三角函数高考题及练习题(含答案)

3. 已知函数 f(x)＝ 3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函
π
数 y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 2 .
( )π
(1) 求 f 8 的值； π
(2) 将函数 y＝f(x)的图象向右平移 6 个单位后，得到函数 y＝g(x)的图象，求函数 g(x)
φ＝4.
[ ]π
0， 4. 若 f(x)＝2sinωx(0<ω<1)在区间 3 上的最大值是 2，则 ω＝________．
3
答案：4
[ ] π
ωπ π
π
0，
解析：由 0≤x≤3，得 0≤ωx≤ 3 <3，则 f(x)在 3 上单调递增，且在这个区间上的
ωπ
ωπ π
ωπ π
3
最大值是 2，所以 2sin 3 ＝ 2，且 0< 3 <3，所以 3 ＝4，解得 ω＝4.
与单位圆相交于 A、B 两点，已知 A、B 的横坐标分别为10、 5 .求：
(1) tan(α＋β)的值；
(2) α＋2β 的值．
解：由题意得 cos
2 α＝10，cos
( ) 2 5
π
0，
β＝ 5 ，α、β∈ 2 ，所以 sin
72
5
α＝ 1－cos2α＝ 10 ，sin β＝ 1－cos2β＝ 5 ， 1
[ ] 21 23 ， (2) 在闭区间 4 4 上是否存在 f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果 不存在，请说明理由．
2π
解：(1) 因为 f(x)＝ A2＋B2sin(ωx＋φ)，由它的最小正周期为 2，知 ω ＝2，ω＝π.又
1
1
π
π
当 x＝3时，f(x)max＝2，知 3π＋φ＝2kπ＋2(k∈Z)，即 φ＝2kπ＋6(k∈Z)，所以 f(x)
例 2 函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ 是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示．
(1) 求 f(0)的值；
[ ]π
0， (2) 若 0<φ<π，求函数 f(x)在区间 3 上的取值范围． 解：(1)由题图可知 A＝ 2，
T 7π π π
7π
3π
∵ 4＝12－3＝4，∴ ω＝2.又 2×12＋φ＝2kπ＋ 2 ， π
6，
( ) ( ) ( ) π
π
π
π
φ－
φ－
φ－
即－sinωxcos 6 ＋cosωxsin 6 ＝sinωxcos(φ－6)＋cosωxsin 6 ，
hing at a time and All things in their being are good for somethin
( )π
φ－ 整理得 sinωxcos 6 ＝0.因为 ω＞0，且 x∈R，
π π 3π
因为 x1、x2∈(0，π)，x1≠x2，且 f(x1)＝f(x2)＝1，所以 x1＋x2＝4＋2＝ 4 已知函数 f(x)＝2sinωx，其中常数 ω>0.
[ ] π 2π
－， (1) 若 y＝f(x)在 4 3 上单调递增，求 ω 的取值范围；
π
(2) 令 ω＝2，将函数 y＝f(x)的图象向左平移 6 个单位，再向上平移 1 个单位，得到函
求函数 f(θ)的最小值和最大值．
3
1
解：(1) 根据三角函数定义得 sinθ＝ 2 ，cosθ＝2，∴ f(θ)＝2.(本题也可以根据定义 π
及角的范围得角 θ＝3，从而求出 f(θ)＝2)．
hing at a time and All things in their being are good for somethin
(2)
( ) 17π 15π
π 7π
－ ，－
证明：因为 x∈ 8
8 ，所以－4π<2x＋4<－ 2 ，所以 f(x)在
( ) ( ) 17π 15π
17π 15π
－ ，－
－ ，－
8
8 上是减函数．所以当 x1、x2∈ 8
8 ，且 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2)，
hing at a time and All things in their being are good for somethin
因此 tan α＝7，tan β＝2.
1 7＋
2
tanα＋tanβ
1
1－7 ×
(1) tan(α＋β)＝1－tanαtanβ＝
2＝－3.
1 －3＋
2
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1－（－3） ×
(2) tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝
2＝－1.
( )3π
3π
0，
又 α＋2β∈ 2 ，所以 α＋2β＝ 4 .
题型二 三角函数的图象与解析式问题
( ) π
π
θ＋
(2) 在直角坐标系中画出可行域知 0≤θ≤2，又 f(θ)＝ 3sinθ＋cosθ＝2sin 6 ，∴
π
当 θ＝0，f(θ)min＝1；当 θ＝3，f(θ)max＝2. (注： 注意条件，使用三角函数的定义， 一般情况下，研究三角函数的周期、最值、
单调性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为 y＝Asin(ωx＋φ)的形式) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角 α、β，它们的终边分别 2 25
[ ] 21 23
16
，
又 k∈Z，知 k＝5，由此可知在闭区间 4 4 上存在 f(x)的对称轴，其方程为 x＝ 3 .
题型三 三角函数的性质与图象的移动问题
例 3 把函数 f(x)＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x 的图象沿 x 轴向左平移 m 个单位(m>0)，
17π
所得函数的图象关于直线 x＝ 8 对称． (1) 求 m 的最小值；
( ) π ＋x 例 4 已知函数 f(x)＝2sin2 4 － 3cos2x－1，x∈R.
(1) 求 f(x)的最小正周期；
( ) π
－ ，0 (2) 若 h(x)＝f(x＋t)的图象关于点 6 对称，且 t∈(0，π)，求 t 的值；
2. 函数 f(x)＝lgx－sinx 的零点个数为________．
答案：3
解析：在(0，＋∞)内作出函数 y＝lgx、y＝sinx 的图象，即可得到答案．
( )π
π
|φ| <
3. 函数 y＝2sin(3x＋φ)，
2 的一条对称轴为 x＝12，则 φ＝________．
π
答案：4
π
π
π
π
解析：由已知可得 3×12＋φ＝kπ＋2，k∈Z，即 φ＝kπ＋4，k∈Z.因为|φ|<2，所以 π
[ ( )] ( ) π
π
π
π
2π
2 x－
2x－
6 ＝2cos 3 .当 2kπ≤2x－3≤2kπ＋π(k∈Z)，即 kπ＋6≤x≤kπ＋ 3 (k∈Z)
[ ] π
2π
kπ＋ ，kπ＋
时，g(x)单调递减，因此 g(x)的单调递减区间为 6
3 (k∈Z)．
题型四 三角函数图象及性质、三角公式综合运用
2x＋
f(x)＝2sin2x，g(x)＝2sin2 6 ＋1＝2sin 3 ＋1，g(x)
( )π 1
π
7
2x＋
＝0sin 3 ＝－2x＝kπ－3或 x＝kπ－12π，k∈Z, 即 g(x)的零点相邻间隔依次为
π 2π
2π
π
3和 3 ，故若 y＝g(x)在[a，b]上至少含有 30 个零点，则 b－a 的最小值为 14× 3 ＋15×3＝ 43π
加强了对三角函数定义、图象和性质的考查．在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些
特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等．
( )π
x－ 1. 函数 y＝2sin2 4 －1 是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)函
数．
答案：π 奇
( )π
2x－ 解析：y＝－cos 2 ＝－sin2x.
( ) ( ) π
π
πx＋2kπ＋
πx＋
＝2sin
6 ＝2sin 6 (k∈Z)．
( )π
πx＋ 故 f(x)的解析式为 f(x)＝2sin 6 .
(2) 当垂直于 x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对
π
π
1
21 1 23
59 65
称轴，令 πx＋6＝kπ＋2(k∈Z)，解得 x＝k＋3(k∈Z)，由 4 ≤k＋3≤ 4 ，解得12≤k≤12.
( )π
2x＋ 4 ＋2.
[ ]π
2（x＋m）＋
因为将 f(x)的图象沿 x 轴向左平移 m 个单位(m>0)，得到 g(x)＝ 2
4 ＋2 的
17π
图象，又 g(x)的图象关于直线 x＝ 8 对称，
( ) 17π
π
（2k－9）
＋m
所以 2 8
＋4＝kπ，即 m＝ 4 π(k∈Z)．
π
因为 m>0，所以 m 的最小值为4.
数 y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R 且 a<b)满足：y＝g(x)在[a，b]上至少含有 30 个零
点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求 b－a 的最小值．
π
π
{ ) － ω ≥ －
4
2
2π
π
ω≤
解：(1) 因为 ω>0，根据题意有 3
2
3
0<ω≤4.
(2)
( ) ( ) π
π
x＋
式，运用数形结合思想，属于中档题)
已知函数 f(x)＝Asin ωx＋Bcos ωx(A、B、ω 是常数，ω＞0)的最小正周期为 2，并且
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1
当 x＝3时，f(x)max＝2. (1) 求 f(x)的解析式；
( ) 17π 15π
－ ，－
(2) 证明：当 x∈ 8
8 时，经过函数 f(x)图象上任意两点的直线的斜率恒
为负数；
(3) 设 x1，x2∈(0，π)，x1≠x2，且 f(x1)＝f(x2)＝1，求 x1＋x2 的值． (1)
解：f(x)
1－cos2x
1＋cos2x
＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x＝ 2 －sin2x＋3· 2 ＝cos2x－sin2x＋2＝ 2cos
f（x1）－f（x2）
从而经过任意两点(x1，f(x1))和(x2，f(x2))的直线的斜率 k＝ x1－x2 <0.
( )π
2
2x＋
(3) 解：令 f(x)＝1，所以 cos 4 ＝－ 2 .
( ) π π 9π ， 因为 x∈(0，π)，所以 2x＋4∈ 4 4 .
π 3π
π 5π
π
π
所以 2x＋4＝ 4 或 2x＋4＝ 4 ，即 x＝4或 x＝2.
的单调递减区间．
解：(1)
[ ] 3
1
sin（ωx＋φ）－ cos（ωx＋φ）
f(x)＝ 3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝2 2
2
＝2sin
( )π
ωx＋φ－ 6 .因为 f(x)为偶函数，所以对 x∈R，f(－x)＝f(x)恒成立，
( ) ( ) π
π
－ωx＋φ－
ωx＋φ－
因此 sin
6 ＝sin
2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现，因
此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数
图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等)．
3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易．这几年的高考
题型二 三角函数定义及应用问题
例 1 设函数 f(θ)＝ 3sinθ＋cosθ，其中角 θ 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴非
负半轴重合，终边经过点 P(x，y)，且 0≤θ≤π.
( ) 1 3 ， (1) 若点 P 的坐标是 2 2 ，求 f(θ)的值；
{ ) x＋y ≥ 1， x ≤ 1， (2) 若点 P(x，y)为平面区域 y ≤ 1 上的一个动点，试确定角 θ 的取值范围，并
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三角函数高考题及练习题（含答案）
1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数
及余弦函数的图象；掌握函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质．
∴ φ＝2kπ＋3(k∈Z)，
( )π 6
2kπ＋
∴ f(0)＝ 2sin
3＝2.
(2)
( ) π
π
π
π
π
2x＋
φ＝3，f(x)＝ 2sin 3 .因为 0≤x≤3，所以3≤2x＋3≤π，所以
( )π
2x＋ 0≤sin 3 ≤1，即 f(x)的取值范围为[0， 2]．
(注：本题主要考查正弦、余弦、正切函数及 y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质以及诱导公
( )π
ππ
φ－
所以 cos 6 ＝0.又 0＜φ＜π，故 φ－6＝2.
( )π
2π π
ωx＋
所以 f(x)＝2sin 2 ＝2cosωx.由题意得 ω ＝2×2，所以 ω＝2，故 f(x)＝2cos2x，因
( )π
π
此 f 8 ＝2cos4＝ 2.
( ) ( ) π
π
π
x－
x－
(2) 将 f(x)的图象向右平移6个单位后，得到 f 6 的图象，所以 g(x)＝f 6 ＝2cos