人教新课标版数学高二A必修5学案 等比数列的前n项和(一)

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明目标、知重点 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式推导思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．

1．等比数列前n项和公式：

(1)公式：Sn＝ a11－qn1－q＝a1－anq1－qq≠1na1q＝1.

(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．

2．等比数列前n项和公式的变式

若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝a11－q(1－qn)＝A(qn－1)．其中A＝a1q－1.

3．错位相减法

推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．

[情境导学]

国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏象棋的发明者，问他想要什么．发明者说：“请在象棋的第一个格子里放1颗麦粒，第二个格子放2颗麦粒，第三个格子放4颗麦粒，以此类推，每个格子放的麦粒数都是前一个格子的两倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求”．国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40 g，据查目前世界年度小麦产量约6亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言．

探究点一 等比数列前n项和公式的推导

思考1 在情境导学中，如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么这个数列是怎样的高中数学-打印版

精心校对 一个数列？通项公式是什么？

答 所得数列为1,2,4,8，…，263.它首项为1，公比为2的等比数列，通项公式为an＝2n－1.

思考2 在情境导学中，国王能否满足发明者要求的问题，可转化为一个怎样的数列问题？

答 转化为求通项为an＝2n－1的等比数列前64项的和．

思考3 类比求等差数列前n项和的方法，能否用倒序相加法求数列1,2,4,8，…，263的和？为什么？

答 不能用倒序相加法，因为对应各项相加后的和不相等．

思考4 如何求等比数列{an}的前n项和Sn?

答 设等比数列{an}的首项是a1，公比是q，前n项和为Sn.

Sn写成：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.①

则qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn.②

由①－②得：(1－q)Sn＝a1－a1qn.

当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q；

当q＝1时，由于a1＝a2＝…＝an，所以Sn＝na1.

小结 (1)千粒麦子的质量约为40 g,1.84×1019粒麦子相当于7 000多亿吨，而目前世界年度小麦产量约6亿吨，所以国王是无法满足发明者要求的．

0(2)等比数列{an}的前n项和Sn可以用a1，q，an表示为

Sn＝ na1，q＝1，a1－anq1－q，q≠1.

例1 求下列等比数列前8项的和：

(1)12，14，18，…；

(2)a1＝27，a9＝1243，q<0.

解 (1)因为a1＝12，q＝12，

所以S8＝12[1－128]1－12＝255256.

(2)由a1＝27，a9＝1243，可得1243＝27·q8.

又由q<0，可得q＝－13. 高中数学-打印版

精心校对 所以S8＝27[1－－138]1－－13＝1 64081.

反思与感悟 涉及等比数列前n项和时，要先判断q＝1是否成立，防止因漏掉q＝1而出错．

跟踪训练1 若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.

答案 2 2n＋1－2

解析 设等比数列的公比为q，由a2＋a4＝20，a3＋a5＝40.∴20q＝40，且a1q＋a1q3＝20，解之得q＝2，且a1＝2.

因此Sn＝a11－qn1－q＝2n＋1－2.

探究点二 等比数列前n项和的实际应用

例2 某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)?

解 根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同．所以，从今年起，每年的销售量组成一个等比数列{an}，其中a1＝5 000，q＝1＋10%＝1.1，Sn＝30 000.

于是得到5 0001－1.1n1－1.1＝30 000.

整理，得1.1n＝1.6.

两边取对数，得nlg 1.1＝lg 1.6.

用计算器算得n＝lg 1.6lg 1.1≈0.200.041≈5(年)．

答 大约5年可以使总销量达到30 000台．

反思与感悟 解应用题先要认真阅读题目，尤其是一些关键词：“平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%”．理解题意后，将文字语言向数字语言转化，建立数学模型，再用数学知识解决问题．

跟踪训练2 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？

解 用an表示热气球在第n分钟上升的高度，

由题意，得an＋1＝45an， 高中数学-打印版

精心校对 因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝45的等比数列．

热气球在前n分钟内上升的总高度为

Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a11－qn1－q

＝25×1－45n1－45＝125×1－45n<125.

故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.

探究点三 错位相减法求和

思考 教材中推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．这种方法也适用于一个等差数列{an}与一个等比数列{bn}对应项之积构成的新数列求和．如何用错位相减法求数列{n2n}前n项和？

答 设Sn＝12＋222＋323＋…＋n2n，

则有12Sn＝122＋223＋…＋n－12n＋n2n＋1，

两式相减，得Sn－12Sn＝12＋122＋123＋…＋12n－n2n＋1，

即12Sn＝121－12n1－12－n2n＋1＝1－12n－n2n＋1.

∴Sn＝2－12n－1－n2n＝2－n＋22n.

例3 求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn (x≠0)．

解 分x＝1和x≠1两种情况．

当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12.

当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，

xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，

∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1

＝x1－xn1－x－nxn＋1.∴Sn＝x1－xn1－x2－nxn＋11－x. 高中数学-打印版

精心校对 综上可得Sn＝ nn＋12 x＝1，x1－xn1－x2－nxn＋11－x x≠1且x≠0.

反思与感悟 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法．

跟踪训练3 求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)·an－1的前n项和．

解 (1)当a＝0时，Sn＝1.

(2)当a＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n－1)，

则Sn＝n[1＋2n－1]2＝n2.

(3)当a≠1且a≠0时，

有Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1①

aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)·an②

①－②得

Sn－aSn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)·an，

(1－a)Sn＝1－(2n－1)an＋2(a＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1)

＝1－(2n－1)an＋2·a1－an－11－a

＝1－(2n－1)an＋2a－an1－a，

又1－a≠0，∴Sn＝1－2n－1an1－a＋2a－an1－a2.

综上，Sn＝ 1 a＝0，n2 a＝1，1－2n－1an1－a＋2a－an1－a2 a≠0且a≠1. 高中数学-打印版

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1．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn为( )

A.1－xn1－x B.1－xn－11－x

C. 1－xn1－x，x≠1，n， x＝1 D. 1－xn－11－x，x≠1，n， x＝1

答案 C

解析 当x＝1时，Sn＝n；

当x≠1时，Sn＝1－xn1－x.

2．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则S4a2等于( )

A．2 B．4 C.152 D.172

答案 C

解析 方法一 由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a2q＋a2＋a2q＋a2q2，

得S4a2＝1q＋1＋q＋q2＝152.

方法二 S4＝a11－q41－q，a2＝a1q，

∴S4a2＝1－q41－qq＝152.

3．等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项的和是( )

A．179 B．211 C．243 D．275

答案 B

解析 ∵q4＝a5a1＝1681＝(23)4，且q>0，

∴q＝23，

∴S5＝a1－a5q1－q＝81－16×231－23＝211. 高中数学-打印版

精心校对 4．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．

答案 11a(1.15－1)

解析 注意去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.

∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1)．

[呈重点、现规律]

1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．

2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．

3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减的方法求和．

一、基础过关

1．设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则Sn等于( )

A.n[－1n－1]2 B.－1n＋1＋12

C.－1n＋12 D.－1n－12

答案 D

解析 Sn＝－1[1－－1n]1－－1＝－1n－12.

2．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于( )

A．33 B．72

C．84 D．189

答案 C

解析 由S3＝a1(1＋q＋q2)＝21且a1＝3，得q2＋q－6＝0.

∵q>0，∴q＝2.

∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝22·S3＝84.