初二数学待定系数法例题

初二函数专题6--用待定系数法求解析式一、用待定系数法求解析式 1、已知函数图象如图所示，则此函数的解析式为（ ） A.2y x =- B.2(10)y x x =--<<C.12y x =-D. 1(10)2y x x =--<<2、已知一次函数的图象经过(3，2)和(1，-2)两点． 求这个一次函数的解析式．3、已知一次函数y ax b =+的图象经过点()023A -，，()143B -，，()4C c c +，． ⑴ 求c ；⑴ 求222a b c ab ac bc ++---的值．4、一条直线l 经过不同的三点A (a ,b )，B (b ,a )，C (a b -，b a -)，那么直线l 经过 象限．二、根据位置关系求解析式5、已知一次函数y kx b =+的图象与直线21y x =+平行并且过点P (-1，2)，求这个一次函数的解析式．6、如图，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ．三、根据函数定义求解析式7、已知212y y y =+，其中1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当2x =和3x =时，y 的值都为l9，求y 与变量x 的函数关系式．8、已知函数y (32)(4)a x b =+--为正比例函数。

（1）求a b 、的取值范围；（2）a b 、为何值时，此函数的图象过一、三象限。

9、已知y 与1x -成正比例，且当3x =时5y =.求y 与x 之间的函数关系式．y xO3214321A四、根据增减性求解析式10、已知一次函数y kx b =+中自变量x 的取值范围为26x -<<，相应的函数值的范围是119y -<<，求此函数的解析式。

11、已知函数(2)31y a x a =---，当自变量x 的取值范围为35x ≤≤时，y 既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，则实数a 的取值范围为 ．12、已知一次函数y kx b =+，当31x -≤≤时，对应的y 值为19y ≤≤，求kb 的值.13、一次函数y mx n =+(0m ≠)，当25x -≤≤时，对应的y 值为07y ≤≤，求一次函数的解析式.14、⑴已知关于x 的一次函数()372y a x a =-+-的图象与y 轴交点在x 轴的上方，且y 随x 的增大而减小，求a 的取值范围.⑴已知一次函数y kx b =+，当31x -≤≤时，对应的y 值为19y ≤≤，求kb 的值.参考答案用待定系数法求解析式1、用待定系数法求解析式【例1】 已知函数图象如图所示，则此函数的解析式为（ ）A.2y x =-B.2(10)y x x =--<<C.12y x =-D. 1(10)2y x x =--<<【解析】 由题意，正比例函数经过点（-1，2），求出函数解析式为2y x =-，同时根据图象看出自变量的取值范围为10x -<<答案：B【例2】 已知一次函数的图象经过(3，2)和(1，-2)两点．求这个一次函数的解析式．【解析】 设这个一次函数的解析式为：y kx b =+，由题意可知322k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解得24k b =⎧⎨=-⎩故这个一次函数的解析式为：24y x =-．【点评】这种首先设出函数解析式，然后再根据已知条件求出函数解析式的系数的方法，称为“待定系数法”．【例3】 (09四川泸州)已知一次函数y ax b =+的图象经过点()023A -，，()143B -，，()4C c c +，． ⑴ 求c ；⑴ 求222a b c ab ac bc ++---的值．【解析】 ⑴根据已知()023A -，，()143B -，，求出一次函数解析式为223y x =+-，再把C 点坐标代入得23c =+．⑴()()()222222192a b c ab ac bc a b b c a c ⎡⎤++---=-+-+-=⎣⎦∵【点评】第二小问老师应该详细分析【例4】 (江苏省初中数学竞赛试题)一条直线l 经过不同的三点A (a ,b )，B (b ,a )，C(a b -，b a -)，那么直线l 经过 象限．【解析】 设直线l 的解析式为y kx t =+，因点A 、B 在直线l 上．⑴b ka ta kb t =+⎧⎨=+⎩，⑴a b =/，解得：1k =-,故直线l 的解析式为y x =-+t ． 又点C 在直线l 上．⑴()b a a b t -=--+，得0t =．即直线l 的解析式为y x =-，可知l 经过二、四象限．2、根据位置关系求解析式【例5】 已知一次函数y kx b =+的图象与直线21y x =+平行并且过点P (-1，2)，求这个一次函数 的解析式．【解析】 根据题意可设此函数解析式为2y x b =+，过点P (-1，2)，解得4b =，解析式为24y x =+.【例6】 (08年上海市中考题)如图，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ．【解析】 根据题意可得OA 的解析式为2y x =，向上平移一个单位以后，可得：12y x -=，即21y x =+3、根据函数定义求解析式【例7】 已知212y y y =+，其中1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当2x =和3x =时，y 的值都为l9，求y 与变量x 的函数关系式．【解析】 根据已知条件，设11y k x =，22k y x = (1k ，2k 均不为零)，于是，得：2221212k y y y k x x=+=+将2x =，3x =代入212y y y =+得：22122121943199k k k k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解之：122536k k =⎧⎪⎨=⎪⎩，⑴2365y x x =+【补充】已知函数y (32)(4)a x b =+--为正比例函数。

待定系数法练习题初二待定系数法是解一元二次方程的常用方法之一，通过构造一个满足方程的特定形式的二次方程，然后求解该二次方程得到原方程的解。

下面将介绍一些初中二年级学生可以进行练习的待定系数法习题。

题目一：已知方程x^2 - 6x + k = 0（式1）有两个相等的实根，求实数k的值。

解题思路：由题意可知，方程只有一个实根时，其判别式D=0。

将方程1带入判别式公式中，得到D=(-6)^2 - 4(1)(k) = 36 - 4k。

根据方程只有一个实根时的判别式为0，我们可以得到36 - 4k = 0，解方程得k = 9。

题目二：求方程x^2 - 4x - 5 = 0（式2）的根。

解题思路：我们可以利用待定系数法解这个方程。

设方程的两个根为α和β，那么方程可以写成(x - α)(x - β) = 0。

根据展开得到x^2 - (α + β)x + αβ = 0（式3）。

由方程2可知，系数 a = 1，b = -4，c = -5。

比较式3与方程2的系数，可以得到：α + β = -(-4) = 4，即α + β = 4（式4）；αβ = -5（式5）。

根据式4可以得到α = 4 - β（式6），将式6代入式5，得到(4 - β)β = -5，将等式转化为二次方程，β^2 - 4β - 5 = 0，通过求解这个二次方程得到β的值，再将β代入式6求出α的值，即得到方程的两个根。

题目三：已知方程x^2 + px + q = 0的两个根的和为7，积为12，求实数p和q的值。

解题思路：由题意可知，方程的两个根的和是7，即α + β = 7（式7）；方程的两个根的积是12，即αβ = 12（式8）。

我们可以利用待定系数法解这个方程。

设方程的两个根为α和β，那么方程可以写成(x - α)(x - β) = 0。

根据展开得到x^2 - (α + β)x + αβ = 0。

根据式7和式8可以得到方程为x^2 - 7x + 12 = 0（式9）。

一次函数待定系数法一次函数待定系数法是解决一元一次方程组的一种常用方法，通过设定待定系数，将方程转化为未知数为常数的形式，从而求出未知数的值。

一次函数待定系数法也被广泛用于物理学、经济学等领域的实际问题求解。

设一元一次方程为ax+b=0，其中a、b为常数，为求解方程，设未知数为x，待定系数为k，即：x=k将x=k代入原方程，得：ak+b=0此时方程的未知数为常数k，将a、b看作已知量，可以直接求解出k的值，从而得到方程的解。

值得注意的是，待定系数的设定需要根据具体情况来确定，一般应该设定为能够使计算简便、公式简单的值。

例题一：已知一元一次方程2x+3=7，试用待定系数法求解该方程。

2k+3=7将方程移项并合并同类项，得到：2k=4于是得到待求的未知数k为：方程的解为：3k-5=16一次函数待定系数法的优点是计算简便、易于掌握，适用于一些简单的问题求解。

该方法不仅可以用于未知数为常数的一元一次方程，还可以推广到一些更高阶的方程组求解，例如二元一次方程组、二元二次方程组等。

一次函数待定系数法的缺点是其需要设定待定系数，而待定系数的选择对结果有决定性影响。

如果待定系数选择不合适，有可能会导致答案错误。

在一些复杂的问题求解中，一次函数待定系数法可能不太适用，对于这些问题，需要采用其他更加复杂的方法进行求解。

结束语一次函数待定系数法是解决一元一次方程组常用的方法之一。

本文主要介绍了一次函数待定系数法的原理、优点和缺点，并通过例子进行了实际练习。

希望本文对读者掌握一次函数待定系数法有所帮助。

一次函数待定系数法是学习数学时必须掌握的基础内容，适用范围广泛，应用于物理学、经济学等领域的实际问题求解。

在应用中，一次函数待定系数法具有数值计算快捷和解法简单等优点，但同时存在着较为明显的一些不足之处。

一次函数待定系数法的优点之一是计算速度快，能够在较短时间内求得答案。

这是由于该方法以待定系数为中心，旨在通过设定合适的待定系数，将方程转换为未知数为常数的形式，从而使得计算更为简便。

初中数学常考的知识点待定系数法待定系数法在初中数学中是一个非常重要的解题方法。

它通常用于解决一元一次方程组、二次方程、代数式的展开和因式分解等问题。

接下来，我将详细介绍待定系数法的基本概念、解题步骤以及一些常见的例题。

一、待定系数法的基本概念待定系数法是通过假设未知量的值为一些系数，然后通过数学运算得到方程组的解。

在待定系数法中，我们可以假设未知量是一个常数、一个变量，甚至是一个代数式。

二、待定系数法的解题步骤1.了解问题并设定未知量：首先，我们要仔细阅读题目，理解问题的要求，并确定需要求解的未知量。

2.假设未知量：根据题目的要求，我们根据经验和数学常识假设未知量的值。

3.建立方程：根据已知条件和假设的未知量，我们可以建立方程组或方程。

4.求解方程：将方程组或方程进行化简和整理，找到未知量的值。

5.验证解：将求得的未知量的值代入原方程中验证是否满足题目要求。

6.提出结论：根据求得的解和验证的结果，给出问题的最终解答。

三、待定系数法的常见例题1.一元一次方程组例题1：已知二次方程的两个根为4和-3，求该二次方程。

解析：根据二次方程的性质，已知根x1和x2，可以得到二次方程为(x-x1)(x-x2)=0，即(x-4)(x+3)=0。

将括号中的每个因式展开，得到x^2-x(4+3)+12=0，即x^2-7x+12=0。

2.二次方程例题2：求满足方程x^2+6x=8的x的值。

解析：我们可以假设x的值为a，即x=a，代入方程中得到a^2+6a=8、将方程化简为a^2+6a-8=0。

对于这个二次方程，我们需要用待定系数法求解，设定未知量为a，设定的a是一个常数。

然后，我们将这个方程因式分解为(a-1)(a+8)=0，即a-1=0或a+8=0。

解得a=1或a=-8，即x=1或x=-83.代数式的展开和因式分解例题3：将代数式(x-2)(x+3)展开。

解析：根据分配律，我们可以得到(x-2)(x+3)=x(x+3)-2(x+3)。

待定系数法 习题训练Ⅰ、再现性题组：1. 设f(x)＝x 2＋m ，f(x)的反函数f -1(x)＝nx －5，那么m 、n 的值依次为_____。

A. 52 , －2 B. －52 ， 2 C. 52 , 2 D. －52，－2 2. 二次不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－12,13)，则a ＋b 的值是_____。

A. 10 B. －10 C. 14 D. －143. 在(1－x 3)（1＋x ）10的展开式中，x 5的系数是_____。

A. －297B.－252C. 297D. 2074. 函数y ＝a －bcos3x (b<0)的最大值为32，最小值为－12，则y ＝－4asin3bx 的最小正周期是_____。

5. 与直线L ：2x ＋3y ＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L ’的方程是_______________。

6. 与双曲线x 2－y 24＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是____________。

【简解】1小题：由f(x)＝x 2＋m 求出f -1(x)＝2x －2m ，比较系数易求，选C ； 2小题：由不等式解集(－12,13)，可知－12、13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根，代入两根，列出关于系数a 、b 的方程组，易求得a ＋b ，选D ；3小题：分析x 5的系数由C 105与(－1)C 102两项组成，相加后得x 5的系数，选D ；4小题：由已知最大值和最小值列出a 、b 的方程组求出a 、b 的值，再代入求得答案23π； 5小题：设直线L ’方程2x ＋3y ＋c ＝0，点A(1,-4)代入求得C ＝10，即得2x ＋3y ＋10＝0；6小题：设双曲线方程x 2－y 24＝λ，点(2,2)代入求得λ＝3，即得方程x 23－y 212＝1。

Ⅱ、示范性题组：例1. 已知函数y ＝mx x n x 22431+++的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。

待定系数法求函数解析式10题1. 题目：已知一次函数y = kx + b的图象经过点(1,3)和( - 1, - 1)，求这个一次函数的解析式。

- 解答：- 因为一次函数y = kx + b的图象经过点(1,3)和( - 1, - 1)，所以把这两个点分别代入函数解析式中。

- 当x = 1，y = 3时，得到3=k×1 + b，也就是k + b=3；当x=-1，y = - 1时，得到-1=k×(-1)+b，也就是-k + b=-1。

- 现在有了一个方程组k + b = 3 -k + b=-1。

- 把这两个方程相加，(k + b)+(-k + b)=3+(-1)，得到2b = 2，解得b = 1。

- 把b = 1代入k + b = 3，得到k+1 = 3，解得k = 2。

- 所以这个一次函数的解析式是y = 2x+1。

2. 题目：二次函数y = ax^2+bx + c的图象经过点(0,1)，(1,2)，( - 1,4)，求这个二次函数的解析式。

- 解答：- 因为二次函数y = ax^2+bx + c的图象经过点(0,1)，(1,2)，( - 1,4)。

- 当x = 0，y = 1时，代入解析式得1=a×0^2+b×0 + c，也就是c = 1。

- 当x = 1，y = 2时，得到2=a×1^2+b×1 + c，也就是a + b + c=2；当x=-1，y = 4时，得到4=a×(-1)^2+b×(-1)+c，也就是a - b + c = 4。

- 因为c = 1，所以把c = 1代入a + b + c = 2和a - b + c = 4中，得到a + b+1 = 2 a - b+1 = 4。

- 化简这两个方程得a + b = 1 a - b = 3。

- 把这两个方程相加，(a + b)+(a - b)=1 + 3，得到2a = 4，解得a = 2。

初二待定系数法试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 待定系数法主要用于求解哪种类型的方程组？A. 一元一次方程B. 二元一次方程组C. 三元一次方程组D. 非线性方程组2. 在使用待定系数法时，我们首先需要做的是：A. 确定系数的值B. 设定系数为未知数C. 解方程D. 检查方程的解3. 如果方程组中有两个未知数，我们通常设定几个系数？A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. 下列哪个方程组适合使用待定系数法求解？A. x + y = 5B. x^2 + y^2 = 10C. 3x - 2y = 11D. A + B = 55. 使用待定系数法求解方程组时，最终的目的是：A. 列出方程组B. 设定系数C. 确定系数的值D. 验证解的正确性二、填空题（每题2分，共10分）6. 设定系数为\( a \)和\( b \)，方程组为\( ax + by = c \)和\( dx + ey = f \)，我们需要求解\( a \)和\( b \)的值，使得方程组有唯一解。

7. 当方程组的系数矩阵为方阵且行列式不为零时，该方程组有________解。

8. 待定系数法中，如果方程组的系数矩阵不是方阵，我们通常使用________方法来求解。

9. 在求解方程组\( 2x + 3y = 7 \)和\( 4x - y = 5 \)时，我们可以设定系数\( m \)和\( n \)，使得\( mx + ny = 7 \)和\( mx - ny = 5 \)，然后求解\( m \)和\( n \)。

10. 如果方程组的系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，则该方程组无________。

三、解答题（每题15分，共30分）11. 给定方程组\( 3x + 4y = 12 \)和\( 5x - 2y = 1 \)，使用待定系数法求解\( x \)和\( y \)的值。

12. 解释待定系数法的基本原理，并给出一个具体的例子来说明其求解过程。

初二待定系数法练习题及答案一、解方程1. 求解方程：3x + 5 = 8解答：首先将方程中的常数项移到右边：3x = 8 - 53x = 3然后将系数3移到右边：x = 1答案：x = 12. 求解方程：2(y + 3) = 10解答：先将括号中的式子进行运算：2y + 6 = 10然后将常数项移到右边：2y = 10 - 62y = 4最后将系数2移到右边：y = 2答案：y = 2二、利用待定系数法解题3. 利用待定系数法解方程组：2x + y = 53x - y = 1解答：设未知数的系数为a、b，得到方程组：2x + y = 5 （1）3x - y = 1 （2）将方程（1）和方程（2）中的y项消去，得到等式：2x + y + 3x - y = 5 + 15x = 6解得：x = 6/5将x的值代入方程（1）中，得：2(6/5) + y = 512/5 + y = 5y = 25/5 - 12/5y = 13/5答案：x = 6/5，y = 13/54. 利用待定系数法解方程组：3x - y + 2z = 7x + y - 3z = -12x + 3y + z = 10解答：设未知数的系数为a、b、c，得到方程组：3x - y + 2z = 7 （1）x + y - 3z = -1 （2）2x + 3y + z = 10 （3）将方程（1）、（2）和（3）中的y项和z项消去，得到等式：3x - y + 2z + x + y - 3z + 2x + 3y + z = 7 - 1 + 106x = 16解得：x = 16/6 = 8/3将x的值代入方程（1）、（2）和（3）中，得：3(8/3) - y + 2z = 78 - y + 2z = 7-y + 2z = -1 （4）8/3 + y - 3z = -1y - 3z = -1 - 8/3y - 3z = -3/3 - 8/3y - 3z = -11/3 （5）2(8/3) + 3y + z = 1016/3 + 3y + z = 103y + z = 10 - 16/33y + z = 30/3 - 16/33y + z = 14/3 （6）从等式（4）、（5）和（6）中解得：y = 1，z = 3答案：x = 8/3，y = 1，z = 3总结：通过待定系数法，我们可以解决一般的线性方程和线性方程组，通过设定适当的未知数系数，将方程中的未知数进行消去，从而得到最终的解答。

第15讲 待定系数法给我五个系数，我将画出一头大象；给我六个系数，大象将会摇动尾巴。

——柯西知识方法扫描在解答一些与多项式相关的问题时，可先设出某些尚待确定的系数，然后根据已知条件来确定这些系数的值，从而解决问题，这样的方法，称为待定系数法。

确定待定系数的办法因题而异，其中使用得最多的是恒等式的概念和多项式的恒等定理:即如果两个化简后的多项式恒等，那么它们对应的同次项的系数分别相等。

经典例题解析例1．(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛试题)如果2x 2 - 3x -1与a(x-1)2+b(x-1)+c 是同一个多项式的不同形式，那么cb a += 解法1 由已知2x 2-3x-1 =a(x-1)2+b(x-1)+c= ax 2 - 2ax+a 十bx -b+c=ax 2+（b- 2a ）x+a-b+c根据恒等式的性质⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=-=1,32,2c b a a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-===.2,1,2c b a所以⋅⋅-=-+=+25212c b a 解法2 由已知2x 2-3x-1=a (x-1)2+b (x-l) +c根据恒等式的意义，当x 取0、1、2时，等式仍然成立所以 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+-=-.1,2,1c b a c c b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-===.2,1,2c b a 故23212-=-+=+c b a 评注 解法1是根据恒等式的性质，比较等式两边的同次项系数，得到关于待定系数的方程组，从而求出未知系数的值．因此，这种方法又叫比较系数法； 解法2是根据恒等式的意义，对a 赋以不同的值得到关于未知系数的方程组，从而求出未知系数的值，这种方法又叫做赋值法． 例2．(1983年黄石市初中数学竞赛试题)设)(x f 为x 的多项式，当1+=a x 时，)(x f 的值是 152)1(2+-=+a a a f ，试求出多项式)(x f解 设C a B a A a f ++++=+)1()1()1(2，则)1(152)1()1(22+-≡++++a a C a B a A令1-=a ，代入(1)中即得C=8．再将C=8代入(1)中又得)72)(1(752)1()1(82-+≡--≡+++a a C a a B a A从而即有 )2(72)1(-=++a B a A又令a=-l 代入(2)中即得B=-9．最后令a=0以及B=-9，C=8代入(1)中得A=2，于是8)1(9)1(2)1(2++-+=+a a a f 。