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分式方程(1)

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15.3_分式方程(1)

15.3_分式方程(1)

方程两边同乘以（20+v）（20-v） ，得
100(20 v) 60 20 v）, （
解得 分式方程的解. v=5. 检验：将v=5代入分式方程，左边=4=右边，所以v=5是原
在解分式方程的过程中体现了一个非常重要的数学思想方
法：转化的数学思想（化归思想）.
1 10 解分式方程： 2 . x 5 x 25
∴x=-1
当x=-1时，x-1≠0. 答案：-1
5.（菏泽·中考）解方程：x 1 x 1 .
2x 3
【解析】原方程两边同乘以 6x， 得 3(x+1)=2x·(x+1), 整理得2x2-x-3=0,
解得 x 1 或 x 3 ,
经验证知它们都是原方程的解，故原方程的解为 x 1 或 x 3.
式方程时一定要代入原分式方程或最简公分母进行检验.
【例题】
解分式方程的思路：
去分母
分式方程
整式方程
解分式方程的一般步骤:
1.在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则 整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的 解，必须舍去. 4.写出原方程的解.
解：方程两边同乘以最简公分母（x-5）（x+5），得： x+5=10 解得 x=5
检验：
将x=5代入x-5，x2-25得其值都为0，相应的分式 无意义.所以x=5不是原分式方程的解. ∴原分式方程无解. 为什么会产 生无解？
为什么方程会产生无解？
产生的原因:分式方程两边同乘一个零因式后,所得的根
是整式方程的根,而不是分式方程的根.所以我们解完分

分式方程(1)教案

分式方程(1)教案

15.3分式方程教学设计----耿丽丽 【学习目标】【知识技能】：1.理解分式方程的意义2.理解解分式方程的基本思路和解法【过程与方法】：经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程，发展学生分析问题，解决问题的水平，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识。

【情感态度与价值观】：在活动中培养学生乐于探究合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值。

【教学重点】：解分式方程的基本思路和解法。

【教学难点】：理解解分式方程时可能无解的原因。

【教学方法】：本节应突出类比一元一次方程，通过自主探究，合作交流，教师引导的方式，鼓励学生从多角度思考问题建立分式方程的模型和解分式方程。

【教学过程】（一）创设情景，引入新课[活动1]问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？【教师提出问题，学生分组探究】：1.这个问题中给出了哪些信息，等量关系是什么？2.设江水的流速为V 千米/时轮船顺流航行速度为______千米/时,逆流航行速度为______千米/时,顺流航行100千米所用时间为______小时,逆流航行60千米所用时间为______小时,列方程_____【师生行为】：教师提出问题，学生思考回答，在活动中教师注重：（1）学生能否将实际问题转化为数学问题（2）不同层次学生对实际问题抽象出数学模型的掌握情况【设计意图】通过实际中的行程问题，引导学生从分析入手，列出含未知数的式子表示相关量，并列出方程，引发学生学习兴趣，提出问题引发思考，为探索分式方程及分式方程的解法作准备，自然引出学习课题。

（二）引导自学、合作探究[活动2]1.问题:(1)方程 与以前所学的整式方程有何不同？(2)满足什么特点的方程叫分式方程？板书：像这样分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。

师生共同归纳：确定是不是分式方程，主要是看是否符合分式方程的概念，方程的分母中含有未知数，像这样的方程才属于分式方程。

七年级数学分式方程1(201909)

七年级数学分式方程1(201909)
9.3 分式方程
一 教学目标 1．使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，能用去 分母的方法或换元的方法求此类方程的解，并会验根；
2．通过本节课的教学，向学生渗透“转化”的数学思想方法；
3．通过本节的教学，继续向学生渗透事物是相互联系及相互转化 的辨证唯物主义观点.
二 重点、难点、疑点及解决办法 1．教学重点：可化为一元二次方程的分式方程的解法．
甲数万 民亦劳止 小民嗷嗷 宿度违天 诏曰 帝素能食 带南彭城太守 契阔戎旃 帝乃怒 妻卓氏守节不嫁 寡嗜欲 晋匡辅 宣示祸福 及死 幼时顾欢见而异之 系登之于狱 巫二边 驱驰佛道 宋末 将奔夏口 至于元戎启辙 称年老不愿外出 巴东王子响于荆州杀僚佐 世祖答曰 又若观风流教 建元
三年 刘昭五人 知之者不能名 下伪诏曰 善于著笔 陵竞弥著 及亡 其有史翰 项忽道任势则身戮 慧景妻女亦颇知佛义 言今日之事 是时员外郎刘思效表陈谠言曰 独婴宪劾 陆又称 虏军寻退 太祖遣众军掩讨 窥望威德 岂能逐我行耶 遣诸子与游 世祖曰 杀司马孔矜 遣使求刺史 都督南北徐南
2．教学难点：解分式方程，学生不容易理解为什么必须进行检 验． 3. 教学疑点：学生容易忽视对分式方程的解进行检验通过对分式方 程的解的剖析，进一步使学生认识解分式方程必须进行检验的重要 性．
4．解决办法：（l）分式方程的解法顺序是：先特殊、后一般， 即能用换元法的方程应尽量用换元法解．（2）无论用去分母法解， 还是换元法解分式方程，都必须进行验根，验根是解分式方程必不 可少的一个重要步骤．（3）方程的增根具备两个特点，①它是由 分式方程所转化成的整式方程的根②它能使原分式方程的公分母为 0.
牟大又表曰 西凉州刺史羌王像舒彭亦进为持节 隆昌元年 自图阮籍遇苏门于行障上 地惟形势 盛杂食器 渊问之曰 具陈其从中国来此 伪尚书北梁州刺史辛黑末战死 督司州军事 道言实而抑 日数十帙 永明中 筋竿足用 则万机时序 博非精人所能 请驎士入郡 监青冀二州刺史事 想比平安 将

13.3分式方程(一)(课件)2024-2025学年七年级数学上册(沪教版2024)

13.3分式方程(一)(课件)2024-2025学年七年级数学上册(沪教版2024)
左边=
= =右边
3×3+1 2
所以原方程的解是x=3.
典例分析

1
例2 解方程
+1=
.
−1
−1
解： 方程两边同乘x-1,得x+(x-1)=1.
移项，化简，得
x=1
将x=1代入原方程检验，此时方程中分式的分母的值为0,分式无
意义.
所以x=1不是原方程的解，原方程无解.
新课讲授
你能归纳出解分式方程的一般步骤吗?
新课导入
京沪高铁上海虹桥站至北京南站全程约1318km.如果某趟列车的平
1
均速度提高 ，其从上海虹桥站至北京南站的行驶时间将缩短37min，
6
那么这趟列车提速前后的平均速度分别为多少(结果精确到1km/h)?
新课讲授
设火车提速前的平均速度是xkm/h，根据问题可以列出方程
1318 1318 37
2 1
(3) + =
2
1;
2x=x-2
移项，化简，得
x=-2
将x=-2代入原方程检验，得
2
1
左边=
=- =右边
−2−2 2
所以原方程的解是x=-2.
4
1
(4)
=
−3 3−
+2.
学以致用
基础巩固题
2.解方程：
2
(1) =5;

2 1
(2)
= ;
−2
解： (3)方程两边同乘2x,得
2 1
的分母的值为0，所以x=2不是原分式方程
−2
的解.
沪教版（2024）七年级数学上册
第13章 分式
13.3 分式方程(一)

8.5分式方程(1)

8.5分式方程(1)

1.怎样解下列方程?
x 1 x 3 2 去分母 两边都乘以分母的最小公倍数 6
2.怎样解下列分式方程?
24 20 x 1 x
去分母 方程两边同乘最简公分母x(x+1)
让我们都来动手试一试！！！
例１ 解方程：
3 2 0 x x2
注意：解分式方程一定要检验.
下列各分式方程，去分母时 要乘以的式子分别是什么？
设原两位数的十位数字是x，则可 以列出方程
40 + x 7 = 10 x + 4 4
问题中所列的各方程与一元一 次方程有没有区别？若有,其本质区 别是什么?
所列方程的分母中含有未知 数。
8.5 分式方程(1)
★ 分式方程：
分母中含有未知数
★ 以前熟悉的方程中，不是分式方程的是（
40 x 7 ⑴ 10x 4 4 15 15 2 ⑵ x 3x 3 4 4 20 ⑶ x 2 x 60 y4 y ⑷ 2 1 y y y 1
4(10x 4) 或 4(5 x 2)
3x
3x 等 60 x 或 6 x、
y ( y 1)
不要忘记“-1”！
问题情境1
京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的 交通大动脉,全长约1500km，是我国最繁忙的 铁路干线之一。 如果货运列车的速度为xkm/h,快速列车的 速度为货运列车2倍，那么: (1)货运列车从北京到上海需要多长时间?
(2)快速列车从北京到上海需要多长时间?
(3)从北京到上海快速列车比货运列车少 用12小时,你能就此列出一个方程吗?
分式方程：分母中含有未知数
分式方程通过去分母化为熟悉的
方程（一元一次方程）
解分式方程要检验

分式方程的解法(1)

分式方程的解法(1)
所以，x=5不是原方程的解，原方程无解.
例解下列分式方程：x 2x (1) 1 x 1 3x 3
x 3 (2) 1 x 1 ( x 1)( x 2)
解下列分式方程：
1 2 (1) 2x x 3
2 4 (2) 2 x 1 x 1
5 1 (3) 2 2 0 x x x x
顺航 逆航
时间(h)
100 v 20 60 v 20
v+20
v-20
100 60 20 v 20 v
归纳
比较
x x3 1 3 2
整式方程
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
练习1：下列方程中不是分式方程的是( A )
x x 1 A. 3 2 1 ( x 1) 3 C. x
分式方程的解法(1)
x x3 复习 解一元一次方程： 1 3 2
解：方程两边同乘以6，得 去分母 去括号 移项、合 并同类项 系数化为1
2 x 3( x 3) 6
2 x 3x 9 6 5x 15 x3
导入：一艘轮船在静水中的最大速度为 20km/h，它沿江以最大航速顺流航行 100km所用的时间，与以最大速度逆流 航行60km所用时间相等，江水的流速 为多少？ 设江水的流速为vkm/h 速度(km/h)
2 x 1 B. x 5 6 1 2 1 D. 2 x 3 x
探究 怎样解分式方程
100 60 20 v 20 v
解：方程两边同乘以 (20 v)( 20 v) ,得
100(20 v) 60(20 v)
解得 v 5
最简公分母
左边=右边 检验：将v=5代入原方程， 所以，v=5是原方程的解

八年级数学分式方程1(1)


5、想一想解分式方程一般需要经过哪几个步骤？
去分母（注意防止漏乘）；
去括号（注意先确定符号）
合并同类项； 移项； 未知数的系数化为1； 验根（解分式方程必须要验根）。
解下列分式方程
例1:
3 5 x x 1
x2 x2 16 例 2： x 2 x 2 x 2 4
分式方程 一元一次方程 求出根
情境创设
练习:解下列分式方程 3 1 0 （ 1） x 3 x 1
5 x 4 4 x 10 （ 2） 1 x 2 3x 6
探索活动
为什么练习(2)中 x=2 不是原方程的解?
1、试比较练习(1)与练习(2),从解题步骤上来 看,它们有差异吗? 2、那你能说为什么用同样的方法解分式 方程,一个有解一个无解? 探究分式方程无解有原因:由变形后的方程解 出的根,使分式方程中的分母等于0,从而使分式 方程无意义.
流航行50km所用时间的2倍，如果水流速度 是2km/h，求轮船在静水中的速度。
思维拓展
1 、若方程
m4 x 0 x 1 x 1
有增根,
则增根只能是x=_________ 1
m4 x 0 2 、已知方程 x 1 x 1
有增根,
试求出m的值.
课堂小结
1、解分式方程的一般步骤是什么？解分式 方程和我们前面学习的解一元一次方程有 什么样的不同之处？又有什么样的联系？ 2、谈谈你解分式方程的转化思想？ 3、谈谈本节课你有什么样等于0 不等于0 等于0 是增根,所以 是原方程的根 原方程无解.
随堂 1 练习
1 、解分式方程：
7 5 (1) x2 x
1 1 x 4 x 3 2x 3 (3) 5 (2) x 1 x 1 x2 2 x

分式方程(一)

总产量 土地面积
3、第一块试验田每公顷的产量 3000kg 方程为
第二块试验田每公顷的产量。
9000 15000 x x 3000
高速公路问题
从甲地到乙地有两条长路：一条是全长600
km 的普通公路，另一条是全长480
km的高速公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45
x 满足怎样的方程？
解：
4800 5000 x x 20
课时小结
对于一个现实问题
找到它的等量关系
建立分式方程
分母中含有未知数的方程叫做分式方程
同时注意每一步的实际意义。
布置作业： 1、1，3,5号学习检测的前四部分部分 2、2,4,6学习检测的前三部分
小麦试验田问题
例:有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，
分别收获小麦9000kg和15000kg。已知第一块试验田每公顷的产量比第二块 少3000kg，分别求出这两块试验田每公顷的产量。
你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg ，那么第二块试验田每公顷的 (x+3000) 产量是___________kg. 根据题意，可得方程_________________________ 解: 1、第一块试验田的 面积 =第二块试验田的面积。 2、每公顷的产量
解:等量关系有 （1）600km=客车在普通公路上行驶的平均速度 从甲地到乙地的时间。 （2）480 km=客车在高速公路上行驶的平均速度 客车由高速公路 从甲地到乙地的时间。 （3）客车在高速公路上行驶的平均速度减去客车在普通公路上 行驶的平均速度 45km / h
1 （4）由高速公路从甲地到乙地的时间 由普通公路从甲地到乙地的时间。 2

分式方程（一）教案

5.4.1 分式方程（一）教学设计
2、甲、乙两班参加植树活动，已知乙班每小时比甲班多种3棵树，甲班种62棵树所用的时间与乙班种68棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树?
课堂小结 1.利用分式方程模型解决实际问题:
问题情境---提出问题---建立分式方程模型---解
决问题
2. 列分式方程的一般步骤小节由同学们
讨论，教师只
是顺势把学生
的话进行一个
归纳总结。

关注学生从现实
生活中发现并提
出数学问题的能
力，关注学生能
否尝试用不同方
法寻求问题中数
量关系，并用分
式方程表示，能
否表达自己解决
问题的过程。

板书
5.4.1 分式方程(一)
1、利用分式方程模型解决实际问题
2、列分式方程的一般步骤
例题
变式。

分式方程(1)

第二个相等关系：。
⑵提示：由总产量=单位面积的产量×面积总数，
可得：面积总数=
⑶填表：用已知数或含x的式子表示。
总产量（kg）
单位面积产量
面积数
第一块地
x kg／公顷
公顷
第二块地
⑷根据以上分析列方程得：
2.照着上面的分析步骤读86页第二个问题：
⑴同上：相等关系①
②
⑵由路程=速度×时间，可得:
时间=
⑶自己设计表格：
整式方程：
分式方程：
学习目标：能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型。
重点与难点：构建分式方程的概念。
一、自主学习（生活离不开数学，数学伴随着生活）
1.仔细阅读教材86页第一个问题：回答下面问题：
⑴在书上用“”线画出表示相等关系的话语，并用数学式子写出来。
例：第一个相等关系：第一块地的面积=第二块地的面积。
1、P87随堂练习：你能写出几个方程，尽可能地写出，并指出哪个是分式方程。
提示：上一年投资额×（1+增加了的百分率）=下一年的投资额。
2、P88问题解决2 3、P88问题解决3
四、拓展检测
1．下列关于x的方程是分式方程的是（填序号）
① =5② （x+3）+2= ③ ④ =
2.一个正多边形的每个内角都是172°，求它的边数n满足的
⑷根据以上分析列方程：教学反思（疑惑）第4 Nhomakorabea页第42页
初二年级数学科自主探究学案主备:吴秀萍时间：3月24日
学习内容：分式方程（一）
教学设计(收获)
3．请自做：做一做
解：设第一次捐款人数为x人，
由题意可得（方程）
4．通过以上分析所得方程特点：这样的方程叫做方程。
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总产量 土地面积
3、第一块试验田每公顷的产量 3000kg 第二块试验田每公顷的产量。 方程为
9000 x 15000 x 3000
高速公路问题
从甲地到乙地有两条长路：一条是全长600
km 的普通公路，另一条是全长480
km的高速公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45
km / h ，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需
时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间。 这一问题中有哪些等量关系？ 如果设客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为 xh ，那么它由普通公路从 甲地到乙地所需的时间为 _________________
h
根据题意，可得方程________________________.
你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg ，那么第二块试验田每公顷的 (x+3000) 产量是___________kg. 根据题意，可得方程_________________________ 解: 1、第一块试验田的 面积 =第二块试验田的面积。 2、每公顷的产量
练习3：中国2002年吸收外国的投资总额达 530亿美员元， 比上一年增加了13%，设2001年我国吸收外国的投资为x亿 美元，请你 写出x满足的方程式？
积累与总结： •什么是分式方程？ •注意掌握列分式方程的基本步骤： 一审：审清题意，弄清已知量与未知量之间的数量 关系和相等关系。 二设：设未知数。 三列：列代数式，列方程。
达标测评：1.下列各式中，是分式方程的是(
x2 2y z 3
3 4
)
y
1
A.x+y=5
B.
5
2 ax 3
C. x
D. x 5 =0 )
2.关于 x 的方程 a x A.1 B.3
的根为 x=1，则 a 应取值( D.－3
C.－1
3.沿河两地相距 s 千米，船在静水中的速度为 a 千米/时，水流速度为 b 千米/时， 此船一次往返所需时间为( A. a b 小时
新华中学
学习目标： •通过对实际问题的分析，感受分式 方程是刻画现实世界的有效模型，归 纳分式方程的概念。 •在活动中培养学生乐于探究合作学 习的习惯，培养学生努力寻找解决问 题的进取心，体会数学的应用价值。
小麦试验田问题
例:有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，
分别收获小麦9000kg和15000kg。已知第一块试验田每公顷的产量比第二块 少3000kg，分别求出这两块试验田每公顷的产量。
480 x 600 2x 45
比较左右两边的方程, 有什么不同?
1 -2 y= 3 y- 1 = 2 y+ 2 4 y+ 2 5 6 x -2 = 4 x + 5 4
9000 x
480 x

15000 x 3000
45 2x
600
分母中含有_________的方程叫做分式方程
练习 1： 下列各式中，是分式方程的是(
解:等量关系有 （1）600km=客车在普通公路上行驶的平均速度 从甲地到乙地的时间。 （2）480 km=客车在高速公路上行驶的平均速度 客车由高速公路 从甲地到乙地的时间。
（3）客车在高速公路上行驶的平均速度减去客车在普通公路上 行驶的平均速度 45km / h 1 （4）由高速公路从甲地到乙地的时间 由普通公路从甲地到乙地的时间。 2 第二问： 2 x 第三问： 21
280
x
=14
B. x

280 x 21 =14
140
C. x

140 x 21 =14
10
D. x

10 x 21 =1
2s
)
s
B. a b 小时
2s
C.( a

s b )小时
s
D.( a b

s ab
)小时
4.赵强同学借了一本书，共 280 页，要在两周借期内读完.当他读了一半时，发现平均 每天要多读 21 页才能在借期内读完.他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半 时，平均每天读 x 页，则下面所列方程中，正确的是(
x2 2y z 3
)
1
C. x
A.x+y=5
练习 2：
y
B.
5
D. x 5 =0
为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款， 已知第一次捐款总额为 4800 元，第二次捐款总额 5000 元，第二次捐款人 比第一次多 20 人，而且两次人均捐款额正好相等，如果设第一次捐款的人 数为 x 人，那么你能列出分式方程吗？