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初中数学开放探究题的类型及解题策略初中数学中的开放探究题是一类涉及多种解决方法和思路的问题，其答案不唯一，求解过程和思维过程比结果更重要。
开放探究题能够激发学生的思维活动，培养学生的创新能力和解决问题的能力。
下面将介绍一些常见的开放探究题的类型以及解题策略。
一、数列问题：数列问题是初中数学中的重要内容，也是开放探究题的常见类型。
在解决数列问题时，可以采用递归关系与通项公式相结合的方法。
解题策略：1.观察法：观察数列的前几项，寻找规律。
2.分情况讨论法：根据题目的条件，分析数列的性质，将问题分解为几个简单情况进行讨论。
3.递推法：根据数列的递归关系，根据已知的条件，求解下一个数。
4.通项公式法：通过观察数列的性质，找出数列的通项公式。
解题策略：1.画图法：根据题目要求，画出图形，并观察图形的性质，寻找规律。
2.分割法：将图形分割成一些简单的图形，进一步分析每个简单图形的性质，然后综合求解整个问题。
3.等分法：通过分析图形的对称性，将图形分成若干相等的部分，然后计算出每个部分的面积或长度，最后求和得到最终的结果。
4.面积法：通过计算图形的面积，求解某一部分的面积或整个图形的面积。
解题策略：1.列方程法：根据问题所描述的关系，列出相应的方程，然后求解方程得到答案。
2.代入法：将已知的一个或几个条件代入方程中，求解未知数。
3.化简法：对方程进行化简，将复杂的方程化简为简单的方程，然后求解方程得到答案。
4.分类讨论法：根据题目的不同条件，将问题分为几个不同的情况，分别列方程求解。
解题策略：1.相似性：通过观察图形的相似性质，建立相似三角形的比例关系或使用等比例分割线，通过比例关系求解问题。
2.角度关系：通过观察图形的角度关系，利用角度和的等于180度等性质，建立方程求解问题。
3.比例关系：通过观察图形的比例关系，利用等比例分割线，建立比例关系等方程求解问题。
4.三角形的性质：利用三角形的面积公式、三边关系、角平分线等性质，建立方程求解问题。
探索性试题的分类与解题方法探索性试题的分类与解题方法当前，中学数学教学改革和发展的总趋势应该是发展思维，培养能力。
要达到这一要求教师的教学就必须从优化学生的思维入手，把创新教育渗透到课堂的每一个环节中，激发和培养学生的思维品质。
学生的探究能力、创新能力的培养就成了现代教学的重中之重。
我根据多年的教学经验积累对数学探索性试题的分类与解题方法进行了一些探索。
一个数学问题中，通常包括四个部分：已知条件（应用题表现为背景资料）、解题依据、解题方法和结论。
如果这四部分齐备，就称之为封闭性问题；若这四部分不齐备，就称之为开放性问题。
其中探索性问题是开放性问题中的一种，开放性问题通常是缺少四部分中的两部分。
这样的问题既能达到考察学生能力的目的，又不至于让学生因过于开放而无从下手，他的解题思路若隐若现解题方法若有若无，需要通过对问题的观察、分析、尝试、判断、归纳、总结等过程体现学生的思维能力、分析问题、解决问题的能力，是一种深受广大教育工作者和出题者欢迎的題型，已经成为并将继续成为高考中的的热点问题。
一、探索性试题的分类1.条件追溯型。
这种题目中常用“当满足什么条件时，能得到相应的结论”的语句，需在解题时，假设有了相应的结论，然后执果索因，寻找能使该结论成立的充分条件。
例1.如图1，已知平行六面体的面是菱形，且，（1）求证；（2）假定记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值；（3）当的值为多少时，能使平面本题的第（3）问是探索性试题，？正是我们需要追溯的条件。
2.结论探索型。
这种题型往往没有给出结论，而要求解题者根据已有的信息“猜想、推理、探求”出相应的结论。
这种题型多出现在早期的探索性试题用数学归纳法解决的问题中。
例2.已知数列中，，（）.（1）求出并猜想的表达式；（2）请证明你的猜想。
3.存在判断型。
这类题型是探索性试题中的最主要成员，题目中大多直接寻问“是否存在”；并要求“若存在，给出证明；若不存在，请说明理由”。
初中数学开放探究题的类型及解题策略【摘要】初中数学开放探究题是培养学生独立思考能力、提高问题解决能力和培养创新意识的重要途径。
本文从几何、代数和概率问题的探究类型入手，探讨了尝试不同方法途径求解、建立数学模型分析、利用已知条件推导未知结论、借助实际问题拓展思考和结合数学工具辅助求解等解题策略。
通过开放性探究题，学生能够在实践中培养自己的数学思维和解决问题的能力，从而提高数学学科的学习效果。
初中数学开放探究题有助于学生积极主动地探索数学领域，培养他们的批判性思维和创造性解决问题的能力，为未来的学习和工作打下坚实基础。
【关键词】初中数学开放探究题、类型、解题策略、几何问题、代数问题、概率问题、独立思考能力、问题解决能力、创新意识。
1. 引言1.1 初中数学开放探究题的重要性初中数学开放探究题在教学中扮演着至关重要的角色，它不仅能够激发学生学习数学的兴趣，还能培养他们的独立思考能力、问题解决能力和创新意识。
开放探究题是一种不设定具体解决方法的数学问题，通过学生自主探究和发现，帮助他们建立数学知识的联系，提升数学思维能力。
初中数学开放探究题有助于提高学生的问题解决能力。
在解决开放探究题的过程中，学生需要运用所学的数学知识，探究问题的本质，找到解决问题的方法。
这种过程能够帮助学生培养解决实际问题的能力，提高他们的问题解决能力。
初中数学开放探究题有助于培养学生的创新意识。
开放探究题鼓励学生提出新的问题、尝试新的解决方法，激发学生的创新思维。
通过解决开放探究题，学生能够培养自己的创新意识，不断拓展自己的思维，提升自己的创造能力。
初中数学开放探究题的重要性不言而喻，它不仅能够培养学生的独立思考能力，提高学生的问题解决能力，还能够培养学生的创新意识，为学生的未来发展打下坚实基础。
教师应该在教学中充分重视开放探究题的设计和实施，引导学生充分参与，发挥他们的潜力。
2. 正文2.1 类型一：几何问题的探究在初中数学中，几何问题是学生们经常会遇到的类型之一。
初中数学开放探究题的类型及解题策略初中数学开放探究题是指一类没有明确解题方法的数学问题，可以通过思考、推理以及试错来解决的问题。
这类问题通常需要学生发现问题的规律和特点，进行探究和推理，从而找到解题的策略和方法。
下面介绍几种常见的初中数学开放探究题的类型及解题策略。
1. 数列问题：数列问题是初中数学中常见的开放探究题类型之一。
通过观察数列的前几项，学生需要发现并推断数列的规律，然后利用这个规律找出数列的通项公式。
解题策略：- 观察数列的前几项，看是否能够找到数列的规律；- 尝试列出数列的通项公式，然后用这个公式验证数列的后几项是否正确；- 如果困难，可以先找出数列的差、比或其他规律，再推导出数列的通项公式；- 考虑使用递推公式或逆向思维方法来推导数列的规律。
2. 图形问题：图形问题是初中数学中的另一类常见开放探究题类型。
学生需要观察、分析图形的性质，根据图形的特点解决问题。
解题策略：- 观察图形的形状、边长、角度等特征，看是否能够发现规律；- 将图形分解为几个简单的几何形状，研究它们之间的关系；- 利用图形中的对称性质、相似性质、平行关系等几何性质寻找解题思路；- 可以尝试将图形转化为其他形式进行思考和分析。
3. 概率问题：概率问题是初中数学中较为抽象和复杂的开放探究题类型。
学生需要基于概率的定义和性质，通过思考、模拟试验等方式解决问题。
解题策略：- 分析给定事件发生的可能性和不可能性；- 利用计数原理和概率公式计算概率；- 利用试验、模拟或图表等方法辅助计算概率；- 考虑使用条件概率、事件的独立性等概率性质推导解题思路。
4. 代数方程问题：代数方程问题是初中数学中的难点之一。
学生需要通过列方程，利用代数运算的性质求解问题。
解题策略：- 确定未知数，并根据问题中的条件列方程；- 对方程进行整理、变形，将问题中的信息转化为方程中的代数式；- 使用代数运算的性质进行方程的解析求解；- 检验方程的解是否符合问题的要求。
初中数学开放探究题的类型及解题策略一、简介数学是一种探究事物规律的科学，而开放式问题则是数学中逐渐流行的一种解决问题的方式。
我们所说的开放探究题指的是这种无唯一解的问题。
在数学课堂上，教师通常会提出一个开放探究题，让学生自主探究推理，培养学生的探究兴趣和能力，这也是现代数学教学中普遍采取的一种教学方式。
二、类型1、综合型这种题目需要学生综合运用所学的知识来解决一个问题。
通过这样的题目可以培养学生的综合理解能力，同时也能够使学生明确知识在现实中的应用与重要性。
2、探究型这种类型的问题不拘泥于现有的概念定义，而是要求学生独立思考，自行构建模型，寻找规律。
这种问题将直接挑战学生的思维深度和创造力，培养学生的探究建模能力。
3、归纳型归纳是学生掌握知识的关键能力之一，通过这种题目可以提高学生的归纳思维能力和加深对概念的认知。
4、证明型证明型问题适合于高年段学生，它要求学生能够自主思考并创新证明。
这种问题可以锻炼学生的证明能力和思维逻辑能力，是提高数学素养的重要方式之一。
三、解题策略1、充分理解题目学生应该充分理解题目所要求考察的问题，明确问题目标。
充分理解比直接做题更为重要，因为只有真正理解了问题，才能够有效地解决问题。
2、分类讨论法当学生面对一些错综复杂的问题时，可以通过分类讨论的方法来分解问题，使问题更具可操作性。
分类讨论法是数学中经常使用的解决问题的方法，可以充分挖掘学生的思维潜力，提高学生的解题能力。
3、建立模型，推导规律建立模型、推导规律是学生在解决开放探究题时需要熟练掌握的技能。
在遇到没有现成概念的问题时，学生需要抓住问题的关键因素并运用公式、图表等方式建立模型，从而推导出规律。
4、归纳法归纳是学生解决数学问题时比较重要的方法。
在处理开放式问题中，需要学生能够将问题的特征整理出来，逐步推导出规律，从而进行求解。
5、交流合作在解决开放探究题的过程中，同学之间可积极交流、合作，共同探讨题目的解法，互相帮助，提高解题效率和思维力。
初中数学开放探究题的类型及解题策略
初中数学开放探究题是指那些没有明确解题方法的数学问题，通过学生自主探索和解
决问题，培养学生思维能力和解决问题的能力。
开放探究题的类型多种多样，解题策略也
各有不同。
以下是一些常见的初中数学开放探究题的类型及相应的解题策略。
一、几何问题
几何问题是常见的开放探究题类型之一。
解答这类问题通常需要学生探究图形的性质、关系及运用几何知识解决问题。
解题策略：
1. 观察几何图形的性质，例如角的关系、边的长度等。
2. 尝试构建辅助线或辅助角，将问题转化成已知的几何问题。
3. 运用几何定理，如勾股定理、相似三角形的性质等。
二、代数问题
代数问题是初中数学中常见的开放探究题类型，通常涉及复杂的代数式的化简、方程
的解法等。
解题策略：
1. 观察代数式的结构，寻找规律，进行化简和简化。
2. 运用代数运算法则，如合并同类项、因式分解等。
3. 构建方程组，运用代数方法解方程。
数列问题是另一种常见的开放探究题类型。
解答这类问题需要学生发现数列的规律，
进行推理和证明。
解题策略：
1. 观察数列的前几项，寻找数列的规律和递推关系。
2. 推导数列的通项公式或递推公式。
3. 运用数列性质，进行计算和证明问题。
四、概率问题
概率问题也是初中数学中的重要开放探究题类型，学生需基于概率的概念进行推理和计算。
解题策略：
1. 确定事件空间和随机试验。
2. 运用概率的计算公式，计算事件的概率。
3. 推导和证明概率性质。
初中数学开放探究题的类型及解题策略一、开放探究题类型1. 排列组合类问题：包括组合数学、排列组合、乘法原理、加法原理等知识点。
2. 几何问题：包括图形的性质、相似、比例、面积、体积等知识点。
3. 方程式问题：包括解方程、分式方程、不等式方程等知识点。
4. 数列问题：包括等差数列、等比数列、常数项数列等知识点。
5. 统计问题：包括概率、统计学中的平均数、中位数、众数等知识点。
6. 数论问题：包括最大公因数、最小公倍数、质因数分解、整除性等知识点。
二、解题策略1. 清晰的思路在解决开放探究题之前，我们必须有清晰的思路。
这样我们就可以清楚地了解题目需要的知识点，以及如何运用这些知识点去解题。
2. 深入探究问题一般来说，开放探究题会涉及到多个知识点，或者是一个问题有多种解法。
在这种情况下，我们需要对问题进行更深入的分析，找到多种解题思路和方法，从而有可能得到更全面的解题答案。
3. 灵活运用知识在解题过程中，我们需要充分发挥自己的想象力和创造力，灵活运用自己掌握的知识点。
这样才能不断拓展自己的思维，创造出更多解题思路和解法。
4. 勇于尝试在解决开放探究题时，我们要以尝试为前提。
纵使我们的想法可能会与正解不同，但我们应该勇于尝试，尽可能的将自己的思维能力发挥到极致。
在尝试的过程中，我们也可能会发现别人没有发现的新的问题和答案。
5. 思维流程清晰解题的过程中，我们应该把思维流程清晰地表达出来，在思路清晰的基础上，我们才有可能做到正确无误的解答。
如果我们的思路不清晰，那么我们就很可能会在解答过程中犯错，从而导致最终结果的失误。
6. 尝试多种解题思路在解决开放探究题时，我们应该尝试多种不同的解题思路，从多个角度来分析问题。
这样可以帮助我们充分地发掘自己内在的思维潜力，从而得到更多的解题答案。
7. 将答案阐述清晰在解答问题时，我们需要让自己的解题思路、过程以及最终答案表述得足够清晰和简单。
这样可以帮助别人更好地理解我们的解题思路和过程，从而得到自己的认可和称赞。
开放探索性问题归类分析“学好数学是创新思维的载体”．由于开放探索性问题对考查学生思维能力和创造能力有积极作用，对于促进数学课程改革，数学知识教学的创新都有重要的导向作用．它既可以考查学生的创新意识和综合素质，又能促进教师转变教学观念，改进教学方法，加强学生创新能力的培养，因此开放探索性问题在中考中越来越受到重视．这种题型的最大特点是条件和结论的不确定性，不唯一性，使得解题的方法与答案呈现多样性，通常这类题目有以下几种类型：条件开放与探索，结论开放与探索，条件与结论都开放与探索及方案设计，解题策略的开放等．1.条件开放与探索给出问题的结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不唯一，这样的问题是条件开放性问题，解决这类问题的一般思路是：从结论出发，执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件或把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析． 例1.已知直线l 把口ABCD 分成两部分，要使这两部分面积相等，直线l 所在位置需满足的条件是——（只需填上一个你认为合适的条件）．【分析】要把口ABCD 的面积分为面积相等的两部分，这样的直线很多，它们有一个共同特点，都要经过对角线的交点.【答案】对角线所在直线（答案不唯一，只要该直线过对角线交点即可）．【点拨】此题的关键是确定对角线的交点．2.结论开放与探索给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求探求者探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题，它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散思维和应用所学基础知识的能力． 解决这类问题的一般思路是：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想类比、猜测等，从而获得所求的结论．例2.在平面直角坐标系中，给定以下五点A （-2，0），B （1，0），C （4，0），D （-2，29），E （0，-6），从这五点中选取三点，使经过这三点的抛物线满足以平行于y 轴的直线为对称轴，我们约定：把经过三点A 、E 、B 的抛物线表示为抛物线AEB ，如图.(1)符合条件的抛物线有几条？不求关系式，请用约定的方法一一表示出来；(2)在(1)中是否存在这样一条抛物线，它与余下的两点所确定的直线不相交？如果存在，试求出抛物线及直线的关系式；若不存在，请说明理由．【分析】(1)通过观察图形，确定出符合条件的抛物线，再代入点的坐标验证．(2)先通过猜想，得到结论，再通过计算求出该抛物线的关系式及直线的关系式．用解方程组的方法确定两图象是否有交点，从而得出结论．【解】．（l ）符合条件的抛物线还有五条：①抛物线AEC ；②抛物线EBC ；③抛物线DEB ；④抛物线DEC ；⑤抛物线DBC(2)在(1)中存在抛物线DBC.设y ＝ax 2＋bx ＋c ，把D(-2,29),B(1,0),C(4,0)代入，求得 145412+-=x x y .过A 、E 两点的直线y=kx ＋b ，把A （-2，0）、E(0，-6)代入得，y ＝-3x-6，假设两图象相交，则-3x-6 =145412+-=x x y ,Δ<0,∴两图象不相交，所以存在． 【点拨】分别用三点式或两点式求其关系式．3.条件结论都开放与探索此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，它要求学生通过自己的观察和思考，将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件是应该有什么结论．通过这一思维活动揭示事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性．例3.某七年级学生做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样： “甲、乙两地相距40 km ，摩托车的速度为45 km/h ，汽车的速度为35 km/h ，■（后面一段矩形黑框是被墨水污染了…无法辨认的文字）”．请你将这道题补充完整，并列方程解答．【分析】由已知条件可知，此题可补充为相遇问题或追及问题，问题都是求时间、若补充为相遇问题，可设摩托车经xh 相遇，(45+35)x=40,x=0.5；若补充为追及问题，可设经xh 追上汽车，(45 -35)x =40,x=4.【解】摩托车和汽车分别从甲、乙两地相向而行，则经过几小时后能相遇？设经过xh 相遇，列方程得(45十35)x=40，x=0.5.答：经过0.5 h 相遇．【点拨】此例题要仔细阅读题目中的已知部分，领会命题者的意图，结合问题情景，进行合理补充，然后解答，注意条件与结论不唯一.。
中考数学探索规律题分类及解析中考数学探索规律题是指通过观察一组数或一组图形，发现其中存在的规律或者推导出下一个数字或图形的解题方法。
这类题目不是通过直接计算或者运用公式来得到答案，而是通过观察和推理来寻找规律并进行推导。
这类题目在中考数学中比较常见，考察学生的观察力、逻辑推理能力和发现规律的能力。
中考数学探索规律题可以分为数列规律、形状规律和操作规律等几个分类。
数列规律题是指给出一组数字，要求学生根据已知数字的特点推导出下一个数字或者补全数列。
这类题目常常通过给出一定的条件或者变化规律，让学生去寻找数字之间的关系。
学生可以通过计算差值、比值等方式来找到规律。
比如，给出一个数列1，3，5，7，要求学生推导出下一个数字。
学生可以发现，每两个数字之间差值都是2，所以下一个数字应该是9。
形状规律题是指给出一组图形，要求学生根据已知图形的特点推导出下一个图形或者补全图形。
这类题目常常通过给出一定的条件或者变化规律，让学生去寻找图形之间的关系。
学生可以通过观察图形边长、角度、对称性等特点找到规律。
比如，给出一个图形如下：1 2 34 5 67 8 ?要求学生填空。
学生可以发现，每一行的数字是依次递增的，所以下一个数字应该是9。
操作规律题是指通过一系列操作或者变换，让学生来探索操作之间的关系从而推导出答案。
这类题目常常通过给出一系列数字或者图形的变化过程，让学生去寻找变化之间的规律。
比如，给出一系列数字1，4，9，16，要求学生推导下一个数字。
学生可以发现，每一个数字都是前一个数字的平方，所以下一个数字应该是25。
总之，中考数学探索规律题要求学生通过观察和推理来寻找规律，需要学生具备较强的观察力、逻辑推理能力和发现规律的能力。
在解题过程中，学生可以采用数列差值、比值等方式来寻找数列规律；可以通过观察图形的边长、角度、对称性等特点来寻找形状规律；可以通过寻找操作之间的关系来寻找操作规律。
通过不断的练习和思考，可以提高解决这类问题的能力。
开放探索性试题的分类简析徐利根 杨惠琴探索性试题是中考中必考的试题。
它主要考查学生的探索能力。
也可以充分考查考生观察问题、解决问题的能力，是新课程改革的重要标志。
近几年各地中考试题中，这是一个热点问题。
下面我们分类讨论这类问题的具体处理方法，供大家在中考复习时作参考。
一、存在性探索题这一类试题主要是在某种条件下，判断具有某种性质的数学对象是否存在。
例1. （2007年重庆市中考压轴题）已知在Rt △OAB 中，∠OAB ＝90°，∠BOA ＝30°，AB ＝2，若以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图1所示的平面直角坐标系。
点B 在第一象限内，将Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处。
（1）求点C 的坐标；（2）若抛物线)0a (bx ax y 2≠+=经过C 、A 两点，求此抛物线的解析式；（3）若抛物线的对称轴与OB 交于点D ，点P 是线段DB 上一点，过P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M ，问：是否存在这样的点P ，使得四边形CDPM 为等腰梯形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
分析：（1）C （3，3）（2）x 32x y 2+-=（3）如图1，由于CD ∥PM ，要探索四边形CDPM 是否为等腰梯形，我们运用点参数的方法表示出点P 、点Q 、点D 的坐标，假设CE ＝QD ，问题转化为二次方程是否有解。
解：因为x 32x y 2+-=的顶点坐标为C （3，3），MP ⊥x 轴，设垂足为N ，设PN ＝t 。
因为∠BOA ＝30°，所以t 3ON =，所以P （t ,t 3）。
作PQ ⊥CD ，垂足为Q ，ME ⊥CD ，垂足为E ，把t 3x =代入 ,x 32x y 2+-=得.t 6t 3y 2+-=所以M ：)t 6t 3,3(E ),t 6t 3,t 3(22+-+-，同理Q （t ,3），D （1,3）。
要使四边形CDPM 为等腰梯形，只需CE ＝QD ，即04t 7t 3,1t )t 6t 3(322=+--=+--， 解得1t ,34t 21==（舍去）， 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛34,334P 。
所以，存在这样的点P ，使得四边形CDPM 为等腰梯形，此时，点P 为⎪⎭⎫ ⎝⎛34,334。
探索性试题的解法是：我们首先假设满足题意的结论成立，如果经过推理，得出合理的结果，说明的确存在，如果得出矛盾，说明满足题意的结论不成立。
二、猜想型探索题这类问题一般结论不明确，要求考生猜想，然后再进行计算或证明。
例2. （2007年哈尔滨市中考数学试题）如图2，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，AF 平分∠BAC ，交BD 于点F 。
（1）求证：AB AC 21EF =+； （2）点1C 从点C 出发，沿着线段CB 向点B 运动（不与点B 重合），同时点1A 从点A 出发，沿着BA 的延长线运动，点1C 与点1A 的运动速度相同，当动点1C 停止运动时，另一动点1A 也随之停止运动。
如图3，11F A 平分11C BA ∠，交BD 于点1F ，过点1F 作1111C A E F ⊥，垂足为1E ，请猜想11F E ，11C A 21与AB 三者之间的数量关系，并证明你的猜想。
（3）在（2）的条件下，当2E C ,3E A 1111==时，求BD 的长。
分析：（1）如图2，只要过点F 作FM ⊥AB 于点M ，证明Rt △AMF ≌Rt △AEF ，结论成立。
（2）探求动点移动的规律，关键是抓住动点移动的过程中哪些是不变的因素。
利用全等三角形这一桥梁，大胆猜想，小心求证。
结论是：AB C A 21F E 1111=+仍然成立。
证明：如图3，连接11C F ，过点1F 作B A P F 11⊥于点P ，BC Q F 1⊥于点Q ，11F A 平分11C BA ∠，所以111PF F E =，同理11PF QF =，所以1111QF PF F E ==。
又1111F A F A =，所以111F E A Rt ∆≌11PF A Rt ∆，所以P A E A 111=，同理11C QF Rt ∆≌111C F E Rt ∆，所以111E C Q C =。
由题意：C C AA 11=，所以.AB 2BC AB C C BC A A AB BC B A 1111=+=-++=+,QB QF PF PB 11===所以,F E 2Q C P A Q C QB PB P A BC B A 11111111++=+++=+即,F E 2C A F E 2E C E A AB 21111111111+=++=所以.AB C A 21F E 1111=+下面我们运用数形结合法来解决第（3）小题。
设x PB =，则2C E ,3E A ,x QB 1111===，由（2）可知：.2E C QC ,3E A P A 111111==== 在11BC A Rt ∆中，2112121C A BC B A =+，即,5)x 2()x 3(222=+++,06x 5x 2=-+所以6x ,1x 21-==（舍去）所以PB ＝1，所以1F E 11=。
又5C A 11=，由（2）的结论：AB C A 21F E 1111=+得：27AB =， 所以.227BD = 本题是一道开放性问题。
在解决后面的小题时，往往要利用前面小题的思想方法和结论。
三、动态探索题例3. （2007年天津市中考数学试题）如图4，AD 是圆O 的直径，BC 切圆O 于点D ，AB 、AC 与圆O 相交于点E 、F 。
（1）求证：AE ·AB ＝AF ·AC ；（2）如果将图4中的直线BC 向上平移与圆O 相交得图5，或向下平移得图6，此时，AE ·AB ＝AF ·AC 是否仍成立？若成立，请证明，若不成立，说明理由。
分析：（1）如图4，只要连接DE ，证明Rt △AED~Rt △ADB 得2AD AB AE =⋅，同理连接DF ，可证Rt △AFD~Rt △ADC ，得2AD AC AF =⋅，所以AE ·AB ＝AF ·AC 成立。
（2）虽然BC 的位置改变了，但是BC 在上、下移动的过程中，始终与AD 垂直，故可判定结论AE ·AB ＝AF ·AC 仍然成立。
现证明如下：如图5，连接DE ，设BC 与AD 交于点D ′，因为AD 是圆O 的直径，所以∠AED ＝90°。
又因为∠D ′AB ＝∠EAD ，所以Rt △AD ′B~Rt △AED ， 所以AED A AD AB '=， 即AE ·AB ＝AD ′·AD ，同理AF ·AC ＝AD ′·AD ，所以AE ·AB ＝AF ·AC 。
同理可证，当直线BC 向下平移与圆O 相离如图6时，AE ·AB ＝AF ·AC 仍然成立。
说明：解这类题的关键是：动态问题静态看，紧紧抓住不变量或不变的位置关系。
四、结论探索型这类问题一般的结构是：给定条件去寻求满足条件的结论。
例4. （2007年北京市中考数学压轴题）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。
（1）请写出一个你学过的特殊的四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图7，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB 、AC 上，设CD ，BE 相交于点O ，若∠A ＝60°，A 21EBC DCB ∠=∠=∠。
请你写出图中一个与∠A 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在△ABC 中，如果∠A 是不等于60°的锐角，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且A 21EBC DCB ∠=∠=∠。
探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。
分析：（1）略。
（2）与∠A 相等的角是∠BOD （或∠COE ）。
四边形DBCE 是等对边四边形。
（3）凭直觉，我们可以判定四边形DBCE 是等对边四边形。
要证明BD ＝CE ，问题可转化为证明包含BD 和CE 的两个三角形全等。
证明：如图7，作CG ⊥BE 于G 点，作BF ⊥CD 交CD 延长线于F 点。
因为A 21EBC DCB ∠=∠=∠，BC 为公共边， 所以△BCF ≌△CBG 。
所以BF ＝CG 。
因为∠BDF ＝∠ABE ＋∠EBC ＋∠DCB ，∠BEC ＝∠AEC ＋∠A ，所以∠BDF＝∠BEC。
可证△BDF≌△CEG，所以BD＝CE，所以四边形DBCE是等对边四边形。
特别地，当AB＝AC时，BD＝CE仍然成立。
开放探索型中考试题，一般试题较长，信息量也较大，审题是关键步骤，审题就是要求考生对条件和结论进行全面的认识，弄清问题中所涉及的概念哪些是已知的，哪些是未知的，要求什么，它们之间有什么逻辑联系，有哪些数学模型与它可以联系上，要用到哪些数学思想方法，等等。
它主要是提高学生的分析、发现已知条件和隐含条件以及把它们转化成自己需要的数学素材的能力。
考试中要反复回顾学过的知识，保持良好的心态，对考试要有必胜的信念。
小心谨慎，大胆尝试，细心证明或计算。
