2014•湖北）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=1，b=，则B= ．考点：余弦定理专题：三角函数的求值．分析：利用正弦定理列出关系式，将a，sinA，b的值代入求出sinB的值，即可确定出B的度数．解答：解：∵在△ABC中，A=，a=1，b=，∴由正弦定理=得：sinB===，∵a＜b，∴A＜B，∴B=或．故答案为：或点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．17．（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于．考点：余弦定理；正弦定理专题：三角函数的求值．分析：利用余弦定理列出关系式，将AC，BC，以及cosA的值代入即可求出AB的长．解答：解：∵在△ABC中，A=60°，AC=b=2，BC=a=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即3=4+c2﹣2c，解得：c=1，则AB=c=1，故答案为：1点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．18．（2014•北京）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c= ；sinA= ．考点：余弦定理专题：三角函数的求值；解三角形．分析：利用余弦定理列出关系式，将a，b，以及cosC的值代入求出c的值，由cosC的值求出sinC的值，再由a，c的值，利用正弦定理即可求出sinA的值．解答：解：∵在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣1=4，即c=2；∵cosC=，C为三角形内角，∴sinC==，∴由正弦定理=得：sinA===．故答案为：2；点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．三．解答题19．（2014•广西）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用专题：解三角形．分析：由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+B）]=﹣tan（A+B）即可得出．解答：解：∵3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵tanA=，∴2tanC=3×=1，解得tanC=．∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=点评：本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．20．（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．考点：余弦定理；正弦定理专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）由a+b+c=8，根据a=2，b=求出c的长，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值即可；（Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，再利用正弦定理得到a+b=3c，与a+b+c=8联立求出a+b的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入S=sinC求出ab的值，联立即可求出a与b的值．解答：解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8，∴c=8﹣（a+b）=，∴由余弦定理得：cosC===﹣；（Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC，整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，∴sinA+sinB=3sinC，利用正弦定理化简得：a+b=3c，∵a+b+c=8，∴a+b=6①，∵S=absinC=sinC，∴ab=9②，联立①②解得：a=b=3．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．21．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．考点：正弦定理；两角和与差的余弦函数专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a，b代入计算，即可求出cosA的值；（Ⅱ）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，∴cosA===；（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，∴sinA==，∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．22．（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．考点：两角和与差的余弦函数；正弦函数的单调性专题：三角函数的求值．分析：（1）令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．（2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化简可得（cosα﹣sinα）2=．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα的值．解答：解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈z．（2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），∴sinαcos+cosαsin=（cos2α﹣sin2α）•（sinα﹣cosα），即（sinα﹣cosα）=•（cosα﹣sinα）2•（sinα+cosα），又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，当sinα+cosα=0时，此时cosα﹣sinα=﹣．当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣．综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣．点评：本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．23．（2014•江西）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数奇偶性的性质专题：三角函数的求值．分析：（1）把x=代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得．（2）利用f（）=﹣和函数的解析式可求得sin，进而求得cos，进而利用二倍角公式分别求得sinα，cosα，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．解答：解：（1）f（）=﹣（a+1）sinθ=0，∵θ∈（0，π）．∴sinθ≠0，∴a+1=0，即a=﹣1∵f（x）为奇函数，∴f（0）=（a+2）cosθ=0，∴cosθ=0，θ=．（2）由（1）知f（x）=（﹣1+2cos2x）cos（2x+）=cos2x•（﹣sin2x）=﹣，∴f（）=﹣sinα=﹣，∴sinα=，∵α∈（，π），∴cosα==﹣，∴sin（α+）=sinαcos+cosαsin=．点评：本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．24．（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．考点：余弦定理的应用；正弦定理专题：解三角形．分析：（Ⅰ）根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．（Ⅱ）利用两角和的余弦公式，结合正弦定理即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）设α=∠CED，在△CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD•DEcos∠CDE，即7=CD2+1+CD，则CD2+CD﹣6=0，解得CD=2或CD=﹣3，（舍去），在△CDE中，由正弦定理得，则sinα=，即sin∠CED=．（Ⅱ）由题设知0＜α＜，由（Ⅰ）知cosα=，而∠AEB=，∴cos∠AEB=cos（）=cos cosα+sin sinα=，在Rt△EAB中，cos∠AEB=，故BE=．点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．25．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．考点：两角和与差的正弦函数专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）通过函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，直接求A的值；（2）利用函数的解析式，通过f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求出cosθ，利用两角差的正弦函数求f（﹣θ）．解答：解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，∴f（）=Asin（+）=Asin=，∴．（2）由（1）可知：函数f（x）=3sin（x+），∴f（θ）﹣f（﹣θ）=3sin（θ+）﹣3sin（﹣θ+）=3[（）﹣（）]=3•2sinθcos=3sinθ=，∴sinθ=，∴cosθ=，∴f（﹣θ）=3sin（）=3sin（）3cosθ=．点评：本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，基本知识的考查．26．（2014•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA 与a的值．考点：余弦定理的应用专题：计算题；解三角形．分析：利用三角形的面积公式，求出sinA=，利用平方关系，求出cosA，利用余弦定理求出a的值．解答：解：∵b=3，c=1，△ABC的面积为，∴=，∴sinA=，又∵sin2A+cos2A=1∴cosA=±，由余弦定理可得a==2或2．点评：本题考查三角形的面积公式、余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．。

1.函数y=|sinx|cosx-1的最小正周期与最大值的和为 。

2．函数f(x)=sinx+2|sinx|,x ∈（0，2π）的图像与直线y=k 有且仅有两个不同的交点，则众的取值范围是 .3．要得到函数y=2cosx 的图像，只需将函数y=2sin(2x+4π)的图像上所有的点的 ( ) A.横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，再向左平行移动8π 个单位长度 B ．横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，再向右平行移动4π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动4π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动8π个单位长度 4．设函数f(x)=sin(2x+ϕ)(-π<ϕ<0)，y=f(x)图像的一条对称轴是直线x=8π.(1)求ϕ；(2)求函数y=f(x)的单调增区间；5．设α为第四象限的角，若513sin 3sin =αα，则tan2α= .6．已知-2π<x<0，sinx+cosx=51，(1)求sinx-cosx 的值；(2)求x x x x x cot tan 2cos 2sin 22sin 322++-的值．7．已知6sin 2α+sin αcos α-2cos 2α=0，α∈[2π，π]．求sin(2α+3π)的值．8．在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y>x>0． (Ⅰ)将十字形的面积表示为θ的函数；(Ⅱ)θ为何值时，十字形的面积最大?最大面积是多少?9．若0<x<2π，则2x 与3sinx 的大小关系为 ( )A ．2x>3sinxB ．2x<3sinxC ．2x=3sinxD ．与x 的取值有关2．【错误答案】 填[0，3]∵f(x)=⎩⎨⎧∈-∈]2,(,sin ],0[,sin 3πππx x x x∴f(x)的值域为(0，3)，∵f(x)与y=k 有交点，∴k ∈[0，3]．【正确解答】 选C 将函数y=2sin(2x+4π)图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得函数y=2sin(x+4π)的图像；再向左平行移动子个单位长度后便得y=2sin(x+4π+4π)=2 cosx的图像．故选C ．4． 【错误答案】(1)∵x=8π是函数y=f(x)的图像的对称轴，∴sin(2×8π+ϕ)=±1，∴ 4π+ϕ =k π+2πkZ ．∴ ϕ=k π+4π ，∵-π<ϕ<0，∴ ϕ=-43π．5． 【错误答案】 填±43∵513cos 22cos sin 2sin cos cos sin sin )2sin(sin 3sin 2=+=∙+=+=αααααααααααα ∴.432tan 5532cos 2sin 2tan .53)54(1212sin ,542cos ,582cos 222±=∴±==∴±=-±=-±=∴=∴=ααααααααco f【正确解答】 解法1 (1)由sinx+cosx=51，平方得sin 2x+2sinxcosx+cos 2x=251即2sinxcosx=-2524．∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=1+25492524= . 又∵- 2π<x<0，∴sinx<0，∴cosx>0，sinx-cosx<0．∴sinx-cosx=57．(2)125108)512)(2512()sin cos 2(cos sin cos sin cos sin 1sin cos 1sin cos cos sin 1sin sin 2cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322222=--=--∙=∙++--=++-=++-x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x解法2 (1)联立方程⎪⎩⎪⎨⎧sin sin 22x x 由①得slnx=51-cosx ，将其代入②，整理得25cos 2x- 5cosx-12=0，∴cosx=-53或(cosx=54)∵-2π <x<0，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=54cos 53sin x x 故sinx-cosx=-57 ( 2 )x x x x x x x x x x x x sin cos cos sin 1sin 2sin 2cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 3222++-=++-=sinxcosx(2-cosx-sinx)=.125108)53542(54)53(-=+-⨯-7．【错误答案】 由已知得(3sin α+2cos α)(2sin α-cos α)=0⇒3sin α+2cos α=0或2sin α-cos α=0．∴tan α=-32或tan α=21又∵sin(2α+3π)=sin2αcos 3π+cos2α·sin 3π=sin αcos α+23(cos 2α-sin 2α) =.tan 1tan 123tan 1tan cos sin sin cos 23cos sin cos sin 222222222αααααααααααα+-⨯++=+-++α将tan α=-32代入上式得sin(2α+3π)=3265136)32(1)32(123)32(1)32(222+-=-+--+-+- 将tan α=21时代入上式得10334)21(1)21(123)21(121)32sin(222+=++++=+πα即103343265136)32sin(++-=+或πα【易错点点睛】 上述解答忽视了题设条件提供的角的范围的运用，∵α∈(2π,π)，tan α<0，∴tan α=21应舍去，因此原题只有一解．8．【错误答案】 设S 为十字形的面积，则S=2xy=2sin θ· cos θ=sin2θ(4π≤θ<2π)．(2)当sin2θ=1即θ=4π时，S 最大，S 的最大值为1．【易错点点睛】 上面解答错在面积S 的计算上，因为十字形面积等于两个矩形面积和还需减去中间一个边长为 x 的正方形面积．【正确解答】 (1)设S 为十字形的面积，则S=2xy-x 2=2sin θcos θ-cos 2θ(4π<θ<2π)(2)解法1S=2sin θcos θ-cos 2θ=sin2θ-21cos 2θ21)2sin(25--=ϕθ,其中)2s i n (,55a r c c o s ϕθϕ-=当=1，即2θ-ϕ=2π时，S 最大．∴当θ=552214ARCCOS +π时，S 最大，S 的最大值为215-．解法2 ∵S=2sin θcos θ-cos 2θ，∴S′=2cos 2θ- 2sin 2θ+2sin θ·cos θ=2cos2θ+sin2θ． 令S′=0．即2cos2θ+sin2θ=0，可解得θ=212+πarctan(-2)．∴当θ=212+πarctan(-2)时，S 最大，S 的最大值为215-．易错起源1、三角函数的图象和性质例1．求函数x x x x y 44cos cos sin 32sin -+=的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，π]上的单调递增区间.【错误答案】 x x x x y cos sin 32cos sin 44+-=.22).62sin(22sin 32cos 2sin 3)cos )(sin cos (sin 2222πππ==-=+-=+-+=T x x x x x x x x 故该函数的最小正周期当6,.2262πππππ-=∈-=-k x Z k k x 即时，函数y 有最小值-2.当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，函数单调递增. ∴函数递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π.利用三角函数图像研究三角函数性质(周期性、单调性、最值)，应以基本的三角函数图像y= sinx ，y=cosx ，y=tanx 为基础，在研究单调性要注意复合函数(如y=1-sin(x+6π)，y=sin(6π-2x)， y=logsin(2x+4π))的单调性，在解决这类问题时，不能简单地把，x+6π， 6π-2x ，2x+4π,看作一个整体，还应考虑函数的定义域等问题．y=Asin(ωx+ϕ)与y=sinx 图像间的关系：由y=sinx 图像可以先平移后伸缩，也可先伸缩后平移．要注意顺序不同，平移单位也不同．易错起源2、 三角函数的恒等变形例2．若函数f(x)=2sin)2sin(42cos 1xa x x-++πcos(π-2π)的最大值为2，试确定常数a 的值．【错误答案】∵f(x)xaxxsin21sin4sin22+==xa sin)2121(+∵sinx的最大值为1，∴22121=+a．∴a=3由于三角函数式中包含着各种角，不同的三角函数的种类，以及不同的式了结构，所以三角函数配凑、降次与升幂、引入辅助角等.同时在三角恒等变形中应多观察，以便发现角、三角函数名称及式子结构差异，运用公式，找出差异的内在联系，选择适当的公式促使差异的转化.另外，由于公式记错而在考试中失分是很常风的，应该熟练掌握各种要求记的公式及其使用范围。

1.（2012·广东高考文科·Ｔ16）已知函数().23,,64cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππf R x x A x f （1）求A 的值.（2）设,58324,1730344,2,0,=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πβπαπβαf f 求()βα+cos 的值.2.（2012·湖北高考理科·Ｔ17）已知向量()(),cos 32,sin cos ,sin ,sin cos x x x b x x x ωωωωωωα--=-=→→设函数()()R x b a x f ∈+∙=→→λ的图象关于直线π=x 对称，其中λω,为常数，且.1,21⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ω （1）求函数()x f 的最小正周期.（2）若y=f （x ）的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛0,4π求函数()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡53,0π上的取值范围.3.（2012·重庆高考理科·Ｔ18）设)2cos(sin )6cos(4)(πωωπω+--=x x x x f ， 其中0>ω.(1)求函数)(x f y =的值域.(2)若)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,23ππ上为增函数,求ω的最大值.4.（2010·北京高考理科·Ｔ15）已知函数().cos 4sin 2cos 22x x x x f -+= （Ⅰ）求⎪⎭⎫ ⎝⎛3πf 的值.（Ⅱ）求()x f 的最大值和最小值.5.（2010·四川高考理科·Ｔ19）（Ⅰ）○1证明两角和的余弦公式;sin sin cos cos βαβαβα-=+C○2由βα+C 推导两角和的正弦公式.sin cos cos sin βαβαβα+=+S . （Ⅱ）已知ABC ∆的面积,53cos ,321==∙=→→B AC AB S 求.cos C6.（2010·山东高考文科·Ｔ17）已知函数()()()0cos cos sin 2>+-=ωωωωπx x x x f 的最小正周期为.π（1）求ω的值.（2）将函数()x f y =的图象上各点的横坐标缩短到原来的21，纵坐标不变，得到函数()x g y =的图象，求函数()x g y =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡16,0π上的最小值.7.（2011·福建卷理科·Ｔ16）已知等比数列}{}n a 的公比3=q 前3项和.3133=S （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若函数()sin(2)(0,0)=+><<f x A x A ϕϕπ在6x π=处取得最大值且最大值为3a ,求函数()x f 的解析式.8.（2011·四川高考理科·Ｔ17）已知函数73(=sin()cos(),,44f x x x x R ππ++-∈） （1）求()x f 的最小正周期和最小值.（2）已知44cos(),cos()55βαβα-=+=-，02παβ<<≤，求证：[]2()20.f β-=。

2014年高考题（三角函数、解三角形理科）1．2014年课标卷Ⅰ理6如图1，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ，则)(x f y =在],0[π的图象大致为( )2．2014年课标卷Ⅰ理8若)2,0(πα∈，)2,0(πβ∈，且ββαcos sin 1tan +=，则( )A . 23πβα=-； B . 22πβα=-； C . 23πβα=+； D . 22πβα=+3．2014年课标卷Ⅰ理16已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，2=a ，且)s i n )(s i n 2(B A b -+ C b c sin )(-=，则ABC ∆面积的最大值为4．2014年课标卷Ⅱ理4 钝角三角形ABC 的面积是21，1=AB ，2=BC ，则=AC ( ) A . 5 ； B . 5 ； C . 2 ； D . 15．2014年课标卷Ⅱ理12设函数mx x f πsin 3)(=，若)(x f 存在极值点0x 满足22020)]([m x f x <+，则m 的取值范围是( )A ．),6()6,(+∞--∞ ；B ．),4()4,(+∞--∞ ；C ．),2()2,(+∞--∞ ；D ．),1()1,(+∞--∞5．2014年课标卷Ⅱ理14函数)cos(sin 2)2sin()(ϕϕϕ+-+=x x x f 的最大值为已知 33sin =a ， 55cos =b ， 35tan =c ，则( )A ．c b a >> ；B ．a c b >> ；C ．a b c >> ；D ．b a c >>7．2014年大纲卷理16若函数x a x x f sin 2cos )(+=在区间)2,6(ππ是减函数，则a 的取值范围是8．2014年大纲卷理17A B C ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A c C a cos 2cos 3=，31tan =A ， 求B ．12．2014年安徽卷理6设)(x f (R x ∈)满足x x f x f sin )()(+=+π．当0≤π<x 时，0)(=x f ，则=)623(πf ( ) A ．21 ； B ．23 ； C ．0 ； D ．21-13．2014年安徽卷理11 若将函数)42sin()(π+=x x f 的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是13．2014年安徽卷理16设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且3=b ，1=c ，B A 2=． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求)4sin(π+A 的值．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b B c C b 2cos cos =+，则=b a40．2014年广东卷理16已知函数)4sin()(π+=x A x f ，R x ∈，且23)125(=πf ．（Ⅰ）求A 的值；（Ⅱ）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f ．11．2014年湖南卷理9已知函数)sin()(ϕ-=x x f ，且⎰=3200)(πdx x f ，则函数)(x f 的图象的一条对称轴是( )A ．65π=x ； B ．127π=x ； C ．3π=x ； D ．6π=x11．2014年湖南卷理18如图，在平面四边形ABCD 中，1=AD ，2=CD ，7=AC ．（Ⅰ）求CAD ∠cos 的值；（Ⅱ）若CAD ∠cos ，求BE 的长．9．2014年重庆卷文13将)sin()(ϕω+=x x f (0>ω，2π-≤2πϕ<)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π个单位长度得到x y sin =的图象，则=)6(πf10．2014年重庆卷文18在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且8=++c b a ．（Ⅰ）若2=a ，25=b ，求C cos 的值；（Ⅱ）若C A B B A sin 22c os sin 2c os sin 22=+，且AB C ∆的面积C S sin 29=，求a 和b 的值．14．2014年江西卷理4在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若6)(22+-=b a c ，3π=C ，则ABC ∆的面积是( )A ．3 ；B ．239 ； C ．233 ； D ．3315．2014年江西卷文16已知函数)2cos()cos 2()(2θ++=x x a x f 为奇函数，且0)4(=πf ，其中R a ∈，),0(πθ∈．（Ⅰ）求a ，θ的值；（Ⅱ）若52)4(-=αf ，),2(ππα∈，求)3sin(πα+的值．16．2014年陕西卷文2函数)42cos()(π+=x x f 的最小正周期是( )A ．2π； B ．π ； C ．π2 ； D ．π417．2014年陕西卷文13设20πθ<<，向量)cos ,2(sin θθ=a ，)cos ,1(θ-=b ，若0=⋅b a ，则=θtan18．2014年陕西卷理16ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． （Ⅰ）若a ，b ，c 成等差数列，证明：)sin(2sin sin C A C A +=+； （Ⅱ）若a ，b ，c 成等比数列，求B cos 的最小值．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知6π=A ，1=a ，3=b ，则=B20．2014年湖北卷文18某实验室一天的温度(单位：C )随时间t (单位：h )的变化近似满足函数关系：t t t f 12sin12cos310)(ππ--=，)24,0[∈t ．（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度； （Ⅱ）求实验室这一天的最大温差．21．2014年福建卷文7 将函数x y sin =的图象向左平移2π个单位，得到函数)(x f y =的图象，则下列说法正确的 是( )A ．)(x f y =是奇函数；B ．)(x f y =的周期为π ；C ．)(x f y =的图象关于直线2π=x 对称； D ．)(x f y =的图象关于点)0,2(π-对称22．2014年福建卷理12在ABC ∆中， 60=A ，4=AC ，32=BC ，则ABC ∆的面积等于23．2014年福建卷文18已知函数)cos (sin cos 2)(x x x x f +=，R x ∈． （Ⅰ）求)45(πf 的值； （Ⅱ）求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间．24．2014年山东卷理12在ABC ∆中，已知A tan =⋅，当6π=A 时，ABC ∆的面积为ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3=a ，36cos =A ，2π+=A B ．（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积．26．2014年天津卷理12在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a c b 41=-，C B sin 3sin 2=，则A cos 的值为27．2014年天津卷文16在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b c a 66=-，C B sin 6sin =．（Ⅰ）求A cos 的值；（Ⅱ）求)62cos(π-A 的值．28．2014年四川卷文8如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为 75， 30，此时气球的高是m 60，则河流的宽度BC 等于( )A ．m )13(240-；B ．m )12(180-；C ．m )13(120-；D ．m )13(30+29．2014年四川卷文17 已知函数)43sin()(π+=x x f ．（Ⅰ）求)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）若α是第二象限角，且απαα2cos )4cos(54)3(+=f ，求ααsin cos -的值．30．2014年北京卷文12在ABC ∆中，1=a ，2=b ，41cos =C ，则=c31．2014年北京卷理16如图，在ABC ∆中，3π=∠B ，8=AB ，点D 在BC 边上，且2=CD ，71cos =∠ADC ．（Ⅰ）求BAD ∠sin 的值； （Ⅱ）求BD ，AC 的长．32．2014年辽宁卷文11将函数)32sin(3π+=x y 的图象向右平移函数2π个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间]127,12[ππ上单调递减；B ．在区间]127,12[ππ上单调递增；C ．在区间]3,6[ππ-上单调递减；D ．在区间]3,6[ππ-上单调递增33．2014年辽宁卷理17在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c a >．已知2=⋅，31cos =B ，3=b ．求： （Ⅰ）a 和c 的值； （Ⅱ）)cos(C B -的值．34．2014年浙江卷文4为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数x y 3cos 2=的图象( )A ．向右平移12π个单位； B ．向右平移4π个单位； C ．向左平移12π个单位； D ．向左平移4π个单位35．2014年浙江卷理18在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b a ≠，3=c ，B B A A B A cos sin 3cos sin 3cos cos 22-=-． （Ⅰ）求角C 的大小；A C B（Ⅱ）已知54sin =A ，求ABC ∆的面积．36．2014年江苏卷文5已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0>ω，0≤πϕ<)，它们的图象有一个横坐标 为3π的交点，则ϕ的值是37．2014年江苏卷文14若ABC ∆的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+，则C cos 的最小值是38．2014年江苏卷文15已知),2(ππα∈，55sin =α．（Ⅰ）求)4sin(απ+的值； （Ⅱ）求)265cos(απ-的值．。

三角函数1．[2014·全国卷] 已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－45【答案】D2．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则( )A ．sin α＞0B ．cos α＞0C ．sin 2α＞0D ．cos 2α＞0 【答案】C3．[2014·福建卷] 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图像，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0对称【答案】D4．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③ 【答案】A5．[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3 C ．π D ．2π 【答案】C6．[2014·安徽卷] 若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8D.3π4【答案】C7．[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定【答案】[解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AD 是直线l 3，则DD 1是直线l 4，此时l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，A 1D 1是直线l 3，则C 1D 1是直线l 4，此时l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．8．[2014·辽宁卷] 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增【答案】B9．[2014·陕西卷] 函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 【答案】B10．[2014·浙江卷] 为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位【答案】A11．[2014·四川卷] 为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度 【答案】A12．[2014·四川卷] 如图1-3所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )图1-3A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m 【答案】C1．[2014·广东卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件 【答案】A5．[2014·江西卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A ．－19 B.13 C ．1 D.72【答案】D5．[2014·江苏卷] 已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．【答案】π613．[2014·重庆卷] 将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图像，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________．【答案】2212．[2014·山东卷] 函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 【答案】π14．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． 【答案】1 [解析] f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，其最大值为1.14．、[2014·全国卷] 函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________．【答案】3216．、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．【答案】4312．[2014·山东卷] 函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 【答案】π [解析] 因为y ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝sin ⎝⎛⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π .12．[2014·北京卷] 在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝________；sin A ＝________．【答案】2 15814．[2014·福建卷] 在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________． 【答案】113．[2014·湖北卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a＝1，b ＝3，则B ＝________．【答案】π3或2π3 [解析] 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即1sin π6＝3sin B，解得sin B ＝32.又因为b >a ，所以B ＝π3或2π3.14．[2014·江苏卷] 若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是______．14.6－24[解析] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则由正弦定理得a ＋2b ＝2c .故cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝34a 2＋12b 2－22ab 2ab ＝34a 2＋12b 22ab －24≥234a 2·12b 22ab －24＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2，即a b ＝23时等号成立．16．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-3，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°，以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.图1-3【答案】15018． [2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 【解析】方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sinπ4＋1＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .16．[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值． 【解析】 由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3.16．[2014·北京卷] 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图像如图1-4所示．图1-4(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．【解析】(1)f (x )的最小正周期为π. x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0.于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.18．[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．【解析】(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.17．[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．【解析】(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. 16．[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322. (1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π6－θ.16．[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值． 【解析】(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )．由f ⎝⎛⎭⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.(2)由(1)得，f (x )＝－12sin 4x .因为f ⎝⎛⎭⎫α4＝－12sin α＝－25，所以sin α＝45，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以有sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3 310.18．[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .【解析】由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C . 因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ， 所以tan C ＝12，所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C )＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°.17．[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积．【解析】(1)在△ABC 中， 由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝63.由正弦定理可得，b ＝a sin Bsin A＝3×6333＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×⎝⎛⎭⎫－33＋63×63＝13. 因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.18．[2014·重庆卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．【解析】(1)由题意可知c ＝8－(a ＋b )＝72.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝22＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫7222×2×52＝－15.(2)由sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C 可得sin A ·1＋cos B 2＋sin B ·1＋cos A2＝2sin C ，化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C .因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C . 由正弦定理可知a ＋b ＝3c .又a ＋b ＋c ＝8，所以a ＋b ＝6.由于S ＝12ab sin C ＝92sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，所以b ＝3.15．[2014·江苏卷] 已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值． 【解析】(1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－2 55.故sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝⎛⎭⎫－2 55＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55× ⎝⎛⎭⎫－2 55＝－45，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝ ⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45＝－4＋3 310.17．[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA →·BC→＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．【解析】(1)由BA →·BC →＝2，得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ， 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.联立⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝ 13×79＋2 23×4 29＝2327.21．[2014·辽宁卷] 已知函数f (x )＝π(x －cos x )－2sin x －2，g (x )＝(x －π)1－sin x1＋sin x＋2xπ－1.证明： (1)存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使f (x 0)＝0；(2)存在唯一x 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1＞π.【解析】证明：(1)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＝π＋πsin x －2cos x ＞0，所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数．又f (0)＝－π－2＜0，f ⎝⎛⎭⎫π2＝π22－4＞0，所以存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使f (x 0)＝0.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，化简得g (x )＝(π－x )·cos x 1＋sin x ＋2xπ－1.令t ＝π－x 则t ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.记u (t )＝g (π－t )＝－t cos t 1＋sin t －2πt ＋1，则u ′(t )＝f （t ）π（1＋sin t ）. 由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，u ′(t )＜0；当t ∈⎝⎛⎭⎫x 0，π2时，u ′(t )＞0.所以在⎝⎛⎭⎫x 0，π2上u (t )为增函数，由u ⎝⎛⎭⎫π2＝0知，当t ∈⎣⎡⎭⎫x 0，π2时，u (t )＜0，所以u (t )在⎣⎡⎭⎫x 0，π2上无零点．在(0，x 0)上u (t )为减函数，由u (0)＝1及u (x 0)＜0知存在唯一t 0∈(0，x 0)，使u (t 0)＝0.于是存在唯一t 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使u (t 0)＝0.设x 1＝π－t 0∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则g (x 1)＝g (π－t 0)＝u (t 0)＝0.因此存在唯一的x 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使g (x 1)＝0.由于x 1＝π－t 0，t 0＜x 0，所以x 0＋x 1＞π.16．[2014·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎫2A －π6的值．【解析】(1)在△ABC 中，由b sin B ＝c sin C，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝66b ，有a ＝2c . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64.(2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104.于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.18．[2014·浙江卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin 2A －B2＋4sin A sin B ＝2＋ 2.(1)求角C 的大小；(2)已知b ＝4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值． 【解析】(1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2， 化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B ＝2， 故cos(A ＋B )＝－22， 所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4.(2)因为S △ABC ＝12ab sin C ，由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝3 2.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10. 19．[2014·湖南卷] 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．图1-4【解析】设∠CED ＝α.(1)在△CDE 中，由余弦定理，得 EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CDsin α.于是，sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217.(2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277.而∠AEB ＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714.在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47.18．[2014·江苏卷] 如图1-6所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43.(1)求新桥BC 的长．(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？图1-6【解析】 方法一：(1)如图所示， 以O 为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴， 建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60), C (170，0)，直线 BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－43.又因为 AB ⊥BC, 所以直线AB 的斜率k AB ＝34.设点 B 的坐标为(a ，b )，则k BC ＝b －0a －170＝－43， k AB ＝b －60a －0＝34，解得a ＝80, b ＝120，所以BC ＝（170－80）2＋（0－120）2＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m, OM ＝d m (0≤d ≤60)． 由条件知， 直线BC 的方程为y ＝－43(x －170)，即4x ＋3y －680＝0.由于圆M 与直线BC 相切， 故点 M (0, d )到直线BC 的距离是r ，即r ＝|3d － 680|42＋32＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎨5680 － 3d5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时， r ＝680 － 3d5最大， 即圆面积最大，所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大． 方法二：(1)如图所示， 延长 OA, CB 交于点F .因为 tan ∠FCO ＝43，所以sin ∠FCO ＝45， cos ∠FCO ＝35.因为OA ＝60，OC ＝170，所以OF ＝OC tan ∠FCO ＝6803， CF ＝OC cos ∠FCO ＝8503， 从而AF ＝OF －OA ＝5003.因为OA ⊥OC, 所以cos ∠AFB ＝sin ∠FCO ＝45.又因为 AB ⊥BC ，所以BF ＝AF cos ∠AFB ＝4003， 从而BC ＝CF －BF ＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆 M 与BC 的切点为D ，连接 MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD ＝r m ，OM ＝d m (0≤d ≤60)．因为OA ⊥OC, 所以sin ∠CFO ＝cos ∠FCO .故由(1)知sin ∠CFO ＝MD MF ＝MD OF －OM ＝r 6803－d ＝35， 所以r ＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎨5680－3d5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时， r ＝680 － 3d5最大，即圆面积最大，所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大．17．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积． 【解析】(1)由题设及余弦定理得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，① BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7.(2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝⎝⎛⎭⎫12×1×2＋12×3×2sin 60°＝2 3.17．[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积．【解析】(1)在△ABC 中， 由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝63.由正弦定理可得，b ＝a sin Bsin A＝3×6333＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×⎝⎛⎭⎫－33＋63×63＝13. 因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.16．[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值．【解析】(1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)由题设有b 2＝ac ，c ＝2a ， ∴b ＝2a .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.。

2014年高考文科数学真题（三角函数）一．选择题（共10小题）1．（2014•广西）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣2．（2014•广西）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．3．（2014•河南）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞04．（2014•河南）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④ D．①③5．（2014•四川）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动1个单位长度 B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度 D．向右平行移动π个单位长度6．（2014•陕西）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π7．（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增8．（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1 D．9．（2014•福建）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）是奇函数B．y=f（x）的周期为πC．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称10．（2014•安徽）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）11．函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为_________．12．（2014•重庆）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=_________．13．（2014•上海）方程sinx+cosx=1在闭区间[0，2π]上的所有解的和等于_________．14．（2014•陕西）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），若•=0，则tanθ=_________．15．（2014•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为_________．16．（2014•湖北）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=1，b=，则B= _________．17．（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于_________．18．（2014•北京）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=_________；sinA=_________．三．解答题（共8小题）19．（2014•广西）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．20．（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．21．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．22．（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．23．（2014•江西）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．24．（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．25．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．26．（2014•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．2014年高考文科数学真题（三角函数）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2014•广西）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解答：解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r==5．∴cosα===﹣，故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．2．（2014•广西）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则∠CEF为异面直线CE与BD所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值．解答：解：如图，取AD中点F，连接EF，CF，∵E为AB的中点，∴EF∥DB，则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角，∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，∴CE=CF．设正四面体的棱长为2a，则EF=a，CE=CF=．在△CEF中，由余弦定理得：=．故选：B．点评：本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．3．（2014•河南）若tanα＞0，则（）A．s inα＞0 B．c osα＞0 C．s in2α＞0 D．c os2α＞0考点：三角函数值的符号．专题：三角函数的求值．分析：化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案．解答：解：∵tanα＞0，∴，则sin2α=2sinαcosα＞0．故选：C．点评：本题考查三角函数值的符号，考查了二倍角的正弦公式，是基础题．4．（2014•河南）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论．解答：解：∵函数①y=cos丨2x丨=cos2x，它的最小正周期为=π，②y=丨cosx丨的最小正周期为=π，③y=cos（2x+）的最小正周期为=π，④y=tan（2x﹣）的最小正周期为，故选：A．点评：本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题．5．（2014•四川）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动1个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度D．向右平行移动π个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接利用函数图象的平移法则逐一核对四个选项得答案．解答：解：∵由y=sinx到y=sin（x+1），只是横坐标由x变为x+1，∴要得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度．故选：A．点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．是基础题．6．（2014•陕西）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解．解答：解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是π，故选：B．点评：本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题．7．（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．解答：解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．即y=3sin（2x﹣）．由，得．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：B．点评：本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．8．（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1D．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论．解答：解：∵3a=2b，∴b=，根据正弦定理可得===，故选：D．点评：本题主要考查正弦定理的应用，比较基础．9．（2014•福建）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）是奇函数B．y=f（x）的周期为πC．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用函数图象的平移法则得到函数y=f（x）的图象对应的解析式为f（x）=cosx，则可排除选项A，B，再由cos=cos（﹣）=0即可得到正确选项．解答：解：将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得y=sin（x+）=cosx．即f（x）=cosx．∴f（x）是周期为2π的偶函数，选项A，B错误；∵cos=cos（﹣）=0，∴y=f（x）的图象关于点（﹣，0）、（，0）成中心对称．故选：D．点评：本题考查函数图象的平移，考查了余弦函数的性质，属基础题．10．（2014•安徽）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出φ的最小值．解答：解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向右平移φ的单位，所得图象是函数y=sin（2x+﹣2φ），图象关于y轴对称，可得﹣2φ=kπ+，即φ=﹣，当k=﹣1时，φ的最小正值是．故选：C．点评：本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题．二．填空题（共8小题）11．函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为1．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：展开两角和的正弦，合并同类项后再用两角差的正弦化简，则答案可求．解答：解：∵f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx=sinxcosφ+cosxsinφ﹣2sinφcosx=sinxcosφ﹣sinφcosx=sin（x﹣φ）．∴f（x）的最大值为1．故答案为：1．点评：本题考查两角和与差的正弦，考查了正弦函数的值域，是基础题．12．（2014•重庆）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：哟条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得sin（2ωx+φ﹣ω）=sinx，可得2ω=1，且φ﹣ω=2kπ，k∈z，由此求得ω、φ的值，可得f（x）的解析式，从而求得f（）的值．解答：解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得函数y=sin（2ωx+φ）的图象．再把所得图象再向右平移个单位长度得到函数y=sin[2ω（x﹣）+φ）]=sin（2ωx+φ﹣ω）=sinx的图象，∴2ω=1，且φ﹣ω=2kπ，k∈z，∴ω=，φ=，∴f（x）=sin（x+），∴f（）=sin（+）=sin=．故答案为：．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．13．（2014•上海）方程sinx+cosx=1在闭区间[0，2π]上的所有解的和等于．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值．分析：由三角函数公式可得sin（x+）=，可知x+=2kπ+，或x+=2kπ+，k∈Z，结合x∈[0，2π]，可得x值，求和即可．解答：解：∵sinx+cosx=1，∴sinx+cosx=，即sin（x+）=，可知x+=2kπ+，或x+=2kπ+，k∈Z，又∵x∈[0，2π]，∴x=，或x=，∴+=故答案为：点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，属基础题．14．（2014•陕西）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），若•=0，则tanθ=．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由条件利用两个向量的数量积公式求得2sinθcosθ﹣cos2θ=0，再利用同角三角函数的基本关系求得tanθ解答：解：∵=sin2θ﹣cos2θ=2sinθcosθ﹣cos2θ=0，0＜θ＜，∴2sinθ﹣c osθ=0，∴tanθ=，故答案为：．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．15．（2014•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为π．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+），从而求得函数的最小正周期解答：解：∵函数y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，故函数的最小正周期的最小正周期为=π，故答案为：π．点评：本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．16．（2014•湖北）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=1，b=，则B=或．考点：余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：利用正弦定理列出关系式，将a，sinA，b的值代入求出sinB的值，即可确定出B的度数．解答：解：∵在△ABC中，A=，a=1，b=，∴由正弦定理=得：sinB===，∵a＜b，∴A＜B，∴B=或．故答案为：或点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．17．（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于1．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：利用余弦定理列出关系式，将AC，BC，以及cosA的值代入即可求出AB的长．解答：解：∵在△ABC中，A=60°，AC=b=2，BC=a=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即3=4+c2﹣2c，解得：c=1，则AB=c=1，故答案为：1点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．18．（2014•北京）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=2；sinA=．考点：余弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：利用余弦定理列出关系式，将a，b，以及cosC的值代入求出c的值，由cosC的值求出sinC的值，再由a，c的值，利用正弦定理即可求出sinA的值．解答：解：∵在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣1=4，即c=2；∵cosC=，C为三角形内角，∴sinC==，∴由正弦定理=得：sinA===．故答案为：2；点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．三．解答题（共8小题）19．（2014•广西）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+B）]=﹣tan（A+B）即可得出．解答：解：∵3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵tanA=，∴2tanC=3×=1，解得tanC=．∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=点评：本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．20．（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）由a+b+c=8，根据a=2，b=求出c的长，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值即可；（Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，再利用正弦定理得到a+b=3c，与a+b+c=8联立求出a+b的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入S=sinC求出ab的值，联立即可求出a与b的值．解答：解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8，∴c=8﹣（a+b）=，∴由余弦定理得：cosC===﹣；（Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC，整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，∴sinA+sinB=3sinC，利用正弦定理化简得：a+b=3c，∵a+b+c=8，∴a+b=6①，∵S=absinC=sinC，∴ab=9②，联立①②解得：a=b=3．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．21．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．考点：正弦定理；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a，b代入计算，即可求出cosA的值；（Ⅱ）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，∴cosA===；（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，∴sinA==，∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．22．（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．考点：两角和与差的余弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析：（1）令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．（2）由函数的解析式可得f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos （α+）cos2α，化简可得（cosα﹣sinα）2=．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα 的值．解答：解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈z．（2）由函数的解析式可得f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），∴sinαcos+cosαsin=（cos2α﹣sin2α）•（sinα﹣cosα），即（sinα﹣cosα）=•（cosα﹣sinα）2•（sinα+cosα），又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，当sinα+cosα=0时，此时cosα﹣sinα=﹣．当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣．综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣．点评：本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．23．（2014•江西）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数奇偶性的性质．专题：三角函数的求值．分析：（1）把x=代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得．（2）利用f（）=﹣和函数的解析式可求得sin，进而求得cos，进而利用二倍角公式分别求得sinα，cosα，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．解答：解：（1）f（）=﹣（a+1）sinθ=0，∵θ∈（0，π）．∴sinθ≠0，∴a+1=0，即a=﹣1∵f（x）为奇函数，∴f（0）=（a+2）cosθ=0，∴cosθ=0，θ=．（2）由（1）知f（x）=（﹣1+2cos2x）cos（2x+）=cos2x•（﹣sin2x）=﹣，∴f（）=﹣sinα=﹣，∴sinα=，∵α∈（，π），∴cosα==﹣，∴sin（α+）=sinαcos+cosαsin=．点评：本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．24．（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．考点：余弦定理的应用；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．（Ⅱ）利用两角和的余弦公式，结合正弦定理即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）设α=∠CED，在△CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD•DEcos∠CDE，即7=CD2+1+CD，则CD2+CD﹣6=0，解得CD=2或CD=﹣3，（舍去），在△CDE中，由正弦定理得，则sinα=，即sin∠CED=．（Ⅱ）由题设知0＜α＜，由（Ⅰ）知cosα=，而∠AEB=，∴cos∠AEB=cos（）=cos cosα+sin sinα=，在Rt△EAB中，cos∠AEB=，故BE=．点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．25．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）通过函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，直接求A的值；（2）利用函数的解析式，通过f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求出cosθ，利用两角差的正弦函数求f（﹣θ）．解答：解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，∴f（）=Asin（+）=Asin=，∴．（2）由（1）可知：函数f（x）=3sin（x+），∴f（θ）﹣f（﹣θ）=3sin（θ+）﹣3sin（﹣θ+）=3[（）﹣（）]=3•2sinθcos=3sinθ=，∴sinθ=，∴cosθ=，∴f（﹣θ）=3sin（）=3sin（）3cosθ=．点评：本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，基本知识的考查．26．（2014•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．考点：余弦定理的应用．专题：计算题；解三角形．分析：利用三角形的面积公式，求出sinA=，利用平方关系，求出cosA，利用余弦定理求出a的值．解答：解：∵b=3，c=1，△ABC的面积为，∴=，∴sinA=，又∵sin2A+cos2A=1∴cosA=±，由余弦定理可得a==2或2．点评：本题考查三角形的面积公式、余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．。

2014年全国高考理科数学试题选编五.三角函数及解三角形试题一.选择题和填空题1全国课标Ⅰ6．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图像大致为( )．2.全国课标Ⅰ.8．.设π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1sin tan cos βαβ+=，则( )．A ．π32αβ-＝B ．π32αβ+=C ．π22αβ-=D ．π22αβ+=3.(课标全国Ⅱ4)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ，则AC ＝( )． A ．5 BC ．2D ．14.(2014课标全国Ⅱ.12)设函数π()3sin xf x m=.若存在f (x )的极值点x 0满足22200+[()]x f x m <，则m 的取值范围是( )． A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞) B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 5. (大纲全国.3)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°， c ＝tan 35°，则( )． A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b 6.（陕西2)函数()πcos 26f x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝的最小正 周期是( )．A ．π2B ．πC ．2πD ．4π 7.(安徽.6)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x ＜π时， f (x )＝0，则23π6f ⎛⎫⎪⎝⎭＝( )． A ．12 BC ．0D ．12-8.(浙江4)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数 3y x =的图象( )．A ．向右平移π4个单位 B ．向左平移π4个单位 C ．向右平移π12个单位 D ．向左平移π12个单位9.(江西4)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边 分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，π3C =， 则△ABC 的面积是( )．A ．3 B．2 C．2D．10.(辽宁9)将函数π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )．A ．在区间π7π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减B ．在区间π7π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增C ．在区间ππ63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递减D ．在区间ππ63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增11.(四川3)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象， 只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )．A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度12.(重庆10)已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足 sin 2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12， 面积S 满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为 A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成 立的是( )．A ．bc (b ＋c )＞8B ．ab (a ＋b )＞ C ．6≤abc ≤12 D ．12≤abc ≤2413.全国课标Ⅰ.16．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2， 且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ， 则△ABC 面积的最大值为__________． 14.（全国课标Ⅱ.14)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最 大值为__________．15.（大纲全国.16)若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭是减函数，则a 的取值范围是__．16.（北京14)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0)．若f (x )在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且π2ππ236f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则f (x )的最小正周期为__________．17.（安徽.11)若将函数()πsin 24f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是__________．18.（天津.12)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知14b c a -=,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为__________．19.（福建.12)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC =ABC 的面积等于_____． 20. (广东12)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的 边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ， 则ab＝________. 21.(四川13)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m ，则河流的宽度BC 约等于__________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.801.73)二.解答题1. (大纲全国117满分10分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a cos C ＝2c cos A ，1tan 3A =，求B .2. (陕西16满分)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 3. (北京15满分13分)如图， 在△ABC 中，π3B ∠=，AB ＝8， 点D 在BC 边上，且CD ＝2，1cos 7ADC ∠=. (1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．4. (天津15满分13分)已知函数()2πcos sin 3f x x x x ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭=，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在闭区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 5. (安徽16满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1， A ＝2B . (1)求a 值；(2)求πsin()4A +的值． 6. (福建16满分13分)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12. (1)若π02α<<，且sin α=，求f (α)的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 7. (湖北.17满分11分)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：()ππ10sin 1212f t t t -⋅-=，t ∈[0,24)． (1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？8. (湖南18满分12分)如图，在平面四边形ABCD中，AD ＝1，CD ＝2，AC =.(1)求cos ∠CAD 的值； (2)若cos BAD ∠=，sin 6CBA ∠=，求BC 的长．9. (浙江18满分14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b，c =22cos cos cos cos A B A A B B -. (1)求角C 的大小；(2)若4sin 5A =，求△ABC 的面积． 10. (广东.16满分12分)已知函数π()sin 4f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ，且5π3122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (1)求A 的值；(2)若()3()2f f θθ-+＝，π02θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， 求3π4f θ⎛⎫-⎪⎝⎭. 11. (江西16满分12分)已知函数 f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. (1)当a =π4θ=时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值； (2)若π02f ⎛⎫=⎪⎝⎭，f (π)＝1，求a ，θ的值． 12. (辽宁17满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)c os(B －C )的值．13. (山东16满分12分)已知向量a ＝(m ，cos 2x )， b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点π12⎛⎝和点2π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．14. (四川16满分12分)已知函数()πsin 34f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，4πcos cos 2354f ααα⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos α－sin α的值．15. (重庆17满分13分)已知函数 f (x )＝1π)0,22x ωϕωϕ⎛⎫>-≤< ⎪⎝⎭＋的图象关于直线π3x =对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)若π2π263f αα⎛⎫⎫=<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求3πcos 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．.五.三角函数及解三角形试题解析一.选择题和填空题1全国课标Ⅰ6．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图像大致为( )．解析：由题意|OM |＝|cos x |，f (x )＝|OM ||sin x |＝|sin x cos x |＝1sin 22x ，由此可知C 正确．2.全国课标Ⅰ.8．.设π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1sin tan cos βαβ+=，则( )．A ．π32αβ-＝B ．π32αβ+=C ．π22αβ-=D ．π22αβ+=解析：由已知，得sin 1sin cos cos αβαβ+=， ∴sin αcos β＝cos α＋cos αsin β.∴sin αcos β－cos αsin β＝cos α. ∴sin(α－β)＝cos α，∴sin(α－β)＝πsin 2α⎛⎫-⎪⎝⎭. ∵π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππ22αβ-<<－，ππ022α<-<，∴π2αβα-=-，∴π22αβ-=.故选C.3.(课标全国Ⅱ4)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ，则AC ＝( )． A ．5 BC ．2D ．1解析：由题意知S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ，即11122B =⨯，解得sin 2B =. ∴B ＝45°或B ＝135°. 当B ＝45°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝2212112-⨯+. 此时AC 2＋AB 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形， 不符合题意； 当B ＝135°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝22121(5-⨯+＝，解得AC 符合题意．故选B. 4.(2014课标全国Ⅱ.12)设函数π()3sinx f x m=.若存在f (x )的极值点x 0满足22200+[()]x f x m <，则m 的取值范围是( )． A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞) B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：∵x 0是f (x )的极值点，∴f ′(x 0)＝0，即0ππcos 0x m m=， 得0πππ2x k m =+，k ∈Z ， 即012x mk m =+，k ∈Z .∴x 02＋[f (x 0)]2＜m 2可转化为2221π122mk m mk m m m ⎤⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦， k ∈Z ，即2221+32k m m ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，k ∈Z ，即221312k m ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭，k ∈Z .要使原问题成立，只需存在k ∈Z ，使223112k m ⎛⎫->+ ⎪⎝⎭成立即可．又212k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2的最小值为14，∴23114m ->，解得m ＜－2或m ＞2.故选C.5. (大纲全国.3)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°， c ＝tan 35°，则( )． A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b解析：∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，sin 35tan 35cos35c ︒=︒=︒，∴sin 35sin 35sin 33cos35︒>︒>︒︒.∴c ＞b ＞a ，选C.6.（陕西2)函数()πcos 26f x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝的最小正 周期是( )．A ．π2B ．πC ．2πD ．4π 解析：f (x )的最小正周期2ππ2T ==. 7.(安徽.6)设函数f (x )(x ∈R )满足 f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x ＜π时， f (x )＝0，则23π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝( )． A ．12 BC ．0D ．12- 解析：由题意得23π17π17π11π11π17πsin sin +sin666666f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭7π17π11π11π17πsin sin +sin 66666f ⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎭⎝⎭＝5π5π11π17π+sin +sin+sin 6666f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ＝111102222+-+=.8.(浙江4)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数 3y x =的图象( )． A ．向右平移π4个单位 B ．向左平移π4个单位 C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位解析：ππsin 3cos 332cos 3412y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=ππcos 33412x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦因此需将函数 3y x =的图象向右平移π12个单位．故选C.9.(江西4)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，π3C =， 则△ABC 的面积是( )． A ．3 BCD．解析：在△ABC 中，由已知条件及余弦定理可得c 2＝(a －b )2＋6＝a 2＋b 2－π2cos 3ab ， 整理得ab ＝6， 再由面积公式1sin 2S ab C =，得1π6sin 23ABC S ∆=⨯⨯=.故选C.10.(辽宁9)将函数π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )． A ．在区间π7π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减 B ．在区间π7π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增 C ．在区间ππ63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递减 D ．在区间ππ63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增 解析：设平移后的函数为f (x )，则()ππ3sin 223f x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π3sin 2π3x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭π3sin 23x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.令πππ2π22π232k x k -≤+≤+，k ∈Z ，解得f (x )的递减区间为5ππππ+1212k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，k ∈Z ，同理得递增区间为π7πππ+1212k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，，k ∈Z . 从而可判断得B 正确． 11.(四川3)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象， 只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )． A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度解析：∵y＝sin(2x＋1)＝1 sin 22x⎛⎫+⎪⎝⎭，∴需要把y＝sin 2x图象上所有的点向左平移1 2个单位长度即得到y＝sin(2x＋1)的图象．12.(重庆10)已知△ABC的内角A，B，C满足sin 2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋12，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是()．A．bc(b＋c)＞8 B．ab(a＋b)＞C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24 解析：由sin 2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋1 2得，sin 2A＋sin[A－(B－C)]＋sin[A＋(B－C)]＝12，所以sin 2A＋2sin A cos(B－C)＝1 2 .所以2sin A[cos A＋cos(B－C)]＝12，所以2sin A[cos(π－(B＋C))＋cos(B－C)]＝12，所以2sin A[－cos(B＋C)＋cos(B－C)]＝12，即得sin A sin B sin C＝1 8 .根据三角形面积公式S＝12ab sin C，①S＝12ac sin B，②S＝12bc sin A，③因为1≤S≤2，所以1≤S3≤8. 将①②③式相乘得1≤S3＝18a2b2c2sin A sin B sin C≤8，即64≤a2b2c2≤512，所以8≤abc≤，故排除C，D选项，而根据三角形两边之和大于第三边，故b＋c＞a，得bc(b＋c)＞8一定成立，而a＋b＞c，ab(a＋b)也大于8，而不一定大于，故选A.13.全国课标Ⅰ.16．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为__________．解析：由正弦定理，可得(2＋b)(a－b)＝(c－b)·c.∵a＝2，∴a2－b2＝c2－bc，即b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理，得2221cos22b c aAbc+-==.∴sin A=.由b2＋c2－bc＝4，得b2＋c2＝4＋bc.∵b2＋c2≥2bc，即4＋bc≥2bc，∴bc≤4.∴1sin2ABCS bc A∆=⋅≤，即(S△ABC)max＝14.（全国课标Ⅱ.14)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为__________．解析：∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cos φ＋cos(x＋φ)sin φ－2sin φcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ＝sin[(x＋φ)－φ]＝sin x.∴f(x)max＝1.15.（大纲全国.16)若函数f(x)＝cos 2x＋a sin x在区间ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭是减函数，则a的取值范围是__．解析：f(x)＝cos 2x＋a sin x＝1－2sin2x＋a sin x.令t＝sin x，∵x∈ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭，∴1,12t⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴g(t)＝1－2t2＋at＝－2t2＋at＋1112t<<，由题意知1222a-≤⨯(-)，∴a≤2，∴a的取值范围为(－∞，2]．16.（北京14)设函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0)．若f(x)在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且π2ππ236f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则f(x)的最小正周期为__________．解析：由f(x)在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且ππ26f f⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知，f(x)有对称中心π,03⎛⎫⎪⎝⎭，由π2π23f f⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知f(x)有对称轴1π27ππ22312x⎛⎫=+=⎪⎝⎭.记f(x)的最小正周期为T ，则1ππ226T ≥-，即2π3T ≥. 故7πππ12344T-==，解得T ＝π. 17.（安徽.11)若将函数()πsin 24f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是__________． 解析：把函数()πsin 24f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝的图象向右平移φ个单位，得到()ππsin 2()sin(22)44f x x x ϕϕ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭＝的图象．由()πsin 224f x x ϕ⎛⎫-+⎪⎝⎭＝的图象关于y 轴 对称，所以ππ2π42k ϕ-+=+，k ∈Z .即ππ28k ϕ=--，k ∈Z . 当k ＝－1时，φ的最小正值是3π8.18.（天津.12)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的 边分别是a ，b ，c .已知14b c a -=,2sin B ＝3sin C ， 则cos A 的值为__________． 解析：由2sin B ＝3sin C ，结合正弦定理得2b ＝3c ，又14b c a -=，所以32b c =，a ＝2c . 由余弦定理得222cos =2b c a A bc+-＝222322322c c c c c ⎛⎫+-() ⎪⎝⎭⋅⋅＝14-.19.（福建.12)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC =ABC 的面积等于_____．解析：由题意及余弦定理得222216121cos 2242b c a c A bc c +-+-===⨯⨯，解得c ＝2.所以S ＝12bc sin A ＝12×4×2×sin 60°＝故答案为20. (广东12)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的 边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab＝________. 解析：因为b cos C ＋c cos B ＝2b ，所以由正弦定理可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ， 即sin(B ＋C )＝2sin B ，所以sin(π－A )＝2sin B ，即sin A ＝2sin B . 于是a ＝2b ，即2ab=. 21.(四川13)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m ，则河流的宽度BC 约等于__________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.801.73)解析：如图所示，过A 作AD ⊥CB 且交CB 的延长线于D.在Rt △ADC 中，由AD ＝46 m ，∠ACB ＝30° 得AC ＝92 m.在△ABC 中，∠BAC ＝67°－30°＝37°， ∠ABC ＝180°－67°＝113°，AC ＝92 m ，由正弦定理sin sin AC BCABC BAC =∠∠，得92sin113sin37BC =︒︒，即92sin67sin37BC=︒︒，解得92sin3760m sin67BC ︒≈≈︒. 二.解答题1. (大纲全国117满分10分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a cos C ＝2c cos A ，1tan 3A =，求B . 分析：通过3a cos C ＝2c cos A ，借助于正弦定理把a ，c 转化成关于A ，C 的三角函数值，由已知1tan 3A =，从而求出tan C ，再利用公式 tan B ＝－tan(A ＋C )求出B . 解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A .故3tan A cos C ＝2sin C ， 因为1tan 3A =，所以cos C ＝2sin C ，1tan 2C =. 所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C )＝tan tan tan tan 1A CA C +-＝－1，即B ＝135°.2. (陕西16满分)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 分析：在(1)问中结合等差数列性质，得出a ，b ，c 之间关系，再利用正弦定理转化为角的关系，进而结合三角形内角和为π，利用诱导公式将角B 转化为用角A 和C 来表示，从而达到证明目标等式．在(2)问利用等比数列基本性质，得出a ，b ，c 之间关系，再结合余弦定理，表达出cos B 的式子，依据基本不等式得出其范围，注意等号成立的条件．解：(1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=，当且仅当a ＝c 时等号成立． ∴cos B 的最小值为12. 3. (北京15满分13分)如图，在△ABC 中，π3B ∠=，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，1cos 7ADC ∠=.(1)求sin ∠BAD ；(2)求BD ，AC 的长．分析：(1)先利用三角形中角之间的关系可得 ∠BAD ＝∠ADC －∠B ，然后即可利用两角差的正弦公式求解；(2)在△ABD 中，根据正弦定理，结合(1)即可求得BD ，然后在△ABC 中，直接利用余弦定理求AC 即可．解：(1)在△ADC 中，因为1cos 7ADC ∠=，所以sin ADC ∠. 所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B ) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B1127-=(2)在△ABD 中，由正弦定理得8sin 3sin AB BAD BD ADB ⋅∠==∠＝. 在△ABC 中，由余弦定理得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49. 所以AC ＝7.4. (天津15满分13分)已知函数()2πcos sin 3f x x x x ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭=，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在闭区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 分析：(1)先利用两角和与差的正弦公式及二倍角的正弦、余弦公式，化简函数解析式为一个角的三角函数的形式，再求周期． (2)可利用函数f (x )在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性求最值．解：(1)由已知，有()21cos sin 2f x x x x x ⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭=＝21sin cos 2x x x ⋅+＝1sin 2(1cos 2)444x x -++＝1sin 2cos 244x x =-＝1πsin 223x ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 所以，f (x )的最小正周期2ππ2T ==. (2)因为f (x )在区间ππ,412⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数，在区间ππ,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，π144f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π1122f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π144f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以，函数f (x )在闭区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为14，最小值为12-.5. (安徽16满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 值； (2)求πsin()4A +的值． 分析：(1)通过观察给出的条件及求解的问题，先将角的关系化为边的关系．首先由A ＝2B ，得sin A ＝sin 2B ，再由倍角公式将2B 的三角函数化为B 的三角函数，再由正弦定理、余弦定理将角的关系化为边的关系进行求解．(2)由(1)知三边都已确定，先由余弦定理求出cos A 的值，再利用平方关系求出sin A 的值，最后利用两角和的正弦公式求解． 解：(1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正弦定理、余弦定理得2222a cb a b +-=⋅.因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a =.(2)由余弦定理得22291121cos263b ca A bc +-+-===-. 由于0＜A ＜π，所以sin 3A ===故πππ2221242sin()sin cos cos sin ()44432326A A A -+=+=⨯+-⨯= ππ122c o s c o s 44A ++-.6. (福建16满分13分)已知函数f(x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若π02α<<，且sin 2α=，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．分析：首先结合已知角的范围，利用同角三角函数的基本关系式及已知的正弦值，求出余弦值，注意符号的判断，然后代入已知的函数关系式，得出结果．在第(2)问中，结合式子特点，利用二倍角公式、两角和与差的三角函数公式以及辅助角公式，得出最终的目标——y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 形式，运用2πT ω=得出周期，再结合三角函数的图象与性质等基础知识求得单调区间，此时要注意复合函数的单调性．另外，也可先化简再分别求解． 解法一：(1)因为π02α<<，sin 2α=，所以cos 2α=. 所以()11(22222fα=+-=. (2)因为 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝11cos21sin 2222x x ++- ＝11sin 2cos222x x + ＝π)24x +，所以2ππ2T ==. 由πππ2π22π242k x k -≤+≤+，k ∈Z ，得3ππππ88k x k -≤≤+，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . 解法二：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝11cos21sin 2222x x ++- ＝11sin 2cos222x x +＝π224x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (1)因为π02α<<，sin α=， 所以π4α=， 从而()π3π1)442f αα+==.(2) 2ππ2T ==. 由πππ2π22π242k x k -≤+≤+，k ∈Z ，得3ππππ88k x k -≤≤+，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间 为3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z. 7. (湖北.17满分11分)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：()ππ10sin 1212f t t t ⋅-=，t ∈[0,24)． (1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？分析：由函数f (t )为a cos t ＋b sin t 型，故可利用辅助角公式对f (t )化简为f (t )＝10－2sin ππ123t ⎛⎫+⎪⎝⎭，再根据t ∈[0,24)，把ππ123t +的范围求出，再利用单位圆或者正弦函数的图象求出ππsin 123t ⎛⎫+⎪⎝⎭的范围，从而求得f (t )的最大与最小值．对于第(2)问，要求实验室温度不高于11 ℃，即满足不等式f (t )＞11的t 的范围就是实验室需要降温的时间段，可利用正弦曲线或单位圆来解三角不等式． 解：(1)因为()π1πππ102sin 102sin 12212123f t t t t ⎫⎛⎫+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝－，又0≤t ＜24，所以πππ7π+<31233t ≤， ππ1sin +1123t ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭－.当t ＝2时，ππsin +1123t ⎛⎫= ⎪⎝⎭；当t ＝14时，ππsin +1123t ⎛⎫= ⎪⎝⎭.于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度 为8 ℃，最大温差为4 ℃.(2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温． 由(1)得()ππ102sin +123f t t ⎛⎫⎪⎝⎭=-， 故有ππ102sin +11123t ⎛⎫>⎪⎝⎭-， 即ππ1sin +1232t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭.又0≤t ＜24，因此7πππ11π61236t <+<， 即10＜t ＜18.在10时至18时实验室需要降温．8. (湖南18满分12分)如图，在平面四边形ABCD中，AD ＝1，CD ＝2，AC =.(1)求cos ∠CAD 的值； (2)若cos BAD ∠=，sin 6CBA ∠=，求BC 的长．分析：对于第(1)问，由已知△ACD 中三边求角，很容易想到利用余弦定理进行求解．对于第 (2)问，目标为求BC 的长度，而BC 是△ABC 中的边．又AC 已知，AC 所对的角∠CBA 的正弦已知，所以联想到利用正弦定理来求，但需要 ∠BAC 的正弦值．而已知中有cos ∠BAD 的值，发现∠BAC ＝∠BAD －∠CAD ，因此用两角差的正弦公式求得sin ∠BAC ，从而问题得解． 解：(1)如题图，在△ADC 中，由余弦定理，得222cos 2AC AD CD CAD AC AD+-∠=⋅.故由题设知，cos CAD ∠==(2)如题图，设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD .因为cos 7CAD ∠=，cos 14BAD ∠=-， 所以cos CAD ∠sinBAD ∠于是sinα＝sin(∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD cos ∠CAD －cos ∠BAD sin ∠CAD＝147⎛-⨯= ⎝⎭. 在△ABC 中，由正弦定理，sin sin BC AC CBAα=∠.故sin 3sin AC BC CBA α⋅===∠ 9. (浙江18满分14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b，c =22cos cos cos cos A B A A B B -. (1)求角C 的大小；(2)若4sin 5A =，求△ABC 的面积．分析：(1)将已知等式运用二倍角的正、余弦公式和辅助角公式化为2A,2B 的三角函数式，结合角A ，B 的范围求出2A,2B 的关系式，然后求出角C .(2)由(1)知C ，又已知sin A ，c ，则可由sin sin a cA C=求出a ，则由 1sin 2ABC S ac B ＝知，只需求sin B 即可．结合B ＝π－(A ＋C )运用两角和的正弦公式可求sin B .解：(1)由题意得1cos 21cos 2 2 22A B A B ++-=， 11 2cos 2 2cos 222A AB B -=-，ππsin 2sin 266A B ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由a ≠b ，得A ≠B ，又A ＋B ∈(0，π)，得ππ22π66A B -+-=， 即2π3A B +=，所以π3C =.(2)由c =4sin =5A ，=sin sin a cA C，得8=5a .由a ＜c ，得A ＜C ，从而3cos 5A =，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C＝410+. 所以△ABC 的面积为1sin 2S ac B ==10. (广东.16满分12分)已知函数π()sin 4f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ，且5π3122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (1)求A 的值；(2)若()3()2f f θθ-+＝，π02θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， 求3π4f θ⎛⎫-⎪⎝⎭. 解：(1)∵π()sin 4f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 且5π3122f ⎛⎫=⎪⎝⎭， ∴5π5ππ2πsin sin 121243f A A ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝32A ⋅=.∴A =(2)∵π()4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且()3()=2f f θθ-+，∴()ππ()44f f θθθθ⎛⎫⎛⎫+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ππππsin cos cos sin sin cos cos sin 4444θθθθ⎤⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦π32cos sin=42θθ， ∴cos θ=，且π02θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，.∴sin θ==. ∵3π3ππ444f θθ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π =4θθ-. 11. (江西16满分12分)已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a∈R ，ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. (1)当a =π4θ=时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值； (2)若π02f ⎛⎫=⎪⎝⎭，f (π)＝1，求a ，θ的值．分析：(1)先将a =π4θ=代入f (x )，再利用两角和的正弦公式和余弦公式对f (x )进行化简，最终化成一个三角函数值的形式，根据所给角的范围，借助于数形结合求出最大值和最小值；(2)利用所给条件列出方程联立成方程组求出a ，θ. 解：(1)ππ()sin 42f x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22πcos )cos sin sin 224x x x x x x ⎛⎫=-=- ⎪＋ πcos )2sin cos sin 224x x x x x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭＋，因为x ∈[0，π]，从而π3ππ,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.故f (x )在[0，π]，最小值为－1.(2)由π()0,2(π)0,f f ⎧=⎪⎨⎪=⎩得2cos (12sin )02sin sin 1,a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩， 又ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，知cos θ≠0，解得1,π.6a θ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩12. (辽宁17满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)c os(B －C )的值．分析：(1)将条件中的2BA BC ⋅=，转化为边角的量表示，可得a 与c 的关系，再结合余弦定理列方程组求解．(2)由(1)及正弦定理可得sin C ，进而求出c os C ，再由两角差的余弦公式求出c os(B －C )的值． 解：(1)由2BA BC ⋅=，得c ·ac os B ＝2. 又1cos 3B =，所以ac＝6. 由余弦定理，得a 2＋c2＝b 2＋2acc os B .又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解226,13,ac a c=⎧⎨+=⎩得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2. 因a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin 3B ===，由正弦定理， 得2sin sin 339c C B b ==⋅=. 因a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此7cos 9C ===. 于是c os(B －C )＝c os Bc os C ＋sin B sin C 17233927=⋅= 13. (山东16满分12分)已知向量a ＝(m ，cos 2x )， b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的 图象过点π12⎛ ⎝和点2π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．分析：在第(1)问中，可先根据向量数量积坐标运算整理出f (x )的解析式，再由图象过两点，代入整理可得关于m ，n 的方程组，利用此方程组即得m ，n 的值．在第(2)问中，通过图象平移知识，可得含参数φ的g (x )的解析式，从中设出最高点，然后根据两点距离为1，可确定最高点的坐标，代入可求出g (x )确定的解析式，从而求出单调区间．解：(1)由题意知f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x . 因为y ＝f (x )的图象过点π12⎛⎝和2π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以ππsin cos 664π4π2sin cos 33m n m n =+⎨⎪-=+⎪⎩，，即1,212,2m n =⎨⎪-=-⎪⎩ 解得m =n ＝1.(2)由(1)知()2cos2f x x x =+π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由题意知()π()2sin 226g x f x x ϕϕ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭.设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)， 由题意知2011x +=，所以x 0＝0，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入y ＝g (x )得πsin 216ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为0＜φ＜π，所以π6ϕ=.因此()π2sin 22cos 22g x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得πππ2k x k -≤≤，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间 为ππ,π2k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 14. (四川16满分12分)已知函数()πsin 34f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，4πcos cos 2354f ααα⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos α－sin α的值．分析：在第(1)问，通过整体思想，将π34x +看作一个整体，借助y ＝sin x 的单调递增区间，解不等式求出x 的范围得到f (x )的单调递增区间，要注意k ∈Z 不要漏掉；在第(2)问，利用已知条件求出3f α⎛⎫⎪⎝⎭，然后利用和角公式展开整理，得到关于sin α＋cos α与cos α－sin α的方程，再对sin α＋cos α与0的关系进行讨论，得到 cos α－sin α的值．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为ππ2π,2π22k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ， 由πππ2π32π242k x k -+≤+≤+，k ∈Z ，得π2ππ2π43123k k x -+≤≤+，k ∈Z .所以，函数f (x )的单调递增区间为π2ππ2π,43123k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . (2)由已知， 有π4πsin cos 454αα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(cos 2α－sin 2α)，所以ππ4ππsin coscos sin (cos cos sin sin )(c 44544αααα+=-， 22ππ4ππsin cos cos sin (cos cos sin sin )(cos sin )44544αααααα+=-- 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)． 当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k π，k ∈Z . 此时，cos α－sin α＝当sin α＋cos α≠0时， 有(cos α－sin α)2＝54. 由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0， 此时cos α－sin α＝2-综上所述，cos α－sin α＝15. (重庆17满分13分)已知函数f (x )＝1π)0,22x ωϕωϕ⎛⎫>-≤< ⎪⎝⎭＋的图象关于直线π3x =对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)若π2π263f αα⎛⎫⎫=<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求3πcos 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．分析：在第(1)问中主要考查了三角函数的周期和对称性，两最高点之间的距离是一个周期，从而根据公式2πT ω=，准确求出ω；而求φ，则根据对称轴处取最值并结合φ的取值范围给k赋值才能准确求出φ.第(2)问中已知2f α⎛⎫=⎪⎝⎭，结合α的范围判断并求出πcos 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，然后进一步将3cos π2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭转化成sin α，而后将α写成π6α-加上π6的形式，从而求出最后的值，该题解答过程中，必须熟练运用诱导公式及两角和差的三角函数公式．解：(1)因f (x )的图象上相邻两个最高点的距离 为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而2π=2Tω=. 又因f (x )的图象关于直线π3x =对称， 所以ππ2π+32k ϕ⋅+=，k ＝0，±1，±2，…. 因ππ22ϕ-≤<得k ＝0，所以π2ππ236ϕ=-=-.(2)由(1)得π2226f αα⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π1sin =64α⎛⎫- ⎪⎝⎭.由π2π63α<<得ππ062α<-<，所以πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭==.因此3πππcos sin sin 266ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+==-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππ13151315sin cos cos sin 666642428αα+⎛⎫⎛⎫=-+-=⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ11cos sin 6642428α⎛⎫-=+=⎪⎝⎭。