初中数学专题复习运用待定系数法解题举例(含解答)

初二函数专题6--用待定系数法求解析式一、用待定系数法求解析式 1、已知函数图象如图所示，则此函数的解析式为（ ） A.2y x =- B.2(10)y x x =--<<C.12y x =-D. 1(10)2y x x =--<<2、已知一次函数的图象经过(3，2)和(1，-2)两点． 求这个一次函数的解析式．3、已知一次函数y ax b =+的图象经过点()023A -，，()143B -，，()4C c c +，． ⑴ 求c ；⑴ 求222a b c ab ac bc ++---的值．4、一条直线l 经过不同的三点A (a ,b )，B (b ,a )，C (a b -，b a -)，那么直线l 经过 象限．二、根据位置关系求解析式5、已知一次函数y kx b =+的图象与直线21y x =+平行并且过点P (-1，2)，求这个一次函数的解析式．6、如图，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ．三、根据函数定义求解析式7、已知212y y y =+，其中1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当2x =和3x =时，y 的值都为l9，求y 与变量x 的函数关系式．8、已知函数y (32)(4)a x b =+--为正比例函数。

（1）求a b 、的取值范围；（2）a b 、为何值时，此函数的图象过一、三象限。

9、已知y 与1x -成正比例，且当3x =时5y =.求y 与x 之间的函数关系式．y xO3214321A四、根据增减性求解析式10、已知一次函数y kx b =+中自变量x 的取值范围为26x -<<，相应的函数值的范围是119y -<<，求此函数的解析式。

11、已知函数(2)31y a x a =---，当自变量x 的取值范围为35x ≤≤时，y 既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，则实数a 的取值范围为 ．12、已知一次函数y kx b =+，当31x -≤≤时，对应的y 值为19y ≤≤，求kb 的值.13、一次函数y mx n =+(0m ≠)，当25x -≤≤时，对应的y 值为07y ≤≤，求一次函数的解析式.14、⑴已知关于x 的一次函数()372y a x a =-+-的图象与y 轴交点在x 轴的上方，且y 随x 的增大而减小，求a 的取值范围.⑴已知一次函数y kx b =+，当31x -≤≤时，对应的y 值为19y ≤≤，求kb 的值.参考答案用待定系数法求解析式1、用待定系数法求解析式【例1】 已知函数图象如图所示，则此函数的解析式为（ ）A.2y x =-B.2(10)y x x =--<<C.12y x =-D. 1(10)2y x x =--<<【解析】 由题意，正比例函数经过点（-1，2），求出函数解析式为2y x =-，同时根据图象看出自变量的取值范围为10x -<<答案：B【例2】 已知一次函数的图象经过(3，2)和(1，-2)两点．求这个一次函数的解析式．【解析】 设这个一次函数的解析式为：y kx b =+，由题意可知322k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解得24k b =⎧⎨=-⎩故这个一次函数的解析式为：24y x =-．【点评】这种首先设出函数解析式，然后再根据已知条件求出函数解析式的系数的方法，称为“待定系数法”．【例3】 (09四川泸州)已知一次函数y ax b =+的图象经过点()023A -，，()143B -，，()4C c c +，． ⑴ 求c ；⑴ 求222a b c ab ac bc ++---的值．【解析】 ⑴根据已知()023A -，，()143B -，，求出一次函数解析式为223y x =+-，再把C 点坐标代入得23c =+．⑴()()()222222192a b c ab ac bc a b b c a c ⎡⎤++---=-+-+-=⎣⎦∵【点评】第二小问老师应该详细分析【例4】 (江苏省初中数学竞赛试题)一条直线l 经过不同的三点A (a ,b )，B (b ,a )，C(a b -，b a -)，那么直线l 经过 象限．【解析】 设直线l 的解析式为y kx t =+，因点A 、B 在直线l 上．⑴b ka ta kb t =+⎧⎨=+⎩，⑴a b =/，解得：1k =-,故直线l 的解析式为y x =-+t ． 又点C 在直线l 上．⑴()b a a b t -=--+，得0t =．即直线l 的解析式为y x =-，可知l 经过二、四象限．2、根据位置关系求解析式【例5】 已知一次函数y kx b =+的图象与直线21y x =+平行并且过点P (-1，2)，求这个一次函数 的解析式．【解析】 根据题意可设此函数解析式为2y x b =+，过点P (-1，2)，解得4b =，解析式为24y x =+.【例6】 (08年上海市中考题)如图，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ．【解析】 根据题意可得OA 的解析式为2y x =，向上平移一个单位以后，可得：12y x -=，即21y x =+3、根据函数定义求解析式【例7】 已知212y y y =+，其中1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当2x =和3x =时，y 的值都为l9，求y 与变量x 的函数关系式．【解析】 根据已知条件，设11y k x =，22k y x = (1k ，2k 均不为零)，于是，得：2221212k y y y k x x=+=+将2x =，3x =代入212y y y =+得：22122121943199k k k k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解之：122536k k =⎧⎪⎨=⎪⎩，⑴2365y x x =+【补充】已知函数y (32)(4)a x b =+--为正比例函数。

初二数学待定系数法例题待定系数法是一种用于解决含有未知系数的方程组的方法。

通过将未知系数设置为常数，并利用已知条件，可以求解方程组中的未知数。

在初二数学中，我们通常会遇到一元一次方程、一元二次方程、一元三次方程等等。

下面，我将分别举例说明如何利用待定系数法解决这些方程。

首先，我们来看一个简单的一元一次方程的例子：求解方程2x + 3 = 7。

我们可以假设方程的解为x = a，其中a为待定常数。

将x = a代入方程中，得到2a + 3 = 7。

通过解这个一元一次方程，可以得到a = 2。

因此，方程的解为x = 2。

接下来，我们来看一个一元二次方程的例子：求解方程x² + 3x + 2 = 0。

x = a代入方程中，得到a² + 3a + 2 = 0。

这个方程是一个一元二次方程，我们可以通过解这个方程得到a的值。

首先，我们要将方程因式分解。

根据因式定理，如果方程有解，那么它一定可以因式分解为(x - m)(x - n) = 0的形式，其中m和n为待定常数。

使用FOIL法则展开(x - m)(x - n)，得到x² - (m + n)x + mn = 0。

比较方程x² + 3x + 2 = 0和x² - (m + n)x + mn = 0的系数，可以得到以下等式：m + n = -3mn = 2根据上述两个等式，我们可以得到方程的解m = -2，n = -1。

因此，方程的解为x = -2或x = -1。

最后，我们来看一个一元三次方程的例子：求解方程x³ - 4x² + 4x - 1 = 0。

x = a代入方程中，得到a³ - 4a² + 4a - 1 = 0。

这个方程是一个一元三次方程，我们可以通过解这个方程得到a的值。

首先，我们要将方程进行因式分解。

根据因式定理，如果方程有解，那么它一定可以因式分解为(x - m)(x - n)(x - p) = 0的形式，其中m、n和p为待定常数。

待定系数法求函数解析式10题1. 题目：已知一次函数y = kx + b的图象经过点(1,3)和( - 1, - 1)，求这个一次函数的解析式。

- 解答：- 因为一次函数y = kx + b的图象经过点(1,3)和( - 1, - 1)，所以把这两个点分别代入函数解析式中。

- 当x = 1，y = 3时，得到3=k×1 + b，也就是k + b=3；当x=-1，y = - 1时，得到-1=k×(-1)+b，也就是-k + b=-1。

- 现在有了一个方程组k + b = 3 -k + b=-1。

- 把这两个方程相加，(k + b)+(-k + b)=3+(-1)，得到2b = 2，解得b = 1。

- 把b = 1代入k + b = 3，得到k+1 = 3，解得k = 2。

- 所以这个一次函数的解析式是y = 2x+1。

2. 题目：二次函数y = ax^2+bx + c的图象经过点(0,1)，(1,2)，( - 1,4)，求这个二次函数的解析式。

- 解答：- 因为二次函数y = ax^2+bx + c的图象经过点(0,1)，(1,2)，( - 1,4)。

- 当x = 0，y = 1时，代入解析式得1=a×0^2+b×0 + c，也就是c = 1。

- 当x = 1，y = 2时，得到2=a×1^2+b×1 + c，也就是a + b + c=2；当x=-1，y = 4时，得到4=a×(-1)^2+b×(-1)+c，也就是a - b + c = 4。

- 因为c = 1，所以把c = 1代入a + b + c = 2和a - b + c = 4中，得到a + b+1 = 2 a - b+1 = 4。

- 化简这两个方程得a + b = 1 a - b = 3。

- 把这两个方程相加，(a + b)+(a - b)=1 + 3，得到2a = 4，解得a = 2。

待定系数法练习题及答案待定系数法是一种常用的解决代数方程的方法，它可以帮助我们求解一些复杂的方程，尤其是含有未知系数的方程。

在本文中，我们将通过一些练习题来探讨待定系数法的应用，并给出相应的答案。

1. 求解方程：3x + 4 = 2x - 1首先，我们需要将方程转化为标准形式，即将所有项移到等号的一侧。

将方程重新排列得到：3x - 2x = -1 - 4，简化得到 x = -5。

2. 求解方程：2x^2 - 5x + 2 = 0这是一个二次方程，我们需要找到它的根。

首先，我们可以尝试因式分解，但很明显这个方程不能被因式分解。

因此，我们可以使用待定系数法来解决。

假设方程的解为 x = a 和 x = b，那么我们可以将方程表示为 (x - a)(x - b) = 0。

将方程展开得到 x^2 - (a + b)x + ab = 0。

与原方程进行比较，我们可以得到以下等式：a + b = 5，ab = 2。

根据这两个等式，我们可以列出一个二元一次方程组：a + b = 5，ab = 2。

解这个方程组，我们可以得到 a = 2，b = 3。

因此，方程的解为 x = 2 和 x = 3。

3. 求解方程：x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0这是一个三次方程，我们同样可以使用待定系数法来解决。

假设方程的解为 x = a，那么我们可以将方程表示为 (x - a)(x^2 + (a + 3)x + (a^2 + 3a + 1)) = 0。

展开方程得到 x^3 + (3a + 1)x^2 + (3a^2 + 6a + 1)x + (a^3 + 3a^2 + 3a + 1) = 0。

与原方程进行比较，我们可以得到以下等式：3a + 1 = 3，3a^2 + 6a + 1 = 3，a^3 + 3a^2 + 3a + 1 = 0。

解这个方程组，我们可以得到 a = 1。

因此，方程的解为 x = 1。

通过以上几个练习题，我们可以看到待定系数法在解决代数方程中的重要性。

22.1.5待定系数法求二次函数解析式二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)．注意：确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．题型1：一般式求二次函数解析式-一个或两个参数未知1.若抛物线y ＝x 2+bx +c 的对称轴为y 轴，且点P （2，6）在该抛物线上，则c 的值为（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．4【答案】C 【解析】【解答】解：∵抛物线y ＝x 2+bx+c 的对称轴为y 轴，∴b ＝0，∵点P （2，6）在该抛物线上，∴6＝4+c ，解得：c ＝2．题型2：一般式求二次函数解析式-a、b、c未知2.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（﹣1，8）、B（2，﹣1），与y轴交于点C（0，3），求二次函数的表达式．【答案】解：把A（﹣1，8）、B（2，﹣1），C（0，3）都代入y＝ax2+bx+c中，得a−b+c=84a+2b+c=−1c=3，解得a=1b=−4c=3，的三元一次方程组，解出a、b、c的值即得y=−x+6x−5，然后将其化为顶点式，即可得出结论.题型3：顶点式求二次函数解析式3.已知抛物线的顶点是A（2，﹣3），且交y 轴于点B（0，5），求此抛物线的解析式.应的y值，则可得点A的坐标.【变式3-2】已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.（1）求该函数的关系式；（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.【答案】解：（1）∵抛物线的顶点D的坐标为(1，−4)，∴设抛物线的函数关系式为y=a(x−1)2−4，又∵抛物线过点C(0，-3)，∴-3=a(0−1)2−4，解得a=1，∴抛物线的函数关系式为y=(x−1)2−4，即y=x2−2x−3；（ 2 ）令y=0，得：x2−2x−3=0，解得x1=3，x2=−1.所以坐标为A（-1，0），B（3，0）.【解析】【分析】（1）设出抛物线方程的顶点式，将点C的坐标代入即可求得抛物线方程；（2）对该抛物线令y=0，解二元一次方程即可求得点A，B的坐标.题型4：交点式求二次函数解析式4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三点，求这个二次函数的解析式．【答案】解：设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），把C（0，-3）代入得a×1×（-3）=-3，解得a=1，所以这个二次函数的解析式为y=（x+1）（x-3）=x2-2x-3【解析】【分析】根据A，B，C三点的坐标特点，设出所求函数的交点式，再将C点的坐标代入即可求出a的值，从而得出抛物线的解析式。

初二待定系数法练习题及答案一、解方程1. 求解方程：3x + 5 = 8解答：首先将方程中的常数项移到右边：3x = 8 - 53x = 3然后将系数3移到右边：x = 1答案：x = 12. 求解方程：2(y + 3) = 10解答：先将括号中的式子进行运算：2y + 6 = 10然后将常数项移到右边：2y = 10 - 62y = 4最后将系数2移到右边：y = 2答案：y = 2二、利用待定系数法解题3. 利用待定系数法解方程组：2x + y = 53x - y = 1解答：设未知数的系数为a、b，得到方程组：2x + y = 5 （1）3x - y = 1 （2）将方程（1）和方程（2）中的y项消去，得到等式：2x + y + 3x - y = 5 + 15x = 6解得：x = 6/5将x的值代入方程（1）中，得：2(6/5) + y = 512/5 + y = 5y = 25/5 - 12/5y = 13/5答案：x = 6/5，y = 13/54. 利用待定系数法解方程组：3x - y + 2z = 7x + y - 3z = -12x + 3y + z = 10解答：设未知数的系数为a、b、c，得到方程组：3x - y + 2z = 7 （1）x + y - 3z = -1 （2）2x + 3y + z = 10 （3）将方程（1）、（2）和（3）中的y项和z项消去，得到等式：3x - y + 2z + x + y - 3z + 2x + 3y + z = 7 - 1 + 106x = 16解得：x = 16/6 = 8/3将x的值代入方程（1）、（2）和（3）中，得：3(8/3) - y + 2z = 78 - y + 2z = 7-y + 2z = -1 （4）8/3 + y - 3z = -1y - 3z = -1 - 8/3y - 3z = -3/3 - 8/3y - 3z = -11/3 （5）2(8/3) + 3y + z = 1016/3 + 3y + z = 103y + z = 10 - 16/33y + z = 30/3 - 16/33y + z = 14/3 （6）从等式（4）、（5）和（6）中解得：y = 1，z = 3答案：x = 8/3，y = 1，z = 3总结：通过待定系数法，我们可以解决一般的线性方程和线性方程组，通过设定适当的未知数系数，将方程中的未知数进行消去，从而得到最终的解答。

中考数学待定系数法练习题（含答案）中考数学十大解题思路之待定系数法知识梳理对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称之为待定系数法．使用待定系数法解题的一般步骤是：(1)确定所求问题含待定系数的解析式；(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．初中数学中，待定系数法主要用途如下：典型例题一、在求函数解析式中的运用这是待定系数法的一个主要用途，学生也是在这种运用过程中开始较深入的接触待定系数法．初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx ，k y x=，y=kx+b 的形式(其中k 、b 为待定系数，且k ≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=a x 2+bx+c(a 、b 、c 为待定系数)，y=a (x －h) 2+k(a 、k 、h 为待定系数)，y=a (x －x 1)(x －x 2)( a 、x 1、x 2为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h 、k 、a 、c 、b 、x 1、x 2等待定系数．【例1】(05上海)点A(2，4)在正比例函数的图象上，求这个正比例函数的解析式．【解】设这个正比例函数的解析式为y=kx(k ≠0)，把A(2，4)代入得4=2k ，∴k=2，∴y=2x ．【例2】已知y 与x+1成反比例，且x=2时，y=4，求函数的解析式．【分析】 y 与x+1成反比例，把x+1看作一个整体，即可设为：1k y x =+ (k ≠0)，然后把x=2，y=4代入，求出k 的值即得函数的解析式．【解】 y 与x+1成反比例，∴可设1k y x =+(k ≠0) 将x=2，y=4代入1k y x =+(k ≠0)，得421k =+，解得k=12 ∴所求的函数的解析式为121y x =+．【解题反思】本题中y 与x+1成反比例关系，但y 与x 不是反比例关系，所以当自变量为x 时，121y x =+不是反比例函数．【例3】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．【解】 (1)设这个函数的解析式为y=a x 2+bx+c ．依题意得：0093142a b c a b c a b c =++??=++??-=++?解这个方程组得143a b c =??=-??=? ∴这个函数的解析式是：y=x 2－4x+3(2)2431y x x y x ?=-+?=-+? 解这个方程组得：1110x y =??=?，2221x y =??=-? ∴函数与直线的交点坐标是：(1，0)、(2，－1)【解题反思】运用待定系数法，由已知建立方程(组)，可求其系数的值，在把a 、b 、c 的值代入解析式时要注意符号．二、在确定方程或解方程时，某些时候使用待定系数法也可使问题得到简化．例如：已知一元二次方程的两根为x 1、x 2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方程为x 2+mx+n=0，则有(x －x 1)(x －x 2)=0，即x 2－(x 1+x 2)x+x 1x 2=0，对应相同项的系数得m=－(x1+x 2)，n=x 1x 2，所以所求方程为：x 2－(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．【例4】已知三次方程x 3－6x 2+11x －6=0，有一根是另一根的2倍，解该方程．【解】设方程的三根分别为a 、2a 、b ，则有x 3－6x 2+11x －6=(x －a )(x －2a )(x －b)，左右分别展开，并把相同项的系数作比较，可得：－3a －b=－6，2a 2+3a b=11，－2a 2b=－6．解得a =1，b=3，所以该方程的根分别为：x 1=1，x 2=2，x 3=3．三、待定系数法在分式展开化为部分分式中的应用．分式化为部分分式时，如果用待定系数法也会产生很好的效果．【例5】把分式21172x x x-+-化为部分分式．【解】设2117221x A B x x x x -+=+--，然后将右边进行通分，化成一个分式，由于左右两边分母相同，则只要分子相同，即：－11x+7=(A －B)x －B ．由各项系数相同得：－11x=A －B ，7=－B ，解得A=3，B=－7．所以211737221x x x x x-+-=+-- 四、待定系数法在因式分解中的应用【例6】分解因式：2x 2－xy －y 2+13x+8y －7【解】因为2x 2－xy －y 2=(2x+y)(x －y)，所以可设2x 2－xy －y 213x+8y －7=(2x+y+8)(x －y+b)，展开比较相同项系数，可得：a =－1，b=7，所以2x 2－xy －y 2+13x+8y －7=(2x+y －1)(x －y+7)．五、待定系数法在多项式除法中的应用【例7】当a 、b 为何值时，2x 3－a x 2+bx+1能被2x －1整除?【解】设2x 2－a x 2+bx+l=(2x －1)(x 2+mx －1)，右边展开由x 的相同项的系数相同可得a 、b ，m 的方程组，解得：a =3，b=－3．m=－11．已知：一次函数的图象经过(－4，15)、(6，－5)两点，求此一次函数的解析式．2．(08镇江)二次函数的图象经过点A(0，－3)，B(2，－3)，C(－1，0)．(1)求此二次函数的关系式；(2)求此二次函数图象的顶点坐标；(3)填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移________个单位，使得该图象的顶点在原点．3．如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是(8，0)、(0，4)，求这个抛物线的解析式．4．(07枣庄)在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为(－3，1)(1)求点B的坐标．(2)求过A，O，B三点的抛物线的解析式；(3)设点B关于抛物线的对称轴的对称点为B1，求△AB1B的面积．1．y=－2x+7 2．(1)设y=a x 2+bx －3，把点(2，－3)，(－1，0)代入得4233300a b a b +-=-??--=?，解方程组得12a b =??=-?．∴y=x 2－2x －3．(也可设y=a (x －1) 2+k)． (2)y=x 2－2x －3=(x －1) 2－4，∴函数的顶点坐标为(1，－4)． (3)53．解：观察图象可知，A 、C 两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x=3．因为对称轴是直线x=3，所以B 点坐标为(－2，0)．设所求二次函数为y=a (x －x 1)(x －x 2)，由已知，这个图象经过点(8，0)、(－2，0)，可以得到y=a (x －8)(x+2)．又由于其图象过(0，4)点，将点代入，得所求二次函数的关系式是213442y x x =-++． 4．解：(1)作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足分别为C ，D ，则∠ACO=∠ODB=90°．∴∠AOC+∠OAC=90°．又∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°．∴∠OAC=∠BOD ．又AO=BO ，∴△ACO ≌△ODB ．∴OD=AC=1，DB=OC=3．∴点B 的坐标为(1，3)．(2)抛物线过原点，可设所求抛物线的解析式为y=a x 2+bx ．将A(－3，1)，B(1，3)代入，解得56a =，136b =．故所求抛物线的解析式为251366y x x =+． (3)抛物线的对称轴的方程是1310x =-．点B 关于抛物线的对称轴的对称点为11835B ??-，．在△AB 1B 中，底边B 1B=4．6，高为2．1 4.6S AB B ∴=。

待定系数法举例说明待定系数法是一种数学解题方法，它适用于含有未知系数的方程组或方程的解法。

在这种方法中，我们假设未知系数的值，并将其代入方程组中，然后通过求解方程组来确定未知系数的值。

以下是一些使用待定系数法解题的例子：1. 问题：已知一个二次方程的顶点坐标为(3, -4)，且经过点(1, -2)，求该二次方程的解析式。

解法：假设该二次方程的解析式为y = ax^2 + bx + c。

由于已知顶点坐标，可以得到方程组：-4 = a(3)^2 + b(3) + c-2 = a(1)^2 + b(1) + c将上述方程组化简得：9a + 3b + c = -4a +b +c = -2通过求解上述方程组，可以确定未知系数a、b和c的值，从而得到二次方程的解析式。

2. 问题：已知一个等差数列的前四项分别为2, 5, 8和11，求该等差数列的通项公式。

解法：假设该等差数列的通项公式为an = a + (n - 1)d。

由于已知前四项，可以得到方程组：2 = a + 0d5 = a + 1d8 = a + 2d11 = a + 3d将上述方程组化简得：a = 2a + d = 5a + 2d = 8a + 3d = 11通过求解上述方程组，可以确定未知系数a和d的值，从而得到等差数列的通项公式。

3. 问题：已知一个函数f(x)满足f(2) = 3，f'(2) = 4，求该函数的解析式。

解法：假设该函数的解析式为f(x) = ax^2 + bx + c。

由于已知函数在x = 2处的函数值和导数值，可以得到方程组：3 = a(2)^2 + b(2) + c4 = 2a(2) + b将上述方程组化简得：4a + b = 44a + 2b + c = 3通过求解上述方程组，可以确定未知系数a、b和c的值，从而得到函数的解析式。

4. 问题：已知一个三次方程的解为1, 2和3，求该三次方程的解析式。

解法：假设该三次方程的解析式为y = ax^3 + bx^2 + cx + d。

初二数学待定系数法例题
初二数学中，待定系数法是一种常见的解方程的方法。

通常情况下，待定系数法常用于解一元二次方程或者一元高次方程。

下面我将以一元二次方程为例，来说明待定系数法的应用。

假设我们有一个一元二次方程：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为待定系数，我们需要求出方程的根。

我们可以通过以下步骤来使用待定系数法解决这个方程：
1. 首先，我们将方程ax^2 + bx + c = 0中的未知数x用一个具体的数代替，一般选择一些容易计算的数值，比如0、1或者-1等。

代入后得到一个关于a、b、c的方程。

2. 其次，我们根据代入得到的方程，整理出关于a、b、c的方程组。

3. 然后，我们解这个方程组，得到a、b、c的值。

4. 最后，将求得的a、b、c的值代入原方程，即可得到方程的解。

举个具体的例子，假设我们有一个一元二次方程2x^2 + 5x +
3 = 0，我们可以通过待定系数法来求解这个方程。

首先，我们可以
将x分别代入0、1、-1，得到三个方程，然后整理出关于a、b、c
的方程组，接着解方程组得到a、b、c的值，最后代入原方程即可
得到方程的解。

总的来说，待定系数法是一种通过代入具体数值，整理方程组，解方程组，最后代回原方程来求解方程的方法。

在初二数学中，学
生通常会接触到这种方法，通过练习可以掌握这一解题技巧。

希望
这个例子能够帮助你更好地理解待定系数法的应用。

中考培优专题用待定系数法求二次函数解析式（含答案）一、单选题（共有3道小题）1.函数20y ax a =≠,（）的图象经过点(a ，8)，则a 的值为（ ）A.±2B.－2C.2D.32.二次函数()21,0y ax bx a =+-≠的图象经过点(1，1)，则1a b ++ 的值是（） A.-3 B.-1 C.2 D.3 3.若抛物线2＝＋＋y x ax b 与x 轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线1＝x ，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A ．(－3，－6) B ．(－3，0) C ．(－3，－5) D ．(－3，－1)二、填空题（共有11道小题）4.已知二次函数2y ax =. 若当1x =-时，2y =，那么a =______5.已知二次函数m x x y ++=2的图象过点（1，3），则m 的值为6.二次函数2ax y =的图象过（2，1），则二次函数的表达式为____________.7.已知一条抛物线的形状与22x y =相同，但开口方向相反，且与x 轴的交点坐标是（1,0）、（-4,0），则该抛物线的关系式是 .8.若二次函数的图象开口向下，且经过（2,﹣3）点.符合条件的一个二次函数的解析式为 .9.若抛物线c bx ax y ++=2的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为 .10.已知一条抛物线的开口大小、方向与2x y =均相同，且与x 轴的交点坐标是（-2,0）、（3,0），则该抛物线的关系式是 .11.将抛物线221y x x =+-向上平移，使它经过点A(0，3)，则所得新抛物线的表达式为12.如图，已知抛物线2y x bx c =-++的对称轴为直线1x =，且与x 轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数解析式为13.一个y 关于x 的函数同时满足两个条件：①图象过(2，1)点；②当x ＞0时，y 随x 的增大而减小.这个函数解析式为 .(写出一个即可)14.已知抛物线()k m x a y +-=21与()k m x a y ++=22关于y 轴对称，我们称1y 与2y 互为“和谐抛物线”．请写出抛物线7642++-=x x y 的“和谐抛物线” ．三、解答题（共有9道小题）15.某二次函数图象如图，试计算其表达式。

学习必备欢迎下载初中数学竞赛专题选讲（初三.7）待定系数法一、内容提要1. 多项式恒等的定义：设 f(x) 和 g(x) 是含相同变量 x 的两个多项式， f(x) ≡ g(x) 表示这两个多项式恒等 .就是说 x 在取值范围内，不论用什么实数值代入左右的两边，等式总是成立的 .符号“≡”读作“恒等于”，也可以用等号表示恒等式.例如：222－ 1)(x － 1),（ x+3）=x +6x+9,5x － 6x+1=(5xx3－ 39x－ 70=(x+2)(x+5)(x － 7).都是恒等式 .根据恒等式定义，可求恒等式中的待定系数的值.例如：已知：恒等式ax2 +bx+c=2(x+1)(x － 2).求：① a+b+c ；②a－ b+c.解：①以 x=1，代入等式的左右两边，得a+b+c＝－ 4.②以 x= －1，代入等式的左右两边，得a－ b+c＝0.2.恒等式的性质：如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.即如果n n－1n n－1a0x +a1x +⋯⋯ +a n－1x+a n=b0x +b 1x+⋯⋯ +b n－1x+b n那么 a0=b0， a1=b1，⋯⋯，a n－1=b n－1，a n=b n.22－ 2x－ 4.上例中又解：∵ ax +bx+c=2x∴ a=2,b= －2,c=－4.∴ a+b+c＝－ 4，a－b+c＝ 0.3.待定系数法：就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式，然后根据恒等式定义和性质，确定待定系数的值.二、例题例 1.已知：x2x 2A B C x(x 3)( x 2)x x 3 x 2求：A，B，C的值 .解：去分母，得x2－ x+2=A(x － 3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x－3).根据恒等式定义（选择x 的适当值，可直接求出A， B， C 的值），学习必备 欢迎下载当 x=0 时， 2＝－ 6A.∴A ＝－1. 当x=3时，8＝ 15B.∴B ＝ 38.当 x=－ 2 时，8＝ 10C.15 4 ∴ C ＝.5本题也可以把等号右边的代数式，整理成为关于 x 的二次三项式， 然后用恒等式性质：“左右两边同类项的系数相等”，列出方程组来解 .（见下例） .例 2. 把多项式 x 3－ x 2+2x+2 表示为关于 x － 1 的降幂排列形式 .解：用待定系数法：设 x 3－ x 2+2x+2=a(x － 1)3+b(x － 1)2+c(x － 1)+d把右边展开，合并同类项（把同类项对齐），得3232－ax － x +2x+2=ax － 3ax +3ax+bx 2－ 2bx+b+cx － c+d用恒等式的性质，比较同类项系数，a 1a 1 3ab 1 b 2得2b c 2 解这个方程组，得33ac ab cd 2d4∴ x 3－ x 2+2x+2=(x － 1)3+2(x － 1)2+3(x － 1)+4.本题也可用换元法：设 x －1=y, 那么 x=y+1.把左边关于 x 的多项式化为关于y 的多项式，最后再把 y 换成 x － 1.例 3. 已知： 4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 是完全平方式 .求： a 和 b 的值 .解：设 4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 ＝（ 2x 2+mx ± 1）2 （设待定的系数，要尽可能少 .） 右边展开，合并同类项，得 4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 ＝ 4x 4+4mx 3+(m 2± 4)x 2 ±2mx+1.比较左右两边同类项系数，得a 4ma4m 方程组m 2 4 13；或 m 24 13 .b 2mb2m解得a12或 a 12或 a 4 17 或 a － 4 17 .b 6b6b2 17 b 2 17例 4. 推导一元三次方程根与系数的关系.解：设方程32x 1, x 2, x 3.ax +bx +cx+d=0(a ≠ 0)的三个根分别为原方程化为 x 3+ bx 2c xd 0 .aa a∵ x 1, x 2, x 3 是方程的三个根 .∴ x 3+ bx 2c xd (x － x 1) (x － x 2) (x － x 3).aa a把右边展开，合并同类项，得x 3+ bx2c xd =x 3－ ( x 1+x 2+x 3)x 2 +(x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3)x － x 1x 2x 3. aa a比较左右同类项的系数，得一元三次方程根与系数的关系是：x 1+x 2+x 3=－b，x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3＝c ，x 1 x 2x 3＝－d.aa a例 5. 已知： x 3+px+q 能被（ x － a ）2 整除 .求证： 4p 3+27q 2=0.证明：设 32（x+b ） .x +px+q ＝（ x － a ）x 3+px+q=x 3 +(b － 2a)x 2+(a 2－ 2ab)x+a 2b.b 2a 0①a 2②2ab pa 2b ③q由①得 b=2a ，代入②和③得p 3a 2q2a3∴ 4p 322 33 2×（－ 66（证毕） .+27q ＝ 4（－ 3a ） +27(2a ) =4 27a ） +27 ×（ 4a ） =0. 例 6. 已知： f (x)=x 2 +bx+c 是 g (x)=x 4 +6x 2＋ 25 的因式，也是 q (x)=3x 4+4x 2+28x+5 的因式 .求： f (1) 的值 .解：∵ g (x),q (x) 都能被 f (x) 整除 ,它们的和、差、倍也能被 f (x) 整除 .为了消去四次项，设g (x) － q (x) ＝kf (x),(k 为正整数 ).即 14x2－ 28x+70 ＝ k (x 2+bx+c)14（x2－ 2x+5 ）＝ k (x 2+bx+c)∴ k=14,b=－2,c=5.即 f (x)=x 2－ 2x+5.∴f (1)=4 .例 7. 用待定系数法，求（x+y）5的展开式解：∵展开式是五次齐次对称式，∴可设（ x+y ）5＝ a(x5+y5)+b(x 4y+xy 4)+c(x 3y2+x 2y3) (a,b, c 是待定系数 .)当x=1,y=0 时，得 a=1；当x=1,y=1 时，得 2a+2b+2c=32 ，即 a+b+c=16当x=－ 1,y=2 时，得 31a－ 14b+4c=1.a1得方程组 a b c1631a14b4c1a 1解方程组，得b5c 10∴（ x+y）5＝ x5+5x 4y+10x 3y2+10x 2y3+5xy 4+y 5.三、练习511.已知2x3a bb 的值 .26x8x 2x.求a,x42.已知：4x 23x5A B C( x 1)2 ( x 2)x 1 (x 1) 2. 求：A，B，C 的值.x 23.已知：x4—6x3+13x2－ 12x+4 是完全平方式 .求：这个代数式的算术平方根 .4.已知： ax3+bx 2+cx+d能被 x2 +p 整除 .求证： ad=bc.3 25.已知： x － 9x +25x+13=a(x+1)(x － 2)(x － 3)=b(x － 1)(x － 2)(x － 3) =c(x － 1)(x+1)(x －3) =d(x － 1)(x+1)(x －2).求： a+b+c+d 的值 .6.试用待定系数法，证明一元二次方程根与系数的关系（即韦达定理）.7.用 x－ 2 的各次幂表示 3x3－10x2+13.8.k 取什么值时， kx 2－ 2xy － y2+3x － 5y+2 能分解为两个一次因式 ..9.分解因式：① x2+3xy+2y 24x+5y+3 ；②x4+1987x 2+1986x+1987.10.求下列展开式：① (x+y) 6；② (a+b+c) 3.11. 多项式 x2y－ y2z+z2x－ x2z+y2x+z 2y－ 2xyz 因式分解的结果是 ()(A) (x+y)(y－ z)(x － z) .(B) (x+y)(y+z)(x－ z).(C) (x －y)(y － z)(x+z).(D) (x － y)(y+z)(x+z).4432432－ 3.12. 已知 ( a+1) =a +4a +6a+4a+1,若 S=(x－ 1) +4(x－1) +6(x －1) +4x则S等于()4(B)44. (D)4(A) (x－ 2) .(x－1) .(C) x(x+1) .13．已知：ax 35x 2bx c的值是恒为常数求：a,b, c 的值 .2x310x 23x4参考答案7111.a=－ ,b= －2 22.A=1,B=2,C=33.± (x2－ 3x+2)4.由 (x 2+p)(ax+ d )⋯p5. 13－ 2)2－2)－37. 3(x －2) +8(x－ 4(x8. 先整理为关于x 的二次三项式，并把常数项分解因式，再用待定系数法。

初二数学待定系数法例题待定系数法是一种常用的数学解题方法，特别适用于解决一元高次方程的问题。

在初二数学中，待定系数法常常用于解决二次方程的问题。

通过设定待定系数，可以将原方程化简为一个简单的代数方程，从而更容易求解。

下面将通过一个例题来详细介绍初二数学中待定系数法的应用。

例题：已知二次方程 2x^2 - 7x + 3 = 0 的两个根分别为α和β，求满足α^2 +β^2 的值。

解题思路：步骤1：设定待定系数设α + β = p 为二次方程的根之和，αβ = q 为二次方程的根之积，其中 p 和 q 为待定系数。

步骤2：应用待定系数法根据二次方程的性质，我们知道：α + β = p （1）αβ = q （2）根据题意，我们需要求α^2 + β^2。

利用二次方程的和差平方公式，我们可以得到：(α + β)^2 = α^2 + β^2 + 2αβ代入式(1)和式(2)，我们可以得到：p^2 = α^2 + β^2 + 2q （3）根据原方程 2x^2 - 7x + 3 = 0，我们知道：α + β = 7/2 （4）αβ = 3/2 （5）将式(4)和式(5)代入式(1)和式(2)，我们可以得到：p = 7/2 （6）q = 3/2 （7）将式(6)和式(7)代入式(3)，我们可以得到：(7/2)^2 = α^2 + β^2 + 2(3/2)化简可得：α^2 + β^2 = 7/2 - 3 = 1/2所以，满足α^2 + β^2 的值为 1/2。

解题总结：通过待定系数法，我们成功求解了满足给定条件的α^2 + β^2 的值为 1/2。

在解决二次方程的问题中，待定系数法是一种简便有效的方法，能够将复杂的方程化简为简单的代数方程，从而更容易求解。

通过这个例题，我们不仅掌握了待定系数法的具体步骤，还加深了对二次方程和和差平方公式的理解。

在数学学习中，我们还可以通过更多的练习来巩固和拓展待定系数法的应用。

通过不断的思考和实践，我们将能够熟练运用待定系数法解决各类数学问题，提高我们的数学解题能力。

中考数学十大解题思路之待定系数法知识梳理对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称之为待定系数法．使用待定系数法解题的一般步骤是：(1)确定所求问题含待定系数的解析式；(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．初中数学中，待定系数法主要用途如下：典型例题一、在求函数解析式中的运用这是待定系数法的一个主要用途，学生也是在这种运用过程中开始较深入的接触待定系数法．初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx ，k y x=，y=kx+b 的形式(其中k 、b 为待定系数，且k ≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=a x 2+bx+c(a 、b 、c 为待定系数)，y=a (x －h) 2+k(a 、k 、h 为待定系数)，y=a (x －x 1)(x －x 2)( a 、x 1、x 2为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h 、k 、a 、c 、b 、x 1、x 2等待定系数． 【例1】 (05上海)点A(2，4)在正比例函数的图象上，求这个正比例函数的解析式．【解】设这个正比例函数的解析式为y=kx(k ≠0)，把A(2，4)代入得4=2k ，∴k=2，∴y=2x ．【例2】 已知y 与x+1成反比例，且x=2时，y=4，求函数的解析式．【分析】 y 与x+1成反比例，把x+1看作一个整体，即可设为：1k y x =+ (k ≠0)，然后把x=2，y=4代入，求出k 的值即得函数的解析式． 【解】 y 与x+1成反比例，∴可设1k y x =+(k ≠0) 将x=2，y=4代入1k y x =+(k ≠0)，得421k =+，解得k=12 ∴所求的函数的解析式为121y x =+． 【解题反思】 本题中y 与x+1成反比例关系，但y 与x 不是反比例关系，所以当自变量为x 时，121y x =+不是反比例函数． 【例3】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．【解】 (1)设这个函数的解析式为y=a x 2+bx+c ．依题意得：0093142a b c a b c a b c =++⎧⎪=++⎨⎪-=++⎩解这个方程组得143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ ∴这个函数的解析式是：y=x 2－4x+3(2)2431y x x y x ⎧=-+⎨=-+⎩ 解这个方程组得：1110x y =⎧⎨=⎩，2221x y =⎧⎨=-⎩ ∴函数与直线的交点坐标是：(1，0)、(2，－1)【解题反思】 运用待定系数法，由已知建立方程(组)，可求其系数的值，在把a 、b 、c 的值代入解析式时要注意符号．二、在确定方程或解方程时，某些时候使用待定系数法也可使问题得到简化．例如：已知一元二次方程的两根为x 1、x 2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方程为x 2+mx+n=0，则有(x －x 1)(x －x 2)=0，即x 2－(x 1+x 2)x+x 1x 2=0，对应相同项的系数得m=－(x 1+x 2)，n=x 1x 2，所以所求方程为：x 2－(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．【例4】 已知三次方程x 3－6x 2+11x －6=0，有一根是另一根的2倍，解该方程．【解】设方程的三根分别为a 、2a 、b ，则有x 3－6x 2+11x －6=(x －a )(x －2a )(x －b)，左右分别展开，并把相同项的系数作比较，可得：－3a －b=－6，2a 2+3a b=11，－2a 2b=－6．解得a =1，b=3，所以该方程的根分别为：x 1=1，x 2=2，x 3=3．三、待定系数法在分式展开化为部分分式中的应用．分式化为部分分式时，如果用待定系数法也会产生很好的效果．【例5】 把分式21172x x x-+-化为部分分式． 【解】设2117221x A B x x x x -+=+--，然后将右边进行通分，化成一个分式，由于左右两边分母相同，则只要分子相同，即：－11x+7=(A －B)x －B ．由各项系数相同得：－11x=A －B ，7=－B ，解得A=3，B=－7．所以211737221x x x x x-+-=+-- 四、待定系数法在因式分解中的应用【例6】 分解因式：2x 2－xy －y 2+13x+8y －7【解】 因为2x 2－xy －y 2=(2x+y)(x －y)，所以可设2x 2－xy －y 213x+8y －7=(2x+y+8)(x －y+b)，展开比较相同项系数，可得：a =－1，b=7，所以2x 2－xy －y 2+13x+8y －7=(2x+y －1)(x －y+7)．五、待定系数法在多项式除法中的应用【例7】 当a 、b 为何值时，2x 3－a x 2+bx+1能被2x －1整除?【解】 设2x 2－a x 2+bx+l=(2x －1)(x 2+mx －1)，右边展开由x 的相同项的系数相同可得a 、b ，m 的方程组，解得：a =3，b=－3．m=－11．已知：一次函数的图象经过(－4，15)、(6，－5)两点，求此一次函数的解析式．2．(08镇江)二次函数的图象经过点A(0，－3)，B(2，－3)，C(－1，0)．(1)求此二次函数的关系式；(2)求此二次函数图象的顶点坐标；(3)填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移________个单位，使得该图象的顶点在原点．3．如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是(8，0)、(0，4)，求这个抛物线的解析式．4．(07枣庄)在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为(－3，1)(1)求点B的坐标．(2)求过A，O，B三点的抛物线的解析式；(3)设点B关于抛物线的对称轴的对称点为B1，求△AB1B的面积．1．y=－2x+7 2．(1)设y=a x 2+bx －3，把点(2，－3)，(－1，0)代入得4233300a b a b +-=-⎧⎨--=⎩，解方程组得12a b =⎧⎨=-⎩． ∴y=x 2－2x －3．(也可设y=a (x －1) 2+k)． (2)y=x 2－2x －3=(x －1) 2－4，∴函数的顶点坐标为(1，－4)． (3)53．解：观察图象可知，A 、C 两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x=3．因为对称轴是直线x=3，所以B 点坐标为(－2，0)．设所求二次函数为y=a (x －x 1)(x －x 2)，由已知，这个图象经过点(8，0)、(－2，0)，可以得到y=a (x －8)(x+2)．又由于其图象过(0，4)点，将点代入，得所求二次函数的关系式是213442y x x =-++． 4．解：(1)作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足分别为C ，D ，则∠ACO=∠ODB=90°． ∴∠AOC+∠OAC=90°．又∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°．∴∠OAC=∠BOD ．又AO=BO ，∴△ACO ≌△ODB ．∴OD=AC=1，DB=OC=3．∴点B 的坐标为(1，3)．(2)抛物线过原点，可设所求抛物线的解析式为y=a x 2+bx ．将A(－3，1)，B(1，3)代入，解得56a =，136b =．故所求抛物线的解析式为251366y x x =+． (3)抛物线的对称轴的方程是1310x =-． 点B 关于抛物线的对称轴的对称点为11835B ⎛⎫-⎪⎝⎭，．在△AB 1B 中，底边B 1B=4．6，高为2．1 4.6S AB B ∴=。

八年级利用待定系数法分解因式题目展示【例题讲解】因式分解：x3﹣1．∵x3﹣1为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3﹣1可以分解成（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，∴x3﹣1＝x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b恒成立．∴等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即解得．∴x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）．【方法归纳】设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．【学以致用】（1）若x2﹣mx﹣12＝（x+3）（x﹣4），则m＝；（2）若x3+3x2﹣3x+k有一个因式是x+1，求k的值；（3）请判断多项式x4+x2+1能否分解成两个整系数二次多项式的乘积，若能，请直接写出结果，否则说明理由．题目分析（1）根据题目中的待定系数法原理即可求得结果；（2）根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据恒等原理即可求得结论；（3）根据待定系数原理和多项式乘以多项式即可求得结论．题目解答解：（1）1；解法提示：∵（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣12，∴﹣m＝﹣1，∴m＝1，（2）设另一个因式为（x2+ax+k），（x+1）（x2+ax+k）＝x3+ax2+kx+x2+ax+k＝x3+（a+1）x2+（a+k）x+k，∴x3+（a+1）x2+（a+k）x+k＝x3+3x2﹣3x+k，∴a+1＝3，a+k＝﹣3，解得a＝2，k＝﹣5；（3）多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次多项式的乘积．理由如下：设多项式x4+x2+1能分解成①（x2+1）（x2+ax+b）或②（x2+x+1）（x2+ax+1），①（x2+1）（x2+ax+b）＝x4+ax3+bx2+x2+ax+b＝x4+ax3+（b+1）x2+ax+b，∴a＝0，b+1＝1，b＝1，由b+1＝1得b＝0≠1，②（x2+x+1）（x2+ax+1）＝x4+（a+1）x3+（a+2）x2+（a+1）x+1，∴a+1＝0，a+2＝1，解得a＝﹣1．即x4+x2+1＝（x2+x+1）（x2﹣x+1），∴x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积却不能分解成两个整系数二次二项式与二次三项式的乘积．答：多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积．。

初中数学常考的知识点待定系数法待定系数法是初中数学中常用的一种解题方法，它主要用于解决带有未知系数的方程问题。

通过设定未知系数，列出方程，再根据已知条件以及方程的性质进行求解。

接下来，我将从待定系数法在一元一次方程、一元二次方程、及数列中的应用等方面进行详细介绍。

在初中数学中，一元一次方程通常是最早接触到的方程类型。

待定系数法可以用来解决一元一次方程中的问题。

例如，如下的一道例题：例题1：有一个三位数，各位数字之和为9，将它的各位数字反过来得到一个不同的三位数，再将这两个三位数相加，得到1332，求原数。

解析：设这个三位数为100a+10b+c，反过来得到的三位数为100c+10b+a。

根据已知条件列出方程为：(100a+10b+c)+(100c+10b+a)=1332化简得：101a+20b+101c=1332由于方程中含有三个未知数a、b和c，我们可以设定一个待定系数，假设a为一个未知数。

那么b和c就可以通过1332-101a得到。

代入方程可得：101a+20(1332-101a)+101(1332-101a)=1332解这个一元一次方程可得：a=144根据所设待定系数，可将b和c代入求得：b=10，c=18通过这道题目的解答过程不难看出，待定系数法在一元一次方程中的应用既能简化方程的形式，又能得到未知数的值，大大提高了问题的解答效率。

一元二次方程是初中数学中的重点和难点，待定系数法在解决一元二次方程问题中提供了一种有效的思路。

下面以一道例题为例进行解析：例题2：已知一元二次方程 x^2 + ax +b =0 的两根α 和β 之和等于 -1，乘积等于 3、求这个二次方程的解析式。

解析：设方程的解析式为 x^2 + ax +b =0，根据题目中所给条件，可以列出方程为：x^2 + ax + b = (x-α)(x-β) = 0展开得：x^2-(α+β)x+αβ=0根据题目中给出的条件α+β=-1和αβ=3，代入方程可得：x^2-(-1)x+3=0即：x^2+x+3=0所以这个二次方程的解析式为x^2+x+3=0。

中考数学专题复习之待定系数法的应用一、选择题1.直线y＝kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+b≤2的解集是（）A．x≤﹣2 B．x≤﹣4 C．x≥﹣2 D．x≥﹣42．如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣4，0），B（﹣2，﹣1），C（3，0），D（0，3），当过点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线l所表示的函数表达式为（）A．y＝x+B．y＝x+C．y＝x+1 D．y＝x+3．明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S（单位：m2）与工作时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是（）A．300m2 B．150m2 C．330m2 D．450m24. 已知关于x的分式方程21ax++＝1的解是非正数，则a的取值范围是( )A.a≤－1B.a≤－1，且a≠－2C.a≤1，且a≠－2D.a≤15.若三点（1，4），（2，7），（a，10）在同一直线上，则a的值等于（）A．﹣1 B．0 C．3 D．46.已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4），那么这个反比例函数的解析式是（）A．y=2x B．y=−2xC．y=8xD．y=−8x7.如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，=．∠AOB的角平分线与OA 的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为时，k的值是（）A． 2 B． 3 C． 5 D． 7二、填空题8.如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数ky(x0)x=>的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F. 若点D的坐标为（6，8），则点F 的坐标是________9.若一个二次函数的二次项系数为－1，且图象的顶点坐标为（0,－3）.则这个二次函数的表达式为________．三、解答题10.某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y（元）与销售量x（kg）之间函数关系的图象如图中折线所示．请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？（2）求图象中线段BC所在直线对应的函数表达式．日期销售记录6月1日库存600kg，成本价8元/kg，售价10元/kg（除了促销降价，其他时间售价保持不变）．6月9日从6月1日至今，一共售出200kg．这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元/kg．6月10、11日6月12日补充进货200kg，成本价8.5元/kg．6月30日800kg水果全部售完，一共获利1200元．11.某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？12.表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b，现画出了它的图象为直线1，如图．而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l'．x﹣1 0y﹣2 1（1）求直线1的解析式；（2）请在图上画出直线l'（不要求列表计算），并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长；（3）设直线y＝a与直线1，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．13.已知：()()223232x x A B C x x x x x x -+=++-+-+，求A 、B 、C 的值。