8.5分式方程1

课题 分式方程【学习目标】1.理解分式方程的概念,会解分式方程并掌握解分式方程的验根方法.2.经历探索分式方程的解法,体会数学中化归思想.【学习重点】理解并掌握分式方程的解法.【学习难点】分式方程验根的原因.情景导入 生成问题旧知回顾：1.解一元一次方程的步骤是什么？答：去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为1.2.将比例式a c ＝c d 化成ad ＝bc,依据是什么？答：依据等式的基本性质,将等式两边同乘以bd.3.解方程：1x －2＝12x ＋1. 解：依据上题做法,方程两边同乘(x －2)(2x ＋1)得2x ＋1＝x －2,解得x ＝－3.自学互研 生成能力知识模块一 分式方程的相关概念【自主探究】阅读教材P 125的内容,回答下列问题：什么是分式方程？答：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.范例1：下列关于x 的方程,是分式方程的是( D )A .3＋x 2－3＝2＋x 5B .2x －17＝x 2C .x π＋1＝2－x 3D .12＋x ＝1－2x 仿例：下列方程：①x －35＝1；②3x ＝2；③1＋x 5＋x ＝12；④x 2＋2x 2＋1＝5；⑤x π＋x 2π＝4.其中是分式方程的有( D )A .①②B .②③C .③④D .②③④知识模块二 分式方程的解法阅读教材P 126－127的内容,回答下列问题：1.解分式方程的基本思想是什么？具体做法是什么？答：解分式方程基本思想是去分母,把分式方程化为整式方程,具体做法是方程两边同乘各分母的最简公分母,即可化为整式方程.范例2：(1)(山西中考)12x －1＝12－34x －2； 解：去分母得2＝2x －1－3,解得x ＝3,经检验x ＝3是分式方程的解；(2)(宁夏中考)x x －1－2x －1x 2－1＝1； 解：方程两边同乘(x ＋1)(x －1),得x(x ＋1)－(2x －1)＝(x ＋1)(x －1),解得x ＝2.经检验当x ＝2时,(x ＋1)(x －1)≠0,故原分式方程的解为x ＝2；(3)2＋x 2－x ＋16x 2－4＝－1. 解：去分母得－(x ＋2)2＋16＝4－x 2,去括号得－x 2－4x －4＋16＝4－x 2,解得x ＝2.经检验x ＝2是增根,故原分式方程无解.2.什么是增根？产生增根的原因是什么？为什么解分式方程必须检验？如何检验？答：在分式方程化为整式方程的过程中,若整式方程的根使原分式方程的分母为零,那么这个根叫做原方程的增根.产生增根的原因是由于在方程两边同乘了一个使分母为0的整式,因为解分式方程可能产生增根,所以解分式方程必须检验.检验的方法是检验所得的根是否使原方程中分式分母的值等于0.范例3：关于x 的分式方程7x －1＋3＝m x －1有增根,则增根为( A ) A .x ＝1 B .x ＝－1 C .x ＝3 D .x ＝－3仿例1：(黑龙江中考)关于x 的分式方程m x 2－4－1x ＋2＝0无解,则m ＝0或－4. 仿例2：(营口中考)若关于x 的分式方程2x －3＋x ＋m 3－x＝2有增根,则m 的值是( A ) A .m ＝－1 B .m ＝0 C .m ＝3 D .m ＝0或m ＝3交流展示 生成新知【交流预展】1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上,并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.【展示提升】知识模块一 分式方程的相关概念知识模块二 分式方程的解法检测反馈 达成目标课后反思 查漏补缺1.收获：___________________________________________________________2.存在困惑：_______________________________________________________。

8.5 分式方程Ⅰ.核心知识点扫描1. 分母中含有未知数的方程叫做分式方程2.如果由变形后的方程求得的根不适合原方程，那么这种根叫做原方程的增根.3.解分式方程的一般步骤：(1)去分母，化分式方程为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根；(4)写出答案.4.列分式方程解决实际问题步骤是：审、设、列、解、检、答．Ⅱ.知识点全面突破知识点1 分式方程的概念（重点）分母中含有未知数的方程叫分式方程，如1121x -=-，55633x x+=，1232633x x+=--等都是分式方程．分式方程和整式方程的区别在于分母中是否含有未知数．【例】下列关于x 的方程是分式方程的是( )A ．23356x x ++-=B ．137x x -=- C. 23332x x x += D ．341x x =- 解：D 点拨：分式方程有两个重要特征：一是方程含有分母；二是分母中含有未知数．知识点2 解分式方程 (重难点) 解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程．解分式方程的一般步骤是：(1)去分母，化分式方程为整式方程，即在分式方程的两边都乘方程中各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程。

(2)解这个整式方程，得出整式方程的根．(3)验根，有两种方法：一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验；另一种是把求得的未知数的值代入分式的分母进行检验，看分母的值是否为0，若分母不等于0，则它是原方程的根．若分母等于0，则它是原方程的增根，必须舍去．(4)写出答案．误区警示：在去分母，化分式方程为整式方程时，不要漏乘不含分母的项，同时要注意分式的通分与去分母的区别和联系．【例】（2010，宿迁）解方程：0322=--xx ． 解：在方程两边同乘以x （x-2），得2x －3(x －2) ＝0 .解这个方程，得x ＝6.检验：把x ＝6代入x （x －2）＝24≠0.所以x ＝6为这个方程的解．点拨：解分式方程的基本步骤是先去分母，把分式方程转化为整式方程，并要对整 式方程的解进行检验．知识点3增根及检验增根的方法(难点)在将分式方程化为整式方程时，方程两边同乘一个含有未知数的整式，并约去了分母，由于不能保证所乘的这个整式不为0，所以可能产生不适合原分式方程的根如果变形后的方程求得的根不适合原方程，那么这种根叫做方程的增根．因此，解分式方程必须验根．验根的方法如前所述，其最简便的方法是将求得的未知数的值代入所乘的最简公分母中，若最简公分母不为O ，则是原分式方程的根，否则是原分式方程的增根．巧记速记：分式方程的解法步骤：同乘最简公分母，化成整式写清楚，求得解后须验根，原（根）留、增（根）舍别含糊.【例】（2010，重庆江津区）解方程：()()31112x x x x -=--+. 解：在方程两边都乘以（x-1) (x+2）,得 ()()()2123x x x x +--+=.解这个方程，得1x =.检验：当时，1x =时，（x-1) (x+2）=（1-1）（1+2）=0，所以x=1是增根.所以原方程无解.点拨： 对分式方程的考核也是中考的必考内容，需要特别强调的是，分式方程要求必须检验.知识点4 列分式方程解决实际问题(重难点)列分式方程解决实际问题与列整式方程解决实际问题类似，关键是审清题意，找出数量关系，正确地列出方程，其具体步骤是：(1)审题，弄清已知量和未知量，找出所有的数量关系；(2)设未知数；(3)列出分式方程；(4)解这个分式方程；(5)检验，看变形后的方程的解是否满足原方程和符合实际意义；(6)写出答案．速记巧记：上面的步骤可记为：审、设、列、解、检、答．【例】（2010，钦州）某中学积极响应“钦州园林生活十年计划”的号召，组织团员植树300棵．实际参加植树的团员人数是原计划的1.5倍，这样，实际人均植树棵数比原计划的少2棵，求原计划参加植树的团员有多少人？解：设原计划参加植树的团员有x 人.根据题意，得30030021.5x x-=. 解这个方程，得x =50.经检验 x =50是原方程的根.答：原计划参加植树的团员有50人.点拨： 列分式方程解决实际问题是中考的高频考点，解决问题的关键是找出等量关系，然后列出方程即可作答. Ⅲ.提升点全面突破提升点1 确定有增根的分式方程中的待定系数【例1】 当a 为何值时，方程233x a x x =+++会产生增根? 解：方程两边都乘以（x+3）,得 x=2(x+3)+a.因为方程有增根,所以x+3=0,即x=-3.所以-3=2(-3+3)+a ，a=-3．所以当a=-3时，原方程会产生增根．点拨：利用增根定义解题是比较重要的题型，其方法是：（1）将分式方程化为整式方程，（2）求出增根，将增根代入所求的整式方程,求出a 的值．【例2】关于x 的方程322133x mx x x-++=---无解，求m 的值． 解：方程两边同乘以(x-3)，则有(3-2x)-(2+mx)=3-x ．整理得(m+1)x=-2．若m+1=0，则m=-1，此时新方程无解,那么原方程一定无解．当x=3时，原方程无解，此时(m+1)·3=-2，53m =-综上所述，当原方程无解时，m 的值为-1或53-．点拨：本例题告诉我们．由分式方程无解求字母已知数的值，既要考虑使最简公分母为零的未知数的值，又要考虑使新方程无解的字母已知数的值．提升点2 分式方程与不等式的综合题【例3】（2010，鄂尔多斯）已知关于x 的方程22x m x +-＝3的解是正数，求m 的取值范围．解：去分母得2x＋m＝3(x－2)，解得x＝m＋6，因为x为正数，故m＋6＞0，所以m＞－6.疑问当m＝－4时，x＝2，此时分式方程无解，故m＞－6 且m≠－4．点拨：本题将分式方程与一元一次不等式结合在一起，在求m的取值时，容易忽略方程无解的情况，应注意．Ⅳ.综合能力养成【例1】（开放题）编一道可化为一元一次方程的分式方程的应用题，并解答．编写要求：(1)要联系实际生活，其解符合实际．(2)根据题意列出的分式方程中含两项分式，不含常数项．分式的分母均含有未知数，并且可化为一元一次方程．(3)题目完整，题意清楚．解析：本题考查列分式方程解应用题，培养同学们的逆向思维能力．我们可分以下三个步骤来思考：(1)依题意，确定一个有实际意义的数字，如10，当作所列应用题的一个根，建立符合题设要求的等式，如2016 10102=-；(2)把上述的10用未知数x来代替，变等式为分式方程，即20162x x=-；(3)根据题意编出应用题：甲、乙二人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做2 个，甲做20个所用的时间与乙做16个所用的时间相等，求甲、乙每小时各做多少个．设甲每小时做x个，则乙每小时做(x-2)个，根据题意，有：20162x x=-，解这个方程，得 x=10．经检验x=l0是方程的根．所以x-2=10-2=8．答：甲每小时做l0个，乙每小时做8个．点拨：这是一道开放探索创新题，重在考查同学们运用数学知识设计问题，进而解决问题的能力，解题时应做到：(1)题目符合编题要求；(2)要设未知数；(3)列方程；(4)解方程；(5)写出答案，包括单位名称．Ⅴ.分层实战训练A组基础训练1．（知识点2）分式方程1123x=-的根为( )A．x=2 B．x=1 C．x=-1 D．x=-2 2．（知识点1）下列各式中，不是分式方程的是( )A ．11x x x -=B ．()111x x x -+=C ．32112x x -=+-D ．111332x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭3．（知识点3）如果方程11322x x x-=---没有解，则x=___________． 4．（知识点4）轮船顺水航行40千米所需的时间和逆水航行30千米所需的时间相同．已知水流速度为3千米／时，设轮船在静水中的速度为x 千米／时，可列方程为 .5．（知识点2）方程213x =-的根为 . 6．（知识点4）（2010，绵阳,）在5月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为弧岛．当时洪水流速为10千米／时，张师傅奉命用冲锋舟去救援，他发现沿洪水顺流以最大速度航行2千米所用时间，与以最大速度逆流航行1.2千米所用时间相等．请你计算出该冲锋舟在静水中的最大航速为 ．7．（知识点2）解方程：（1）（2010，孝感）013132=--+--x x x ； （2）22162242x x x x x -+-=+--. 8．（知识点4）（2010，达州）对于代数式12x -和321x +，你能找到一个合适的x 值，使它们的值相等吗？写出你的解题过程.9．（知识点4）（2010，淮安）玉树地震后，有一段公路急需抢修．此项工程原计划由甲工程队独立完成，需要20天．在甲工程队施工4天后，为了加快工程进度，又调来乙工程队与甲工程队共同施工，结果比原计划提前10天，为抗震救灾赢得了宝贵时间．求乙工程队独立完成这项工程需要多少天．常是以社会生活中的热点问题为背景．10．（知识点4）（2009，朝阳）海峡两岸实现“三通”后，某水果销售公司从台湾采购苹果的成本大幅下降．请你根据两位经理的对话，计算出该公司在实现“三通”前到台湾采购苹果的成本价格．“三通”前买台湾苹果的成本价格是今年的2倍 同样用10万元采购台湾苹果，今年却比“三通” 前多购买了2万公斤图8.5-1B 组 培优训练1．（提升点2）若关于x 的分式方程121m x -=-的解是正数，则m 的取值范围是( ) A ．m>-1 B ．m ≠1 C ．m>1 D ．m>-1且m ≠12.（开放题）请选择一组a 、b 的值，写出一个关于x 的形如2a b x =-的分式方程，使它的解是x=0，这样的分式方程可以是 ． 3．（提升点1）当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产生增根? 4.（开放题） 请根据方程6056061x x-++=编拟一道应用题，要求叙述清楚，有条理，切合实际． 5．（开放题）（2010,盐城）某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%．请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程．．．．解决的问题，并写出解题过程．参考答案及点拨A 组 基础训练1．A 点拨：去分母，得2x-3=1．解得x=2．经检验，x=2是原方程的根．2．D 点拨：根据分式方程的概念判定．3．解答 分式方程无解，则最简公分母为零．解答：因为x-2=O 时，方程无解，故x=2． 4．403033x x =+- 5．x=56．40千米∕时 点拨：设静水中最大航速为x 千米/小时，根据题目的等量关系得到分式方程102.1102-=+x x . 7．解： （1）方程两边同乘以,)3(-x ,得0)3(12=----x x .解这个方程，得2=x . .当x=2时，2,03=∴≠-x x 是原方程的解.所以原方程的解是x=2 .（2）方程两边同乘以24x -，得 22(2)16(2)x x --=+.解这个方程，得x=2．检验：当2x =时24x - =22-4=0，,所以x=2是增根，所以原方程无解． 点拨：①把分式方程转化成整式方程后，整式方程可能有解，可能无解；②使分式方程无解的原因是整式方程的解使分式方程中的分母为零，显然增根的产生是由于去分母引起的，因此检验的方法可简化成直接将整式方程的解代入最简公分母即可．8．解：能.根据题意，设12x -=321x + ，则有2x+1=3（x-2），解得：x=7, 经检验得x=7是12x -=321x +的解.所以，当x=7时，代数式12x -和321x + 的值相等. 点拨： 本题考查学生对基础知识的掌握情况，考查学生解常规的分式方程的准确性．9．解：设乙工程队独立完成这项工程需要x 天.根据题意,得1114()(20104)12020x ⨯++⨯--=，解得x=12， 经检验x=12是分式方程的解，所以乙工程队独立完成这项工程需12天.点拨： 本题主要是考察利用分式方程解决实际问题，这种问题是中考中的常见问题，通10．解：设该公司今年到台湾采购苹果的成本价格为，根据题意，得100000100000200002x x-=.解得 2.5x =.经检验 2.5x =是原方程的根． 当 2.5x =时，25x =.答：实现“三通”前该公司到台湾采购苹果的成本价格为5元/公斤．点拨：图象信息题是指由图象来获取信息．从而达到解题目的的题型，这类问题来源广泛，形式灵活，突出对考生收集、整理和加工信息能力的考查．是近几年中考的热点．解图象信息题的关键是“识图”和“用图”．解这类题的一般步骤是：（1）观察图象，获取有效信息；（2）对已获信息进行加工、整理，理清各变量之间的关系；（3）选择适当的数学工具，通过建模解决问题．B 组 培优训练1．D 点拨：可把分式方程变形为12m x +=，根据x>0，得x>-l,但当m=1时，x=1，分式无意义．2. 422x =-- 点拨：将x=0代入原分式方程，得a=-2b ，故只需令a 、b 的值满足这一关系式即可，本题答案不惟一．3．解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2(x+2)+ax=3(x-2)．①因为当原方程有增根时，（x+2）（x-2）=O，所以增根为x=2或x=-2．将x=2代入①，得2×(2+2)+2a=O，所以a=-4．将x=-2代入①，得2×O-2a=3(-2-2)，所以a=6．所以当a=-4或a=6时，原方程会产生增根．4. 解：小王师傅加工一批零件，加工55个，比加工66个所用时间短一小时，求他每小时能加工多少个零件?点拨：这个方程中的分子上的数为55及66，在方程的左边是加1，则知两个分式间所存在的数量上的内在关系，而两个分式的分母是相同的．只要设定一个合理的问题情境就可编成．由方程编拟应用题，就是要把握好方程的内在的数量关系，然后，设置合适的问题情境，就可编成．5．解法一：求两个班人均捐款各多少元？设1班人均捐款x元，则2班人均捐款（x+4）元，根据题意得1800x·90%=1800x+4.解得x=36,经检验x=36是原方程的根.所以x+4=40. 答：1班人均捐36元，2班人均捐40元.解法二：求两个班人数各多少人？设1班有x人.根据题意，得1800x+4=180090x%. 解得x=50 ，经检验x=50是原方程的根. 所以90x % =45.答：1班有50人，2班有45人.点拨：本题属于列方程解应用题，但结尾让学生去自己根据要求提问并解答，属于结论开放题类型.解决列方程解应用题的关键是找等量关系.。

苏科版 初二（下）8.5 分式方程（2）【学习目标】1、经历探索分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程。

2、了解分式方程产生增根的原因，会检验根的合理性。

3、经历“求解－解释解的合理性”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识。

【重点难点】1、分式方程的解法；2、分式方程的验根。

【自学思考】师：前面我们已经学习了分式方程，初步了解了分式方程，今天我们将进一步学习分式方程及其解法。

师：首先，我们来了解一下同学们的预习情况，请问第一个问题：什么叫做方程的根？生：只含有一个未知数的方程的解叫做方程的根。

师：所以我们说，只含有一个未知数的分式方程的解也叫做分式方程的根。

第二个问题：方程1+x x ＝12+x 的根是什么？ 生：2=x师：你是如何得到的？生：方程两边同乘1+x 后得到。

师：如果把方程中的2换成—1，方程还有解吗？ 生：原方程无解。

师：其实我们将方程的两边同乘1+x ，得1-=x ，检验发现，当1-=x 时，原分式方程分母为0，所以我们将1-=x 叫做方程的什么根呀？ 生：增根师：第三个问题：什么叫做方程的增根？生：如果由变形后的方程求得的根不适合原方程，那么这种根叫做原方程的增根。

师：既然方程有时有解，有时无解，那么我们在解方程时要不要检验呀？ 生：要检验 师：怎么检验？生：两种方法，第一种方法是将变形后的方程求得的根代入原方程，如果原方程分母不为0且左边的值等于右边的值，那么此根为原方程的根，反之则是原方程的增根。

第二种方法是将变形后的方程求得的根代入到最简公分母中，如果使得最简公分母为0则是增根，反之则为原方程的解。

师：回答得真棒。

第四个问题：尝试解分式方程11122-=-x x ，你们解好了吗？结果如何呀？生：解好了，原方程无解。

师：同学们已经自学了本节内容，下面我们再一次研读一下例2：2=x 是)2(3104)45(3--+=-x x x 的解吗？板书课题 投影 投影 板书1+x x ＝12+x 板书1+x x ＝11+-x投影 投影 板书11122-=-x x展示台展示课本内容。

§8.5 分式方程（1）班级__________姓名_________学号_________完成日期_________知识要点：1、 的方程叫做分式方程。

2、解分式方程的一般步骤：基础与巩固 1、已知方程①13x=；②2137x x +=；③222y y y-=+；④2943x x -=-；⑤120x x+-=其中是分式方程的有 （ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 2、分式2232x x x --+的值为0，则x 的值为 （ ）A 、2B 、-2C 、±2D 、0 3、解分式方程8587142x x x x--=--时，去分母后得到的整式方程为 （ ）A 、2（x-8）+5x=16（x-7）B 、2（x-8）+5x=8C 、2（x-8）-5x=16（x-7）D 、2（x-8）-5x=84、某水产养殖场挖一条960m 的渠道，开工后每天比原计划多挖20m ，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖xm ，则根据题意可列出方程为 （ ） A 、960960420x x -=- B 、960960420x x-=+C 、960960420xx -=+ D 、960960420x x-=-5、当x= 时，分式123x x -+的值为1；当x= 时，分式523x -的值为-1。

6、若关于x 的方程22x k x+=-的解为1，则k= 。

7、某农场原有水田400亩、旱田150亩，为了提高单位面积的产量，准备把部分旱田改为水田，要求改完后的旱田占水田的10%，那么把旱田改为水田的面积x 满足的方程为 。

8、解下列分式方程（1）132x =+ （2）31321x x =++（3）326y y y y -=-- （4）512552x x x+=--9、一只船顺流航行90km 与逆流航行60km 所用的时间相等，若水流速度是2km/h ，求船在静水中的速度。

拓展与延伸10、解方程：2135111xxx=---+。