第三章 3.1 3.1.1 3.1.2 导数的概念(优秀经典课时训练作业及答案详解)

导数的概念(说课稿)人教社·普通高级中学教科书（选修Ⅱ）第三章第一节《导数的概念》导数是近代数学中微积分的核心概念之一，是一种思想方法，这种思想方法是人类智慧的骄傲.《导数的概念》这一节内容，大致分成四个课时，我主要针对第三课时的教学，谈谈我的理解与设计，敬请各位专家斧正.一、教材分析1.1编者意图《导数的概念》分成四个部分展开，即：“曲线的切线”，“瞬时速度”，“导数的概念”，“导数的几何意义”，编者意图在哪里呢？用前两部分作为背景，是为了引出导数的概念；介绍导数的几何意义，是为了加深对导数的理解.从而充分借助直观来引出导数的概念；用极限思想抽象出导数；用函数思想拓展、完善导数以及在应用中巩固、反思导数，教材的显著特点是从具体经验出发，向抽象和普遍发展，使探究知识的过程简单、经济、有效.1.2导数概念在教材的地位和作用“导数的概念”是全章核心.不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的是，导数运算是一种高明的数学思维，用导数的运算去处理函数的性质更具一般性，获得更为理想的结果；把运算对象作用于导数上，可使我们扩展知识面，感悟变量，极限等思想，运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题；导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具，在在其它学科中同样具有十分重要的作用；在物理学，经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用.导数的出现推动了人类事业向前发展.1.3 教材的内容剖析知识主体结构的比较和知识的迁移类比如下表：表1. 知识主体结构比较表2. 知识迁移类比（导数像速度）通过比较发现：求切线的斜率和物体的瞬时速度，这两个具体问题的解决都依赖于求函数的极限，一个是“微小直角三角形中两直角边之比”的极限，一个是“位置改变量与时间改变量之比”的极限，如果舍去问题的具体含义，都可以归结为一种相同形式的极限，即“平均变化率”的极限.因此以两个背景作为新知的生长点，不仅使新知引入变得自然，而且为新知建构提供了有效的类比方法.1.4 重、难点剖析重点：导数的概念的形成过程. 难点：对导数概念的理解.为什么这样确定呢？导数概念的形成分为三个的层次：f (x )在点x 0可导→f (x )在开区间（a ，b ）内可导→f (x )在开区间（a ，b ）内的导函数→导数，这三个层次是一个递进的过程，而不是专指哪一个层次，也不是几个层次的简单相加，因此导数概念的形成过程是重点；教材中出现了两个“导数”，“两个可导”，初学者往往会有这样的困惑，“导数到底是个什么东西？一个函数是不是有两种导数呢？”，“导函数与导数是怎么统一的？”.事实上：（1）f (x )在点x 0处的导数是这一点x 0到x 0+△x 的变化率xy∆∆的极限，是一个常数，区别于导函数. （2）f (x )的导数是对开区间内任意点x 而言，是x 到x +△x 的变化率xy∆∆的极限,是f (x )在任意点的变化率，其中渗透了函数思想. （3）导函数就是导数！是特殊的函数：先定义f (x )在x 0处可导、再定义f (x )在开区间（a ，b ）内可导、最后定义f (x )在开区间的导函数. （4）y = f (x )在x 0处的导数就是导函数)(x f '在x =x 0处的函数值，表示为0|x x y ='这也是求f ′(x 0)的一种方法.初学者最难理解导数的概念，是因为初学者最容易忽视或混淆概念形成过程中几个．．关键词．．．的区别和联系，会出现较大的分歧和差别，要突破难点，关键是找到“f (x )在点x 0可导”、“f (x )在开区间的导函数”和“导数”之间的联系，而要弄清这种联系的最好方法就是类比！用“速度与导数”进行类比.二、目的分析2.1 学生的认知特点. 在知识方面，对函数的极限已经熟悉，加上两个具体背景的学习，新知教学有很好的基础；在技能方面，高三学生，有很强的概括能力和抽象思维能力；在情感方面，求知的欲望强烈，喜欢探求真理，具有积极的情感态度.2.2 教学目标的拟定. 鉴于这些特点,并结合教学大纲的要求以及对教材的分析,拟定如下的教学目标:知识目标：①理解导数的概念.②掌握用定义求导数的方法.③领悟函数思想和无限逼近的极限思想.能力目标：①培养学生归纳、抽象和概括的能力.②培养学生的数学符号表示和数学语言表达能力.情感目标：通过导数概念的学习，使学生体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观 点.接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度.三、过程分析设计理念：遵循特殊到一般的认知规律，结合可接受性和可操作性原则，把教学目标的落实融入到教学过程之中，通过演绎导数的形成,发展和应用过程，帮助学生主动建构概念.设计意图：创设情景，提出课题.演示曲线的割线变切线的动态过程，为学生提供一个 联想的“源”，从变量分析的角度，巧妙设问，把学习任务转移给学生.问题：割线的变化过程中， ①△x 与△y 有什么变化？②xy ∆∆有什么含义？③x y ∆∆在△x →0时是否存在极限？3.2 概括抽象设计意图：回顾实际问题，抽象共同特征，自然提出：f (x )在x 0处可导的定义．．，完成“导 数”概念的第一层次.曲线的切线的斜率 抽象⇓舍去问题的具体含义归结为一种形式相同的极限0limx yx∆→∆∆ 即f ′(x 0)= 0lim x yx ∆→∆∆=0000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆（在黑板上清晰完整的板书定义，并要求学生表述、书写，以培养学生的数学符号表示和数学语言表达能力.）设计意图：设置两个探究问题，分析不同结果的原因，并引导学生提出新的问题或猜想，鼓励学生进行数学交流，激发学生进一步探究的热情，从而找到推进解决问题的线索——提出：f (x )在开区间（a ，b ）内可导的定义，完成“导数概念”的第二个层次.. ①研究：函数y =2x +5在下列各点的变化率：（1）x =1，（2）x =2，（3）x =3 ②研究：函数y =x 2 在下列各点的变化率： （1）x =1，（2）x =2，（3）x =3 定义：函数f (x )在开区间．．(a ，b )内每一点可导．．．．．．，就说f (x )在开区间．．．．(a ，b )内可导．．．. 3.4 类比拓展设计意图：回顾“瞬时速度的概念”，渗透类比思想和函数思想．．．．．．．．．．．.让学生产生联想，拓展出：f (x )在开区间（a ，b ）内的导函数的定义，完成“导数”概念的第三层次. 已有认知：物体在时刻t 0的速度： 00000()()limlim .t t s t t s t sv t t∆→∆→+∆-∆==∆∆物体在时刻t 的速度．．00()()lim lim .t t s s t t s t v t t∆→∆→∆+∆-==∆∆新认知：函数f (x )在开区间．．(a ，b )内每一点可导．．．．．．，就说f (x )在开区间．．．．(a ，b )内可导．．．. ⇓点拨：映射→函数对于（a ，b ）内每一个确定的值x 0，对应着一个确定的导数值)(0x f '，这样就在开区间（a ，b ）内构成一个新函数⇓导函数（导数）00()()()limlim x x y f x x f x f x y x x∆→∆→∆+∆-''===∆∆3.5 概念导析设计意图：引导学生用辨析和讨论的方式，反思导数概念的实质，从而突破难点，促成学生形成合理的认知结构.辨析：（1）f ′(x 0)与0(())f x '相等吗？（2）000(2)()limx f x x f x x∆→+∆-∆与f ′(x 0) 相等吗？试讨论:f ′(x 0)与)(x f '区别与联系.反思：“f (x )在点x 0处的导数”，“f (x )在开区间（a ，b ）内的导函数”和“导数”之间的区别和联系.板书：导数概念主体结构示意图f (x )在点x 0处可导↓f (x )在开区间（a ，b ）内可导↓f (x )在开区间（a ，b ）内的导函数↓ 导数3.6 回归体验——体现“导数”的应用价值设计意图：通过随堂提问和讨论例题，增强师生互动，让学生在 “做”中“学”，体验求导的结果表示的实际意义，体验导数运算的作用,体会用导数定义求导的两种方法,产生认可和接受“导数”的积极态度,并养成规范使用数学符号的习惯.想一想：（1）导数的本质是什么？你能用今天学过的方法去解决上次课的问题吗？（第109页练习1、2，第111页练习1、2）有什么感想？（2）“切线的斜率”、“物体的瞬时速度”的本质都是什么？怎样表示？ k =00|)(x x y x f ='='或k =)(x f ' v 0＝00|)(t t s t s ='=' 或 v =)('t s（3）导数还可以解决实际生活中那些问题？你能举例说明吗？例题A 组：①已知S =πr 2，求rS ' ②已知V =34π3R ，求RV ' ③已知y =x 2+3x 求（1）y '；(2) 求y '︱x =2 例题B 组：④已知y =，求y '，并思考y '的定义域与函数在开区间可导的意义3.7引导小结设计意图：引导学生进行自我小结，用联系的观点将新学内容在知识结构、思想方法等 方面进行概括，巩固新知，形成新的认知结构.知识结构：（1）导数的概念（语言表达；符号表示；“f (x )在点x 0处的导数”，“导函数”和“导数” 之间的联系和区别.）；（2）主要数学思想：极限思想、函数思想；（3）用定义求导的方法，步骤； （4）导数的作用.3.8分层作业设计意图：注意双基训练与发展能力相结合,设计递进式分层作业以满足不同学生的多样化学习需求，使他们得到最全面的发展.把教材的第112页的关于“可导必连续”的命题调整为选做题既不影响主体知识建构,又能满足学生的进一步的探究需求.必 做 题:1.教材第114页，第2，3，4题. 2．若f ′(x 0)=a ， （1）求0000()()limx f x x f x x ∆→-∆-∆的值.（2）求000()()lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆的值.思 考 题：1.已知y =x 3 求 （1）y '；（2）y '︱x =0；（3）求曲线在（0，0）处的切线方程.2.讨论y =|x |在x =0处是否可导？ 选 做 题：求证：如果函数y =f (x )在x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续.四、教法分析依据：循序渐进原则和可接受原则.设计理念:把教学看作是一个由教师的“导”、学生的“学”及其教学过程中的“悟”为三个子系统组成的多要素的和谐整体.教法：支架式过程法，即：a ×b =学习a ：教师启发、诱导、激励、评价等为学生的学习搭建支架，把学习的任务转移给学生.b ：学生接受任务，探究问题，完成任务.a ×b ：以问题为核心，通过对知识的发生、发展和运用过程的演绎、揭示和探究，组织和推动教学.图3：a ×b =“导”×（“学”+“悟”）=“教”ד学”=学习 图4：“学”接 受 | 探 究 |完成4.1 “导” ——引导学生用变量观点去认识△x ，△y 和xy ∆∆, ——引导学生用函数的思想去认识f ′(x 0)向 f ′(x )拓展的过程. ——引导学生联系的观点弄清导数概念之间的区别和联系 “学”——通过具体的导数背景提出问题．．．．. ——通过类比、联想分析问题．．．．. ——通过交流，体验，反思解决问题．．．．“悟”——通过教师的“导”，学生的“学”，“悟”出导数的本质.4.2 借助多媒体显示直观、体现过程的优势来展示割线的动态变化，向学生渗透无限逼近的极限思想，为抽象出导数的概念作必要的准备.4.3 板书设计§3.1.3 导数的概念（主线）1. 定义：函数y=f(x)在x0处可导①研究②研究辨析2. 定义：函数y=f(x)在（a，b）可导例题A组：例题B组：3. 定义：函数y=f(x)在（a，b）内的导函数（导数）4. 区别与联系5. 用导数的定义求f(x)在（a，b）内的导数的方法比较与鉴别6. 小结（知识，方法，思想）区别与联系作业五、评价分析评价模式：围绕教学目标的落实情况，以过程性评价为主，形成性评价为辅，采取及时点评、延时点评与学生自评三结合.既充分肯定学生的思维，赞扬学生的思路，激励学生的思辨，又必须以科学的态度引导学生服从理性，追求真理.主要手段：1．通过“概念导析”，“回归与体验”，进行点评和互评，考察学生对“导数概念”及“导数运算”的掌握情况；考察学生归纳，抽象和概括的能力是否形成，并进行有争对性的及时调整和补充.2．通过引导小结情况，考察学生是否突破了难点,及时调整“问题”导向.3．通过分层作业的完成情况，考察的总体知识结构的同化过程是否完成；通过B组例题和思考题的完成情况，考察学生的数学符号表示和解决实际问题的能力是否形成.调整和补充下一课时的教程.对选做题的完成情况，主要评价优生的个体发展情形.这就是我对这一课时的理解、涉及观点和方法，可能有不当之处，敬请各位专家批评与斧正，谢谢大家！几点说明.本次说课有如下几个基本的特点.1．“以学生为本”的教育观是教学设计的根本指导思想.对学生学习与发展的关系作了认真思考.强调学生的“经历”，“体会”，“感受”的过程学习；从学生的发展出发，通过对学生的“情感”，“态度”，“理性精神”的关注与培养，来优化学生的思维品质.在作业设计方面尽量满足多样化的学习需求.2．在难点的突破上采取了有效的分解策略．．．．．．．.2.1．通过对学生已有的认知结构和学生最近发展区的剖析，充分利用挖掘教材的背景材料，找准了“瞬时速度”与“导函数”，“速度”与“导数”的类比，为学生对导数的理解创设了先机，打开学生从情感上认可和接受．．．.．．．．．．．．．．．．．“．导数．．”．的通道2.2．对导数概念中的几个“重要的关键词．．．．．．”的理解作了恰当的引导和作了精准的导析，搞清它们之间的区别和联系，才能使学生真正的理解“导数”，为学生同化“导数的概念”指明了方向.2.3．在过程分析中设计了“回归体验”，强调注重学生对新知的体验，突出了导数的应用价值，有利于实现情感目标，加快了学生同化概念的进程.2.4．在引导学生小结的过程中，考察学生是否突破了难点，以便进行及时的纠正和补充，分层作业中专门设计突破难点的习题，使突破难点得到了保证.3．形式和内容得到统一，具有很强的操作性.3.1．通过对教材内容、学生情况的分析，较好地解决了“教什么？”--设计中明确指出了知识、能力、情感方面的三维目标；选择了较为恰当的支架过程教法并设计了有操作性的，说出了“怎么教”的具体措施. 教师的组织者、引导者、合作者的身份没有动摇学生的主体地位，更没有否定学生智力发展需要有意识的培养.既不高估学生的理解力，也不抹杀学生所具有创造性.3.2．在教学的第一环节借助了多媒体显示直观、体现过程的优势来展示割线的动态变化，向学生渗透极限思想．．．．．．，为抽象出导数的概念做了积极的准备，这是传统的黑板和粉笔难以做到的.二元一次不等式表示平面区域一、教材分析⒈教材的地位和作用本节课主要内容是新教材高二上第七章第4节第一课时：二元一次不等式表示平面区域。

（江苏专用）2018-2019学年高中数学第三章导数及其应用3.1 导数的概念3.1.2 瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专用）2018-2019学年高中数学第三章导数及其应用3.1 导数的概念3.1.2 瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3.1。

2 瞬时变化率—导数学习目标：1。

理解导数的概念和定义及导数的几何意义．(重点） 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度）．（难点)[自主预习·探新知］1．曲线上一点处的切线设曲线C上的一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C。

当点Q无限逼近点P时，直线PQ 最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．2．瞬时速度运动物体的位移S(t）对于时间t的导数，即v（t）＝S′（t）．3．瞬时加速度运动物体的速度v（t）对于时间t的导数,即a(t)＝v′（t)．4．导数设函数y＝f(x）在区间(a，b)上有定义,x0∈(a，b），当Δx无限趋近于0时，比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，并称常数A为函数f（x）在点x＝x处的导数,记作f′（x0）．5．导函数若函数y＝f（x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x）的导函数，记作f′（x）．6．函数y＝f(x）在点x＝x0处的导数f′(x0）的几何意义是曲线y＝f(x）在点(x0，f(x0）)处的切线的斜率．[基础自测］1．判断正误：(1)函数y＝f（x）在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．（)(2）在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )（3）在导数的定义中，错误!＞0.( ）【解析】(1）√。

3.1导数的概念及运算(学案） 姓名【一.导数的意义】1.函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 称为函数()y f x =在0x x =处的导数.其几何意义为：【二.导数的运算公式】①()c '= ；②()nx '= ；③(sin )x '= ；④(cos )x '= ；⑤()xa '= ；⑥()x e '= ;⑦(log )a x '= ；⑧(ln )x '= ；⑨1()x'=；⑩'= ； 【三.导数的运算法则】①.和差的导数：[()()]f x g x '±= ；②.[()]C f x '⋅= ；其中C 为常数。

③.积的导数：[()()]f x g x '= ；④.商的导数：()()f x g x '⎛⎫ ⎪⎝⎭=(()0)g x ≠。

【四.复合函数的导数】设函数()u g x =在点x 处有导数x u '，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数u y '，则复合函数(())y f g x =在点x 处也有导数，且x y '＝__ ______， 【五.求导】1.求导：①)5'⋅xa x （=5x 4·a x ＋x 5·a x ln a；② sin(2)3x π'⎛⎫+ ⎪⎝⎭=③2ln 1x x '⎛⎫ ⎪+⎝⎭=2．已知 f (x )＝x 2＋3x (2)f '，则(2)f '＝__-2___.3.求函数y ＝(x －1)(x －2)·…·(x －100) (x >100)的导数.解析：两边取对数得ln y ＝ln(x －1)＋ln(x －2)＋…＋ln(x －100)．两边对x 求导：y ′y ＝1x －1＋1x －2＋…＋1x －100.∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x －1＋1x －2＋…＋1x －100·(x －1)(x －2)·…·(x －100)．【六.导数的几何意义】4.已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．解 (1)∵y ＝13x 3＋43，∴y ′＝x 2，∴曲线在点(2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4 由y －4＝4(x －2)，得4x －y －4＝0.∴曲线在点(2,4)处的切线方程为 4x －y －4＝0(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43 则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20. ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝05.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x (x >0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是___max 11()2t e e=+_____． 解析：设00(,),xP x e 则00000:(),(0,(1))x x x l y ee x x M x e -=-∴-，过点P 作l 的垂线000000(),(0,)x x x x y e e x x N e x e ---=--+，00000000011[(1)]()22x x x x x x t x e e x e e x e e --=-++=+-00'01()(1)2x x t e e x -=+-，所以，t 在(0,1)上单调增，在(1,)+∞单调减，max 11()2t e e=+。

3．1．2 导数的概念1．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为()．A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s C．0.88 m/s D．4.8 m/s2．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()．A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b3．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝()．A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx C．－3 D．04．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________．5．已知函数f(x)在x＝1处可导，且f′(1)＝1，则f（1＋x）－f（1）x＝________．6．利用导数的定义，求函数y＝1x2＋2在点x＝1处的导数．7．已知点P(x0，y0)是抛物线y＝3x2＋6x＋1上一点，且f′(x0)＝0，则点P的坐标为()．A．(1，10) B．(－1，－2)C．(1，－2) D．(－1，10)8．设函数f(x)可导，则f（1＋Δx）－f（1）3Δx等于()．A．f′(1) B．3f′(1) C.13f′(1) D．f′(3)9．某物体作匀速运动，其运动方程是s＝vt，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________(填“相等”或“不相等”)．10．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则函数f(x)在x＝1处的导数f′(1)＝________．11．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．12．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足f′(x)＋2＝g′(x)的x的值．答案解析：1．解析 物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．答案 A2．解析 ∵Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝a ＋Δx .∴f (x 0)＝ (a ＋Δx )＝a . 答案 C3．解析 f ′(0)＝ f （0＋Δx ）－f （0）Δx ＝ （Δx ）2－3ΔxΔx＝ (Δx －3)＝－3.答案 C 4．解析 v 初＝s ′|t ＝0＝ s （0＋Δt ）－s （0）Δt＝ (3－Δt )＝3.答案 35．解析 根据导数的定义，f （1＋x ）－f （1）x ＝f ′(1)＝1.答案 16．解 ∵Δy ＝⎣⎡⎦⎤1（x ＋Δx ）2＋2－⎝⎛⎭⎫1x 2＋2 ＝－2x Δx －（Δx ）2（x ＋Δx ）2·x 2，∴Δy Δx ＝－2x －Δx （x ＋Δx ）2·x 2，∴y ′＝ Δy Δx ＝ －2x －Δx （x ＋Δx ）2·x 2＝－2x 3，∴y ′|x ＝1＝－2. 7．解析Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝ 3（x0＋Δx ）2＋6（x 0＋Δx ）＋1－3x 20－6x 0－1Δx ＝3Δx ＋6x 0＋6，∴f ′(x 0)＝ Δy Δx ＝(3Δx ＋6x 0＋6)＝6x 0＋6＝0，∴x 0＝－1.把x 0＝－1代入y ＝3x 2＋6x ＋1，得y ＝－2.∴P 点坐标为(－1，－2)． 答案 B8．解析 根据导数的定义：f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝f ′(1)，f （1＋Δx ）－f （1）3Δx ＝13f ′(1)．答案 C9．解析 v 0＝ΔsΔt ＝ s （t 0＋Δt ）－s （t 0）Δt＝v （t 0＋Δt ）－vt 0Δt ＝ v ·ΔtΔt＝v .答案 相等10．解析 由图及已知可得函数解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2（x －2），0≤x ≤2，x －2，2＜x ≤6.利用导数的定义，所以f ′(1)＝ Δx →0 f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝Δx →0－2（1＋Δx －2）＋2（1－2）Δx＝－2.答案 －211．解 设运动方程为s ＝12at 2.∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2， ∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ，∴瞬时速度v ＝ ΔsΔt＝at 0. 由题意知a ＝5×105，t 0＝1.6×10－3，故v ＝at 0＝8×102＝800(m/s)． 即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s. 12．解 由导数的定义知，f ′(x )＝ Δf （x ）Δx ＝ （x ＋Δx ）2－x 2Δx ＝2x ，g ′(x )＝ Δg （x ）Δx ＝ （x ＋Δx ）3－x 3Δx ＝3x 2.∵f ′(x )＋2＝g ′(x )，∴2x ＋2＝3x 2. 即3x 2－2x －2＝0，解得x ＝1－73或x ＝1＋73.。

3.1.2 导数的概念一、选择题1.函数在某一点的导数是( )A.在该点的函数的增量与自变量的增量的比B.一个函数C.一个常数，不是变数D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率2.已知物体位移公式s ＝s (t )，从t 0到t 0＋Δt 这段时间内，下列说法错误的是( )A.Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)叫做位移增量B.Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt叫做这段时间内物体的平均速度 C.Δs Δt不一定与Δt 有关 D.li m Δt →0 Δs Δt叫做这段时间内物体的平均速度 3.设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A.f ′(x )＝aB.f ′(x )＝bC.f ′(x 0)＝aD.f ′(x 0)＝b4.质点M 的运动规律为s ＝4t ＋4t 2，则质点M 在t ＝t 0时的速度为( )A.4＋4t 0B.0C.8t 0＋4D.4t 0＋4t 205.已知函数f (x )＝13－8x ＋2x 2，且f ′(x 0)＝4，则x 0的值为( )A.0B.3C.3 2D.6 26.已知点P (x 0，y 0)是抛物线y ＝3x 2＋6x ＋1上一点，且f ′(x 0)＝0，则点P 的坐标为( )A.(1,10)B.(－1，－2)C.(1，－2)D.(－1,10)二、填空题7.一小球沿斜面自由滚下，其运动方程是s (t )＝t 2(s 的单位：米，t 的单位：秒)，则小球在t ＝5时的瞬时速度为________米/秒.8.如果函数f (x )＝x 在点x ＝x 0处的瞬时变化率是33，那么x 0的值是________. 9.已知函数y ＝2x＋3，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________.三、解答题10.已知f(x)＝(x－1)2，求f′(x0)，f′(0).11.一质点M按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值.12.用导数的定义求函数y＝f(x)＝1x在x＝1处的导数.13.已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求适合f′(x0)＋2＝g′(x0)的x0的值.答案精析1.C2.D3.C [Δf Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝a ＋b Δx ， f ′(x 0)＝li m Δx →0 Δf Δx＝li m Δx →0 (a ＋b Δx )＝a .] 4.C [Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0) ＝4(Δt )2＋4Δt ＋8t 0Δt ， Δs Δt＝4Δt ＋4＋8t 0， li m Δt →0 Δs Δt＝li m Δt →0 (4Δt ＋4＋8t 0)＝4＋8t 0.] 5.C [f ′(x 0)＝li m Δx →0Δf Δx ＝li m Δx →0 [13－8(x 0＋Δx )＋2(x 0＋Δx )2]－(13－8x 0＋2x 20)Δx＝li m Δx →0 －8Δx ＋22x 0Δx ＋2(Δx )2Δx ＝li m Δx →0(－8＋22x 0＋2Δx ) ＝－8＋22x 0＝4，所以x 0＝3 2.]6.B [∵Δy ＝3(x 0＋Δx )2＋6(x 0＋Δx )－3x 20－6x 0 ＝6x 0·Δx ＋3(Δx )2＋6Δx ， ∴li m Δx →0 Δy Δx＝li m Δx →0 (6x 0＋3Δx ＋6) ＝6x 0＋6＝0.∴x 0＝－1，y 0＝－2.]7.108.34解析Δy Δx ＝x 0＋Δx －x 0Δx ＝Δx Δx (x 0＋Δx ＋x 0) ＝1x 0＋Δx ＋x 0， 所以f ′(x 0)＝li m Δx →01x 0＋Δx ＋x 0＝12x 0＝33， 所以x 0＝34. 9.1310.解 ∵Δf ＝(x 0＋Δx －1)2－(x 0－1)2 ＝2x 0Δx －2Δx ＋(Δx )2，∴Δf Δx ＝2x 0Δx －2Δx ＋(Δx )2Δx＝2x 0－2＋Δx ，∴f ′(x 0)＝li m Δx →0 Δf Δx＝li m Δx →0(2x 0－2＋Δx )＝2x 0－2， 把x 0＝0代入上式，得f ′(0)＝2×0－2＝－2.11.解 因为Δs ＝s (2＋Δt )－s (2) ＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以Δs Δt＝4a ＋a Δt . 所以当t ＝2时，质点M 的瞬时速度为li m Δt →0 Δs Δt ＝4a ， 即4a ＝8，所以a ＝2.12.解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx 1＋Δx＝－Δx1＋Δx ·(1＋1＋Δx )， ∴Δy Δx ＝－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )， ∴li m Δx →0 Δy Δx＝li m Δx →0 －11＋Δx ·(1＋1＋Δx ) ＝－11＋0×(1＋1＋0)＝－12， ∴y ′|x ＝1＝f ′(1)＝－12. 13.解 由导数的定义知，f ′(x 0)＝li m Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0， g ′(x 0)＝li m Δx →0 (x 0＋Δx )3－x 30Δx＝3x 20. 因为f ′(x 0)＋2＝g ′(x 0)，所以2x 0＋2＝3x 20，即3x 20－2x 0－2＝0.解得x 0＝1－73或x 0＝1＋73.。

课时作业22一、选择题 1．在f ′(x 0)＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx中，Δx 不可能( )A. 大于0B. 小于0C. 等于0D. 大于0或小于0解析：由导数定义知Δx 只是无限趋近于0，故选C. 答案：C2．设f (x )在x ＝x 0处可导，则lim Δx →0 f x 0－Δx －f x 0Δx等于( )A ．－f ′(x 0)B ．f ′(－x 0)C ．f ′(x 0)D ．2f ′(x 0)解析：lim Δx →0 f x 0－Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0－f x 0－f x 0－ΔxΔx＝－lim Δx →0 f x 0－f x 0－ΔxΔx＝－f ′(x 0)．答案：A3．设函数f (x )在点x 0处附近有定义，且f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A. f ′(x 0)＝－aB. f ′(x 0)＝－bC. f ′(x 0)＝aD. f ′(x 0)＝b解析：∵f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2， ∴f x 0＋Δx －f x 0Δx＝a ＋b ·Δx .∴lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0 (a ＋b ·Δx )． ∴f ′(x 0)＝a .故选C. 答案：C4．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( )A ．at 0B ．－at 0C.12at 0 D ．2at 0解析：∵Δs Δt ＝st 0＋Δt －s t 0Δt ＝12a Δt ＋at 0，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝at 0. 答案：A 二、填空题5．过曲线y ＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为__________． 解析：由平均变化率的几何意义知k ＝2－11－0＝1.答案：16．已知f (x )＝2x，则lim x →afx －f ax －a＝________.解析：令x －a ＝Δx ，则x ＝a ＋Δx ， lim x →af x －f a x －a ＝lim Δx →0 f a ＋Δx －f aΔx＝lim Δx →0 2a ＋Δx －2a Δx ＝lim Δx →0 －2a a ＋Δx ＝－2a 2. 答案：－2a27．已知f (x )＝1x ，且f ′(m )＝－116，则f (m )＝________.解析：∵f (x )＝1x，∴f ′(m )＝lim Δx →0f m ＋Δx －f mΔx＝lim Δx →0 1m ＋Δx －1m Δx ＝lim Δx →0 －1m m ＋Δx ＝－1m 2. 又f ′(m )＝－116，∴－1m 2＝－116.∴m ＝±4.∴f (m )＝1m ＝±14.答案：±14三、解答题8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥01＋x 2，x <0，求f ′(1)·f ′(－1)的值．解：当x ＝1时，Δy Δx ＝f＋Δx －fΔx＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1.由导数的定义，得f ′(1)＝lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12.当x ＝－1时，ΔyΔx＝f －1＋Δx －f －Δx＝1＋－1＋Δx 2－1－－2Δx＝Δx －2.由导数的定义，得f ′(－1)＝lim Δx →0 (Δx －2)＝－2. 所以f ′(1)·f ′(－1)＝12×(－2)＝－1.9．高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝6598 s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．解：令t 0＝6598，Δt 为增量．则h t 0＋Δt －h t 0Δt＝－t 0＋Δt2＋t 0＋Δt ＋10＋4.9t 20－6.5t 0－10Δt＝－4.9Δtt 0＋Δt ＋6.5ΔtΔt＝－4.9(6549＋Δt )＋6.5.∴lim Δt →0h t 0＋Δt －h t 0Δt ＝lim Δt →0[－4.9(6549＋Δt )＋6.5]＝0， 即运动员在t 0＝6598 s 时的瞬时速度为0 m/s.说明运动员处于跳水运动中离水面最高点处．。

3.1.3 导数的概念和几何意义1．质点的运动规律为s ＝2t 2＋1，其中s 表示路程，t 表示时间，则在某时间段[1,1＋d ]中，质点运动的路程s 对时间t 的平均变化率为( )．A ．4B ．dC ．4＋dD ．4＋2d2．函数y ＝f (x )＝x ＋1在x ＝1处的导数是( )．A ．12B ．1C ．32D ．4 3．函数y ＝f (x )＝x 2的导函数是( )．A ．xB ．2xC ．x 2D ．2x 24．曲线f (x )＝x 3＋2x ＋1在点P (1,4)处的切线方程是( )．A ．5x －y ＋1＝0B ．x －5y －1＝0C ．5x －y －1＝0D ．x －5y ＋1＝05．函数f (x )＝x 3＋4x ＋1，则f ′(x )＝( )．A ．3x 2＋4B ．4x 2＋3C ．x 3＋4xD ．x 2＋46．对于函数y ＝x 2，在x ＝__________处的导数值等于其函数值．7．曲线y ＝f (x )＝2x －x 3在点(1,1)处的切线方程为__________．8．曲线y ＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴、直线x ＝a 所围成的三角形的面积为16，则a ＝__________. 9．直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切，求a 的值及切点的坐标．10．已知直线l 1为曲线y ＝f (x )＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．参考答案1．D 平均变化率为s (1＋d )－s (1)d ＝2(1＋d )2＋1－(2×12＋1)d＝4＋2d .2．Af (1＋d )－f (1)d ＝1＋d ＋1－(1＋1)d ＝1＋d －1d ＝11＋d ＋1， 当d 趋于0时，11＋d ＋1趋于12.∴f ′(1)＝12. 3．B f (x ＋d )－f (x )d ＝(x ＋d )2－x 2d＝2x ＋d ，当d 趋于0时，2x ＋d 趋于2x ，∴f ′(x )＝2x .4．C 因为P (1,4)在曲线上，所以在曲线上取另一点Q (1＋d ，f (1＋d ))，计算PQ 的斜率为k (1，d )＝f (1＋d )－f (1)d＝(1＋d )3＋2(1＋d )＋1－(13＋2×1＋1)d＝d 3＋3d 2＋5d d＝d 2＋3d ＋5. 当d 趋于0时，d 2＋3d ＋5趋于5，所以所求切线的斜率为5，∴切线方程为y －4＝5(x －1)，即5x －y －1＝0.5．A f (x ＋d )－f (x )d＝(x ＋d )3＋4(x ＋d )＋1－(x 3＋4x ＋1)d＝3x 2＋4＋3xd ＋d 2.当d 趋于0时，3x 2＋4＋3xd ＋d 2趋于3x 2＋4，∴f ′(x )＝3x 2＋4.6．0或2 设x ＝x 0，则 f (x 0＋d )－f (x 0)d ＝(x 0＋d )2－x 20d＝d ＋2x 0. 当d 趋于0时，d ＋2x 0趋于2x 0.由题意得：2x 0＝x 02.∴x 0＝0或x 0＝2. 7．x ＋y －2＝0 f (1＋d )－f (1)d ＝2(1＋d )－(1＋d )3－(2×1－13)d＝－1－3d －d 2.当d 趋于0时，－1－3d －d 2趋于－1，∴f ′(1)＝－1，即所求切线的斜率为－1.∴所求切线的方程为y －1＝－1×(x －1)，即x ＋y －2＝0. 8．±1 f (a ＋d )－f (a )d ＝(a ＋d )3－a 3d＝3a 2＋3ad ＋d 2，当d 趋于0时，3a 2＋3ad ＋d 2趋于3a 2.∴曲线在点(a ，a 3)处的切线的斜率为3a 2.∴曲线在点(a ，a 3)处的切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )．∴切线与x 轴的交点为(23a,0)． ∴12|a －23a |·|a 3|＝16，解得a ＝±1. 9．解：设直线l 和曲线C 相切于点P (x 0，y 0)．令f (x )＝x 3－x 2＋1，则f (x 0＋d )－f (x 0)d ＝(x 0＋d )3－(x 0＋d )2＋1－(x 03－x 02＋1)d＝d 2＋3x 0d ＋3x 02－2x 0－d .当d 趋于0时，有f ′(x 0)＝3x 02－2x 0.由题意知3x 02－2x 0＝1，解得x 0＝－13或1. 于是切点坐标为(－13，2327)或(1,1)． 当切点为(－13，2327)时，2327＝－13＋a ，∴a ＝3227. 当切点为(1,1)时，1＝1＋a ，∴a ＝0(舍去)．∴a 的值为3227，切点坐标为(－13，2327)． 10．解：(1)由导数的概念，得k 1＝f ′(1)＝3，∴直线l 1的方程为y ＝3x －3.设直线l 2与曲线y ＝x 2＋x －2的切点为B (b ，b 2＋b －2)，则k 2＝f ′(b )＝2b ＋1，∵l 1⊥l 2，∴(2b ＋1)×3＝－1，解得b ＝－23. ∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝16，y ＝－52.∴直线l 1与l 2的交点坐标为(16，－52)． 又∵l 1，l 2与x 轴的交点坐标分别为(1,0)，(－223，0)， ∴所求三角形的面积S ＝12×253×|－52|＝12512.。

1.1.2导数的概念1．函数f(x)在x0处可导，则li mh→0f(x0＋h)－f(x0)h()A．与x0、h都有关B．仅与x0有关，而与h无关C．仅与h有关，而与x0无关D．与x0、h均无关2．设函数f(x)在点x0处附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b3．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数()A．在区间[x0，x1]上的平均变化率B．在x0处的变化率C．在x1处的导数D．在区间[x0，x1]上的导数4．设f(x)在点x＝x0处可导，且f′(x0)＝－2，则li mΔx→0f(x0)－f(x0－Δx)Δx等于________．5．如果某物体做运动方程为s＝2(1－t2)的直线运动(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为________．6．利用导数的定义，求函数y＝1x2＋2在点x＝1处的导数．7．设函数f(x)＝ax＋3，则f′(1)＝3，则a等于() A．2 B．－2C．3 D．－38．函数f(x)在x＝a处有导数，则limh→a f(h)－f(a)h－a为()A．f(a) B．f′(a) C．f′(h) D．f(h)9．设函数f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝________.10．曲线f(x)＝x在点(4,2)处的瞬时变化率是________．11．如果一个质点从固定点A开始运动，时间t的位移函数为y＝f(t)＝t3＋3，求t＝4时，limΔt→0ΔyΔt的值．12．(创新拓展)服药后，人体血液中药物的质量浓度y(单位：μg/mL)是时间t(单位：min)的函数y＝f(t)．假设函数y＝f(t)在t＝10和t＝100处的导数分别为f′(10)＝1.5和f′(100)＝－0.6，试解释它们的实际意义．答案1．答案 B2．解析 ∵Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝a ＋b Δx . ∴f ′(x 0)＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝a . 答案 C3．解析 根据平均变化率的定义可知，当自变量从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比就是函数在区间[x 0，x 1]上的平均变化率． 答案 A4．解析 li m Δx →0 f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝li m Δx →0 f [x 0＋(－Δx )]－f (x 0)－Δx ＝f ′(x 0)＝－2. 答案 －25．解析 物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．答案 －4.8 m/s6．解 ∵Δy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(x ＋Δx )2＋2－⎝⎛⎭⎪⎫1x 2＋2 ＝－2x Δx －(Δx )2(x ＋Δx )2·x 2， ∴Δy Δx ＝－2x －Δx (x ＋Δx )2·x 2， ∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 －2x －Δx (x ＋Δx )2·x 2＝－2x 3，∴y ′|x ＝1＝－2.7．解析 ∵f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0 a (x ＋Δx )＋3－(ax ＋3)Δx＝a ， ∴f ′(1)＝a ＝3.答案 C8．解析 令h －a ＝Δh ，则有h ＝a ＋Δh .h→a等价于Δh→0，原式可化为limΔh→0f(a＋Δh)－f(a)Δh，由导数的定义易得B.答案B9．解析f′(－1)＝limΔx→0f(－1＋Δx)－f(－1)Δx＝limΔx→0a(－1＋Δx)3－a(－1)3Δx＝limΔx→0[a(Δx)2－3aΔx＋3a]＝3a＝3.∴a＝1.答案110．解析ΔfΔx＝f(4＋Δx)－f(4)Δx＝4＋Δx－2Δx＝14＋Δx＋2，∴limΔx→0ΔfΔx＝14.答案1 411．解∵Δy＝(Δt＋4)3＋3－(43＋3)＝(Δt)3＋12(Δt)2＋48Δt，∴ΔyΔt＝(Δt)3＋12(Δt)2＋48ΔtΔt＝(Δt)2＋12Δt＋48.∴limΔt→0ΔyΔt＝limΔt→0[(Δt)2＋12Δt＋48]＝48.12．解f′(10)＝1.5表示服药后10 min时，血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 μg/(mL·min)．也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min，血液中药物的质量浓度将上升1.5 μg/mL.f′(100)＝－0.6表示服药后100 min 时，血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6 μg/(mL·min)．也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min，血液中药物的质量浓度将下降0.6 μg/mL.。

第三章变化率与导数
第2。

1节导数的概念
1．已知函数f(x)=x2＋2x－1图象上一点P（1，2),点Q也是图象上一点，且Q位于点P的右边，若点Q无限逼近P，则直线PQ的斜率（）
A．不断增大且为负B．不断增大且为正C．不断减小且为正D．不断减小且为负
2．已知函数y=x2＋1的图象上一点A(1,2）及其邻近一点B（1＋△x，2＋△y）,则直线AB 的斜率是（）
A．2 B．2x C．2＋△x D．2＋（△x）2
t4－4t3＋16t2，3．一质点做直线运动，由始点经过ts后的距离为s=1
4
则速度为0的时刻是（）
A．4s 末B．8s末C．0s末与8 s末D．C．0s末，4s 末,8 s末
4．满足f′（x)=f（x)的函数是（）
A．f (x）=1－x B．f （x)=x C．f （x）=0 D．f (x）=1 5．直线y=－2x＋1上两点的横坐标增量△y与纵坐标增量△x的比值是．
6．一质点的运动方程是S=2t2＋1（位移单位：m，时间单位:s)，则平均变化率是．
7．设函数y=f(x)=x2－1,
（1）当自变量x由1变到1．1时，求函数值增量△y；
（2）当自变量x由1变到1．1时，求函数值的平均变化率；
（3）求该函数图象在点（1,y0）处的切线方程．
参考答案
1．C．提示：观察图形．
2．C．提示:用△x表示邻近点的坐标，再用斜率计算公式．3．D．提示：联想速度与路程的关系．
4．C．提示：求导后再作比较，注意等式要恒成立．5．－2．提示：联想斜率与比值大小的关系．
6．4t＋2△t．
7．(1）0。

21;(2)2.1；（3)y=2x－2．。

[课时作业] [A 组 基础巩固]1．一物体的运动方程是s ＝t ＋1t ，则在t ＝2时刻的瞬时速度是( )A.52B.34 C ．1 D ．2 解析：Δs ＝2＋Δt ＋12＋Δt －2－12＝Δt －Δt2(2＋Δt )Δs Δt ＝1－12(2＋Δt ) t ＝2时的瞬时速度为lim Δt →0 Δs Δt ＝ lim Δt →0 ⎣⎡⎦⎤1－12(2＋Δt )＝34. 答案：B2．若函数y ＝f (x )在x ＝1处的导数为1，则lim x →0 f (1＋x )－f (1)x ＝( )A ．2B ．1 C.12 D.14解析：lim x →0 f (1＋x )－f (1)x ＝f ′(1)＝1.答案：B3．已知点P (x 0，y 0)是抛物线y ＝3x 2＋6x ＋1上一点，且f ′(x 0)＝0，则点P 的坐标为( ) A ．(1,10) B ．(－1，－2) C ．(1，－2)D ．(－1,10)解析：Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝3(x 0＋Δx )2＋6(x 0＋Δx )＋1－3x 20－6x 0－1Δx ＝3Δx ＋6x 0＋6，∴f ′(x 0)＝ lim Δx →0 Δy Δx ＝ lim Δx →0(3Δx ＋6x 0＋6)＝6x 0＋6＝0，∴x 0＝－1.把x 0＝－1代入y ＝3x 2＋6x ＋1，得y ＝－2.∴P 点坐标为(－1，－2)． 答案：B4．物体自由落体的运动方程为：s (t )＝12gt 2，g ＝9.8 m/s 2，若v ＝ lim Δt →0 s (1＋Δt )－s (1)Δt ＝9.8 m/s ，那么下列说法中正确的是( )A ．9.8 m/s 是物体从0 s 到1 s 这段时间内的速度．B ．9.8 m/s 是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速度．C ．9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速率．D ．9.8 m/s 是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速率． 解析：由于s (t )＝12gt 2，所以由导数的定义可得即s ′(1)＝ lim Δt →0 s (1＋Δt )－s (1)Δt ＝9.8 (m/s)．所以9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速率． 答案：C5．设f (x )在x ＝x 0处可导，则 lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx 等于( )A ．－f ′(x 0)B ．f ′(－x 0)C ．f ′(x 0)D ．2f ′(x 0)解析： lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝－ lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx ＝－f ′(x 0)．答案：A6．已知圆的面积S 与其半径r 之间的函数关系为S ＝πr 2，其中r ∈(0，＋∞)，则当半径r ∈[1,1＋Δr ]时，圆面积S 的平均变化率为________．解析：当r ∈[1,1＋Δr ]时，圆面积S 的平均变化率为ΔS Δr ＝π(1＋Δr )2－πΔr ＝π＋2π·Δr ＋(Δr )2π－πΔr ＝2π＋πΔr . 答案：2π＋πΔr7.国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图所示．治污效果更好的企业是(其中W 表示排污量)________． 解析：ΔW Δt ＝W (t 1)－W (t 2)Δt，在相同的时间内，由图可知甲企业的排污量减少的多，∴甲企业的治污效果更好． 答案：甲企业8．已知函数f (x )＝ax ＋b 在区间[1,8]上的平均变化率为3，则实数a ＝________. 解析：由函数平均变化率的几何定义知3＝f (1)－f (8)1－8＝f (8)－f (1)8－1＝(8a ＋b )－(a ＋b )8－1＝a.答案：39．利用导数的定义，求函数y ＝1x 2＋2在点x ＝1处的导数．解析：∵Δy ＝⎣⎡⎦⎤1(x ＋Δx )2＋2－⎝⎛⎭⎫1x 2＋2＝－2x Δx －(Δx )2(x ＋Δx )2·x 2∴Δy Δx ＝－2x －Δx (x ＋Δx )2·x 2，∴y ′＝ lim Δx →0 Δy Δx ＝ lim Δx →0 －2x －Δx (x ＋Δx )2·x 2＝－2x 3，∴y ′|x ＝1＝－2. 10．假设在生产8到30台机器的情况下，生产x 台机器的成本是c (x )＝x 3－6x 2＋15x (元)，而售出x 台的收入是r (x )＝x 3－3x 2＋12x (元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是多少元？解析：由题意，生产并售出x 台机器所获得的利润是：L (x )＝r (x )－c (x )＝(x 3－3x 2＋12x )－(x 3－6x 2＋15x )＝3x 2－3x ，故所求的平均利润为：L ＝L (20)－L (10)20－10＝87010＝87(元)．[B 组 能力提升]1．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx .因为Δx 可大于零也可小于零，所以k 1与k 2的大小不确定． 答案：D2．质点运动规律s ＝t 2＋3，则在时间 [3,3＋Δt ]中，相应的平均速度等于( ) A ．6＋Δt B ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt解析：v ＝ΔsΔt＝[(3＋Δt )2＋3]－(32＋3)Δt＝6Δt ＋(Δt )2Δt ＝6＋Δt ，故选A.答案：A3．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s )存在关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则起跳后1 s 的瞬时速度是________． 解析：h ′(1)＝ lim Δt →0 ΔhΔ t＝ lim Δt →0[－4.9(1＋Δ t )2＋6.5(1＋Δt )＋10]－(－4.9×12＋6.5×1＋10)Δt＝ lim Δ t →0 －3.3Δt －4.9(Δt )2Δt ＝ lim Δ t →0 (－3.3－4.9Δt )＝－3.3. 答案：－3.3 m/s4．已知一物体的运动方程是s ＝6t 2－5t ＋7，则其在t ＝________时刻的速度为7. 解析：令s ＝f (t )，由题意知 lim Δ t →0f (t ＋Δt )－f (t )Δt ＝ lim Δ t →06(t ＋Δt )2－5(t ＋Δt )＋7－(6t 2－5t ＋7)Δt＝ limΔ t →0 (12t ＋6Δt －5)＝12t －5＝7，∴t ＝1. 答案：15．路灯距地面8 m ，一个身高1.6 m 的人以84 m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影C 沿某直线离开路灯，(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式， (2)求人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率．解析：(1)如图所示，设人从C 点运动到B 处的路程为x m ，AB 为身影长度，AB 的长度为y m.由于CD ∥BE ，则AB AC ＝BECD ，即y y ＋x ＝1.68，所以y ＝14x .(2)因为84 m/min ＝1.4 m/s ，而x ＝1.4t .所以y ＝14x ＝14×1.4t ＝720t ，t ∈[0，＋∞)．Δy ＝720(10＋Δt )－720×10＝720Δt ，所以 lim Δ x →0 Δy Δt ＝720.即人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率为720.6．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，子弹从枪口射出时所用的时间为t 0＝1.6×10－3 s ，求子弹射出枪口时的瞬时速度．解析：设运动方程为s ＝12at 2.∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ，∴瞬时速度v ＝ lim Δt →0Δs Δt ＝at 0.由题意知a ＝5×105，t 0＝1.6×10－3，故v ＝at 0＝8×102＝800(m/s)．即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.。

3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何
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1．瞬时变化率
思考1平均变化率与瞬时变化率相同吗？
提示：不相同．平均变化率是描述函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率是描述函数值在x0点处变化的快慢．
思考2瞬时变化率定义中Δx→0的含义是什么？
提示：Δx趋近于0的距离要多近就有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.
2．导数与导函数
思考3函数在某点处的导数与函数在该点的瞬时变化率相同吗？
提示：相同．
思考4函数f (x )在定义域内的任一点都存在导数吗？
提示：不一定．存在导数的点x 0首先在区间内部，不能是区间的端点，其次是当Δx →0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
趋近于一个常数，否则就不存在导数． 特别提醒(1)函数在一点处的导数f ′(x 0)是一个常数，不是变量．
(2)函数的导数是针对某一区间内任意点x 而言的．函数f (x )在区间(a ，b )内每一点都可导，是指对于区间(a ，b )内每一个确定的值x 0，都对应着一个确定的导数f ′(x 0)．根据函数的定义，在开区间(a ，b )内就构成了一个新的函数，就是函数f (x )的导函数f ′(x )．
(3)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值，即f ′(x 0)＝f ′(x )|x ＝x 0.
3．导数的几何意义
思考5曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？
提示：不一定．切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限情况，在其他位置可能还有一个或多个公共点．。