部编版初中数学教程旋转的定义及性质

河南初中数学知识点总结一、数与代数1. 有理数- 有理数的定义：整数和分数统称为有理数。

- 有理数的分类：正有理数、负有理数和零。

- 有理数的运算：加法、减法、乘法、除法、乘方。

- 有理数的性质：交换律、结合律、分配律。

2. 整数- 整数的性质：奇数与偶数、质数与合数。

- 整数的四则运算：加法、减法、乘法、除法。

- 整除与余数：整除的定义、最大公约数和最小公倍数。

3. 分数与小数- 分数的表示与性质：真分数、假分数、带分数。

- 分数的四则运算：加法、减法、乘法、除法。

- 小数的表示与性质：小数的四则运算。

4. 代数表达式- 单项式与多项式：单项式的定义、多项式的定义。

- 代数式的加减运算：合并同类项。

- 代数式的乘除运算：分配律、幂的运算。

5. 一元一次方程- 方程的建立与解法：移项、合并同类项、系数化为1。

- 实际问题的建模：列方程解应用题。

6. 二元一次方程组- 方程组的建立与解法：代入法、消元法。

- 线性方程组的应用：解实际问题。

7. 不等式与不等式组- 不等式的性质与解法：基本性质、解一元一次不等式。

- 不等式组的解集：找公共解集。

二、几何1. 平面图形- 点、线、面：基本定义。

- 角：邻角、对顶角、平行线间的角关系。

- 三角形：分类、性质、内角和定理。

- 四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质。

2. 图形的变换- 平移：平移的定义及性质。

- 旋转：旋转的定义及性质。

- 轴对称：轴对称图形的定义及性质。

3. 圆的基本性质- 圆的定义：圆心、半径、直径。

- 圆的分类：正圆、椭圆、卵圆。

- 圆周角与圆心角：定理及其关系。

4. 圆的计算- 弧长与面积：计算公式。

- 扇形与弓形：面积的计算方法。

- 圆锥与圆柱：体积与表面积的计算。

5. 空间图形- 立体图形的基本概念：点、线、面在空间的关系。

- 多面体：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的性质。

- 体积与表面积：立体图形的体积与表面积计算。

6. 相似与全等- 全等图形：全等的定义、性质及判定条件。

几何问题探究——线段的和、差及旋转相关问题知识点截长补短辅助线的运用、旋转的性质，相似三角形的性质与判定；相似三角形的综合；教学目标熟练掌握线段和差问题的证明方法；教学重点能够灵活的运用旋转的性质去证明图形中线段的关系；教学难点灵活运用相似、旋转、全等证明方法探究图形的线段问题；知识讲解考点1 旋转变换旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕一固定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。

旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。

经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上；旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n(n为大于1的正整数)后，与初始的图形重合，这种图形就叫做旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。

特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。

把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。

如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。

在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。

考点2 两条线段之间的数量关系在数量关系的猜想中，证明两条线段相等的情况较多，有时也出现证明两条线段的倍数关系，如AB=2CD 或2CD等。

在证明两条线短相等的过程中，可以根据特殊四边形的性质证明两条线段相等，也可以证明两个三角形全等，根据全等三角形的性质证明两条线段相等。

证明两条线段的倍分关系时，利用构造基本图形模型证明，具体情况如下：1.利用三角形的中位线或直角三角形证明a=12b；2.利用等腰三角形证明2b；3.利用含30°角的直角三角形证明3等；考点3 两条线段之间的位置关系在位置关系猜想中，关键是如何证明，方法如下：1.在证明垂直关系时，由垂直定义，即两条线段相交，所夹的角是90°，一般利用直角三角形的两个锐角互余的角度进行证明；2.在证明两条线段平行时，大多是根据平行线的判定方法进行证明即可；总之证明位置关系，需要根据图形的性质，利用三角形全等进行证明，有时利用相似。

部编版九年级数学上册教材分析一、教材结构与内容概述部编版九年级数学上册教材主要包括以下几个部分：数与式、方程与不等式、函数、几何初步等。

每个部分都包含了若干章节，内容由浅入深，逐步引导学生掌握数学基础知识，提高数学思维能力。

二、知识体系与教学目标1.知识体系：本册教材的知识点涵盖了初中数学的主要内容，包括数与式、方程与不等式、函数、几何初步等。

这些知识点相互联系，形成了一个完整的知识体系，有助于学生建立数学思维框架。

2.教学目标：通过学习本册教材，学生将掌握初中数学的基本知识和技能，培养数学思维能力、解决问题能力和创新能力。

同时，学生将形成良好的学习习惯和科学态度，为进一步学习和应用数学打下坚实的基础。

三、重点与难点分析1.重点：本册教材的重点包括有理数、代数式、一元一次方程、一元二次方程、不等式、函数和几何初步等知识点。

这些知识点是初中数学的核心内容，对于学生掌握数学基础知识和提高数学思维能力具有重要意义。

2.难点：本册教材的难点包括一元二次方程的解法、不等式的实际应用、函数的性质和图象、几何证明的逻辑推理和表述方法等。

这些知识点较为抽象和复杂，需要学生具备一定的数学基础和思维能力才能理解和掌握。

四、教学方法与策略建议1.情境教学：教师可以创设情境，将数学知识与实际问题相结合，激发学生的学习兴趣和探究欲望。

例如，通过解决实际问题引入方程和不等式的概念和应用。

2.实践操作：教师可以设计一些实践操作活动，让学生亲自动手操作，加深对数学概念和计算方法的理解。

例如，通过让学生自己制作几何模型，理解几何的性质和作图方法。

3.小组合作：教师可以通过组织小组合作学习，培养学生的合作精神和沟通能力。

例如，在解决实际问题的过程中，让学生分组讨论，提出解决方案并进行交流。

4.归纳总结：在每个单元结束时，教师可以组织学生进行归纳总结，梳理所学知识，帮助学生形成完整的知识体系。

同时可以让学生自己总结学习经验和方法，提高学生的自主学习能力。

教材上的定义、公理（基本事实）、定理及推论1、直线、射线、线段定义；点动成线，线动成面，面动成体2、两点确定一条直线，两点之间线段最短3、两条直线有3种关系：重合、平行、相交4、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行5、同一平面，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直6、垂线段最短7、两直线平行的判定定理1同一平面内，不想交的两直线平行2同位角相等，两直线平行3内错角相等，两直线平行4同旁内角互补，两直线平行5两直线与第三条直线平行，则这两直线平行6两直线与第三条直线垂直，则这两直线平行8、同角、等角、余角、补角、互补、互余定义9、邻补角定义和性质10、外角定义和性质11、对顶角相等12、角平分线定义、性质、判定1定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个相同的角，这条射线叫做角平分线2性质：角平分线上的点到角两边的距离相等3判定：角内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上13、垂直平分线（中垂线）定义、性质、判定1定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线2性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等3判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上14、三角形任意两边之和大于第三边，即最短的两条边之后大于第三边；如果三角形三条边a、b、c，则有|a-b|<c<a+b15、N边形内角和：(n-2)180，N边形外角和：360°，N边形对角线总数：n(n--3)/216、直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半；直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，那么其所对的角为30°17、三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半18、勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边平方19、勾股定理逆定理：三角形中如果两条边的平方和等于另一边的平方则该三角形为直角三角形20、三角形“四心”1三条中线的交点是重心2三边垂直平分线的交点是外心3三条内角平分线的交点为内心4三角形三条高线的交点为垂心。

(完整版)最新部编初中数学教材目录一、数的概念与运算1. 自然数的概念及常见算法2. 整数的概念及运算法则3. 有理数的概念及分数的运算方法4. 无理数的概念与近似计算5. 实数的概念与性质二、代数式与方程1. 代数式的定义及元素与合并常用方法2. 一元一次方程的定义与解法3. 一元二次方程的定义与解法4. 一元二次方程的图像与性质5. 二元一次方程的定义与解法三、图形与尺度1. 直角坐标系的构建与使用2. 点、线、面的基本概念及性质3. 平行线与垂直线的判定与性质4. 面积与体积的计算方法与应用5. 尺规作图的基本方法及应用四、几何与相似1. 点与直线在平面内的位置关系2. 三角形的基本概念与性质3. 三角形的判定与构造4. 三角形的相似性质及判定5. 相似三角形的应用五、统计与概率1. 数据的获取与整理2. 统计图的绘制与分析3. 数据的描绘与分析4. 概率的基本概念与计算方法5. 概率实验与事件的判定与应用六、函数与方程式1. 函数的基本概念与性质2. 一次函数的图像与应用3. 二次函数的图像与应用4. 幂函数的图像与变化5. 方程的解法与建立七、数与量的关系1. 数量关系的基本概念与性质2. 比例的概念与应用3. 百分数的概念与应用4. 利息与利率的计算与应用5. 折扣与增值的计算与应用八、立体图形与空间思维1. 点、线、面在空间中的位置关系2. 简单立体图形的性质与计算3. 空间的投影与展开4. 空间中的旋转、平移和对称5. 空间中的尺寸比较和应用九、函数与图象1. 函数图象的关系与构造2. 线性函数与线性关系3. 幂函数与幂函数关系4. 指数函数与指数关系5. 对数函数与对数关系十、三角函数与图象1. 角度与弧度的换算与性质2. 正弦函数与余弦函数及其性质3. 正切函数及其性质4. 三角函数的图象与变换5. 三角函数的应用十一、导数与微分1. 导数的基本概念与性质2. 导数的计算与应用3. 函数的增减性与极值问题4. 函数的凹凸性与拐点问题5. 微分的基本概念与应用十二、积分与定积分1. 积分的基本概念与性质2. 不定积分的计算与应用3. 定积分的计算与应用4. 曲线长度与曲面积的计算5. 积分与微分的本原关系以上是最新版本的部编初中数学教材的目录，希望对您有所帮助！。

4.1.2 点、线、面、体一、教学内容人教版七年级上册4.1.2 点、线、面、体二、教材内容分析本节课主要是在学生了解了我们身边的平面图形与立体图形的基础上,从很多实例出发,引出了“点动成线，线动成面、面动成体”这一事实,从运动的观点揭示了点、线、面、体之间的内在联系，借助直观的图片与实例让学生从中感受点、线、面、体的含义，体验它们之间的联系与区别。

几何图形是由点、线、面、体组成的,点线面体的学习不仅是学生认识与理解图形，培养学生的抽象思维能力的基础，还是以后学好三角形、四边形、圆等内容的必要基础知识.二、教学目标1.知识与能力：（1）通过丰富的实例认识几何图形的基本元素：点、线、面；（2）认识到点线面的静态关系和动态关系，发展学生生初步建立几何直觉（3）能正确判断运动变化形成的简单的几何图形过程与方法：2.情感、态度、价值观：通过对点、线、面、体的认识，使学生经历用图形描述现实世界的过程，用它们来解释生活中的现象.三、重点与难点重点：点、线、面、体之间的关系。

难点：点动成线、线动成面、面动成体的活动.四、教学方法及教学思路：通过观察各类熟悉的几何体，进一步认识点、线、面、体的概念并从静态角度认识点、线、面、体之间的关系，即“体由面组成，面与面相交成线，线与线相交成点”。

通过具体事例从动态角度进一步探究点、线、面、体之间的关系，即“点动成线、线动成面、面动成体”。

通过观察图片了解几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素.五、教学过程一、创设情景，实例导入⒈出示建筑物的图片引发思考,把具体实物抽象成几何图形。

设计意图：借助直观的图片吸引学生的注意力，发展学生的抽象思维能力，既是对旧知的复习，又为介绍体的概念做出铺垫，让学生感知知识来源于生活2.引出常见的立体图形。

（教师给出体的概念）二、探究新知1.让学生观察这些体是什么围成的吗？它们有什么不同吗？（学生认识面包含平面和曲面）2.举例生活中见过的平面和曲面围成的图形练一练：围成下面这些立体图形的各个面中，哪些面是平的？哪些面是曲的？3.出示图片，学生感受线、点的例子引发思考：线有两种，直的和曲的4.想一想：生活中线的形象例子5.出示地图城市图片让学生感受点，并体会物体的的构成往往包含多种元素，而几何图形是有体、面、线、点的元素构成．实物展示给学生以直观形象，自然得到体、面、线、点的静态关系，有助于学生对概念的理解与运用，让学生通过实物可见和可触摸的方式感受什么是点、线、面、体.6下图是一个长方体的模型，它有几个面？面和面相交的地方形成了几条线？线和线相交成几个点？学生先独立观察、思考，然后再分组讨论、交流得出以下结论：Ⅰ.体是由围成的；面有两种，和。

专题03 平行线四大模型与动态角度问题专题讲练平行线与动态角度问题在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，该份资料就平行线的四大模型（铅笔模型、猪蹄模型、拐弯模型、“5”字模型）和动态角度问题（翻折、旋转、动点）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1：铅笔头模型【解题技巧】如图，①已知：AB∥CD，结论：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°；②已知：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°，结论：AB∥CD.图①、图②图③③已知：AB∥CD，结论：∠1+∠2+…+∠n=180（n－1）.例1、（2021.河北七年级月考）如图，已知：AB∥CD，求证：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°；【解析】方法一（破角）:过点P作PQ∥AB则AB∥CD∥PQ∴∠BAP+∠APQ=180°，∠CPQ+∠PCD=180°∴∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD=360° 即∠PAB+∠APB+∠PCD=360°.方法二（添角）:连接AC，易知，∠1+∠4=180°，∠2+∠3+∠P=180°∴∠1+∠4+∠2+∠3+∠P=360°即∠PAB +∠APB +∠PCD =360°.变式1．（2021·河南·七年级期中）如图，直线12l l P ，130Ð=°，则23Ð+Ð=（ ）A ．150°B ．180°C ．210°D ．240°【答案】C 【分析】根据题意作直线l 平行于直线l 1和l 2，再根据平行线的性质求解即可.【解析】解：作直线l 平行于直线l 1和l 212////l l l Q 1430;35180°°\Ð=Ð=Ð+Ð=245Ð=Ð+ÐQ 2+3=4+5+3=30180210°°°\ÐÐÐÐÐ+= 故选C.【点睛】本题主要考查平行线的性质，关键在于等量替换的应用，两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等.变式2．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学七年级期中）如图，已知直线l 1∥l 2，∠A ＝125°，∠B ＝85°，且∠1比∠2大4°，那么∠1＝______．【答案】17°【分析】延长AB ，交两平行线与C 、D ，根据平行线的性质和领补角的性质计算即可；【详解】延长AB ，交两平行线与C 、D ，∵直线l 1∥l 2，∠A ＝125°，∠B ＝85°，∴4285Ð+Ð=°，13125Ð+Ð=°，34180Ð+Ð=°，∴852*******°-Ð+°-Ð=°，∴1230Ð+Ð=°，又∵∠1比∠2大4°，∴2=14ÐÐ-°，∴2134Ð=°，∴117Ð=°；故答案是17°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质应用，准确计算是解题的关键．例2．（2021·福建泉州七年级期末）问题情境：我市某中学班级数学活动小组遇到问题：如图1，AB ∥CD ，∠PAB =130°，∠PCD =120°，求∠APC 的度数．经过讨论形成的思路是：如图2，过P 作PE ∥AB ，通过平行线性质，可求得∠APC 的度数．（1）按该数学活动小组的思路，请你帮忙求出∠APC 的度数；（2）问题迁移：如图3，AD ∥BC ，点P 在A 、B 两点之间运动时， ADP a Ð=，BCP βÐ=．请你判断CPD Ð、a 、 β之间有何数量关系？并说明理由；（3）拓展应用：如图4，已知两条直线AB ∥CD ，点P 在两平行线之间，且BEP Ð的平分线与 ∠DFP 的平分线相交于点Q ，求2P Q Ð+Ð的度数．【答案】（1）110°；（2）∠CPD ＝α＋β，见解析；（3）360°.【解析】解：（1）过点P 作PE ∥AB ，∵AB ∥CD ， ∴PE ∥AB ∥CD ．∴∠A ＋∠APE ＝180°，∠C ＋∠CPE ＝180°∵∠PAB ＝130°，∠PCD ＝120°，∴∠APE ＝50°，∠CPE ＝60°，∴∠APC ＝∠APE ＋∠CPE ＝110°．（2）∠CPD ＝α＋β，理由如下：过P 作PE ∥AD 交CD 于E ．∵AD ∥BC ，∴AD ∥PE ∥BC ，∴∠DPE ＝α，∠CPE ＝β，∴∠CPD ＝∠DPE ＋∠CPE ＝α＋β．（3）由（1）可得，∠P +∠BEP +∠DFP =360° 又∵QE 平分∠PEB ，QF 平分∠PFQ∴∠BEP =2∠BEQ ，∠DFP =2∠DFQ ∴∠P +2∠Q =∠P +2（∠BEQ +∠DFQ ）=∠P +∠BEP +∠DFP =360°.变式3．（2021·佛山顺德区月考）问题情境1：如图1，AB ∥CD ，P 是ABCD 内部一点，P 在BD 的右侧，探究∠B ，∠P ，∠D 之间的关系？小明的思路是：如图2，过P 作PE ∥AB ，通过平行线性质，可得∠B ，∠P ，∠D 之间满足 关系．（直接写出结论）问题情境2：如图3，AB ∥CD ，P 是AB ，CD 内部一点，P 在BD 的左侧，可得∠B ，∠P ，∠D 之间满足 关系．（直接写出结论）问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：已知AB ∥CD ，∠ABE 与∠CDE 两个角的角平分线相交于点F （1）如图4，若∠E ＝80°，求∠BFD 的度数；（2）如图5中，∠ABM ＝13∠ABF ，∠CDM ＝13∠CDF ，写出∠M 与∠E 之间的数量关系并证明你的结论．（3）若∠ABM ＝1n ∠ABF ，∠CDM ＝1n∠CDF ，设∠E ＝m °，用含有n ，m °的代数式直接写出∠M ＝ ．【答案】问题情境1：∠B +∠BPD +∠D ＝360°，∠P ＝∠B +∠D ；（1）140°；（2）16∠E +∠M ＝60°（3）360m 2nM °°-Ð=.【解析】（1）∵BF 、DF 分别是∠ABE 和∠CDE 的平分线，∴∠EBF ＝12∠ABE ，∠EDF ＝12∠CDE ，由问题情境1得：∠ABE +∠E +∠CDE ＝360°，∵∠E ＝80°，∴∠ABE +∠CDE ＝280°，∴∠EBF +∠EDF ＝140°，∴∠BFD ＝360°﹣80°﹣140°＝140°；（2）16∠E +∠M ＝60°，理由是：设∠ABM ＝x ，∠CDM ＝y ，则∠FBM ＝2x ，∠EBF ＝3x ，∠FDM ＝2y ，∠EDF ＝3y ，由问题情境1得：∠ABE +∠E +∠CDE ＝360°，∴6x +6y +∠E ＝360°，即16∠E ＝60﹣x ﹣y ，∵∠M +∠EBM +∠E +∠EDM ＝360°，∴6x +6y +∠E ＝∠M +5x +5y +∠E ，∴∠M ＝x +y ，∴16∠E +∠M ＝60°；（3）设∠ABM ＝x ，∠CDM ＝y ，则∠FBM ＝（n ﹣1）x ，∠EBF ＝nx ，∠FDM ＝（n ﹣1）y ，∠EDF ＝ny ，由问题情境1得：∠ABE +∠E +∠CDE ＝360°，∴2nx +2ny +∠E ＝360°，∴x +y ＝360m 2n°°-，∵∠M +∠EBM +∠E +∠EDM ＝360°，∴2nx +2ny +∠E ＝∠M +（2n ﹣1）x +（2n ﹣1）y +∠E ，∴∠M ＝360m 2n °°-；故答案为：∠M ＝360m 2n°°-．变式4．（2021·洛阳市期中）已知：如图1，12180°Ð+Ð=，Ð=ÐAEF HLN ．（1）判断图中平行的直线，并给予证明；（2）如图2，2Ð=ÐPMQ QMB ，2Ð=ÐPNQ QND ，请判断P Ð与Q Ð的数量关系，并证明．【答案】（1）AB ∥CD ，EF ∥HL ，见解析；（2）∠P =3∠Q ，见解析．【解析】解：（1）AB∥CD，EF∥HL，∵∠1=∠AMN，∴∠1+∠2=180°，∴∠AMN+∠2=180°，∴AB∥CD；延长EF交CD于F1，∵AB∥CD，∴∠AEF=∠EF1L，∵∠AEF=∠HLN，∴∠EF1L=∠HLN，∴EF∥HL；（2）∠P=3∠Q，由（1）得AB∥CD，作QR∥AB，PL∥AB，∴∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，∴∠RQN=∠QND，∴∠MQN=∠QMB+∠QND，∵AB∥CD，PL∥AB，∴AB∥CD∥PL，∴∠MPL=∠PMB，∠NPL=∠PND，∴∠MPN=∠PMB+∠PND，∵∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，∴∠PMB=3∠QMB，∠PND=3∠QND，∴∠MPN=3∠MQN，即∠P=3∠Q.例3．（2021·西安七年级月考）下列各图中的MA1与NA n平行．（1）图①中的∠A1+∠A2= 度，图②中的∠A1+∠A2+∠A3= 度，图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4= 度，图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5= 度，…，第⑩个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A10= 度（2）第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n= ．【答案】（1）180；360；540；720；1620；（2）180°（n﹣1）．【解析】解：（1）∵MA1∥NA2，∴∠A1+∠A2=180°，如图，分别过A2、A3、A4作MA1的平行线，图②中的∠A1+∠A2+∠A3=360°，图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540°，图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=720°，…，第⑩个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A10=1620°；（2）第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n=180°（n﹣1）．故答案为180，360，540，720，1620；180°（n﹣1）．变式5．（2021·全国初二课时练习）如图①：MA1∥NA2，图②：MA11NA3，图③：MA1∥NA4，图④：MA1∥NA5，……，则第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n+1______.（用含n的代数式表示）n【答案】n180°分析：分别求出图①、图②、图③中，这些角的和，探究规律后，理由规律解决问题即可．【解析】如图①中,∠A1+∠A2=180∘=1×180∘，如图②中,∠A1+∠A2+∠A3=360∘=2×180∘，如图③中,∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540∘=3×180∘，…，n，故答案为180n°.第n个图,∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n+1学会从=n180°点睛：平行线的性质.模型2：猪蹄模型（M型）【解题技巧】如图，①已知：AB∥CD，结论：∠APC=∠A+∠C；②已知：∠APC=∠A+∠C，结论：AB∥CD.图①、图②图③③已知：AB ∥CD ，结论：∠A +∠P 2+∠C =∠P 1+∠P 3. 例1、（2022.广东省初一月考）如图所示，已知：AB ∥CD ，求证：∠APC =∠A +∠C ；【解析】方法一（破角）:过点P 作PQ ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥CD ∥PQ ∴∠1=∠2，∠3=∠4∴∠APC =∠2+∠3=∠1+∠4.方法二（添角）: 连接AC ，∵AB ∥CD ∴∠1+∠3+∠2+∠4=180°，又∠2+∠3+∠APC =180° ∴∠APC =∠1+∠4.变式1.（2021·山东青岛期末）如图，//AB CD ，点E 在AC 上，110A Ð=°，15D Ð=°，则下列结论正确的个数是（ ）（1）AE EC =；（2）85AED Ð=°；（3）A CED D Ð=Ð+Ð；（4）45BED Ð=°A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B .【解析】解：过点E 作EF ∥AB ，（1）无法判断；（2）∵AB //CD ，AB //EF ，∴EF //CD ，∴∠AEF =70°，∠DEF =15°，∴∠AED =85°，正确；（3）由（2）得：∠A =∠CEF =∠CED +∠DEF ，∠DEF =∠D ∴∠A =∠CED +∠D ，正确；（4）无法判断；故答案为：B ．变式2.（2021.湖北七年级期中）如图，//AB EF ，90C Ð=°，则a Ð，βÐ，g Ð之间的关系是（ ）A ．βa gÐ=Ð+ÐB ．180a βg Ð+Ð+Ð=°C ．90a βg Ð+Ð-Ð=°D ．90βg a Ð+Ð-Ð=°【答案】C .【解析】解：分别过C 、D 作AB 的平行线CM 和DN ，则AB ∥CM ∥DN ∥EF ∴∠α=∠BCM ，∠DCM =∠CDN ，∠NDE =∠γ而∠β=∠CDN +∠NDE =∠DCM +∠γ=90°－∠BCM +∠γ=90°－∠α+∠γ.即∠α+∠β－∠γ=90°，故答案为：C ．例2．（2021·浙江杭州七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．（1）如图（2）所示，已知//AB CD ，请问B Ð，D Ð，E Ð有何关系并说明理由；（2）如图（3）所示，已知//AB CD ，请问B Ð，E Ð，D Ð又有何关系并说明理由；（3）如图（4）所示，已知//AB CD ，请问E G +∠∠与B F D ++∠∠∠有何关系并说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）∠E =∠B +∠D ，理由如下：过点E 作直线a ∥AB ，则a ∥AB ∥CD ，则∠B =∠1，∠D =∠2，∴∠BED =∠1+∠2=∠B +∠D .（2）∠E +∠B +∠D =360°，理由如下：过点E 作直线b ∥AB ，则b ∥AB ∥CD ∴∠B +∠3=180°，∠4+∠D =180°∴∠B +∠3+∠4+∠D =360°即∠E +∠B +∠D =360°.（3）∠B +∠F +∠D =∠E +∠G ，理由如下：过点E ，F ，G 作直线c ∥AB ，d ∥AB ，e ∥AB ，则c ∥AB ∥d ∥e ∥CD ，则∠B =∠5，∠6=∠7，∠8=∠9，∠10=∠D∴∠B +∠EFG +∠D =∠5+∠7+∠8+∠10=∠5+∠6+∠9+∠10=∠BEF +∠FGD .变式3.（2021·山西八年级期末）综合与探究问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．（1）如图1，//EF MN ，点,A B 分别为直线,EF MN 上的一点，点P 为平行线间一点且130,120PAF PBN Ð=°Ð=°，求APB Ð度数；问题迁移：（2）如图2，射线OM 与射线ON 交于点O ，直线//m n ，直线m 分别交,OM ON于点,A D ，直线n 分别交,OM ON 于点,B C ，点P 在射线OM 上运动．①当点P 在,A B （不与,A B 重合）两点之间运动时，设,ADP BCP a βÐ=ÐÐ=Ð．则,,CPD a βÐÐÐ之间有何数量关系？②若点P 不在线段AB 上运动时（点P 与点,,A B O 三点都不重合），请你直接写出,,CPD a βÐÐÐ间的数量关系．【答案】（1）110°；（2）①∠CPD =α+β；②当P 在BA 延长线时，∠CPD =β－α；；当P 在OB 之间时，∠CPD =α－β.【解析】解：（1）过P 作PG ∥EF ，则PG ∥EF ∥MN ，∴∠PAF +∠GPA =180°，∠PBN +∠GPB =180°∴∠GPA =180°－130°=50°，∠GPB =180°－∠PBN =60°∴∠APB =∠GPA+∠GPB =50°+60°=110°.（2）①∠CPD =∠α+∠β. ②当P 在BA 延长线时，∠CPD =β－α.过P 作PE ∥AD 交AD 于E ，∵AD ∥BC ，∴∠DPE =α，∠CPE =β ∴∠CPD =β－α.当P 在OB 之间时，∠CPD =α－β 过P 作PE ∥AD 交CD 于E ，同理，得：∠CPD =α－β.变式4.（2021·河南七年级期末）把一块含60°角的直角三角尺()0090,60EFG EFG EGF Ð=Ð=放在两条平行线,AB CD 之间．（1）如图1，若三角形的60°角的顶点G 放在CD 上，且221Ð=Ð，求1Ð的度数；（2）如图2，若把三角尺的两个锐角的顶点,E G 分别放在AB 和CD 上，请你探索并说明AEF Ð与FGC Ð间的数量关系；（3）如图3，若把三角尺的直角顶点F 放在CD 上，30°角的顶点E 落在AB 上，请直接写出AEG Ð与CFG Ð的数量关系．【答案】（1）40°；（2）∠AEF +∠FGC =90°；（3）∠AEG +∠CFG =300°.【解析】解：(1)∵AB ∥CD ，∴∠1=∠EGD ，∵∠2+∠FGE +∠EGD =180°，∠2=2∠1，∴2∠1+60°+∠1=180°，∴∠1=40°；(2)过点F 作FP ∥AB ，∵CD ∥AB ，∴FP ∥AB ∥CD ，∴∠AEF =∠EFP ，∠FGC =∠GFP .∴∠AEF +∠FGC =∠EFP +∠GFP =∠EFG ，∵∠EFG =90°，∴∠AEF +∠FGC =90°；(3) ∠AEG +∠CFG =300°，理由如下：∵AB ∥CD ，∴∠AEF +∠CFE =180°，即∠AEG −30°+∠CFG −90°=180°，整理得：∠AEG +∠CFG =300°．模型3：拐弯模型【解题技巧】类型1（鸟嘴形）：如图，已知AB ∥CD ，结论：∠1=∠2+∠3.类型2（骨折形）：如图，AB ∥CD ，结论：∠2=∠1+∠3.例1．（2021.广东省七年级期中）如图，已知AB ∥CD ，求证：∠1=∠2+∠3.【解析】证法1（添角）：过点P 作PQ ∥AB ，则AB ∥CD ∥PQ∴∠2+∠3+∠4=180°，∠1+∠4=180°∴∠1=∠2+∠3.证法2：延长AB交PD于Q，则∠2=∠4，∠1+∠5=180°，∠5+∠3+∠4=180°∴∠1=∠3+∠4=∠2+∠3.例2. （2021·忠县七年级月考）如图，已知直线l1//l2，l3、和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明；（4）若点P在线段DC延长线上运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．【答案】（1）见详解；（2）∠3＝∠2﹣∠1；（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2；（4）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．【解析】（1）证明：过P作PQ∥l1，则PQ∥l1∥l2，∴∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF∵∠EPF＝∠QPE+∠QPF，∴∠EPF＝∠1+∠2．（2）∠3＝∠2﹣∠1；过P 作PQ ∥l 1，则PQ ∥l 1∥l 2，则：∠1＝∠QPE 、∠2＝∠QPF ∵∠EPF ＝∠QPF ﹣∠QPE ，∴∠EPF ＝∠2﹣∠1．（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．过P 作PQ ∥l 1，则PQ ∥l 1∥l 2，∴∠EPQ +∠1＝180°，∠FPQ +∠2＝180°，∵∠EPF ＝∠EPQ +∠FPQ ；∴∠EPQ +∠FPQ +∠1+∠2＝360°，即∠EPF ＝360°﹣∠1﹣∠2；（4）点P 在线段DC 延长线上运动时，∠3＝∠1﹣∠2．过P 作PQ ∥l 1，则PQ ∥l 1∥l 2，∴∠1＝∠QPE 、∠2＝∠QPF ；∵∠QPE ﹣∠QPF=∠EPF ；∴∠3＝∠1﹣∠2．变式3．（2021·余干县期末）如图1，AD //BC ，BAD Ð的平分线交BC 于点G ，90BCD Ð=°．（1）求证：BAG BGA Ð=Ð；（2）如图2，若50ABC Ð=°，BCD Ð的平分线交AD 于点E ，交射线GA 于点F ，AFC Ð的度数．【答案】（1）见解析；（2）20°.【解析】解：（1）∵DA ∥BC ∴∠DAG =∠AGB∵AC 平分∠BAD ∴∠BAG =∠DAG ∴∠BAG =∠AGB .（2）∵∠ABC =50°∴∠BGA =∠BAG =65°，∴∠AGC =115°∵CE 平分∠DCB ∴∠ECB =45°，∴∠AFC =180°－∠AGC －∠ECB =20°.变式4．（2021·福建三明七年级期中）问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB ，CD 和一块含60°角的直角三角尺()90,60EFG EFG EGF Ð=Ð=o o ”为主题开展数学活动．操作发现：（1）如图1，小明把三角尺的60o 角的顶点G 放在CD 上，若221Ð=Ð，求1Ð的度数；（2）如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E 、G 分别放在AB 和CD 上，请你探索并说明AEF Ð与FGC Ð之间的数量关系；结论应用：（3）如图3，小亮把三角尺的直角顶点F 放在CD 上，30o 角的顶点E 落在AB 上．若AEG a Ð=，求CFG Ð的度数(用含a 的式子表示)．图1 图2 图3【答案】（1）40°；（2）∠AEF +∠FGC =90°；（3）∠CFG =60°－α.【解析】解：（1）∵AB ∥CD ，∴∠1=∠EGD ．又∵∠2=2∠1，∴∠2=2∠EGD ．又∵∠FGE =60°，∴∠EGD =13（180°﹣60°）=40°，∴∠1=40°；（2）∵AB ∥CD ，∴∠AEG +∠CGE =180°，即∠AEF +∠FEG +∠EGF +∠FGC =180°．又∵∠FEG +∠EGF =90°，∴∠AEF +∠FGC =90°；（3）∵AB ∥CD ，∴∠AEF +∠CFE =180°，即∠AEG +∠FEG +∠EFG +∠GFC =180°．又∵∠GFE =90°，∠GEF =30°，∠AEG =α，∴∠GFC =180°﹣90°﹣30°﹣α=60°﹣α．模型4：“5”字模型基本模型：如图，AB ∥CD ，结论：∠1+∠3－∠2=180°.例1.（2021.浙江七年级期中）如图，AB ∥CD ，求证：∠1+∠3－∠2=180°.【解析】过P作PQ∥AB，则AB∥CD∥PQ∴∠1+∠4=180°，∠4+∠5=∠3，∠5=∠2 ∴∠1+∠3－∠2=180°.变式1．（2021.北京七年级期中）如图，已知AB∥CD, EF∥CD，则下列结论中一定正确的是( )A．∠BCD= ∠DCE;B．∠ABC+∠BCE+∠CEF=360°;C．∠BCE+∠DCE=∠ABC+∠BCD;D．∠ABC+∠BCE -∠CEF=180°.【分析】根据平行线的性质，找出图形中的同旁内角、内错角即可判断.【解析】延长DC到H。

初中数学中考部编版必备核心知识点1. 数的性质与运算
- 自然数、整数、有理数和实数的概念及其性质
- 四则运算的基本规则和性质
- 有理数的加减乘除运算法则
- 分数的加减乘除运算法则
- 百分数的基本概念和运算
2. 代数基础
- 代数式的概念及其基本性质
- 一元一次方程的概念和解法
- 一元一次方程组的概念和解法
- 平方根的概念和计算
- 整式的基本运算法则
3. 几何基础
- 平面图形的基本概念和性质
- 点、线、面的基本概念
- 角的概念、性质和计算
- 直线和平面的相交关系
- 三角形的基本性质和分类
4. 数据的收集、整理与描述
- 调查数据的收集和整理方法
- 数据的图表表示和分析
- 平均数、中位数和众数的概念和计算- 简单概率的实际问题解决
5. 数的应用
- 百分数在实际问题中的应用
- 比例的基本概念和计算
- 比例与百分数的应用
- 商业运算问题的解决
6. 统计与概率
- 统计调查的方法和过程
- 频数统计和频率分布表
- 统计图表的制作和分析
- 概率的概念和计算
- 事件与概率的关系
以上是初中数学中考部编版必备的核心知识点。

通过学习和掌握这些知识点，学生们能够更好地应对数学中考，并取得好成绩。

《旋转的应用》课堂笔记
一、旋转对称图形的概念
1.旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重
合，这种图形叫做旋转对称图形。

2.旋转对称图形的性质：旋转对称图形具有旋转不变性和对称性，即旋转前
后图形的形状和大小保持不变，只改变位置和方向。

二、如何判断一个图形是否为旋转对称图形
1.观察图形的形状和大小是否在旋转前后保持不变。

2.观察旋转前后图形的位置和方向是否发生变化。

3.判断旋转中心是否存在，以及旋转角度是否为360°的整数倍。

三、旋转对称图形的应用
1.在几何中，可以利用旋转对称图形的性质证明一些几何定理和性质。

2.在生活中，很多机械零件和建筑物都是利用旋转对称设计的，如螺旋桨、
圆形屋顶等。

3.在艺术中，旋转对称可以创造出很多美丽的图案和造型，如旋转对称的花
朵、旋转对称的舞蹈动作等。

四、注意事项
1.要注意区分旋转对称图形与其他图形变换的不同之处，如平移、翻折等。

2.在进行旋转对称图形的判断时，要注意观察图形是否具有旋转不变性和对
称性，并确定旋转中心和旋转角度。

3.在实际应用中，要注意选择合适的旋转中心和旋转角度，以达到预期的效
果。

部编版初中数学课文全目录最新版第一章有理数- 1.1 有理数概念- 1.2 有理数的比较与排序- 1.3 有理数的加法与减法- 1.4 有理数的乘法与除法- 1.5 平方根与立方根第二章一元一次方程与一元一次不等式- 2.1 一元一次方程- 2.2 一元一次方程的应用- 2.3 一元一次不等式- 2.4 一元一次不等式的应用第三章平面图形的认识- 3.1 点、直线、线段和射线- 3.2 角的概念和性质- 3.3 三角形的基本概念- 3.4 三角形的性质和分类- 3.5 三角形的周长和面积第四章数据的整理与统计- 4.1 统计调查与数据收集- 4.2 表格与图形的制作- 4.3 数据的分析与解读- 4.4 概率与统计第五章几何图形的认识- 5.1 直线和平面- 5.2 多边形的认识与性质- 5.3 圆的认识与性质- 5.4 空间几何图形的认识第六章三角形的运算与证明- 6.1 三角形的运算- 6.2 三角形的相似- 6.3 三角形的证明第七章二次根式与函数- 7.1 二次根式的概念与性质- 7.2 二次根式的运算- 7.3 二次根式的应用- 7.4 函数的概念与性质- 7.5 初步认识函数图像第八章空间图形的认识- 8.1 球体的认识与性质- 8.2 圆柱与圆锥- 8.3 空间几何形体的综合问题第九章线性方程组的解- 9.1 线性方程组的概念与性质- 9.2 一元一次方程组的解法- 9.3 一元一次方程组的应用- 9.4 多元线性方程组的解法第十章实数与二次函数- 10.1 有理数的扩展与实数- 10.2 实数的性质与运算- 10.3 平方根与立方根的运算- 10.4 二次函数的性质与图像第十一章立体图形的认识- 11.1 平行和平面切割- 11.2 空间几何图形的投影- 11.3 空间立体图形的表面积和体积第十二章统计与概率- 12.1 抽样调查与统计图表- 12.2 概率的基本概念与计算- 12.3 概率与统计的应用附录- 附录一数学公式- 附录二数学名词解释- 附录三数学常用符号以上为部编版初中数学课文全目录最新版，希望能帮到你！。

旋转性质的综合应用课教材背景分析和教学安排说明：本节课是人教版数学九年级上册第二十三章《旋转》第7课时，是一节综合应用课；在此之前学生已经学完了旋转的单元知识，本节课主要目的是培养学生综合运用能力，锻炼学生的分析问题，解决问题的能力。

本节课的教学我以实例为切入点，以探究活动为主线设计了5个环节，让学生通过具体实例进一步学习旋转,动手进行数学实验探索，经历旋转现象的观察分析,证明过程，引导学生用旋转的思想解决有关问题。

近几年，有关旋转知识，在广州中考中所占分值统计表246810121416分值旋转已成为广州中考的重点与热点内容之一,当图形的形状不规则，难以直接应用数学知识求解或是条件比较分散，难以发现其内在联系时，可通过旋转使不规则图形转化为规则图形，使分散的条件发生“转移”，变得相对集中，从而使待求问题明朗化，这种解决问题的思想就是旋转变换思想.教学任务分析 教 学 目 标 知识与技能 建立旋转及相关性质的知识框架，掌握旋转的性质并能运用有关知识进行推理和计算。

过程与方法 在探究的过程中经历操作——猜想——验证的过程，发展学生分析、归纳、抽象概括的思维能力，积累数学经验。

情感态度 价值观学生经历图形旋转的操作，进一步发展空间观念，培养运动几何的观点。

让学生通过独立思考，自主探究，合作交流进一步体会旋转的数学内涵，获得知识，体验成功。

增强学习的积极性。

教学重点 旋转的基本性质的运用，解决旋转问题的一般方法。

教学方法采用以学生的合作探究为主，教师的适时引导为辅的教学方式。

活动流程图 时间安排 环节l 知识再现 4分钟 环节2 例题讲解 8分钟 环节3 探索一 15分钟 环节4 当堂训练10分钟环节5小结，布置作业 3分钟环节6 教学反思课后教师完成教学过程设计问题与情境师生行为设计意图「环节1」：知识再现（1）如图正方形ABCD，点E是CD上的任意一点，将ΔADE绕着点A顺时针旋转900后到达ΔABF的位置，连接EF，则①旋转中心是②指出旋转角③BF和DE有何关系是（2）．ΔABC是等边三角形，将ΔADB绕点A逆时针旋转到ΔAEC，连结DE，则ΔADE的形状是（3）如图。

初中数学知识点总结仁爱版初中数学知识点总结（仁爱版）一、数与代数1. 有理数- 整数与分数的概念- 有理数的加、减、乘、除运算- 有理数的比较大小- 绝对值的概念及性质2. 整数的性质- 奇数与偶数- 质数与合数- 互质数- 约数与倍数- 能被2、3、5整除的规则3. 代数表达式- 单项式与多项式- 同类项与合并同类项- 代数式的加减运算- 代数式的乘法运算- 代数式的除法运算4. 一元一次方程- 方程的概念及解法- 等式的性质- 一元一次方程的应用题5. 二元一次方程组- 二元一次方程组的概念- 代入法与消元法解方程组- 三元一次方程组的解法6. 不等式与不等式组- 不等式的概念- 不等式的解集表示- 一元一次不等式的解法- 一元一次不等式组的解法7. 函数- 函数的概念- 函数的表示方法：表格法、图形法、解析法- 线性函数与二次函数的图像及性质- 函数的应用题二、几何1. 图形初步- 点、线、面、体的概念- 直线、射线、线段的性质- 角的概念及分类：邻角、对顶角、同位角等2. 平面图形- 平行线的性质- 三角形的分类：等边、等腰、直角、钝角、锐角三角形- 三角形的性质：三角形内角和定理、三角形的中线、高线、角平分线- 四边形的分类与性质：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形 - 圆的基本性质：圆心、半径、直径、弦、弧、切线3. 空间图形- 空间图形的观察与画法- 立体图形的表面积与体积计算：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球4. 相似与全等- 全等三角形的判定条件：SSS、SAS、ASA、AAS、HL- 相似三角形的判定条件：SAS、SSS、ASA- 相似三角形的性质：对应角相等、对应边成比例- 相似多边形5. 几何变换- 平移：平移的定义及性质- 旋转：旋转的定义及性质- 轴对称（反射）：轴对称图形的定义及性质三、统计与概率1. 统计- 数据的收集与整理- 频数与频率- 统计图表的绘制与解读：条形图、折线图、饼图- 平均数、中位数、众数的计算与意义2. 概率- 随机事件的概念- 可能性的分类：确定事件、随机事件、不可能事件- 概率的计算：等可能事件的概率、古典概型、几何概型以上是初中数学（仁爱版）的主要知识点总结。