人教新课标版数学高二B必修5学案 2.3.2 等比数列的前n项和(二)

2.3.2 等比数列的前n项和(二)

明目标、知重点 1.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.2.应用方程的思想方法解决与等比数列前n项和有关的问题．

1．等比数列的前n项和的变式

(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，当公比q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1qn－1q－1＝a1－anq1－q＝a1qnq－1－a1q－1；

当q＝1时，Sn＝na1.

(2)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝a11－qn1－q，它可以变形为Sn＝－a11－q·qn＋a11－q，设A＝a11－q，上式可写成Sn＝－Aqn＋A.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．

当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．

2．等比数列前n项和的性质

(1)连续m项的和(如Sm、S2m－Sm、S3m－S2m)，仍构成等比数列．(注意：q≠－1或m为奇数)

(2)Sm＋n＝Sm＋qmSn(q为数列{an}的公比)．

(3)若{an}是项数为偶数、公比为q的等比数列，则S偶S奇＝q.

上一节我们学习了等比数列的前n项和的公式，那么该公式与相应的函数有怎样的关系？等比数列的前n项和又有怎样的性质？如何利用这些性质解题？这是我们本节研究的主要内容．

探究点一 等比数列前n项和Sn的函数特征

思考1 设等比数列{an}的前n项和为Sn，当公比q＝1时，Sn对应怎样的函数？其函数图象又如何？

答 当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn与n成正比．当q＝1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是正比例函数y＝a1x图象上一些孤立的点． 思考2 设等比数列{an}的前n项和为Sn，当公比q≠1时，Sn对应怎样的函数？其函数图象又如何？

答 当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝a11－q(1－qn)＝a1q－1(qn－1)．设A＝a1q－1，则上式可以写为Sn＝A(qn－1)．由此可见，q≠1时，由等比数列前n项和Sn构成的点列(1，S1)，(2，S2)，(3，S3)，…，(n，Sn)位于函数y＝A(qx－1)的图象上．

思考3 数列{an}的前n项和Sn构成了一个新的数列：S1，S2，S3，…，Sn，….你能完成这个新数列的递推关系 S1＝

Sn＝Sn－1＋ n>1吗？

答 S1＝a1，当n>1时，Sn＝Sn－1＋an.

小结 思考3中的递推关系，变式可得an＝ S1 n＝1，Sn－Sn－1 n≥2.就是前面学过的已知Sn求通项an.

例1 设f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1 (n∈N＋)，则f(n)等于( )

A.27(8n－1) B.27(8n＋1－1)

C.27(8n＋2－1) D.27(8n＋3－1)

答案 B

解析 f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1＝21－8n＋11－8

＝27(8n＋1－1)．

反思与感悟 数列是一个特殊的函数，数列的通项公式和数列前n项和公式都是关于n的函数．所以利用函数的思想解题，是解决数列问题的基本方法．

跟踪训练1 若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.

答案 －13

解析 显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，

又Sn＝13·3n＋t，∴t＝－13.

探究点二 等比数列前n项和的性质

思考1 等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，Sm＋n与Sm及Sn有怎样的关系？为什么？

答 Sm＋n＝Sm＋qmSn. 证明如下：

左边＝Sm＋n＝(a1＋a2＋…＋am)＋(am＋1＋am＋2＋…＋am＋n)＝Sm＋(a1qm＋a2qm＋…＋anqm)

＝Sm＋(a1＋a2＋…＋an)qm＝Sm＋qmSn＝右边，

∴Sm＋n＝Sm＋qmSn.

思考2 在等比数列{an}中，若连续m项的和不等于0，则它们仍组成等比数列．即Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列．怎样证明这个关系？

答 ∵在等比数列{an}中有am＋n＝amqn，

∴Sm＝a1＋a2＋…＋am，

S2m－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋a2m＝a1qm＋a2qm＋…＋amqm＝(a1＋a2＋…＋am)qm＝Sm·qm.

同理S3m－S2m＝Sm·q2m，…，

在Sm≠0时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，仍组成等比数列．

例2 已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n)．

证明 方法一 设此等比数列的公比为q，首项为a1，

当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，

∴S2n＋S22n＝n2a21＋4n2a21＝5n2a21，

Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a21，

∴S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n)．

当q≠1时，Sn＝a11－q(1－qn)，

S2n＝a11－q(1－q2n)，S3n＝a11－q(1－q3n)，

∴S2n＋S22n＝a11－q2·

＝a11－q2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)．

又Sn(S2n＋S3n)＝a11－q2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)，

∴S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n)．

方法二 根据等比数列性质，

有S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn， ∴S2n＋S22n＝S2n＋2＝S2n(2＋2qn＋q2n)，

Sn(S2n＋S3n)＝S2n(2＋2qn＋q2n)．

∴S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n)．

反思与感悟 运用等比数列的前n项和公式要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．

跟踪训练2 在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.

解 因为S2n≠2Sn，所以q≠1，

由已知得 a11－qn1－q＝48a11－q2n1－q＝60 ①②

②÷①得1＋qn＝54，即qn＝14.③

将③代入①得a11－q＝64，

所以S3n＝a11－q3n1－q＝64×1－143＝63.

探究点三 等差、等比数列前n项和的综合问题

例3 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2(n∈N＋)，在数列{bn}中，b1＝1，点P(bn，bn＋1)在直线x－y＋2＝0上．

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)记Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，求Tn.

解 (1)由Sn＝2an－2，得Sn－1＝2an－1－2(n≥2)，

两式相减得an＝2an－2an－1，即anan－1＝2(n≥2)，

又a1＝2a1－2，∴a1＝2，

∴{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴an＝2n.

∵点P(bn，bn＋1)在直线x－y＋2＝0上，

∴bn－bn＋1＋2＝0，即bn＋1－bn＝2，

∴{bn}是等差数列，∵b1＝1，∴bn＝2n－1. (2)∵Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n①

∴2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)·2n＋1②

①－②得：

－Tn＝1×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)·2n＋1

＝2＋2·22－2n·21－2－(2n－1)2n＋1

＝2＋4·2n－8－(2n－1)2n＋1

＝(3－2n)·2n＋1－6

∴Tn＝(2n－3)·2n＋1＋6.

反思与感悟 等差数列与等比数列既有类似的部分，又有区别，要在应用中加强记忆．同时，用好性质也会降低解题的运算量，从而减少差错．

跟踪训练3 在等比数列{an}中，an>0 (n∈N＋)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，当S11＋S22＋…＋Snn最大时，求n的值．

解 (1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，

∴a23＋2a3a5＋a25＝25，

又an>0，∴a3＋a5＝5.又a3与a5的等比中项为2，

∴a3a5＝4，而q∈(0,1)，∴a3>a5，∴a3＝4，a5＝1.

∴q＝12，a1＝16，∴an＝16×12n－1＝25－n.

(2)bn＝log2an＝5－n，∴bn＋1－bn＝－1，

∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列，

∴Sn＝n9－n2，∴Snn＝9－n2，

∴当n≤8时，Snn>0；

当n＝9时，Snn＝0； 当n>9时，Snn<0.

∴当n＝8或9时，S11＋S22＋S33＋…＋Snn最大．

1．一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )

A．190 B．191

C．192 D．193

答案 C

解析 设最底面一层灯的盏数为a1，

则公比q＝12，n＝7，由a11－1271－12＝381，

解得a1＝192.

2．已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且a≠1的常数)，则数列{an}( )

A．一定是等差数列

B．一定是等比数列

C．或者是等差数列，或者是等比数列

D．既非等差数列，也非等比数列

答案 B

解析 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1；

当n＝1时，a1＝a－1，∴an＝(a－1)·an－1，n∈N＋.

∴an＋1an＝a.

3．一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为( )

A．180 B．108 C．75 D．63

答案 D

解析 由题意得S7，S14－S7，S21－S14组成等比数列48,12,3，即S21－S14＝3，∴S21＝63.

4．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k＝________.

答案 －1

解析 当n＝1时，a1＝S1＝3＋k，