下载文档原格式
2.1.演绎推理-人教A版选修2-2教案一、教学目标1.了解演绎推理的定义和特点。
2.能够分辨有效推理和无效推理。
3.能够使用基本规则进行正确的推理。
二、教学重点和难点教学重点1.演绎推理的定义和特点。
2.使用基本规则进行正确的推理。
教学难点1.故事中出现的多重条件和导出结论的复杂性。
三、教学过程1. 导入环节通过引入一个有多个条件的故事，让学生们策略性地推理出结论。
这个案例非常简单，因为它只包含两个条件：如果今天下雨，那么路面就会湿滑。
2. 讲解演绎推理讲解什么是演绎推理以及它的特点，需要说明的是演绎推理只在推理有确定性的决策和结论时才有效。
3. 演练基本规则对于初学者来说，基本规则的使用是很重要的。
依次介绍假言、交换、极化、套用和情况归纳等规则，引导学生使用这些规则进行推理。
4. 扩展训练再一次引入有多个条件的案例，让学生独立进行推理并得出正确的结论。
让学生们从这个案例中意识到多重条件和推断的复杂性。
5. 总结归纳在讲解演绎推理之后，询问学生对于这个主题是否有了更深刻的理解。
这里应该用简单易懂的语言进行总结和归纳。
四、教学评估1.观察学生在推理任务中的表现，了解了解他们推理的能力和策略。
2.在小组会议中开展学生交流，促进他们对故事多个因素和复杂推理的理解和分析。
3.在课堂结束时，让学生回顾当天的课程，鼓励他们用自己的话进行总结。
并通过收集此前教学的认知考核结果来判断学生的掌握程度。
五、教学反思本节课引导学生使用基本规则进行演绎推理，适用于初学者。
对于更高水平的学生，可以引入条件语句的验证和论证，或更复杂的情况。
同时，在讲述规则的同时，更好地提供实际案例模拟情境，更利于学生掌握和理解。
2.1.1合情推理教学建议1.教材分析本节主要内容是合情推理的两种常用思维方法:归纳推理和类比推理.前者是由部分到整体、由个别到一般的推理,后者是由特殊到特殊的推理.合情推理可以为发现、探索新的结论提供思路,但其结论未必正确.本节重点是了解合情推理的含义,能利用归纳和类比进行简单的推理,难点是用归纳和类比进行推理,作出猜想.2.主要问题及教学建议(1)关于合情推理的含义归纳推理和类比推理在学生以前的学习过程中已有渗透,对其含义的教学,建议教师多以学生熟悉的例子为载体,引导他们提炼、概括归纳和类比的含义及推理方法,培养他们应用这种思维方法的意识,不必在字面上深究.(2)关于合情推理的方法及结论教学中建议教师从具体的例子出发,多分析能够进行归纳的共性和进行类比的特性,指导学生如何进行归纳和类比,通过归纳和类比能够得出什么样的结论.至于结论的正确性,可以向学生说明,由合情推理的过程可以看出,合情推理的结论往往超过了前提所涵盖的范围,因此推理所得的结论未必正确.备选习题1.已知=2=3=4,…,若=6(a,b∈R),则a+b=.解析:根据题意,由于=2=3=4,…,那么可知=6,a=6,b=6×6-1=35,所以a+b=41.答案:412.根据所给数列前几项的值,…,猜想数列{a n}的通项公式.思路分析:根据数列中前几项的值给出数列的一个通项公式,主要是对数列各项的特征进行认真观察,结合常见数列的通项公式,对已知数列进行分解、组合,从而发现其中的规律,猜想出通项公式.解:;…;于是猜想数列{a n}的通项公式a n=.3.在平面上,设h a,h b,h c分别是△ABC三条边上的高,P为△ABC内任意一点,P到相应三边的距离分别为p a,p b,p c,可以得到结论=1.证明此结论,并通过类比写出在空间中的类似结论,并加以证明.思路分析:此题可用类比的方法,将四面体类比三角形,体积类比面积等.证明:如图所示,连接P A,PB,PC,则,同理,.∵S△PBC+S△P AC+S△P AB=S△ABC,∴=1.类比上述结论得出以下结论:如图所示,在四面体ABCD中,设h a,h b,h c,h d分别是四面体ABCD的四个顶点到对面的距离,P为四面体ABCD内任意一点,P到相应四个面的距离分别为p a,p b,p c,p d,可以得到结论=1.证明如下:,同理,,.∵V四面体PBCD+V四面体P ACD+V四面体P ABD+V四面体P ABC=V四面体ABCD,∴==1.。
教学目标：1. 知识与技能：了解演绎推理的含义。
2. 过程与方法：能正确地运用演绎推理进行简单的推理。
3. 情感、态度与价值观：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
教学重点：正确地运用演绎推理进行简单的推理教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
教学设想：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．教学过程：学生探究过程：一．复习:合情推理归纳推理从特殊到一般类比推理从特殊到特殊从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳。
类比――提出猜想二．问题情境。
观察与思考1所有的金属都能导电铜是金属,所以，铜能够导电2.一切奇数都不能被2整除,(2100+1)是奇数，所以， (2100+1)不能被2整除.3.三角函数都是周期函数,tan α是三角函数,所以，tan α是周期函数。
提出问题：像这样的推理是合情推理吗？二．学生活动：1.所有的金属都能导电←————大前提铜是金属, ←-----小前提所以，铜能够导电←――结论（小前提）是二次函数函数12++=x x y 2.一切奇数都不能被2整除 ←————大前提(2100+1)是奇数，←――小前提所以， (2100+1)不能被2整除. ←―――结论3.三角函数都是周期函数, ←——大前提tan α 是三角函数, ←――小前提所以，tan α是 周期函数。
←――结论三，建构数学演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．１．演绎推理是由一般到特殊的推理；２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括⑴大前提---已知的一般原理；⑵小前提---所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．三段论的基本格式M —P （M 是P ） （大前提）S —M （S 是M ） （小前提）S —P （S 是P ） （结论）3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:若集合M 的所有元素都具有性质P,S 是M 的一个子集,那么S 中所有元素也都具有性质P.四、数学运用例1.把“函数21y x x =++的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论. 解：二次函数的图象是一条抛物线 （大前提） 例2.已知m =2lg ,计算8.0lg解 ：)0(lg lg >=a a n a n---------大前提 32lg 8lg =————小前提2lg 38lg =————结论结论）的图象是一条抛物线（所以，函数12++=x x y)0,0(lg lg lg >>-=b a b a ba ——大前提 108lg 8.0lg =——－小前提 112lg 310lg 8lg 8.0lg -=-=-=m ——结论例3.如图;在锐角三角形ABC 中,AD⊥BC, BE⊥AC,D,E 是垂足,求证AB 的中点M 到D,E 的距离相等.解： (1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形, -----大前提在△ABC 中,AD⊥BC,即∠ADB=90° —-小前提所以△ABD 是直角三角形 ——结论(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,——大前提因为 DM 是直角三角形斜边上的中线, ——小前提所以 DM=21AB ——结论 同理 EM=21AB 所以 DM=EM.由此可见，应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提．但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略．再来看一个例子．例4.证明函数2()2f x x x =-+在(,1)-∞内是增函数． 分析：证明本例所依据的大前提是：在某个区间（a, b ）内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增．小前提是2()2f x x x =-+的导数在区间(,1)-∞内满足'()0f x >，这是证明本例的关键． 证明：'()22f x x =-+.当(,1)x ∈-∞时，有10x ->，所以'()222(1)0f x x x =-+=->.于是，根据“三段论”得，2()2f x x x =-+在(,1)-∞内是增函数．在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的．还有其他的证明方法吗？思考:因为指数函数x y a =是增函数，——大前提 而1()2x y =是指数函数， ——小前提所以1()2x y =是增函数． ——结论(1)上面的推理形式正确吗？(2)推理的结论正确吗？为什么？上述推理的形式正确，但大前提是错误的（因为当01a <<时，指数函数xy a =是减函数），所以所得的结论是错误的．思考:合情推理与演绎推理的主要区别是什么？归纳和类比是常用的合情推理从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理,类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．人们在认识世界的过程中，需要通过观察、将积累的知识加工、整理，使之条理化、实验等获取经验；也需要辨别它们的真系统化．合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要角色.就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想．课堂练习：1．用演绎法证明y=x 2是增函数时的大前提是 增函数的定义 。
§2.1.2演绎推理教学设计一、学习目标1、知识目标①让学生知道演绎推理的含义，以及演绎推理与合情推理的联系与差异。
②能运用演绎推理的基本方法“三段论”进行一些简单的推理。
①结合已学过的数学实例和生活中的实例，引出演绎推理的概念。
②通过对实际例子的分析，从中概括出演绎推理的推理过程。
③通过一些证明题的实例，让学生体会“三段论”的推理形式。
3、情感态度与价值观目标：让学生体会演绎推理的逻辑推理美，让学生亲身经历数学研究的过程，感受数学的魅力，进而激发自身的求知欲。
二、①重点：知道演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.；②难点：利用三段论证明一些实际问题。
三、学习方法：问题诱思法四、教学过程1、引入:问题1：在美丽的云南大理，居住着一个古老的少数民族——白族，那里的人们都把未婚女孩叫做“金花”，未婚男孩叫做“阿鹏哥”。
小李家在大理，大家平时都叫她“金花”，那么小李（ ）A ：是个女孩，已婚B ：是个男孩，已婚C ：是个女孩，未婚D ：是个男孩，未婚生答： 选C设问：上述推理是合情推理吗？为什么？生答（1）：是，因为上述例子是从特殊到一般的推理。
生答（2）：不是，上述例子是从一般到特殊的推理，所以不是合情推理。
【师点评】：第一位同学回答错误，上面这个例子它是从一般到特殊的推理，因此它并不是合情推理。
2、概念的提炼问题2：请同学们思考下列推理有何特点？① 所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能导电。
② 太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，天王星是太阳系的行星，因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行。
③ 一切奇数都不能被2整除，)12(100+是奇数，所以)12(100+不能被2整除。
④ 三角函数都是周期函数，∂tan 是三角函数，因此∂tan 是周期函数。
⑤ 两条直线平行，同旁内角互补。
如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，那么∠A ＋∠B ＝180°生答：上述例子都是从一般到特殊的推理。
课题:合情推理（一） 时间：2010.03●学习目标： 知识与技能：（1）了解归纳推理的含义（2）掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。
过程与方法：由部分到整体，由个别到一般，通过“自主、合作与探究”掌握归纳推理的方法和步骤，实现“一切以学生为中心”的理念。
（3）情感态度、价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。
●学习重点：归纳推理及方法的总结。
●学习难点：归纳推理的含义及其具体应用。
●教具准备：辅助课件 ●学习过程： 一.问题情境 (1)原理初探 ①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！” ②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？ ③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？ 从而引入两则小典故：A ：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？B ：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。
④思考：整个过程对你有什么启发？ ⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。
(2)皇冠明珠追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠 — “歌德巴赫猜想”。
世界近代三大数学难题之一。
哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。
1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。
如6＝3＋3，12＝5＋7等等。
公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。
(b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。
这就是着名的哥德巴赫猜想。
欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。
2.1.2 演绎推理三维目标1．知识与技能(1)让学生知道演绎推理的含义，以及演绎推理与合情推理的联系与差异．(2)能运用演绎推理的基本方法“三段论”进行一些简单的推理．2．过程与方法(1)结合已学过的数学实例和生活中的实例，引出演绎推理的概念．(2)通过对实际例子的分析，从中概括出演绎推理的推理过程．(3)通过一些证明题的实例，让学生体会“三段论”的推理形式．3．情感、态度与价值观让学生体会演绎推理的逻辑推理美，让学生亲身经历数学研究的过程，感受数学的魅力，进而激发自身的求知欲．了解演绎推理在数学证明中的重要地位和日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的思维习惯．重点难点重点：了解演绎推理的含义，理解合情推理与演绎推理的区别与联系，能利用“三段论”进行简单的推理．难点：利用三段论证明一些实际问题．通过比较合情推理与演绎推理的区别与联系，加深学生对概念的理解，在演绎推理的应用中要注意大前提、小前提的应用方法与技巧，注意推理形式的正确性．可将常见的证明题型分类研究，探究每种题型的特点，总结证明方法的特征，学以致用使所证问题化难为易．教学方式建议本课运用自学指导法，通过创设问题情境，引导学生自学探究演绎推理与合情推理的区别与联系，了解演绎推理的作用和应用方式方法．教师指导重点应放在“三段论”的理解与应用上，师生共同研讨大前提、小前提、结论之间的关系，帮助学生分析大前提、小前提的作用及应用方法，引导学生挖掘证明过程包含的推理思路，明确演绎推理的基本过程，总结规律方法，使学生能举一反三、触类旁通．本部分的练习题不在“多”，而在“精”，关键在理解．教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生认识演绎推理的概念，了解演绎推理与合情推理的区别与联系．利用填一填的形式，使学生自主学习本节基础知识，并反馈了解，对理解有困难的概念加以讲解．引导学生在学习基础知识的基础上完成例题1，总结三段论的特点．通过变式训练，总结此类问题易犯的错误．师生共同分析探究例题2的证明方法：找出大前提、小前提，利用三段论给出证明．引导学生完成互动探究．探究一演绎推理看下面两个问题：(1)一切奇数都不能被2整除，(22012＋1)是奇数，所以(22012＋1)不能被2整除；(2)两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如果直线a 是其中一个平面内的一条直线，那么a 平行于另一个平面．1．这两个问题中的第一句都说的是什么？【提示】 都说的是一般原理．2．第二句又说的是什么？【提示】 都说的是特殊示例．3．第三句呢？【提示】 由一般原理对特殊示例作出判断．1．演绎推理(1)含义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理．(2)特点：由一般到特殊的推理．2．三段论探究二 把演绎推理写成三段论形式例1 将下列推理写成“三段论”的形式：(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；(3)0.332·是有理数；(4)y=sin x (x ∈R )是周期函数.【思路探究】首先分析出每个题的大前提、小前提及结论，再写成三段论的形式．【自主解答】(1)向量是既有大小又有方向的量，大前提零向量是向量，小前提所以零向量也有大小和方向．结论(2)每一个矩形的对角线都相等，大前提正方形是矩形，小前提正方形的对角线相等．结论(3)所有的循环小数都是有理数，大前提0.332·是循环小数，小前提0.332·是有理数．结论(4)三角函数是周期函数，大前提y =sin x 是三角函数，小前提y =sin x 是周期函数，结论规律方法用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略．在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．变式练习指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：(1)整数是自然数，大前提－3是整数，小前提－3是自然数．结论(2)常数函数的导函数为0，大前提函数f (x )的导函数为0，小前提f (x )为常数函数．结论(3)无理数是无限不循环小数，大前提13(0.33333…)是无限不循环小数，小前提 13是无理数结论 [解析](1)结论是错误的，原因是大前提错误．自然数是非负整数．(2)结论是错误的，原因是推理形式错误．大前提指出的一般原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”．(3)结论是错误的，原因是小前提错误13(0.33333…)是循环小数而不是无限不循环小数. 探究三 三段论在证明几何问题中的应用例2 已知在梯形ABCD 中，DC ＝DA ，AD ∥BC .求证：AC 平分∠BCD .(用三段论证明)【思路探究】观察图形→DC＝DA⇒∠1＝∠2→AD∥BC⇒∠1＝∠3→∠2＝∠3【自主解答】∵等腰三角形两底角相等，大前提△ADC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，小前提∴∠1＝∠2结论∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，大前提∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截得的内错角，小前提∴∠1＝∠3.结论∵等于同一个角的两个角相等，大前提∠2＝∠1，∠3＝∠1，小前提∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD.结论规律方法1．三段论推理的根据，从集合的观点来理解，就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.2．数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论可作为下一个三段论的前提．规律方法合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．二者结合可以利用合情推理去发现问题，然后用演绎推理进行论证．作业：[解析]。
§2.1.1 合情推理与演绎推理（一）【内容分析】：归纳是重要的推理方法，在掌握一定的数学基础知识（如数列、立体几何、空间向量等等）后，对数学问题的探究方法加以总结，上升为思想方法。
【教学目标】：1、知识与技能：（1）结合数学实例，了解归纳推理的含义（2）能利用归纳方法进行简单的推理，2、过程与方法：通过课例，加深对归纳这种思想方法的认识。
3、情感态度与价值观：体验并认识归纳推理在数学发现中的作用。
【教学重点】：（1）体会并实践归纳推理的探索过程（2）归纳推理的局限【教学难点】：引导和训练学生从已知的线索中归纳出正确的结论2．归纳推理的一般步骤：1)对已有的资料进行观察、分析、归纳、整理；2)猜想3)检验指出对归纳推理的结果进行检验是必要的归纳推理【练习与测试】：（基础题）1）数列2,5,11,20,,47,x…中的x等于（）A．28 B．32 C．33 D．272）从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是_____________。
3)定义,,,A B B C C D D A****的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是（）.（1）4）（AA.,B D A D** B.,B D A C** C.,B C A D** D.,C D A D**4)有10个顶点的凸多面体，它的各面多边形内角总和是________．5)在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形，第三件首饰如图2，第四件首饰如图3，第五件首饰如图4，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六变形，依此推断第6件首饰上应有_______________颗珠宝，第n件首饰所用珠宝总数为_________________颗.6)已知nnanna11+=+（n=1.2. …）11=a试归纳这个数列的通项公式答案：1）B 523,1156,20119,-=-=-=推出2012,32x x-==2）2*1...212...32(21),n n n n n n n N++++-+++-=-∈注意左边共有21n-项3）B4）（n-2）36005） 91,1+5+9+…4n+1=2n2+3n+16） a1=1,a2=21a3=31… a n=n1（中等题）1）观察下列的图形中小正方形的个数，则第n 个图中有 个小正方形.2）-1 ．3 ．-7 ．15 ．( ) ，63 ， ， ， 括号中的数字应为（ ） A.33 B.-31 C.-27 D.-57 3)设平面内有n 条直线（n ≥ 3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用表示 n 条直线交点的个数，则 f （4 ）=( ) A.3 B.4 C.5 D.64)顺次计算数列:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,的前4项,由此猜测123...)1()1(...321++++-++-++++=n n n a n 的结果. 答案：1）1+2+3+4+…+(n+1)=)2)(1(21++n n 2）B 正负相间，3＝1+2，7＝3+22，15＝7+23，15+24＝31，31+25＝63 3）C4）依次为，1，22，32，42，所以a n =n 2（难题）1)．迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。
§2.1 合情推理与演绎推理〔三〕[学情分析]：合情推理〔归纳推理和类比推理〕的可靠性有待检验，在这种情形下，提出演绎推理就显得水到渠成了．通过演绎推理的学习，让学生对推理有了全新的认识，培养其言之有理、论证有据的习惯，加深对数学思维方法的认识．[教学目标]：〔1〕知识与技能：了解演绎推理的含义、基本方法；正确地运用演绎推理、进行简单的推理．〔2〕过程与方法：体会运用“三段论〞证明问题的方法、规X格式．〔3〕情感态度与价值观：培养学生言之有理、论证有据的习惯；加深对数学思维方法的认识；提高学生的数学思维能力．[教学重点]：正确地运用演绎推理进行简单的推理．[教学难点]：正确运用“三段论〞证明问题．[练习与测试]：1．下面的推理过程中，划线部分是〔 〕． 因为指数函数xa y =是减函数，而xy 2=是指数函数，所以xy 2=是减函数.A ．大前提B ．小前提C ．结论D ．以上都不是2．小偷对警察作如下解释：是我的录象机，我就能打开它．看，我把它打开了，所以它是我的录象机．请问这一推理错在哪里？〔 〕A ．大前提B ．小前提C ．结论D ．以上都不是 3．因为相似三角形面积相等，而△ABC 与△A 1B 1C 1面积相等，所以△ABC 与△A 1B 1C 1相似.上述推理显然不对，这是因为〔 〕．A ．大前提错误B ．小前提错误C ．结论错误D ．推理形式错误 4．请判断下面的证明，发生错误的选项是〔 〕．∵一个平面内的一条直线和另一个平面内的两条直线平行，那么着两个平面平行， 又∵直线⊆l 平面α，直线⊆m 平面β，直线⊆n 平面β，且l ∥m ， ∴α∥β.A ．大前提错误B ．小前提错误C ．结论错误D ．以上都错误 5．函数()()R x x f y ∈=为奇函数，()()()()22,211f x f x f f +=+=，那么()=5f 〔 〕． A ．0 B ．1 C ．25D ．5 6．下面给出一段证明： ∵直线⊆l 平面α， 又∵α∥β，∴l ∥β.这段证明的大前提是．7．如图，下面给出一段“三段论〞式的证明，写出这段证明的大前提和结论． ∵．〔大前提〕又∵PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA ∩AB=A ． 〔小前提〕 ∴．〔结论〕CBAP8．用“三段论〞证明：通项公式为dn c a n +=的数列{}n a 是等差数列. 9．用“三段论〞证明：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠C ，那么AB=DC ． 10．将课本第89页例6的证明改成用“三段论〞书写．11．证明函数f (x )=－x 2+2x 在［1，+∞］上是减函数． 12．设a ＞0,b ＞0,a +b =1,求证：8111≥++abb a ．参考答案 1～5：BADAC6．两个平行平面中一个平面的任意一条直线平行于另一个平面7．如果一条直线和某一平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就和该平面垂直； BC ⊥平面PAB 8．证：如果数列{}n a 满足：d a a n n =-+1〔常数〕，那么数列{}n a 是等差数列 〔大前提〕 ∵数列{}n a 中有d dn c n d c a a n n =+-++=-+)()1(1〔常数〕， 〔小前提〕 ∴通项公式为dn c a n +=的数列是等差数列． 〔结论〕9．证：过点D 作DE ∥AB ，交BC 于点E ．∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 〔大前提〕 又∵四边形ABED 中DE ∥AB ，AD ∥BE ， 〔小前提〕 ∴四边形ABED 是平行四边形． 〔结论〕 ∵平行四边形的对边相等． 〔大前提〕 又∵四边形ABED 是平行四边形， 〔小前提〕 ∴AB ＝DE ． 〔结论〕 ∵两直线平行，同位角相等． 〔大前提〕 又∵AB ∥DE ， 〔小前提〕 ∴∠DEC ＝∠B ． 〔结论〕∵两个角假设分别和第三个角相等，那么这两个角相等． 〔大前提〕 又∵∠B ＝∠C ，∠DEC ＝∠B 〔小前提〕 ∴∠DEC ＝∠C ． 〔结论〕 ∵三角形中等角对等边． 〔大前提〕 又∵△DEC 中有∠DEC ＝∠C ， 〔小前提〕 ∴DE ＝DC ． 〔结论〕∵两条线段假设分别和第三条相等，那么这两线段相等． 〔大前提〕 又∵AB ＝DE ，DE ＝DC 〔小前提〕 ∴AB=DC ． 〔结论〕10．证：函数)(x f y =假设满足：在给定区间内任取自变量的两个值x 1、x 2，假设x 1＜x 2，那么有)(1x f ＜)(2x f ，那么)(x f y =在该给定区间内是增函数． 〔大前提〕任取x 1、x 2∈〔－∞，1］，且x 1＜x 2，那么f (x 1)－f (x 2)＝〔－x 12+2x 1〕－〔－x 22+2x 2〕＝〔x 2－x 1〕〔x 1+x 2－2〕 又∵x 1＜x 2≤1，∴x 2－x 1＞0，x 1+x 2＜2，即x 1+x 2－2＜0， ∴f (x 1)－f (x 2)＝〔x 1－x 2〕〔2－〔x 1+x 2〕〕＜0，即f (x 1) ＜f (x 2) ． 〔小前提〕∴函数f (x )=－x 2+2x 在［1，+∞］上是减函数． 〔结论〕 11．证：任取x 1、x 2∈［1，+∞］，且x 1＜x 2，那么f (x 1)－f (x 2)＝〔－x 12+2x 1〕－〔－x 22+2x 2〕＝〔x 1－x 2〕〔2－〔x 1+x 2〕〕 又∵1≤x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1+x 2＞2，即2－〔x 1+x 2〕＜0， ∴f (x 1)－f (x 2)＝〔x 1－x 2〕〔2－〔x 1+x 2〕〕＞0，即f (x 1)＞f (x 2) ．∴函数f (x )=－x 2+2x 在［1，+∞］上是减函数． 12．证：∵a +b =1，且a ＞0,b ＞0,⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++=++b b a a b a b a ab b a b a ab b a 2112111118442242422=+=⨯⨯+≥⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=b a a b b a a b b a a b。
2．1.2 演绎推理基础梳理1．演绎推理根据一般性的真命题或逻辑规则，导出特殊性命题为真的推理，叫做演绎推理．即从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理形式．它的特征是：当前提为真时，结论必然为真．2．三段论：“三段论”是演绎推理的一般模式(1)三段论的结构：①大前提—已知的一般原理；②小前提—所研究的特殊情况；③结论—根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)“三段论”的表示：①大前提—M是P；②小前提—S是M；③结论—S是P．(3)三段论的依据：用集合观点来看就是：①若集合M的所有元素都具有性质P，②S 是M的一个子集；③那么S中所有元素也都具有性质P.想一想：(1)“三段论”就是演绎推理吗？(2)在演绎推理中，如果大前提正确，那么结论一定正确吗？为什么？(3)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理中，“三段论”中的________是错误的．(1)解析：不是．三段论是演绎推理的一般模式．(2)解析：不一定正确．只有大前提和小前提及推理形式都正确，其结论才是正确的．(3)解析：小前提错误，因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数．答案：小前提自测自评1．演绎推理中的“一般性命题”包括(A)①已有的事实；②定义、定理、公理等；③个人积累的经验．A．①②B．①③C．②③D．①②③解析：演绎推理中的“一般性命题”包括“已有的事实”、“定义、定理、公理等”．2．下列说法不正确的个数为(C)①演绎推理是一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定正确；③合情推理是演绎推理的前提，演绎推理是合情推理的可靠性．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个解析：演绎推理的结论正确与否与前提、推理形式有关，不一定正确，故②不正确．3．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数．”上述推理(C )A ．小前提错B ．结论错C ．正确D ．大前提错解析：9＝3×3，所以大前提是正确的，又小前提和推理过程都正确，所以结论也正确，故上述推理正确．故选C.基础巩固1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2－1)是正弦函数，所以f (x )＝sin(x 2－1)是奇函数，以上推理过程中(C )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：大前提正确，小前提错误，因为f (x )＝sin(x 2－1)不是正弦函数，所以结论也是错误的．故选C.2．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”．结论显然是错误的，这是因为(C )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误解析：不符合“三段论”的形式，正确的“三段论”推理形式应为：“鹅吃白菜，参议员先生是鹅，所以参议员先生也吃白菜”．3．下面几种推理中是演绎推理的是(A )A ．因为y ＝2x 是指数函数，所以函数y ＝2x 经过定点(0，1)B ．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1n （n ＋1）(n ∈N *)C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积为πr 2猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积为πab D ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝r 2解析：B 为归纳推理，C 、D 为类比推理，A 为演绎推理，故选A.4．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系是________． 解析：当0<a <1时，函数f (x )＝a x 为减函数，a ＝5－12∈(0，1)， ∴函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12x为减函数，故由f (m )>f (n )，得m <n . 答案：m <n能力提升5．设a ＝(x ，4)，b ＝(3，2)，若a ∥b ，则x 的值是(D )A ．－6 B.83 C ．－83D ．6 解析：∵a ∥b ，∴x 3＝42，∴x ＝6. 6. 如图，设平面α∩β＝EF ，AB ⊥α，CD ⊥α，垂足分别是点B ，D ，如果增加一个条件，就能推出BD ⊥EF ，这个条件不可能是下面四个选项中的(D )A ．AC ⊥βB ．AC ⊥EFC ．AC 与BD 在β内的射影在同一条直线上D ．AC 与α，β所成的角相等解析：只要能推出EF ⊥AC 即可说明BD ⊥EF .当AC 与α，β所成的角相等时，推不出EF ⊥AC ，故选D.7．由“ (a 2＋1)x ＞3，得x ＞3a 2＋1”的推理过程中，其大前提是________． 解析：因为a 2＋1≥1＞0，所以由 (a 2＋1)x ＞3，得x ＞3a 2＋1.其前提依据为不等式的乘法法则：不等式两边同除以一个正数，不等号方向不改变． 答案：不等式两边同除以一个正数，不等号方向不改变8．关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列命题： ①其图象关于y 轴对称；②当x >0时，f (x )为增函数；③f (x )的最小值是lg 2；④当－1<x <0，或x >1时，f (x )是增函数；⑤f (x )无最大值，也无最小值．其中正确结论的序号是________．解析：易知f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，①正确．当x >0时，f (x )＝lg x 2＋1|x |＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x .∵g (x )＝x ＋1x 在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f (x )在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故②不正确，而f (x )有最小值lg 2，∴③正确，④也正确，⑤不正确．答案：①③④9．通过计算可得下列等式：22－12＝2×1＋1，32－22＝2×2＋1，42－32＝2×3＋1，…(n ＋1)2－n 2＝2×n ＋1.将以上各式分别相加，得：(n ＋1)2－12＝2×(1＋2＋3＋…＋n )＋n ，即：1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2. 类比上述求法：请你用(n ＋1)3－n 3＝3×n 2＋3×n ＋1求出12＋22＋32＋…＋n 2的值．解析：23－13＝3×12＋3×1＋1，33－23＝3×22＋3×2＋1，43－33＝3×32＋3×3＋1，…(n ＋1)3－n 3＝3×n 2＋3×n ＋1.将以上各式分别相加得：(n ＋1)3－13＝3×(12＋22＋32＋…＋n 2)＋3×(1＋2＋3＋…＋n )＋n .所以12＋22＋32＋…＋n 2＝13[(n ＋1)3－1－n －3n （n ＋1）2]＝16n (n ＋1)(2n ＋1)． 10．设a >0，f (x )＝e x a ＋a e x 是R 上的偶函数，求a 的值． 解析：∵f (x )＝e x a ＋a e x 是R 上的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，即e －x a ＋a e －x ＝e x a ＋a e x ， ∴1a (e －x －e x )＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －x －1e x ＝0. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ＝0对一切x ∈R 恒成立， ∴a －1a＝0，即a 2＝1. 又a >0，∴a ＝1.。
2.1.2演绎推理
教学建议
1.教材分析
本节内容从5个具体实例出发,概括出了演绎推理的含义,给出了演绎推理的一般模式:三段论,并比较了合情推理与演绎推理的联系与差异.数学推理主要是通过演绎推理来进行,学生对此比较熟悉.
本节重点是了解演绎推理的含义并能利用“三段论”进行简单的推理,难点是用“三段论”证明问题.
2.主要问题及教学建议
(1)关于用三段论证明问题.
建议教师通过具体例子进行,而不是泛泛而谈,详细写出每一个完整的“三段论”中的大前提、小前提和结论,避免学生在表述证明过程时随心所欲,显得杂乱无章,逻辑混乱,同时也要让学生清楚什么时候可以省略大前提.
(2)关于合情推理与演绎推理.
学完演绎推理后,建议教师通过比较这两种推理的特点和相互关系,使学生进一步明确其各自的含义和在数学研究中的作用,培养学生利用这两种推理形式进行数学探索证明的意识.
备选习题
1.用三段论证明,当a,b为正数时,.
证明:一个实数的平方是非负数,大前提
是实数的平方,小前提
所以是非负数,
即≥0,所以.结论
2.在数列{a n}中,a1=3,a n=-a n-1-2n+1(n≥2,且n∈N*).
(1)求a2,a3的值;
(2)证明:数列{a n+n}是等比数列,并求{a n}的通项公式.
(1)解:∵a1=3,a n=-a n-1-2n+1(n≥2,n∈N*),
∴a2=-a1-4+1=-6,
a3=-a2-6+1=1.
(2)证明:∵
=
==-1,
∴数列{a n+n}是首项为a1+1=4,公比为-1的等比数列.
∴a n+n=4·(-1)n-1,即a n=4·(-1)n-1-n.
3.设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.
(1)求a,b的值;
(2)若对于任意的x∈[0,3],都有f(x)<c2成立,求c的取值范围.
解:(1)f'(x)=6x2+6ax+3b.
∵x=1和x=2是方程2x2+2ax+b=0的两个根,
∴∴a=-3,b=4.
(2)由(1)知f(x)=2x3-9x2+12x+8c.
∵x=1和x=2是函数的两个极值点,且x∈[0,3],
∴f(1)=8c+5,f(2)=8c+4,f(3)=8c+9,f(0)=8c.∴f(3)>f(1)>f(2)>f(0).
∴最大值8c+9<c2.
∴c2-8c-9>0,解得c<-1或c>9.。
