初中数学常考的知识点待定系数法

初中数学思想方法——待定系数法在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。

然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。

待定系数法是数学中的基本方法之一。

它渗透于初中数学教材的各个部分，在全国各地中考中有着广泛应用。

应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。

比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。

例如：“已知x2-3=（1-A）·x2＋Bx＋C，求A，B，C的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值。

这里的A，B，C就是有待于确定的系数。

代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。

例如：“点（2，﹣3）在正比例函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx，将（2，﹣3）代入即可得到k的值，从而求得正比例函数解析式。

这里的k就是有待于确定的系数。

消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。

例如：“已知b2a3=，求a ba b-+的值”，解答此题，只需设定b2=ka3=，则a=3k b=2k，，代入a ba b-+即可求解。

这里的k就是消除的待定参数。

应用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；（2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）；（3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。

在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。

下面通过2011年和2012年全国各地中考的实例探讨其应用。

一.待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答案。

因式分解方法归纳总结第一部分：方法介绍初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上，进一步着重换元法，待定系数法的介绍.、提公因式法.：ma+mb=m(a+b)、运用公式法.(1) (a+b)(a -b) = a 2-b2 ---------- a 2-b2=(a+b)(a -b);, 2 2, 2 2 , 2,2(2) (a ± b) = a ± 2ab+b ----------------- a ± 2ab+b =(a ± b);(3) (a+b)(a 2-ab+b2) =a 3+b3------ a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2);2 2、33 3 3 2 2、(4) (a -b)(a +ab+b ) = a -b -------------- a -b =(a -b)(a +ab+b ).F面再补充两个常用的公式：(5) a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2;3,3 3 2,2 2(6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca);例.已知a, b, c是ABC的三边，且a2 b2 c2则ABC的形状是()(二)分组后能直接运用公式ab bc ca,A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形解: a2 b2 c2 ab bc ca 2 2 22a 2b 2c 2ab 2bc 2ca(a b)2 2 2(b c) (c a)三、，分组分解法例 2、分解因式：2ax 10ay 5by解法一：第、二项为一组；第三、四项为一组。

解:原式=(2ax 10ay) (5by bx)= 2a(x 5y) b(x 5y)=(x 5y)(2a b)bx解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组。

原式=(2ax bx) ( 10ay 5by) =x(2a b)5y(2a b) =(2a b)(x 5y)练习：分解因式1、a2 ab ac bc 2、xy x y 1例3、分解因式：x2 y2 ax ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

数学思想方法谈（5）待定系数法待定系数法是一种常用的数学方法。

对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。

广泛应用于多项式的因式分解，恒等变形，以及求函数的解析式和曲线的方程等。

该方法的主要过程是将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，从而使问题得到解决。

例如，在关于x 的二次三项式中，当1x =时，其值为0；当3x =-时，其值为0；当2x =时，其值为10，求这个二次三项式。

这就是一种最简单的待定系数法！~~~~例1 .分解因式22231415xxy y x y +-++-.练习：分解因式432435x x x x -+++.举一反三: 是否存在常数,p q ,使得42x px q ++能被225x x ++整除？如果存在，求出p和q 的值；如果不存在，请说明理由.例 2. 已知多项式32x bx cx d +++的系数都是整数。

若bd cd +是奇数，证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积.待定系数法不仅可以帮助我们分解因式，对于任意“半已知”结果的数学问题，都可以采用，使上述“半已知”变为已知。

例3.已知m 为任意常数，请问不管m 为任何值，关于x 和y 的二元一次方程：(32)(21)510m x m y m -+++-=是否存在定解？例4.已知12x y ≤+≤和134x y -≤-≤，求43x y -的范围。

待定系数法知识定位待定系数法是一种求未知数的方法。

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。

广泛应用于多项式的因式分解，求函数的解析式和曲线的方程等。

知识梳理知识梳理1：待定系数法在多项式除法中的应用多项式除多项式时，其结果的形式我们往往是可以判断出的，在这种情况下，我们可以先假设出最后的结果（当然也是含未知数的），转化为等式再进行计算。

知识梳理2：待定系数法在因式分解中的应用在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．知识梳理3：待定系数法在解方程中的应用在解一些复杂方程时，如果能够判断出方程的部分根，或者有方程根的一些限制条件；在这种情况下，采用待定系数的方法去解方程，往往可以有意想不到的效果。

知识梳理3：待定系数法在代数式恒等变形中的应用 知识梳理4：待定系数法在求函数解析式中的应用例题精讲【试题来源】【题目】已知多项式56423+-+x x x ，除式为12+x ，求它们相除所得到的商式和余式。

【答案】【解析】【知识点】待定系数法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】已知r qx px x x ++++464234能被39323+++x x x 整除，求p,q,r 之值.【答案】【解析】【知识点】待定系数法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】把多项式x 3－x 2+2x+2表示为关于x －1的降幂排列形式. 【答案】x 3－x 2+2x+2=(x －1)3+2(x －1)2+3(x －1)+4. 【解析】用待定系数法：设x 3－x 2+2x+2=a(x －1)3+b(x －1)2+c(x －1)+d 把右边展开，合并同类项（把同类项对齐）， 得 x 3－x 2+2x+2=ax 3－3ax 2+3ax －a +bx 2－2bx+b +cx －c +d 用恒等式的性质，比较同类项系数，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+--=+-=2223131d c b a c b a b a a 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====4321d c b a∴x 3－x 2+2x+2=(x －1)3+2(x －1)2+3(x －1)+4. 本题也可用换元法： 设x －1=y, 那么x=y+1.把左边关于x 的多项式化为关于y 的多项式，最后再把y 换成x －1.【知识点】待定系数法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：4310252323-+-++-x x x cbx x ax 的值是恒为常数求：a, b, c 的值.【答案】a = 1 b = 1.5 c = -2 【解析】【知识点】待定系数法 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：.310434422-+---y x y xy x【答案】【解析】【知识点】待定系数法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】m为何值时，6522-++-ymxyx能够分解因式，并分解之.【答案】【解析】【知识点】待定系数法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：4x 4+ax 3+13x 2+bx+1是完全平方式.求： a 和b 的值.【答案】解得⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==172174 172174612612b a b a b a b a －或或或.【解析】设4x 4+ax 3+13x 2+bx+1＝（2x 2+mx±1）2（设待定的系数，要尽可能少.）右边展开，合并同类项，得4x 4+ax 3+13x 2+bx+1＝4x 4+4mx 3+(m 2±4)x 2±2mx+1. 比较左右两边同类项系数，得方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+=m b m m a 213442； 或⎪⎩⎪⎨⎧-==-=m b m ma 213442.解得⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==172174 172174612612b a b a b a b a －或或或.【知识点】待定系数法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】推导一元三次方程根与系数的关系. 【答案】见解析【解析】设方程ax 3+bx 2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别为x 1, x 2, x 3.原方程化为x 3+02=++adx a c x a b . ∵x 1, x 2, x 3是方程的三个根. ∴x 3+=++adx a c x a b 2(x －x 1) (x －x 2) (x －x 3). 把右边展开，合并同类项，得 x 3+=++adx a c x a b 2=x 3－( x 1+x 2+x 3)x 2+(x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3)x －x 1x 2x 3. 比较左右同类项的系数，得 一元三次方程根与系数的关系是： x 1+x 2+x 3=－a b ， x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3＝a c ， x 1x 2x 3＝－ad.【知识点】待定系数法 【适用场合】课后两周练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：x 3+px+q 能被（x －a ）2整除.求证：4p 3+27q 2=0. 【答案】见解析 【解析】证明：设x 3+px+q ＝（x －a ）2（x+b ）. x 3+px+q=x 3+(b －2a)x 2+(a 2－2ab)x+a 2b.⎪⎩⎪⎨⎧==-=-③②①q b a p ab a a b 22202 由①得b=2a ， 代入②和③得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=3223aq ap∴4p 3+27q 2＝4（－3a 2）3+27(2a 3)2=4×（－27a 6）+27×（4a 6）=0. （证毕）.【知识点】待定系数法 【适用场合】课后一个月练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：f (x)=x 2+bx+c 是g (x)=x 4 +6x 2＋25的因式，也是q (x)=3x 4+4x 2+28x+5的因式.求：f (1)的值. 【答案】f (1)=4【解析】∵g (x),q (x)都能被f (x)整除,它们的和、差、倍也能被f (x)整除.为了消去四次项，设3g (x)－q (x)＝kf (x), (k 为正整数). 即14x 2－28x+70＝k (x 2+bx+c) 14（x 2－2x+5）＝k (x 2+bx+c) ∴k=14, b=－2, c=5. 即f (x)=x 2－2x+5. ∴f (1)=4 . 【知识点】待定系数法 【适用场合】阶段测验 【难度系数】4【试题来源】【题目】已知：23)2)(3(22++-+=+-+-x Cx B x A x x x x x ， 求：A ，B ，C 的值.【答案】A ＝－31. B ＝158. C ＝54. 【解析】去分母，得x 2－x+2=A(x －3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x －3).根据恒等式定义（选择x 的适当值，可直接求出A ，B ，C 的值），当x=0时， 2＝－6A. ∴A ＝－31. 当x=3时， 8＝15B. ∴B ＝158.当x=－2时， 8＝10C. ∴C ＝54.【知识点】待定系数法 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：x 2+3xy+2y 2+4x+5y+3．【答案】原式=(x+2y+3)(x+y+1)．【解析】由于(x 2+3xy+2y 2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m 和x ＋y ＋n 的形式，应用待定系数法即可求出m 和n ，使问题得到解决． 设x 2+3xy+2y 2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n)=x 2+3xy+2y 2+(m+n)x+(m+2n)y+mn ， 比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．【知识点】待定系数法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．【答案】原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)【解析】分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．【知识点】待定系数法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】已知方程0412924=-+-x x x 有两根为1和2，解这个方程【答案】x 1 = 1 x 2 = 2【解析】【知识点】待定系数法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知方程012823=+--x x x 有两个根相等，解这个方程. 【答案】【解析】【知识点】待定系数法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】要使多项式))(2(2q x px x -++不含关于x 的二次项，则p 与q 的关系是（）A 相等B 互为相反数C 互为倒数D 乘积等于1【答案】A【解析】【知识点】待定系数法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】已知多项式43261312x x x x m -+-+是一个完全平方式，试求常数m 的值。

初中数学常考的知识点待定系数法待定系数法在初中数学中是一个非常重要的解题方法。

它通常用于解决一元一次方程组、二次方程、代数式的展开和因式分解等问题。

接下来，我将详细介绍待定系数法的基本概念、解题步骤以及一些常见的例题。

一、待定系数法的基本概念待定系数法是通过假设未知量的值为一些系数，然后通过数学运算得到方程组的解。

在待定系数法中，我们可以假设未知量是一个常数、一个变量，甚至是一个代数式。

二、待定系数法的解题步骤1.了解问题并设定未知量：首先，我们要仔细阅读题目，理解问题的要求，并确定需要求解的未知量。

2.假设未知量：根据题目的要求，我们根据经验和数学常识假设未知量的值。

3.建立方程：根据已知条件和假设的未知量，我们可以建立方程组或方程。

4.求解方程：将方程组或方程进行化简和整理，找到未知量的值。

5.验证解：将求得的未知量的值代入原方程中验证是否满足题目要求。

6.提出结论：根据求得的解和验证的结果，给出问题的最终解答。

三、待定系数法的常见例题1.一元一次方程组例题1：已知二次方程的两个根为4和-3，求该二次方程。

解析：根据二次方程的性质，已知根x1和x2，可以得到二次方程为(x-x1)(x-x2)=0，即(x-4)(x+3)=0。

将括号中的每个因式展开，得到x^2-x(4+3)+12=0，即x^2-7x+12=0。

2.二次方程例题2：求满足方程x^2+6x=8的x的值。

解析：我们可以假设x的值为a，即x=a，代入方程中得到a^2+6a=8、将方程化简为a^2+6a-8=0。

对于这个二次方程，我们需要用待定系数法求解，设定未知量为a，设定的a是一个常数。

然后，我们将这个方程因式分解为(a-1)(a+8)=0，即a-1=0或a+8=0。

解得a=1或a=-8，即x=1或x=-83.代数式的展开和因式分解例题3：将代数式(x-2)(x+3)展开。

解析：根据分配律，我们可以得到(x-2)(x+3)=x(x+3)-2(x+3)。

初中数学待定系数法分解因式待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。

其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。

【内容综述】将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。

同学们要仔细体会解题的技巧。

【要点讲解】这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。

★★例1 分解因式2x^2+3xy-y^2+x+14y-15.? ? 思路1 因为2x^2+3xy-y^2=(x-y)(2x+3y),所以设原式的分解式是(x-y+m)(2x+3y+n),后展开，利用多项式的恒等,求出m、n的值。

? ?解法1因为2x^2+3xy-y^2=(x-y)(2x+3y),所以可设2x^2+3xy-y^2+x+14y-15=(x-y+m)(2x+3y+n)=2x^2+3xy-y^2+(2m+n)x+(3m-n)y+mn? ?比较系数得2m+n=1...(1) 3m-n=14...(2) mn=-15...(3) ?由(1)(2)得m=3,n=-5,带入(3)成立。

(想想，如果不成立说明什么?)所以2x^2+3xy-y^2+x+14y-15=(x-y+3)(2x+3y-5).? ?思路2 前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n 的值。

? ? 解法2 因为2x^2+3xy-y^2=(x-y)(2x+3y),所以设原式的分解式是(x-y+m)(2x+3y+n), 因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令x=0,y=0,得mn=-15...(1),令x=0,y=1得mn+3m-n+1=0...(2)解①、②得m=3,n=-5或m=5/3,n=-9,带入恒等式验证知m=3,n=-5.? ?说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。

初中数学常考的知识点待定系数法一、代数式1.代数式的概念和性质2.代数式的基本运算（加、减、乘、除）3.代数式的合并同类项4.代数式的因式分解5.代数式的乘法公式和因式分解公式6.代数式的分式化简二、方程和不等式1.一元一次方程的解法及应用2.一元一次不等式的解法及应用3.一元二次方程的解法及应用4.一元二次不等式的解法及应用5.线性方程组的解法及应用6.绝对值方程和绝对值不等式的解法及应用7.一元一次方程与一元一次不等式的联立解法三、函数1.函数的概念和性质2.函数的四则运算和复合运算3.一次函数的图像和性质4.二次函数的图像和性质5.幂函数的概念和性质6.指数函数的概念和性质7.对数函数的概念和性质8.函数的应用题四、图形与几何1.平面图形的名称和性质2.空间图形的名称和性质3.角的概念、角的单位和角的平分线4.相交线和平行线的判定条件5.三角形的名称和性质6.四边形的名称和性质7.圆的概念和性质8.圆相关角的性质和定理9.相似三角形的判定和性质10.圆的相关定理和性质11.平面向量的概念和性质12.向量的线性运算及应用13.平面向量的垂直和平行五、统计与概率1.调查和统计的概念和方法2.数据的整理和表示方法3.统计指标（平均数、中位数、众数、四分位数）4.图表的读取和分析5.概率的概念和基本性质6.概率算法（加法、乘法、条件概率）7.排列和组合的计算六、实数1.有理数和无理数的性质和性质2.实数的大小比较3.实数的运算规则4.实数的绝对值和导数5.实数的非负数次根的概念和性质6.实数的多次方和根的运算以上是初中数学常考的知识点，涵盖了代数、方程和不等式、函数、图形与几何、统计与概率以及实数等各个方面。

初中数学的重点是建立数学基本概念和思维方法，培养数学思维和解决问题的能力。

通过充分掌握这些知识点，同学们可以更好地应对数学考试和日常学习中的数学问题。

第09讲待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一元二次方程【人教版】·模块一用待定系数法求二次函数解析式·模块二二次函数与一元二次方程·模块三课后作业用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：y=ax²+bx+c，已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式；（2）顶点式：y=a（x-h)²+k，已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式；（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y=a（x-x1)（x-x2).【考点1用“一般式”求二次函数解析式】【例1.1】已知点A(1，2)、B(2，3)、C(2，1)，那么抛物线=B2+B+1可以经过的点是（）A．点A、B、C B．点A、B C．点A、C D．点B、C【答案】C【分析】先把o1，2)，o2，1)代入抛物线的解析式，求解抛物线的解析式为：=−2+ 2+1，再判断不在抛物线上，从而可得答案．【详解】解：把o1，2)，o2，1)代入抛物线的解析式，∴{++1=24+2+1=1即：{+=12+=0解得：{=−1=2,∴抛物线为：=−2+2+1,当=2时，=−4+4+1=1≠3,∴o2，3)不在抛物线=−2+2+1上，∴抛物线=B2+B+1可以经过的点是s u故选：u【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线上点的坐标特点，掌握以上知识是解题的关键．【例1.2】二次函数=B 2+B +自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表．x …−10123…y…105212…则当=5时，y 的值为（）A ．2B ．1C ．5D ．10【答案】D【分析】先任选三组数据，利用待定系数法求出二次函数解析式，再计算当=5时的函数值.【详解】由表可知，二次函数y =B 2+B +o ≠0)的图象经过0,5,1,2,2,1，则=5++=24+2+=1，解得：=1=−4=5，∴二次函数解析式为：=2−4+5当=5时，函数值=2−4+5=52−4×5+5=10.故选：D【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用待定系数法求二次函数解析式.【例1.3】已知抛物线=B 2+B +≠0经过点（2，），（3，），（4，2），那么++的值是（）A ．2B ．3C ．4D ．【答案】A【分析】把点（2，），（3，），（4，2）代入抛物线，解三元一次方程组即可求解．【详解】解：∵抛物线=B 2+B +≠0经过点（2，），（3，），（4，2），∴4+2+=9+3+=16+4+=2，解得，=1−12=52−5=6−2，∴++=1−12+52−5+6−2=2，故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数与三元一次方程组的综合，掌握二次函数的代入法，解三元一次方程组的方法是解题的关键．【变式1.1】已知：二次函数=B 2+B +的图象经过点−1,0、3,0和0,3，当=2时，y 的值为__________．【答案】3【分析】根据题意可得交点式=−3+1，然后把0,3代入求出a 值，即可求出二次函数表达式．【详解】解：∵二次函数=B 2+B +的图象经过点−1,0、3,0∴抛物线的解析式为=−3+1，把0,3代入得：−3=3，解得：=−1，∴函数的解析式为=−−3+1，即=−2+2+3，∴当=2时，=−22+2×2+3=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．【变式1.2】二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A ．=2+2−3B ．=2−2−3C ．=−2+2−3D ．=−2−2+3【答案】B【分析】根据题意，由函数图像的对称轴及与x 轴的一个交点，则可以知道函数与x 轴的另一个交点，再根据待定系数法求解函数解析式即可．【详解】根据题意，二次函数对称轴为=1，与x 轴的一个交点为(−1,0)，则函数与x 轴的另一个交点为(3,0)，故设二次函数的表达式为=B 2+B +，函数另外两点坐标(−1,0)，(1,−4)可得方程组0=9+3+0=−+−4=++，解得方程组得=1=−2=−3，所以二次函数表达式为=2−2−3．故答案为B．【点睛】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法和二次函数的对称轴的问题，同时考查学生解方程组的知识，是比较常见的题目．【变式1.3】已知二次函数=B2+B+（a，b，c为常数）的部分取值如下表，该二次函数图象上有三点−4,1，−2,2，2,3，则1，2，3的大小关系是（）x-5-11y151A．1<2<3B．1<3<2C．3<1<2D．2<1<3【答案】C【分析】先根据表格数据，用待定系数法求出二次函数解析式，再把−4,1，−2,2，2,3，分别代入二次函数解板式，求出1，2，3的值，即可求解．【详解】解：把当=−5，=1，当=−1，=5，当=1，=1，代入=B2+B+，得25−5+=1−+=5++=1，解得：=−12=−2 =72，∴=−122−2+72，把−4,1，−2,2，2,3，分别代入=−122−2+72，得1=−12×−42−2×−4+72=72，2=−12×−22−2×−2+72=32，3=−12×22−2×2+72=−52，∴3<1<2，故选：C．【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．【考点2用“顶点式”求二次函数解析式】【例2.1】已知，二次函数的图像过点（1，18），顶点是（−1，−2），则此二次函数的表达式是（）．A．=52+10+3B．=52+10−2C．=52+10+7D．=52−10−3【答案】A【分析】设二次函数的解析式为=−ℎ2+，顶点是（−1，−2），则=+12−2，把（1，18）代入，即18=1+12−2，=5，那么=5+12−2=52+10+3．【详解】根据题意设二次函数的解析式为=+12−2，把（1，18）代入，即18=1+12−2，=5，那么=5+12−2=52+10+3，故选：A．【点睛】本题主要考查是二次函数的顶点式、一般式等知识内容，熟练掌握二次函数的顶点式y=a x−h2+k，顶点是（h，k）是解题的关键．【例2.2】已知一个二次函数的图象经过点（2，2），顶点为（−1，−1），将该函数图象向右平移，当他再次经过点（2，2）时，所得抛物线表达式为（）A．=−13(−5)2+1B．=13(−5)2−1C．=−13(+4)2−10D．=3(−7)2−1【答案】B【分析】根据题意，求出平移距离，即可求出平移后抛物线的顶点坐标，设平移后，二次函数的解析式为=o−5)2−1，将（2，2）代入即可求出结论．【详解】解：由题意可知：平移前，点（2，2）关于抛物线的对称轴直线x=-1的对称点为（-4，2）向右平移后，点（-4，2）平移到（2，2）∴抛物线向右平移了2－（-4）=6个单位长度∴平移后抛物线的顶点坐标为（5，-1）设平移后，二次函数的解析式为=o−5)2−1将（2，2）代入，得2=o2−5)2−1解得：a=13∴平移后，二次函数的解析式为=13(−5)2−1故选B．【点睛】此题考查的是抛物线的平移和求抛物线解析式，根据题意求出平移距离是解题关键．【例2.3】已知二次函数图象的对称轴是直线=2，函数的最小值为3，且图象经过点−1,5，则此二次函数的解析式是_____．【答案】=292−89+359【分析】由题意可知二次函数的图象的顶点坐标为2,3，所以设其解析式为“顶点式”，再代入点−1,5，即可求出解析式．【详解】根据题意，设二次函数的解析式为=−22+3，将点−1,5代入得，5=−1−22+3，整理得：9=2，解得：=29−22+3=292−89+359，∴二次函数的解析式为：=故答案为：=292−89+359．【点睛】本题考查二次函数的解析式，解题的关键是理解题意，设出解析式的“顶点式”．【变式2.1】某二次函数的图象与函数y＝12x2﹣4x＋3的图象形状相同、开口方向一致，且顶点坐标为（﹣2，1），则该二次函数表达式为（）A．y＝12（x﹣2）2＋1B．y＝12（x﹣2）2﹣1C．y＝12（x＋2）2＋1D．y＝﹣12（x＋2）2＋1【答案】C【分析】设二次函数的解析式为=o−ℎ)2+o≠0)，根据顶点坐标为（﹣2，1）以及与函数y＝12x2﹣4x＋3的图象形状相同、开口方向一致，可确定函数的解析式．【详解】解：设二次函数的解析式为=o−ℎ)2+o≠0)，∵二次函数的图像顶点坐标为（﹣2，1），∴二次函数的解析式为=o+2)2+1，∵二次函数的图象与函数y＝12x2﹣4x＋3的图象形状相同、开口方向一致，∴二次函数的解析式为：=12(+2)2+1，故选：C．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，读懂题意，熟练掌握二次函数的几种形式是解本题的关键．【变式2.2】一个二次函数的图象的顶点坐标是2,−3，与y轴的交点是0,5，这个二次函数的解析式是（）A．=22−4+11B．=22−4+5C．=22−8+5D．=22+8+5【答案】C【分析】根据顶点坐标，可设二次函数解析式为=−22−3，然后将0,5代入解析式中，求出a的值，并将顶点式化为一般式即可得出结论．【详解】解：根据题意，设二次函数解析式为=−22−3，将0,5代入=−22−3中，得5=0−22−3解得：a=2∴二次函数解析式为=2−22−3=22−8+5故选C．【点睛】此题考查的是求二次函数解析式，掌握利用待定系数法求二次函数解析式是解题关键．【变式2.3】二次函数与y轴的交点到原点的距离为8，它的顶点坐标为(−1,2)，那么它的解析式为_________．【答案】=6(+1)2+2或=−10(+1)2+2【分析】根据二次函数的顶点坐标设出顶点式，然后根据二次函数与y轴的交点到原点的距离为8，得出二次函数经过(0,8)或(0,−8)，分别代入求解即可．【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为(−1,2)，∴设二次函数解析式为=o+1)2+2，∵二次函数与y轴的交点到原点的距离为8，∴二次函数经过(0,8)或(0,−8)，∴8=+2或−8=+2，解得：=6或=−10，∴二次函数的解析式为=6(+1)2+2或=−10(+1)2+2，故答案为：=6(+1)2+2或=−10(+1)2+2．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的几种形式是解本题的关键．【考点3用“交点式”求二次函数解析式】【例3.1】已知抛物线与轴交点的横坐标为−3和2，且过点(1,−8)，它对应的函数解析式为（）A．=2+−6B．=−2−+6C．=−22−2+12D．=22+ 2−12【答案】D【分析】设函数解析式为=o+3)(−2)，将点(1,−8)代入即可求得a的值，可得结果．【详解】解：设抛物线函数解析式为：=o+3)(−2)，∵抛物线经过点(1,−8)，∴−8=o1+3)(1−2)，解得：=2，∴抛物线解析式为：=2(+3)(−2)，整理得：=22+2−12，故选：D．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，设出二次函数的交点式是解题的关键．【例3.2】二次函数图象如图所示，则其解析式是（）A．=−432+83+4B．=432+83+4C．=−432−83+4D．=−432+83+3【答案】A【分析】设=o+1)(−3)，把（0，4）代入求出a的值，即可得出结论．【详解】设=o+1)(−3)，把（0，4）代入得：4=－3a，解得：=−43，∴=−43(+1)(−3)，整理得：=−432+83+4．故选A．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．【变式3.1】已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），则该抛物线的解析式为__________．【答案】y＝﹣x2﹣2x+3【分析】由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y=a（x+3）（x-1），然后把C 点坐标代入求出a的值即可．【详解】设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-1），把C（0，3）代入得a•3•（-1）=3，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-（x+3）（x-1），即y=-x2-2x+3．故答案为y=-x2-2x+3．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．【变式3.2】某二次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），（4，0），且它的形状与y＝﹣x2形状相同．则这个二次函数的解析式为_____．【答案】y＝﹣x2+3x+4或y＝x2﹣3x﹣4．【分析】根据图象与x轴交于点（﹣1，0），（4，0）可设两点式解答，根据形状与y＝﹣x2形状相同，可知二次项系数为﹣1或1，于是可得二次函数解析式．【详解】∵函数图象与x轴交于点（﹣1，0），（4，0），∴设解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），又因为图象的形状与y＝﹣x2形状相同，故a＝﹣1或1，所以解析式为y＝±（x+1）（x﹣4），整理得，y＝﹣x2+3x+4或y＝x2﹣3x﹣4．故答案为y＝﹣x2+3x+4或y＝x2﹣3x﹣4．【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式，由于知道二次函数图象与x轴交点，故设两点式较为简便．直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线y=ax²+bx+c的交点为(0,c);（2）与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个交点(h,ah²+bh+c).（3）抛物线与x轴的交点二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，就是对应一元二次方程y=ax²+bx+c的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔Δ＞0⇔抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）⇔Δ=0⇔抛物线与x轴相切；③没有交点⇔Δ＜0⇔抛物线与x轴相离.【考点1抛物线与x轴的交点】【例1.1】抛物线=2−4−5交轴于，两点，则B长为______．【答案】6【分析】根据抛物线y=x2-4x-5与x轴分别交于A、B两点，可以令y=0求得点A、B的坐标，从而可以求得AB的长．【详解】解：∵y=x2-4x-5，∴y=0时，x2-4x-5=0，解得，x1=-1，x2=5．∵抛物线y=x2-4x-5与x轴分别交于A、B两点，∴点A的坐标为(-1，0)，点B的坐标为(5，0)，∴AB的长为：5-(-1)=6．故答案为：6．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，以及数轴上两点间的距离，解题的关键是明确抛物线与x轴相交时，y=0．【例1.2】抛物线=−1+3与x轴的两个交点之间的距离是（）A．72B．2C．12D．4【答案】D【分析】先求出函数图像与x轴交点的坐标，进而即可求解．【详解】解：当=0时，−1+3=0，解得：1=−3，2=1，∴抛物线与x轴的交点坐标为−3,0和1,0，∴抛物线与x轴的两个交点之间的距离：1−−3=4，故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，解一元二次方程；正确理解题意，求出抛物线与x轴交点坐标是解题的关键．【例1.3】抛物线的部分图像如图所示，它与轴的一个交点坐标为−3,0，对称轴为=−1，则它与轴的另一个交点坐标为（）A．4,0B．3,0C．2,0D．1,0【答案】D【分析】直接根据二次函数与轴的交点关于=−1对称可得结果．【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点坐标为−3,0，对称轴为J−1，∴−1−(−3)=2，∴−1+2=1，∴它与轴的另一个交点坐标为1,0，故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．【变式1.1】二次函数J2−+1的图象与坐标轴的交点有_____个．【答案】1【分析】计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与轴的交点，再解方程2−+1=0，可判断抛物线与轴的交点，从而可判断抛物线与坐标轴的交点个数．【详解】解：当J0时，J2−+1=1，则抛物线与轴的交点坐标为0，1；当J0时，2−+1=0，方程无解；所以二次函数J2−+1的图象与坐标轴有1交点．故答案为：1．【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数JB2+B+（，，是常数，≠0）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程是解题关键．【变式1.2】已知函数=2−6+5的部分图象（如图），满足<0的的取值范围是____．【答案】1<<5【分析】首先由图象可求得该抛物线与x轴的另一个交点的横坐标，再根据图象即可求解．【详解】解：由=2−6+5，当=0时，2−6+5=0解得：1=1,2=5∴该抛物线与x轴的交点的横坐标1，5，∵该抛物线的开口向上，∴当<0时，的取值范围是1<<5，故答案为：1<<5．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，从图象中获取相关信息是解决本题的关键．【变式1.3】抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（3，0），则点Q的坐标为______．【答案】（-1，0）【分析】根据抛物线的对称轴结合点P的横坐标，即可求出点Q的横坐标，此题得解．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，点P的坐标为（3，0），∴点Q的横坐标为1×2-3=-1，∴点Q的坐标为（-1，0）．故答案为：（-1，0）．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，牢记抛物线的对称性是解题的关键．【考点2用二次函数解一元二次方程】【例2.1】已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（）A．x1＝﹣4，x2＝2B．x1＝﹣3，x2＝﹣1C．x1＝﹣4，x2＝﹣2D．x1＝﹣2，x2＝2【答案】A【分析】关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根即为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标．【详解】解：根据图象知，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴的一个交点是（2，0），对称轴是直线x＝−1．设该抛物线与x轴的另一个交点是（x，0）．则r22=−1，解得，x＝－4，即该抛物线与x轴的另一个交点是（－4，0）．所以关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根为x1＝−4，x2＝2．故选：A．【例2.2】已知二次函数=B2+B+≠0图像上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表：x…01234…y…－3－4－305…请根据上表直接写出方程B2+B+=0≠0的解为______．【答案】1=−1，2=3【分析】由表格信息可知，二次函数的对称轴为=1，当=3时，函数值为零，根据函数的对称性，即可求解．【详解】解：据题意得，当=0时，=−3；当=2时，=−3，∴对称轴为=1，当=3时，=0，根据函数关于对称轴对称可知，当=−1时，=0，∴方程B2+B+=0≠0的解为1=−1，2=3，故答案为：1=−1，2=3．【点睛】本题主要考查二次函数图像与一元二次方程解的综合，掌握二次函数图像的性质解一元二次方程是解题的关键．【例2.3】已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0的解为_____．【答案】x1＝﹣4，x2＝2【分析】根据图象可知，二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象经过点（﹣4，0），把该点代入方程，求得m值；然后把m值代入关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0，求根即可．【详解】解：根据图象可知，二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象经过点（﹣4，0），所以该点适合方程y＝﹣x2﹣2x+m，代入，得（﹣4）2+2×（﹣4）+m＝0解得，m＝8①把①代入一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0，得﹣x2﹣2x+8＝0，②解②，得x1＝﹣4，x2＝2∴关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0的解为x1＝﹣4，x2＝2故答案为x1＝﹣4，x2＝2．【点睛】本题考查的是关于二次函数与一元二次方程，在解题过程中，充分利用二次函数图象，求出m的值是解题关键．【变式2.1】若二次函数=B2+B+的图象如图所示，则方程B2+B+=0的解为（）A．1=0,2=3B．1=1,2=3C．1=1,2=0D．1=−1,2=3【答案】D【分析】由抛物线与x轴的交点横坐标可得方程B2+B+=0的解．【详解】解：由图象可得抛物线=B2+B+经过−1,0,3,0，∴方程B2+B+=0的解为1=−1,2=3．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．【变式2.2】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象回答下列问题：（1）点B的坐标为；（2）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为；（3）方程ax2+bx+c=0的两个根为【答案】（1）（3，0）；（2）x＞1；（3）x1=-1，x2=3【分析】（1）由图象可得：A、B到直线x=1的距离相等，根据A的坐标，即可求出B点坐标；（2）利用图象得出函数对称轴进而得出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；（3）根据方程ax2+bx+c=0，即图象与x轴交点，进而得出方程的两个根【详解】解：（1）由图象可得：A、B到直线x=1的距离相等，∵A（-1，0）∴B点坐标为：（3，0）故答案为（3，0）；（2）由图象可得：y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是：x＞1；故答案为x＞1；（3）∵方程ax2+bx+c=0，即图象与x轴交点，∴方程ax2+bx+c=0的两个根是：x1=-1，x2=3；故答案为x1=-1，x2=3【考点3用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】【例3.1】在求解方程B2+B+=0(≠0)时，先在平面直角坐标系中画出函数=B2+ B+的图象，观察图象与轴的两个交点，这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，分析右图中的信息，方程的近似解是（）A．1=−3，2=2B．1=−3，2=3C．1=−2，2=2D．1=−2，2=3【答案】D【分析】由题意观察=B2+B+的图象，进而根据与轴的两个交点的横坐标进行分析即可.【详解】解：因为两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，两个交点的横坐标为：1=−2，2=3，所以方程的近似解是1=−2，2=3.故选：D.【点睛】本题考查二次函数图象与轴的交点问题，熟练掌握并结论方程思想可知与轴的两个交点的横坐标可以看作是方程B2+B+=0(≠0)的近似解进行分析.【例3.2】根据下表列出的函数=B2+B+的几组与的对应值，判断方程B2+B+ =0一个解的范围是（）3.23 3.24 3.253.26−0.37−0.110.090.28A．3<<3.23B．3.23<<3.24C．3.24<<3.25D．3.25<<3.26【答案】C【分析】根据表格数据，便可求值根的范围．【详解】解：由表格数据可知：当=3.24时，=−0.11；当=3.25，=0.09∴一个根的范围是：3.24<<3.25故选：C．【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程根之间的关系，属于基础题，准确理解题意是解题关键．【变式3.1】根据表中二次函数=B2+B+的自变量与函数值的对应值，判断一元二次方程B2+B+=0的一个根的取值范围是（）6.17 6.18 6.196.20−0.03−0.010.020.04A．6<<6.17B．6.17<<6.18C．6.18<<6.19D．6.19<<7【答案】C【分析】根据一元二次方程B2+B+=0的根即为函数=B2+B+与轴交点的横坐标解答即可．【详解】解：∵当=6.18时，=−0.01，当=6.19时，=0.02，∴一元二次方程B2+B+=0的一个根的取值范围是6.18<<6.19，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与二次函数的关系，熟知一元二次方程B2+B+= 0的根即为函数=B2+B+与轴交点的横坐标是解答本题的关键．【变式3.2】已知二次函数y=-x2-2x+2.(1)填写下表,并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象;x……-4-3-2-1012……y…………(2)结合函数图象,直接写出方程-x2-2x+2=0的近似解(指出在哪两个连续整数之间即可).【答案】(1)见解析；（2）近似解是-3<x<-2或0<x<1.【分析】（1）计算填写表格后利用描点法画出函数图象即可；（2）观察图象，看交点的横坐标在哪两个整数之间，由此即可解答.【详解】(1)x……-4-3-2-1012……y……-6-1232-1-6……所画图象如图.(2)由图象可知,方程-x2-2x+2=0的近似解是-3<x<-2或0<x<1.【点睛】本题考查用二次函数图象的画法及利用函数图象法求一元二次方程的解，解题的关键是看函数图象与x轴交点的位置．【考点4用二次函数的图象解不等式】【例4.1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线=B2+B+<0经过点−1,0，对称轴为直线=1．若<0，则x的取值范围是（）A．<1B．<−1C．−1<<1D．<−1或>3【答案】D【分析】由抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一交点为3,0，根据图象可得出答案．【详解】解：∵抛物线=B2+B+<0经过点−1,0，对称轴为直线=1，∴抛物线与x轴的另一交点为3,0，由图象可知，<0时，x的取值范围是<−1或>3．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，准确识图是解题的关键．【例4.2】已知二次函数=2−4+3的图象与轴交于点o1,0)，o3,0)，则当<0时，的取值范围是（）A．>1B．<3C．<1或>3D．1<<3【答案】D【分析】根据题意确定函数的开口方向，画出函数的大致图，即可确定x的取值范围.【详解】∵a=1∴函数的开口向上∵图象与轴交于点o1,0)，o3,0)∴函数的图象如下：通过图象可知，当1<<3时<0，故选D.【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，有关图象性质得问题，画出大致图更加直观，能根据题意画出函数的大致图并根据图象分析是解决此题的关键.【例4.3】如图，一次函数1=B+≠0与二次函数2=B2+B+≠0的图象相交于−1，5、9，2两点，则关于的不等式B+≤B2+B+的解集为______．【答案】≤−1或≥9【分析】由求关于的不等式B+≤B2+B+的解集，即求一次函数1=B+≠0的图象在二次函数2=B2+B+≠0的图象下方时（包括交点），x的取值范围，再结合图象即可得解．【详解】解：∵求关于的不等式B+≤B2+B+的解集，即求一次函数1=B+≠0的图象在二次函数2=B2+B+≠0的图象下方时（包括交点），x的取值范围，又∵结合图象可知当≤−1和≥9时，一次函数1=B+≠0的图象在二次函数2=B2+B+≠0的图象下方，∴关于的不等式B+≤B2+B+的解集为≤−1或≥9．故答案为：≤−1或≥9．【点睛】本题考查根据交点确定不等式的解集．利用数形结合的思想是解题关键．【变式4.1】已知函数=2−6+5的部分图象（如图），满足<0的的取值范围是____．【答案】1<<5【分析】首先由图象可求得该抛物线与x轴的另一个交点的横坐标，再根据图象即可求解．【详解】解：由=2−6+5，当=0时，2−6+5=0解得：1=1,2=5∴该抛物线与x轴的交点的横坐标1，5，∵该抛物线的开口向上，∴当<0时，的取值范围是1<<5，故答案为：1<<5．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，从图象中获取相关信息是解决本题的关键．【变式4.2】一个二次函数，当自变量x＝0时，函数值y＝－1；当x＝－2与12时，y＝0（1）求这个二次函数的解析式（2）当y＞0时，x的取值范围是__________（直接写出结果）【答案】（1）=2+32−1；（2）>12或<−2【分析】（1）设二次函数为=o−1)(−2)，由题意可得，1=−2，2=12，将(0,−1)代入求解即可；（2）由（1）得=1>0，开口向上，即可求解．【详解】解：（1）设二次函数为=o−1)(−2)，由题意可得，1=−2，2=12，即二次函数为=o+2)(−12)将(0,−1)代入=o+2)(−12)得×2×(−12)=−1解得=1即=(+2)(−12)=2+32−1故答案为：=2+32−1（2）由（1）得=1>0，开口向上，由题意可得：当x＝－2与12时，y＝0∴当>12或<−2时，>0故答案为：>12或<−2【点睛】此题考查了待定系数法求解二次函数解析式，以及二次函数的性质，解题的关键是根据题意正确求得函数解析式并掌握二次函数的有关性质．【变式4.3】二次函数=B2+B+o≠0)的图象如图所示，根据图象回答下列问题：（1）写出方程B2+B+=0的根；（2）写出不等式B2+B+＜0的解集；（3）若方程B2+B+=无实数根，写出的取值范围．【答案】（1）1=0，2=2；（2）<0或>2；（3）>2【分析】（1）找到抛物线与x轴的交点，即可得出方程ax2+bx+c=0的两个根；（2）找出抛物线在x轴下方时，x的取值范围即可；（3）根据图象可以看出k取值范围．【详解】解：（1）观察图象可知，方程B2+B+=0的根，即为抛物线与轴交点的横坐标，∴1=0，2=2．（2）观察图象可知：不等式B2+B+<0的解集为<0或>2．（3）由图象可知，>2时，方程B2+B+=无实数根．【点睛】本题考查了二次函数的图象与方程和不等式的关系，求方程ax2+bx+c=0的两个根，即为抛物线与x轴的交点的横坐标；判断y＞0，y=0，y＜0时，x的取值范围，要结合开口方向，图象与x轴的交点而定；方程ax2+bx+c=k有无实数根，看顶点坐标的纵坐标即可．1．已知抛物线与二次函数=−32的的图象形状相同，开口方向相同，且顶点坐标为−1,3，它对应的函数表达式为（）A．=−3−12+3B．=3−12+3C．=3+12+3D．=−3+12+3【答案】D【分析】设此抛物线的解析式为=o−ℎ)2+，根据抛物线与二次函数=−32的的图象形状相同，开口方向相同，可知=−3，再代入顶点坐标即可．【详解】解：设此抛物线的解析式为=o−ℎ)2+，∵抛物线与二次函数=−32的的图象形状相同，开口方向相同，∴=−3，∵顶点坐标为−1,3，∴ℎ=−1，=3，∴=−3+12+3，故选D．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2．一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（）A．y＝4x2+3x﹣5B．y＝2x2+x+5C．y＝2x2﹣x+5D．y＝2x2+x﹣5【答案】A【分析】设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），然后由当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，得到a，b，c的三元一次方程组，解方程组确定a，b，c的值即可．【详解】解：设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，∴c＝﹣5①，a﹣b+c＝﹣4②，4a﹣2b+c＝5③，解由①②③组成的方程组得，a＝4，b＝3，c＝﹣5，所以二次函数的关系式为：y＝4x2+3x﹣5．故选：A．【点睛】本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式．设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），通过解方程组确定a，b，c的值．3．若二次函数=2+3+−1的图象经过原点，则的值为（）A．0B．1C．−1D．1或−1【答案】B【分析】将点0,0代入函数解析式求解即可得．【详解】解：把0,0代入=2+3+−1可得：−1=0，解得：=1，故选：B．【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．4．若二次函数=B2+B+的图象经过点−1,0，2,0，则关于x的方程B2+B+=0的解为（）A．1=−1，2=2B．1=−2，2=1C．1=1，2=2D．1=−1，2=−2【答案】A【分析】根据一元二次方程的根为二次函数与x轴的交点即可解答．【详解】解：∵=B2+B+的图象经过点−1,0，2,0，∴方程B2+B+=0的解为1=−1，2=2．故选：A．【点睛】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是正确应用两者的关系．5．若二次函数=B2+B+的部分图象如图所示，则关于的方程B2+B+=0的解为（）A．1=−2，2=3B．1=−1，2=3C．1=0，2=3D．1=1，2=3【答案】B【分析】先利用抛物线的对称性写出抛物线与轴的一个交点坐标为−1,0，然后根据抛物线与轴的交点问题可得到关于的方程B2+B+=0≠0的解．【详解】解：抛物线的对称轴为直线=1，抛物线与轴的一个交点坐标为3,0，所以抛物线与轴的一个交点坐标为−1,0，。

中考专题之：待定系数法在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。

然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。

待定系数法是数学中的基本方法之一。

它渗透于初中数学教材的各个部分，在中考中有着广泛应用。

应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。

比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。

例如：“已知x2-3=（1-A）·x2＋Bx＋C，求A，B，C的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值。

这里的A，B，C就是有待于确定的系数。

代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。

例如：“点（2，﹣3）在正比例函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx，将（2，﹣3）代入即可得到k 的值，从而求得正比例函数解析式。

这里的k就是有待于确定的系数。

消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。

例如：“已知b2a3=，求a ba b-+的值”，解答此题，只需设定b2=ka3=，则a=3k b=2k，，代入a ba b-+即可求解。

这里的k就是消除的待定参数。

应用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；（2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）；（3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。

在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。

下面通过中考的实例探讨其应用。

一.待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答案。

数学方法篇二：待定系数法对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法．【范例讲析】：一. 待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答案。

例1.若2x6x k++是完全平方式，则k=【】A．9 B．－9 C．±9 D．±3二. 待定系数法在分式求值中的应用：在一类分式求值问题中，已知一比例式求另一分式的值，可设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求分式，从而使问题获解。

例2.已知b5a13=，则aba b-+的值是【】A．32B．23C．94D．49三. 待定系数法在因式分解中的应用：目前这类考题很少，但不失为一种有效的解题方法。

例3.分解因式：2x x2+-＝。

四. 待定系数法在求函数解析式中的应用：例4.无论a取什么实数，点P(a－1，2a－3)都在直线l上，Q(m，n)是直线l上的点，则(2m－n＋3)2的值等于．例5.如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．例 6.游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”中水量y（m3）与时间t（min）之间的函数关系式．（1）根据图中提供信息，求整个换水清洗过程水量y（m3）与时间t（min）的函数解析式；（2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？例7.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3，(1)求抛物线所对应的函数解析式；(2)求△ABD的面积；(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．例8.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；②若⊙M的半径为455，求点M的坐标．五. 待定系数法在求解规律性问题中的应用：例9.2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦举行，奥运会的年份与届数如下表所示：年份1896 1900 1904 (2012)届数 1 2 3 …n表中n的值等于．例10.如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是．例11.我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是．六. 待定系数法在几何问题中的应用：在几何问题中，常有一些比例问题（如相似三角形对应边成比例，平行线截线段成比例，锐角三角函数等），对于这类问题应用消除待定系数法，通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。

初中数学常考的知识点待定系数法待定系数法：先设出函数解析式，在根据条件确定解析式中的未知的系数，从而写出这个式子的方法，叫待定系数法。

用待定系数法确定解析式的步骤：①设函数表达式为：y=k某或y=k某+b②将已知点的坐标代入函数表达式，得到方程(组)③解方程或组，求出待定的系数的值。

④把的值代回所设表达式，从而写出需要的解析式。

注意;正比例函数y=k某只要有一个条件就可以。

而一次函数y=k某+b需要有两个条件。

初中数学知识点解析：构造方程构造方程是初中数学的基本方法之一在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。

1、一些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程"求解，从而获得问题解决。

例1：如果关于某的方程a某+b=2(2某+7)+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少?解：原方程整理得(a-4)∵此方程有无数多解，∴a-4=0且分别解得a=42、有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造"一元二次方程"，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。

此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。

3、有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。

例3：已知3，5，2某，3y的平均数是4、20，18，5某，-6y的平均数是1、求的值。

分析：这道题考查了平均数概念，根据题目的特征构造二元一次方程组，从而解出某、y的值，再求出的值。

平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为某轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

２０２３年５月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀待定系数法在初中数学解题中的思路与方法◉福建省晋江市安海中学㊀黄华志㊀㊀摘要:待定系数法是初中数学中一种应用十分广泛且行之有效的解题方法．待定系数法的实质就是方程思想,它把待定的未知数与已知数等同看待来建立等式,即得方程(组)．本文中结合典型例题,探讨了如何在各类题型中灵活运用待定系数法解题的思路与方法．关键词:多项式除法;因式分解;解方程;恒等变形;求函数解析式㊀㊀在初中数学中,待定系数法是一种十分重要㊁应用范围广且非常实用的求未知数的解题思想和方法[１]．待定系数法运用的是 执果索因 的思维方法,其基本思路是先判断所求的结果的结构具有某种确定的形式,其中含有某些待定的系数,然后根据题设条件列出关于待定系数的等式,最后解出这些待定系数的值或者找到这些待定系数间的某种关系．待定系数法可广泛应用于多项式除法㊁因式分解㊁解方程(组)㊁恒等式的变形与证明㊁研究二次函数的性质等各类数学问题的解法之中,现将其常见的解题思路与方法技巧归类解析如下．１在多项式除法中的运用待定系数法在多项式的整除㊁求商式㊁余式等问题中运用广泛．例１㊀求(３x３－２x２＋１)ː(３x２－３x＋１)的商式和余式．解:设商式为x＋a,余式为p x＋q,则３x３－２x２＋１＝(x＋a)(３x２－３x＋１)＋p x＋q．令x＝０,则a＋q＝１．令x＝１,则(a＋１)＋p＋q＝２．令x＝－１,则７(a－１)－p＋q＝－４．可得方程组a＋q＝１,a＋p＋q＝１,７a－p＋q＝３．ìîíïïï解得a＝１３,p＝０,q＝２３．ìîíïïïïïï所以商式为x＋１３,余式为２３．思路与方法:本题被除式的最高项为３x３,除式的最高项为３x２,则商式的最高次数为１且系数也为１．故可设商式为x＋a,余式为p x＋q,可得关于x的恒等式３x３－２x２＋１＝(x＋a)(３x２－３x＋１)＋p x＋q,即对一切实数x均成立,因此对x取０,１,－１当然也应成立,从而得到关于a,p,q的方程组,这是特殊值法的运用．例２㊀已知x４＋４x３＋６p x２＋４９x＋r能被x３＋３x２＋９x＋３整除,求p,q,r的值．解:设商式为x＋m,则x４＋４x３＋６p x２＋４q x＋r＝(x＋m)(x３＋３x２＋９x＋３)＝x４＋(３＋m)x３＋(９＋３m)x２＋(３＋９m)x＋３m．比较对应项系数,得３＋m＝４,９＋３m＝６p,３＋９m＝４q,３m＝r．ìîíïïïï解方程组,得m＝１,p＝２,q＝３,r＝３．ìîíïïïï思路与方法:本题的解题思路是先要假定商式,因为x４ːx３＝x,所以可假定商式为x＋m,这里p, q,r,m都是待定系数,然后根据被除式恒等于商式乘除式的关系,就可以确定p,q,r,m的值．这种通过比较对应项系数而得到关于待定系数间的关系式的解题技巧十分重要．２在因式分解中的运用在对较复杂的二元二次多项式进行因式分解时,有时只需要将其部分因式分解成两个一次因式的乘积形式,就能够使我们在分解中确定因式的过程变得简捷明了．例３㊀已知２x２＋x y－y２－k x＋８y－１５能分解成两个一次因式之积,试求这个有理系数多项式．解法１:由十字相乘法,得２x２＋x y－y２＝(２x－y)(x＋y)．设２x２＋x y－y２－k x＋８y－１５＝(２x－y＋m) (x＋y＋n)＝２x２＋x y－y２＋(２n＋m)x＋(m－n) y＋m n．比较对应项系数,得２n＋m＝－k,m－n＝８,m n＝－１５．ìîíïïï解得m＝３,n＝－５,k＝７,ìîíïïï或m＝５,n＝－３,k＝１．ìîíïïï９７Copyright©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年５月下半月㊀㊀㊀故所求的有理系数多项式为２x ２＋x y －y ２－x ＋８y －１５,或２x ２＋x y －y ２－７x ＋８y －１５．解法２:由－y ２＋８y －１５＝(－y ＋３)(y －５),故设２x ２＋x y －y ２－k x ＋８y －１５＝(a x －y ＋３)(b x ＋y －５)＝a b x ２＋(a －b )x y －y ２＋(３b －５a )x ＋８y －１５．比较对应项系数,得a b ＝２,a －b ＝１,３b －５a ＝－k ．ìîíïïï解得a ＝２,b ＝１,k ＝７,ìîíïïï或a ＝－１,b ＝－２,k ＝１．ìîíïïï故所求的有理系数多项式为２x ２＋x y －y ２－x ＋８y －１５,或２x ２＋x y －y ２－７x ＋８y －１５．思路与方法:解法１把前三项分解成两个一次因式相乘的形式(２x －y )(x ＋y ),再把原式变形为(２x －y ＋m )(x ＋y ＋n ),即可运用比较对应项系数的方法顺利获解;解法２也是采用待定系数法,把－y ２＋８y －１５分解成两个一次因式之积的形式(－y ＋３)(y －５),再通过变形㊁对比对应项系数的方法求解．例４㊀满足等式p ２＋q ２＝７p q 的正实数p ,q ,能使关于x ,y 的多项式x y ＋p x ＋q y ＋１分解成两个一次因式的积,求p ,q 的值．解:由p ２＋q ２＝７p q (p ＞０,q ＞０),可得㊀㊀㊀㊀㊀㊀p ＋q ＝３p q ①因为多项式x y ＋p x ＋q y ＋１能分解成两个一次因式的积,所以可设x y ＋p x ＋q y ＋１＝(a x ＋b ) (c y ＋d )＝a c x y ＋a d x ＋b c y ＋b d ．比较对应项系数,得a c ＝１,b d ＝１,a d ＝p ,b c ＝q ．所以㊀㊀㊀㊀㊀㊀p q ＝a b c d ＝１．②由①②式,可得p ＝３２＋５２,q ＝３２－５２;或p ＝３２－５２,q ＝３２＋５２．思路与方法:由条件p ２＋q ２＝７p q (p ＞０,q ＞０),运用配方法可得出p ＋q 与p q 的关系;又由x y ＋p x ＋q y ＋１能分解成两个一次因式的积,利用待定系数法求出p q 的值,从而巧妙地求出p ＋q 的值,进而可得出p ,q 的值．３在解方程中的运用在初中阶段学生还没有学过高次方程的解法,但如果发现某些一元高次方程的根存在某种关系,也可以运用待定系数法解这类方程．另外,有些特殊的高次方程也能够尝试用待定系数法求解[２]．例５㊀已知方程２x ４－５x ３－２４x ２＋５３x －２０＝０有两个根的积等于２,试解这个方程．解:设２x ４－５x ３－２４x ２＋５３x －２０＝(x ２＋a x ＋２)(２x ２＋b x －１０)＝２x ４＋(２a ＋b )x ３＋(a b －６)x ２＋(－１０a ＋２b )x －２０,比较对应项系数,得２a ＋b ＝－５,a b －６＝－２４,－１０a ＋２b ＝５３．ìîíïïï解得a ＝－９２,b ＝４．{所以原方程可化为(x ２－９２x ＋２)(２x ２＋４x －１０)＝０．解方程,得x １＝１２,x ２＝４,x ３＝－１＋６,x ４＝－１－６．思路与方法:由根与系数的关系可知,两根之积为２的一元二次方程,如果二次项的系数是１,则常数项是２,由此我们可以作出假设来求解．例６㊀解方程:x ４＋(x －４)４＝６２６．解法１:由于６２６＝６２５＋１＝５４＋１４,可以看出５与－１是方程的两根,因此可令x ４＋(x －４)４－６２６＝２(x ＋１)(x －５)(x ２＋p x ＋q )．在上式中,取x ＝０,得q ＝３７;取x ＝４,得p ＝－４．于是原方程可变为２(x ＋１)(x －５)(x ２－４x ＋３７)＝０．因为方程x ２－４x ＋３７＝０无实数根,所以原方程的根为x １＝－１,x ２＝５．解法２:因为６２６＝５４＋１４,所以原方程可化为x ４＋(x －４)４＝５４＋１４,即(x ４－５４)＋[(x －４)４－１４]＝０⇔(x ２＋２５)(x ２－２５)＋[(x －４)２＋１] [(x －４)２－１]＝０⇔(x ２＋２５)(x ＋５)(x －５)＋(x －３)(x －５)(x ２－８x ＋１７)＝０⇔(x －５)(x ３－３x ２＋３３x ＋３７)＝０⇔(x －５)[(x ３＋１)－３(x ２－１１x －１２)]＝０⇔(x －５)(x ＋１)(x ２－４x ＋３７)＝０．解得x １＝５,x ２＝－１,这就是原方程的根．思路与方法:解法１运用了待定系数法,根据６２６＝６２５＋１＝５４＋１４,推知方程有两个实根－１与５,用待定系数法将x ４＋(x －４)４－６２６分解因式;解法２主要运用了因式分解法,充分利用了关系式x ４＋(x －４)４＝５４＋１４,即(x ４－５４)＋[(x －４)４－１４]＝０,再将左边分解因式．４在代数式恒等变形中的运用用待定系数法可对某些代数式按照某种要求进行恒等变形,具体方法是先假定一个符合条件的含有待定系数的恒等式,然后根据恒等式的性质,求出待定系数的值,或消去待定系数,使问题获得解决．例７㊀证明x y (３x ＋２)(５y ＋２)可化为具有整数系数的两个多项式的平方差．证明:设x y (３x ＋２)(５y ＋２)＝A ２－B ２(A ,B 代０８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年５月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀表整式),则(３x y ＋２y )(５x y ＋２x )＝(A ＋B )(A －B )．令A ＋B ＝３x y ＋２y ,A －B ＝５x y ＋２x ．{解得A ＝４x y ＋x ＋y ,B ＝－x y ＋y －x ．所以x y (３x ＋２)(５y ＋２)＝(４x y ＋x ＋y )２－(－x y ＋y －x )２．思路与方法:题目要求将x y (３x ＋２)(５y ＋２)转变成两个整式的平方差的形式,但这两个整式我们并不知道,也不能盲目拼凑,所以不妨设这两个整式分别为A ,B ,尝试用待定系数法求解．例８㊀求证:多项式x ４－６x ３＋１３x ２－１２x ＋４是一个完全平方式．证明:设原式＝(x ２＋p x ＋q )２＝x ４＋２p x ３＋(p ２＋２q )x ２＋２p q x ＋q２．比较对应项系数,得２p ＝－６,p ２＋２q ＝１３,２p q ＝－１２,q ２＝４．ìîíïïïï解得p ＝－３,q ＝２．{所以x ４－６x ３＋１３x ２－１２x ＋４＝(x ２－３x ＋２)２．思路与方法:本题是一个四次多项式,所以它应是一个二次三项式的平方,于是我们可以假定所给的多项式恒等于(x ２＋p x ＋q )２,式中的p 和q 是待定系数．５在二次函数中的运用求二次函数的解析式类问题,一般可用待定系数法求解．这类题型中通常都含有三个待定系数,需找到题中三个独立的条件,再求出相应的待定系数．解题过程中要善于发现和挖掘隐含条件．例９㊀已知抛物线过点C (－１,－１),它的对称轴是直线x ＝－２,且在x 轴上截取长度为２２的线段,求该抛物线的解析式．解法１:由对称轴直线x ＝－２,可设抛物线解析式为y ＝a (x ＋２)２＋k ．由抛物线的特征可知,其对称轴垂直平分其在x 轴上截取的线段,因此可知该抛物线过点A (－２＋２,０),B (－２－２,０)．又抛物线过点C (－１,－１),将点A ,C 的坐标代入解析式,可得a (－１＋２)２＋k ＝－１,a (－２＋２＋２)２＋k ＝０,{即a ＋k ＝－１,２a ＋k ＝０,{解得a ＝１,k ＝－２．{所以y ＝(x ＋２)２－２．故该抛物线的解析式为y ＝x ２＋４x ＋２．解法２:设抛物线解析式为y ＝a x ２＋b x ＋c ．由解法１中分析可知抛物线过(－２＋２,０),(－２－２,０)以及(－１,－１)三点,代入可得a －b ＋c ＝－１,(－２＋２)２a ＋(－２＋２)b ＋c ＝０,(－２－２)２a ＋(－２－２)b ＋c ＝０．ìîíïïïï解得a ＝１,b ＝４,c ＝２．ìîíïïï所以,该抛物线的解析式为y ＝x ２＋４x ＋２．解法３:由解法１中分析可知抛物线与x 轴的两交点坐标为(－２＋２,０),(－２－２,０),因此可设解析式为y ＝a (x ＋２－２)(x ＋２＋２),又过点(－１,－１),代入可求得a ＝１．所以解析式为y ＝(x ＋２－２)(x ＋２＋２),即y ＝x ２＋４x ＋２．思路与方法:解法１利用二次函数的顶点式y ＝a (x ＋２)２＋k 来求解;解法２利用二次函数的一般式y ＝a x ２＋b x ＋c 来求解;解法３利用二次函数的交点式y ＝a (x －x １)(x －x ２)来求解．这三种方法都用到了待定系数法,其中最关键的是对条件 在x 轴上截取长度为２２的线段 的技巧转化．例１０㊀已知二次函数有最小值－２,且图象与x 轴两交点的距离是６,对称轴是直线x ＝－１,求其解析式．解:由题意可知,抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为(２,０)和(－４,０),故设二次函数解析式为y ＝a (x －２)(x ＋４)．把抛物线顶点的坐标(－１,－２)代入,求得a ＝２９．所以二次函数的解析式为y ＝２９(x －２)(x ＋４),即y ＝２９x ２＋４９x －１６９．思路与方法:根据题设条件中对称轴是直线x ＝－１,图象与x 轴两交点的距离是６,可求出两交点坐标为(２,０)(－４,０),再用两点式求出解析式．通过对上述典型例题思路与方法的探究,我们充分感受到了运用待定系数法解题的广泛性㊁实用性㊁灵活性与巨大的优越性．学生平时需要多加强这方面的训练,进一步熟悉和掌握答题的方法与技巧,熟能生巧,运用自如,不断提高综合解题能力．参考文献:[１]祝朝富．待定系数法及其应用[J ]．中等数学,２００１(２):２Ｇ７．[２]于莹．用待定系数法解题[J ]．数理化学习(初中版),２００２(１２):２３Ｇ２５．Z１８Copyright ©博看网. 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一般用法是，设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等式同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值。

例如，将已知多项式分解因式，可以设某些因式的系数为未知数，利用恒等的条件，求出这些未知数。

求经过某些点的圆锥曲线方程也可以用待定系数法。

从更广泛的意义上说，待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数，利用已知条件确定这些未知数，使问题得到解决的方法。

求函数的表达式，把一个有理分式分解成几个简单分式的和，求微分方程的级数形式的解等，都可用这种方法。

【又】一种常用的数学方法。

对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。

广泛应用于多项式的因式分解，求函数的解析式和曲线的方程等。

编辑本段待定系数法分解因式待定系数法是初中数学的一个重要方法。

用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。

在初中竞赛中经常出现。

例、分解因式x ﹣x ﹣5x ﹣6x﹣4分析：已知这个多项式没有二次因式，因而只能分解为两个一次因式。

解：设x ﹣x ﹣5x ﹣6x﹣4=(x ﹢ax﹢b)(x ﹢cx﹢d) = x&sup2; ﹢(a﹢c)x ﹢(ac﹢b﹢d)x ﹢(ad﹢bc)x﹢bd所以解得则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)=（2x+1）（-x-4)编辑本段待定系数法解题步骤使用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题含待定系数的解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；. （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

初中待定系数法公式待定系数法是解代数方程组的一种常用方法，适用于多个未知数的情况。

以下是待定系数法的基本步骤和公式。

步骤一：设方程的未知数个数为n，根据方程的条件构建n个方程。

步骤二：设未知数的系数为a₁，a₂，...，aₙ，构建n个方程表示与未知数相关的条件。

步骤三：根据未知数的系数和方程的条件列方程组。

步骤四：解方程组，求出未知数的值。

待定系数法常用的公式如下：1.线性方程组的待定系数法对于形如ax + by = c的线性方程组，可以使用待定系数法进行求解。

设x的系数为a₁，y的系数为b₁，等号右边的常数项为c₁，代表第一个等式。

设x的系数为a₂，y的系数为b₂，等号右边的常数项为c₂，代表第二个等式。

构建如下方程组：a₁x+b₁y=c₁a₂x+b₂y=c₂接下来，使用解方程组的方法求解该方程组，得到x和y的值。

2.二次方程的待定系数法对于形如ax² + bx + c = 0的二次方程，可以使用待定系数法进行求解。

设二次项系数为a₁，一次项系数为b₁，常数项为c₁，代表第一个等式。

设二次项系数为a₂，一次项系数为b₂，常数项为c₂，代表第二个等式。

设x的系数为x₁，y的系数为y₁，代表第三个等式。

构建如下方程组：a₁x²+b₁x+c₁=0a₂x²+b₂x+c₂=0x₁+y₁=0接下来，使用解方程组的方法求解该方程组，得到x和y的值。

3.三元一次方程组的待定系数法对于形如ax + by + cz = d的三元一次方程组，可以使用待定系数法进行求解。

设x的系数为a₁，y的系数为b₁，z的系数为c₁，等号右边的常数项为d₁，代表第一个等式。

设x的系数为a₂，y的系数为b₂，z的系数为c₂，等号右边的常数项为d₂，代表第二个等式。

设x的系数为a₃，y的系数为b₃，z的系数为c₃，等号右边的常数项为d₃，代表第三个等式。

构建如下方程组：a₁x+b₁y+c₁z=d₁a₂x+b₂y+c₂z=d₂a₃x+b₃y+c₃z=d₃接下来，使用解方程组的方法求解该方程组，得到x、y和z的值。

初中数学常考的知识点待定系数法待定系数法是初中数学中常用的一种解题方法，它主要用于解决带有未知系数的方程问题。

通过设定未知系数，列出方程，再根据已知条件以及方程的性质进行求解。

接下来，我将从待定系数法在一元一次方程、一元二次方程、及数列中的应用等方面进行详细介绍。

在初中数学中，一元一次方程通常是最早接触到的方程类型。

待定系数法可以用来解决一元一次方程中的问题。

例如，如下的一道例题：例题1：有一个三位数，各位数字之和为9，将它的各位数字反过来得到一个不同的三位数，再将这两个三位数相加，得到1332，求原数。

解析：设这个三位数为100a+10b+c，反过来得到的三位数为100c+10b+a。

根据已知条件列出方程为：(100a+10b+c)+(100c+10b+a)=1332化简得：101a+20b+101c=1332由于方程中含有三个未知数a、b和c，我们可以设定一个待定系数，假设a为一个未知数。

那么b和c就可以通过1332-101a得到。

代入方程可得：101a+20(1332-101a)+101(1332-101a)=1332解这个一元一次方程可得：a=144根据所设待定系数，可将b和c代入求得：b=10，c=18通过这道题目的解答过程不难看出，待定系数法在一元一次方程中的应用既能简化方程的形式，又能得到未知数的值，大大提高了问题的解答效率。

一元二次方程是初中数学中的重点和难点，待定系数法在解决一元二次方程问题中提供了一种有效的思路。

下面以一道例题为例进行解析：例题2：已知一元二次方程 x^2 + ax +b =0 的两根α 和β 之和等于 -1，乘积等于 3、求这个二次方程的解析式。

解析：设方程的解析式为 x^2 + ax +b =0，根据题目中所给条件，可以列出方程为：x^2 + ax + b = (x-α)(x-β) = 0展开得：x^2-(α+β)x+αβ=0根据题目中给出的条件α+β=-1和αβ=3，代入方程可得：x^2-(-1)x+3=0即：x^2+x+3=0所以这个二次方程的解析式为x^2+x+3=0。

可编辑修改精选全文完整版中考数学十大解题思路之待定系数法中考数学十大解题思路之待定系数法知识梳理对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称之为待定系数法．使用待定系数法解题的一般步骤是：(1)确定所求问题含待定系数的解析式；(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．初中数学中，待定系数法主要用途如下：典型例题一、在求函数解析式中的运用这是待定系数法的一个主要用途，学生也是在这种运用过程中开始较深入的接触待定系数法．初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx ，k y x=，y=kx+b 的形式(其中k 、b 为待定系数，且k ≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=a x 2+bx+c(a 、b 、c 为待定系数)，y=a (x －h) 2+k(a 、k 、h 为待定系数)，y=a (x －x 1)(x －x 2)( a 、x 1、x 2为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h 、k 、a 、c 、b 、x 1、x 2等待定系数．【例1】(05上海)点A(2，4)在正比例函数的图象上，求这个正比例函数的解析式．【解】设这个正比例函数的解析式为y=kx(k ≠0)，把A(2，4)代入得4=2k ，∴k=2，∴y=2x ．【例2】已知y 与x+1成反比例，且x=2时，y=4，求函数的解析式．【分析】 y 与x+1成反比例，把x+1看作一个整体，即可设为：1k y x =+ (k ≠0)，然后把x=2，y=4代入，求出k 的值即得函数的解析式．【解】 y 与x+1成反比例，∴可设1k y x =+(k ≠0) 将x=2，y=4代入1k y x =+(k ≠0)，得421k =+，解得k=12 ∴所求的函数的解析式为121y x =+．【解题反思】本题中y 与x+1成反比例关系，但y 与x 不是反比例关系，所以当自变量为x 时，121y x =+不是反比例函数．【例3】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．【解】 (1)设这个函数的解析式为y=a x 2+bx+c ．依题意得：0093142a b c a b c a b c =++??=++??-=++?解这个方程组得143a b c =??=-??=?∴这个函数的解析式是：y=x 2－4x+3 (2)2431y x x y x ?=-+?=-+? 解这个方程组得：1110x y =??=?，2221x y =??=-? ∴函数与直线的交点坐标是：(1，0)、(2，－1)【解题反思】运用待定系数法，由已知建立方程(组)，可求其系数的值，在把a 、b 、c 的值代入解析式时要注意符号．二、在确定方程或解方程时，某些时候使用待定系数法也可使问题得到简化．例如：已知一元二次方程的两根为x 1、x 2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方程为x 2+mx+n=0，则有(x －x 1)(x －x2)=0，即x 2－(x 1+x 2)x+x 1x 2=0，对应相同项的系数得m=－(x 1+x 2)，n=x 1x 2，所以所求方程为：x 2－(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．【例4】已知三次方程x 3－6x 2+11x －6=0，有一根是另一根的2倍，解该方程．【解】设方程的三根分别为a 、2a 、b ，则有x 3－6x 2+11x －6=(x －a )(x －2a )(x －b)，左右分别展开，并把相同项的系数作比较，可得：－3a －b=－6，2a 2+3a b=11，－2a 2b=－6．解得a =1，b=3，所以该方程的根分别为：x 1=1，x 2=2，x 3=3．三、待定系数法在分式展开化为部分分式中的应用．分式化为部分分式时，如果用待定系数法也会产生很好的效果．【例5】把分式21172x x x-+-化为部分分式．【解】设2117221x A B x x x x -+=+--，然后将右边进行通分，化成一个分式，由于左右两边分母相同，则只要分子相同，即：－11x+7=(A －B)x －B ．由各项系数相同得：－11x=A －B ，7=－B ，解得A=3，B=－7．所以211737221x x x x x-+-=+-- 四、待定系数法在因式分解中的应用【例6】分解因式：2x 2－xy －y 2+13x+8y －7【解】因为2x 2－xy －y 2=(2x+y)(x －y)，所以可设2x 2－xy －y 213x+8y －7=(2x+y+8)(x －y+b)，展开比较相同项系数，可得：a =－1，b=7，所以2x 2－xy －y 2+13x+8y －7=(2x+y －1)(x －y+7)．五、待定系数法在多项式除法中的应用【例7】当a 、b 为何值时，2x 3－a x 2+bx+1能被2x －1整除?【解】设2x 2－a x 2+bx+l=(2x －1)(x 2+mx －1)，右边展开由x 的相同项的系数相同可得a 、b ，m 的方程组，解得：a =3，b=－3．m=－11．已知：一次函数的图象经过(－4，15)、(6，－5)两点，求此一次函数的解析式．2．(08镇江)二次函数的图象经过点A(0，－3)，B(2，－3)，C(－1，0)．(1)求此二次函数的关系式；(2)求此二次函数图象的顶点坐标；(3)填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移________个单位，使得该图象的顶点在原点．3．如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是(8，0)、(0，4)，求这个抛物线的解析式．4．(07枣庄)在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为(－3，1)(1)求点B的坐标．(2)求过A，O，B三点的抛物线的解析式；(3)设点B关于抛物线的对称轴的对称点为B1，求△AB1B的面积．1．y=－2x+7 2．(1)设y=a x 2+bx －3，把点(2，－3)，(－1，0)代入得4233300a b a b +-=-??--=?，解方程组得12a b =??=-?．∴y=x 2－2x －3．(也可设y=a (x －1)2+k)． (2)y=x 2－2x －3=(x －1) 2－4，∴函数的顶点坐标为(1，－4)． (3)53．解：观察图象可知，A 、C 两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x=3．因为对称轴是直线x=3，所以B 点坐标为(－2，0)．设所求二次函数为y=a (x －x 1)(x －x 2)，由已知，这个图象经过点(8，0)、(－2，0)，可以得到y=a (x －8)(x+2)．又由于其图象过(0，4)点，将点代入，得所求二次函数的关系式是213442y x x =-++． 4．解：(1)作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足分别为C ，D ，则∠ACO=∠ODB=90°．∴∠AOC+∠OAC=90°．又∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°．∴∠OAC=∠BOD ．又AO=BO ，∴△ACO ≌△ODB ．∴OD=AC=1，DB=OC=3．∴点B 的坐标为(1，3)．(2)抛物线过原点，可设所求抛物线的解析式为y=a x 2+bx ．将A(－3，1)，B(1，3)代入，解得56a =，136b =．故所求抛物线的解析式为251366y x x =+． (3)抛物线的对称轴的方程是1310x =-．点B 关于抛物线的对称轴的对称点为11835B ??-，．在△AB 1B 中，底边B 1B=4．6，高为2．1 4.6S AB B ∴=。

有用的待定系数法同学们在初一时，见过这样的题目：“已知ｘ2一５=（２一Ａ）·ｘ2＋Ｂｘ＋Ｃ，求Ａ，Ｂ，Ｃ的值．”解答此题，并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到Ａ，Ｂ，Ｃ的值．这里的Ａ，Ｂ，Ｃ是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法．待定系数法的特点是先根据数量之间的关系所具有的形式，假定一个含有待定的系数的恒等式，然后根据恒等式的性质列出几个方程，解这个方程组，求出各待定系数的值或从方程组中消去这些待定系数，找出原来那些已知系数之间的关系，从而使问题得到解决．从教科书中的例子，我们知道用待定系数法求一次函数表达式是一种行之有效的方法．我们再来看一道求二次函数解析式的例子：二次函数对称轴方程为ｘ= -２，过点（１，６），在ｘ轴上截得长为 的线段，求其解析式．我们设所求解析式为多项式除法问题，常常用到待定系数法。

已知多项式ax 3+bx 2+cx+d 能被x 2+p 整除，求证：ad=bc.证明：由于三次多项式能被二次式整除，因而其商必为一次式，可设商式为mx+ｎ（ｍ，ｎ为待定系数）。

这样可得出恒式：ax 3+bx 2+cx+d=(mx+n)(x 2+p),即ax 3+bx 2+cx+d= mx 3+nx 2+pmx+pn比较等式两边同类项的系数，得a=m ，b=n,c=pm, d=pn 由ad=pmn, bc=pmn,可得 ad=bc 用待定系数法分解因式也很有效．请看如何把 ｘ2＋ ３xy ＋ 2y 2 +4ｘ＋5y+3分解因式．因为我们会把一个二次三项式分解成两个一次因式，而这个多项式的前三项是可以分解的：ｘ2＋ ３xy ＋ 2y 2=(x+y)x(x+2y) 因而可以推断原式若能分解成两个一次因式的乘积，则必然是（ｘ十ｙ＋ｍ）（ｘ＋Ｚｙ十ｎ）的形式．再利用多项式恒等求出ｍ、ｎ，则原式所分解的因式即可求出．具体求法留给同学们完成，答案是ｍ＝１，ｎ=３．把多项式表示成另一个多项式的各次幂的形式，也可用待定系数法．如试用（ｘ一１）的各次幂表示出多项式2x 3-x 2+2x+3.用待定系数法解题的思路是：32由题意是待定的数这里且.,,],)([))((21122121221x x a x x x x x x x x a x x x x a y 〉++-=--=32226)1)(1(12121=--=+=--x x xx x x a .32,32,11+-=--==x x a 解得14)32)(32(2++=++-+=x x x x y 故初二阶段，我们学过把分式化为部分分式的方法，实际上就是待定系数法．我们再通过一个例子来回顾一下：化分式因为原分式分母中的因式 ２ｘ一１与（３＋ｘ）（３一ｘ）是互质的因式，所以原分式可化为下面三个真分式的和：待定系数法还有许许多多的应用，随着同学们学习的不断深化将更会体会到这一点。