位置矢量和运动方程

第二章 质点运动学运动学的任务是描述随时间的推移物体位置变化(运动)的规律,不涉及物体间相互作用与运动的关系。

§2.1 质点的运动学方程一、质点的位置矢量和运动学方程 要描述某质点在空间的位置，可以在参考系上先建立一个空间直角坐标系xyz o -，从坐标原点向该质点引一条有向线段，用r表示。

1、 位置矢量定义：自参考点（原点o ）引向质点P 所在位置的矢量。

质点位矢在直角坐标系中的表示：k z j y i x r++=ˆˆk j i,ˆ,ˆ分别为沿x 轴，y 轴，z 轴正方向的单位矢量，z y x ,,称为质点的位置坐标，质点的一组位置坐标就对应于一个位置矢量，也就对应质点一空间位置。

位矢的大小： 222z y x r r ++==位矢的方向（用方向余弦表示）：rzr y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα γβα,,分别为位矢与x 轴，y 轴，z 轴正方向的夹角。

2、质点的运动学方程由于质点的运动的不同时刻，位矢不同，则有：)(t r r= 即为质点的运动学方程，它给出了任意时刻质点的位置。

方程在直角坐标系中的正交分解式：k t z j t y i t x t r)()()()(++=质点运动学方程的标量形式为： )(),(),(t z z t y y t x x === 3、质点的运动轨迹质点运动时位矢端点描出的曲线，称质点运动轨迹。

由运动学方程消去t 得： 0),,(=z y x f[例] 一质点的运动学方程为：j t r i t R rsin cos +=，求其轨迹。

解：由已知，tR y t R x sin cos == ，则轨迹方程：222R y x =+，圆心在原点。

二、质点的位移和路程1、位移：描述质点在一定时间间隔内位置变动的物理量，用r∆表示。

)()(t r t t r r-∆+=∆位移在直角坐标中的正交分解式： k t z j t y i t x t r t t r r)()()()()(∆+∆+∆=-∆+=∆注意：质点的位移是矢量，其大小 12r r r r -=∆≠∆2、路程：描述质点在一定时间间隔内在其轨迹上经过路径的长度，用l ∆表示。

动力学中的矢量分析与运动学方程动力学是研究物体运动的力学分支，而矢量分析和运动学方程是动力学中的两个重要概念。

本文将探讨它们的关系和应用。

一、矢量分析在动力学中的应用矢量分析是研究矢量在空间中运动和变化的数学方法。

在动力学中，我们常常需要分析物体的位移、速度和加速度等矢量量，而矢量分析提供了一种有效的工具。

首先，我们来看位移矢量。

位移矢量是描述物体从一个位置到另一个位置的矢量，它的大小等于两个位置之间的直线距离，方向则是从起始位置指向结束位置。

通过矢量分析，我们可以计算出物体在某一时刻的位移，从而了解其位置的变化。

其次，速度矢量是描述物体运动快慢和方向的矢量，它等于位移矢量除以时间间隔。

通过矢量分析，我们可以计算出物体在某一时刻的速度，从而了解其运动状态。

最后，加速度矢量是描述物体运动变化率的矢量，它等于速度矢量的变化率。

通过矢量分析，我们可以计算出物体在某一时刻的加速度，从而了解其运动的加速度变化情况。

总之，矢量分析在动力学中的应用非常广泛，通过对位移、速度和加速度等矢量量的分析，我们可以深入理解物体的运动规律和变化情况。

二、运动学方程的推导和应用运动学方程是描述物体运动规律的数学方程。

在动力学中，我们常常需要通过运动学方程来研究物体的运动状态和变化。

首先，我们来看匀速直线运动的运动学方程。

对于匀速直线运动，物体的位移随时间的变化是线性的，即位移与时间成正比。

因此，我们可以得到匀速直线运动的位移公式：位移等于速度乘以时间。

其次，对于匀加速直线运动，物体的加速度是恒定的，位移随时间的变化是二次函数关系。

通过对位移、速度和加速度的分析，我们可以得到匀加速直线运动的运动学方程：位移等于初速度乘以时间加上加速度乘以时间的平方的一半。

最后，对于曲线运动，物体的运动轨迹是曲线形状的。

通过对曲线的参数方程进行分析，我们可以得到曲线运动的运动学方程。

总之，运动学方程是描述物体运动规律的重要工具，通过对位移、速度和加速度等物理量的分析，我们可以推导出各种运动情况下的运动学方程，从而深入理解物体的运动规律。

质点动力学知识点总结质点动力学是物理学中非常重要的一个分支，它研究的是质点在力的作用下的运动规律。

在质点动力学中，我们通常假设质点的大小可以忽略不计，只考虑它的位置和速度，这样我们就可以用简单的数学模型描述质点的运动。

在本文中，我们将系统地总结质点动力学的一些基本知识点，包括质点的运动方程、牛顿运动定律、动量和能量等。

希望本文可以帮助读者更好地理解质点动力学的基本概念和原理。

一、质点的运动方程质点的运动可以用位置矢量 r(t) 来描述，它随时间 t 的变化可以用速度矢量 v(t) 来表示。

根据牛顿第二定律 F=ma，质点的运动方程可以写成：m*a = F，其中 m 是质点的质量，a 是质点的加速度，F 是作用在质点上的力。

根据牛顿运动定律，我们可以利用力学原理得到质点在外力作用下的运动规律。

二、牛顿运动定律牛顿运动定律是质点动力学的基础，它包括三条定律：1. 第一定律：物体静止或匀速直线运动时，外力平衡。

这是牛顿运动定律中最基本的一条定律，也是质点动力学的基础。

2. 第二定律：力的大小与加速度成正比，方向与加速度的方向相同。

这条定律描述了质点在外力作用下的加速度与力的关系，是质点动力学的重要定律之一。

3. 第三定律：作用力与反作用力大小相等，方向相反，且作用在不同物体上。

这条定律描述了两个物体之间的相互作用，也是质点动力学中不可或缺的定律之一。

三、动量动量是质点运动的另一个重要物理量，它定义为质点的质量 m 乘以它的速度 v，即 p=m*v。

根据牛顿第二定律 F=dp/dt，我们可以推导出动量的变化率与外力的关系，从而得到动量守恒定律。

动量守恒定律是质点动力学中非常重要的一个定律，它描述了在没有外力作用下，质点的动量将保持不变。

根据动量守恒定律，我们可以在实际问题中很方便地利用动量守恒来解决问题。

四、能量能量是质点动力学中另一个重要的物理量，它定义为质点的动能和势能的总和。

动能是质点由于速度而具有的能量，它和质点的质量和速度有关；势能是质点由于位置而具有的能量，它和质点的位置和作用力有关。

位置矢量运动方程位移r* Px yz xzyo kz j y i x r++=（2）位矢 的值为 r （1）确定质点P 某一时刻在坐标系里的位置的物理量称位置矢量, 简称位矢 . r式中 、 、 分别为x 、y 、z方向的单位矢量.i j k ikjrr=222zy x ++==αcos =γcos =βcos （3）位矢 的方向余弦rPrαβγxzyor x ry rz二、运动方程 xzyokt z j t y i t x t r)()()()(++=)(t x x =)(t y y =)(t z z =分量式 从中消去参数 得轨迹方程),,(=z y x f t )(t r )(t x )(t y )(t z三、位移xy oBBr Ar A r∆Ar BBr Ar∆xyor r r A B ∆+=AB r r r-=∆∴（1）经过时间间隔 后, 质点位置矢量发生变化, 由始点 A 指向终点 B的有向线段 AB 称为点 A 到 B 的位移矢量 . 位移矢量也简称位移.t ∆r ∆222zy x r ∆+∆+∆=∆ 位移的大小为=A r =B r jy y i x x r A B A B)()(-+-=∆AB r r r -=∆所以位移 若质点在三维空间中运动，kz z j y y i x x r A B A B A B)()()(-+-+-=∆又 j y i x A A +j y i x B B +Ar B Br Ar∆xyoBx Ax B y Ay AB yy -AB x x -（2）路程（ ）: 质点实际运动轨迹的长度.s ∆222zy x r ∆+∆+∆=∆ 位移的物理意义 ① 确切反映物体在空间位置的变化, 与路径无关，只决定于质点的始末位置.② 反映了运动的矢量性和叠加性.kz j y i x r∆+∆+∆=∆讨 论（3）位移与路程的区别② 一般情况, 位移大小不等于路程.r s∆≠∆④ 位移是矢量, 路程是标量.s∆)(1t r1p )(2t r 2p r∆xyOz's ∆③ 什么情况？ s r ∆=∆不改变方向的直线运动; 当时 . 0→∆t s r ∆=∆① P 1P 2 两点间的路程是不唯一的, 可以是 或而位移 是唯一的. r∆s ∆'s ∆s ∆Thanks!。

第一次课： 2学时1 题目： §1.1 位置矢量 运动方程§1.2 速度 §1.3 加速度2 目的： 1）掌握运动学描述的主要参量。

2）由运动方程求解。

一、引入课题：力学：研究机械运动的规律极应用。

运动学：研究物体的位置随时间变化而不考虑发生这种不变化的原因。

动力学：研究物体的运动和物体间相互作用的关系。

静力学：研究物体相互作用下的平衡问题。

二、讲授新课：第一章 运动和力§1.1 位置矢量 运动方程1.人类的“时空观念”即人类对时间和空间的认识。

1、时间：表征物质存在的持续性、物质运动变化的持续性和顺序性的物理量。

计量：选择物质运动的某个周期性变化过程作为标准来进行。

例：定义铯－133原子基态两个超精细能级之间跃迁的辐射周期的9192632770倍为1秒的时间间隔。

时间本身具有单方向性，是一维的。

时间的单位是秒，符号为s 。

2、空间：表征物质及其运动的广延性及物质彼此间的排列顺序的物理量。

一、时间和空间 三个历史发展阶段牛顿的绝对时空观爱因斯坦的相对论时空观 新宇宙学的宇宙时空观计量：选择某个物体的尺度或周期性运动的距离作为标准来测量。

例：定义光在空中1S时间间隔内行进的路程的1/299 792 485为1米。

空间中两点之间的距离称为长度。

长度的单位是米，符号为m。

二、质点定义：如果物体的大小和形状可以忽略时，就可把物体当作是一个有一定质量的点，这样的点称为质点。

质点：具有一定质量的几何点。

质点系：许多相互联系的质点组成的系统。

质量的单位是千克(公斤)，符号为kg。

1.质点是理想化的物理模型；2.平动物体可以作为质点；3.一个物体是否可以作为质点要视具体问题而定。

例：地球的自传与公转问题：有人说：“地球很大不可以作为质点，原子很小可以作为质点。

”这句话是否正确，为什么？三、参考系与坐标系1、参考系：被选作参考的物体或物体系。

宇宙中物体永恒运动。

2.1一、质点把所研究的物体视为无形状大小但有一定质量的点。

•能否看成质点依研究问题而定。

例：地球绕太阳公转:地球→质点地球半径＜＜日地距离6.4×103 km 1.5×108 km地球自转:地球≠质点•复杂物体可看成质点的组合。

二、位置矢量与运动方程1、位置矢量k z j y i x r v v v v ++=定义：从坐标原点O 指向质点位置P 的有向线段位置矢量的直角坐标分量：===++=r z r y r x z y x r γβαcos ,cos ,cos 222方向：大小：γβαP (x,y,z )r v z y xo2、运动方程k t z j t y i t x r vv v v )()()(++=矢量形式参数形式===)()()(t z z t y y t x x 3、轨道方程(轨迹)== → ===0),,(0),,()()()(z y x G z y x F t z z t y y t x x t 消去•要尽可能选择适当的参照物和坐标系，以使运动方程形式最简，从而减少计算量。

三、位移和路程O P P ’r ∆v )(t r v )(t t r ∆+v s ∆•••1、位移'()()r PP r t t r t ∆==+∆−v v v 2、路程'()()s PP s t t s t ∆==+∆−注意(1) 位移是矢量（有大小，有方向）位移不同于路程(2) 位移与参照系位置的变化无关r s ∆≠∆v 与Δr 的区别r v ∆分清O r v ∆r v∆O r∆••O PP ’r ∆v )(t r v )(t t r ∆+v s∆•••思考：什么情况下位移的大小等于路程？[例题]一质点在xOy平面内依照x= t 2 的规律沿曲线y = x3/ 320运动，求质点从第2 秒末到第4秒末的位移(式中t的单位为s；x，y的单位为cm)。

[解] ()()r r t t r t ∆=+∆−v v v 1212.6i j=+v v(cm)2121()()x x i y yj=−+−v v [()()][()()]x t t i y t t j x t i y t j =+∆++∆−+v v v v[()()][()()]x t t x t i y t t y t j=+∆−++∆−v v 66222121()()320320t t t t i j=−+−v v 662242(42)()320320i j =−+−vv 17.4 cm r ∆==v 与水平轴夹角Δarctan 46.4Δyx ϕ=o＝2.2一、速度O P P ’r∆v )(t r v )(t t r ∆+vs∆•••反映质点运动的快慢和方向的物理量1、速度的概念平均速度：平均速率:v v v v v r t r t t r t t==+−∆∆∆∆()()tt s t t s t s v ∆∆∆∆)()(−+==瞬时速度:瞬时速率:O P P ’r∆v)(t r v)(t t r ∆+vs∆•••vv v v =≠vv ,瞬时速度沿轨道切线方向2、速度的直角坐标分量()()()()::cos ,cos ,cos x y z y x z r r t x t i y t j z t kdr dx dy dz v i j k v i v j v k dt dt dt dt v v v v v v v αβγ==++==++=++ = ===v v v v vv v v v v v v v 大小方向101552r i tj t k=−++v v v v [例题]某质点的运动学方程为求：t = 0和1s 时质点的速度矢量。

《大学物理学C 》课程基本内容第一章 质点的运动1．直角坐标系、极坐标系、自然坐标系※2．质点运动的描述：位置矢量r 、位移矢量r ∆=)()(t r t t r-∆+、运动方程)(t r r =。

在直角坐标系中,k t z j t y i t x t r)()()()(++=速度：t rv d d=； 加速度：22d d d d t r t v a == 在直角坐标系中，速度k v j v i v v z y x ++=,加速度k a j a i a a z y x++=自然坐标系中，速度 τ v v =＝τts d d ，加速度t n a a a +==n r v t v 2d d +τ 在极坐标系中,角量的描述：角速度t d d θω=，角加速度22d d d d t t θωα==3．运动学的两类基本问题：第一类问题:已知运动方程求速度、加速度等。

此类问题的基本解法是根据各量定义求导数。

第二类问题:已知速度函数(或加速度函数)及初始条件求运动方程。

此类问题的基本解法是根据各量之间的关系求积分。

例如据txv d d =，可写出积分式⎰x d ＝⎰t v d .由此求出运动方程)(t x x =。

4．相对运动：位移:t u r r ∆+'∆=∆ ，速度：u v v+'=,加速度：0a a a +'=第七章 气体动理论1．对“物质的微观模型”的认识；对“理想气体”的理解。

※2．理想气体的压强公式23132v n p k ρε==，其中221v m k =ε※理想气体物态方程：RT MmpV =或 nkT p =理解压强与微观什么有关，即压强的物理含义是什么.※3．理想气体分子的平均平动动能与温度的关系：kT k 23=ε 理解温度与微观什么有关，即温度的物理含义。

※4．能量均分定理：气体处于平衡态时，分子每个自由度上的平均能量均为2kT概念：自由度※理想气体内能公式：RT iM m E 2=5．麦克斯韦气体分子速率分布律 ※麦克斯韦气体分子速率分布函数：定义：vNN v f d d 1)(=函数：22232π2π4)(v v v kTm ekT m f -⎪⎭⎫⎝⎛= 以及v v f NNd )(d =；v v Nf N d )(d =；⎰21d )(v v v v Nf ；⎰21d )(v v v v f 等表示的物理含义。