九年级数学上册 1.1 菱形的性质与判定 第2课时 菱形的判定讲练优质课件 (新版)北师大版

想一想
菱形是特殊的平行四边形，它具有一般 平行四边形的所有性质。你能列举一些这样 的性质吗？
对边平行； 边 对边相等；
对角线 对角线互相平分；
角
对角相等； 邻角互补；
菱形是中心对称图形。
菱形还具有哪些特殊的性质
做一做
请同学们用菱形纸片折 一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几 条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
B
C
同理： AC平分∠BCD；
BD平分∠ABC和∠ADC
边 菱形的两组对边平行且相等
A
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等
角 菱形的邻角互补
D
O
C
B
菱形的两条对角线互相垂直平分 对角线
并且每一条对角线平分一组对角.
2、菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形。
当堂训练
1.如图1，菱形ABCD中∠ABC＝60°，则∠BAC＝__6_0_°_.
除此之外，菱形还有哪 些性质呢？我们一起来 解决知识技能第三题。
菱形的每一条对角线平分一组对角.
已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O.
求证：AC平分∠BAD和∠BCD ； BD平分∠ABC和∠ADC .
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD
A
D
∴△ABD是等腰三角形，
O
又∵BO=DO
∴AC平分∠BAD
课堂小结
1、菱形的定义： 一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2、菱形的性质 3、菱形具有平行四边形的所有性质。
作业
习题1.1
知识技能 1、2、3 数学理解 4
(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形。 3.平行四边形是中心对称图形，其对角线的交点

菱形
有一组邻边相等的平行四边形
有一组邻边相等 的平行四边形叫做菱形
A
∵四边形ABCD
是平行四边形
B
D
AB=BC
C
∴四边形ABCD
是菱形
感受生活
你能举出生活中你看到的菱形吗？
菱形就在我们身边
感受生活
三菱汽车标志欣赏
活动三：折一折 剪一剪
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准 确地剪出一个菱形的纸片？
同理： DB平分∠ABC；
(2)在△DAC中,又∵AO=CO AC平分∠DAB和∠DCB
D
O
A
C
B
（1）菱形具有平行四边形的一切性质；
（2）菱形的四条边都相等；
（3）菱形的两条对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一组对角；
D
边 菱形的两组对边平行且相等 A
O
C
菱形的四条边相等
B 数学语言
菱形的两组对角分别相等 ∵四边形ABCD是菱形
第一章特殊的平行四边形
第一节菱形
活动一：
边 平行四
边形的 性质：
对角线
平行四边形的对边平行； 平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角线互相平分；
角
平行四边形的对角相等；
平行四边形的邻角互补；
活动二：
在平行四边形中，如果内角大小保持不 变仅改变边的长度，能否得到一个特殊 的平行四边形？
平行四边形
邻边相等
BD 2 BO 34 . 64 花坛的面积
S 菱形 ABCD
1 AC • BD 2
346 . 4 m 2
活动四：做一做
1、菱形ABCD两条对角线BD、AC长分
别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积。

建立模型，探索新知
探究2：证明菱形的性质 菱形的四条边相等，菱形的对角线互相垂直. 小组讨论：要严格证明这两个结论， 1. 有哪些“〞条件？ 2. “求证〞什么？ 3. “证明〞过程如何？
建立模型，探索新知
：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线 AC与BD相交于点O.
求证：〔1〕AB=BC=CD=AD； 〔2〕AC⊥BD.
活动2 探究菱形的判定方法二 用一长一短的两根细木条，在它们的中点处固定
一个小钉，做成一个可动的十字，四周围上一根橡皮 筋，做成一个四边形.
示意图
建立模型，探索新知
〔1〕转动木条，这个四边形总有什么特征？ 你能证明你发现的结论吗？
建立模型，探索新知
〔2〕继续转动木条，观察什么时候橡皮筋围成的 四边形变成菱形？
2 菱形的判定和面积
回忆复习，导入新课
菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 菱形的性质： ① 两条对角线互相垂直平分；
② 四条边都相等； ③ 每条对角线平分一组对角； ④ 菱形是一个中心对称图形，也是一
个轴对称图形.
回忆复习，导入新课
平行四边形的判定方法有哪些？ 边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
1 BD AC 2
1 10 24 2
菱形的面积等于对角线之积的一半.
120(cm2 ).
归纳总结，提升认识
四条边都相等 对角线互相垂直平分
归纳总结，提升认识
• 整节课你有什么感悟？ • 探索总结了什么规律？ • 对某些知识点你还有什么困惑？ • 你有什么新发现？ • 你学到了什么数学思想方法？
面积 =2 × △ABD的面积 2 1 BD AE 2 1 1012
2
2

0 90 ∴ ∠AOB=
6、已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC 交AB于E，DF∥AB交AC于F． A 求证：四边形AEDF是菱形．
证明：∵DE∥AC DF∥AB ∴四边形AEDF是平行四边形 ∵ DE∥AC B ∴∠2=∠3 ∵ AD是△ABC的角平分线 ∴ ∠1=∠2 ∴ ∠1=∠3 ∴AE=DE ∴ □AEDF是菱形
C.矩形
D. 菱形
5、 如 图， ABCD的两条对角线AC、BD 相交于点O，AB= 5 ，AO=4，OB=3 求证:四边形ABCD是菱形. 证明: ∵ AB=5 ,AO=4, BO=3
∴
AB2 OA2 OB2
D
A C ∴AC⊥BD O ∵ 四边形ABCD是平行四边形 B ∴四边形ABCD是菱形. (对角线互相垂直的平行四边 形是菱形).
E
3
12
F D C
课堂小结：
文字语言
菱形的判定：
图形语言
A B
A O C D
符号语言
∵在□ABCD中 AB=AD
∴四边形ABCD是菱形 ∵在□ABCD中 AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形
判定 法一
一组邻边相 等的平行四 边形是菱形
判定 对角线互相垂直 的平行四边形是 法二 菱形 判定 法三
四边相等的四边 形是菱形
四条边相等+ =
轻松过关:
1、老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗?
5 5 4 3 3 4
3
3
┍
4
4
5 5
5
5
有一组邻边 相等的平行四 边形叫做菱形
对角线互相 垂直的平行四 边形是菱形
有四条边相等的 四边形是菱形。
2、判断下列说法是否正确？为什么？

例6 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，
BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连结CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
A
(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC.
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形． 又∵EF＝BE， ∴四边形BCFE是菱形.
定义法
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
菱形的判定
判定 定理
对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四边相等的四边形是菱形
运用定理进行计算和证明
教师寄语
菱形
— 菱形的判定
学习任务
1.菱形的判定定理． （重点）
2.进行有关的证明和计算. （难点）
知识回顾
问题 菱形的定义是什么？性质有哪些？ 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
平行四边形 一组邻边相等
菱形
菱
边 两组对边平行;
形
四条边相等
的 性 质
角
两组对角分别相等; 邻角互补
对角线 两条对角线互相垂直平分;
D
E
F
B
C
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
A
D
E
F
B
C
归纳：判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选
择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；
如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以
先尝试证出这个四边形是平行四边形．
练一练
如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2， 求平行四边形ABCD的周长.
练一练

4 教学过程
——概括总结 加深理解
自由发言
通过本节课，你获得了哪些知识？
回顾本节知识点，使学生对本节 课的内容有一个系统全面的认识， 并与上一节课学习的性质定理有机 地串联起来，以便于理解和应用。
设计意图
4 教学过程
——布置作业 课后巩固
设计意图
根据学生的认知结构和个体差异及智能 结构，分层设计作业。从作业分层、学 生分层、指导分层、评价分层等多维角 度展开，从而使不同层次的学生获得轻 松、愉快、满足的心理体验，在掌握知 识的同时形成能力，提升数学学科的核 心素养。
目录 Contents
说教材
说教法学法
说教学过程
1 说设计3特点4
5 教学设计特点
本节课设计特点：通过复习引入，设计问题，引导 了学生自主探索、合作交流；让学生观察猜测，提出 问题，概括归纳，使学生成为了学习的主体，逐步地 学会学习。
4 教学过程
——实验操作 逻辑推理
设计意图
通过实验操作，巩固了平行四边形的判 定方法，培养学生的观察能力和推理能 力，经历探究物体与图形的形状、大小、 位置关系和变换的过程，培养猜想意识， 感受直观操作得出猜想的便捷性，培养 学生的观察、实验猜想等合情推理能力; 通过对猜想的论证，体现了直观操作与 逻辑推理的有机结合，让学生进一步认 识逻辑推理的必要性,很好地突出了教学 的重点。
观察思考 动手实践 合作探究 总结归纳
新课标的精神在于以学生的发展为本，让学生经历探 索—发现—猜想—证明等过程，增加学生的参与机会，增 强学生的参与意识，教给学生获取知识的途径，思考问题 的方法，使学生真正成为学习的主体，进一步培养和提高 他们各方面的能力。
目录 Contents

• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
课堂训练一
下列条件中，可以判定一个四边形是菱形的 是（ D ）
A.两条对角线相等 B.两条对角线互相垂直 C.两条对角线相等且垂直 D.两条对角线互相垂直平分
长为5cm的菱形.
祝同学们学习进步，在数学的 海洋中扬帆远航！
在一次剪纸比赛中，有一张长方形纸片，要求把它剪
折成一个菱形。你有办法吗？小颖是这样做的：
她
能
得
到
菱
形
吗
？
北师大版本九年级数学(上) 第一章 特殊平行四边形
菱形的性质与判定（第2课时）
菱形的判定
驶向胜利 的彼岸
学习目标
1.掌握菱形的判定定理及方法，并利用判定方法解决一 些问题. 2.经历菱形判定定理的探索过程,进一步发展学生推理 能力. 3.引领学生积极参与数学学习活动，激发学习数学求知 欲，提升数学素养.
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8

第2课时 菱形的判定
新知导航
变式训练 1.如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线，AF∥CD 交CE于点F，FG∥AC交CD于点G. 求证：四边形ACGF是菱形． 证明：∵AF∥CD，FG∥AC， ∴四边形ACGF是平行四边形，∠2＝∠3， ∵CE平分∠ACD，∴∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3，∴AC＝AF， ∴四边形ACGF是菱形．
，
∠EOD＝∠FOB
∴△DOE≌△BOF(ASA)；∴OE＝OF，又∵OB＝OD，
∴四边形EBFD是平行四边形， ∵EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．
第2课时 菱形的判定
新知导航
3.将Rt△ACB沿直角边AC所在直线翻折180°，得到Rt△ACE
（如图所示），点D与点F分别是斜边AB，AE的中点，连接
第2课时 菱形的判定
轻松过招
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，DE 垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E. 点F在DE的延长线上，且AF＝CE. 求证：四边形ACEF是菱形． 证明：∵AC⊥BC，DE垂直平分BC， ∴DE∥AC∴点E是BA中点，∴在Rt△ACB中，CE＝AE 又∵∠BAC＝60°，∴△ACE是等边三角形 ∴AC＝CE＝AE，又∵AF＝CE，∴AF＝AE 又∵DF∥AC，∴∠FEA＝∠CAE＝60° ∴△AEF为等边三角形，∴EF＝AF. ∴CE＝AC＝AF＝EF，∴四边形ACEF是菱形
第2课时 菱形的判定
轻松件是（ B ）
A. AC＝AD B．BA＝BC C．∠ABC＝90° D．AC＝BD
第2课时 菱形的判定
轻松过招
2．（202X·宁夏）如1题图，四边形ABCD的两条对
角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不

22
2
S 菱形 ABCD
1 AC • BD 2
你有什么发现？
24
D
S菱A 形BCDAB •DE
A
O
C
E B
S菱形 ABCD12AC•BD
AB•DE 1 AC•BD 2
1 个 定：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形 义 2个公式 ：S菱形=底×高
S菱形= 对角线乘积的一半
3 个 特 ：特在“边、对角线、对称性” 性
相等的线段：AB=CD=AD=BC OA=OC OB=OD
5
6
B
O
34
C
相等的角：∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
等腰三角形有：△ABC △ DBC △ACD △ABD
直角三角形有：Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD
他是这样做的：将一张长方形的纸 对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下， 打开即可.你知道其中的道理吗？
画出菱形的两条折痕, 并通过折叠手中的图 形回答以下问题：
１、菱形是轴对称图形吗？ 2、菱形有几条对称轴？ 3、对称轴之间有什么关系？
4、你能看出图中哪些线段和角相等？
菱形ABCD中
A
12
D
7 8
BD 2 BO 34 . 64 花坛的面积
S 菱形 ABCD
1 AC • BD 2
346 . 4 m 2
活动四：做一做
1、菱形ABCD两条对角线BD、AC长分
别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积。
分析： S菱形 ABCD4SAOB
D
4 1 OA • OB A

菱形还具有哪些特殊的性质？请 你与同伴交流。
做一做
请同学们用菱形纸片折 一折，回答下列问题：
学科网
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几 条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
（2）菱形中有哪些相等的线段？
结论
• 菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱
形领条对角线所在的直线。两条对称轴互 相垂直。
在等腰三角形ABD中， ∵OB=OD ∴AO⊥BD 即AC⊥BD
菱形是特殊的平行四边形，它除 具有平行四边形的所有性质外，还有平行 四边形所没有的特殊性质：
定理
菱形的四条边都相等。
定理
菱形的两条对角线互相垂直。
例1
如图1-2，在菱形ABCD中， 对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD=60°，BD=6，求菱形 的边长AB和对角线AC的长。
3．如图，已知菱形ABCD的边长为2， ∠DAB=60°，则对角线BD的长是______
学科网
4．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6， BD=4，则菱形ABCD的周长是________．
5．菱形ABCD中，∠DAB=600，
DF⊥AB于点E，且DF=DC，连接FC，
则∠ACF的度数为
第一章 特殊平行四边形
第1节 菱形的性质与判定（一）
图片中有你熟悉的图形吗？
与左图相比较，这种平行 四边形特殊在哪里？
你能给菱形下定义吗？
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
想一想
菱形是特殊的平行四边形， 它具有一般平行四边形的所有性质。你 能列举一些这样的性质吗？
菱10/202021/10/202021/10/202021/10/20
•
证明：
学科网 学科网

（2）∵ 四边形ABCD是平行四边形 有四条边相等的四边形是菱形。
(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等 的四边形是菱形；
∵四边形ABCD是平行四边形 求证： 是菱形
∵四边形ABCD是平行四边形 （1）求证：AF=CD。 的四边形是菱形；
∴四边形ABCD就是所作的菱形
D
D1
A
A1
C
C1

B
B1
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD 的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点 F，连接CF。 （1）求证：AF=DC； （2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并 证明你的结论。(小测P26第3题)
C
F
ED
A
B
判定回顾
四条边都相等
四边形
菱形
平行四边形
3、有四条边相等的四边 形是菱形。
老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗?
（2）求证：四边形ADCF是菱形。
3 4 ∴四边形ABCD是菱形 5 如图:将菱形ABCD沿AC方向平移至A1B1C1D1, 4 3 求证： 是菱形
（2）∵ 四边形ABCD是平行四边形
┍
3 44
3
∴四边形ABCD是菱形.
5 （3）当△NPC为等腰三角形时，求∠B的度数．
（2）若AC=BD，则□ABCD是矩 形；
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是矩 形；
（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD菱是 形。
D
C
O
A
B
一个平行四边形的一条边长为9，两 条对角线长是12和6 5，这是一个特 殊的平行四边形吗？为什么？求出它 的面积。
A
D
35
9

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如图，在▱ ABC D中， BC ＝2 AB ， AB ⊥ AC ，分别在边 BC ， A D上的点E与点F关于 AC 对称，连接EF， A E， C F，DE.
（1）试判断四边形 A E C F的形状，并说明理由；
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（2）求证： A E⊥DE. 【思路导航】（1）由对角线互相垂直平分可得到四边形 A E C F 的形状；（2）先求得∠ A E C 的度数，进而可求得∠ C ED的度 数，即可得到∠ A ED的度数.
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数学 九年级上册 BS版
02
典例讲练
数学 九年级上册 BS版
已知四边形 ABC D为平行四边形，有下列条件：① AC ⊥ B D； ②∠ BA D＝90°；③ AB ＝ BC ；④ AC ＝ B D. 其中能使▱ ABC D 为菱形的有 ①③ （填序号）. 【思路导航】根据菱形的判定定理对各个条件进行逐一判断 即可.
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【解析】根据菱形的判定定理和定义：对角线互相垂直的平行 四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知① ③符合，②④不符合.故答案为①③. 【点拨】菱形的判定方法有多种：①一组邻边相等的平行四边 形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四边相 等的四边形是菱形；④对角线互相垂直且平分的四边形是菱形. 菱形是特殊的平行四边形，判定四边形是菱形时，常在平行四 边形的基础上加上菱形独有的条件.
匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运
动.设点 P ，Q运动的时间是t s .过点 P 作 PM ⊥ BC 于点 M ，连接
P Q，Q M .
（1）请用含有t的式子填空： A Q＝ t ， AP ＝ 40－2 t ，

第一章 特殊平行四边形
1.1 菱形的性质与判定
第1课时 菱形的性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系； 2.探索并证明菱形的性质定理.（重点） 3.应用菱形的性质定理解决相关问题.（难点）
导入新课
问题:什么样的四边形是平行四边形？它有哪些性质呢？
平行四边形的性质： 边：对边平行且相等. 对角线：相交并相互平分. 角：对角相等,邻角互补.
5.菱形ABCD中∠ABC＝120 °，则∠BAC＝__3_0_°___.
B
O
A
C
D
6.已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的
四个内角度数分别为_60_°__、__6_0°__、__1_2_0°__、__1_2_0°__.
7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交
于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的长.
又∵EF⊥AC
∴ 四边形AFCE是菱形.
E
D
1
O
2
F
C
4.如图，已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且 AB=BD,DE∥AC,CE ∥BD.
求证：四边形OCED是菱形.
A
D
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
O
E
∴四边形OCED是平行四边形， B
C
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BD,
∴OC=OD， ∴四边形OCED是菱形．
D
∴AC=2OA= 6 3 （菱形的对角线相互平分）.
归纳 若菱形有一个内角为60°，那么60°角的两边与较 短的对角线可构成等边三角形，且两条对角线把菱形分成 四个全等的含30°角的直角三角形.

∴四边形 是菱形．
课堂练习
7. 如图,在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．
（1）证明：由尺规作∠BAF的平分线的过程
可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，
已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对心,以大于 AC的长
2
为半径作弧,两条弧分别相交于点B , D，依次
连接A、B、C、D四点.
[提问]请说出作图依据.
A
C
B
课堂练习
1.判断下列说法是否正确
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形； ╳
课前导入
学习目标
1)理解菱形的判定条件及其证明。
2)通过实际操作，探索菱形判定定理的证明过程，发展合情推理能力和初步演绎推理的能力。
重点
菱形判定定理的证明和应用。
难点
利用菱形的判定定理解决简单问题。
课前导入
菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。
注意事项： 1）菱形是一种特殊的平行四边形。
故①②正确．故选A．
）
课堂练习
5.如图，▱ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=10，AO=8，BO=6.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵ OA=8,OB=6,AB=10
D
∴ AB2=OA2+OB2
∴△AOB是直角三角形
A
即AC⊥BD
O
又∵四边形ABCD是平行四边形
B
∴四边形ABCD是菱形
（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．