高中导数经典知识点及例题讲解

精品高三数学导数与积分经典例题以及答案一. 教学内容：导数与积分二. 重点、难点：1. 导数公式：y f (x)c f( x)0y f (x)x n f ( x)n x n 1y f (x)sin x f( x)cos xy f (x)cos x f( x)sin xy f (x) a x f( x)a x ln ay f (x)log a x f( x)1log a e x2.运算公式[ f ( x) g (x)] f (x)g (x)[ f ( x) g( x)] f ( x) g (x) f ( x) g (x)[ f ( x) ] f ( x)g (x) f (x)g ( x)g( x)g2 ( x)3.切线，过 P（x0, y0）为切点的y f (x) 的切线， y y0f( x0 )( x x0 )4.单调区间不等式 f(x)0，解为 y f ( x) 的增区间， f (x)0 解为 y f ( x) 的减区间。

5.极值（ 1）x(a, x0 ) 时， f ( x)0 ， x( x0 ,b) 时， f( x)0∴ f ( x0 ) 为 y f (x) 极大值精品（ 2） x(a, x 0 ) 时 f ( x) 0 ， x ( x 0 ,b) 时， f ( x) 0∴ f ( x 0 ) 为 y f (x) 的极小值。

【典型例题】[ 例 1] 求下列函数的导数。

（ 1） y31 3x 3 7 x2 1；x（ 2） y ln | x |；（ 3） yx；1x x 2（ 4） y3x e x2x e ；ln x（5）yx 21 ；（ 6） yx cos x sin x 。

分析：直接应用导数公式和导数的运算法则解析：（ 1） y( 1)(3x 3 ) (7 x 2 ) (1)3x11 x(x 3 ) 3(x 3 ) 7( x 2 ) 03439x 214 x（ 2）当 x0时， yln x, y1 ；x当 x0 时， y ln( x) ， y1 1()(1)1xx∴ yx（ 3） yx (1 x x 2 ) x(1 xx 2 )(1 x x 2) 21x x2x(012x)1x 2(1 x x 2 ) 2(1 x x2 ) 2（ 4）y(3x e x )(2x )(e)(3x ) e x 3 x (e x )(2x )03x ln 3e x3x e x 2 x ln 2(3e) x ln 3e 2 x ln 2（ 5）y (ln x) ( x21)ln x (x21)( x21)21 ( x21) 2x ln xx 212x2ln xx(x 21) 2x( x 21) 2（ 6）y( x cos x)(sin x)cosx x sin x cosx x sin x[例 2]如果函数 f ( x)2a1)的图象在 x1处的切线 l 过点（0，1 ln( x）并且 l 与圆b bC：x2y 21相离，则点（a, b ）与圆C的位置关系。

导数考试内容：导数的背影．导数的看法．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．考试要求：（1）认识导数看法的某些本质背景．（2）理解导数的几何意义．（ 3）掌握函数， y=c(c 为常数 )、y=xn(n ∈ N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（ 4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的看法，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（ 5）会利用导数求某些简单实诘责题的最大值和最小值．§14. 导数知识要点导数的看法导数的几何意义、物理意义常有函数的导数导数导数的运算导数的运算法规函数的单调性导数的应用函数的极值函数的最值1.导数（导函数的简称）的定义：设 x0是函数y f (x) 定义域的一点，若是自变量 x 在 x0处有增量x，则函数值 y也引起相应的增量y f (x0x) f (x0 ) ；比值y f ( x0x) f ( x0 ) 称为函数y f (x) 在点x0到 x0x 之间的平均变化率；若是极限x xlim y lim f ( x0x) f ( x0 ) 存在，则称函数y f (x) 在点x0处可导，并把这个极限叫做x0x x0xy f (x) 在x0处的导数，记作f'''(x0 ) = limy f ( x0x) f ( x0 ) ( x0 ) 或y|x x0，即f lim.x 0x x0x注：①x 是增量，我们也称为“改变量”，因为 x 可正，可负，但不为零 .②以知函数 y f (x) 定义域为 A ，y f'( x)的定义域为 B ，则 A 与 B 关系为 A B .2.函数 y f (x) 在点x0处连续与点x0处可导的关系：⑴函数 y f ( x) 在点x0处连续是y f (x) 在点x0处可导的必要不充分条件.可以证明，若是y f (x) 在点x0处可导，那么y f (x) 点x0处连续 .事实上，令x x0x ，则 x x0相当于x0 .于是 lim f (x) lim f ( x0x) lim [ f ( x x0 ) f (x0 ) f ( x0 )]x x0x 0x 0lim [ f (x 0 x) f ( x 0 )x f (x 0 )]lim f ( x 0x)f ( x 0 ) limlim f ( x 0 ) f '(x 0 ) 0 f ( x 0 ) f ( x 0 ).x 0xx 0xx0 x 0⑵若是 y f ( x) 点 x 0 处连续，那么 y f ( x) 在点 x 0 处可导，是不成立的 .例： f (x) | x |在点 x 00 处连续，但在点 x 0 0 处不可以导，因为 y| x | ，当 x ＞ 0 时，x xy 1 ；当 x ＜0 时， y 1 ，故 lim y不存在 .x x x 0 x注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数 .②可导的偶函数函数其导函数为奇函数 .3. 导数的几何意义：函数 yf ( x) 在点 x 0 处的导数的几何意义就是曲线y f ( x) 在点 ( x 0 , f (x)) 处的切线的斜率，也 就 是 说 ， 曲 线 y f ( x) 在 点 P ( x ,( ))f '( x ) ， 切 线 方 程 为f x 处 的 切 线 的 斜 率 是y y 0f ' (x)( x x 0 ).4. 求导数的四则运算法规：(u v)'u ' v 'y f 1 (x)f 2 (x) ... f n (x)y 'f 1 ' (x) f 2' (x)... f n ' (x)( uv) 'vu ' v 'u( cv) 'c 'v cv ' cv ' （ c 为常数）'vu 'v ' uu0 )vv2( v注：① u, v 必定是可导函数 .②若两个函数可导， 则它们和、 差、积、商必可导； 若两个函数均不可以导， 则它们的和、 差、积、商不用然不可以导 .比方：设 f ( x)2sin x 2 ， g (x) cos x 2，则 f (x), g( x) 在 x0 处均不可以导，但它们和x xf ( x)g( x) sin x cos x 在 x 0 处均可导 .5. 复合函数的求导法规：f x ' ( (x))f ' (u)'( x) 或 y ' xy ' u u ' x复合函数的求导法规可实行到多此中间变量的状况 .6. 函数单调性：⑴函数单调性的判断方法： 设函数 y f (x) 在某个区间内可导， 若是 f ' ( x) ＞ 0，则 y f (x) 为增函数；若是f ' (x) ＜0，则 y f (x) 为减函数 .⑵常数的判断方法；若是函数 y f (x) 在区间 I 内恒有 f ' ( x) =0，则 yf ( x) 为常数 .注：① f (x)0 是 f （ x ）递加的充分条件，但不是必要条件，如y2x 3 在 ( , ) 上其实不是都有 f (x) 0 ，有一个点例外即 x=0 时 f （ x ） = 0，同样 f (x)0 是 f （ x ）递减的充分非必要条件 .②一般地， 若是 f （x ）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么 f （ x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.7. 极值的鉴识方法：（极值是在x0周边所有的点，都有f (x)＜f ( x0)，则f (x0)是函数f ( x)的极大值，极小值同理）当函数 f (x) 在点x0处连续时，①若是在x 0周边的左侧 f ' ( x) ＞0，右侧f②若是在x 0周边的左侧 f ' ( x) ＜0，右侧f ''(x) ＜0，那么 f ( x0 ) 是极大值；(x) ＞0，那么 f ( x0 ) 是极小值 .也就是说 x 0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是 f '①( x) =0 .其余，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 自然，极值是一个局部看法，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点周边的点不同样样）.注①：若点 x 0是可导函数 f (x) 的极值点，则f'(x) =0. 但反过来不用然成立. 对于可导函数，其一点 x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.比方：函数 y f (x)x 3，x 0使 f ' ( x) =0，但x 0不是极值点.②比方：函数 y f (x)| x | ，在点 x 0 处不可以导，但点 x 0 是函数的极小值点 .8.极值与最值的差异：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较 .注：函数的极值点必定有意义 .9.几种常有的函数导数：I. C '0 （ C 为常数）(sin x) 'cos x(arcsin x) '1x 21(x n )'nx n 1（n R ）(cos x) 'sin x(arccos x) '1x21 II. (ln x) '1(log a x)'1log a e(arctan x) '11 x x x2( e x) ' e x(a x ) ' a x ln a(arc cot x) '11x 2 III.求导的常有方法：①常用结论：(ln | x |)'1.②形如 y(x a)(x a)...(x a) 或 y( x a1 )( x a2 )...(x a n )两x12n( x b1 )( x b2 )...( x b n )边同取自然对数，可转变求代数和形式.③无理函数或形如 y x x这类函数，如y x x取自然对数此后可变形为ln y xln x ，对两边求导可得 y 'ln x x 1y 'y ln x y y 'x x ln x x x.y x导数中的切线问题例题 1：已知切点，求曲线的切线方程32曲线 y x3x 1在点 (1， 1) 处的切线方程为（）例题 2：已知斜率，求曲线的切线方程与直线 2 x y 4 0 的平行的抛物线y x2的切线方程是（）注意：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为y 2 x b ，代入 y x2，得 x2 2 x b 0 ，又因为0 ，得 b 1 ，应选Ｄ．例题 3：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．求过曲线 y x3 2 x 上的点 (1， 1) 的切线方程．例题 4：已知过曲线外一点，求切线方程1 相切的直线方程．求过点 (2，0) 且与曲线 yx练习题：已知函数y x33x ，过点 A(0，16) 作曲线 y f (x) 的切线，求此切线方程．看看几个高考题1.（ 2009全国卷Ⅱ）曲线yx在点1,1 处的切线方程为2x12.（ 2010江西卷）设函数 f ( x)g( x)x2，曲线 y g(x) 在点 (1,g (1)) 处的切线方程为y 2x1，则曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1))处切线的斜率为3.（ 2009宁夏海南卷）曲线 y xe x2x 1 在点（0,1）处的切线方程为。

高中数学导数知识点归纳总结及例题导数考试知识要点1. 导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数y f(x)定义域的一点，如果自变量x在x0处有增量x，则函数值y也引起相应的增量y f(x0x)f(x0)；比值yf(x0x)f(x0)称为函数y f(x)在点x0到x0x之间的平均变化率；如果极限x xf(x0x)f(x0)y存在，则称函数y f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做lim x0x x0xlim记作f’(x0)或y’|x x0，即f’(x0)=limy f(x)在x0处的导数，f(x0x)f(x0)y. lim x0x x0x注：①x是增量，我们也称为“改变量”，因为x可正，可负，但不为零.②以知函数y f(x)定义域为A，y f’(x)的定义域为B，则A与B关系为A B.2. 函数y f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：⑴函数y f(x)在点x0处连续是y f(x)在点x0处可导的必要不充分条件.可以证明，如果y f(x)在点x0处可导，那么y f(x)点x0处连续.事实上，令x x0x，则x x0相当于x0.1于是limf(x)limf(x0x)lim[f(x x0)f(x0)f(x0)] x x0x0x0 lim[x0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)x f(x0)]lim lim limf( x0)f’(x0)0f(x0)f(x0).x0x0x0x xy|x|，当x＞0时，x x⑵如果y f(x)点x0处连续，那么y f(x)在点x0处可导，是不成立的. 例：f(x)|x|在点x00处连续，但在点x00处不可导，因为y y y不存在. 1；当x＜0时，1，故lim x0x x x注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数y f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y f(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线y f(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f’(x0)，切线方程为y y0f’(x)(x x0).4. 求导数的四则运算法则：(u v)’u’v’y f1(x)f2(x)...fn(x)y’f1’(x)f2’(x)...fn’(x) (uv)’vu’v’u(cv)’c’v cv’cv’（c为常数）vu’v’u u(v0) 2v v’注：①u,v必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如：设f(x)2sinx22，g(x)cosx，则f(x),g(x)在x0处均不可导，但它们和xx f(x)g(x)sinx cosx在x0处均可导.5. 复合函数的求导法则：fx’((x))f’(u)’(x)或y’x y’u u’x复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数y f(x)在某个区间内可导，如果f’(x)＞0，则y f(x)为增函数；如果f’(x)＜0，则y f(x)为减函数.⑵常数的判定方法；如果函数y f(x)在区间I内恒有f’(x)=0，则y f(x)为常数.注：①f(x)0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0，有一个点例外即x=0时f（x）= 0，同样f(x)0是f（x）递减的充分非必2要条件.②一般地，如果f（x）在某区间(sinx)cosx (arcsinx)’1 x2(xn)’nxn1（n R）(cosx)’sinx (arccosx)’ 1x2 1’11’(arctanx)II. (lnx)(logax)logae xxx21’(ex)’ex (ax)’axlna (arccotx)’III. 求导的常见方法：①常用结论：(ln|x|)’1x2 1 (x a1)(x a2)...(x an)1.②形如y(x a1)(x a2)...(x an)或y两(x b1)(x b2)...(x bn)x边同取自然对数，可转化求代数和形式.③无理函数或形如y xx这类函数，如y xx取自然对数之后可变形为lny xlnx，对两边y’1lnx x y’ylnx y y’xxlnx xx. 求导可得yx 3导数中的切线问题例题1：已知切点，求曲线的切线方程曲线y x33x21在点(1，1)处的切线方程为（）例题2：已知斜率，求曲线的切线方程与直线2x y40的平行的抛物线y x2的切线方程是（）注意：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为y2x b，代入y x2，得x22x b0，又因为0，得b1，故选Ｄ．例题3：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．求过曲线y x32x上的点(1，1)的切线方程．例题4：已知过曲线外一点，求切线方程1求过点(2，0)且与曲线y相切的直线方程．x4练习题：已知函数y x33x，过点A(016) ，作曲线y f(x)的切线，求此切线方程．看看几个高考题1.（2009全国卷Ⅱ）曲线y x在点1,1处的切线方程为2x 122.（2010江西卷）设函数f(x)g(x)x，曲线y g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y2x1，则曲线y f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为3.（2009宁夏海南卷）曲线y xe2x1在点（0,1）处的切线方程为。

利用导数求函数的极值、最值一、知识梳理1.函数的极值与导数形如山峰形如山谷2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值二、例题精讲 + 随堂练习考点一利用导数解决函数的极值问题角度1根据函数图象判断函数极值【例1－1】已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D.函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值. 答案 D规律方法 由图象判断函数y ＝f (x )的极值，要抓住两点：(1)由y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点，可得函数y ＝f (x )的可能极值点；(2)由导函数y ＝f ′(x )的图象可以看出y ＝f ′(x )的值的正负，从而可得函数y ＝f (x )的单调性.两者结合可得极值点.角度2 已知函数求极值【例1－2】 (2019·天津和平区模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R ). (1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数.解 (1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x2x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表.故f (x )在定义域上的极大值为f (x )极大值＝f (2)＝ln 2－1，无极小值. (2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x >0).当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 当a >0时，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，故函数在x ＝1a 处有极大值.综上可知，当a ≤0时，函数f (x )无极值点， 当a >0时，函数y ＝f (x )有一个极大值点，且为x ＝1a .规律方法 运用导数求可导函数y ＝f (x )的极值的一般步骤：(1)先求函数y ＝f (x )的定义域，再求其导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查导数f ′(x )在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点.角度3 已知函数的极(最)值求参数的取值 【例1－3】 (2019·泰安检测)已知函数f (x )＝ln x . (1)求f (x )图象的过点P (0，－1)的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－mx ＋mx 存在两个极值点x 1，x 2，求m 的取值范围.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x .设切点坐标为(x 0，ln x 0)，则切线方程为y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.把点P (0，－1)代入切线方程，得ln x 0＝0，∴x 0＝1. ∴过点P (0，－1)的切线方程为y ＝x －1. (2)因为g (x )＝f (x )－mx ＋m x ＝ln x －mx ＋mx (x >0)， 所以g ′(x )＝1x －m －m x 2＝x －mx 2－mx 2＝－mx 2－x ＋m x 2，令h (x )＝mx 2－x ＋m ，要使g (x )存在两个极值点x 1，x 2，则方程mx 2－x ＋m ＝0有两个不相等的正数根x 1，x 2.故只需满足⎩⎪⎨⎪⎧h (0)>0，12m >0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m <0即可，解得0<m <12.规律方法 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)·e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A.－1B.－2e －3C.5e －3D.1解析 f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]·e x －1，则f ′(－2)＝[4－2(a ＋2)＋a －1]·e －3＝0⇒a ＝－1， 则f (x )＝(x 2－x －1)·e x －1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)·e x －1， 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝1， 当x <－2或x >1时，f ′(x )>0， 当－2<x <1时，f ′(x )<0，所以x ＝1是函数f (x )的极小值点， 则f (x )极小值为f (1)＝－1. 答案 A(2)(2018·北京卷)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x . ①若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ； ②若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围. 解 ①因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .f ′(1)＝(1－a )e. 由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.②f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在x ＝2处取得极小值.若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点. 综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.考点二 利用导数求函数的最值【例2】 (2019·广东五校联考)已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数. (1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值. 解 (1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ，f ′(x )＝－1＋1x ＝1－xx ， 令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0.∴f (x )在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数. ∴f (x )max ＝f (1)＝－1.∴当a ＝－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上的最大值为－1. (2)f ′(x )＝a ＋1x ，x ∈(0，e]，1x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞.①若a ≥－1e ，则f ′(x )≥0，从而f (x )在(0，e]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0，不合题意.②若a <－1e ，令f ′(x )>0得a ＋1x >0，结合x ∈(0，e]，解得0<x <－1a；令f ′(x )<0得a ＋1x <0，结合x ∈(0，e]，解得－1a <x ≤e.从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上为增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1a ，e 上为减函数，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a .令－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－3，得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－2，即a ＝－e 2.∵－e 2<－1e ，∴a ＝－e 2为所求.故实数a 的值为－e 2.规律方法 1.利用导数求函数f (x )在[a ，b ]上的最值的一般步骤：(1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.【训练2】 (2019·合肥质检)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值.解 (1)∵f (x )＝e x ·cos x －x ，∴f (0)＝1， f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，∴f ′(0)＝0，∴y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y －1＝0·(x －0)， 即y ＝1.(2)f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，令g (x )＝f ′(x )， 则g ′(x )＝－2e xsin x ≤0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立， 且仅在x ＝0处等号成立， ∴g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，∴g (x )≤g (0)＝0，∴f ′(x )≤0且仅在x ＝0处等号成立， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减， ∴f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2.考点三 利用导数求解最优化问题【例3】 (2018·衡水中学质检)在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v (米/单位时间)，每单位时间的用氧量为⎝ ⎛⎭⎪⎫v 103＋1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为v2(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y (升). (1)求y 关于v 的函数关系式；(2)若c ≤v ≤15(c >0)，求当下潜速度v 取什么值时，总用氧量最少.解 (1)由题意，下潜用时60v (单位时间)，用氧量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫v 103＋1×60v ＝3v 250＋60v (升)，水底作业时的用氧量为10×0.9＝9(升)，返回水面用时60v 2＝120v (单位时间)，用氧量为120v ×1.5＝180v (升)，因此总用氧量y ＝3v 250＋240v ＋9(v >0).(2)y ′＝6v 50－240v 2＝3（v 3－2 000）25v 2，令y ′＝0得v ＝1032，当0<v <1032时，y ′<0，函数单调递减； 当v >1032时，y ′>0，函数单调递增.若c <1032 ，函数在(c ，1032)上单调递减，在(1032，15)上单调递增，∴当v ＝1032时，总用氧量最少. 若c ≥1032，则y 在[c ，15]上单调递增， ∴当v ＝c 时，这时总用氧量最少.规律方法 1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y ＝f (x )，并确定其定义域； (2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答.2.如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.三、课后练习1.(2019·郑州质检)若函数y ＝f (x )存在n －1(n ∈N *)个极值点，则称y ＝f (x )为n 折函数，例如f (x )＝x 2为2折函数.已知函数f (x )＝(x ＋1)e x －x (x ＋2)2，则f (x )为( ) A.2折函数 B.3折函数 C.4折函数D.5折函数解析 f ′(x )＝(x ＋2)e x －(x ＋2)(3x ＋2)＝(x ＋2)(e x －3x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或e x ＝3x ＋2. 易知x ＝－2是f (x )的一个极值点，又e x ＝3x ＋2，结合函数图象，y ＝e x 与y ＝3x ＋2有两个交点.又e －2≠3(－2)＋2＝－4.∴函数y ＝f (x )有3个极值点，则f (x )为4折函数. 答案 C2.若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内存在最小值，则实数k 的取值范围是________.解析 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，又因为f ′(x )＝4x －1x ，所以由f ′(x )＝0解得x ＝12，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0，解得1≤k <32.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，323.(2019·杭州质检)传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12 cm 且以每秒1 cm 等速率缩短，而长度以每秒20 cm 等速率增长.已知神针的底面半径只能从12 cm 缩到4 cm ，且知在这段变形过程中，当底面半径为10 cm 时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为________ cm. 解析 设神针原来的长度为a cm ，t 秒时神针的体积为V (t ) cm 3， 则V (t )＝π(12－t )2·(a ＋20t )，其中0≤t ≤8， 所以V ′(t )＝[－2(12－t )(a ＋20t )＋(12－t )2·20]π.因为当底面半径为10 cm 时其体积最大，所以10＝12－t ，解得t ＝2，此时V ′(2)＝0，解得a ＝60，所以V (t )＝π(12－t )2·(60＋20t )，其中0≤t ≤8.V ′(t )＝60π(12－t )(2－t )，当t ∈(0，2)时，V ′(t )>0，当t ∈(2，8)时，V ′(t )<0，从而V (t )在(0，2)上单调递增，在(2，8)上单调递减，V (0)＝8 640π，V (8)＝3 520π，所以当t ＝8时，V (t )有最小值3 520π，此时金箍棒的底面半径为4 cm.答案 44.设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x (常数a >0). (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围. 解 (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ， 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞). 所以g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x . 又a >0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减.∴函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞.(2)由(1)知，f ′(1)＝0.①当0<a <12时，12a >1，由(1)知f ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 内单调递增，可得当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，1)内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 内单调递增. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意.②当a ＝12时，12a ＝1，f ′(x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意.③当a >12时，0<12a <1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减.所以f (x )在x ＝1处取极大值，符合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.。

导数知识点总结及例题一、导数的定义1.1 函数的变化率在生活中，我们经常会遇到函数随着自变量的变化而发生变化的情况，比如一辆汽车的速度随着时间的变化而变化、货物的销售量随着价格的变化而变化等。

这种情况下，我们就需要考虑函数在某一点处的变化率，也就是导数。

对于函数y=f(x)，在点x处的变化率可以用函数的增量Δy和自变量的增量Δx的比值来表示：f'(x) = lim(Δx→0) (Δy/Δx)其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。

利用导数的定义，我们可以计算得到函数在某一点处的变化率。

1.2 导数的几何意义导数还有一个重要的几何意义，它表示了函数曲线在某一点处的切线的斜率。

例如，对于函数y=x^2，在点(1,1)处的导数就代表了曲线在这一点处的切线斜率。

这也意味着，导数可以帮助我们理解函数曲线在不同点处的形状和走向。

1.3 导数存在的条件对于一个函数f(x)，它在某一点处的导数存在的条件是：在这一点处函数曲线的切线存在且唯一。

也就是说，如果函数在某一点处导数存在，那么这个点就是函数的可导点。

二、导数的性质2.1 导数与函数的关系导数是函数的一个重要属性，它可以帮助我们理解函数的性质。

例如，导数可以表示函数在某一点处的斜率，可以告诉我们函数曲线的凹凸性，还可以帮助我们找到函数的极值点等。

2.2 导数与导函数当一个函数在某一点处的导数存在时，我们可以使用导数的定义来求出函数在该点处的导数。

我们把这个过程称为求导，求出的导数称为导函数。

导函数的值就是原函数在对应点处的导数值。

2.3 导数的性质导数具有一些重要的性质，比如导数存在的条件、可导函数的和、差、积、商的导数求法则等。

这些性质是我们求解导数的问题时的重要依据，也是我们理解函数性质的基础。

三、求导法则3.1 基本求导法则基本求导法则是求解导数问题的基础，它包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等函数的导数求法。

导数经典20题目录导数经典20题 (1)一、【不等式恒成立-单变量】5道 (3)二、【不等式恒成立-双变量】5道 (13)三、【不等式证明】5道 (23)四、【零点问题】5道 (32)一、【不等式恒成立-单变量】【第01题】（2017•广东模拟）已知()ln a f x x x=+．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若对任意0x >，均有()2ln ln x a x a −≤恒成立，求正数a 的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为2ln ln 1a a ≤+，求出a 的范围即可．【解答】解：（1）（0x >）， ()221a x a f x x x x−′=−=（0x >）， 当0a ≤时，()0f x ′>，在()0,+∞上递增，无极值；当0a >时，0x a <<时，()0f x ′<，在()0,a 上递减，x a >时，()0f x ′>，()f x 在(),a +∞上递增，()()ln 1f x f a a ==+极小值，无极大值．（2）若对任意0x >，均有恒成立，即对任意0x >，均有2ln ln a a x x≤+恒成立， 由（1）得：0a >时，()f x 的最小值是ln 1a +，故问题转化为：2ln ln 1a a ≤+，即ln 1a ≤，故0e a <≤．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查()ln a f x x x =+()f x ()f x ()2ln ln x a x a −≤转化思想，是一道中档题．一、【不等式恒成立-单变量】【第02题】（2019•西安一模）已知函数()()21e x f x x ax =−−（其中e 为自然对数的底数）． （1）判断函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（2）若对任意的0x >，()3e x f x x x +≥+，求a 的取值范围．【分析】（1）首先求得导函数，然后分类讨论确定函数的极值点的个数即可；（2）将原问题转化为恒成立的问题，然后分类讨论确定实数a 的取值范围即可．【解答】解：（1）()()e 2e 2x xf x x ax x a ′=−=− ，当0a ≤时，()f x 在(),0−∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()f x 有1个极值点； 当102a <<时，()f x 在(),ln 2a −∞上单调递增，在()ln 2,0a 上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()f a 有2个极值点； 当12a =时，()f x 在R 上单调递增，此时函数没有极值点； 当12a >时，()f x 在(),0−∞上单调递增，在()0,ln 2a 上单调递减，在()ln 2,a +∞上单调递增，()f a 有2个极值点． 综上，当12a =时，()f x 没有极值点；当0a ≤时，()f x 有1个极值点；当0a >且12a ≠时，()f x 有2个极值点．（2）由得32e 0x x x ax x −−−≥．当0x >时，2e 10x x ax −−−≥， 即2e 1x x a x−−≤对0x ∀>恒成立． 设()2e 1x x g x x−−=（0x >）， ()3e x f x x x +≥+则()()()21e 1x x x g x x −−−′=，设()e 1x h x x =−−，则()e 1x h x ′=−，由0x >可知()0h x ′>，()h x 在()0,+∞上单调递增，()()00h x h >=，即e 1x x >+，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()1e 2g x g ∴≥=−，e 2a ∴≤−，故a 的取值范围是(],e 2−∞−．【点评】本题主要考查导数研究函数的极值点，导数研究不等式恒成立的方法，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．【第03题】（2017春•太仆寺旗校级期末）已知函数()ln f x x a x =−，()1a g x x+=−（a ∈R ）． （1）若1a =，求函数()f x 的极小值；（2）设函数()()()h x f x g x =−，求函数()h x 的单调区间；（3）若在区间[]1,e 上存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，求a 的取值范围．【分析】（1）先求出其导函数，让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间进而求出函数()f x 的极值；（2）先求出函数()h x 的导函数，分情况讨论让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间；（3）先把()()00f x g x <成立转化为()00h x <，即函数()1ln a h x x a x x +=+−在[]1,e 上的最小值小于零；再结合（2）的结论分情况讨论求出其最小值即可求出a 的取值范围．【解答】解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，当1a =时，()ln f x x x =−，()111x f x x x −′=−=， x ()0,11 ()1,+∞ ()'f x− 0 + ()f x减 极小 增 所以()f x 在1x =处取得极小值1．（2）()1ln a h x x a x x +=+−， ()()()221111x x a a a h x x x x+−+ + ′=−−=， ①当10a +>时，即1a >−时，在()0,1a +上()0h x ′<，在()1,a ++∞上()0h x ′>， 所以()h x 在()0,1a +上单调递减，在()1,a ++∞上单调递增；②当10a +≤，即1a ≤−时，在()0,+∞上()0h x ′>，所以，函数()h x 在()0,+∞上单调递增．（3）在区间[]1,e 上存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，即在[]1,e 上存在一点0x ，使得()00h x <，即函数在[]1,e 上的最小值小于零． 由（2）可知，①当1e a +≥，即e 1a ≥−时，()h x 在[]1,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为()e h ，由()1e e 0ea h a +=+−<可得2e 1e 1a +>−， 因为2e 1e 1+−e 1>−， 所以2e 1e 1a +>−； ②当11a +≤，即0a ≤时，()h x 在上单调递增，所以()h x 最小值为()1h ，由()1110h a =++<可得2a <−；③当11e a <+<，即0e 1a <<−时，可得()h x 最小值为()1h a +，因为()0ln 11a <+<，所以，()0ln 1a a a <+<，故()()12ln 12h a a a a +=+−+>，此时，()10h a +<不成立．综上可得，所求a 的范围是：或2a <−． 【点评】本题第一问考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．()1ln a h x x a x x+=+−[]1,e 2e 1e 1a +>−【第04题】（2019•蚌埠一模）已知函数()()2ln f x a x x x =−−．（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若()0f x ≥恒成立，求a 的值．【分析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论x 的范围，问题转化为01x <<时，2ln x a x x ≤−，1x >时，2ln x a x x ≥−，令()g x =2ln x x x−，根据函数的最值求出a 的范围，取交集即可． 【解答】解：（1）1a =时，()2ln f x x x x −−，（0x >） 故()()()211121x x f x x x x+−′=−−=， 令()0f x ′>，解得：1x >，令()0f x ′<，解得：01x <<，故()f x 在()0,1递减，在()1,+∞递增．（2）若()0f x ≥恒成立，即()2ln a x x x −≥，①()0,1x ∈时，20x x −<，问题转化为2ln x a x x ≤−（()0,1x ∈），1x >时，20x x −>，问题转化为2ln x a x x ≥−（1x >）， 令()g x =2ln x x x −， 则()()()22121ln x x x g x x x −−−′=−， 令()()121ln h x x x x =−−−，则()112ln h x x x ′=−+−，()2120x x xh ′=−−<′， 故()h x ′在()0,1和()1,+∞内都递减，()0,1x ∈时，()()10h x h ′′>=，故()h x 在()0,1递增，()()10h x h <=，故()0,1x ∈时，()0g x ′<，()g x 在()0,1递减，而1x →时，()1g x →，故()0,1x ∈时，()1g x >，故1a ≤，()1,x ∈+∞时，()()10h x h ′′<=，故()h x 在()0,1递减，()()10h x h <=， 故()1,x ∈+∞时，()0g x ′<，()g x 在()1,+∞递减，而1x →时，()1g x →，故()1,x ∈+∞时，()1g x >，故1a ≥，②1x =时，显然成立．综上：1a =．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．【第05题】（2019•南昌一模）已知函数()()e ln x f x x x a =−++（e 为自然对数的底数，a 为常数，且1a ≤）． （1）判断函数()f x 在区间()1,e 内是否存在极值点，并说明理由； （2）若当ln 2a =时，()f x k <（k ∈Z ）恒成立，求整数k 的最小值． 【分析】（1）由题意结合导函数的符号考查函数是否存在极值点即可； （2）由题意结合导函数研究函数的单调性，据此讨论实数k 的最小值即可． 【解答】解：（1）()1e ln 1x f x x x a x ′=−++−，令()1ln 1g x x x a x=−++−，()1,e x ∈，则()()'e x f x g x =， ()2210x x g x x −+′=−<恒成立，所以()g x 在()1,e 上单调递减，所以()()110g x g a <=−≤，所以()'0f x =在()1,e 内无解． 所以函数()f x 在区间()1,e 内无极值点．（2）当ln 2a =时，()()e ln ln 2x f x x x =−++，定义域为()0,+∞，()1e ln ln 21x f x x x x ′=−++−，令()1ln ln 21h x x x x =−++−， 由（1）知，()h x 在()0,+∞上单调递减，又11022h => ，()1ln 210h =−<，所以存在11,12x∈，使得()10h x =，且当()10,x x ∈时，()0h x >，即()'0f x >，当()1,x x ∈+∞时，()0h x <，即()'0f x <．所以()f x 在()10,x 上单调递增，在()1,x +∞上单调递减， 所以()()()1111max e ln ln 2x f x f x x x ==−++． 由()10h x =得1111ln ln 210x x x −++−=，即1111ln ln 21x x x −+=−， 所以()1111e 1x f x x =−，11,12x∈ ，令()1e 1x r x x =− ，1,12x ∈ ，则()211e 10x r x x x′=−+> 恒成立， 所以()r x 在1,12上单调递增，所以()()1102r r x r <<= ，所以()max 0f x <，又因为1211e ln 2ln 2122f=−−+=>−，所以()max 10f x −<<，所以若()f x k <（k ∈Z ）恒成立，则k 的最小值为0．【点评】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性，导数的综合运用等知识，属于中等题．二、【不等式恒成立-双变量】【第06题】（2019•广元模拟）已知函数()()ln 11xf x a x x=−++（a ∈R ），()2e mx g x x =（m ∈R ）． （1）当1a =时，求函数()f x 的最大值；（2）若0a <，且对任意的1x ，[]20,2x ∈，()()121f x g x +≥恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值即可； （2）令()()1x f x ϕ=+，根据函数的单调性分别求出()x ϕ的最小值和()g x 的最大值，得到关于m 的不等式，解出即可．【解答】解：（1）函数()f x 的定义域为()1,−+∞， 当1a =时，()()()2211111xf x xx x −′=−=+++，∴当()1,0x ∈−时，()'0f x >，函数()f x 在()1,0−上单调递增， ∴当()0,x ∈+∞时，()'0f x <，函数()f x 在()0,+∞上单调递减， ()()max 00f x f ∴==．（2）令()()1x f x ϕ=+，因为“对任意的1x ，[]20,2x ∈，()()121f x g x +≥恒成立”， 所以对任意的1x ，[]20,2x ∈，()()min max x g x ϕ≥成立， 由于()()211ax a x x ϕ−−+′=+，当0a <时，对[]0,2x ∀∈有()'0x ϕ>，从而函数()x ϕ在[]0,2上单调递增， 所以()()min 01x ϕϕ==， ()()222e e 2e mx mx mx g x x x mmxx ′=+⋅=+，当0m =时，()2g x x =，x ∈[]0,2时，()()max 24g x g ==，显然不满足()max 1g x ≤，当0m ≠时，令()'0g x =得10x =，22x m=−， ①当22m−≥，即10m −≤≤时，在[]0,2上()0g x ′≥，所以()g x 在[]0,2上单调递增， 所以()()2max 24e m g x g ==，只需24e 1m ≤，得ln 2m ≤−，所以1ln 2m −≤≤−． ②当202m <−<，即1m <−时，在20,m − 上()0g x ′≥，()g x 单调递增，在2,2m−−上()0g x ′<，()g x 单调递减，所以()22max 24eg x g m m== ， 只需2241e m ≤，得2e m ≤−，所以1m <−． ③当20m−<，即0m >时，显然在[]0,2上()0g x ′≥，()g x 单调递增， 所以()()2max 24e m g x g ==，24e 1m ≤不成立． 综上所述，m 的取值范围是(],ln 2−∞−．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．【第07题】（2019•濮阳一模）已知函数()ln b f x a x x =+（0a ≠）． （1）当2b =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a b +=，0b >时，对任意1x ，21,e e x ∈，都有()()12e 2f x f x −≤−成立，求实数b 的取值范围．【分析】（1）通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）原问题等价于()()max min e 2f x f x −≤−成立，可得()()min 11f x f ==，可得()()max e e b f x f b ==−+，即e e 10b b −−+≤，设()e e 1b b b ϕ=−−+（0b >），可得()b ϕ在()0,+∞单调递增，且()10ϕ=，即可得不等式e e 10b b −−+≤的解集．【解答】解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞． 当2b =时，()2ln f x a x x =+，所以()22x a f x x+′=． ①当0a >时，()0f x ′>，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增．②当0a <时，令()0f x ′=，解得：x =当0x <<()0f x ′<，所以函数()f x 在 上单调递减；当x >()0f x ′>，所以函数()f x 在+∞上单调递增． 综上所述，当2b =，0a >时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当2b =，0a <时，函数()f x 在 上单调递减，在 +∞上单调递增． （2） 对任意1x ，21,e e x∈，有()()12e 2f x f x −≤−成立，()()max min e 2f x f x ≤∴−−成立，0a b += ，0b >时，()ln b f x b x x =−+．()()11bb b x b f x bx x x−−′=−+=． 当01x <<时，()0f x ′<，当1x >时，()0f x ′>，()f x ∴在1,1e单调递减，在[]1,e 单调递增，()()min 11f x f ==，1e e bf b − =+ ，()e e b f b =−+， 设()()1e e e 2e b b g b f f b −=−=−−（0b >），()e e 20b b g b −′=+−>． ()g b ∴在()0,+∞递增，()()00g b g ∴>=，()1e e f f ∴>．可得()max f x =()e e b f b =−+，e 1e 2b b ∴−+−≤−，即e e 10b b −−+≤，设()e e 1b b b ϕ=−−+（0b >），()e 10b b ϕ′−>在()0,b ∈+∞恒成立．()b ϕ∴在()0,+∞单调递增，且()10ϕ=，∴不等式e e 10b b −−+≤的解集为(]0,1． ∴实数b 的取值范围为(]0,1．【点评】本题考查了导数的应用，考查了转化思想、运算能力，属于压轴题．【第08题】（2019•衡阳一模）已知()32342f x x ax x −=+（x ∈R ），且()f x 在区间[]1,1−上是增函数．（1）求实数a 的值组成的集合A ；（2）设函数()f x 的两个极值点为1x 、2x ，试问：是否存在实数m ，使得不等式21213m tm x x ++≥−对任意a A ∈及[]1,1t ∈−恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由()f x 在区间[]1,1−上是增函数．可得()24220f x ax x ′=+−≥在区间[]1,1−上恒成立．可得()10f ′−≥，()10f ′≥，即可得出． （2）函数()f x 的两个极值点为1x 、2x ，可得12x x a +=，122x x =−．()()1212121212322x x x x x x x x x x −−++≤−++==a A ∈，设()h a =[]1,1a ∈−，则()h a 是偶函数，且在[]0,1上单调递增，进而得出其最大值为7．()21213g t m tm x x ++≥−=对任意a A ∈及[]1,1t ∈−恒成立，可得()()1717g g −≥ ≥，解得m 范围即可得出．【解答】解：（1） ()f x 在区间[]1,1−上是增函数， ∴()24220f x ax x ′=+−≥在区间[]1,1−上恒成立．()14220f a ∴′−=−−≥，()14220f a ′=+−≥，解得11a −≤≤． []1,1A ∴=−．（2）函数()f x 的两个极值点为1x 、2x ， ∴12x x a +=，122x x =−．∴()()1212121212322x x x x x x x x x x −−++≤−++==a A ∈ ，设()h a =[]1,1a ∈−，则()h a 是偶函数，且在[]0,1上单调递增．123x x ∴−的最大值为()17h =．设()2211g t m tm mt m ++=++=，[]1,1t ∈−，()123g t x x ≥−对任意a A ∈及[]1,1t ∈−恒成立，则()()1717g g −≥≥ ，解得3m ≤−或3m ≥． ∴存在实数3m ≤−或3m ≥，使得不等式21213m tm x x ++≥−对任意a A ∈及[]1,1t ∈−恒成立．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．【第09题】（2018•呼和浩特一模）已知函数()ln f x x =，()212g x x bx =−（b 为常数）． （1）当4b =时，讨论函数()()()h x f x g x =+的单调性；（2）2b ≥时，如果对于1x ∀，(]21,2x ∈，且12x x ≠，都有()()()()1212f x f x g x g x −<−成立，求实数b 的取值范围．【分析】（1）先求导，再根据导数和函数的单调性关系即可求出，（2）令()()()x f x g x ϕ=+，则问题等价于函数()x ϕ在区间(]1,2（1，2]上单调递减，即等价于()10x x b xϕ′=+−≤在区间(]1,2上恒成立，所以得1b x x ≥+，求出即可．【解答】解：（1）()21ln 2h x x x bx =+−的定义域为()0,+∞，当4b =时，()21ln 42h x x x x =+−，()2141'4x x h x x x x−+=+−=， 令()'0h x =，解得12x =−，22x =+(2x ∈时，()0h x ′<， 当(0,2x ∈或()2+∞时，()0h x ′>，所以，()h x 在(0,2和()2+∞单调递增；在(2单调递减． （2）因为()ln f x x =在区间(]1,2上单调递增， 当2b ≥时，()212g x x bx =−在区间(]1,2上单调递减， 不妨设12x x >，则()()()()1212f x f x g x g x −<−等价于()()()()1122f x g x f x g x +<+， 令()()()x f x g x ϕ=+，则问题等价于函数()x ϕ在区间(]1,2上单调递减， 即等价于()10x x b xϕ′=+−≤在区间(]1,2上恒成立， 所以得1b x x≥+在区间(]1,2上恒成立， 因为1y x x=+在(]1,2上单调递增， 所以max 15222y =+=，所以得5b≥．2【点评】本题考查了导数研究函数的单调性以及根据函数的增减性得到函数的最值，理解等价转化思想的运用，属于中档题．【第10题】（2018•邕宁区校级模拟）设函数()e xa f x x x=−，a ∈R 且0a ≠，e 为自然对数的底数． （1）求函数()f x y x=的单调区间； （2）若1ea =，当120x x <<时，不等式()()()211212m x x f x f x x x −−>恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）求出函数y 的导数y ′，利用导数判断函数y 的单调性与单调区间； （2）120x x <<时，()()()211212m x x f x f x x x −−>等价于()()1212m mf x f x x x −>−；构造函数()()mg x f x x=−，由()g x 在()0,+∞上为减函数，得出()0g x ′≤， 再利用构造函数求最值法求出m 的取值范围． 【解答】解：（1）函数()2e 1xf x a y x x==−， ()243e 2e 2e xx x a x a x x a y x x −⋅−⋅∴′==， ①当0a >时，由0y ′>得02x <<，由0y ′<得0x <或2x >； ②当0a <时，由0y ′>得0x <或2x >，由0y ′<得02x <<． 综上：①当0a >时，函数()f x y x=的增区间为()0,2，减区间为(),0−∞，()2,+∞； ②当0a <时，函数()f x y x=的增区间为(),0−∞，()2,+∞，减区间为()0,2． （2）当120x x <<时，()()()211212m x x f x f x x x −−>等价于()()1212m mf x f x x x −>−，即函数())e (e x m mg x f x x x x x=−=−−在()0,+∞上为减函数，则()()()1212221e 1e 10x x x x x m m g x x x x−−−−−+′=−+=≤， ()121e x m x x −∴≤−−；令()()121e x h x x x −=−−， 则()()11 e 2e 2x x h x x xx −−′=−=−，由()0h x ′=得ln 2e x =；当()0,ln 2e x ∈时，()0h x ′<，()h x 为减函数； 当()ln 2e,+x ∈∞时，()0h x ′>，()h x 为增函数．()h x ∴的最小值为()()()()22ln 2e 12ln 2e ln 2e 1e ln 2e 2ln 2ln 21ln 21h −=−−=−+=−−； 2ln 21m ∴≤−−，m ∴的取值范围是(22,ln 1 −−∞− ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，也考查了不等式恒成立问题，是综合题．三、【不等式证明】【第11题】（2018新课标Ｉ）已知函数()e ln 1x f x a x =−−．（1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间； （2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥． 【分析】（1）推导出0x >，()1e x f x a x ′=−，由2x =是()f x 的极值点，解得212ea =，从而()21e ln 12exf x x =−−，进而()211e 2e x f x x ′=−，由此能求出()f x 的单调区间． （2）当1e a ≥时，()e ln 1e xf x x ≥−−，设()e ln 1e xg x x =−−，则()e 1e x g x x ′=−，由此利用导数性质能证明当1ea ≥时，()0f x ≥． 【解答】解：（1）∵函数()e ln 1x f x a x =−−． ∴0x >，()1e xf x a x′=−， ∵2x =是()f x 的极值点，∴()212e 02f a ′=−=，解得212ea =，∴()21e ln 12exf x x =−−，∴()211e 2e x f x x ′=−， 当02x <<时，()0f x ′<，当2x >时，()0f x ′>， ∴()f x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增．（2）证明：当1e a ≥时，()e ln 1e xf x x ≥−−，设()e ln 1e x g x x =−−，则()e 1e x g x x ′=−， 由()e 10e x g x x ′=−=，得1x =，当01x <<时，()0g x ′<， 当1x >时，()0g x ′>， ∴1x =是()g x 的最小值点，故当0x >时，()()10g x g ≥=， ∴当1ea ≥时，()0f x ≥． 【点评】本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．【第12题】（2018新课标Ⅲ）已知函数()21e xax x f x +−=． （1）求曲线()y f x =在点()0,1−处的切线方程； （2）证明：当1a ≥时，()e 0f x +≥． 【分析】（1）()()()()2221e 1e e x xx ax ax x f x +−+−′=由()02f ′=，可得切线斜率2k =，即可得到切线方程． （2）可得()()()()()()2221e 1e 12ee x xxx ax ax x ax x f x +−+−+−′==−．可得()f x 在1,a−∞−，()2,+∞递减，在1,2a−递增，注意到1a ≥时，函数()21g x ax x =+−在()2,+∞单调递增，且()2410g a =+>．只需()min e f x ≥−，即可． 【解答】解：（1）()()()()()()2221e 1e 12e e x xxx ax ax x ax x f x +−+−+−′==−．∴()02f ′=，即曲线()y f x =在点()01−，处的切线斜率2k =， ∴曲线()y f x =在点()01−，处的切线方程方程为()12y x −−=． 即210x y −−=为所求．（2）证明：函数()f x 的定义域为：R ， 可得()()()()()()2221e 1e 12e e x xxx ax ax x ax x f x +−+−+−′==−．令()0f x ′=，可得12x =，210x a=−<， 当1,x a∈−∞−时，()0f x ′<，当1,2x a ∈− 时，()0f x ′>，当()2,x ∈+∞时，()0f x ′<．∴()f x 在1,a−∞−，()2,+∞递减，在1,2a − 递增，注意到1a ≥时，函数()21g x ax x =+−在()2,+∞单调递增，且()2410g a =+>．函数()f x 的图象如下：∵1a ≥，∴(]10,1a∈，则11e e a f a−=−≥−， ∴()1min e e af x =−≥−， ∴当1a ≥时，()e 0f x +≥．【点评】本题考查了导数的几何意义，及利用导数求单调性、最值，考查了数形结合思想，属于中档题．【第13题】（2016新课标Ⅲ）设函数()ln 1f x x x =−+． （1）讨论()f x 的单调性； （2）证明当()1,x ∈+∞时，11ln x x x−<<； （3）设1c >，证明当()0,1x ∈时，()11x c x c +−>．【分析】（1）求出导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域；（2）由题意可得即证ln 1ln x x x x <−<．运用（1）的单调性可得ln 1x x <−，设()ln 1F x x x x =−+，1x >，求出单调性，即可得到1ln x x x −<成立；（3）设()()11x G x c x c =+−−，求()G x 的二次导数，判断()G x ′的单调性，进而证明原不等式．【解答】解：（1）函数()ln 1f x x x =−+的导数为()11f x x′=−， 由()0f x ′>，可得01x <<；由()0f x ′<，可得1x >． 即有()f x 的增区间为()0,1；减区间为()1,+∞； （2）证明：当()1,x ∈+∞时，11ln x x x−<<，即为ln 1ln x x x x <−<． 由（1）可得()ln 1f x x x =−+在()1,+∞递减， 可得()()10f x f <=，即有ln 1x x <−；设()ln 1F x x x x =−+，1x >，()1ln 1ln F x x x ′=+−=， 当1x >时，()0F x ′>，可得()F x 递增，即有()()10F x F >=， 即有ln 1x x x >−，则原不等式成立； （3）证明：设()()11x G x c x c =+−−，则需要证明：当()0,1x ∈时，()0G x >（1c >）；()1ln x G x c c c ′=−−，()()2ln 0x G x c c ′′=−<，∴()G x ′在()0,1单调递减，而()01ln G c c ′=−−，()11ln G c c c ′=−−， 由（1）中()f x 的单调性，可得()01ln 0G c c ′=−−>，由（2）可得()()11ln 1ln 10G c c c c c ′=−−=−−<，∴()0,1t ∃∈，使得0G t ′=（），即()0,x t ∈时，()0G x ′>，(),1x t ∈时，()0G x ′<； 即()G x 在()0,t 递增，在(),1t 递减； 又因为：()()010G G ==，∴()0,1x ∈时()0G x >成立，不等式得证； 即1c >，当()0,1x ∈时，()11x c x c +−>．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，求出导数判断单调性，考查推理和运算能力，属于中档题．【第14题】（2015新课标Ｉ）设函数()2e ln x f x a x =−． （1）讨论()f x 的导函数()f x ′零点的个数； （2）证明：当0a >时，()22lnf x a a a≥+． 【分析】（1）先求导，在分类讨论，当0a ≤时，当0a >时，根据零点存在定理，即可求出；（2）设导函数()f x ′在()0,+∞上的唯一零点为0x ，根据函数()f x 的单调性得到函数的最小值()0f x ，只要最小值大于22ln a a a+，问题得以证明．【解答】解：（1）()2e ln x f x a x =−的定义域为()0,+∞， ∴()22e x xx af =′−． 当0a ≤时，()0f x ′>恒成立，故()f x ′没有零点， 当0a >时，∵2e x y =为单调递增，ay x=−单调递增， ∴()f x ′在()0,+∞单调递增， 又()0f a ′>，假设存在b 满足0ln2a b <<时，且14b <，()0f b ′<， 故当0a >时，导函数()f x ′存在唯一的零点；（2）由（1）知，可设导函数()f x ′在()0,+∞上的唯一零点为0x ， 当()00,x x ∈时，()0f x ′<， 当()0,x x ∈+∞时，()0f x ′>，故f(x)在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增， 所欲当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为()0f x ， 由于0202e 0x ax −=，所以()002a f x x =+02ax +2ln a a ≥2a +2ln a a． 故当0a >时，()22lnf x a a a≥+． 【点评】本题考查了导数和函数单调性的关系和最值的关系，以及函数的零点存在定理，属于中档题．【第15题】（2015安徽）设n ∗∈N ，n x 是曲线221n y x +=+在点()1,2处的切线与x 轴交点的横坐标． （1）求数列{}n x 的通项公式； （2）记2221321n n T x x x −= ，证明：14n T n≥． 【分析】（1）利用导数求切线方程求得切线直线并求得横坐标； （2）利用放缩法缩小式子的值从而达到所需要的式子成立．【解答】解：（1）2221'1'22n n y x n x ++=+=+（）（），曲线221n y x +=+在点()1,2处的切线斜率为22n +，从而切线方程为()()2221y n x −=+−．令0y =，解得切线与x 轴的交点的横坐标为1111n n x n n =−=++；（2）证明：由题设和（1）中的计算结果可知：22213222211321242n n n n T x x x−− = =， 当1n =时，114T =， 当2n ≥时，因为()()()()2222212221211212212222n n n n n n n n n n n x −−−−−−−=>=== ， 所以2112112234n T n n n − >××××= ；综上所述，可得对任意的n ∗∈N ，均有14n T n≥． 【点评】本题主要考查切线方程的求法和放缩法的应用，属基础题型．四、【零点问题】【第16题】（2018秋•龙岩期末）已知函数()()2ln 12f x x ax a x a =−−−+（a ∈R ）． （1）讨论()f x 的单调性；（2）令函数()()()()22e 1ln 1x g x f x x a x −=+−+−−，若函数()g x 有且只有一个零点0x ，试判断0x 与3的大小，并说明理由．【分析】（1）由()222211a x x a f x x a x x +− ′−−−−（1x >），分212a +≤和212a +>两类分析函数的单调性；（2）函数()()()()()222e 1ln 1e ln 12x x g x f x x a x ax x a −−=+−+−−=−−−+，求其导函数，可得()21e 1x g x a x −′=−−−，令()()h x g x ′=，对()h x 求导，分析可得()g x ′在()1,+∞上有唯一零点1x ，结合已知可得01x x =，则()()0000g x g x ′ = = ，由此可得()()0200013e ln 1101x x x x −−−−+−=−， 令()()()213e ln 111x t x x x x −−−−+−−（1x >）． 再利用导数判断其单调性，结合函数零点的判定可得03x <． 【解答】解：（1）()222211a x x a f x x a x x +− ′−−−−（1x >）， 当212a +≤，即0a ≤时，()0f x ′>在()1,+∞上恒成立，()f x 在()1,+∞上单调递增； 当212a +>，即0a >时，若21,2a x + ∈ ，则()0f x ′<，若2,2a x + ∈+∞，则()0f x ′>， ∴()f x 在21,2a + 上单调递减，在2,2a ++∞上单调递增； （2）函数()()()()()222e 1ln 1e ln 12x x g x f x x a x ax x a −−=+−+−−=−−−+． 则()21e 1x g x a x −′=−−−，易知()g x ′在()1,+∞上单调递增，当1x >且1x →时，()g x ′→−∞，x →+∞，()g x ′→+∞， ∴()g x ′在()1,+∞上有唯一零点1x ，当()11,x x ∈时，()0g x ′<，当()1,x x ∈+∞时，()0g x ′>． ∴()()1min g x g x =，由已知函数()g x 有且只有一个零点0x ，则01x x =． ∴()()0000g x g x ′ = = ，即()0022001e 01e ln 120x x a x ax x a −− −−= − −−−+=， 消a 得，()000222000011e ln 1e 2e 011x x x x x x x −−−−−−−+−= −−， ()()0200013e ln 1101x x x x −−−−+−=−， 令()()()213e ln 111x t x x x x −−−−+−−（1x >）． 则()()()2212e 1x t x x x −′=−+−． ∴()1,2x ∈时，()0t x ′>，()2,x ∈+∞时，()0t x ′<． ∴()t x 在()2,+∞上单调递减． ∵()210t =>，()13ln 202t =−+<， ∴()t x 在()2,3上有一个零点，在()3,+∞上无零点． 若()t x 在()1,2上有一个零点，则该零点必小于3． 综上，03x <．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，考查了推理能力与计算能力，属于难题．【第17题】（2019•大庆二模）已知函数()22ln f x x a x =−（a ∈R ）． （1）当12a =时，点M 在函数()y f x =的图象上运动，直线2y x =−与函数()y f x =的图象不相交，求点M 到直线2y x =−距离的最小值； （2）讨论函数()f x 零点的个数，并说明理由．【分析】（1）首先写出函数的定义域，对函数求导，分析在什么情况下满足距离最小，构造等量关系式，求解，得到对应的点的坐标，之后应用点到直线的距离公式进行求解即可；（2）对函数求导，分情况讨论函数的单调性，依次得出函数零点的个数． 【解答】解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞， 12a =时，()2ln f x x x =−，()12f x x x ′=−，令()1f x ′=，解得：1x =或12x =−，又()11f =，故图像上的点到直线20x y −−=的距离的最小值即为点()1,1M 到直线20x y −−=的距离，其距离d（2）由()0f x =，得22ln x a x =（0x >且1x ≠），设()2ln x g x x=（0x >且1x ≠），2y a =， 问题转化为讨论()y g x =的图象和2y a =的图象的交点个数问题， ()()22ln 1ln x x g x x−′=，（0x >且1x ≠），令()0g x ′=，解得x ，当01x <<或1x <<时，()0g x ′<，当x 时，()0g x ′>，故()g x 在()0,1，(递减，在)+∞递增，故()2e g x g =极小值，又01x <<时，()0g x <，当1x >时，()0g x >，故当20a <或22e a =即0a <或e a =时，直线2y a =与函数()y g x =的图象有1个交点， 当22e a >即e a >时，有2个交点， 当0e a ≤<时没有交点，故函数()f x 当0a <或e a =时1个零点，当0a <或e a =时2个零点，0e a ≤<时没有零点．【点评】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有图象上的点到直线的距离的最小值的求解，导数的几何意义，应用导数研究函数的零点的问题，注意对分类讨论思想的应用，要做到不重不漏，属于较难题目．【第18题】（2018秋•周口期末）已知函数()22ln f x ax x =−（a ∈R ）． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当21e a =时，若函数()y f x =的两个零点分别为1x ，2x （12x x <），证明：()12ln ln 21x x +>+．【分析】（1）求函数的定义域和函数的导数，分0a ≤和0a >分类讨论函数的单调性即可；（2）欲证()12ln ln 21x x +>+，只需证122e x x +>，即证122e x x >−，只需证()()212e 0f x f x −>=，将()22e f x −表示出来化简整理并构造函数()()442ln 2ln 2e 1etg t t =−+−−，由函数()g t 的单调性即可证明． 【解答】解：（1）易知()f x 的定义域是()0,+∞，()()22122ax f x ax x x−′=−=， 当0a ≤时，()0f x ′<，()f x 在()0,+∞递减，当0a >时，令()0f x ′>，解得x >，故()f x 在 递减，在 +∞递增； （2）证明：当21ea =时，()222ln e x f x x =−，由（1）知()()min e 1f x f ==−，且()10,e x ∈，()2e,x ∈+∞，又由()2e 22ln 20f =−>知22e x <，即()2e,2e x ∈，故()22e 0,e x −∈，由()222222ln 0e x f x x =−=，得22222e ln x x =，故()()()()222222222e 42e 2ln 2e 42ln 2ln 2e eex x f x x x x −−=−−=−+−−，()2e,2e x ∈，令()()442ln 2ln 2e etg t t t =−+−−，()e,2e t ∈， 则()()()24e 0e 2e t g t t t −′=>−， 故()g t 在()e,2e 递增，故()()e 0g t g >=，即()()212e 0f x f x −>=， 又()f x 在()0,e 上单调递减，故212e x x −<，即()12ln ln 21x x +>+．【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想考查不等式的证明，是一道综合题．（2018秋•咸阳期末）已知函数()221ln 2f x x a x =−（0a >）． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在[]1,e 上没有零点，求a 的取值范围．【分析】（1）求出()f x ′，解不等式()0f x ′>，()0f x ′<，即可求出()f x 的单调区间； （2）用导数求出函数()f x 在区间[]1,e 上没有零点，只需在[]1,e 上()min 0f x >或()max 0f x <，分类讨论，根据导数和函数的最值得关系即可求出．【解答】解：（1）()222a x a f x x x x −′=−=（0x >）， 令()0f x ′>，解得x a >；令()0f x ′<，解得0x a <<， ∴函数()f x 的单调增区间为(),a +∞，单调减区间为()0,a ．（2）要使()f x 在[]1,e 上没有零点，只需在[]1,e 上()min 0f x >或()max 0f x <， 又()1102f =>，只需在区间[]1,e 上，()min 0f x >． ①当e a ≥时，()f x 在区间[]1,e 上单调递减，则()()22min 1e e 02f x f a ==−>，解得0a <<与e a ≥矛盾． ②当1e a <<时，()f x 在区间[)1,a 上单调递减，在区间(],e a 上单调递增， ()()()2min 112ln 02f x f a a a ==−>，解得0a <1a <③当01a <≤时，()f x 在区间[]1,e 上单调递增，()()min 10f x f =>，满足题意， 综上所述，实数a 的取值范围是：0a <<【点评】本题是导数在函数中的综合运用，考查运用导数求单调区间，求极值，求最值，考查分类讨论的思想方法，同时应注意在闭区间内只有一个极值，则一定为最值的结论的运用．（2018秋•芜湖期末）已知函数()2ln 1f x x a x =−−（a ∈R ）． （1）求()f x 的极值点；（2）若函数()f x 在区间()0,1内无零点，求a 的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极值点即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，从而确定是否存在零点，进而判断a 的范围．【解答】解：（1）()222a x a f x x x x −′=−=（0x >），当0a ≤时，()0f x ′>，()f x 在()0,+∞递增，当0a >时，令()0f x ′>，解得x >，故()f x 在 递减，在 +∞ 递增，故x =是极小值点，无极大值点； （2）()22x af x x −′=（01x <<）， ∵01x <<，∴2022x <<，当0a ≤时，()0f x ′>，()f x 在()0,1递增， 故()()10f x f <=，函数无零点，符合题意； 当2a ≥时，()0f x ′<，()f x 在()0,1递减， 故()()10f x f >=，函数无零点，符合题意；当02a <<时，存在()00,1x =，使得()00f x ′=，故()f x 在 递减，在递增，又10e1a−<<，1e 0a f −> ，()10f f <=， 故()f x 在()0,1有零点，不合题意；综上，若函数()f x 在区间()0,1内无零点，则2a ≥或0a ≤．【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。

导数经典例题精讲导数知识点导数是一种特殊极限几个常用极限：〔1〕1lim 0n n→∞=，lim 0n n a →∞=〔||1a <〕；〔2〕00lim x xx x →=，0011limx x x x →=.两个重要极限 ：〔1〕0sin lim 1x x x →=；〔2〕1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭(e=…). 函数极限四那么运算法那么：假设0lim ()x x f x a →=，0lim ()x xg x b →=，那么 (1)()()0lim x x f x g x a b →±=±⎡⎤⎣⎦；(2)()()0lim x x f x g x a b →⋅=⋅⎡⎤⎣⎦;(3)()()()0lim 0x xf x ab g x b→=≠. 数列极限四那么运算法那么：假设lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==，那么(1)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞⋅=⋅(3)()lim 0n n n a ab b b→∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅( c 是常数))(x f 在0x 处导数〔或变化率或微商〕 .瞬时速度：00()()()lim limt t s s t t s t s t t tυ∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 瞬时加速度：00()()()lim limt t v v t t v t a v t t t∆→∆→∆+∆-'===∆∆. )(x f 在),(b a 导数：()dy df f x y dx dx ''===00()()lim limx x y f x x f x x x∆→∆→∆+∆-==∆∆. 函数)(x f y =在点0x 处导数几何意义函数)(x f y =在点0x 处导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处切线斜率)(0x f '，相应切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数导数(1) 0='C 〔C 为常数〕.(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='.x x sin )(cos -='(4) xx 1)(ln ='；e a x xa log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='.导数运算法那么〔1〕'''()u v u v ±=±.〔2〕'''()uv u v uv =+.〔3〕'''2()(0)u u v uv v v v -=≠. 复合函数求导法那么设函数()u x ϕ=在点x 处有导数''()x u x ϕ=，函数)(u f y =在点x 处对应点U 处有导数''()u y f u =，那么复合函数(())y f x ϕ=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =⋅，或写作'''(())()()x f x f u x ϕϕ=. 【例题解析】 考点1 导数概念对概念要求：了解导数概念实际背景，掌握导数在一点处定义与导数几何意义，理解导函数概念.例1． ()f x '是31()213f x x x =++导函数，那么(1)f '-值是 ．[考察目] 此题主要考察函数导数与计算等根底知识与能力. [解答过程] ()22()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=故填3.例2.设函数()1x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x fx >,假设M P,那么实数a 取值范围是( )A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D. [1,+∞) [考察目]此题主要考察函数导数与集合等根底知识应用能力. [解答过程]由0,,1;, 1.1x a x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时综上可得M P 时,1.a ∴>考点2 曲线切线〔1〕关于曲线在某一点切线求曲线y=f(x)在某一点P 〔x,y 〕切线，即求出函数y=f(x)在P 点导数就是曲线在该点切线斜率.〔2〕关于两曲线公切线假设一直线同时与两曲线相切，那么称该直线为两曲线公切线. 典型例题例3.函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各有一个极值点．〔I 〕求24a b -最大值；〔II 〕当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处切线为l ，假设l 在点A 处穿过函数()y f x =图象〔即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 一侧进入另一侧〕，求函数()f x 表达式．思路启迪：用求导来求得切线斜率.解答过程：〔I 〕因为函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根，设两实根为12x x ，〔12x x <〕，那么21x x -=2104x x <-≤．于是04<，20416a b <-≤，且当11x =-，23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -最大值是16．〔II 〕解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处切线l 方程是(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21(1)32y a b x a =++--，因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =图象，所以21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近函数值异号，那么1x =不是()g x 极值点．而()g x 321121(1)3232x ax bx a b x a =++-++++，且假设11a ≠--，那么1x =与1x a =--都是()g x 极值点．所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--．解法二：同解法一得21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =图象，所以()g x 在1x =两边附近函数值异号，于是存在12m m ，〔121m m <<〕．当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >； 或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <．设233()1222a a h x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >； 或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <．由(1)0h =知1x =是()h x 一个极值点，那么3(1)21102a h =⨯++=，所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--．4y x =一条切线l 与直线480x y +-=垂直，那么l 方程为〔 〕A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=[考察目]此题主要考察函数导数与直线方程等根底知识应用能力.[解答过程]与直线480x y +-=垂直直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点切线为430x y --=. 应选A.例5．过坐标原点且与x 2+y 2-4x +2y +25=0相切直线方程为 ( )A.y =-3x 或y =31x B. y =-3x 或y =-31x C.y =-3x 或y =-31x D. y =3x 或y =31x[考察目]此题主要考察函数导数与圆方程、直线方程等根底知识应用能力. [解答过程]解法1：设切线方程为,0.y kx kx y =∴-= 又()()()22521,2,1.2x y -++=∴-圆心为 应选A.解法2:由解法1知切点坐标为1331(,),,,2222⎛⎫- ⎪⎝⎭由 应选A.例 6.两抛物线a x y C x x y C +-=+=2221:,2:, a 取何值时1C ，2C 有且只有一条公切线，求出此时公切线方程.思路启迪：先对a x y C x x y C +-=+=2221:,2:求导数.解答过程：函数x x y 22+=导数为22'+=x y ，曲线1C 在点P(12112,x x x +)处切线方程为))(2(2)2(11121x x x x x y -+=+-，即 211)1(2x x x y -+= ①曲线1C 在点Q ),(222a x x +-切线方程是)(2)(222x x x a x y --=+--即假设直线l 是过点P 点与Q 点公切线，那么①式与②式都是l 方程，故得1,1222121+=--=+x x x x ，消去2x 得方程，0122121=+++a x x假设△=0)1(244=+⨯-a ，即21-=a 时，解得211-=x ，此时点P 、Q 重合.∴当时21-=a ，1C 与2C 有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为14y x =- .考点3 导数应用中学阶段所涉及初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质重要而有力工具，特别是对于函数单调性，以“导数〞为工具，能对其进展全面分析，为我们解决求函数极值、最值提供了一种简明易行方法，进而与不等式证明，讨论方程解情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:1.. 求函数解析式;2. 求函数值域;3.解决单调性问题;4.求函数极值〔最值〕;5.构造函数证明不等式. 典型例题例7．函数)(x f 定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内图象如下图，那么函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点〔 〕A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个[考察目]此题主要考察函数导数与函数图象性质等根底知识应用能力.[解答过程]由图象可见,在区间(,0)a 内图象上有一个极小值点.应选A.例8 .设函数32()2338f x xax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．〔Ⅰ〕求a 、b 值；〔Ⅱ〕假设对于任意[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 取值范围． 思路启迪：利用函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值构造方程组求a 、b值．解答过程：〔Ⅰ〕2()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，那么有(1)0f '=，(2)0f '=．即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩，．解得3a =-，4b =．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知，32()29128f x x x x c =-++， 当(01)x ∈，时，()0f x '>； 当(12)x ∈，时，()0f x '<； 当(23)x ∈，时，()0f x '>．所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+．那么当[]03x ∈，时，()f x 最大值为(3)98f c =+． 因为对于任意[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立， 所以298c c +<，解得 1c <-或9c >， 因此c 取值范围为(1)(9)-∞-+∞，，．例9.函数y x x =+-+243值域是_____________.思路启迪：求函数值域，是中学数学中难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数单调性求出最大、最小值。

导数导数基础：1. 导数（导函数的简称）的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=. ②以知函数定义域为，的定义域为，则与关系为.2. 函数在点处连续与点处可导的关系：函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.常用性质：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P 处的切线的斜率是，切线方程为0x )(x f y =x 0x x ∆y )()(00x f x x f y -∆+=∆x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00)(x f y =0x x x ∆+0x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000)(x f y =0x )(x f y =0x )(0'x f 0|'x x y =)(0'x f x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000)(x f y =A )('x f y =BA BB A ⊇)(x f y =0x 0x )(x f y =0x )(x f y =0x )(x f y =0x )(x f y =))(,(0x f x )(x f y =))(,(0x f x )(0'x f ).)((0'0x x x fy y -=-4. 求导数的四则运算法则：（为常数）②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.I.（为常数）（）.5. 复合函数的求导法则：或6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果＞0，则为增函数；如果＜0，则为减函数''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=c )0(2'''≠-=⎪⎭⎫⎝⎛v v u v vu v u 0'=C Cxx cos )(sin '=2'11)(arcsin x x -=1')(-=n n nx x Rn ∈xx sin )(cos '-=2'11)(arccos x x --=xx 1)(ln '=e x x a a log 1)(log '=11)(arctan 2'+=x x xx e e =')(aa a x x ln )('=11)cot (2'+-=x x arc )()())(('''x u f x f x ϕϕ=xu x u y y '''⋅=)(x f y =)('x f )(x f y =)('x f )(x f y =注：①是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如在上并不是都有，有一个点例外即0时f （x ） = 0，同样是f （x ）7. 极值的判别方法：（极值是在附近所有的点，都有＜，则是函数的极大值，极小值同理）当函数在点处连续时，②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；例1. 8．函数313y x x =+- 有 （ ）A.极小值-1，极大值1B. 极小值-2，极大值3C.极小值-1，极大值3D. 极小值-2，极大值26．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ） A ．72 B ．36 C ．12 D ．00)( x f 32x y =),(+∞-∞0)( x f 0)( x f 0x )(x f )(0x f )(0x f )(x f )(x f 0x 0x )('x f )('x f )(0x f 0x )('x f )('x f )(0x f6．函数x xy ln =的最大值为（ ）A ．1-eB ．eC ．2e D ．3102．函数x e x x f -⋅=)(的一个单调递增区间是（ ）(A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,03．已知对任意实数x ，有()()()()f x f xg x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，4．若函数b bx x x f 33)(3+-=在()1,0内有极小值，则（ ）（A ） 10<<b （B ） 1<b （C ） 0>b （D ）21<b5．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+=D ．430x y ++=6．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）Ａ．294eＢ．22e Ｃ．2e Ｄ．22e2．若'0()3fx =-，则000()(3)limh f x h f x h h →+--=（ ）A ．3-B ．6-C ．9-D ．12- 1.(2005全国卷Ⅰ文)函数93)(23-++=x ax x x f ,已知)(x f 在3-=x 时取得极值,则a =( )（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）52．(2008海南、宁夏文)设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ）A. 2e B. e C. ln 22D. ln 23．（2005广东）函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为（ ）A ．),2(+∞B ．)2,(-∞C ．)0,(-∞D ．（0，2）4.（2008安徽文）设函数1()21(0),f x x x x =+-< 则()f x （ ）A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数5．（2007福建文、理)已知对任意实数x 有f(－x)=－f(x)，g()(x)，且x>0时，f’(x)>0，g’(x)>0，则x<0时（ ）A f’(x)>0，g’(x)>0B f’(x)>0，g’(x)<0C f’(x)<0，g’(x)>0D f’(x)<0，g’(x)<0 6.(2008全国Ⅱ卷文)设曲线2ax y =在点（1,a ）处的切线与直线062=--y x 平行,则=a ( )A ．1B ．12C ．12-D ．1-导数答案。

5.2.2导数的四则运算要点 导数的运算法则法则1：函数的和(差)的导数导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形(一般化)，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u ′(x)±v ′(x)±…±w ′(x)． 法则2：函数的积的导数(1)(特殊化)当g(x)＝c(c 为常数)时，法则2可简化为[cf(x)]′＝c f ′(x)＋c·[f(x)]′＝0＋cf ′(x)＝cf ′(x)，即 [cf(x)]′＝cf ′(x)．(2)由上述结论及法则1可得[af(x)＋bg(x)]′＝af ′(x)＋bg ′(x)，其中a ，b 为常数．(3)函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积的导数，即[u(x)v(x)×…×w(x)]′＝u ′(x)v(x)×…×w(x)＋u(x)v ′(x)×…×w(x)＋…＋u(x)v(x)×…×w ′(x)． 法则3：函数的商的导数(1)注意[f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x ).(2)(特殊化)当f(x)＝1，g(x)≠0时，f (x )g (x )＝1g (x ) ，[1g (x )]′＝－g ′(x )[g (x )]2.【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)已知函数y ＝2ln x －2x ，则y ′＝2x－2x ln2.( )(2)已知函数y ＝3sin x ＋cos x ，则y ′＝3cos x ＋sin x ．( ) (3)函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1)．( ) (4)若函数f (x )＝e xx 2，则f ′(x )＝e x (x ＋2)x 3.( )【答案】（1）√（2）×（3）√（4）×2．已知函数f (x )＝cos x ＋ln x ，则f ′(1)的值为( ) A ．1－sin 1 B ．1＋sin 1 C ．sin 1－1 D ．－sin 1 【答案】A【解析】因为f ′(x )＝－sin x ＋1x ，所以f ′(1)＝－sin 1＋11＝1－sin 1.故选A.3．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( )A ．y ′＝cos 2 x ＋sin 2 xB ．y ′＝cos 2 x －sin 2 xC ．y ′＝2cos x ·sin xD ．y ′＝cos x ·sin x 【答案】B【解析】y ′＝(sin x ·cos x )′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x )＝cos 2x －sin 2x . 4．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.【答案】1【解析】f (x )＝4x 2＋4ax ＋a 2，∵f ′(x )＝8x ＋4a ，∴f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1.题型一 利用运算法则求函数的导数【例1】根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． (1)y ＝x 2－2x －4ln x ； (2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝x ex ；(4)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(5)y ＝x ＋sin x 2cos x2.【解析】(1)y ′＝2x －2－4x .(2)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′ ＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x＝sin x cos x ＋xcos 2x.(3)y ′＝x ′e x －x ·(e x )′(e x )2＝1－xe x(4)∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′ ＝3x 2＋12x ＋11.(5)先使用三角公式进行化简，得y ＝x ＋12sin x∴y ′＝⎝⎛⎭⎫x ＋12sin x ′＝x ′＋⎝⎛⎭⎫12sin x ′＝1＋12cos x . 观察各函数的特点，能化简的先化简，再用求导法则求解．【方法归纳】利用导数的公式及运算法则求导的思路【跟踪训练】(1)已知f (x )＝e xx(x ≠0)，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0的值为________．【答案】(1)12【解析】(1)因为f ′(x )＝(e x )′x －e x ·x ′x 2＝e x (x －1)x 2所以由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，得e x 0(x 0－1)x 20＋e x 0x 0＝0，解得x 0＝12.(2)求下列函数的导数．①y ＝x －2＋x 2；②y ＝3x e x －2x ＋e ；③y ＝ln x x 2＋1；④y ＝x 2－sin x 2cos x 2.【解析】(2)①y ′＝2x －2x －3； ②y ′＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2；③y ′＝x 2＋1－2x 2·ln xx (x 2＋1)2；④因为y ＝x 2－sin x 2cos x 2＝x 2－12sin x ，所以y ′＝2x －12cos x .题型二 导数运算法则的综合应用【例2】已知曲线y ＝xx －1在(2,2)处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0平行，求实数a 的值．【解析】因为y ′＝x ′(x －1)－(x －1)′x (x －1)2＝－1(x －1)2所以y ′|x ＝2＝－1即－a2＝－1所以a ＝2.【变式探究1】本例条件不变，求该切线到直线ax ＋2y ＋1＝0的距离． 【解析】由例2知切线方程为x ＋y －4＝0直线方程x ＋y ＋12＝0所以所求距离d ＝12＋42＝924.【变式探究2】本例条件不变，求与直线y ＝－x 平行的过曲线的切线方程． 【解析】由例2知y ′＝－1(x －1)2令－1(x －1)2＝－1得x ＝0或2所以切点为(0,0)和(2,2)， 所以切线方程为x ＋y －4＝0. 【方法归纳】关于求导法则的综合应用(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． 【跟踪训练2】已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数f ′(x )＝2x －8. (1)求a ，b 的值．(2)设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程． 【解析】(1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，所以f ′(x )＝2ax ＋b ， 又知f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8. (2)由(1)可知g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3， 所以g ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＋2x －8， 所以g ′(0)＝e 0sin 0＋e 0cos 0＋2×0－8＝－7， 又知g (0)＝3，所以g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)． 即7x ＋y －3＝0.【易错辨析】混淆曲线下的相切与导数背景下的相切致错．【例3】若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9(a ≠0)都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564 B ．－1C ．－74或－2564D ．－74【答案】A【解析】因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2，设过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则在点(x 0，x 30)处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，所以3x 20－2x 30＝0，解得x 0＝0或x 0＝32. 当x 0＝0时，由直线y ＝0与曲线y ＝ax 2＋154x －9相切可得方程ax 2＋154x －9＝0有两个相等的实数根，此时Δ＝(154)2－4a ×(－9)＝0，解得a ＝－2564；当x 0＝32时，由直线y ＝274x －274与曲线y ＝ax 2＋154x －9相切，联立直线方程和曲线方程并消去y ，得ax 2－3x －94＝0，此时Δ＝9－4×a ×(－94)＝0，解得a ＝－1.综上可得，a ＝－1或a ＝－2564.【易错警示】 出错原因有的同学认为x 0＝0时，此时直线y ＝0与曲线y ＝x 3相交，就把这种情况舍去了，错选了B. 纠错心得正确理解导数背景下的相切．例如直线y ＝0与曲线y ＝x 3在x ＝0处是相切的.一、单选题1．若()e ln2xf x x =，则()f x '等于（ ）A ．e e ln 22xx x x+B ．e ln 2xx x -C ．e e ln 2xxx x+D ．12e x x⋅【答案】C 【分析】直接根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得； 【解析】解：()()()ee ln 2e ln 2e ln 2xxx x f x x x x x'''=⋅+⋅=+.故选：C.2．已知函数()()()21ln f f x x x x =+-'，则()2f '=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B 【分析】对函数求导，将1x =代入导函数，即可得到导函数的表达式，再代入2x =即可得到结果. 【解析】因为()()1211f x x f x ⎛⎫''=+- ⎪⎝⎭，所以得到()()()121112f f ''=+⋅-=，因此()222f x x x'=+-，所以()24123f '=+-=． 故选：B.3．已知函数()()42e 21x f x x -+=⋅+，则()0f '=（ ）A ．2eB ．1C ．27eD ．29e -【答案】C 【分析】由基本初等函数的导数公式，结合复合函数的导数运算法则求f x ，进而求()0f '.【解析】()22e ex x -+-+=-'，43(21)8(21)x x '⎡⎤+=+⎣⎦，∴()()422e 21e x x x f x -+-+=-⋅++'()3821x ⋅+，当0x =时，()2220e 8e 7e f '=-+=.故选：C4．下列求导计算正确的是（ ） A ．2ln ln 122x x x x '+⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2[ln(21)]21x x '+=+ C ．()11122ln 2x x ++'=D ．2sin cos cos 22x x x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭ 【答案】B 【分析】利用导数的四则运算和复合函数的导数，即得解 【解析】2ln 1ln 22x x x x '-⎛⎫=⎪⎝⎭，A 错误；2[ln(21)]21x x '+=+，B 正确； ()1122ln 2x x ++'=，C 错误；2sin cos (sin )sin cos 22x x x x x x x x '⎛⎫'==+ ⎪⎝⎭，D 错误．故选：B ．5．已知数列{}n c 为等比数列，其中11c =，20224c =，若函数()()()122022()f x x x c x c x c =--⋅⋅⋅-，()f x '为()f x 的导函数，则(0)f '=（ ） A ．5052 B ．10112 C ．20222 D ．40222【答案】C 【分析】根据等比数列的性质和导数的运算法则即可求出. 【解析】11c =，20224c =，{}n c 为等比数列，12022220214c c c c ∴==⋅⋅⋅=，()()()()()()()1011202212202212202212202242c c c f x x c x c x c x x c x c x c ''⋅⋅⋅===--⋅⋅⋅-+--⋅⋅⋅-⎡⎤⎣⎦，则2022122022(0)2f c c c '=⋅⋅⋅=.故选:C.6．若函数()()()()()2019202020212022f x x x x x =----，则()2021f '=（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．1【答案】A 【分析】构造函数()()()()201920202022g x x x x =---，再用积的求导法则求导计算得解. 【解析】令()()()()201920202022g x x x x =---，则()()()2021f x x g x =-⋅， 求导得：()()()()12021f x g x x g x ''=⋅+-⋅， 所以()()()202120212112f g '==⨯⨯-=-. 故选：A7．设()322f x x ax x b =+-+，若()14f '=，则a 的值是（ ）A ．94B ．32C ．1-D ．52-【答案】B【解析】f ′(x )＝3x 2＋2ax －2，故f ′(1)＝3＋2a －2＝4，解得a ＝32. 8．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e )＋ln x ，则f ′(e )＝（ ） A ．e －1 B ．－1 C ．－e －1 D ．－e【答案】C 【分析】对函数求导得''1()2()f x f e x=+，再将x e =代入，解方程即可得到答案；【解析】∴f (x )＝2xf ′(e )＋ln x ，∴''1()2()f x f e x =+，∴''1()2()f e f e e =+，解得'1()f e e=-，故选：C.二、多选题9．（多选）下列求导运算正确的是（ ） A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B ．()sin cos cos sin x x x x +'=-C ．2ln 1ln x xx x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()2cos 2sin x x x x '=-【答案】BC 【解析】A 中(1)x x+′＝1－21x ，A 不正确；D 中，(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，D 不正确；BC 正确. 答案 BC10．下列求导数运算正确的是（ ） A ．（2021x ）′=x 2021x ﹣1B ．（x 2021+log 2x ）′=2021x 202012xln +C ．（cosx sinx ）′222sin x cos x sin x-=D ．（x 23x ）′=2x 3x +x 23x ln3 【答案】BD 【分析】根据题意，依次计算选项中函数的导数，即可得答案. 【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，（2021x ）′=2021x ln 2021，A 错误；对于B ，（x 2021+log 2x ）′=（x 2021）′+（log 2x ）′=2021x 202012xln +，B 正确； 对于C ，（cosx sinx）′221sinx sinx cosx cosx sin x sin x -⋅-⋅==-，C 错误；对于D ，（x 23x ）′=（x 2）′•3x +x 2×（3x ）′=2x 3x +x 23x ln 3，D 正确. 故选：BD.11．设函数()cos f x x =，则下列说法正确的是（ ） A ．π12f=-'⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦B ．()2sin cos f x x x x x x ='⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．()f x 在π,02⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为π02x y +-=D ．[()]cos sin xf x x x x =+' 【答案】BC 【分析】利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，对四个选项一一求导，即可验证. 【解析】对于A ：因为()cos f x x =，所以()cos =022f ππ=，所以π0=02f'='⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故A 错误；对于B ：因为()cos f x x =，所以()cos f x x x x =，所以()2sin cos f x x x x x x ='⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故B 正确； 对于C ：因为()cos f x x =，所以()sin f x x '=-，所以()sin =122f ππ'=--.而()cos =022f ππ=，所以()f x 在π,02⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为π02x y +-=，故C 正确；对于D ：()[()]cos cos sin xf x x x x x x '==-'.故D 错误. 故选：BC第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．函数()321y x =+在0x =处的导数是______． 【答案】6 【分析】将函数解析式展开，再求导，之后代入0x =即可得到结果. 【解析】将函数解析式展开得到：3281261y x x x =+++，求导得224246y x x '=++， 所以06x y ='=． 故答案为：6. 13．函数()1cos sin x f x x -=的图象在点π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为___________. 【答案】π102x y -+-= 【分析】先利用基本函数的导数公式和导数的运算法则求导，再利用导数的几何意义进行求解. 【解析】 因为()1cos sin xf x x-=， 所以'''2(1cos )sin (1cos )(sin )()sin x x x x f x x -⋅--⋅=2222sin cos cos 1cos sin sin x x x x x x-+-==，则所求切线的斜率为'2π1cosπ2()1π2sin 2k f -===， 所以所求切线方程为π12y x -=-， 即π102x y -+-=. 故答案为：π102x y -+-=. 14．下列各函数的导数：①1212x -'=；②()ln x x a a x '=；③()sin 2cos 2x x '＝；④(1x x +)′＝21(1)x +.其中正确的有________.【答案】①④【分析】 直接利用导数公式计算即可求解.【解析】112212x x -'⎛⎫'== ⎪⎝⎭，①正确； ()ln x x a a a '＝，②错误；()()sin2cos222cos2x x x x ''＝＝，③错误； (1x x +)′＝2(1)(1)(1)x x x x x ''+-⋅++＝21(1)x x x +-+＝21(1)x +，④正确. 故答案为：①④.四、解答题15．求下列函数的导数；（1）32235y x x =-+（2）241y x x =++ （3）22log x y x =+（4）n x y x e =（5）31sin x y x-=（6）sin sin cos x y x x=+ 【答案】 （1）266y x x '=-（2）()22241y x x --'=--+（3）12ln 2ln 2x y x '=+ （4）1n x n x y nx e x e -'=+（5）()2323sin cos 1sin x x x x y x --'=（6）11sin 2y x '=+ 【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得；（1）解：因为32235y x x =-+，所以266y x x '=-；（2） 解：因为()11242411y x x x x --=+=+++，所以()22241y x x --'=--+； （3）解：因为22log x y x =+，所以12ln 2ln 2x y x '=+； （4）解：因为n x y x e =，所以()()1n x n x n x n x y x e x e nx e x e -'''=+=+；（5） 解：因为31sin x y x -=，所以()()()()()3323221sin sin 13sin cos 1sin sin x x x x x x x x y x x ''-----'== （6） 解：因为sin sin cos x y x x=+，所以()()()()()()()22sin sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin 11sin 2sin cos sin cos x x x x x x x x x x x x y x x x x x ''+-++--'===+++。

第01讲导数的概念及运算 (精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：导数的概念高频考点二：导数的运算高频考点三：导数的几何意义①求切线方程（在型）②求切线方程（过型）③已知切线方程（或斜率）求参数④导数与函数图象⑤共切点的公切线问题⑥不同切点的公切线问题⑦与切线有关的转化问题第四部分：高考真题感悟第五部分：第01讲导数的概念及运算（精练）1、平均变化率（1）变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。

如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值. （2）平均变化率一般地，函数()f x 在区间[]21,x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --.（3）如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法：①作差：求出21()()y f x f x ∆=-和21x x x ∆=-②作商：对所求得的差作商，即2121()()f x f x y x x x -∆=∆-. 2、导数的概念（1）定义：函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim，我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数,记作()　或0x f '即　0x x y ='()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000limlim ＝. （2）定义法求导数步骤：① 求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-； ② 求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③ 求极限，得导数：00000()()'()limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆.3、导数的几何意义函数()y f x =在点0x x =处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线的斜率k ，即0()k f x '=.4、基本初等函数的导数公式5若()f x '，()g x '存在，则有 （1）[()()]()()f x g x f x g x '''±=±（2）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅ （3）2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''⋅-⋅'= 6、复合函数求导复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．7、曲线的切线问题（1）在型求切线方程已知：函数)(x f 的解析式.计算：函数)(x f 在0x x =或者))(,(00x f x 处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标)(0x f （方法：把0x x =代入原函数)(x f 中），切点))(,(00x f x . 第二步：计算切线斜率'()k f x =.第三步：计算切线方程.切线过切点))(,(00x f x ，切线斜率)('0x f k =。