复变函数练习册(全套)

1 第一章 复数与复变函数

一、选择题

1．当iiz11时，5075100zzz的值等于（ ）

（A）i （B）i （C）1 （D）1

2．设复数z满足arg(2)3z，5arg(2)6z，那么z（ ）

（A）i31 （B）i3 （C）i2321 （D）i2123

3．一个向量顺时针旋转3，对应的复数为i31，则原向量对应的复数（ ）

（A）2 （B）i31 （C）i3 （D）i3

4．使得22zz成立的复数z是（ ）

（A）不存在的 （B）唯一的 （C）纯虚数 （D）实数

5．方程232iz所代表的曲线是（ ）

（A）中心为i32，半径为2的圆周

（B）中心为i32，半径为２的圆周

（C）中心为i32，半径为2的圆周

（D）中心为i32，半径为２的圆周

6．函数),(),()(yxivyxuzf在点000iyxz处连续的充要条件是（ ）

（A）),(yxu在),(00yx处连续 （B）),(yxv在),(00yx处连续

（C）),(yxu和),(yxv在),(00yx处连续

（D）),(),(yxvyxu在),(00yx处连续 学号：____________ 姓名:______________ 班级:_____________ 2 二、填空题

1．设)2)(3()3)(2)(1(iiiiiz，则z

2．设)2)(32(iiz，则zarg

3．复数22)3sin3(cos)5sin5(cosii的指数表示式为

4．方程iziz221所表示的曲线是连接点 和

的线 段的垂直平分线

5．)21(lim421zziz

三、将下列复数化为三角表达式和指数表达式：

（1）i （2）13i

四、求下列各式的值：

（1）5(3)i （2）100100(1)(1)ii （3）1i

五、解方程：5()1zi

3

六、设复数1z，且满足,1||z，试证21]11Re[z.

七 、证明复平面上的直线方程可写成:

0,(0azazca其中为复常数，c为实常数）

4 八、证明复平面上的圆周方程可写成:

0,(zzazazca其中为复常数，c为实常数）

九 、函数1wz把下列z平面上的曲线映成w平面中的什么曲线？

(1) yx (2) 224xy

十、)0(),(21)(zzzzzizf试证当0z时)(zf的极限不存在。 5

第二章 解析函数

一、判断题

(1)若)(zf在点0z不连续，则)(zf在点0z不可导.( )

(2)若)(zf在点0z可导，则)(zf在点0z解析.( )

(3)若vu,在区域D内满足柯西-黎曼方程，则ivuzf)(在D内解析.( )

(4)指数函数ze是以i2为周期的函数.( )

(5)zsin在整个复平面上有界. ( )

二、选择题

1．函数22)(iyxzf在点0z处是( )

（A）解析的 （B）可导的

（C）不可导的 （D）既不解析也不可导

2．假设点0z是函数)(zf的奇点，则函数)(zf在点0z处( )

（A）不可导 （B）不解析

（C）不连续 （D）以上答案都不对

3．下列函数中，为整个复平面上解析函数的是( )

（A）xyiyx222 （B）xyix2

(C）)33(332323yyxyixxyx （D）Z

4．函数)Re()(zzzf在0z处的导数( )

（A）等于0 （B）等于1 （C）等于1 （D）不存在

三、填空题 学号：____________ 姓名:______________ 班级:_____________ 6 1．设)1sin()2cos()(zizzf，则dzdf

2．复数)Ln(21i

3．)}43Im{ln(i

4．方程01ze的全部解为

四、证明区域D内满足下列条件之一的解析函数必为常数.

(1)若)(zf也在D内解析; (2) 若()fz在D内为常数;

(3) ,aubvc其中a,b与c为不全为零点实常数。

7 五、讨论下列函数的解析性：

（1） zz2||2 （2）yixxy22 （3） )sin(cosxixey

六、求2ze和2zArge

七、求下列初等函数的值。

（1）)42(ie （2）i2sin ；

（3） ()Lni （4） (1)ii

(5) ln(34)i

8

八、解方程：

（1）0cossinzz ;

（2）iiz22)2ln(; (3) cos0z

九、当,,lmn取何值时3232()()fzmynxyixlxy在复平面上处处解析？ 9

第三章 复变函数的积分

一、 判断题

1. 积分razdzaz1的值与半径)0(rr的大小无关。（ ）

2. 若在区域D内有)()(zgzf，则在D内)(zg存在且解析。（ ）

3. 若)(zf在10z内解析，且沿任何圆周)10(:rrzc的积分等于零，则)(zf在0z处解析。（ ）

4. 设21,vv在区域D内均为u的共轭调和函数，则必有21vv。（ ）

5. 解析函数的实部是虚部的共轭调和函数。（ ）

6. 以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数。（ ）

二、选择题：

1．设c为从原点沿xy2至i1的弧段，则cdziyx)(2( )

（A）i6561 （B）i6561 （C）i6561 （D）i6561

2．设c为不经过点1与1的正向简单闭曲线，则dzzzzc2)1)(1(为( )

（A）2i （B）2i

（C）0 （D）(A)(B)(C)都有可能

3．设c为正向圆周2z，则dzzzc2)1(cos ( )

（A）1sin （B）1sin （C）1sin2i （D）1sin2i 学号：____________ 姓名:______________ 班级:_____________ 10 4．设c为正向圆周21z，则dzzzzc23)1(21cos ( )

（A）)1sin1cos3(2i （B）0 （C）1cos6i （D）1sin2i

5．设dzezf4)(，其中4z，则）if(( )

（A）i2 （B）1 （C）i2 （D）1

6．设c是从0到i21的直线段，则积分czdzze（ ）

（A）21e (B) 21e (C)ie21 (D) ie21

7．设),(yxv在区域D内为),(yxu的共轭调和函数，则下列函数中为D内解析函数的是( )

（A）),(),(yxiuyxv （B）),(),(yxiuyxv

（C）),(),(yxivyxu （D）xvixu

三、填空题

1．设C为正向圆周1||z，则Czzd

2．设C为正向圆周14z，则20153sin2d

3．设2)2sin()(dzzf,其中2z，则)3(f

4．设c为正向圆周3z，则cdzzzz

5．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 11 6．若函数23),(axyxyxu为某一解析函数的虚部，则常数a

四、利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分.

（1）240izedz （2）2siniizdz （3）10sinzzdz

五、计算下列复积分，圆周均为正向

（1）11()(2)2zdzizz； （2）23221izziedzz，

（3）2232(1)(4)zdzzz； （4） 45)(zzdzize