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第二节 两直线的位置关系、距离公式考试要求：1．能根据两条直线的方程判定这两条直线平行或垂直(逻辑推理)．2．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离(数学运算)．一、教材概念·结论·性质重现1．两条直线的位置关系(1)利用斜率关系判断对于不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2．l1∥l2k1＝k2l1⊥l2k1·k2＝－1特别地，当两直线的斜率都不存在时，l1∥l2；当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2．(2)利用方程判断l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2，C2均不为0)，l1∥l2＝≠l1⊥l2A1A2＋B1B2＝0l1与l2重合＝＝特别地，若A2，B2，C2中存在为0的情况，则利用斜率关系判断．(3)两直线相交交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解．(1)与直线Ax＋2．三种距离(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|＝．(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．(3)两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中A2＋B2≠0，C1≠C2)间的距离d＝．应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意：二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2．( × )(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1．( × )(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为．( × )(4)两平行直线2x－y＋1＝0,4x－2y＋1＝0间的距离为0．( × ) 2．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则实数m的值为( )A．0 B．－8 C．2 D．10B 解析：由题意知＝－2，解得m＝－8．故选B．3．如果平面直角坐标系内的两点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为( )A．x－y＋1＝0 B．x＋y＋1＝0C．x－y－1＝0 D．x＋y－1＝0A 解析：因为直线AB的斜率为＝－1，所以直线l的斜率为1．设直线l的方程为y ＝x＋b，由题意知直线l过线段AB的中点，所以＝＋b，解得b＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0．故选A．4．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为____ ____．C 解析：若直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或－3．5．已知两条直线l1：4x＋2y－3＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1与l2之间的距离为___ _____． 解析：两条直线l1：4x＋2y－3＝0，l2：2x＋y＋1＝0，即两条直线l1：4x＋2y －3＝0，l2：4x＋2y＋2＝0，它们之间的距离d＝＝．考点1 两直线平行与垂直判定及应用——基础性1．“m＝1”是“直线l1：mx＋y－1＝0和直线l2：x＋my＋6＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A 解析：直线l1：mx＋y－1＝0和直线l2：x＋my＋6＝0平行⇔m2＝1⇔m＝±1，“m＝1”是“m＝±1”的充分不必要条件．故选A．2．若直线2x＋(2a－5)y＋2＝0与直线bx＋2y－1＝0互相垂直，则a2＋b2的最小值为( )A． B．3C．5 D．C 解析：因为直线2x＋(2a－5)y＋2＝0与直线bx＋2y－1＝0互相垂直，所以2b＋2(2a－5)＝0，化简得b＝5－2a，所以a2＋b2＝a2＋(5－2a)2＝5a2－20a＋25＝5(a－2)2＋5≥5，当且仅当a＝2时取“＝”，所以a2＋b2的最小值为5．3．已知直线l1：mx＋y－1＝0，l2：(2m＋3)x＋my－1＝0，m∈R，若l1⊥l2，则m＝________．0或－2 解析：若l1⊥l2，则m(2m＋3)＋m＝0，解得m＝0或m＝－2，即l1⊥l2⇔m＝0或m＝－2．1．当方程的系数含有字母时，应考虑斜率不存在的特殊情况，否则容易漏解．2．利用平行、垂直等条件求出参数值后，应将求出的参数值回代，验证是否符合题意．如当两直线平行时，利用斜率相等求出的参数值可能会使两直线重合，应该代入验证是否舍去其中一个值．考点2 两直线的交点、距离问题——综合性(1)已知直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A．4 B．C． D．B 解析：由直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行，得m＝4，所以直线分别为3x＋2y－3＝0与3x＋2y＋＝0．它们之间的距离是＝．故选B．(2)直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为( )A．－24 B．24 C．6 D．±6 A 解析：直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，可设交点坐标为(a,0)，则即故选A．本例1(1)中，条件“直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行”改为“直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相垂直”，求两直线的交点坐标．解：因为两直线垂直，则18＋2m＝0，则m＝－9．由解得所以交点坐标为．1．求过两直线交点的直线方程的方法1．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为( )A．(1,2) B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)C 解析：设P(x,5－3x)，则d＝＝，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，即x＝1或x＝2，故点P的坐标为(1,2)或(2，－1)．故选C．2．已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点Q，且点P(0,4)到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为( )A．0 B．1C．2 D．3C 解析：由得即直线l过点Q(1,2)．因为|PQ|＝＝>2，所以满足条件的直线l有2条．故选C．考点3 对称问题——应用性考向1 点关于点对称过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．x＋4y－4＝0 解析：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把点B的坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0．考向2 点关于直线的对称点已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________． 解析：设A′(x，y)，由已知得解得故A′．则有(2)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决．考向3 直线关于直线的对称已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0．若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是( )A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0B 解析：由得交点(1,0)，取l1上的点(0，－2)，其关于直线l的对称点为(－1，－1)，故直线l2的方程为＝，即x－2y－1＝0．1．已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为( )A．2x＋3y＋5＝0 B．3x－2y＋5＝0C．3x＋2y＋5＝0 D．2x－3y＋5＝0B 解析：易知A(－1,1)．设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，又－＝，所以直线l2的方程为y－1＝(x＋1)，即3x －2y＋5＝0．故选B．2．若函数y＝ax＋8与y＝－x＋b的图象关于直线y＝x对称，则a＋b＝( )A． B．－C．2 D．－2C 解析：直线y＝ax＋8关于y＝x对称的直线方程为x＝ay＋8，所以x＝ay＋8与y＝－x＋b为同一直线，则所以a＋b＝2．故选C．。
第二节 两条直线的位置关系☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2。
特别地，当直线l 1、l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行。
与Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线，可设为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )。
(2)两条直线垂直：如果两条直线l 1、l 2斜率存在，设为k 1、k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直。
与Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线可设为Bx －Ay ＋n ＝0。
2．两直线相交(1)交点：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应。
(2)相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解。
(3)平行⇔方程组无解。
(4)重合⇔方程组有无数个解。
3．三种距离公式(1)点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)间的距离为 |AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12。
(2)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离为 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2。
(3)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离为d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2。
4．对称问题(1)点P (x 0，y 0)关于点A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)。
(2)设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ′－y 0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y2＝k ·x ′＋x2＋b ，可求出x ′，y ′。
第47讲 两条直线的位置关系
课时达标
一、选择题
1．若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，那么a 的值等于( ) A ．1 B ．－13
C ．－23
D ．－2
D 解析 由a ×1＋2×1＝0得a ＝－2.故选D.
2．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0
D ．x ＋2y －1＝0
C 解析 设直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，将(1,0)代入， 求得c ＝－2，所以所求方程为2x ＋y －2＝0.故选C.
3．(2019·平顶山统考)已知点A (1，－2)，B (m,2)，若线段AB 的垂直平分线的方程是
x ＋2y －2＝0，则实数m 的值为( )
A ．－2
B ．－7
C ．3
D ．1
C 解析 因为A (1，－2)和B (m,2)的中点⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，所以1＋m 2＋2×0－2＝0，所以m ＝3.
4．“m ＝1”是“直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直” 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
C 解析 因为m ＝1时，两直线方程分别是x －y ＝0和x ＋y ＝0，两直线的斜率分别是1和－1，所以两直线垂直，所以充分性成立；当直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直时，有1×1＋(－1)·m ＝0，所以m ＝1，所以必要性成立．故选C.
5．(2019·常德一中月考)已知点M 是直线x ＋3y ＝2上的一个动点，且点P (3，－1)，则点|PM |的最小值为( )
A.1
2 B ．1 C ．2
D ．3
B 解析 |PM |的最小值即为点P (3，－1)到直线x ＋3y ＝2的距离，又
|3－3－2|
1＋3＝1，故|PM |的最小值为1.
6．(2019·襄阳四中月考)已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，
B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点
C 的坐标为( )
A ．(－2,4)
B ．(－2，－4)
C ．(2,4)
D ．(2，－4)
C 解析 设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧
y －2
x ＋4×2＝－1，
y ＋22＝2×－4＋x
2
，解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝4，y ＝－2，
即(4，－2)．所以直线BC 所在的方程为y －1＝－2－1
4－3
(x －3)，即3x ＋y
－10＝0.
联立⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x ＋y －10＝0，y ＝2x 解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝4，可得C (2,4)．
二、填空题
7．经过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2
－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线的方程是________．
解析 因为y ′＝6x －4，所以y ′|x ＝1＝2，所以所求直线方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.
答案 2x －y ＋4＝0
8．与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________． 解析 l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －3
2＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直
线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则|c ＋6|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋32，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0.
答案 12x ＋8y －15＝0
9．已知定点A (1,1)，B (3,3)，动点P 在x 轴上，则|PA |＋|PB |的最小值是________． 解析 点A (1,1)关于x 轴的对称点为C (1，－1)，则|PA |＝|PC |，设BC 与x 轴的交点为
M ，则|MA |＋|MB |＝|MC |＋|MB |＝|BC |＝2 5.由三角形两边之和大于第三边知当P 不与M 重
合时，|PA |＋|PB |＝|PC |＋|PB |＞|BC |，故当P 与M 重合时，|PA |＋|PB |取得最小值．
答案 2 5 三、解答题
10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线的方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线的方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．
解析 依题意知k AC ＝－2，A (5,1)，所以直线AC 的方程为2x ＋y －11＝0，联立直线AC 和直线CM
的方程，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x ＋y －11＝0，
2x －y －5＝0，所以C (4,3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为
⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0
－1＝0，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，所以B (－
1，－3)，所以k BC ＝65，所以直线BC 的方程为y －3＝6
5
(x －4)，即6x －5y －9＝0.
11．已知直线l 1：x ＋a 2
y ＋1＝0和直线l 2：(a 2
＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R )． (1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．
解析 (1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2
＋1)a 2
＝0，
即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝
⎛⎭⎪⎫a 2＋122＋14.因为a 2
≥0，所以b ≤0.又因为l 1与l 2不
重合，所以a 2
＋1≠3，
所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．
(2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2
b ＝0，显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a
，|ab |＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a ＋1a ≥2，
当且仅当a ＝±1时，等号成立，因此|ab |的最小值为2.
12．(2019·信阳调考)已知直线m ：2x －y －3＝0与直线n ：x ＋y －3＝0的交点为P . (1)若直线l 过点P ，且点A (1,3)和点B (3,2)到直线l 的距离相等，求直线l 的方程； (2)若直线l 1过点P 且与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，△ABO 的面积为4，求直线l 1的方程．
解析 (1)由⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝1，即交点P (2,1)．由直线l 与A ，B 的距离相
等可知，l ∥AB 或l 过AB 的中点．
①由l ∥AB 得k l ＝k AB ＝2－33－1＝－12，所以直线l 的方程为y －1＝－1
2(x －2)，即x ＋2y
－4＝0.
②由l 过AB 的中点得l 的方程为x ＝2. 综上得x ＋2y －4＝0或x ＝2为所求．
(2)由题可知直线l 1的横、纵截距a ，b 存在，且a ＞0，b ＞0，则l 1：x a ＋y
b
＝1.又直线
l 1
过点(2,1)，△ABO 的面积为4，所以⎩⎪⎨⎪⎧
2a ＋1b ＝1，
1
2ab ＝4，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝4，
b ＝2，
故直线l 1的方程
为x 4＋y
2
＝1，即x ＋2y －4＝0.
13．[选做题](2019·华大新高考联盟联考)已知m ，n ，a ，b ∈R ，且满足3m ＋4n ＝6,3a ＋4b ＝1，则
m －a
2
＋n －b
2
的最小值为( )
A. 3
B. 2 C ．1
D.12
C 解析 (m ，n )为直线3x ＋4y ＝6上的动点，(a ，b )为直线3x ＋4y ＝1上的动点，
m －a
2
＋n －b
2
的最小值可理解为两动点间距离的最小值，显然最小值是两平行线
间的距离，所以d ＝
|6－1|
9＋16
＝1.故选C.。
