实变函数作业1

实变函数试题[1]实变函数试题[1]一. 填空题1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是nR 中点集，如果对任一点集T 都有______则称E 是L 可测的4. 设,E F 是两个集合, 作集合列(),,k E k A F k ?=??L为奇数,k=1,2,为偶数,, 则lim _____k k A →∞=, lim ______k k A →∞=.5 若Q 是nR 中的有理点集, 则()______m A =; 若I 是nR 中的闭矩体, 则()mI =______.6 设n ER ?. 若对任意的点集n T R ?, 有()*__________________m T =, 则称E 为Lebesgue 可测集. 7、设11[,2],1,2,n A n n n=-=L，则=∞→n n A lim_________。

8、设P 为Cantor 集，则 =P ，mP =_____，oP =________。

9设{}i S 是一列可测集，则11______i ii i m S mS ∞∞==??∑10 设()22110,,0,212k k A A k k -??==-, 则lim _____k k A →∞=, lim ______k k A →∞=.11 若n A R ?是可数集, 则()______m A =; 若I 是nR 中的开矩体, 则()mI =______.12 若()f x 是n E R ?上几乎处处有限的可测函数, 则对任给的0δ>, 存在E 中的闭集F ,()\m E F δ<, 使得___________________.13 设集合,,A B C 满足C B A ??，若~A C ，则____________.二、选择题1、下列各式正确的是（）（A ）1lim nk n n k n A A ∞∞→∞===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=??;（C ）1lim nk n n k nA A ∞→∞===??; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=??;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（）（A ）=Pc (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =ο3、下列说法不正确的是（）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集（D ）波雷耳集都可测4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )A.若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → B. {}sup ()n nf x 是可测函数C.{}inf()n nf x 是可测函数; D.若()()n f x f x ?,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（） A.)(x f 在],[b a 上有界 B.)(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数C.)('x f 在],[b a 上L 可积 D-=b ab f dx x f )()()('6 设C 为[0,1]中Cantor 集, 则下面说法错误的是: ( )A.. C 是闭集.B. C 是完全集.C. C =?o. D.C 是可数集7下列关于开集和闭集的性质中, 错误的是( ) A.. ,nR ?既是开集, 又是闭集. B. nR 中的开集和闭集一样多.C. 设1{}k k G∞=是nR中的一个开集列, 则其并集1kk G∞=U 是开集.D. 设1{}k k F∞=是nR中的一个闭集列, 则其交集1kk F=U 是闭集.8 在下面命题中正确的是( ) A..若E 为nR 中的无界集, 则()mE =+∞.B. 若E 为n R 中的可测集, 且E 中至少有一个内点, 则()0m E >.C. 设E 是[]0,1中的可测集, 且()1m E =, 则()1m E =.D. 若()0mE =, 则E 为n R 中的可数集.9 下列命题正确的是( ) A.. 若()f x 在点集E n R ?上可测, 则()f x 在E 上可测, 反之亦然.B. 若()f x 在点集E n R ?上可测, 则()2f x 在E 上可测, 反之亦然.C. 若()f x 在点集上可测, 则()3f x 在E 上可测, 反之亦然.D. 设点集En R ?, 则()E x χ是n R 上的可测函数.10．设,M N 是两集合，则 ()M M N --=（）(A) M (B) N (C) M N ? (D) ?11 下列说法不正确的是( )(A) 0P 的任一领域内都有E 中无穷多个点，则0P 是E 的聚点(B) 0P 的任一领域内至少有一个E 中异于0P 的点，则0P 是E 的聚点 (C) 存在E 中点列{}n P ，使0n P P →，则0P 是E 的聚点(D) 内点必是聚点 12. 下列断言( )是正确的。

实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1．设,A B 为集合，则()\A B B U A B U （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E U 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设nE ⊂¡是可数集，则*m E 07．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈¡，()E x f x a ⎡⎤≥⎣⎦是 ，则称()f x 在E 上可测8．可测函数列的上极限也是 函数9．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x +⇒ 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题1．下列集合关系成立的是（ ）A ()\B A A =∅I B ()\A B A =∅IC ()\A B B A =UD ()\B A A B =U2．若nR E ⊂是开集，则（ ）A E E '⊂B 0E E =C E E =DE E '=3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ）A ()()lim lim n n E En n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰ B ()()lim lim n n E E n n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰C ()()lim lim n n E En n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰ D ()()lim lim n n EE n n f x dx f x →∞→∞≤⎰⎰三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（ ）A E 是不可数集B E 是闭集C E 中没有内点D 1mE =2．设nE ⊂¡是无限集，则（ ）A E 可以和自身的某个真子集对等B E a ≥（a 为自然数集的基数）C E '≠∅D *0mE >3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ ）A 函数()f x 在E 上可测B ()f x 在E 的可测子集上可测C ()f x 是有界的D ()f x 是简单函数的极限4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ ）A ()f x 在[],a b 上可测B ()f x 在[],a b 上L 可积C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数四、判断题1. 可数个闭集的并是闭集. （ ）2. 可数个可测集的并是可测集. （ ）3. 相等的集合是对等的. （ ）4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ ） 五、定义题1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合.2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系.3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？六、计算题1. 设()[]230,1\xx E f x xx E⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，其中E 为[]0,1中有理数集，求()[]0,1f x dx ⎰.2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩L L ，求()[]0,1lim n n f x dx →∞⎰.七、证明题1．证明集合等式：(\)A B B A B =U U2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE =3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1[|()|]|()|E mE x f x a f x dx a≥≤⎰5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞=，则lim ()0nE n f x dx →∞=⎰实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1.=2.≤3.闭集4.开集5.≤6.=7.可测集8.可测9.()()f x g x + 10.可积 二、单选题 ABB三、多选题ACD AB ABD ABC 四、判断题 × √√√ 五、定义题1.答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合A ，A 的幂集2A 的基数大于A 的基数.2.答: 内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点.3.答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限4.答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差.六、解答题1.解：因为0mE =，所以()3,.f x x a e =于[]0,1，于是()[][]30,10,1f x dx x dx =⎰⎰，而3x 在[]0,1上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系，[]()41331000,11|44x x dx R x dx ===⎰⎰ 因此()[]0,114f x dx =⎰.2.解：显然()n f x 在[]0,1上可测，另外由()n f x 定义知，()0,.n f x a e =于[]0,1()1n ≥ 所以()[][]0,10,100nf x dx dx ==⎰⎰因此()[]0,1lim0nn f x dx →∞=⎰七、证明题 1.证明(\)()c A B B A B B =U I U ()()()c c A B A B B A B B B A B ===I U I U I U U U2.证明 设F 是[0,1]中的有理数集，则F 是可数集，从而*0m F =，因此F 是可测集，从而c F 可测，又[0,1]\[0,1]cE F F ==I ，故E 是可测集.由于E F =∅I ，所以1[0,1]()0m m E F mE mF mF ===+=+U ，故1mF =3.证明 设{}n r 为全体有理数所成之集，则()11[|()()][|()()][|()][|()]n n n n n E x f x g x E x f x r g x E x f x r E x g x r ∞∞==>=≥>=≥<I U U因为(),()f x g x 是E 上的可测函数，所以[|()]n E x f x r ≥，[|()]n E x g x r <是可测集，1,2,n =L ，于是由可测集性质知[|()()]E x f x g x >是可测集4.证明 因为()f x 在E 上可测，所以|()|f x 在E 上非负可测，由非负可测函数积分性质，[|()|][|()|]|()||()|E x f x a E x f x a Eadx f x dx f x dx ≥≥≤≤⎰⎰⎰而[|()|][|()|]E x f x a adx a mE x f x a ≥=⋅≥⎰，所以1[|()|]|()|E mE x f x a f x dx a≥≤⎰5.证明 因为lim 0n n mE →∞=，所以0,1N δ∀>∃≥，当n N ≥时，n mE δ<，又()f x 在E 上L -可积，所以由积分的绝对连续性，0,0,εδ∀>∃>当,e E me δ⊂<时|()|ef x dx ε<⎰于是当n N ≥时，n mE δ<，因此|()|nE f x dx ε<⎰，即lim ()0nE n f x dx →∞=⎰。

[0195]《实变函数论》第一次作业[单选题]1.开集减去闭集是（）A:A.开集B:B.闭集C:C.既不是开集也不是闭集参考答案：A[单选题]2.闭集减去开集是（）A:开集B:闭集C:既不是开集也不是闭集参考答案：B[单选题]3.可数多个开集的交是（）A:开集B:闭集C:可测集参考答案：C[单选题]4.可数多个闭集的并是（）A:开集B:闭集C:可测集参考答案：C[单选题]6.可数集与有限集的并是（）A:有界集B:可数集C:闭集参考答案：B[判断题]5.任意多个开集的并仍是开集。

参考答案：正确[单选题]8.可数多个有限集的并一定是（）A:可数集B:有限集C:以上都不对参考答案：C[单选题]7.设f(x)是定义在[a,b]上的单调函数，则f(x)的间断点集是（）A:开集B:闭集C:可数集参考答案：C[单选题]9.设f(x)是定义在R上的连续函数，E=R(f>0),则E是A:开集B:闭集C:有界集参考答案：A[单选题]10.波雷尔集是（）A:开集B:闭集C:可测集参考答案：C[判断题]7.可数多个零测集的并仍是零测集合。

参考答案：正确[单选题]1.开集减去闭集是（）。

A:A.开集 B.闭集 C.既不是开集也不是闭集参考答案：A[单选题]5.可数多个开集的并是（）A:开集B:闭集C:可数集参考答案：A[判断题]8.不可数集合的测度一定大于零。

参考答案：错误[判断题]6.闭集一定是可测集合。

参考答案：正确[判断题]10.开集一定是可测集合。

参考答案：正确[判断题]4.连续函数一定是可测函数。

参考答案：错误[判断题]3.零测度集合或者是可数集合或者是有限集。

参考答案：正确[判断题]2.有界集合的测度一定是实数。

参考答案：正确[判断题]1.可数集合是零测集参考答案：正确[判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。

参考答案：错误[判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。

参考答案：错误第二次作业[单选题]4.设E是平面上边长为2的正方形中所有无理点构成的集合，则E的测度是A:0B:2C:4参考答案：C[单选题]3.设E是平面上边长为2的正方形中所有有理点构成的集合，则E的测度是A:0B:2C:4参考答案：A[单选题].2.[0,1] 中的全体有理数构成的集合的测度是（）A:0B:1参考答案：A[单选题]1.[0,1] 中的全体无理数构成的集合的测度是（）A:0B:1C:2参考答案：B[单选题]5.若E是R的子集，x是一个实数，如果x的任何邻域内均有E中异于x的点，则x是E的（）A:内点B:界点C:聚点参考答案：C[判断题]10.简单函数一定是可测函数。

实变函数测试题与答案实变函数试题⼀，填空题1. 设1,2n A n ??=,1,2n = ,则lim n n A →∞= . 2. ()(),,a b -∞+∞ ,因为存在两个集合之间的⼀⼀映射为3. 设E 是2R 中函数1cos ,00,0x y x x ?≠?=?? =?的图形上的点所组成的集合，则E '= ，E ?= . 4. 若集合nE R ?满⾜E E '?, 则E 为集.5. 若(),αβ是直线上开集G 的⼀个构成区间, 则(),αβ满⾜:, .6. 设E 使闭区间[],a b 中的全体⽆理数集, 则mE = .7. 若()n mE f x →()0f x ??=??, 则说{}()n f x 在E 上 .8. 设nE R ?, 0n x R ∈,若 ,则称0x 是E 的聚点.9. 设{}()n f x 是E 上⼏乎处处有限的可测函数列, ()f x 是E 上⼏乎处处有限的可测函数, 若0σ?>, 有, 则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x .10. 设()()n f x f x ?,x E ∈, 则?{}()n f x 的⼦列{}()j n f x , 使得 .⼆, 判断题. 正确的证明, 错误的举反例. 1. 若,A B 可测, A B ?且A B ≠,则mA mB <. 2. 设E 为点集, P E ?, 则P 是E 的外点.3. 点集11,2,,E n ?=的闭集.4. 任意多个闭集的并集是闭集.三, 计算证明题1. 证明:()()()A B C A B A C --=-2. 设M 是3R 空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中⼼,有理数为半径的球的全体, 证明M 为可数集.3. 设nE R ?,i E B ?且i B 为可测集, 1,2i = .根据题意, 若有()()*0,i m B E i -→→∞, 证明E 是可测集.4. 设P 是Cantor 集, ()[]32ln 1,(),0,1x x P f x x x P ?+ ∈?=? ∈-??.求10(L)()f x dx ?.5. 设函数()f x 在Cantor 集0P 中点x 上取值为3 x , ⽽在0P 的余集中长为13n 的构成区间上取值为16n , ()1,2n = , 求1()f x dx ?.6. 求极限: 13230lim(R)sin 1n nx nxdx n x →∞+?.实变函数试题解答⼀填空题 1. []0,2.2. ()()()tan ,,.2x x a x a b b a ππ=--∈??-??3. {}1(,)cos ,0(0,)1x y y x y y x ??=≠≤; ?. 4. 闭集.6. b a -.7. ⼏乎处处收敛于()f x 或 a.e.收敛于()f x . 8. 对000,(,)U x δδ?> 有{}()0E x -=?.9. lim ()()0n n mE f x f x σ→∞-≥= 10. ()()n f x f x → a.e.于E . ⼆判断题1. F . 例如, (0,1)A =, []0,1B =, 则A B ?且A B ≠,但1mA mB ==.2. F . 例如, 0(0,1)?, 但0不是(0,1)的外点.3. F . 由于{}0E E '=?.4. F . 例如, 在1R 中, 11,1n F n n ??=-, 3,4n = 是⼀系列的闭集, 但是3(0,1)n n F ∞== 不是闭集.5. T . 因为若E 为有界集合, 则存在有限区间I , I <+∞,使得E I ?, 则**,m E m I I ≤=<+∞ 于*m E =+∞ . 三, 计算证明题. 1. 证明如下:()()()()()()()()S SS S S A B C A B CA B C A B C A B A C A B A C --=- = = = =-2. M 中任何⼀个元素可以由球⼼(,,)x y z , 半径为r 唯⼀确定, x ,y , z 跑遍所有的正有理数, r 跑遍所有的有理数. 因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故M 为可数集.3. 令1i i B B ∞== , 则i E B B ??且B 为可测集, 于是对于i ?, 都有i B E B E -?-, 故()()**0i m B E m B E ≤-≤-,令i →∞, 得到()*0m B E -=, 故B E -可测. 从⽽()E B B E =--可测.4. 已知0mP =, 令[]0,1G P =-, 则()132030(L)()(L)ln 1(L)(L)()(L)(L)(R)()133PGGPGf x dx x dx x dxf x dxx dx x dxf x dxx=++ =0+ =+ = ==.5. 将积分区间[]0,1分为两两不相交的集合: 0P , 1G , 2G ,其中0P 为Cantor 集, n G 是0P 的余集中⼀切长为13n 的构成区间(共有12n -个)之并. 由L 积分的可数可加性, 并且注意到题中的00mP =, 可得11111111()()()()()1()61126631112916nn P G P G n nP G n n n n nn n n n f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx dx mG ∞=∞=∞=-∞∞==∞==+ =+ =+=0+===∑??∑?∑∑∑6. 因为323sin 1nx nx n x +在[]0,1上连续, 13230(R)sin 1nx nxdx n x +?存在且与13230(L)sin 1nx nxdx n x +?的值相等. 易知323232323211sin .11122nx nx nx nx n x n x n x x x≤≤?≤+++ 由于12x 在()0,1上⾮负可测，且⼴义积分1012dx x收敛，则12x在()0,1上(L)可积，由于3lim sin 01n nx nx n x →∞=+， ()0,1x ∈，于是根据勒贝格控制收敛定理，得到1133232300132301lim(R)sin lim(L)sin 11lim sin 100n n n nx nx nxdx nxdx n x n xnx nx dx n x dx →∞→∞→∞=++?? = ?+?? ==.⼀、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)（15分，每⼩题3分）1.⾮可数的⽆限集为c势集2.开集的余集为闭集。

21考生答题不得超此4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D) ⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有_________________________________，则称E 是L 可测的4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. （填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。

三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分)1、设1E R ⊂，若E 是稠密集，则CE 是无处稠密集。

2、若0=mE ，则E 一定是可数集.3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数。

【奥鹏大连理工大学】19秋《实变函数》
在线作业1答卷
奥鹏大连理工大学 19秋《实变函数》在
线作业1答卷
作业要求
本次作业为奥鹏大连理工大学19秋学期《实变函数》的在线
作业1。

作业要求学生回答一系列关于实变函数的问题。

作答内容
以下是我对本次作业的回答：
1. 什么是实变函数？
实变函数是指定义在实数集上的具有连续性的函数。

它的定义
域和值域都是实数集。

2. 实变函数的性质有哪些？
实变函数的一些常见性质包括连续性、可导性、极值点和最值、奇偶性、周期性等。

3. 实变函数的图像可以如何描述？
实变函数的图像可以用曲线来描述。

曲线的形状和特点能反映函数的性质，比如上升与下降趋势、凹凸性等。

4. 什么是实变函数的导数？
实变函数的导数表示函数在某一点处的变化率。

它是刻画函数变化速度的重要工具，可以用来求函数的极值、判断函数的增减性等。

5. 实变函数的导数有哪些性质？
实变函数的导数具有线性性和乘法性、链式规则、柯西定理等性质，这些性质能够方便我们进行函数的求导运算。

以上是我对《实变函数》在线作业1的回答，希望能够满足作业要求。

谢谢！
参考资料。

(判断题)1: 一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.A: 错误B: 正确标准解答:(判断题)2: 测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.A: 错误B: 正确标准解答:(判断题)3: 若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。

A: 错误B: 正确标准解答:(判断题)4: 测度为零的集称为零测集.A: 错误B: 正确标准解答:(判断题)5: f在[a,b]上为增函数，则f的导数f'∈L1[a,b].A: 错误B: 正确标准解答:(判断题)6: 函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.A: 错误B: 正确标准解答:(判断题)7: 对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.A: 错误B: 正确标准解答:(判断题)8: f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|&gt;=n)]之和收敛.A: 错误B: 正确标准解答:(判断题)9: 不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx&lt;f(b)-f(a) .A: 错误B: 正确标准解答:(判断题)10: 若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.A: 错误B: 正确标准解答:(判断题)11: 对R^n中任意点集E，E\E'必为可测集.A: 错误B: 正确标准解答:(判断题)12: 积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。

A: 错误B: 正确标准解答:(判断题)13: 增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.A: 错误B: 正确标准解答:(判断题)14: 积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.A: 错误B: 正确标准解答:(判断题)15: 若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。

第一章作业（一）答案：1. （30分）证明：（A ∪B)\C =(A\C)∪(B\C) 解：（A ∪B)\C =（A ∪B)∩C c =(A ∩C c )∪(B ∩C c )=(A\C)∪(B\C) 注意：A\B =A ∩B c ；（A ∪B)∩C c =(A ∩C c )∪(B ∩C c )4. （40分）设A 2n−1=(0，1n )，A 2n =(0，n)，n =1，2，….,，求出集列{A n }的上限集和下限集 解：∵A 2n−1→ϕ, A 2n →(0,∞)∴lim n→∞A n =⋂⋃A m ∞m=n∞n=1=⋂(0,∞)∞n=1=(0,∞)limn→∞A n=⋃⋂A m ∞m=n ∞n=1=⋃ϕ∞n=1= ϕ5. （30分）证明：证明：11111lim ,,,,,lim ,,,lim lim lim n m m m n mn n m nn m nn m nm m m nn n m nm nm n n m n n n m nn m nx A n m n x A x A A A A x A n x A m n x A x A A A A A ∞∞∞∞∞→∞→∞=====∞∞∞→∞===∞∞∞∞→∞→∞====∀∈∃∀≥∈∈⊂⊂∀∈∃∈∀≥∈∈⊂=使得对有从而即另一方面，对，，使得因此，对从而即，从而有实变函数复习范围1．设1[,2(1)],1,2,n n A n n=+-=，则（ ）(A) lim [0,1]n n A →∞= （B ）=∞→n n A lim (0,1](C) lim (0,3]n n A →∞= （D ）lim (0,3)n n A →∞=奇数：A n ⟶[1n ,1]⟶(0,1]；偶数：A n ⟶[1n ,3]⟶(0,3]limn ⟶∞A n=⋃.∞n⟶1⋂A m ∞m=n=⋃(0,1]∞n⟶1=(0,1]2、设}1111:{ix i x A i -≤≤+-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( )A 、(-1, 1)B 、(-1, 0)C 、[0, 1]D 、[-1, 1]A 1=0,A 2=[−12,12],⋯,A i ⟶(−1,1)3、设}110:{ix x A i +≤≤=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( )A 、(0, 1)B 、[0, 1]C 、（0, 1]D 、(0, +∞)A 1=[0,2],A 2=[0,32],⋯,A i ⟶[0,1]4、设}1211:{ix i x A i +<<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( )A 、[1, 2]B 、(1, 2)C 、 (0, 3)D 、(1, 2]A 1=(0，3)，A 2=(12，52)，⋯，A i ⟶(1，2]5、设}23:{+≤≤=i x i x A i , N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( )A 、(-1, 1)B 、[0, 1]C 、φD 、{0} A 1=(1,52)，A 2=(2，72)，…无交集6、设}11:{ix i x A i <<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( )A 、(-1, 1)B 、[0, 1]C 、ΦD 、{0}A1=(−1,1),A2=(−12,12),…,Ai =(−∞,∞)7、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈,则=∞→n n A lim ( )A 、[0, 2]B 、[0, 2)C 、[0, 1]D 、[0, 1) A 2n−1⟶[0,2),A 2n ⟶[0,1],limn ⟶∞A n=⋃.∞n⟶1⋂A m ∞m=n=⋃[0,1]∞n⟶1=[0,1]8、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、[0, 2]B 、[0, 2)C 、[0, 1]D 、[0, 1]A 2n−1⟶[0,2),A 2n ⟶[0,1],limn→∞A n =⋂.∞n⟶1⋃A m ∞m=n=⋂[0,2)∞n⟶1=[0,2)9、设),0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、Φ B、[0, n] C 、R D 、(0, ∞)lim n→∞A n =⋃⋂A m ∞m=n ∞n=1=⋃（0，n ）∞n=1= （0， ）10、设)1,0(nA n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、(0, 1)B 、(0,n1) C 、{0} D 、Φ ∴lim n→∞A n =⋂⋃A m ∞m=n∞n=1=⋂(0,1n)∞n=1=Φ11、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、(0,n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) ∵A 2n−1→ϕ, A 2n →(0,∞)∴lim n→∞A n =⋂⋃A m ∞m=n∞n=1=⋂(0,∞)∞n=1=(0,∞)limn→∞A n=⋃⋂A m ∞m=n ∞n=1=⋃ϕ∞n=1= ϕ第二次作业答案13.解：令φ：X ⟶Y ，即φ：(−1,1) ⟶(−π2,π2) 5分 ψ:Y ⟶Z,即ψ: (−π2,π2) ⟶(−∞,+∞) 5分 易知φ为y =π2x ，ψ为z =tan (y) 20分 从而ψ[φ（x ）]=tan(π2x) 10∞15. 对任意n ，设A n 是n 次有理数多项式的全体组成的集合，由于多项式由系数确定，除首项系数不为0外，其他系数可取任何有理数. (10分) 因此，则A n ={a 0x^n+a 1x^(n −1)+⋯+ a n }～Q 0×Q ×⋯×Q ，其中Q 0= Q -{0}和Q 都是可数集，从而A n 是可数集。