复变函数复习 (1)

1 复变函数复习提纲

一.填空题

1) 复数1+i的指数形式是ei42，复数1-i的指数形式是ei42

2) 3832sin32cos2kk2,1,0k

3) cos（iπ）=2ee sin（iπ）=2ee

4) Lni=ikiki24122 ),1,0(k

5) 21i 的主值为2lnsin2lncos2lnie，21i 的主值为2lnsin2lncos2lnie

6) 设a 为围线C内部的一点，则Cazdzi2

7) 幂级数12nnnz的收敛半径为 1

8) 函数ez的泰勒展式为!!212nzzzn )(z

9) 如果函数zfw在区域D内 可微 则称zf为区域D内的解析函数

10) 柯西积分定理:设zf在z平面上的单连通区域D内解析,C为D内任一条围线,则

0Cdzzf

11）函数cosz的泰勒展式为02!21nnnnz z

12）柯西积分公式:设区域D的边界是围线（或复围线）C，zf在D内解析,在CDD上

连续，则有 dzfizf21 Dz

二. 证明函数zzf在z平面上任何点都不解析.

证明:  yxzzf22  yxyxu22, 2 0,yxv

当0,0,yx时



yxyxyyuxxu2222,

yvxv0  xvyuyvxu,不能同时成立

 函数在平面上的任何点都不解析

三. 求cosz-1的全部零点，并指出它们的级.

解：cosz-1在z平面上解析.由cosz-1=0得

2eeiziz

复变函数期末复习多复变函数论

duofubian hanshulun

多复变函数论

theory of analytic functions of several variables

数学中研究多个复变量的全纯函数的性质和结构的分⽀学科，有时也称多复分析。它形成较晚，但发展迅速。它虽然有着经典的单复变函数的渊源，但由于其特有的困难和复杂性，在研究的重点和⽅法上，都和单复变函数论（见复变函数论）有显著的区别。因为多复变全纯函数的性质在很⼤程度上由定义区域的⼏何和拓扑性质所制约，因此，其研究的重点经历了⼀个由局部性质到整体性质的逐步的转移。它⼴泛地使⽤着微分⼏何学、代数⼏何、李群、拓扑学、微分⽅程等相邻学科中的概念和⽅法，不断地开辟前进的道路，更新和拓展研究的内容和领域。如果说各学科的相互渗透和影响⽇益⼴泛是近代数学的特征，那么对多复变函数论⽽⾔，这⼀特点尤为显著。

历史发展多复变函数论的研究，早在单复变函数论的(G.F.)B.黎曼和K.(T.W.)外尔斯特拉斯时代就已经零散地开始了。但真正标志着多复变函数论这⼀学科创⽴的，是19世纪末和20世纪初(J.-)H.庞加莱、P.库⾟、F.M.哈托格斯等⼈的⼯作。他们的研究揭⽰了多复变全纯函数本质上的独特性。在这当中，库⾟提出的关于全纯函数整体性质的两个以他命名的问题以及E.E.列维提出的拟凸域和全纯域是否等价的问题，更有着深远的影响，长时间成为多复变函数论发展的⼀个推动因素。20世纪30年代以前，虽然出现过K.莱因哈特关于解析⾃同构群、S.伯格曼关于核函数和度量等重要⼯作，但整个说来，多复变函数论处于相对沉寂的时期。从30年代开始，多复变的研究迎来了初步繁荣。这⼀时期中陆续出现了H.嘉当关于全纯⾃同构的惟⼀性定理、有界域全纯⾃同构群的李群性质以及全纯域与全纯

凸的等价性的嘉当－苏伦定理等突出成果。特别是从1936年开始，⽇本数学家对库⾟问题、列维问题、逼近问题等多复变的中⼼问题进⾏了长期、系统⽽富有成效的研究，终于在50年代对上述诸问题给出了解答。他的这⼀系列⼯作对以后年代的多复变的发展有着重⼤的影响。50年代以后，和近代数学的综合化、抽象化的总潮流相⼀致，在多复变函数论中⽤拓扑⽅法和⼏何⽅法研究全纯函数的整体性质的趋势变得越来越明显。由J.勒雷引进拓扑学的层及其上同调的概念

《复变函数》考试试题（一）

三 . 计算题（ 40 分）：

dz

1、 |z z0 | 1 ( z z )n __________. （ n 为自然数）

f ( z)

1

0

2. sin2 z cos2 z _________.

3. 函数 sin z的周期为 ___________.

f (z) 1

4. z2 1 ，则 f ( z) 的孤立奇点有 __________. 设

5. 幂级数 nzn 的收敛半径为 __________. n 0

6. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.

lim zn lim z1 z2 ... zn

7. 若 n ，则 n n ______________.

Res( e z

8. n ,0)

z ________，其中 n 为自然数 .

9. sin z 的孤立奇点为 ________ .

z

10. 若 z0 lim f (z) ___

是 f (z) 的极点，则 z z0 .

1. 设 ( z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1}

内的罗朗展式 .

1 dz.

2. |z| 1 cos z

f ( z) 3 2 7 1 ，其中 C { z :| z | 3} ，试求 f '(1 i ). 3. d 设 C z

w z 1

4. 求复数 z 1 的实部与虚部 .

四 . 证明题 .(20 分 )

1. 函数 f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，

那么它在 D 内为常数 .

2. 试证 : f (z) z(1 z) 在割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内能分出两

1 复变函数与积分变换第一课

一、复数的加减乘除

举例：

①(2+3i)+(3+4i)=(2+3)+(3+4)i

=5+7i

②(3+4i)−(2+3i)=(3−2)+(4−3)i

=1+i

③(2+3i)×(3+4i)=2×3+2×4i+3i×3+3i×4i

=6+8i+9i−12

=−6+17i

④ 2+3i = (2+3i)(3−4i) = 6−8i+9i+12 = 18+i = 18+ 1 i

3+4i (3+4i)(3−4i) 32−(4i)2 9+16 25 25

二、求复数的实部与虚部

例 1：已知z=9−10i，试求 Re(z)，Im(z)。Re(z)=9，Im(z)=−10

例 2：已知z=3+3i，w= − ，试求Re(w)，Im(w)。 +

w=z−1=3+3i−1=2+3i=18+ 1 i

z+i 3+3i+i 3+4i 25 25 2 Re(w)=18，Im(w)= 1 25 25

三、求某复数的共轭复数

例 1：已知z=9−10i，试求 。z=9+10i

例 2：已知z=3+3i，试求 − 。 +

z−1 = 3+3i−1 =2+3i=18+ 1 i

z+7i 3−3i+7i 3+4i 25 25

四、求模、辐角和辐角主值

例 1：已知z=1+i，试求z 的模、辐角、辐角主值。

∵ Re(z)=1，Im(z)=1

∴ |z|=√12 + 12=√2

∵ arg(z)∈(−π,π] 3 ∴ arg(z)=π 4

Arg(z)=π+2kπ，k=0,±1,±2··· 4

例 2：已知 w=−2+2i，试求 w 的模、辐角、辐角主值。

∵ Re(w)=−2，Im(w)=2

∴ |w|=√(−2)2 + 22=2√2

∵ arg(w)∈(−π,π]

∴ arg(w)=3π 4

Arg(w)=3π+2kπ，k=0,±1,±2··· 4

有关模、辐角、辐角主值的运算 4 五、复数的开方