2018版高中数学人教版A版必修五学案：§2.5 等比数列的前n项和(一)

人教版高中数学必修五

1 §2.4 等比数列(一)

学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念并会简单应用(重点)；2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式，了解其推导过程(重、难点).

知识点1 等比数列的定义及通项公式

【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)等比数列的公比可以为任意实数.( )

(2)若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常数，则这个数列是等比数列.( )

(3)常数列既是等差数列又是等比数列.( )

提示 (1)公比不可以为0.

(2)应为同一个常数.

(3)0数列除外.

答案 (1)× (2)× (3)×

知识点2 等比中项的概念

如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G＝±ab.

【预习评价】

1.已知等比数列{an}中，a1＝1，a3＝9，则a2＝________.

解析 ∵a3＝a1·q2. 人教版高中数学必修五

2 ∴9＝q2，

∴q＝±3，

∴a2＝a1q＝±3.

答案 ±3

2.3与27的等比中项是________.

解析 由于G2＝3×27＝81，故G＝±9.

答案 ±9

题型一 等比数列通项公式的应用

【例1】 在等比数列{an}中，

(1)已知a3＝9，a6＝243，求a5；

(2)已知a1＝98，an＝13，q＝23，求n.

解 (1)法一 由a3＝9，a6＝243，

得a1q2＝9，a1q5＝243.

∴q3＝2439＝27，∴q＝3.∴a1＝1.

∴a5＝a1q4＝1×34＝81.

法二 ∵a6＝a3q3，∴q3＝a6a3＝2439＝27，∴q＝3.

∴a5＝a3q2＝9×32＝81.

(2)∵a1＝98，q＝23，an＝13，

∴13＝98×23n－1.

∴23n－1＝827＝233.

∴n－1＝3，∴n＝4. 人教版高中数学必修五

3 规律方法 等比数列的通项公式及变形的应用

2.4等比数列

【学习目标】

理解等比数列、等比中项的概念，能推导并掌握通项公式，能熟练运用通项公式和一些常用性质解决有关问题．

【重点难点】

重点：等比数列的定义和通项公式及其应用．

难点：等比数列的通项公式的应用．

【学法指导】

学习本节一定要认真阅读教材，运用从特殊到一般和类比等差数列的定义、通项公式的方法归纳等比数列的定义、通项公式．

一.课前预习

阅读课本4852PP页，弄清下列问题：

1．等比数列的概念： ．

2．用数学式子表示等比数列的定义： {}na 是等比数列，则*1()nnaqnNa．

强调：（1）“从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数”，要防止在求公比

时，把相邻两项比的次序颠倒．

（2）等比数列的公比可正可负，但不能为 ．

（3）当公比q＝ 时，等比数列是常数列，该数列也是等差数列．

（4）等比数列的每一项都不为

．

3．等比数列的通项公式：

．

4．等比中项的定义： ．

5．快乐体验：

(1)若等比数列155,45aa，求公比q； (2)若等比数列12,33aq，求4a．

(3)若等比数列3312,2aq，求1a； (4)若等比数列的12,54,3,naaq求n．

(5)若4,9ab，求,ab的等比中项．

二．课堂学习与研讨

例1．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留量是原来的84%．这种物质的半衰期为多长？（精确到1年）

（参考数据：lg20.3010,lg0.840.0757,0.30100.07573.98）

练习1．（教材53P练习5）某人买了一辆价值13．5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度折旧．

高中数学-打印版

精心校对

明目标、知重点 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式推导思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．

1．等比数列前n项和公式：

(1)公式：Sn＝ a11－qn1－q＝a1－anq1－qq≠1na1q＝1.

(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．

2．等比数列前n项和公式的变式

若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝a11－q(1－qn)＝A(qn－1)．其中A＝a1q－1.

3．错位相减法

推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．

[情境导学]

国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏象棋的发明者，问他想要什么．发明者说：“请在象棋的第一个格子里放1颗麦粒，第二个格子放2颗麦粒，第三个格子放4颗麦粒，以此类推，每个格子放的麦粒数都是前一个格子的两倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求”．国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40 g，据查目前世界年度小麦产量约6亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言．

探究点一 等比数列前n项和公式的推导

思考1 在情境导学中，如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么这个数列是怎样的高中数学-打印版

精心校对 一个数列？通项公式是什么？

答 所得数列为1,2,4,8，…，263.它首项为1，公比为2的等比数列，通项公式为an＝2n－1.

思考2 在情境导学中，国王能否满足发明者要求的问题，可转化为一个怎样的数列问题？

答 转化为求通项为an＝2n－1的等比数列前64项的和．

思考3 类比求等差数列前n项和的方法，能否用倒序相加法求数列1,2,4,8，…，263的和？为什么？

答 不能用倒序相加法，因为对应各项相加后的和不相等．

思考4 如何求等比数列{an}的前n项和Sn?

1 数列中na与nS的关系探究

学习目标：

1、理解数列的前n项和nS与通项na的关系；对数列的前n项和nS与通项na的关系能有较深刻的理性认识，会变形利用.2,;1,11nSSnSannn )(*Nn来解决一些与na及nS有关联的一定难度的灵活性、综合性问题，形成技能。

2、通过对问题探究与变式训练，体会.2,;1,11nSSnSannn )(*Nn联结数列的通项na和前n项和nS的作用。

教学重点和难点：

重点：由数列前n项和nS与通项na的关系求na；

难点：（1）由1nnSS及使用1nnnSSa的前提条件”“2n ；

（2）由数列前n项和nS与通项na的关系，进行na与nS的转化。

学习过程：

1、回顾：

我们前面学过等差数列、等比数列，可以由an→Sn，如等差数列中有2)(1nnaanS；等比数列中有

1(1)1nnaaqSqq还可以由Sn→an ，如已知22nSnn，可以求an 。

2、问题引入：

如果知道an 与Sn之间的关系式，能否求an 或Sn呢？

3、典型例题及类题演练：

例1：2016年全国III卷17题：已知数列}{na的前n项和nnaS1，其中0。

（1）、证明}{na是等比数列，并求其通项公式；(2)、若32315S，求。

类题演练：

2 2015年全国I卷17：nS为数列}{na的前n项，已知342,02nnnnSaaa.

（1）、求}{na的通项公式；

（2）、设11nnnaab，求数列}{nb的前n项和。

问题演变：

变式：已知正项数列{an}的前n项和为nS,a1=3,且)2(21naSSnnn，求该数列的通项an。

类题演练：

数列{an}中，已知31a，其前n项和为1211nnaS，则na=

3 例2：已知数列{an}中，11a，前n项和nS满足)2(21nSSannn，