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复变函数复习资料

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第 １ 页 ( 共 13 页 )

复变函数论（A）

Ⅰ. Cloze Tests（20102 Points）

1. If nnnniiz1173，then

limnnz.

2. If C denotes the circle centered at 0z positively oriented and n is a

positive integer，then )(10Cndzzz.

3. The radius of convergence of 13)123(nnznn is .

4. The singular points of the function )3(cos)(22zzzzf are .

5. 0 ,)exp(sRe2nzz, where n is a positive integer.

6. )sin(3zedzdz .

7. The main argument and the modulus of the number i1 are .

8. The square roots of i1 are .

9. The definition of ze is .

10. Log)1(i= .

Ⅱ. True or False Questions (1553 Points)

1. If a function f is analytic at a point 0z，then it is differentiable at 0z.（ ）

2. If a point 0z is a pole of order k of f，then 0z is a zero of order k of

f/1.（ ）

3. A bounded entire function must be a constant.（ ）

第 ２ 页 ( 共 13 页 ) 4. A function f is analytic a point 000iyxz if and only if whose real and

imaginary parts are differentiable at ),(00yx.（ ）

5. If f is continuous on the plane and Cdzzfz))((cos0 for every simple

closed path C, then zezfz4sin)( is an entire function. ( )

Ⅲ. Computations (3557 Points)

1. Find 1||)2)(12(5zzzzdz.

2. Find the value of 228122)1(sinzzzzdzzdzzze.

3. Let )2)(1()(zzzzf，find the Laurent expansion of f on the annulus

1||0:zzD.

4. Given dzzfC345)(2，where 3|:|zzC，find )1(if.

5. Given )1)(1(sin1)(2zzzzf，find )1),(Res()1),(Res(zfzf.

Ⅳ. Verifications (30310 Points)

1. Show that if )(0)()(Czzfk, then )(zf

is a polynomial of order k.

2. Show that 012797lim242RCRdzzzz, where RC is the circle centered

at 0 with radius R.

3. Show that the equation 012524zzz has just two roots in the

unite disk

复变函数论（B）

第 ３ 页 ( 共 13 页 ) Ⅰ. Cloze Tests（20102 Points）

1. If nnnniiz1162，then

limnnz.

2. If C denotes the circle centered at 0z positively oriented and n is a

positive integer，then )(10Cndzzz.

3. The radius of the power series 12)1(nnzn is .

4. The singular points of the function )1(sin)(2zzzzf are .

5. 0 ,)exp(sRe2nzz, where n is a positive integer.

6. zedzdz2cos .

7. The main argument and the modulus of the number i1 are .

8. The square roots of 1+i are .

9. The definition of zcos is .

10. Log)1(i= .

Ⅱ. True or False Questions (1553 Points)

1. If a function f is differentiable at a point 0z，then it is continuous at 0z.（ ）

2. If a point 0z is a pole of order m of f，then 0z is a zero of order m of

f/1.（ ）

3. An entire function which maps the plane into the unite disk must be a

constant.（ ）

4. A function f is differentiable at a point 000iyxz if and only if whose

real and imaginary parts are differentiable at ),(00yx and the Cauchy 得分 评卷人

第 ４ 页 ( 共 13 页 ) Riemann conditions hold there.（ ）

5. If a function f is continuous on the plane and Cdzzf)(0 for every

simple closed contour C, then zzfsin)( is an entire function. ( )

Ⅲ. Computations (3557 Points)

1. Find 1||)2)(12(zzzzdz.

2. Find the value of 223122)1(sinzzzzdzzdzzze.

3. Let )2)(1()(zzzzf，find the Laurent expansion of f on the annulus

1||0:zzD.

4. Given dzzfC142)(2，where 3|:|zzC，find )1(if.

5. Given )1)(1(sin)(2zzzzf，find )1),(Res()1),(Res(zfzf.

Ⅳ. Verifications (30310 Points)

1. Show that the function iyxeezzf)2()(2

is an entire function.

2. Show that if )(0)()(Czzfm, then )(zf is a polynomial of order

m.

3. Show that 0651lim242RCRdzzzz, where RC is the circle centered at

0 with radius R.

复变函数论（C）

Ⅰ. Cloze Tests（20102 Points）

1. If nnnniiz3131，then 得分 评卷人

得分 评卷人

第 ５ 页 ( 共 13 页 ) limnnz.

2. If C denotes any simple closed contour and 0z is a point inside C, then

)(sin0Cndzzzz, where n is an integer.

3. The radius of convergence of the power series 12)63(nnzn

is .

4. The singular points of the function )2(cos)(244zzzzzf are .

5. 0 ,)exp(sRemzz, where m is a positive integer.

6. The main argument and the modulus of the number iie45 are .

7. The integral of the function )(sin)(2titttw on ]1,1[ is .

8. The definition of zsin is .

9. Log)1(i= .

10. The solutions of the equation 013zie are .

Ⅱ. True or False Questions (1553 Points)

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复变函数 复习讲义

复变函数 复习讲义

1一、复数的概念

1.复数的定义

复数不能比较大小.

2、复数的代数运算1)和；2）积；3）商；4）共轭第一章复数与复变函数二、复数的三角表示和指数表示

1. 复数的模(或绝对值)

2. 复数的辐角与辐角主值

3.复数的三角表示和指数表示

复数可以表示成)sin(cosθθirz+=复数的三角表示式

再利用欧拉公式,sincosθθθiei+=

复数可以表示成θirez=复数的指数表示式

三、乘积与商

1. 几何意义

2. 幂

()(cossin)cossin.nnrirrninθθθθ+=+3.方根

⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++==nkinkrzwnnπ2sinπ2cos1θθ

)1,,2,1,0(−=nk"

.,,

个顶点边形的的圆的内接正为半径个值就是以原点为中心的在几何上

nnrnznn

四、复平面与复球面

1. 用复数方程表示平面曲线（给出平面曲线要求用复数方程表示，给出方程要求描述曲线）

2. 复球面(引入复数∞)五、区域及相关概念*

六、复变函数

1.单(多)值函数的定义

2. 复变函数与自变量之间的关系

3、函数的极限与连续

2第二章解析函数

一、可导、可微与解析

二、解析函数的判定

三、解析函数的几个充要条件函数解析的判定方法:

(1) 先判定可导

(c) () ,

CR fzuivuvD=+

−中在内存在连续偏导数

并满足方程（a）定义b（）求导法则

(2) 再判定解析

求函数导数的方法:

(c) '()xxyyfzuivviu=+=−（a）定义b（）求导法则四、初等函数1、单值函数

exp(cossin)zxezeyiy==+

cos,2izizeez−+=sin.2iziz

ieez−−=

要求：会计算各初等函数，掌握其基本性质

注意：与实函数的区别

2、多值函数

Lnz=ln|z|+iArgzLn bbaae=

要求：会计算各初等多值函数= lnz+2kπi第三章复变函数的积分

一、积分的计算法与性质

Thm () ()=()()

(),

()dCfzCzztxtiyt

复变函数复习资料

复变函数复习资料

(一)复数的概念

1.复数的概念：zxiy，,xy是实数, Re,Imxzyz.21i.

注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.

①两个复数相等，当且仅当它们的实部与虚部分别相等。

②一个复数等于零，当且仅当它的实部与虚部同时等于零。

③称复数x+iy和x-iy互为共轭复数。

2.复数的表示

1）模：22zxy；

2）幅角：在0z时，矢量与x轴正向的夹角，记为Argz（多值函数）；主值argz是位于2,0中的幅角。（Argz有无穷个值，argz是复数z的辐角的主值 Argz=argz+2kπ

3）argz与arctanyx之间的关系如下：

当0,x argarctanyzx；

当0,argarctan0,0,argarctanyyzxxyyzx；

4）三角表示：)sin(coszir，其中)(rzgA；注：中间一定是“+”号。（r=|z|）

5）指数表示：irez，其中)(rzgA。

(二) 复数的运算

1.加减法：若111222,zxiyzxiy，则121212zzxxiyy··

2.乘除法：

1）若111222,zxiyzxiy，则 1212122112zzxxyyixyxy；

112211112121221222222222222222xiyxiyzxiyxxyyyxyxizxiyxiyxiyxyxy。

2）若121122,iizzezze, 则

121212izzzze；121122izzezz

3.乘幂与方根

①对任何整数n,有innnerz，特别地当r=1时，有innie)e（，即

复变函数复习要点

复变函数复习要点

复变函数复习要点

第一章复习要点

1、熟悉复数的三种表示，熟练掌握复数基本运算（加、减、乘除、乘方、开方以及共轭运算）并熟悉其它们的几何意义；

2、熟练掌握直线和圆周的各种形式的复数方程；

3、熟练掌握用复数关系来表示平面点集，能画出复数关系表示的平面点集的草图，并能判断一个给定的平面点集是否区域，如果是区域还要能判定此区域是单连通区域还是多连通区域；

4、熟悉复变函数的三种表示（代数表示、极坐标表示、映射表示），熟练掌握复变函数极限和连续的定义以及复变函数极限、连续与其实部、虚部二元函数极限和连续的关系。

5、能准确地写出并证明复变函数极限和连续的基本性质（如：局部不等性、局部有界性等）；掌握有界闭集上连续函数的整体性质（有界性、模函数的最值性、一致连续性）。

第二章复习要点

1、熟练掌握复变函数导数和微分的定义，复变函数导数的运算法则；

2、熟练掌握解析函数的定义（包括区域内解析、一点解析和闭区域上解析），熟悉复变函数在一点可导和解析的关系，以及复变函数在区域内解析（在闭区域上解析）与在点的解析的关系；熟练掌握解析函数的运算法则（包括四则运算、复合运算、逆运算）；

3、熟练掌握复变函数可导和解析的充要条件以及利用实部、虚部两个二元函数的偏导数计算复变函数导数的计算公式，能利用充要条件准确判断给定的具体复变函数在平面上的可到性和解析性；熟悉复变函数可导和解析的柯西—黎曼条件，能熟练地运用柯西-黎曼条件解决解析函数为常函数的各种条件；

4、熟练掌握解析函数与其实部、虚部两个二元函数调和的关系，并能利用解析函数的实部或虚部，求出虚部或实部，从而求出解析函数；

5、熟悉常用的初等单值解析函数（如：常函数，多项式函数、有理函数，指数函数，三角函数，双曲函数）；

6、熟悉讨论多值函数的基本方法（找支点，作支割线，将多值函数的各分支函数单值化），并熟练掌握幅角函数、对数函数、根式函数和一般幂函数的单值化方法；

复变函数期末复习

复变函数期末复习

多复变函数论

多复变函数论

duofubian hanshulun

多复变函数论

theory of analytic functions of several variables

数学中研究多个复变量的全纯函数的性质和结构的分支学科，有时也称多复分析。它形成较晚，但发展迅速。它虽然有着经典的单复变函数的渊源，但由于其特有的困难和复杂性，在研究的重点和方法上，都和单复变函数论（见复变函数论）有显著的区别。因为多复变全纯函数的性质在很大程度上由定义区域的几何和拓扑性质所制约，因此，其研究的重点经历了一个由局部性质到整体性质的逐步的转移。它广泛地使用着微分几何学、代数几何、李群、拓扑学、微分方程等相邻学科中的概念和方法，不断地开辟前进的道路，更新和拓展研究的内容和领域。如果说各学科的相互渗透和影响日益广泛是近代数学的特征，那么对多复变函数论而言，这一特点尤为显著。

历史发展 多复变函数论的研究，早在单复变函数论的(G.F.)B.黎曼和K.(T.W.)外尔斯特拉斯时代就已经零散地开始了。但真正标志着多复变函数论这一学科创立的，是19世纪末和20世纪初(J.-)H.庞加莱、P.库辛、F.M.哈托格斯等人的工作。他们的研究揭示了多复变全纯函数本质上的独特性。在这当中，库辛提出的关于全纯函数整体性质的两个以他命名的问题以及E.E.列维提出的拟凸域和全纯域是否等价的问题，更有着深远的影响，长时间成为多复变函数论发展的一个推动因素。20世纪30年代以前，虽然出现过K.莱因哈特关于解析自同构群、S.伯格曼关于核函数和度量等重要工作，但整个说来，多复变函数论处于相对沉寂的时期。从30年代开始，多复变的研究迎来了初步繁荣。这一时期中陆续出现了H.嘉当关于全纯自同构的惟一性定理、有界域全纯自同构群的李群性质以及全纯域与全纯凸的等价性的嘉当－苏伦定理等突出成果。特别是从1936年开始，日本数学家对库辛问题、列维问题、逼近问题等多复变的中心问题进行了长期、系统而富有成效的研究，终于在50年代对上述诸问题给出了解答。他的这一系列工作对以后年代的多复变的发展有着重大的影响。50年代以后，和近代数学的综合化、抽象化的总潮流相一致，在多复变函数论中用拓扑方法和几何方法研究全纯函数的整体性质的趋势变得越来越明显。由J.勒雷引进拓扑学的层及其上同调的概念被迅速而成功地用于多复变。这一概念和H.嘉当早先关于全纯函数理想论的研究以及的思想结合，导致了凝聚解析层理论的建立。与此同时，复空间和施泰因流形的概念也应运而生。H.嘉当和J.P.塞尔系统地应用凝聚层理论建立了施泰因流形的基本定理。此后不久，H.格劳尔特解决了复流形的列维问题，他和R.雷默特、施泰因等人还大大发展了复空间的理论。整个50年代无疑是多复变发展的黄金时代。 另一方面，近代微分几何与复分析的相互溶合也在不断加快步伐。1913年，(C.H.)H.外尔的黎曼曲面理论导致了复流形概念的建立.(-J.)嘉当'" class=link>.(-J.)嘉当的外微分式与拓扑的结合产生了G.- W.德·拉姆的上同调理论。以此为基础，W.V.D.霍奇将黎曼曲面上的调和函数理论推广到高维的紧致复流形，证明了紧复流形的基本定理──霍奇定理。40年代以后，与微分几何中的博赫纳技巧相结合，霍奇理论又由小平邦彦所发展和完善60年代,博赫纳－小平邦彦方法又进而推广到非紧的带边界的复流形，发展成为近代多复分析的一个有力工具:问题的L估计。