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导数典型例题

导数作为考试内容的考查力度逐年增大

.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定

义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最(极)值等等， 考查的题型有客观题(选择题、填空题)

、主观题(解答题)、考查的形式具有综合性和多

样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考 查成为新的热点.

一、与导数概念有关的问题

【例1】函数f(x)=x(x-1) (x-2)…(x-100)在x= 0处的导数值为

2

A.0

B.100

C.200

D.100 !

解法一 “(0、_ .. f

(° tx) _f(o) ..

.-xC-x-DO-2V'^-100)-0

解法 f (0)_叽 L _叽

-

_

||m (A x-1)( △ x-2)…(△ x-100)_ (-1) (-2)-( - 100) =100 !

•••选 D.

.x _0

解法二 设 f(x)_a 101x 101 + a 100X 100+ …+ a 1X+a 0,则 f z (0)_ 而 a 1_ (-1)(-2 ) - (- 100)

_100 ! .

•••选 D.

点评解法一是应用导数的定义直接求解，

函数在某点的导数就是函数在这点平均变化

率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解

111

【例2】已知函数f(x)_ c ；

c ^x • — C ；X 2亠■亠— C ；X k 亠■亠一

，n € N *，则

2 k n

f （2 42 连）_f （2—心） 顾0 -

f （2 十2心）_f （2 —住）_c.. f （2 十2 心）—f （2）,

典

x

_2|

叭

吳 +

• f / (2)_ 一 (2c ： • 2它• 2k

C ：

• 2n & ) _-[(1+2) n -1]_ - (3n - 1).

2 2 2

点评导数定义中的“增量A

x ”有多种形式，可以为正也可以为负，如

f(x0

s.x) _f

(x

o )，且其定义形式可以是|im f(X0

—mX)—

f(X0

)，也可以是 即

-

mx

li

I m

-m x

(令A x_x-X 0得到)，本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有 关知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖 谢谢观赏

_2f / （2）+ f ' （2）_3 / （2），

（X ）_c ： . c ；x •…

k k 4

c n

x

丄 n

c

n

. f （x ） —f （X 。）

X -

X

【例3】 如圆的半径以 2 cm/s 的等速度增加，则圆半径 R=10 cm 时，圆面积增加的

速度是 _______________ .

解 T S= n R 2,而 R= R(t), R t =2 cm/s ，二 S t = ( n R 2

)t =2 n R • R =4 n R ,

2

--S t /R =10=4 n R/R =10= 40 n cm /s.

点评R 是t 的函数，而圆面积增加的速度是相当于时间

t 而言的(R 是中间变量)，此

题易岀现“T S=n R 2，S z =2 n R ，S z /R =IO =20 n cm 2/s ”的错误.本题考查导数的物理意义 及复合函数求导法则，须注意导数的物理意义是距离对时间的变化率， 它是表示瞬时速度，

因速度是向量，故变化率可以为负值

.2004年高考湖北卷理科第

16题是一道与实际问题结

合考查导数物理意义的填空题，据资料反映：许多考生在求出距离对时间的变化率是负值 后，却在写出答案时居然将其中的负号舍去，以致痛失

4分.

二、与曲线的切线有关的问题

【例4】以正弦曲线y=sinx 上一点P 为切点的切线为直线 围是

故选A.

点评函数y=f(x)在点X 。处的导数 "(x °)表示曲线，y=f(x)在点(X 0，f(x °))处的切线斜 率，即

k=tan a ( a 为切线的倾斜角)，这就是导数的几何意义 .本题若不同时考虑正切函数

的图像及直线倾斜角的范围，极易岀错

【例5】 曲线y=x 3-ax 2的切线通过点(0, 1 )，且过点(0, 1)的切线有两条，求实 数a 的值. 解•••点(0, 1)不在曲线上，•••可设切点为(

m,m 3-am 2).而y z

=3x 2-2 ax ,

••• k 切=3m 3-2 am ，则切线方程为

y=(3 m 3-2 am)x-2m 3-am 2.

T 切线过(0, 1), • 2m 3- am 2+i=0.(*)

设(*)式左边为f(m) ,• f(m)=0，由过(0, 1)点的切线有 2条，可知f(m)=0有两个 实数解，其等价于“

f(m)有极值，且极大值乘以极小值等于

0，且a ^ 0” .

由 f(m)=2 m - am +i ，得 f /(m)= 6m - am =2 m(3m- a)，令 f / (m)=0，得 m=0 , m=—,

3

a

1 3

• a ^ 0, f(0) • f( )=0，即 a 工 0, -

a 3+1=0, • a=3.

3

27

点评本题解答关键是把“切线有2条”的“形”转化为“方程有2个不同实根”的“数”， 谢谢观

赏

l ，则直线 l 的倾斜角的范

n | 3n I

0, U , n

「4」1 4，」 A.

B. 0, n 1

C.

y=sinx 上点P 的切线斜率角为

n 3n

a ，由题意知,

■/ cosx € ［- 1， 1］， /• tan a € ［- 1， 1］，又 a € 0,n ，

-冗

D. Q 4

tan a =y / =cosx.

3n

a €

0, U ,

n

.