《复变函数》练习题

复变函数练习题（一）

一、 判断题：

1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( )

2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )

3.若}{nz收敛，则} {Renz与} {Imnz都收敛. ( )

4.若f(z)在区域D内解析，且0)('zf，则Czf)(（常数）. ( )

5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )

6.若z0是)(zf的m阶零点，则z0是1/)(zf的m阶极点. ( )

7.若)(lim0zfzz存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点. ( )

8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则)(0)('Dzzf. ( )

9. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C0)(Cdzzf. ( )

10.若函数f(z)在区域D内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D内恒等于常数.（ ）

二.填空题

1、1||00)(zznzzdz__________.（n为自然数）

2.zz22cossin _________.

3.函数zsin的周期为___________.

4.设11)(2zzf，则)(zf的孤立奇点有__________.

5.幂级数0nnnz的收敛半径为__________.

6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.

7.若nnzlim，则nzzznn...lim21______________.

8.)0,(Renzzes________，其中n为自然数.

9. zzsin的孤立奇点为________ .

10.若0z是)(zf的极点，则___)(lim0zfzz.

三.计算题：

1. 设)2)(1(1)(zzzf，求)(zf在}1||0:{zzD内的罗朗展式. 2. .cos11||zdzz

3. 设Cdzzf173)(2，其中}3|:|{zzC，试求).1('if

4. 求复数11zzw的实部与虚部.

四. 证明题.

1. 函数)(zf在区域D内解析. 证明：如果|)(|zf在D内为常数，那么它在D内为常数.

2. 试证: ()(1)fzzz在割去线段0Re1z的z平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re1z上岸取正值的那支在1z的值.

复变函数练习题（二）

一. 判断题.

1. 若函数),(),()(yxivyxuzf在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续. ( )

2. cos z与sin z在复平面内有界. ( )

3. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续. ( )

4. 有界整函数必为常数. ( )

5. 如z0是函数f(z)的本性奇点，则)(lim0zfzz一定不存在. ( )

6. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. ( )

7. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C0)(Cdzzf. ( )

8. 若数列}{nz收敛，则}{Renz与}{Imnz都收敛. ( )

9. 若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析. ( )

10. 存在一个在零点解析的函数f(z)使0)11(nf且,...2,1,21)21(nnnf. ( )

二. 填空题.

1. 设iz，则____,arg__,||zzz

2.设Ciyxzyxixyxzf),sin(1()2()(222，则)(lim1zfiz________.

3. 1||00)(zznzzdz_________.（n为自然数）

4. 幂级数0nnnz的收敛半径为__________ .

5. 若z0是f(z)的m阶零点且m>0，则z0是)('zf的_____零点.

6. 函数ez的周期为__________. 7. 方程083235zzz在单位圆内的零点个数为________.

8. 设211)(zzf，则)(zf的孤立奇点有_________.

9. 函数||)(zzf的不解析点之集为________.

10. ____)1,1(Res4zz.

三. 计算题.

1. 求函数)2sin(3z的幂级数展开式.

2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点iz处的值.

3. 计算积分：iizzId||，积分路径为（1）单位圆（1||z）的右半圆.

4.

求dzzz22)2(sinz.

四. 证明题.

1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是)(zf在D内解析.

2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.

复变函数练习题（三）

一. 判断题.

1. cos z与sin z的周期均为k2. ( )

2. 若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件, 则f(z)在z0解析. ( )

3. 若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0连续. ( )

4. 若数列}{nz收敛，则}{Renz与}{Imnz都收敛. ( )

5. 若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，则数f(z)在区域D内为常数.

( )

6. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导. ( )

7. 如果函数f(z)在}1|:|{zzD上解析,且)1|(|1|)(|zzf,则)1|(|1|)(|zzf. （ ）

8. 若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )

9. 若z0是)(zf的m阶零点, 则z0是1/)(zf的m阶极点. ( )

10. 若0z是)(zf的可去奇点，则0)),((Res0zzf. ( )

二. 填空题.

1. 设11)(2zzf，则f(z)的定义域为___________.

2. 函数ez的周期为_________. 3. 若nnninnz)11(12，则nznlim__________.

4. zz22cossin___________.

5. 1||00)(zznzzdz_________.（n为自然数）

6. 幂级数0nnnx的收敛半径为__________.

7. 设11)(2zzf，则f(z)的孤立奇点有__________.

8. 设1ze，则___z.

9. 若0z是)(zf的极点，则___)(lim0zfzz.

10. ____)0,(Resnzze.

三. 计算题.

1. 将函数12()zfzze在圆环域0z内展为Laurent级数.

2. 试求幂级数nnnznn!的收敛半径.

3. 算下列积分：Czzzze)9(d22，其中C是1||z.

4. 求0282269zzzz在|z|<1内根的个数.

四. 证明题.

1. 函数)(zf在区域D内解析. 证明：如果|)(|zf在D内为常数，那么它在D内为常数.

2. 设)(zf是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当Rz||时nzMzf|||)(|，证明)(zf是一个至多n次的多项式或一常数。

复变函数练习题（四）

一. 判断题

1. 若f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件. （ ）

2. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. （ ）

3. 函数zsin与zcos在整个复平面内有界. （ ）

4. 若f(z)在区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有0)(Cdzzf.（ ） 5. 若)(lim0zfzz存在且有限，则z0是函数的可去奇点. （ ）

6. 若函数f(z)在区域D内解析且0)('zf，则f(z)在D内恒为常数. （ ）

7. 如果z0是f(z)的本性奇点，则)(lim0zfzz一定不存在. （ ）

8. 若0)(,0)(0)(0zfzfn，则0z为)(zf的n阶零点. （ ）

9. 若)(zf与)(zg在D内解析，且在D内一小弧段上相等，则Dzzgzf),()(. （）

10. 若)(zf在||0z内解析，则)),((Res)0),((Reszfzf. （ ）

二. 填空题.

1. 设iz11，则___Im__,Rezz.

2. 若nnzlim，则nzzznn...lim21______________.

3. 函数ez的周期为__________.

4. 函数211)(zzf的幂级数展开式为__________

5. 若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________.

6. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________.

7. 设1|:|zC，则___)1(Cdzz.

8. zzsin的孤立奇点为________.

9. 若0z是)(zf的极点，则___)(lim0zfzz.

10. )0,(Resnzze_____________.

三. 计算题.

1. 解方程013z.

2. 设1)(2zezfz，求).),((Rezfs