7.4分式方程1

《分式方程》讲义一、什么是分式方程在我们学习数学的过程中，方程是一个非常重要的概念。

之前我们接触过一元一次方程、二元一次方程等，今天我们要来认识一种新的方程类型——分式方程。

那到底什么是分式方程呢？分式方程是指方程里含有分式，并且分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程。

比如说，像这样的方程：＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ ，＄＼frac{2}｛x} ＋ 3 ＝ 5$ ，它们都是分式方程。

因为在这些方程中，分母中都含有未知数。

二、分式方程的解法接下来，我们重点来学习一下分式方程的解法。

解分式方程的一般步骤可以总结为以下几步：1、去分母这是解分式方程最为关键的一步。

我们要找到所有分式的最简公分母，然后将方程两边同时乘以这个最简公分母，把分式方程化为整式方程。

例如，对于方程＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ ，最简公分母是＄x 1$ ，方程两边同时乘以＄x 1$ ，得到＄x ＝ 2(x 1)＄。

2、解整式方程完成去分母后，我们得到了一个整式方程。

接下来，按照解整式方程的方法求解这个方程。

就以上面得到的整式方程＄x ＝ 2(x 1)＄为例，展开得到＄x ＝2x 2$ ，移项可得＄2x x ＝ 2$ ，即＄x ＝ 2$ 。

3、检验这一步非常重要，却很容易被忽略。

我们将求得的解代入原分式方程的分母中，如果分母不为零，那么这个解就是原分式方程的解；如果分母为零，那么这个解就是增根，原分式方程无解。

还是以方程＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ 为例，把＄x ＝ 2$ 代入分母＄x 1$ ，＄2 1 ＝ 1$ ，不为零，所以＄x ＝ 2$ 是原方程的解。

三、分式方程的增根在解分式方程的过程中，增根是一个需要特别关注的概念。

增根是分式方程化为整式方程后，产生的使分式方程的分母为零的根。

为什么会产生增根呢？这是因为在去分母的过程中，我们乘以了一个含有未知数的式子，这个式子有可能为零。

而等式两边同乘以零是不符合数学规则的，所以可能会产生额外的根，也就是增根。

分式方程是中学数学的重要内容，它是求解方程的一类特殊方法。

因此，分式方程的知识点有以下几方面：
一、分式方程的概念
分式方程是指用一个分式的方式表示方程的一种方法，它是一种由分式组成的等式，它的左右两端都是分式，从而把求根的问题转换成分式的比较，并设法确定方程的根。

二、求解分式方程的步骤
1.将分式方程中的项相同的分式化简，并且把等式的左右两端分别化简成分数或最简分式。

2.将分式方程中间，求解未知数的方法就是将分式的左右两端乘以分母，使之成为整式，然后使整式等于0，再解出未知数。

3.有时会出现分式方程中的未知数不能解出的情况，此时可以将此分式方程化为一元一次不等式来求解。

三、分式方程的应用
分式方程在解决一些实际问题时有着重要作用，如求解收益、组成比例、比较等。

由此可见，掌握分式方程的方法对解决实际问题有着重要意义。

四、注意事项
1.求解分式方程时需要注意把等式的左右两端分别化简成分数或最简分式。

2.使用分式方程时，要注意看清题干的字眼，要分清求解的是方程还是不等式，然后采取不同的方法
3.求解分式方程时还要注意确保所求解的方程或不等式有解。

4.分式方程的解可以使用数学软件得出。

§7.4分式方程一、背景介绍：本节的安排与老教材不一样，老教材是把分式方程与一元二次方程安排在一起，而新教材是在学生学习了分式及运算后马上学习分式方程，充分体现了分式方程与分式的联系及分式方程与整式方程的区别，让学生体会方式方程也是解决实际问题的重要手段。

分式方程（一）二、教学设计【教材内容分析】本节的主要内容是分式方程及其解法，分式方程与整式方程在概念上是不同的，但他们在解法上却有着一定的联系和区别，即分式方程最终要转化为整式方程来解，但最后要验根这是学生最容易忘记的，所以教学中要强调。

【教学目标】1、会根据定义判别分式方程与整式方程，了解分式方程增根产生的原因，掌握验根的方法。

2、掌握可化为一元二次方程或一元二次方程的分式方程的解法。

3、渗透转化思想。

【教学重点】分式方程的去分母及根的检验【教学难点】方程根的检验及产生增根的原因【教学过程】（一）创设情景，引入新课情景：（出示节前图片）某地电话公司调低了长途电话的话费标准，每分费用降低了25％，因此按原收费标准6元话费的通话时间，在新收费标准下可多通话5分时间，问前后两种收费标准每分收费各是多少？（1）本题中的主要等量关系是什么？（2）如果设原来的收费标准是x元/分，可列怎样的方程？（3）该方程与我们学过的一元一次方程有什么不同？与学生讨论后得到题中的等量关系，并列出方程：8x－6x=5 ，再举例：如1 2x213x-=，2233xx+=+，12xx+=等，让学生观察这些方程与以前学过的方程有什么不同之处？待学生说出后，师生共同归纳得出分式方程的概念：板书：像这样只含分式或整式，并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

〖设计说明：通过创设情景，让学生了解分式方程来源于实际，学习解分式方程是为了解决生活中的实际问题，体会到解分式方程的重要性〗（二）理解应用，体验成功。

练一练：你能否根据分式方程的概念举一些分式方程的例子呢？（学生举例）如：1 2x －23x=1 ,x＋3x＋2=23, x＋1x=2等。

分式方程知识点归纳分式方程是指含有分子和分母的方程，分子和分母分别为代数式或数字，并且方程中包含有未知数的方程。

下面将分式方程的知识点进行归纳，以便更好地理解和应用分式方程。

一、基本概念：1.分式方程的定义：含有未知数、带有分式形式的等式称为分式方程。

2.分式的定义：分式是由一个或多个代数式构成的比。

二、分式方程的解的性质：1.分式方程的等价方程：分式方程可以转化为多项式方程进行求解，这样可以得到等价的方程，两者的解是相同的。

2.分式方程的根的性质：一个分式方程的解，如果使得分式方程中的分子等于0，则该解就是方程的根。

三、分数的性质：1.分式的约分：分式的分子和分母同时除以它们的公因式，可以得到分式的约分式。

2.分式的通分：将不同分母的分式通过找到它们的最小公倍数，转化为具有相同分母的等价分式。

3.分数的四则运算：分数之间可以进行加减乘除的运算，需要注意分子和分母的相应运算。

四、分式方程的解法：1.乘法解法：对分式方程的两边同乘以一个使得方程中的分母消去的数，从而化简为一个多项式方程。

2.加减消去解法：对分式方程的两边同乘以使得方程中的分母消去的数，然后将方程中的分式整理为一个多项式，并进行求解。

3.代入解法：将分式方程中的一个未知数表示成另一个未知数的代数式，再代入到分式方程中，得到一个不含有代入的未知数的分式方程，进而进行求解。

4.通分解法：对分式方程的两边同时乘以方程中所有的分母的积，将分式方程化简为一个多项式方程进行求解。

五、分式方程的解的判定：1.当方程的分式的分子为0时，方程的解为0。

2.当方程的分式的分子和分母存在着相同的因式时，方程的解为使得分式方程中的分子等于0的值。

3.当分式方程的分母的值等于0时，方程没有解。

六、应用：分式方程在实际问题中的应用非常广泛，例如在物理学和金融学中，经常需要使用分式方程来解决实际问题。

比如计算财务利润率、财务收益率、物体的运动速度等。

七、常见的分式方程：1.一次方程：分式方程的分子和分母都是一次函数的方程。

7.4分式方程（1）桐乡十中 刘绵福【教材内容分析】本节的主要内容是分式方程及其解法，分式方程与整式方程在概念上是不同的，但他们在解法上却有着一定的联系和区别，即分式方程最终要转化为整式方程来解，但最后要验根这是学生最容易忘记的，所以教学中要强调。

【教学目标】知识技能：了解分式方程的概念，掌握分式方程的解法；了解增根的概念，会对分式方程进行根的检验。

过程方法：引导学生将分式方程转化为整式方程，体现了转化的数学思想。

情感态度：渗透关注社会、关爱他人的情感教育。

【教学重点】会解可化为一元一次方程的分式方程。

【教学难点】增根的产生和运用【教学过程】（一）创设情景，引入新课1、播放一段近期长江流域干旱视频。

2、[军民同心，抗旱救灾]近期我国西南地区遭遇历史上罕见的旱灾，解放军某部接到了限期打300口水井的任务，部队官兵到达灾区后，目睹灾情心急如焚，马上增派机械车辆，争分夺秒，结果每天比原计划多打30口井，提前5天完成任务.如果设原计划每天打 x 口井,则可列方程为____________________ [引出分式方程]〖设计说明：通过创设情景，让学生了解分式方程来源于实际，学习解分式方程是为了解决生活中的实际问题，体会到解分式方程的重要性〗（二）师生共同归纳得出分式方程的概念：概念明析：下列方程中，哪些是分式方程，哪些不是分式方程？为什么？ 〖设计说明：通过让学生自己判断哪些方程是分式方程，及时巩固所学知识。

〗（三）精讲例题，掌握分式方程的解法例1、 解分式方程[引导学生总结出分式方程的解法：一化二解三检验]例2、解分式方程[教师指出解分式方程的五个注意事项]例3、解分式方程 2－x x －3 =13－x－2 [通过本例了解增根的产生，强调分式方程必须要验根]72323=-+x x 231042x x x -=--〖设计说明：通过例题教学，引导学生学会问题解决的策略，通过与学生一起进行解后小结，培养学生的归纳能力，为学生以后的学习提供方法。

分式方程知识点总结一．分式方程、无理方程的相关概念：1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2．无理方程：根号内含有未知数的方程。

(无理方程又叫根式方程 )3．有理方程：整式方程与分式方程的统称。

二．分式方程与无理方程的解法：1．去分母法：用去分母法解分式方程的一般步骤是：①在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去。

在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入最简公分母。

2．换元法：用换元法解分式方程的一般步骤是：②换元：换元的目的就是把分式方程转化成整式方程，要注意整体代换的思想；③三解：解这个分式方程，将得出来的解代入换的元中再求解；④四验：把求出来的解代入各分式的最简公分母检验，若结果是零，则是原方程的增根，必须舍去；若使最简公分母不为零，则是原方程的根。

解无理方程也大多利用换元法，换元的目的是将无理方程转化成有理方程。

三．增根问题：1．增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为 0 的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为 0，那么就会出现不适合原方程的增根。

2．验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。

3．增根的特点：增根是原分式方程转化为整式方程的根，增根必定使各分式的最简公分母为 0 。

解分式方程的思想就是转化，即把分式方程整式方程。

常见考法( 1 ) 考查分式方程的概念、分式方程解和增根的机会比较少，通常与其他知识综合起来命题，题型以选择、填空为主；( 2) 分式方程的解法，是段考、中考考查的重点。

误区提醒( 1 ) 去分母时漏乘整数项；( 2) 去分母时弄错符号；( 3) 换元出错；( 4) 忘记验根。

课题:第五章第四节分式方程(1)授课人:课型:新授课授课时间:教学目标:1.能将实际问题中的数量关系用分式方程表示.2.掌握分式方程的概念.3.体会分式方程的模型作用.教学重点和难点:重点:根据实际问题的等量关系列出分式方程,归纳出分式方程的概念.难点:根据实际问题中的等量关系列出分式方程.教法及学法指导:本节课是在七年级学过列整式方程的基础上,使学生对实际问题进行建模有初步理解,具备分析问题、处理问题的能力.在教学时有意识的提高学生的的阅读理解能力,鼓励学生从多角度思考问题,启发引导学生发现解决问题的方法,注重知识的形成过程.教学中采用互动的教学模式,用问题做载体,通过小组合作、讨论、交流、归纳、辨析、反思、质疑等活动实现互动,创设和谐民主的课堂氛围.课前准备:多媒体课件、导学案教学过程:一、情境导入(多媒体播放图片)【师】同学们2008年5月12日14时28分,四川汶川、北川,发生了8级的强震,大地颤抖,山河移位,满目疮痍,生离死别.全国人民纷纷伸出关爱之手,捐出自己的一份爱.时隔７年,在世界各地爱心帮助下,新居民、新城镇、新学校、新园区勃勃生机,大地处处美丽和谐,又还人间一个锦绣巴蜀.【设计意图:通过生活中的情境,激发学生的学习兴趣,让学生感受到,世界需要爱,也充满爱.让学生展开联想,为下面问题的提出做铺垫.】【教学效果:学生通过图片展示,看到爱的力量,发奋努力学习,长大后为祖国建设出一份力.】【师】我们来看一个捐款的实例:(多媒体展示)“救灾捐款”问题为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园,某学校号召同学们自愿捐款.已知七年级同学捐款总额为4800元,八年级同学捐款总额为5000元,八年级捐款人数比七年级多20人,而且两个年级人均捐款恰好相等.如果设七年级捐款人数为x人,那么x满足怎样的方程?【师】这个“救灾捐款”问题用我们以前学过的一元一次方程能否解决？【生】（交流后回答）不能.【师】那么今天我们就来学习一种新的能刻画现实世界,反映现实世界的数学模型.(出示课题)【设计意图:通过实际问题的提出,让学生感受到,以前所学知识已不能解决现有的问题,需要学习新的知识,提高学生学习的欲望.并且让学生带着问题投入学习,积极性更加强烈.】二、合作探究探究一:“高铁列车”问题【师】随着科技和人们生活水平的不断提高,我们现在已进入具有时代气息的高铁时代.这里有这样一个实例.(多媒体展示)“高铁列车”问题甲、乙两地相距1400km,乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h,已知高铁列车的平均速度是特快列车的2.8倍.(学生认真阅读题目,分析问题,独立思考后分小组讨论交流.教师进行巡视,了解学生活动情况.)【生1】乘高铁列车所用的时间+9h =乘特快列车所用的时间. 【生2】高铁列车的平均速度=2.8⨯特快列车的平均速度. 【生3】乘高铁列车所用的时间=1400高铁列车的平均速度.【生4】乘特快列车所用的时间=1400特快列车的平均速度.【生5】高铁列车的平均速=1400乘高铁列车所用的时间【生6】特快列车的平均速度=1400乘特快列车所用的时间.【师】非常好,如果设特快列车的平均速度为/xkm h ,那么x 满足怎样的方程?根据你所找的等量关系完成下表,并列出方程.困难的部分学生可以加以点拨.最后利用实物投影展示.)【生】所以方程为:92.8x x+=. 【师】很棒,如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yh ,那么y 满足怎样的方程?完成下表:关系式【生】 时间/h平均速度/(/)km h路程/km 高铁列车y 1400y 1400特快列车 9y +14009y + 1400关系式高铁列车的平均速度=2.8⨯特快列车的平均速度所以列出方程为:2.89y y =⨯+. 【师】通过此问题的解答，你认为准确列出方程的关键是什么？ 【生】关键是找等量关系. 探究二:“高速公路”问题【师】公路与我们的生活也有着密切的联系,高速公路被誉为一个国家走向现代化的桥梁,是发展现代交通业的必经之路.（多媒体展示） “公路”问题 从甲地到乙地有两条公路:一条是全长600km 的普通公路,另一条是全长480km 的高速公路.某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45/km h ,由高速公路从甲地到乙地所需时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半.(学生认真阅读题意，找题目的等量关系，并以小组为单位讨论交流,然后选代表回答.学生有了上面的经验，回答的很踊跃.)【生1】客车在高速公路上行驶的速度-客车在普通公路上行驶的速度=45/km h . 【生2】客车由高速公路从甲地到乙地的时间2⨯=客车由普通公路从甲地到乙地的时间.【生3】客车在高速公路上行驶的速度=480客车由高速公路从甲地到乙地的时间.【生4】客车在普通公路上行驶的速度=600客车由普通公路从甲地到乙地的时间.【生5】客车由高速公路从甲地到乙地的时间=480客车在高速公路上行驶的速度.【生6】客车由普通公路从甲地到乙地的时间=600客车在普通公路上行驶的速度.【师】如果设该客车由高速公路从甲地到乙地所需时间为xh,那么x满足怎样的方程? （学生根据自己找到的等量关系，列出x满足的方程.）【生】480600452x x-=.【师】如果设该客车在高速公路上行驶的速度为/ykm h，那么y满足怎样的方程？【生】480600245 y y⨯=-.【设计意图：通过探究交流，让学生学会寻找等量关系，然后根据等量关系列出方程，理解建立分式方程的过程，提高学生分析问题、解决问题的能力.】探究三：“救灾捐款”问题【师】现在我们再来看刚开始上课时遇到的捐款问题，在这个问题中有哪些等量关系？（学生独立思考，教师进行巡视，对于有疑问的同学可以进行指导.）【生1】八年级捐款人数=七年级捐款人数+20人.【生2】七年级捐款总额=七年级捐款人数⨯七年级人均捐款.【生3】八年级捐款总额=八年级捐款人数⨯八年级人均捐款.【生4】七年级人均捐款=八年级人均捐款.【生5】所以所列方程为：4800500020x x=+.【设计意图：通过分析问题解决问题，让学生熟练掌握“找等量关系----列分式方程”，体会建模过程.】探究四:观察发现,形成知识【师】由上面的问题,我们得到了下列方程?【生】有(学生认真观察、独立思考,先用自己的语言描述,然后再在小组中讨论、交流.)【生】这些方程中都有分式，并且分母中含有未知数.【师】那么我们可以叫它什么？ 【生】分式方程.【师】我们应该怎样定义它呢？【生】分母中含有未知数的方程叫分式方程.【师】回答的非常好.分式方程要满足两个条件：一是方程中的代数式都是分式或整式；二是分母中含有未知数.【设计意图：学生通过经历从实际问题抽象概括分式方程这一“数学化”的过程，体会分式方程的模型思想.】 三、巩固新知(出示幻灯片)【生1】因为(1)(4)中分母中含有未知数,所以分式方程是(1)(4). 【生2】因为12010010x x=+分母中含有未知数,所以选D . 【生3】因为分式方程22axx =+的解是2,所以把2x =代入方程中得4a =,所以选D .【生4】本题的等量关系是: 甲队修路120m 的天数=乙队修路100m 的天数. 设甲队每天修路xm ,那么乙队每天修路(10)x m -,所用天数分别为120x ,10010x -,所以选A .【生5】在充分思考讨论后,完成下面的表格.解：设第一次购进x 件衬衫，由题意得:【设计意图:通过巩固练习,让学生进一步加深对分式方程定义的理解.】四、归纳小结【师】通过本节课的学习,你有哪些收获?和大家一起分享吧!【生1】通过今天的学习,我认识了分式方程.知道了分母中含有未知数的方程叫分式方程.【生2】我学会了如何根据题意列分式方程.【生3】我悟到了列分式的窍门,先找到题目中的等量关系,再根据等量关系列出分式方程.【生4】我觉得在解决实际问题的时候,哪个等量关系是用列方程的,哪个等量关系是列方程中的分式或整式的,我不是很明确.【师】可能不止一个同学又这个感觉,希望大家带着收获用今天学到的知识去解决实际问题,并在不断的取得经验的同时把困惑变成收获.……(学生畅所欲言,相互进行补充,用自己的语言进行归纳.)【设计意图:让学生以反思的形式回忆本节的学习内容与方法,更有利于学生加深对所学知识的印象,有利于培养学生养成良好的数学学习习惯.】五、达标检测【师】请同学们独立完成导学案上的达标检测. 1.方程3502x ++=,642x =-,562y y +=-,423x x -=,2xπ=中,分式方程有( ).A 2个 .B 3个 .C 4个 .D 5个17600800042x x-=.2.某村计划新建水渠3600米,为了让水渠尽快投入使用,实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍,结果提前20天完成任务,若设原计划每天修水渠xm ,则下列所列方程正确的是( )36003600.1.8A x x = 36003600.201.8B x x-=36003600.201.8C x x -= 36003600.201.8D x x+= 3.有两块面积相同的试验田,第一块使用原品种,第二块使用新品种,分别收获小麦12000kg 和14000kg ,已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg .如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg ,那么x 满足怎样的分式方程?(学生做完后,教师出示答案,指导学生校对,并统计学生答题情况,学生根据答案进行纠错.)【设计意图:学生检查自己的学习成果,并最大限度地调动学生学习数学的积极性,使每个学生都能有所收益,有所提高,让教师及时了解学生对知识的掌握情况,有针对性的进行指导,达到全面提高的目的.】六、布置作业1.基础题:课本126P 习题5.7第1、2题.2.选做题:课本126P 习题5.7第3题.板书设计§5.4分式方程(1)学情分析:学生在本章前面已经学习了分式的意义，列分式表达实际情景。

分式方程的解法与技巧知识精讲
一、分式方程定义
分式方程就是把一个式子分解为两部分，分别是分母和分子，然后在
分母和分子上共享一些变量，最后用特定的方法求解出来。

二、求解方法
1、归约法
首先将分式方程中的分子和分母都归约成最简形式，以减少其中的因子。

随后，将归约好的分式方程化简为最简形式，再从最简形式中提取出解。

2、对式子求倒数法
当分式方程的分子和分母都是一元二次方程的时候，就可以将分子和
分母分别求其倒数，然后将其相乘，即可得出原分式方程的解。

3、先分析分式方程构成的结构
在分析分式方程之前，首先要分析分式方程构成的结构，将其分为分母、分子和共同项三部分，通过分析其构成结构，以有效地求解分式方程。

4、使用代数法
代数法是指将分式方程的分子和分母分别乘以同一个数，使得分子和
分母均变为有理数，然后求解原分式方程。

三、技巧
1、把共同项提出来
在解决分式方程的过程中，可以将原来的分式方程中的共同项提出来，以便于更好地求解。

2、多次化简
在处理分式方程的过程中，会有很多步骤，而每一步都有可能出现一
些错误，所以可以多次化简，以确保求解结果的正确性。

3、分析分母和分子
在解决分式方程的过程中。

分式方程及分式应用题【知识点归纳】知识点一、分式方程1分式方程概念：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.2解分式方程：基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母。

一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

《1》理解分式方程的有关概念例1 指出下列方程中，分式方程有（ ）①21123x x -=5 ②223x x -=52-5x=0x +3=0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【点评】根据分式方程的概念，看方程中分母是否含有未知数．《2》掌握分式方程的解法步骤（注意分式方程最后要验根。

（易错点））例2 解方程：100307x x =-.例3. 解关于x 的方程x a b c x b c b x c ab a bc --+--+--=>30()，， 解：原方程化为：x a b c x b c b x c ab---+---+---=1110 即x a b c c x b c a a x c a bb---+---+---=0 ∴---++=>>>∴++≠∴---=∴=++()()x a b c a b c a b c a b cx a b c x a b c11100011100 ，，说明：本题中，常数“3”是一个重要的量，把3拆成3个1，正好能凑成公因式x a b c ---。

若按常规在方程两边去分母，则解法太繁，故解题中一定要注意观察方程的结构特征，才能找到合适的办法。

例4. 解关于x 的方程。

ax x a bx x b a b x a x b ab ()()()()()()+++=+++≠0解：去括号：ax a x bx b x a b x a b x ab a b 222222+++=+++++()()()()()()()a b x a b x ab a b abx ab a b ab x a b222202+-+=+-=+≠∴=-+说明：解含字母系数的方程，在消未知数的系数时，一定要强调未知数的系数不等于0，如果方程的解是分式形式，必须化成最简分式或整式。

分式方程知识点归纳总结分式方程（fractional equations）是含有一个或多个分式的方程。

解分式方程的方法与解普通方程的方法相似，但在处理分式时需要额外注意。

以下是分式方程的一些常用知识点的归纳总结。

1.分式方程的定义：分式方程是含有一个或多个分式的方程，其中分式可以是单个分式，也可以是多个分式的组合。

2.分式方程的定义域：在求解分式方程之前，首先需要确定方程的定义域。

分式方程中的分母不能为0，因此需要排除使得分母为0的数值。

3.清除分母的方法：当分式方程中存在分母时，可以通过乘以分母的公倍数来清除分母。

要注意在清除分母后所得到的方程仍然保持等价关系。

4.分式方程的乘除法原则：分式方程中的分式可以通过乘除法原则进行运算。

即可以通过乘以一个数或除以一个数来改变方程两边的比例关系。

5.分式方程的加减法原则：分式方程中的分式可以通过加减法原则进行运算。

即可以通过加上一个数或减去一个数来改变方程两边的比例关系。

6.分式方程的倒数原理：分式方程中的分式的倒数可以用来求解方程。

当一个分式与它的倒数相加时，结果为17.分式方程的转化：有时候，可以通过将分式方程转化为普通方程来求解。

这可以通过清除分母或将分式转化为分数来实现。

8.分式方程的校验：在解分式方程时，需要对所得到的解进行校验，以确定是否满足原始方程。

9.解分式方程的常见步骤：解分式方程的一般步骤是先对方程进行整理，然后通过乘法、除法、加法、减法等原则对方程进行运算，最后校验所得到的解是否满足原始方程。

10.特殊类型的分式方程：-线性分式方程：分子和分母都是一次函数的分式方程。

-二次分式方程：分子或分母含有二次函数的分式方程。

-变比分式方程：分子和分母是由未知数构成的变比或常数的乘积的分式方程。

总结：分式方程是含有一个或多个分式的方程，解分式方程的方法包括清除分母、乘除法原则、加减法原则、倒数原理、转化为普通方程、校验等。

解分式方程的一般步骤是整理方程、运用原则对方程进行运算，最后校验解答是否正确。

分式方程知识点总结♂一般来说，分式方程可以写成形如$\frac{M(x)}{N(x)} = P(x)$的形式，其中$M(x)$、$N(x)$和$P(x)$分别是$x$的多项式。

分式方程的解是满足方程的$x$的值，即找出使等式成立的$x$的值。

下面我们就来总结一下关于分式方程的一些知识点。

一、分式的定义和性质1. 分式是指形如$\frac{m}{n}$的数，其中$m$和$n$是整数，$n$不等于0。

分式可以表示数的比值，包括有理数和实数。

2. 分式的性质：分式有一些基本的性质，比如分式的加减乘除法原则，以及分式的化简和通分规则等。

这些性质是处理分式方程时必须掌握的基础知识。

二、分式方程的基本概念1. 分式方程的定义：分式方程是指方程中含有分式的方程，通常以$\frac{M(x)}{N(x)} = P(x)$的形式出现，其中$M(x)$、$N(x)$和$P(x)$分别是$x$的多项式。

2. 分式方程的解：分式方程的解是指满足方程的$x$的值，即找出使等式成立的$x$的值。

对于分式方程，解的求解方法通常需要进行化简、通分、消元等操作。

三、分式方程的解法1. 分式方程的解法一般分为以下几种方法：（1）通分法：将分式方程中的分母进行通分，使得方程中的分母相同，从而化简方程。

（2）消元法：通过消去分式方程中的分母，将分式方程化简为一般的代数方程，然后求解。

（3）换元法：通过引入新的未知数或代换，将分式方程化简为一般的代数方程，然后求解。

2. 在实际问题中，分式方程的解法可能会涉及到不同的数学方法和技巧，需要根据具体的问题进行分析和处理。

四、分式方程的应用1. 分式方程在代数学、数学分析、几何学等领域具有广泛的应用。

它常常用于描述各种物理、经济、工程等实际问题中的关系和规律。

2. 在解决实际问题时，我们可以将实际问题转化为分式方程，利用代数运算和方程的解法来求解问题，从而得到问题的答案。

五、分式方程的教学与学习1. 在教学中，分式方程应该与分数、代数方程等知识紧密结合，引导学生深入理解分式方程的概念和性质，掌握分式方程的基本解法。