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探索年级疑难题如何解决小学数学中的平行线和垂直线问题在小学数学教学中，平行线和垂直线问题往往是学生们感到困惑和难以理解的一类问题。
针对这个问题，我们教育家可以通过一系列的探索性学习活动帮助学生解决疑难，并提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。
在本文中，我将探讨一些有效的方法和策略来解决小学数学中的平行线和垂直线问题。
一、实物模型与操作性学习为了帮助学生理解平行线和垂直线的概念，我们可以使用实物模型和操作性学习的方法。
首先，我们可以准备一些纸板或杆子，用来做平行线和垂直线的示范模型。
然后，让学生观察和比较这些模型的特点和性质，引导他们发现平行线和垂直线之间的关系。
接着，我们可以让学生亲自操作这些模型，尝试画出平行线和垂直线，通过动手操作的方式进一步加深他们的理解。
二、实际问题和情境化学习解决年级疑难问题的另一种方法是通过实际问题和情境化学习。
我们可以设计一些生活中常见的问题，让学生运用平行线和垂直线的概念来解决。
例如，通过让学生考虑如何确定两条线是否平行或垂直来解决物体是否垂直放置的问题，或者通过让学生分析并解决两条线是否平行的公共设施建设问题等。
这样的情境化学习可以让学生在真实场景中运用所学知识，从而增强他们的理解和实际运用能力。
三、合作学习和讨论在解决疑难问题的过程中，合作学习和讨论是非常重要的手段。
通过与同学一起讨论问题、分享解题思路和策略，学生们可以相互启发和补充彼此的知识，共同解决难题。
可以设计一些小组活动，让学生在小组中共同探讨和解决平行线和垂直线的问题。
这样的合作学习能够培养学生的合作意识和团队精神，同时也能够提高他们的解决问题的能力。
四、技术辅助和多媒体资源在现代教育中，技术辅助和多媒体资源可以成为解决疑难问题的有力工具。
我们可以利用互联网资源或者教育软件来展示平行线和垂直线的相关知识和实例。
通过观看视频、参与互动练习或者使用教育游戏等方式，学生们可以以一种更加直观、生动和有趣的方式来学习和理解这些概念。
探索性问题的一般解答策略【摘要】在数学解题中经常会碰到探索性问题，以“试推测”探求，判断或“是否”、“能否”等词的出现，这类问题，常以三种形式出现：（1）由已知条件，寻求相应结论。
（2）.给定结论，反推应具备的条件。
（3）.存在性问题，本文通过具体的例子说明这类问题的解题策略。
【关键词】探索存在性函数数列【中图分类号】 g426 【文献标识码】 a 【文章编号】 1006-5962（2013）01（a）-0184-021 由给定条件寻求相应结论。
（1）..对于这类问题的解题思路是从所给条件出发，经过分析、观察、利用特殊→一般→特殊→一般的辩论关系，进行探索、归纳、猜想出结论，然后用数学归纳法加以证明。
例1.设数列﹛an﹜的各项为正数a1=1，sn表示其前n项的和，且n∈n时，sn+1+sn与1的等比中项为an+1。
（1）..求s1，s2，s3，s4的值。
求①的结果推测sn的表达式，并证明。
解：①由条件可知：sn+1+sn=an+12∴sn+1+sn=（sn+1-sn）2，，∵s1=1，∴s2+1=（s2-1）2 ∴s2=3，同理s3=6，s4=10，s1=*1（1+1）=1，s2=*2（2+1）=3，s3=*3（3+1）=6，s4=*4（4+1）=10……推测sn=n（n+1）②.证明：ⅰ当n=1时，s1=*1（1+1）=1推理正确，ⅱ假设当n=k时，推理正确，即sk=k（k+1）当n=k+1时，sk+1+sk=（sk+1-sk）2得，sk+1+k（k+1）= [sk+1-k （k+1）]2sk+12-[k（k+1）+1]sk+1+k2（k+1）2—k（k+1）=0即[sk+1—k（k+1）—（k+1）]*[sk+1-k（k+1）+k]=0∵an>0 ，∴sk+1=k（k+1）+k+1=（k+1）（k+2），当即n=k+1时，推理正确，由（ⅰ），（ⅱ）可以断定sn=n（n+1）对于一切n∈n时，均正确。
初中数学变式教学的探索性问题探讨一、引言随着教育教学改革的不断深入，初中数学教学也面临着新的挑战和机遇。
变式教学作为数学教学中的一种重要教学方法，已经受到越来越多教育工作者的重视。
而在初中数学教学中，如何合理有效地开展变式教学，成为教师需要深入思考和探讨的问题。
本文将围绕初中数学变式教学展开探索性问题探讨，希望能够为广大数学教师提供一些启发和借鉴。
二、变式教学的特点及意义变式教学是指以一道或几道基本题为基础，通过改变数值、图形、条件等来训练学生掌握解题方法、提高数学运算技能和逻辑推理能力的一种教学方法。
变式教学不仅可以拓展学生的思维，增强他们的动手能力，而且还可以培养学生的发散思维和创造能力，使其在解决实际问题和数学建模中能够游刃有余。
变式教学可以有效提高学生的学习兴趣和学习主动性，使学生在学习中变被动为主动，从而激发学生对数学的热爱和兴趣，培养学生解决问题的能力；变式教学也有利于促进学生的合作学习和交流，增强学生的团队合作能力和社会交往能力；变式教学也能激发学生的创造性思维，培养学生的创新精神和实践能力。
三、变式教学的实施策略1. 合理设置问题在进行变式教学时，教师首先要合理设置问题，确定好基本题目的类型和难度，然后通过改变数值、图形、条件等，设计出多个相关题目，逐步深入、逐步展开，以便学生能够逐步掌握解题方法和提高数学运算技能。
2. 引导学生发散思维变式教学要引导学生发散思维，鼓励学生多种可能性的答案，引导学生从不同的角度思考问题，鼓励他们提出自己的解决方法和思路，培养学生解决问题的能力和探究精神。
3. 注重实际应用变式教学要注重实际应用，要让学生能够将所学的数学知识应用于实际生活中，通过实际问题的变式教学，让学生能够将所学的数学知识与实际生活相结合，增强学生的实践能力和解决问题的能力。
四、初中数学变式教学的难点与问题1. 学生学习兴趣不高由于变式教学要求学生主动参与，发挥主体作用，所以如果学生学习兴趣不高，对数学缺乏兴趣的话，就会影响到变式教学的效果。
初中探索性问题教案教案概述：本教案旨在通过探索性问题，激发学生的思维潜能，培养学生的创新能力和解决问题的能力。
教学过程中，教师需要引导学生主动探究，积极思考，通过小组合作、讨论交流等方式，找到问题的答案。
教学目标：1. 培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。
2. 培养学生团队合作、沟通交流的能力。
3. 培养学生创新思维、批判性思维的能力。
教学内容：1. 探索性问题：如何提高学生的学习效率？2. 教学方法：小组合作、讨论交流、PPT展示等。
教学步骤：1. 导入：教师通过一个有趣的例子，引出探索性问题：“如何提高学生的学习效率？”2. 小组讨论：学生分组，每组选择一个角度，进行讨论交流，寻找提高学习效率的方法。
3. 分享交流：每个小组选择代表，向全班同学分享他们的讨论成果。
其他同学可以对分享的内容进行评价、补充。
4. PPT展示：每个小组制作一份PPT，展示他们的探索过程和最终成果。
5. 总结：教师引导学生对各个小组的探索成果进行总结，筛选出提高学习效率的有效方法。
6. 课后作业：让学生根据自己的探索成果，制定一个提高学习效率的计划，并在课后进行实施。
教学评价：1. 学生参与度：观察学生在课堂上的参与情况，包括发言、讨论、展示等。
2. 学生创新能力：评价学生在探索过程中提出的新观点、新方法。
3. 学生团队合作能力：评价学生在小组合作中的表现，包括沟通交流、分工合作等。
4. 学生解决问题能力：评价学生对探索性问题的回答是否具有深度、广度。
教学反思：教师需要在教学过程中关注学生的反馈，根据学生的实际情况调整教学策略。
同时，教师也需要不断学习，提高自己的专业素养，以便更好地引导学生进行探索性学习。
通过本教案，学生能够培养探索问题的习惯，提高自己的学习效率，为未来的学习和生活打下坚实的基础。
探索性问题【考点梳理】一、探索性问题如果把一个数学问题看作是由条件、解题依据、解题方法和结论这四个要素组成的一个系统，那么我们把这四个要素中有两个是未知的数学问题称为探索性问题。
条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征。
二、探索型问题的基本类型1．条件追溯型这类问题的外在形式是针对一个结论，条件未知需探究，或条件增删需确定，或条件正误需判断。
解决这类问题的基本策略是执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或论证找到结论成立的充分条件。
在执果索因的推理过程中，不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，是一种常见错误，必须引起注意。
确定条件是否多余时要着眼于每个条件对所求（或所证）对象的确定性，判断条件正误时多从构造反例入手。
2．结论探索型这类问题的基本特征是有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。
探索结论而后论证结论是解决这类问题的一般型式。
3．存在判断型判断存在型问题是指判断在某些确定条件下的某一数学对象（数值、图形、函数等）是否存在或某一结论是否成立的探索性问题，解决这类问题通常假设题中的数学对象存在（或结论成立）或暂且认可其中一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论的证明。
4．方法探究型这里指的是需要非常规的解题方法或被指定要用两种以上的方法解决同一个问题，难度较高的构造法即属此型。
在探究方法的过程中，常常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，运用类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高。
三、思想方法解决探索性问题，较少现成的套路和常规程序，需要较多的分析和数学思想方法的综合运用。
对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面的能力有较高要求。
高考题中一般对这类问题有如下方法：1．直接法2．观察—猜测—证明3．赋值法4．数形结合 5．联想类比6．从特殊到一般7．从特殊到一般再到特殊8．等价转化四、怎样提高解探索问题的能力1．注重双基的训练，夯实基础知识。
浅谈初中数学探索性问题解题策略开放探索性题重在开发思维，促进创新，有利于培养学生的探索能力，而且还提供了创造性思维空间，是近年来数学问题中的热点问题。
此类问题虽背景新颖，不拘泥于常规解法，但对于近几年中考出现的此类题还是有一定规律可循的。
以下将介绍几类探索性题目及其常用的解题策略。
一、条件探索型题目中由问题给定的结论去寻找待补充或完善的条件，常用“当满足什么条件时，能得到相应结论”的语句，解题时需执果索因，其解法类似于分析法，在结论成立的条件下，逐步探索其成立条件。
它改变了传统的思维模式，开拓学生的逆向思维，并能提高分析问题的能力。
一般解题策略：执果索因，假设有了相应结论，再通过严密推理寻找使结论成立的条件。
例1：如图（1）在等边△ABC中，D、F分别为BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边作等边△ADE。
（1）求证：△ACD≌△CBF;（2）探究：当点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形，且∠DEF=30°。
分析：（1）由边角边公里不難证明;（2）当点D为线段BC中点时，由∠DEF=30°，延长EF 交AD于点M，则点M为AD中点，在CDEF 中，EM∥DC，则F也为AB边中点，即BF=1/2·AB，而BF﹦CD，∴CD﹦1/2·BC，故当点D为BC边中点时满足题目条件。
二、存在探索型这种题型是探索性问题中较常见的一类，即问题在某种题设条件下，要判断具有某种性质的数学对象是否存在，结论常以“若存在，给出证明;若不存在，说明理由”等形式出现。
一般解题策略：先假设结论成立，看是否导致矛盾，或达到与已知条件沟通，从而确定探索元素是否存在。
三、结论探索型此类题没有给出结论，要求解题者由问题给定的条件去探求相应的结论一般解题策略：根据条件，结合已学知识、数学思想方法，通过分析、归纳逐步得出结论。
例4：如图（5）正方形ABCD边长为2a，M是以BC为直径的半圆上一点，过点M与半圆相切的直线分别交AB、CD于E、F。
探索性问题的解决策略扬州大学附属中学 何继刚数学问题由条件、解题依据、解题方法和结论这四个要素组成，这四个要素中有两个是未知的数学问题称为探索性问题。
条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征。
解决探索性问题，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面的能力有较高要求。
高考题中一般对这类问题有如下思考方法：（1）直接法；（2）观察—猜测—证明；（3）赋值法；（4）数形结合；（5）联想类比；（6）从特殊到一般；（7）从特殊到一般再到特殊；（8）等价转化。
（一）解决条件追溯型问题的主要策略条件追溯型问题是针对一个结论，条件未知尚需探究，或条件增删尚需确定，或条件正误尚需判断。
解决这类问题的基本策略是执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或论证找到结论成立的充分条件。
例1 当[]1,0∈x 时，不等式()()0sin 11cos 22>-+--θθx x x x 恒成立吗？若恒成立，请给出证明。
若不恒成立，请简述理由，并求出该不等式恒成立的条件。
解法1 反例：当2πθ=时，该不等式不恒成立。
若该不等式恒成立，令x=0, x=1， 由已知条件可知0cos ,0sin >>θθ，设()()θθsin 11cos )(22x x x x x f -+--=θθθθsin )sin 21()sin cos 1(2++-++=x x()()θθθθθθθθθsin cos 14sin 21sin sin 2cos 22sin 21)sin cos 1(22+++-+⎪⎭⎫⎝⎛+++-++=x 由0cos ,0sin >>θθ 可知1sin 2cos 22sin 210,0sin cos 1<+++<>++θθθθθ结合原不等式对任意[]1,0∈x 恒成立可知()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+++-=>>0)sin cos 1(4sin 21sin )(0cos 0sin 2min θθθθθθx f 可得212sin >θ 所以)(1252122Z k k k ∈+<<+ππθππ解法2 反例同上。
令x=0, x=1 由已知条件可知0cos ,0sin >>θθ，当()1,0∈x ，原不等式变为0cos 1sin 12>+⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθx x x x令t xx=-1 +∈R t 即0cos sin 2>+-θθt t 令θθθθθθsin 41cos sin 21sin cos sin )(22-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=t t t t f 所以0sin 41cos )(min >-=θθt f解得212sin >θ 所以)(1252122Z k k k ∈+<<+ππθππ 评注：本题先令x=0和x=1得到0cos ,0sin >>θθ，大大的缩小了θ的考察范围，为后面的解答提供的很大的方便。
这种从特殊入手，探究一般规律的思维方法应在解题实践中认真学习。
例2 已知数列{}n a 的首项a a a (1=为常数），()2242*21≥∈+-+=-n N n n n a a n n 。
（1）{}n a 是否可能是等差数列？若可能，求出{}n a 的通项公式；若不可能，说明理由。
（2）设)2,(,*21≥∈+==n N n n a b b b n n ，n S 是数列{}n b 的前n 项的和，试求使{}n S 是等比数列的实数a ，b 满足的条件。
解：（1）由已知条件a a =1，(),......4,3,224221=+-+=-n n n a a n n 所以 2228422-=+-+=a a a 542129223-=+-+=a a a 882234-=+=a a a 22212-=--=-a a a a a 3223-=-a a a 3434-=-a a a若{}n a 成等差数列，则2312a a a a -=-，得1=a ；由2334a a a a -=-，得0=a ，矛盾。
所以{}n a 是不可能是等差数列。
（2）因为 2n a b n n +=，211)1(++=++n a b n n 22)1(2)1(4)1(2++++-++=n n n a n()22222≥=+=n b n a n n22422+=+=a a b当1-≠a 时，0≠n b ，{}n b 从第2项起是以公比为2的的等比数列。
所以()()()()1222121222111-++=--++=--n n n a b a b S 。
2≥n时，()()()222122222212221111--+⋅+---=--+⋅+--+⋅+=---a b a a b a b a a b a S S n n n n n 若{}n S 是等比数列，则()21≥-n S S n n为常数。
如果1-≠a ，则022=--a b如果1-=a ，则()32,012≥==-n b b b n n ，得()20≥=n b nb b b b S n n =+++=∴ (21)若{}n S 是等比数列，则0≠b综上，{}n S 是等比数列，实数a ，b 满足的条件为⎩⎨⎧+=-≠221a b a 或⎩⎨⎧≠-=01b a 评注：本题是数列探究性问题，往往通过特殊的个体总结出一般的规律（1）要否定一个结论，只要通过前面几项即可，（2）的证明必须对每一项都要满足，所以要对第一项进行检验。
另一方面，)2(1≥-n S S n n为常数，也可以理解为 t a b a a b a n n =--+⨯+--+⨯+-222)1(222)1(1（t 与n 无关）对n ≥2恒成立，即方程0)22()1(2)2)(1(1=--⨯-+⨯-+-a b t t a n 对n ≥2恒成立，在条件a ≠1下，同样可得022=--a b （此时t 必等于2）这里运用了代数恒等思想。
（二）解决结论探索型问题的策略结论探索型问题的基本特征是有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。
探索结论之后论证结论是解决这类问题的一般形式。
有时运用定义或定理直接导出结论，有时可通过具体到抽象，特殊到一般的归纳获得结论，再给出严格证明，有时通过类比，联想，猜测出结论，再加以证明。
例 3 已知正方体的棱长为P a ,和Q 是该正方体表面上的两点，求线段PQ 长的最大值。
思路分析：由于点P 、Q 在正方体六个面上的相对位置有共面、相邻、相对等情况，应分别观察讨论，可以先从最简单的共面→相邻→相对进行。
解：P 与Q 在正方体六个面上的位置关系可分为三类：（i ）在同一个面上；（ii ）分别在相邻的两个面上；（iii ）分别在相对的两个面上。
分别对三种情况进行讨论：（1）P 、Q 在同一个面上时，根据正方形的性质，由正方形边长为a 可知有a PQ 2||≤；（2）当P 、Q 分别在两个面上（如右图）， 在面1AD 中，作11D A PS ⊥于S ，连SQ ， 由面⊥AD 面11C A ，得⊥PS 面11C A ，故SQ PS ⊥， （图在数学高考题型与方法研究P227/）2222223)2(a a a SQ PS PQ =+≤+=∴，即a PQ 3||≤（此处a SQ 2≤，是使用（1）的结果）。
（3）若P 与Q 在相对的两个面内（如右图）， 过P 作⊥PS 面C B 1于S ，连SQ ，显然PS 是两平行平面D A 1与C B 1间的距离，故a PS =；又⊥PS 面C B 1，而⊂SQ 面C B 1， （图在数学高考题型与方法研究P227/） SQ PS ⊥∴，根据（1），a SQ 2≤， 2222223)2(a a a QS PS PQ =+≤+=∴，即.32a PQ ≤ 而当P 与A 重合，Q 与1C 重合时，a AC PQ 31==，故PQ 的最大值为.3a评注：这是一个立体几何的“结论探索题”，首先应发挥你的空间想象力，考虑这两个点在正方体六个面上的相对位置有哪几种，然后分别在每种情况下求PQ 长的最大值。
实际上，我们在讨论立体几何问题时常常可以与平面几何中相关问题进行类比，从中寻找出解题思路，此题可以与平面几何中“求正方形的周边上两点P 、Q 的最大距离”类比。
（图在数学高考题型与方法研究P227/最下面）当P 、Q 在同一边时，PQ 最大值是a ；在相邻边上，最大值是a 2；在相对边上，最大值也是a 2. 故综合得PQ 的最大值为对角线长a 2.我们不仅可以从中找出分类讨论的方法，而且也可以猜测出正方体面上两点间最大距离也应是其对角线长.3a在立体几何与平面几何的图形元素之间，这样的类比很多，如（正）四面体与（正）三角形，平行六面体与平行四边形，正方体与正方形，球与圆等等。
另外，此题中，证明a PQ 3≤后，还不能断言a 3就是最大值，必须找出等号成立的情形，方可下结论。
（三）解决存在判断型问题的策略存在型问题是指判断在某些确定条件下的某一数学对象（数值、图形、函数等）是否存在或某一结论是否成立的探索性问题，解决这类问题通常假设题中的数学对象存在（或结论成立）或暂且认可其中一部分的结论，然后进行演绎推理，或导出矛盾，即可否定假设，或推出合理结论验证后即可肯定结论，对于“存在”，“不存在”已肯定的问题，或直接用条件证明或采用反证法说明。
例4 如图，已知正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长为4，61=AA ，Q 为1CC 的中点，1,3,,,1111111==∈∈∈N D M A D C N B A M AA P（1）若二面角1A PM N --的余弦值为31， 试确定P 点的位置。
（2）在棱1AA 上是否存在点P ，使得⊥1QA面若存在，确定P 点的位置；若不存在，请说明理由解：设t P A =1，建立如图所示的坐标系， )0,2,4(--=,3,0(t -= 设平面PMN 的法向量为1n =（x y z 则有⎩⎨⎧=-=--03024tz y y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==t x z t y 63令z=6 得)6,2,(1t t n -=而平面MP A 1的法向量)0,0,1(2=n31|364|||22=++-=t t t解得3±=t 又0>t 3=∴t即P 为1AA 的中点（2）若存在，则有MN Q A ⊥1 而()3,4,41-=A()()080324)4(41≠=⋅+-⋅+-⋅-=⋅∴MN Q A所以在棱1AA 上不存在点P ，使得⊥1QA面PMN 评注：本题是立体几何的位置确定的探索性问题，（1）一般是已知P 点的位置，求二面角，但在此已知二面角来确定P 的位置，可运用方程求解待定参数。
