人教版八年级数学18.2.2 第2课时 菱形的判定 (2)

人教版数学八年级下册18.2.2第2课时《菱形的判定》说课稿一. 教材分析《菱形的判定》是人教版数学八年级下册18.2.2第2课时的一节内容。

本节课的主要内容是让学生掌握菱形的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。

教材通过引入平行四边形和矩形的性质，引导学生探究菱形的性质，从而得出菱形的判定方法。

教材还通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了平行四边形和矩形的性质，对这两种图形的性质有一定的了解。

但是，学生对菱形的性质和判定方法可能比较陌生，需要通过课堂学习和练习来掌握。

此外，学生可能对数学证明的方法和技巧还不够熟练，需要在课堂上进行引导和培养。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够掌握菱形的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。

2.过程与方法目标：学生通过观察、操作、探究等活动，培养自己的观察能力、动手能力和思维能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂学习，增强对数学的兴趣和自信心。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够掌握菱形的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。

2.教学难点：学生对菱形判定方法的灵活运用，以及对数学证明的方法和技巧的掌握。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：本节课采用问题驱动法、合作交流法和引导发现法进行教学。

2.教学手段：利用多媒体课件进行辅助教学，通过展示图片、动画等形式，帮助学生直观地理解菱形的性质和判定方法。

六. 说教学过程1.导入：通过展示一些生活中的菱形图形，如钻石、骰子等，引导学生对菱形产生兴趣，激发学生的学习动机。

2.探究菱形的性质：学生通过观察、操作等活动，发现菱形的性质，教师引导学生总结出菱形的判定方法。

3.讲解与练习：教师通过讲解例题，引导学生运用菱形的判定方法解决问题，然后布置一些练习题，帮助学生巩固所学知识。

4.课堂小结：教师引导学生总结本节课的主要内容和知识点，帮助学生形成知识体系。

人教版数学八年级下册18.2.2第2课时《菱形的判定》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册18.2.2第2课时《菱形的判定》是菱形这一章节的继续深入学习。

本节课主要让学生掌握菱形的判定方法，理解菱形性质，并能运用菱形性质解决一些几何问题。

教材通过引入生活中的实例，激发学生学习兴趣，让学生在探究活动中，体验数学知识的形成过程，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了平行四边形的性质，对平行四边形的判定有一定的了解。

同时，学生已经掌握了三角形全等的判定方法，这为本节课的学习提供了基础知识。

但是，学生对菱形的判定和性质的理解还需要通过本节课的学习来进一步深化。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握菱形的判定方法，理解菱形的性质，并能运用菱形性质解决一些几何问题。

2.过程与方法：通过探究活动，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生体验数学知识的形成过程。

四. 教学重难点1.重点：菱形的判定方法，菱形的性质。

2.难点：菱形性质在几何问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入生活中的实例，激发学生学习兴趣，让学生在实际情境中感受数学知识的重要性。

2.探究教学法：学生进行小组探究活动，引导学生自主发现菱形的性质，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

3.案例教学法：通过分析具体案例，让学生学会运用菱形性质解决几何问题。

六. 教学准备1.教学PPT：制作包含菱形判定和性质的PPT，以便进行课堂教学。

2.教学案例：准备一些关于菱形的几何问题，用于课堂练习和巩固。

3.教学素材：准备一些与菱形相关的图片和生活实例，用于引导学生学习。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的菱形图案，如蜂巢、骰子等，引导学生关注菱形的存在。

提问：你们知道这些图案为什么是菱形的吗？从而激发学生的学习兴趣。

第 2 课时菱形的判断1．掌握菱形的判断方法；(要点 )2．研究菱形的判断条件并合理利用它进行论证和计算． (难点 )一、情境导入我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这是菱形的定义，我们能够依据定义来判断一个四边形是菱形．除此以外，还可以找到其余的判断方法吗？菱形是一其中心对称图形，也是一个轴对称图形，拥有以下的性质：1．两条对角线相互垂直均分；2．四条边都相等；3．每条对角线均分一组对角．这些性质，对我们找寻判断菱形的方法有什么启迪呢？二、合作研究研究点一：菱形的判断【种类一】利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判断四边形是菱形如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB 、AC 的中点， BE ＝2DE ，延伸 DE 到点F，使得 EF＝ BE ，连结 CF .求证：四边形BCFE 是菱形．分析：由题意易得，EF 与BC 平行且相等，∴ 四边形 BCFE 是平行四边形．又∵ EF ＝ BE，∴四边形 BCFE 是菱形．证明：∵ BE ＝2DE ， EF＝ BE，∴ EF＝2DE.∵ D、E 分别是 AB、AC 的中点，∴ BC＝2DE 且 DE∥BC ，∴EF ＝ BC. 又∵ EF ∥ BC ，∴四边形 BCFE 是平行四边形．又∵ EF＝ BE，∴四边形 BCFE 是菱形．方法总结：菱形一定知足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．【种类二】利用“对角线相互垂直的平行四边形是菱形”判断四边形是菱形如图，AE∥BF ，AC 均分∠BAD ，且交 BF 于点 C，BD 均分∠ ABC ，且交 AE 于点 D ，连结 CD .求证：(1)AC⊥ BD ；(2)四边形 ABCD 是菱形．分析： (1)证得△ BAC 是等腰三角形后利用“三线合一”的性质获得 AC ⊥BD 即可；(2)第一证得四边形ABCD 是平行四边形，而后依据“对角线相互垂直”获得平行四边形是菱形．证明： (1)∵AE∥BF ，∴∠ BCA ＝∠CAD.∵AC 平分∠BAD ，∴∠ BAC ＝∠CAD ，∴∠ BCA＝∠ BAC ，∴△ BAC 是等腰三角形．∵ BD 均分∠ ABC，∴ AC⊥ BD ；(2) ∵△ BAC 是等腰三角形，∴ AB＝CB.∵BD平分∠ ABC，∴∠ CBD＝∠ABD.∵ AE∥ BF ，∴∠ CBD ＝∠ BDA ，∴∠ ABD ＝∠ BDA ，∴ AB ＝ AD ，∴ DA ＝CB.∵ BC∥ DA，∴四边形 ABCD 是平行四边形．∵ AC⊥BD ，∴四边形 ABCD 是菱形．方法总结：用判断方法“对角线相互垂直的平行四边形是菱形”证明四边形是菱形的前提条件是该四边形是平行四边形；对角线相互垂直的四边形不必定是菱形．【种类三】利用“四条边相等的四边形是菱形”判断四边形是菱形【种类一】菱形判断中的开放性问题如图，已知△ ABC，按以下步骤作图：①分别以 A，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧交于 P， Q 两点；②作直线 PQ，分别交 AB，AC 于点 E， D ，连结 CE；③过 C 作 CF∥AB 交 PQ 于点 F，连结AF .(1)求证：△AED ≌△ CFD ；(2)求证：四边形AECF 是菱形．分析： (1) 由作图知 PQ 为线段 AC 的垂直均分线，从而获得 AE＝ CE， AD ＝ CD.而后依据 CF∥AB 获得∠EAC ＝∠FCA ，∠ CFD＝∠AED ，利用“AAS ”证得两三角形全等即可； (2) 依据 (1)中全等获得 AE＝ CF . 而后依据 EF 为线段 AC 的垂直均分线，得到 EC＝ EA，FC ＝ FA.从而获得 EC＝ EA＝ FC＝FA，利用“四边相等的四边形是菱形”判断四边形 AECF 为菱形．证明： (1) 由作图知 PQ 为线段 AC 的垂直均分线，∴AE＝CE ，AD＝ CD .∵ CF ∥ AB，∴∠ EAC ＝∠ FCA ，∠CFD ＝∠AED. 在∠ EAC＝∠ FCA ，△AED 与△CFD 中，∠AED＝∠CFD，AD ＝ CD ，∴△ AED ≌△ CFD (AAS) ；(2)∵△ AED≌△ CFD ，∴AE＝ CF.∵ EF 为线段 AC 的垂直均分线，∴ EC＝ EA， FC＝FA，∴ EC＝EA＝ FC＝ FA，∴四边形 AECF 为菱形．方法总结：判断一个四边形是菱形掌握以下两起点：(1)以四边形为起点进行判断；(2)以平行四边形为起点进行判断．研究点二：菱形的判断的应用如图，平行四边形 ABCD 中，AF、CE 分别是∠ BAD 和∠ BCD 的均分线，依据现有的图形，请增添一个条件，使四边形AECF 为菱形，则增添的一个条件能够是__________( 只要写出一个即可，图中不可以再增添其余“点”和“线”)．解析：∵AD∥BC，∴∠ FAD＝∠AFB .∵AF 是∠ BAD 的均分线，∴∠ BAF ＝∠ FAD ，∴∠ BAF ＝∠AFB ，∴AB＝ BF.同理 ED＝ CD.∵ AD＝BC， AB＝CD ，∴ AE ＝CF .又∵AE ∥CF ，∴ 四边形 AECF 是平行四边形．∵对角线相互垂直的平行四边形是菱形，则增添的一个条件能够是AC⊥ EF .方法总结：菱形的判断方法常用的是三种： (1) 定义； (2) 四边相等的四边形是菱形；(3)对角线相互垂直的平行四边形是菱形．【种类二】菱形的性质和判断的综合应用如图，在四边形 ABCD 中， AB＝AD ， CB＝ CD ，E 是 CD 上一点， BE 交 AC 于 F，连结 DF .(1)求证：∠ BAC ＝∠ DAC ，∠ AFD ＝∠CFE；(2)若 AB∥ CD，试证明四边形 ABCD 是菱形；(3)在 (2)的条件下，试确立 E 点的地点，使得∠ EFD ＝∠ BCD ，并说明原因．分析：(1)第一利用“SSS”证明△ABC≌△ ADC ，可得∠ BAC＝∠ DAC .再证明△ABF ≌△ ADF ，可得∠AFD ＝∠AFB ，从而获得∠AFD＝∠CFE；(2)第一证明∠CAD ＝∠ACD，再依据“等角平等边”，可得 AD＝ CD .再由条件 AB＝ AD，CB ＝CD ，可得 AB＝ CB＝ CD＝ AD，可得四边形 ABCD是菱形； (3) 第一证明△BCF ≌△ DCF ，可得∠CBF＝∠CDF ，再依据 BE⊥CD 可得∠BEC ＝∠ DEF ＝ 90°，从而获得∠ EFD ＝∠BCD .(1)证明：在△ABC 和△ADC 中，AB＝ AD ，BC＝ DC，AC＝ AC，∴△ ABC≌△ ADC (SSS) ，∴∠ BAC ＝∠DAC . 在△ABF 和△ADF 中，AB＝ AD ，∠BAF ＝∠ DAF ，AF＝ AF ，∴△ ABF ≌△ ADF (SAS)，∴∠ AFD＝∠AFB .∵∠ AFB ＝∠ CFE ，∴∠ AFD ＝∠CFE ；(2)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD. 又∵∠ BAC＝∠ DAC，∴∠ CAD＝∠ ACD，∴AD ＝ CD .∵ AB＝ AD， CB＝ CD ，∴ AB＝CB ＝CD＝ AD，∴四边形ABCD 是菱形；(3)解：当 EB⊥CD 于 E 时，∠ EFD ＝∠BCD .原因以下：∵四边形ABCD 为菱形，∴BC＝ CD ，∠ BCF ＝∠ DCF.在△BCF 和BC＝ CD，△DCF中，∠ BCF＝∠ DCF ，CF＝ CF，∴△ BCF ≌△ DCF (SAS) ，∴∠ CBF ＝∠CDF .∵BE ⊥CD ，∴∠ BEC ＝∠DEF ＝90°，则∠ BCD ＋∠ CBF ＝∠ EFD ＋∠ CDF ＝90°，∴∠ EFD ＝∠ BCD.方法总结：本题主要考察了全等三角形的判断与性质，以及菱形的判断与性质，全等三角形的判断是联合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．三、板书设计1．菱形的判断有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线相互垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形．2．菱形的性质和判断的综合运用在运用判准时，要按照先易后难的原则，让学生先会运用判断解决简单的证明题，再由浅入深，学会灵巧运用．经过做不一样形式的练习题，让学生能正确掌握菱形的判断并会灵巧运用．。

部审人教版八年级数学下册教学设计18.2.2 第2课时《菱形的判定》一. 教材分析《菱形的判定》是人教版八年级数学下册第18.2.2节的内容，本节课的主要内容是让学生掌握菱形的判定方法，并能够运用菱形的判定方法解决一些几何问题。

本节课的内容在教材中起到承前启后的作用，为后续学习矩形、正方形等特殊四边形打下了基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了平行四边形的性质、四边形的分类等基础知识，对四边形的性质和分类有一定的了解。

但是，学生对菱形的判定方法还没有接触过，需要通过本节课的学习来掌握。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握菱形的判定方法，能够运用菱形的判定方法解决一些几何问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的空间想象能力和几何思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

四. 教学重难点1.教学重点：掌握菱形的判定方法。

2.教学难点：如何引导学生理解并掌握菱形的判定方法，并能够运用到实际问题中。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置问题情境，引导学生观察、操作、猜想、验证，激发学生的学习兴趣。

2.合作学习法：学生进行小组合作，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

3.引导发现法：教师引导学生发现问题、解决问题，培养学生的几何思维能力。

六. 教学准备1.教师准备：教师需要准备课件、教学素材、练习题等教学资源。

2.学生准备：学生需要准备好笔记本、笔等学习用品。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过设置问题情境，引导学生回忆平行四边形的性质和四边形的分类，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过课件呈现菱形的判定方法，引导学生观察、操作、猜想、验证，使学生掌握菱形的判定方法。

3.操练（10分钟）教师学生进行小组合作，让学生运用菱形的判定方法解决一些实际问题，巩固所学知识。

4.巩固（10分钟）教师设计一些练习题，让学生独立完成，检验学生对菱形判定方法的掌握程度。

人教版义务教育教科书《数学》八年级下册18.2.2 第二课时菱形的判定一、教学内容分析1.内容本节课选自人教版八年级下册18.2.2 第2课时，主要内容是菱形的判定．2.内容解析本节内容是在学生学习了平行四边形和矩形的判定基础上来学习菱形的判定．菱形也是继学习了矩形后的另一种特殊的平行四边形．菱形的判定需要让学生经历判定定理的生和理解过程，培养学生的几何直观．判定定理的学习需要学生经历观察、猜想、验证、应用等学习过程，渗透类比的思想，强调从数学本身提出问题，通过图形性质定理的逆命题，先提出判定图形是否成立的命题，然后运用演绎推理证明这些命题的真伪，得出图形的判定定理，进一步明确图形的性质定理与判定定理之间的关系，从而积累数学活动经验，培养学生解决问题的能力．因此，本节课的学习无论是知识的传承，还是能力的发展，思维的训练，都属于“图形与几何” 领域中“性质与判定”部分重要的内容，有着承上启下的作用．基于以上的分析，本节课的教学重点是菱形判定的探究与应用．二、目标和目标分析1.目标：①通过数学活动经历菱形判定定理的生成和理解过程．②类比矩形的研究方法和内容，经历菱形判定定理的发现、推理验证过程．③掌握菱形的判定定理，并运用判定定理解决相关的数学问题．2.目标解析：目标①：让学生想一想、折一折、剪一剪活动，经历观察、猜想、验证等过程，让学生经历菱形判定定理的生成和理解过程，培养学生几何直观的核心素养．目标②：通过类比矩形判定定理的研究，帮助学生通过合情推理发现结论，形成猜想，运用演绎推理证明猜想，发展学生的逻辑推理这一核心素养．通过数学问题的挖掘，让学生经历问题本质的追寻，积累丰富的活动经验．目标③：通过数学问题的思考，巩固菱形判定定理的掌握，渗透类比的基本思想，提高学生问题解决能力．《义务教育数学课程标准（2011 版）》在“课程设计思路”中明确指出：“在数学课程中应注重发展学生的合情推理和演绎推理能力．”依据《课程标准》，遵循八年级学生的年龄特征和认知规律，结合教材确定了本节课的教学目标．三、教学问题诊断分析学生通过对平行四边形、矩形的判定定理等知识的学习，特别是对几何图形的研究思路和研究方法积累了一定的数学学习经验，对类比思想也有了初步了解，这为本节课的学习奠定了基础．但是对新的数学问题的探究，尤其是怎么把新问题转化为已知问题来解决，仍是八年级学生学习的难点．学生从七年级入学开始实行小组合作学习，有很多讲演的机会，能够较好地表达自己的观点，学生能力层次较高，思维活跃，渴望应用所学知识解决新问题，逻辑推理能力还有待进一步提高，数学思想方法的掌握还很薄弱．而本节课对逻辑推理和类比思想的要求较高，因此在本课的学习中，估计学生能猜想到对角线互相垂直的平行四边形是菱形，四条边都相等的四边形是菱形，但是较难把这些判定定理应用在实际题目中，也不容易理清不同判定定理的关系．因此判定定理的应用可以采用小组合作的方式来展开，顺势先巩固“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”这一判定定理，再利用三线合一引导学生观察四条边的关系．来突破本节课的难点之一．而菱形判定的应用能有效检测反馈学生的学习效果，但是需要学生有较强的分析能力，归纳能力，通过不同解法的展示和呈现，让学生的思维发生碰撞和交流从而来突破本节课的第二难点．结合上述分析，本节教学的难点在于：菱形判定定理的实际应用．四、学策略分析1.知识储备八年级学生已经学习了全等三角形、特殊三角形，能运用三角形全等证明线段及角相等．同时已经学习了线段垂直平分线的性质和平行四边形的判定，能够将菱形与三角形、平行四边形联系起来解决问题．而矩形的学习进一步厘清了特殊平行四边形的学习方法和内容．2.教法采用自主、合作探究教学法．通过学生自主思考和互动研讨，充分经历菱形判定定理探究的全过程，突出教学重点．另一方面，在问题解决的过程中，鼓励学生尽可能用一题多解的方法来解决，渗透类比思想，提升思维水平的深刻性，从而突破教学难点．3.学法突出探究发现，实践操作，合作学习．4.教学媒体教具：教材、长方形白纸、多媒体课件、三角板等．教学环境：在智慧教室的环境下，利用电子白板等功能，有助于学生对定理进行展示，实现师生之间、生生之间的交流与共享．五、教学过程设计1.回顾反思提出问题问题1：菱形的定义是什么？你能说出菱形的性质有哪些吗？问题2：除了用定义来判定菱形外，还有其他的判定方法吗？设计意图：通过提出问题，使学生先回顾上节所学知识，复习菱形定义、性质的同时，在学生思维最近发展区内提出问题，使学生面对适度的学习困难，激发学生的学习兴趣，启发全班学生开展独立思考，提高学生数学思维的参与度。

人教版数学八年级下册18.2.2第2课时《菱形的判定》教案一. 教材分析《菱形的判定》是人教版数学八年级下册第18.2.2节的内容，本节课的主要内容是让学生掌握菱形的判定方法，并能够运用判定方法解决相关问题。

在教材中，已经给出了菱形的定义和性质，本节课是在此基础上进行判定方法的学习。

通过本节课的学习，学生能够进一步理解菱形的性质，提高解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了菱形的定义和性质，能够识别和理解菱形的特点。

但是，对于如何判定一个四边形是菱形，可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、讨论等方式，发现和总结菱形的判定方法。

三. 教学目标1.了解菱形的判定方法，能够运用判定方法判断一个四边形是否为菱形。

2.提高学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。

3.培养学生的合作意识和团队精神。

四. 教学重难点1.教学重点：菱形的判定方法。

2.教学难点：如何引导学生发现和总结菱形的判定方法。

五. 教学方法1.启发式教学：通过提问、引导等方式，激发学生的思考，引导学生发现和总结菱形的判定方法。

2.小组合作：学生进行小组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。

3.实例分析：通过分析具体的实例，让学生更好地理解菱形的判定方法。

六. 教学准备1.准备相关的实例和图片，用于分析和讲解菱形的判定方法。

2.准备练习题，用于巩固所学内容。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式复习菱形的定义和性质，引导学生思考：如何判断一个四边形是菱形呢？2.呈现（10分钟）展示相关的实例和图片，让学生观察和分析，引导学生发现菱形的判定方法。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，分析并判断其是否为菱形。

讨论结束后，各组汇报成果。

4.巩固（10分钟）讲解实例分析中的关键步骤，让学生再次回顾和巩固菱形的判定方法。

5.拓展（10分钟）出示一些有关菱形的判断题，让学生独立完成，提高解决问题的能力。

18.2.2 菱形第2课时菱形的判定一、选择题1．以下四边形中不一定为菱形的是〔〕A．对角线相等的平行四边形B．每条对角线平分一组对角的四边形C．对角线互相垂直的平行四边形D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形2．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=•BC；⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有〔〕．A．1种B．2种C．3种D．4种3．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，那么两条对角线的长分别是〔〕A．8cm和43cm B．4cm和83cmC．8cm和83cm D．4cm和43cm二、填空题4．如图1所示，平行四边形ABCD，AC，BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．〔只写出符合要求的一个即可〕图1 图25．如图2所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE是菱形，那么要增加的条件是________．〔只写出符合要求的一个即可〕6．菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD：∠ABC=1：2，那么BD=_____，菱形的面积是______．7．在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，那么BD=_____，AC=_____．三、解答题8．如下图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=BC，四边形ABCD是菱形吗？说明理由．四、思考题9．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且OC=OD,PD∥AC，PC∥BD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？试说明理由．参考答案一、1．A 点拨：此题用排除法作答．2．D 点拨：根据菱形的判定方法判断，注意不要漏解．3．C 点拨：如下图，假设∠ABC=60°，那么△ABC 为等边三角形，•所以A C=AB=14×32=8〔cm 〕，AO=12AC=4cm ． 因为AC ⊥BD ，在Rt △AO B 中，由勾股定理，得OB=222284AB OA -=-=43〔cm 〕，• 所以BD=2OB=83cm ．二、4．AB=BC 点拨：还可添加A C ⊥BD 或∠ABD=∠CBD 等．5．点D 在∠BAC 的平分线上〔或AE=AF 〕6．12cm ；723cm 2点拨：如下图，过D 作DE ⊥AB 于E ，因为AD ∥BC ，•所以∠BAD+∠ABC=180°．又因为∠BAD ：∠ABC=1：2，所以∠BAD=60°，因为AB=AD ，所以△ABD 是等边三角形，所以BD=AD=12cm ．所以AE=6cm ． 在Rt △AED 中，由勾股定理，得AE 2+ED 2=AD 2，62+ED 2=122，所以ED 2=108， 所以ED=63cm ，所以S 菱形ABCD =12×63=723〔cm 2〕．7．4；43 点拨：如下图，因为DE 垂直平分AB ，又因为DA=AB ，所以DA=DB=4．所以△ABD 是等边三角形，所以∠BAD=60°， 由可得AE=2．在Rt △AED•中，•AE 2+DE 2=AD 2，即22+DE 2=42，所以DE 2=12，所以DE=23，因为12AC·BD=AB·DE，即12AC·4=4×23，所以AC=43．三、8．解：四边形ABCD是菱形，因为四边形ABC D中，AB∥CD，且AB=CD，所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AB=BC，所以ABCD是菱形．点拨：根据条件，不难得出四边形ABCD为平行四边形，又AB=BC，即一组邻边相等，由菱形的定义可以判别该四边形为菱形．四、9．解：四边形PCOD是菱形．理由如下：因为PD∥OC，PC∥OD，所以四边形PCOD是平行四边形．又因为OC=OD，所以平行四边形PCOD是菱形．。