高二数学 归纳推理演绎推理

演绎推理1．演绎推理【知识点的认识】1．演绎推理：根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊命题为真的推理，叫做演绎推理．规则符号表示为：若p⇒q，p 为真，则q 为真．*演绎推理是一种收敛性的思维方法，只要前提为真，推理形式正确，结论必正确，前提和结论之间存在必然关系，因此演绎推理是数学中严格证明的工具．2．三段论推理：是演绎推理的一般模式．可表示为：若b⇒c，而a⇒b，则a⇒c三段论包括三要素：（1）大前提：已知的一般原理（2）小前提：所研究的特殊情况（3）结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断．演绎推理（1）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理；（2）特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；（3）演绎推理是一种收敛性的思维方法，只要前提为真，推理形式正确，结论必正确，前提和结论之间存在必然关系，因此演绎推理是数学中严格证明的工具．（4）模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：“三段论”的结①大前提﹣﹣已知的一般原理；构②小前提﹣﹣所研究的特殊情况；③结论﹣﹣根据一般原理，对特殊情况做出的判断．“三段论”的表①大前提﹣﹣M 是P．示②小前提﹣﹣S 是M．③结论﹣﹣S 是P．【例题解析】例：关于演绎推理的说法正确的是（）A：演绎推理是由一般到一般的推理B：只要大前提正确，由演绎推理得到的结果必正确C：演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的情况下，得到的结论一定正确D：演绎推理不能用于命题的证明解答：解：演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，故A 不正确，演绎推理得到的结论不一定是正确的，还要取决于小前提是否真实，故B 不正确，演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论，在大前提、小前提和推理形式都正确的情况下，得到的结论一定正确，故C 正确，演绎推理不能用于命题的证明，故D 不正确，总上可知有C 是正确的，故选：C．本题考查演绎推理的意义，演绎推理是由一般性的结论推出特殊性命题的一种推理模式，演绎推理的前提与结论之间有一种蕴含关系．。

高二年级数学做题的原则详解（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高二数学学习中的归纳与演绎思维训练数学作为一门科学，在高中阶段的学习中扮演着非常重要的角色。

而在数学学习过程中，归纳与演绎思维被视为基础和核心。

本文将探讨高二数学学习中的归纳与演绎思维训练，以及如何在学习中有效地运用这两种思维模式。

一、归纳思维在数学学习中的重要性归纳思维是从特殊情况中总结出一般规律的思维方式。

在数学学习中，归纳思维可以帮助学生从具体的例子中引入抽象的概念和规律，从而更好地理解和应用数学知识。

1.1 数列的归纳证明数列是高二数学学习中常见的内容之一。

在学习数列时，通过归纳证明数列的递推公式，可以帮助学生深入理解数列的规律，从而更好地解决数列相关的问题。

1.2 几何形状的归纳推理几何形状的归纳推理是指通过观察和总结图形的规律，进而推导出一般情况下的结论。

在高二数学学习中，通过观察图形的特点，学生可以通过归纳的方式得到一般情况下的结论，从而解答与几何形状相关的问题。

二、演绎思维在数学学习中的重要性演绎思维是从一般规律中推导出特殊结论的思维方式。

在数学学习中，演绎思维可以帮助学生运用数学公式和规律解决特定的数学问题。

2.1 解方程的演绎推理解方程是高二数学学习中的重要内容。

通过运用演绎思维，学生可以利用已知的数学知识和规律推导出方程的解，从而解决各类方程题。

2.2 几何证明的演绎推理几何证明中的演绎推理要求学生根据已知条件，推导出所需证明的结论。

通过层层推理和演绎，学生可以清晰地展示证明过程，用严密的思维和逻辑力量论证几何问题。

三、如何提高归纳与演绎思维能力归纳与演绎思维能力是数学学习中必不可少的能力，下面是一些建议，可以帮助学生提高自己的思维能力。

3.1 多做题目通过大量的练习题目，可以训练学生的归纳与演绎思维能力。

在做题过程中，学生要注意总结规律和思考解题方法，逐渐形成自己的思考方式。

3.2 观察和分析在学习过程中，学生要经常观察和分析问题，从中找出规律和特点。

通过观察和分析，培养自己的归纳与演绎思维能力，进而更好地理解和应用数学知识。

第二章推理与证明知识点：1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

归纳推理的一般步骤：∙通过观察个别情况发现某些相同的性质；∙从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；∙证明（视题目要求，可有可无）.2、类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤：∙找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；∙用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；∙检验猜想。

3、合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.4、演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.演绎推理的一般模式———“三段论”，包括⑴大前提-----已知的一般原理；⑵小前提-----所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．5、直接证明与间接证明⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.要点：顺推证法；由因导果.⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.要点：逆推证法；执果索因.⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.反证法法证明一个命题的一般步骤：(1)（反设）假设命题的结论不成立；(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；(3)（归谬）断言假设不成立；(4)（结论）肯定原命题的结论成立.6、数学归纳法数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法.用数学归纳法证明命题的步骤;（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值*00()n n N ∈时命题成立； （2）（归纳递推）假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立，推证当1n k =+时命题也成立.只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立. 考点：无第三章 数系的扩充与复数的引入知识点：一:复数的概念(1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部.(2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数.(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴，y 轴除去原点的部分叫做虚轴。

高二数学复习讲义（5）——《推理与证明》<知识点>一．推理：⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。

①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。

注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。

注：类比推理是特殊到特殊的推理。

⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎注：演绎推理是由一般到特殊的推理。

“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般结论；⑵小前提---------所研究的特殊情况；⑶结论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。

二．证明⒈直接证明⑴综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。

综合法又叫顺推法或由因导果法。

⑵分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。

分析法又叫逆推证法或执果索因法。

2．间接证明------反证法一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。

<练习题>一．选择题1．数列0，1，1，2，4，7，13，x …中的x 等于（ ） Ａ．22 Ｂ．23 Ｃ．24 Ｄ．252．已知13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则33a =（ ） Ａ．3Ｂ．3- Ｃ．6Ｄ．6-3 ）Ａ．22< Ｂ．22<Ｃ．22< Ｄ．22(<4．下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为（ ）Ａ．13n n a -= Ｂ．3n n a = Ｃ．33n n a n =-Ｄ．1323n n a n -=+-5．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（ ）Ａ．有一个解 Ｂ．有两个解 Ｃ．至少有三个解 Ｄ．至少有两个解 6．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数．”上述推理（ ）Ａ．小前提错 Ｂ．结论错 Ｃ．正确 Ｄ．大前提错7．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a > ，类比上述性质，在等比数列{}n b 中若0n b >，1q >，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（ ） Ａ．4857b b b b +>+ Ｂ．5748b b b b +>+ Ｃ．4758b b b b +>+ Ｄ．4578b b b b +>+8．若ABC △能剖分为两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状为（ ）Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不能确定9．下列推理正确的是（ ）Ａ．如果不买彩票，那么就不能中奖；因为你买了彩票，所以你一定中奖 Ｂ．因为a b a c >>，，所以a b a c ->-Ｃ．若a b +∈R ，，则lg lg a b +≥Ｄ．若a +∈R ，0ab <，则2a b a b b a b a --⎛⎫+=-+-=- ⎪⎝⎭≤10．正整数按右表的规律排列，则上起第2005行，左起第2006列的数应为（ ）Ａ．22005 Ｂ．22006 Ｃ．2005+2006Ｄ．2005×200611．已知()()()f x y f x f y +=+且(1)2f =，则(1)(2)()f f f n +++…不能等于（ ）Ａ．(1)2(1)(1)f f nf +++… Ｂ．(1)2n n f +⎡⎤⎢⎥⎣⎦Ｃ．(1)n n + Ｄ．(1)(1)n n f +12．已知1c >，a =b = ） Ａ．a b >Ｂ．a b < Ｃ．a b =Ｄ．a ，b 大小不定二．填空题13．用三段论证明3()sin ()f x x x x =+∈R 为奇函数的步骤是 ．14．写出命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定 ． 15．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如16．观察2sin105sin100sin10sin 20sin 30sin 200sin10++++=…；2sin102sin 96sin12sin 24sin 36sin192sin12++++=…，写出与以上两个等式规律相同的通式为 ．三．解答题17．在一容器内装有浓度为r %的溶液a 升，注入浓度为p %的溶液14a 升，搅匀后再倒出溶液14a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为nb （每次注入的溶液浓度都是p%），计算123b b b ，，，并归纳出n b 的计算公式．18．已知a 与b 均为有理数，(用反证法证)19．用分析法证明：若0a >12a a+-．20．已知命题：“若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}n b 也是等比数列，其中N )n b n *=∈”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．21．自然状态下的鱼类是一种可再生的资源．为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用n x 表示某鱼群在第()n n *∈N 年年初的总量，且10x >．不考虑其他因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与n x 成正比，死亡量与2n x 成正比，这些比例系数依次为正常数a ，b ，c ．（1）求1n x +与n x 的关系式；（2）猜想：当且仅当1x ，a ，b ，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）参考答案一．选择题1-5.CACAC 6-10.CABDD 11-12.DB二．填空题13.对定义域内的每一个x ，满足()()f x f x -=-的函数是奇函数 大前提3()sin ()f x x x f x -=--=- 小前提 所以3()sin f x x x =+是奇函数 结论 14. 三角形中至少有两个内角是直角 15. 140，851612sinsin 22sin sin 2sin3sin sin n nx x x x x nx x+++++=… 三．解答题17.解：11411004100100554r a p a b r p a a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭+， 2122141441*********a pab b r p p a a +⎡⎤⎛⎫==++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+ ， 32232314144410010055554a pa b b r o p p a +⎡⎤⎛⎫==+++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+ ，所以归纳得12141441005555nn n nb r p p p -⎡⎤⎛⎫=++++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦…． 18.a b =-． 由00a b >>，0>．=．因为a b ，=+，即19.12a a +-12a a++≥因为0a >，所以上式两边均大于零．因此只需证221a a ⎛+- ⎝≥，即222211144a a a a a ⎫+++++++⎪⎭．12a a ⎫+⎪⎝⎭， 只需证222211122a a a a ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭≥， 即证2212a a +≥，它显然是成立的，所以原不等式成立． 20. 解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{}n a 是等差数列，则数列{}n b 也是等差数列，其中12()nn a a a b n n*+++=∈N …．证明如下：设等差数列{}n a 的公差为d ，则1121(1)2(1)2na n n na da a a db a n nn -++++===+-，所以数列{}n b 是以1a 为首项，2d为公差的等差数列． 21. 解：（1）从第n 年初到第1n +年初，鱼群的繁殖量为n ax ，被捕捞量为n bx ，死亡量为2n cx ， 因此21n n n n n x x ax bx cx +-=--，n *∈N ，即1(1)n n n x x c b cx +=-+-，n *∈N ；（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则a x 恒等于1x ，n *∈N ．10a b cx ∴--=，即1a bx c-=． 10x > ，a b ∴>．猜想：当且仅当a b >且1a bx c-=时，每年年初鱼群的总量保持不变．。