锐角三角函数单元复习

第28章 锐角三角函数

一、复习目标

1．理解锐角三角函数的定义，能准确列式表示边角关系；

2．能说出特殊角的三角函数值；

3．会利用解直角三角形的知识解决有关实际问题；

4．通过师生共同活动，使学生在交流和反思的过程中巩固本章的知识体系，从而体验学习数学的成就感。

二、课时安排

1课时

三、复习重难点

重点：三角函数的概念及有关计算，在实际问题中创设直角三角形模型，解决实际问题。

难点：掌握本章的知识，能解决综合性的问题；解直角三角形有关的计算及其应用。

四、教学过程

(一)知识梳理

1、锐角三角函数

sinA=

cosA=

tanA=

2、特殊角的三角函数

sin30°=，cos30°=，tan30°= ，sin45°=，cos45°=，tan45 °=，sin60°=，cos60°=，tan60°=.

3、解直角三角形

(1)∠A＋ ∠ B＝ ，a2+b2=c2

(2)三角函数关系式

a= b=

c=

4、简单实际问题

作 转化为直角三角形

(二)题型、技巧归纳

考点一 锐角三角函数

【例1】 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，求 ∠A, ∠B的余弦值和正切值．

考点二：特殊角的三角函数

【例2】计算：（1）

（2）2cos 30°+tan 60°-2tan 45°·tan 60°.

考点三：相似多边形及其性质

【例3】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，D是边AB上一点，∠BDC=45°，AD=4，求BC的长．（结果保留根号）

考点四 简单实际问题

【例4】如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．（参考数据：sin50°≈，cos50°≈，tan50°≈）

1/1 第二十八章 锐角三角函数

单元总结

【知识要点】

知识点一 锐角三角形

锐角三角函数：如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)

定 义 表达式 取值范围 关 系

正弦 斜边的对边AAsin caAsin 1sin0A

(∠A为锐角) BAcossin

BAsincos

1cossin22AA 余弦 斜边的邻边AAcos cbAcos 1cos0A

(∠A为锐角)

正切 的邻边的对边AtanAA baAtan 0tanA

(∠A为锐角)

【正弦和余弦注意事项】 1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。

2.sinA、cosA是一个比值（数值，无单位）。

3.sinA、cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。

0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)

三角函数 30° 45° 60°

sin 21

22

23

cos 23

22

21

tan 33 1 3

正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。

正切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增大而增大， 对边

邻边 斜边

A C B

b a c 2/1 知识点二 解直角三角形

一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．

直角三角形五元素之间的关系：

1. 勾股定理（）

2. ∠A+∠B=90°

3. sin A= =

4. cos A= =

5. tan A= =

【考查题型】

考查题型一 正弦

典例1．（2020·陕西西安市·西北工业大学附属中学九年级期中）如图，在54的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sinBAC的值为（ ）

第28章 锐角三角函数

【思维导图】

28.1锐角三角函数

【知识点】

1.Rt△ABC中，∠C=90°.

（1）∠A的对边与斜边比，叫做∠A的正弦，记为sinA，即sinA=∠A的对边斜边=𝑎𝑎

（2）∠A的邻边与斜边比，叫做∠A的余弦，记为cosA，即cosA=∠A的邻边斜边=𝑎𝑎

（3）∠A的对边与邻边比，叫做∠A的正切，记为tanA，即tanA=∠A的对边∠A的邻边=𝑎𝑎

∠A的正弦、余弦、正切统称为∠A的锐角三角函数.

提示：

sin A 不是sin与A的乘积，而是一个整体，cosA和tanA同理；

锐角三角函数的三种表示方法：sin A，sin 56°，sin∠DEF.

2.一个锐角的三角函数值是一个比值，它与三角形的大小无关，它没有单位.

在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的锐角三角函数值为定值.

3.常用三角函数值：

锐角三角函数

锐角 α 30° 45° 60° sin α 12 √22 √32

cos α √32 √22 12

tan α √33 1 √3

（1）正弦值、正切值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小.

（2）sin α=cos（90°-α） cos α=sin（90°-α）

tan α·tan（90°-α）=1 （3）锐角A的正弦、余弦的取值范围分别为：0

（4）cos2A+sin2A=1 sin2A+sin2（90°-α）=1

（5）tan A=sin Acos A

4.锐角三角函数值是个常数值，它只与角的度数有关，将来离开了直角三角形也存在.

5.若α=45°，则sin α=cos α；

若α<45°，则sin α

若α>45°，则sin α>cos α；

28.2解直角三角形及其应用

28.2.1 解直角三角形

【知识点】

1.在直角三角形中，由已知元素求出其余未知元素的过程就是解直角三角形.

- 1 - 第28章 锐角三角函数 复习学案

一、课程学习目标

1、了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cos A、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆0°、30°、45°、60°、90°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角；

2、能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角；

3、理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；

4、通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受。

二、本章知识结构框图

三、知识点与方法

（一） 正弦、余弦、正切的意义 【第1课时】

（1）在Rt△ABC中，∠C=90度，则锐角A的 与 的比叫做∠A的正弦，记作 ；则锐角A的 与 的比叫做∠A的余弦，记作 ；则锐角A的 与 的比叫做∠A的正切，记作 。

（2）锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的 。

【练习】1、把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A，A′的余弦值的关系为（ ）

A．cosA=cosA′ B．cosA=3cosA′ C．3cosA=cosA′ D．不能确定

2、如图1，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且PM：OM=3：4，

- 2 - 则cosα的值等于（ ）

A．34 B．43 C．45 D．35

图1 图2 图3