2020高考数学(理)专项复习《解析几何》含答案解析

高考数学解析几何专题练习及答案解析版-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高考数学解析几何专题练习解析版82页1．一个顶点的坐标()2,0，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 141322=+y x2．已知双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过左焦点F 1的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3B ．32+C ． 31+D ． 323．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点，且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ）A ．1B ． 2C ．3D ．44．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( )（Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65,2(π B ．)6,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π7．曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ）A ． 54B ．45C ．254D ．4259． 圆06422=+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、1310．椭圆12222=+by x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )A.1222=+y x B. 13222=+y x C.12222=+y x D.13222=+y x 11．过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点M ，若MAB ∆是直角三角形，则此双曲线的离心率e 的值为 （ ）A ．32 B ．2 C ．2 D ．312．已知)0(12222>>=+b a b y a x ，N M ,是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点且直线PN PM ,的斜率分别为21,k k ，021≠k k ，则21k k +的最小值为1,则椭圆的离心率为( ). (A)22 (B) 42 (C) 23 (D)43 13．设P 为双曲线11222=-y x 上的一点，F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若2:3:21=PF PF ，则△PF 1F 2的面积为（ ） A ．36B ．12C ．123D ．2414．如果过点()m P ,2-和()4,m Q 的直线的斜率等于1,那么m 的值为( ) A ．4B ．1C ．1或3D ．1或415．已知动点(,)P x y 在椭圆2212516x y +=上,若A 点坐标为(3,0),||1AM =,且0PM AM ⋅=则||PM 的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．2D ．316．直线l 与抛物线交于A,B 两点;线段AB 中点为，则直线l 的方程为 A 、 B 、、 C 、D 、17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（ ）（A ）1 （B （C （D ）218．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为( )A.内切B.相交C.外切D.相离19．已知点P 在定圆O 的圆内或圆周上,动圆C 过点P 与定圆O 相切,则动圆C 的圆心轨迹可能是( ) (A)圆或椭圆或双曲线 (B)两条射线或圆或抛物线 (C)两条射线或圆或椭圆 (D)椭圆或双曲线或抛物线20．若直线l ：y ＝kx 与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．[6π，3π) B ．(6π，2π) C ．(3π，2π) D ．[6π，2π] 21．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．23B ．32 C ．32- D ． 23-22．已知点()()0,0,1,1O A -，若F 为双曲线221x y -=的右焦点，P 是该双曲线上且在第一象限的动点，则OA FP ⋅的取值范围为（ ）A ．)1,1 B ．C ．(D ．)+∞23．若b a ,满足12=+b a ，则直线03=++b y ax 过定点（ ）.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,61 B .⎪⎭⎫ ⎝⎛-61,21 C .⎪⎭⎫ ⎝⎛61,21 .D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,6124．双曲线1922=-y x 的实轴长为 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 125．已知F 1 、F 2分别是双曲线1by a x 2222=-（a>0,b>0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若︒=∠9021PF F ,且21PF F ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）A ．2B ． 3C ． 4D ． 526．过A(1，1)、B(0，-1)两点的直线方程是( ) A.B.C. D.y=x27．抛物线x y 122=上与焦点的距离等于6的点横坐标是（ ） A ．1 B ．2 Ｃ．3 Ｄ．428．已知圆22:260C x y x y +-+=，则圆心P 及半径r 分别为 （ ） A 、圆心()1,3P ，半径10r =； B 、圆心()1,3P ，半径10r =；C 、圆心()1,3P -，半径10r =；D 、圆心()1,3P -，半径10r = 29．F 1、F 2是双曲线C ：x 2－22y b＝１的两个焦点，P 是C 上一点，且△F 1PF 2是等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为 A ．12 B ．22C ．32D ．3230．圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（ ）Ａ．21)2()3(22=-++y x Ｂ．21)2()3(22=++-y x Ｃ．2)2()3(22=-++y xＤ．2)2()3(22=++-y x31．如图，轴截面为边长为34等边三角形的圆锥，过底面圆周上任一点作一平面α，且α与底面所成二面角为6π，已知α与圆锥侧面交线的曲线为椭圆，则此椭圆的离心率为（ ）（A ）43 （B ）23 （C ）33 （D ） 22 32．已知直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线C ：28y x =相交于A.B 两点，F 为C的焦点，若2FA FB=，则k =（ ）A. 13B. 2C. 23D. 2233．已知椭圆23)0(1:2222的离心率为>>=+b a by a x C ，过右焦点F 且斜率为)0(>k k 的直线与B A C ,相交于两点，若3=，则=k （ ） A. 1 B ．2 C ． 3 D ．234．已知抛物线2:2(0)C y px p =＞的准线为l ，过(1,0)M 且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ．若AM MB =，则P 的值为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）435．若动圆与圆(x -2)2+y 2=1外切，又与直线x +1=0相切，则动圆圆心的轨迹方程是 ( )A.y 2=8xB.y 2=-8xC.y 2=4xD.y 2=-4x36．若R k ∈，则方程12322=+++k y k x 表示焦点在x 轴上的双曲线的充要条件是（ ）A ．23-<<-kB ．3-<kC ．3-<k 或2->kD ．2->k37．点（-1，2）关于直线y =x -1的对称点的坐标是 （A ）（3，2） （B ）（-3，-2） （C ）（-3，2）（D ）（3，-2）38．设圆422=+y x 的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点B A 、, 则AB 的最小值为( )A 、4B 、24C 、6D 、839．圆220x y ax by +++=与直线220(0)ax by a b +=+≠的位置关系是 ( )A ．直线与圆相交但不过圆心.B ． 相切.C ．直线与圆相交且过圆心.D ． 相离40．椭圆的长轴为A1A2，B 为短轴的一个端点，若∠A1BA2=120°，则椭圆的离心率为A ．36B ．21C ．33D ．2341．已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为（ ）A ．(x ＋1)2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y －1)2＝142．已知直线l 经过坐标原点，且与圆22430x y x +-+=相切，切点在第四象限，则直线l 的方程为( )A.3y x = B ．3y x = C ．33y x =D ．3y x =43．当曲线214y x =+-与直线240kx y k --+=有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是 （ ） A ．5(0,)12 B ．13(,]34 C ．53(,]124 D ．5(,)12+∞44．已知F 1、F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任意一点且212||8||PF a PF =，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A. (1,2]B. [2 +∞)C. (1,3]D. [3，+∞)45．已知P 是圆22(3)(3)1x y -+-=上或圆内的任意一点，O 为坐标原点，1(,0)2OA =，则OA OP ⋅的最小值为（ ）A ．12B ．32C ．1D ．246．已知0AB >且0BC <，则直线0Ax By C ++=一定不经过( ) （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 47．[2012·课标全国卷]等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB|＝43，则C 的实轴长为( ) A.2 B.22 C.4 D.8 48．双曲线具有光学性质：“从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点。

秘籍05平面解析几何1．已知直线l1:ax+2y-1=0,直线l2:8x+ay+2-a=0,若l1∥l2,则实数a的值为( )A.4±B.-4C.4D.2±【答案】B解析:由2a-2×8=0,得a=±4.当a=4时,l1:4x+2y-1=0,l2:8x+4y-2=0,l1与l2重合.当a=-4时,l1:-4x+2y-1=0,l2:8x-4y+6=0,l1∥l2.综上所述,a=-4.故选:B由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解.2.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．2√3B．2C．√6D．√3【答案】A【解析】：根据题意：直线方程为：y=√3x，∵圆x2+y2﹣4y=0，∴圆心为：（0，2），半径为：2，圆心到直线的距离为：d=1，∴弦长为2√4−1=2√3，故选：A．3．直线l 过点（﹣4，0）且与圆（x +1）2+（y ﹣2）2=25交于A 、B 两点，如果|AB|=8，那么直线l 的方程为（ ） A ．5x+12y+20=0 B ．5x ﹣12y+20=0或x+4=0C ．5x ﹣12y+20=0D ．5x+12y+20=0或x+4=0【答案】D解析：当切线的斜率不存在时，直线l 的方程为 x+4=0，经检验，此直线和圆相切，满足条件． 当切线的斜率存在时，设直线l 的方程为 y ﹣0=k （x+4 ），即 kx ﹣y+4k=0， 则圆心（﹣1，2）到直线l 的距离为 d=|−k−2+4k|√k 2+1=|3k−2|√k 2+1．再由 d 2+(AB2)2=r 2，得|3k−2|√k 2+1=3，∴k=﹣512，∴直线l 的方程为 y ﹣0=﹣512（x+4），即 5x+12y+20=0． 故选：D ．1．涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：一是利用半径长r 、弦心距d 、弦长l 的一半构成直角三角形，结合勾股定理222()2ld r +=求解；二是若斜率为k 的直线l 与圆C 交于1122,,()()A x y B x y ，两点，则212||1||AB k x x =+-.2．求两圆公共弦长一般有两种方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解；二是求出两圆公共弦所在直线的方程，转化为直线被圆截得的弦长问题.4．己知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 作圆222x y b +=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为( ) A ．12B ．22C ．23D ．63【答案】D 解析：如图，由题意可得，2b c =，则222b c =， 即2222()a c c -=，则2223a c =，∴2223c a =，即63c e a ==．故选：D ．5．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且123F PF π∠=，若△12F PF 的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当4R r =时，椭圆的离心率为( ) A ．45B ．23C ．12D ．25【答案】B【解析】：椭圆的焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c ，12||2F F c =， 根据正弦定理可得1212||2432sin 3sin 3F F c cR F PF π===∠， 233c R ∴=，1346cr R ==． 设1||PF m =，2||PF n =，则2m n a +=， 由余弦定理得，2222242cos()3433c m n mn m n mn a mn π=+-=+-=-，224()3a c mn -∴=， 122213()sin 233F PF a c S mn π-∴==V ，又1213()(2)26F PF c a c S m n c r +=++=V g ， ∴223()3()36a c a c c-+=，即22230a c ac --=，故2320e e +-=， 解得：23e =或1e =-（舍)．故选：B ．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法： （1）求出a ,c ，代入公式c e a=. （2）只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =－转化为a ,c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或a 2转化为关于e 或e 2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）.6．已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则双曲线的离心率为( )A ．233B ．263C ．3D ．2【答案】A【解析】：双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则3tan63π=， 所以该条渐近线方程为33y x =； 所以233a =， 解得6a =；所以226222c a b =+=+=， 所以双曲线的离心率为222336c e a ===． 故选：A ．7．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以1F 为圆心，12||F F 为半径的圆与C 的公共点为P ，若△12PF F 是直角三角形，则C 的离心率为( ) A ．2-1B ．51-C ．21+D ．51+【解析】：由题意知121||2||F F c PF ==，若△12PF F 是直角三角形，则122PF F π∠=，且2||22PF c =，又由双曲线的定义，可得21||||2PF PF a -=， 可得2||2222PF a c c =+=，即2(222)a c=-， 由121c e a ==-，解得21e =+， 故选：C ．求双曲线的离心率一般有两种方法（1）由条件寻找,a c 满足的等式或不等式，一般利用双曲线中a b c ，，的关系222c a b =+将双曲线的离心率公式变形，即2222111c b e a abc ==+=-，注意区分双曲线中a b c ，，的关系与椭圆中a b c ，，的关系，在椭圆中222a b c =+，而在双曲线中222c a b =+.（2）根据条件列含,a c 的齐次方程，利用双曲线的离心率公式ce a=转化为含e 或2e 的方程，求解可得，注意根据双曲线离心率的范围1()e ∈+∞,对解进行取舍.8．如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F ，过抛物线上一点A （3，y ）作准线l 作垂线，垂直为B ，若△ABF 为等边三角形，则抛物线的标准方程是（ ）A ．y 2=12xB ．y 2＝xC ．y 2＝2xD ．y 2＝4x【解析】：设直线l交x轴于点C∵AB⊥l，l⊥x轴，∴AB∥x轴，可得∠BFC＝∠ABF＝60°，Rt△BCF中，|CF|＝|BF|cos60°＝p，解得|BF|＝2p，由AB⊥y轴，可得3+p2=2p，∴p＝2，∴抛物线的标准方程是y2＝4x．故选：D．9．已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点P(a,4)在抛物线C上，O为坐标原点，|PF|=5，且|OP|>5.（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F，且斜率为1的直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线l′交抛物线C于M，N 两点，求四边形AMBN的面积.【解析】（1）将P(a,4)代入抛物线的方程y2=2px，得a=8p ，所以P(8p,4)，因为|PF|=5，所以8p +p2=5，整理得p2−10p+16=0，解得p=2或p=8，当p=2时，P(4,4)，满足|OP|>5；当p=8时，P(1,4)，|OP|<5，不符合题意，舍去.所以抛物线C的方程为y2=4x.（2）因为l的方程为x=y+1，代入C：y2=4x，得y2−4y−4=0.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=4，y1y2=−4，故AB的中点为D(3,2)，|AB|=√12+1√(y1+y2)2−4y1y2=8.又因为l′的斜率为-1，所以l′的方程为y−2=−(x−3)，即x=−y+5.将上式代入C：y2=4x，并整理得y2+4y−20=0.设M(x3,y3)，N(x4,y4)，则y3+y4=−4，y3y4=−20，故|MN|=√(−1)2+1√(y3+y4)2−4y3y4=8√3.所以四边形AMBN的面积S=12|AB|⋅|MN|=12×8×8√3=32√3.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.1．已知直线l1：x•sinα+y﹣1=0，直线l2：x﹣3y•cosα+1=0，若l1⊥l2，则sin2α=（）A．23B．±35C．﹣35D．35【答案】D【解析】：因为l1⊥l2，所以sinα﹣3cosα=0，所以tanα=3，所以sin2α=2sinαcosα=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=35．故选：D．两条直线的位置关系斜截式→111222::l y k x b l y k x b =+=+一般式→11112222:0:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1l 与2l 相交 12k k ≠12210A B A B -≠ 1l 与2l 垂直121k k =-12120A A B B +=1l 与2l 平行 12k k =且12b b ≠1221122100A B A B B C B C -=⎧⎨-≠⎩或122112210A B A B AC A C -=⎧⎨-≠⎩ 1l 与2l 重合 12k k =且12b b =1221122112210A B A B AC A C B C B C -=-=-=2．圆x 2+y 2-4x=0在点P (1,√3)处的切线方程为( )A.x +√3y-2=0 B .x +√3y-4=0 C .x-√3y +4=0 D .x-√3y +2=0 【答案】D【解析】:∵点P (1,√3)在圆x 2+y 2-4x=0上,∴点P 为切点.从而圆心与点P 的连线应与切线垂直. 又∵圆心为(2,0),设切线斜率为k ,∴0−√32−1·k=-1,解得k=√33. ∴切线方程为x-√3y +2=0.故选:D3.若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=相切，则a 等于( ) A ．1或3- B ．1-或3-C ．1或3D ．1-或3【答案】A【解析】：根据题意，圆22()2x a y -+=的圆心为(,0)a ，半径2r =， 若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=相切， 则圆心到直线的距离|1|22a d +==，即|1|2a +=，解可得：1a =或3-， 故选：A ．1．求过圆上的一点00(,)x y 的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k ，若k 不存在，则由图形可写出切线方程为0y y =;若0k =,则由图形可写出切线方程为0x x =;若k 存在且k ≠0，则由垂直关系知切线的斜率为1k-，由点斜式方程可求切线方程. 2．求过圆外一点00(,)x y 的圆的切线方程： （1）几何方法当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=.由圆心到直线的距离等于半径长，即可得出切线方程. （2）代数方法当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即00y kx kx y =-+,代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由0∆=,求得k ,切线方程即可求出.3．在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线3y b =与双曲线C 的右支相交于P ，若122PF PF =，则双曲线C 的渐近线方程为 A ．32y x =±B ．23y x =±C ．52y x =±D ．255y x =±【答案】C【解析】由222231y b x y ab =-=⎧⎪⎨⎪⎩，解得P(2a,√3b)，根据双曲线的定义有|PF 1|−|PF 2|=|PF 2|=2a ，双曲线的焦点F 2(c,0)， 故|PF 2|=√(2a −c )2+(√3b)2=2a ，两边平方化简得4c 2−4ac −3a 2=0， 即4e 2−4e −3=0，解得e =32， 故(b a )2=e 2−1=54，所以b a=√52，即双曲线的渐近线方程为y =±√52x .故选C ．对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式： （1）已知双曲线的方程求其渐近线方程;（2）给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定a ,b 的关系，结合已知条件可解.4．已知椭圆E : 22221(0)x y a b a b+=>>与y 轴的正半轴相交于点M ,点F 1,F 2为椭圆的焦点,且12△MF F 是边长为2的等边三角形,若直线l :y =kx+2√3与椭圆E 交于不同的两点A ,B . (1)直线MA ,MB 的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由; (2)求△ABM 的面积的最大值.【解析】(1)因为12△MF F 是边长为2的等边三角形,所以2c =2,b =√3c ,a =2, 所以a =2,b =√3,所以椭圆E :x 24+y 23=1,点M (0,√3).将直线l :y =kx+2√3代入椭圆E 的方程, 整理得(3+4k 2)x 2+16√3kx+36=0. (*) 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则由(*)式可得Δ=(16√3k )2-4(3+4k 2)×36=48(4k 2-9)>0, 所以k ∈(-∞,-32)∪(32,+∞),x 1+x 2=216334kk-+,x 1x 2=23634k +. 则直线MA ,MB 的斜率之积为k MA ·k MB =()()121212123333kx kx y y x x x x ++--⋅=()1221233k x x k x x ++=+22216333343634k k k k k ⎛⎫-⋅+ ⎪+⎝⎭=++=k 2+9−36k 236=14, 所以直线MA ,MB 的斜率之积是定值14. (2)记直线l :y =kx+2√3与y 轴的交点为N (0,2√3)， 则S △ABM =|S △ANM -S △BNM |=12|MN|·|x 2-x 1|= 2221212222223316336649()4()42234343463,1224949k k x x x x k k k k k --+-=-⋅=+++=≤-+-当且仅当4k 2-9=12,即k =±212∈(-∞,-32)∪(32,+∞)时等号成立,所以△ABM 的面积的最大值为32. 5．已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，直线y =4与y 轴的交点为P ，与抛物线C 的交点为Q，且|QF|=2|PQ|.（1）求p 的值；（2）已知点T(t,−2)为C 上一点，M,N 是C 上异于点T 的两点，且满足直线TM 和直线TN 的斜率之和为−83，证明直线MN 恒过定点，并求出定点的坐标.【解析】（1）设()0,4Q x ，由抛物线的定义，得02pQF x =+， 又2QF PQ =，即0022p x x =+，解得02p x =， 将点,42p Q ⎛⎫⎪⎝⎭代入抛物线方程，解得4p =. （2）由（1）知C 的方程为28y x =，所以点T 的坐标为1,22⎛⎫-⎪⎝⎭， 设直线MN 的方程为x my n =+，点221212,,,88y y M y N y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由28x my ny x=+=⎧⎨⎩得2880y my n --=，所以12128,8y y m y y n +==-，所以12221212228811228282MT NT y y k k y y y y +++=+=+---- ()()121212832643282481643y y m y y y y n m +--===--++--+，解得1n m =-，所以直线MN 的方程为x +1=m(y +1)，恒过点(−1,−1).定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.1．与直线 3x −2y =0 平行，且过点 (−4,3) 的直线方程为 ( ) A. y −3=−32(x +4) B. y +3=32(x −4) C. y −3=32(x +4)D. y +3=−32(x −4)2． 已知直线 l ：y =x +b 与曲线 C ：y =3−√4x −x 2 有公共点，则 b 的取值范围为 ( ) A. [−3,3] B. [3,1+2√2] C. [1−2√2,3]D. [1−2√2,1+2√2]3．圆 C:(x −1)2+y 2=25，过点 P (2,−1) 作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是 ( ) A. 10√3 B. 9√21 C. 10√23 D. 9√114．若当方程 x 2+y 2+kx +2y +k 2=0 所表示的圆取得最大面积时，则直线 y =(k −1)x +2 的倾斜角 α= ( ) A.3π4 B. π4C.3π2D.5π45．已知A （3，﹣1），B （5，﹣2），点P 在直线x+y=0上，若使|PA|+|PB|取最小值，则点P 的坐标是（ ） A ．（1，﹣1） B ．（﹣1，1）C ．（135，﹣135）D ．（﹣2，2）6．已知过点M （﹣3，﹣3）的直线l 被圆x 2+y 2+12x +4y +15=0截得的弦长为8，则直线l 的方程为（ ） A ．y=﹣3或4x ﹣3y+3=0 B ．y=﹣3或4x+3y+21=0C ．x=﹣3或4x ﹣3y+3=0D ．x=﹣3或4x+3y+21=07．已知⊙C ：x 2+y 2﹣4x ﹣6y ﹣3=0，点 M （﹣2，0）是⊙C 外一点，则过点 M 的圆的切线的 方程是（ ）A．x+2=0，7x﹣24y+14=0 B．y+2=0，7x+24y+14=0C．x+2=0，7x+24y+14=0 D．y+2=0，7x﹣24y+14=08．平面内，已知点A为定圆O外的一个定点，点B为圆O上的一个动点，点A关于点B的对称点为点C，若BD⊥AC且CD∥OB，则点D的轨迹是（）A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆9．若直线l:ax−by=2(a>0,b>0)平分圆x2+y2−2x+4y=0，则1a +1b的最小值为A．2√2B．2C．12(3+2√2)D．3+2√210．圆x2+(y+1)2=3绕直线kx-y-1=0旋转一周所得的几何体的表面积为()A.36πB.12πC.4√3πD.4π11．己知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的右焦点为F，过点F作圆222x y b+=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为()A．12B．22C．23D．6312．椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左右焦点分别为1F，2F，A为椭圆上一动点（异于左右顶点），若△12AF F的周长为6且面积的最大值为3，则椭圆的标准方程为()A．22143x y+=B．22132x y+=C．2212xy+=D．2214xy+=13．已知椭圆22:186x yC+=的左、右顶点分别为A、B，点P为椭圆C上不同于A、B两点的动点，若直线PA斜率的取值范围是[1，2]，则直线PB斜率的取值范围是()A．[2-，1]-B．3[2-，3]4-C．[1-，1]2-D．3[4-，3]8-14．已知双曲线22214x yb-=的右焦点与抛物线212yx=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为()A．42B．5C．3D．515．已知双曲线221(0)x ym nm n-=>>和椭圆22154x y+=有相同的焦点，则14m n+的最小值为()A．2B．4C．6D．916．已知双曲线22:1(0)3x C y x -=>，点(2,0)F ，点M 是曲线C 上的一个动点，点N 满足0NM NF =u u u u r u u u r g ，则点N 到原点的最短距离为( ) A ．2B ．3C ．2D ．117．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以1F 为圆心，12||F F 为半径的圆与C 的公共点为P ，若△12PF F 是直角三角形，则C 的离心率为( ) A ．2-1B ．51-C ．21+D ．51+18．设双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，命题p ：双曲线E 离心率2e =，命题q ：双曲线E 的渐近线互相垂直，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件19．已知点F 是抛物线24x y =的焦点，点P 为抛物线上的任意一点，(1,2)M 为平面上点，则||||PM PF +的最小值为( ) A ．3B ．2C ．4D ．2320. 若直线 l 过抛物线 y 2=4x 的焦点，与抛物线交于 A ，B 两点，且线段 AB 中点的横坐标为 2，则弦AB 的长为 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 821.已知A ，B 为抛物线C ：y2＝4x 上的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若AB →=5FB →，则|AB|＝（ ）A ．252B ．10C ．254 D ．622.已知椭圆x 2+2y 2=4，则以（1，1）为中点的弦的长度是（ ）A ．3√2B ．2√3C ．√303D ．3√6223．已知圆C 1:x 2+y 2-6x -7=0与圆C 2:x 2+y 2-6y -27=0相交于A,B 两点,则直线AB 的方程是 . 24．已知动圆C 与圆22(1)1x y ++=及圆22(1)25x y -+=都内切，则动圆圆心C 的轨迹方程为 ．25．与曲线2212449x y +=共焦点，而与曲线2213664x y -=共渐近线的双曲线方程为26．在椭圆x 216+y 24=1内以点P （﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为27．过椭圆C ：x 225+y 29=1右焦点F 的直线l 交C 于两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且A 不在x 轴上． （Ⅰ）求|y 1y 2|的最大值； （Ⅱ）若|AF||FB|=14，求直线l 的方程．28． 已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线为 y =√3x ，右焦点 F (4,0)，左右顶点分别为 A 1，A 2，P 为双曲线上一点（不同于 A 1，A 2），直线 A 1P ，A 2P 分别与直线 x =1 交于 M ，N 两点；（1）求双曲线的方程；（2）求证：FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值，并求此定值．29．已知双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的离心率 e =2√33，直线 l 过 A (a,0) 、 B (0,−b ) 两点，原点O 到直线 l 的距离是√32． （1）求双曲线的方程；（2）过点 B 作直线 m 交双曲线于 M 、 N 两点，若 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23，求直线 m 的方程．30． 已知椭圆 E 的方程是x 24+y 23=1，左、右焦点分别是 F 1，F 2，在椭圆 E 上有一动点 A ，过 A ，F 1 作一个平行四边形，使顶点 A ，B ，C ，D 都在椭圆 E 上，如图所示．（1）判断四边形ABCD能否为菱形，并说明理由．（2）当四边形ABCD的面积取到最大值时，判断四边形ABCD的形状，并求出其最大值．1.【答案】C【解析】因为所求直线与直线3x−2y=0的斜率相等，即为k=32，直线经过点(−4,3)，所以y−3=3 2[x−(−4)]=32(x+4)．2. 【答案】C3.【答案】C【解析】提示：最长弦为过点P的直径，最短弦经过点P且与CP垂直.4. 【答案】A【解析】方程x2+y2+kx+2y+k2=0表示的圆的半径r=√4−3k22，当k=0时，r有最大值，这时圆的面积也取得最大值，所以直线y=(k−1)x+2的斜率为−1，从而倾斜角为3π4．5.【答案】C【解析】：如下图所示：点A （3，﹣1），关于直线l ：x+y=0的对称点为C （1，﹣3）点， 由BC 的方程为：x−14=y+31，即x ﹣4y ﹣13=0，可得直线BC 与直线l 的交点坐标为：（135，﹣135）， 即P 点坐标为：（135，﹣135）时，|PA|+|PB|最小． 故选：C ． 6.【答案】C【解析】：圆x 2+y 2+12x +4y +15=0的圆心C （﹣6，﹣2），半径r=5， 若过点M （﹣3，﹣3）的直线l 被圆x 2+y 2+12x +4y +15=0截得的弦长为8， 则圆心C 到直线l 的距离d=3， 由直线l 过点M （﹣3，﹣3），当直线斜率不存在时，直线l 的方程为x=﹣3满足要求；当直线斜率存在时，设直线l 的方程为y+3=k （x+3），即kx ﹣y+3k ﹣3=0， 则|−6k+2+3k−3|√k 2+1=3，解得：k=43，故直线l 的方程为43x ﹣y+1=0，即4x ﹣3y+3=0 故选：C ． 7.【答案】C【解析】：⊙C ：x 2+y 2﹣4x ﹣6y ﹣3=0， 即（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=16，故圆心是（2，3），半径是4， 点 M （﹣2，0）是⊙C 外一点， 显然x+2=0是过点 M 的圆的一条切线， 设另一条切线和圆相切于P （a ，b ）， 则MP 的斜率是ba+2，直线直线MP 的方程是：bx ﹣（a+2）y+2b=0， 故{3−b2−a ⋅ba+2=−12b−3(a+2)+2b √b 2+(a+2)2=4，解得：{a =−26b =7，故切线方程是7x+24y+14=0， 故选：C ． 8.【答案】B【解析】：如图：延长DC ，交直线OA 与A ′，因为点A 关于点B 的对称点为点C ，若BD ⊥AC 且CD ∥OB ，所以OB ∥CA ′，BC=12CA ′， CD=DA ，所以DA ′﹣DA=CA ′=2OB 定值．2OB ＜AA ′，所求的D 轨迹是双曲线． 故选：B ．9．【答案】C【解析】将x 2+y 2−2x +4y =0化为(x −1)2+(y +2)2=5， 因为直线l:ax −by =2平分圆x 2+y 2−2x +4y =0， 所以a +2b =2，又a >0,b >0，则1a+1b=12(a +2b)(1a+1b)=12（3+2b a+ab)≥3+2√22， 当且仅当2ba =ab ，即a =√2b 时取等号. 故选C ．【名师点睛】本题考查直线和圆的位置关系、基本不等式等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力． 10.【答案】B【解析】由题意,圆心为(0,-1).又直线kx-y-1=0恒过点(0,-1),所以旋转一周所得的几何体为球,球心即为圆心,球的半径即是圆的半径,所以S=4π(√3)2=12π. 故选：B ． 11.【答案】D 【解答】：如图，由题意可得，2b c =，则222b c =， 即2222()a c c -=，则2223a c =，∴2223c a =，即63c e a ==．故选：D ． 12.【答案】A【解答】：由椭圆的定义可得2()6a c +=， 所以3a c +=①，当A 在上（或下）顶点时，△12AF F 的面积取得最大值， 即最大值为3bc =②，由①②及222a c b =+联立求得2a =，3b =，1c =，可得椭圆方程为22143x y +=，故选：A ． 13.【答案】D【解答】：设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点分别为(,0)A a -，(,0)B a ，0(P x ，0)y 为椭圆上不同于A ，B 的任意一点，则00PA y k x a =+，00PB y k x a=-， ∴20220PA PBy k k x a =-g ，由P 在椭圆上，得2200221x y a b+=， 则2202220y b x a a=--． 由椭圆22:186x y C +=，得6384PA PB k k =-=-g ，[1PA k ∈Q ，2]，∴33[44PB PA k k =-∈-，3]8-． 故选：D ． 14.【答案】B【解析】：Q 抛物线212y x =的焦点坐标为(3,0)， 依题意，249b +=， 25b ∴=．∴双曲线的方程为：22145x y -=，∴其渐近线方程为：52y x =±， ∴双曲线的一个焦点(3,0)F 到其渐近线的距离等于|530|554d ±⨯-==+．故选：B ． 15.【答案】D【解析】：椭圆22154x y +=是焦点在x 轴上的椭圆，且2541c =-=． Q 双曲线221(0)x y m n m n -=>>和椭圆22154x y +=有相同的焦点，1(0)m n m n ∴+=>>，∴141444()()5529n m n m m n m n m n m n m n+=++=+++=g …． 当且仅当4n mm n=，即13m =，23n =时取等号．∴14m n+的最小值为9． 故选：D ． 16.【答案】B【解析】：由0NM NF =u u u u r u u u rg ，得点N 的轨迹是以MF 为直径的圆，设||2MF r =，1O 为MF 的中点，(2,0)F '-， 则点N 到原点的最短距离为1111||||||23222O O r MF MF a a '-=-=⨯==， 故选：B ．17.【答案】C【解析】：由题意知121||2||F F c PF ==，若△12PF F 是直角三角形，则122PF F π∠=，且2||22PF c =，又由双曲线的定义，可得21||||2PF PF a -=， 可得2||2222PF a c c =+=，即2(222)a c =-， 由121c e a ==-，解得21e =+， 故选：C ． 18.【答案】C【解析】：双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，离心率为ce a=，由2e =，可得2c a =，即有22222c a a b ==+，可得a b =， 即有渐近线方程为y x =±，可得两渐近线垂直； 若两渐近线垂直，可得a b =，可得2e =，即有p 是q 的充要条件， 故选：C ． 19.【答案】A【解析】：抛物线标准方程24x y =，2p =，焦点(0,1)F ， 准线方程为1y =-．设p 到准线的距离为PA ，（即PA 垂直于准线，A 为垂足）， 则||||||||||3PM PF PA PM AM +=+=…， （当且仅当P 、A 、M 共线时取等号）， 故选：A ． 20.【答案】C【解析】因为抛物线为 y 2=4x ，所以 p =2， 设 A ，B 两点横坐标分别为 x 1，x 2， 因为线段 AB 中点的横坐标为 2，则 x 1+x 22=2，即 x 1+x 2=4，故 ∣AB ∣=x 1+x 2+p =4+2=6． 故选：C 21.【答案】C【解析】：设A （x1，y1），B （x2，y2），则|AB|＝（x2﹣x1，y2﹣y1）， 又F （1，0），∴FB →=(x 2−1，y 2)，∴x2﹣x1＝5x2﹣5，y2﹣y1＝5y2， ∴{x 1=5−4x 2y 1=−4y 2，由{y 22=4x 2(−4y 2)2=4(5−4x 2)，得x 2=14，x 1=4， ∴|AB|=x 1+x 2+2=254．故选：C ． 22.【答案】C【解析】：设弦的两端的端点为（a ，b ）和（2﹣a ，2﹣b ） 列方程组{a 2+2b 2=4(2−a)2+2(2−b)2=4解得a=1+√63，b=1﹣√66或a=1﹣√63，b=1+√66两端点的坐标为（1﹣√63，1+√66）和（1+√63，1﹣√66）弦长为√[(1−√63)−(1+√63)]2+[(1+√66)−(1−√66)]2=√303．故选：C ．23.【答案】:3x -3y -10=0解析:两圆的方程相减得-6x+6y+20=0,即3x -3y -10=0.24.【答案】.22143x y +=【解析】：设圆22(1)1x y ++=的圆心1(1,0)O -，半径11r =；圆22(1)25x y -+=的圆心2(1,0)O ，半径25r =． 设动圆C 的圆心(,)C x y ，半径R ．Q 动圆C 与圆22(1)1x y ++=及圆22(1)25x y -+=都内切，1||1O C R ∴=-，2||5O C R =-． 1212||||514||2O C O C O O ∴+=-=>=，因此动点C 的轨迹是椭圆，设其标准方程为：22221x y a b+=．则24a =，22c =，解得2a =，1c =，2223b a c ∴=-=．因此动圆圆心C 的轨迹方程是22143x y +=．故答案为：22143x y +=．25.【答案】221169y x -=【解析】：由题意得，曲线2212449x y +=是焦点在y 轴上的椭圆，且2249245c a b =-=-=， 所以双曲线焦点的坐标是(0、5)、(0,5)-，因为双曲线与曲线2213664x y -=共渐近线，所以设双曲线方程为22(0)3664x y λλ-=<， 即2216436y x λλ-=--，则643625λλ--=，解得14λ=-， 所以双曲线方程为221169y x -=. 26.【答案】x ﹣2y+4=0【解析】：设以点P （﹣2，1）为中点的弦所在的直线与椭圆x 216+y 24=1交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∵点P （﹣2，1）是线段AB 的中点， ∴{x 1+x 2=−4y 1+y 2=2， 把A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）代入椭圆x 2+4y 2=16，得{x 12+4y 12=16①x 22+4y 22=16②，①﹣②得（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）+4（y 1+y 2）（y 1﹣y 2）=0， ∴﹣4（x 1﹣x 2）+8（y 1﹣y 2）=0， k=y 1−y 2x 1−x 2=12，∴以点P （﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为y −1=12(x +2)， 整理，得x ﹣2y+4=0． 故答案为：x ﹣2y+4=0．27.【解析】：（Ⅰ）椭圆C ：x 225+y 29=1右焦点F 为（4，0），设AB 的直线方程为x=ky+4，由{x 225+y 29=1x =ky +4，消x 可得（9k 2+25）y 2+72ky ﹣81=0， ∴|y 1y 2|=819k 2+25，当k=0时，|y 1y 2|有最大值，最大值为8125， （Ⅱ）∵|AF||FB|=14， ∴|FB|=4|AF|， ∴FB →=4AF →， ∴y 2=﹣4y 1， 由（Ⅰ）可得y 1y 2=﹣819k 2+25=﹣4y 12，y 1+y 2=﹣72k9k 2+25=﹣3y 1，∴(24k)2(9k 2+25)2=814(9k 2+25)，解得k=±3√77， ∴直线方程为x=±3√77y+4，∴√7x ±3y ﹣4√7=0． 28. 【解析】（1） 由已知可得{c =4,ba =√3,c 2=a 2+b 2,⇒{a =2,b =2√3. 故双曲线方程为 x 24−y 212=1．（2） 设 P (x 0,y 0)，则 A 1P:y =y 0x 0+2(x +2)，A 2P:y =y 0x 0−2(x −2)，所以 M (1,3y 0x 0+2)，N (1,−y 0x 0−2)，所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,3y 0x 0+2)⋅(−3,−y 0x0−2)=9−3y 02x 02−4=9−3y 02y 023=0.即 FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值 0． 29.【解析】 （1） 依题意，l 的方程为 xa +y−b =1，即 bx −ay −ab =0， 由原点 O 到直线 l 的距离为 √32，得 ab √a 2+b2=ab c=√32， 又 e =ca =2√33，所以 b =1，a =√3．故所求双曲线方程为x 23−y 2=1．（2） 显然直线 m 不与 x 轴垂直，设 m 方程为 y =kx −1，则点 M 、 N 坐标 (x 1,y 1) 、 (x 2,y 2) 是方程组 {y =kx −1x 23−y 2=1 的解，消去 y ，得(1−3k 2)x 2+6kx −6=0 ⋯⋯① 依题意，1−3k 2≠0，由根与系数关系知x 1+x 2=6k 3k 2−1,x 1x 2=63k 2−1.OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)⋅(x 2,y 2)=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1−1)(kx 2−1)=(1+k 2)x 1x 2−k (x 1+x 2)+1=6(1+k 2)3k 2−1−6k 23k 2−1+1=63k 2−1+1.因为 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23，所以 63k 2−1+1=−23，k =±12． 当 k =±12 时，方程 ① 有两个不等的实数根． 故直线 m 的方程为 x −2y −2=0 或 x +2y +2=0． 30. 【解析】（1） 由椭圆方程：x 24+y 23=1，F 1(−1,0)，如图，直线 AB 的斜率存在且不为 0，设直线 AB 的方程为 x =my −1，点 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 联立方程，{3x 2+4y 2−12=0,x =my −1, 得 (3m 2+4)y 2−6my −9=0，所以 y 1+y 2=6m3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4， 若四边形 ABCD 为菱形，则 OA ⊥OB ，即 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以 x 1x 2+y 1y 2=0， 又 x 1x 2=(my 1−1)(my 2−1)=m 2y 1y 2−m (y 1+y 2)+1， 所以 (m 2+1)y 1y 2−m (y 1+y 2)+1=0，得到 −12m 2−53m 2+4=0，显然这个方程没有实数解，故四边形 ABCD 不能是菱形．（2） 由题 S ABCD =4S △AOB ，而 S △AOB =12∣OF 1∣∣y 1−y 2∣， 又 ∣OF 1∣=1，即 S ABCD =2∣OF 1∣∣y 1−y 2∣=2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2， 由（1）知 y 1+y 2=6m3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4， 所以S ABCD =2√36m 2+36(3m 2+4)(3m 2+4)2=24√m 2+1(3m 2+4)2=24√19(m 2+1)+1m 2+1+6,因为函数 f (t )=9t +1t ，t ∈[1,+∞)，在 t =1 时，f (t )min =10， 所以 S ABCD 的最大值为 6，此时 m 2+1=1，即 m =0 时， 此时直线 AB ⊥x 轴，即四边形 ABCD 是矩形．。

全国高考数学专题汇编：解析几何一．选择题（共21小题）1．（2020•新课标Ⅰ）已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．42．（2020•新课标Ⅰ）设F1，F2是双曲线C：x2﹣＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为（）A．B．3C．D．23．（2020•新课标Ⅱ）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．B．C．D．4．（2020•新课标Ⅱ）设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．4B．8C．16D．325．（2020•新课标Ⅲ）设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD ⊥OE，则C的焦点坐标为（）A．（，0）B．（，0）C．（1，0）D．（2，0）6．（2019•新课标Ⅰ）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（）A．2sin40°B．2cos40°C．D．7．（2019•新课标Ⅰ）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过点F2的直线与椭圆C交于A，B 两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝18．（2019•新课标Ⅱ）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆+＝1的一个焦点，则p＝（）A．2B．3C．4D．89．（2019•新课标Ⅱ）设F为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为（）A．B．C．2D．10．（2019•新课标Ⅲ）已知F是双曲线C：﹣＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为（）A．B．C．D．11．（2018•新课标Ⅰ）已知椭圆C：+＝1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（2018•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为（）A．1﹣B．2﹣C．D．﹣113．（2018•新课标Ⅲ）直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3] 14．（2018•新课标Ⅲ）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（）A．B．2C．D．215．（2017•新课标Ⅰ）已知F是双曲线C：x2﹣＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A 的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．16．（2017•新课标Ⅰ）设A，B是椭圆C：+＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是（）A．（0，1]∪[9，+∞）B．（0，]∪[9，+∞）C．（0，1]∪[4，+∞）D．（0，]∪[4，+∞）17．（2017•新课标Ⅱ）若a＞1，则双曲线﹣y2＝1的离心率的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，2）C．（1，）D．（1，2）18．（2017•新课标Ⅱ）过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l 为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）A．B．2C．2D．319．（2017•新课标Ⅲ）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab＝0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．20．（2016•新课标Ⅰ）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．21．（2016•新课标Ⅲ）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题）22．（2019•新课标Ⅲ）设F1，F2为椭圆C：+＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为．23．（2018•新课标Ⅰ）直线y＝x+1与圆x2+y2+2y﹣3＝0交于A，B两点，则|AB|＝．24．（2017•新课标Ⅲ）双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为y＝x，则a＝．25．（2016•新课标Ⅰ）设直线y＝x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为．三．解答题（共15小题）26．（2020•新课标Ⅰ）已知A，B分别为椭圆E：+y2＝1（a＞1）的左、右顶点，G为E的上顶点，•＝8．P为直线x＝6上的动点，P A与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点．27．（2020•新课标Ⅱ）已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|．（1）求C1的离心率；（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．28．（2020•新课标Ⅲ）已知椭圆C：+＝1（0＜m＜5）的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点．（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．29．（2019•新课标Ⅰ）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x+2＝0相切．（1）若A在直线x+y＝0上，求⊙M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由．30．（2019•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．（1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；（2）如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．31．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线C：y＝，D为直线y＝﹣上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点．（2）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．32．（2018•新课标Ⅰ）设抛物线C：y2＝2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N 两点．（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：∠ABM＝∠ABN．33．（2018•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B 两点，|AB|＝8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．34．（2018•新课标Ⅲ）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M （1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++＝，证明：2||＝||+||．35．（2017•新课标Ⅰ）设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．36．（2017•新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x＝﹣3上，且•＝1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．37．（2017•新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．38．（2016•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px（p ＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．39．（2016•新课标Ⅱ）已知A是椭圆E：+＝1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（I）当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积（II）当2|AM|＝|AN|时，证明：＜k＜2．40．（2016•新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B 两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．参考答案一．选择题（共21小题）1．B；2．B；3．B；4．B；5．B；6．D；7．B；8．D；9．A；10．B；11．C；12．D；13．A；14．D；15．D；16．A；17．C；18．C；19．A；20．B；21．A；二．填空题（共4小题）22．（3，）；23．2；24．5；25．4π；三．解答题（共15小题）26．（2020•新课标Ⅰ）已知A，B分别为椭圆E：+y2＝1（a＞1）的左、右顶点，G为E的上顶点，•＝8．P为直线x＝6上的动点，P A与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点．【解答】解：（1）由题设得，A（﹣a，0），B（a，0），G（0，1），则，，由得a2﹣1＝8，即a＝3，所以E的方程为．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t），若t≠0，设直线CD的方程为x＝my+n，由题可知，﹣3＜n＜3，由于直线P A的方程为，所以，同理可得，于是有3y1（x2﹣3）＝y2（x1+3）①．由于，所以，将其代入①式，消去x2﹣3，可得27y1y2＝﹣（x1+3）（x2+3），即②，联立得，（m2+9）y2+2mny+n2﹣9＝0，所以，，代入②式得（27+m2）（n2﹣9）﹣2m（n+3）mn+（n+3）2（m2+9）＝0，解得n＝或﹣3（因为﹣3＜n＜3，所以舍﹣3），故直线CD的方程为，即直线CD过定点（，0）．若t＝0，则直线CD的方程为y＝0，也过点（，0）．综上所述，直线CD过定点（，0）．27．（2020•新课标Ⅱ）已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|．（1）求C1的离心率；（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．【解答】解：（1）由题意设抛物线C2的方程为：y2＝4cx，焦点坐标F为（c，0），因为AB⊥x轴，将x ＝c代入抛物线的方程可得y2＝4c2，所以|y|＝2c，所以弦长|CD|＝4c，将x＝c代入椭圆C1的方程可得y2＝b2（1﹣）＝，所以|y|＝，所以弦长|AB|＝，再由|CD|＝|AB|，可得4c＝，即3ac＝2b2＝2（a2﹣c2），整理可得2c2+3ac﹣2a2＝0，即2e2+3e﹣2＝0，e∈（0，1），所以解得e＝，所以C1的离心率为；（2）由椭圆的方程可得4个顶点的坐标分别为：（±a，0），（0，±b），而抛物线的准线方程为：x＝﹣c，所以由题意可得2c+a+c+a﹣c＝12，即a+c＝6，而由（1）可得＝，所以解得：a＝4，c＝2，所以b2＝a2﹣c2＝16﹣4＝12，所以C1的标准方程为：+＝1，C2的标准方程为：y2＝8x．28．（2020•新课标Ⅲ）已知椭圆C：+＝1（0＜m＜5）的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点．（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．【解答】解：（1）由e＝得e2＝1﹣，即＝1﹣，∴m2＝，故C的方程是：+＝1；（2）代数方法：由（1）A（﹣5，0），设P（s，t），点Q（6，n），根据对称性，只需考虑n＞0的情况，此时﹣5＜s＜5，0＜t≤，∵|BP|＝|BQ|，∴有（s﹣5）2+t2＝n2+1①，又∵BP⊥BQ，∴s﹣5+nt＝0②，又+＝1③，联立①②③得或，当时，则P（3，1），Q（6，2），而A（﹣5，0），则（法一）＝（8，1），＝（11，2），∴S△APQ＝＝|8×2﹣11×1|＝，同理可得当时，S△APQ＝，综上，△APQ的面积是．法二：∵P（3，1），Q（6，2），∴直线PQ的方程为：x﹣3y＝0，∴点A到直线PQ：x﹣3y＝0的距离d＝，而|PQ|＝，∴S△APQ＝••＝．数形结合方法：如图示：①当P点在y轴左侧时，过P点作PM⊥AB，直线x＝6和x轴交于N（6，0）点，易知△PMB≌△BQN，∴NB＝PM＝1，故y＝1时，+＝1，解得：x＝±3，（x＝3舍），故P（﹣3，1），易得BM＝8，QN＝8，故S△APQ＝S△AQN﹣S△APB﹣S△PBQ﹣S△BQN＝（11×8﹣10×1﹣（1+65）﹣1×8）＝，②当P点在y轴右侧时，同理可得x＝3，即P（3，1），BM＝2，NQ＝2，故S△APQ＝，综上，△APQ的面积是．29．（2019•新课标Ⅰ）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x+2＝0相切．（1）若A在直线x+y＝0上，求⊙M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由．【解答】解：∵⊙M过点A，B且A在直线x+y＝0上，∴点M在线段AB的中垂线x﹣y＝0上，设⊙M的方程为：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝R2（R＞0），则圆心M（a，a）到直线x+y＝0的距离d＝，又|AB|＝4，∴在Rt△OMB中，d2+（|AB|）2＝R2，即①又∵⊙M与x＝﹣2相切，∴|a+2|＝R②由①②解得或，∴⊙M的半径为2或6；（2）∵线段AB为⊙M的一条弦O是弦AB的中点，∴圆心M在线段AB的中垂线上，设点M的坐标为（x，y），则|OM|2+|OA|2＝|MA|2，∵⊙M与直线x+2＝0相切，∴|MA|＝|x+2|，∴|x+2|2＝|OM|2+|OA|2＝x2+y2+4，∴y2＝4x，∴M的轨迹是以F（1，0）为焦点x＝﹣1为准线的抛物线，∴|MA|﹣|MP|＝|x+2|﹣|MP|＝|x+1|﹣|MP|+1＝|MF|﹣|MP|+1，∴当|MA|﹣|MP|为定值时，则点P与点F重合，即P的坐标为（1，0），∴存在定点P（1，0）使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值．30．（2019•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．（1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；（2）如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．【解答】解：（1）连接PF1，由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|+|PF2|＝（+1）c，故曲线C的离心率e＝＝﹣1．（2）由题意可知，满足条件的点P（x，y）存在当且仅当：|y|•2c＝16，•＝﹣1，+＝1，即c|y|＝16，①x2+y2＝c2，②+＝1，③由②③及a2＝b2+c2得y2＝，又由①知y2＝，故b＝4，由②③得x2＝（c2﹣b2），所以c2≥b2，从而a2＝b2+c2≥2b2＝32，故a≥4，当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P．所以b＝4，a的取值范围为[4，+∞）．31．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线C：y＝，D为直线y＝﹣上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点．（2）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．【解答】（1）证明：设D（t，﹣），A（x1，y1），则，由于y′＝x，∴切线DA的斜率为x1，故，整理得：2tx1﹣2y1+1＝0．设B（x2，y2），同理可得2tx2﹣2y2+1＝0．故直线AB的方程为2tx﹣2y+1＝0．∴直线AB过定点（0，）；（2）解：由（1）得直线AB的方程y＝tx+．由，可得x2﹣2tx﹣1＝0．于是．设M为线段AB的中点，则M（t，），由于，而，与向量（1，t）平行，∴t+（t2﹣2）t＝0，解得t＝0或t＝±1．当t＝0时，||＝2，所求圆的方程为；当t＝±1时，||＝，所求圆的方程为．32．（2018•新课标Ⅰ）设抛物线C：y2＝2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N 两点．（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：∠ABM＝∠ABN．【解答】解：（1）当l与x轴垂直时，x＝2，代入抛物线解得y＝±2，所以M（2，2）或M（2，﹣2），直线BM的方程：y＝x+1，或：y＝﹣x﹣1．（2）证明：设直线l的方程为l：x＝ty+2，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线l与抛物线方程得，消x得y2﹣2ty﹣4＝0，即y1+y2＝2t，y1y2＝﹣4，则有k BN+k BM＝+＝＝＝0，所以直线BN与BM的倾斜角互补，∴∠ABM＝∠ABN．33．（2018•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B 两点，|AB|＝8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），设直线AB的方程为：y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0，则x1+x2＝，x1x2＝1，由|AB|＝x1+x2+p＝+2＝8，解得：k2＝1，则k＝1，∴直线l的方程y＝x﹣1；方法二：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB|＝＝＝8，解得：sin2θ＝，∴θ＝，则直线的斜率k＝1，∴直线l的方程y＝x﹣1；（2）由（1）可得AB的中点坐标为D（3，2），则直线AB的垂直平分线方程为y﹣2＝﹣（x﹣3），即y ＝﹣x+5，设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则，解得：或，因此，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝16或（x﹣11）2+（y+6）2＝144．34．（2018•新课标Ⅲ）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M （1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++＝，证明：2||＝||+||．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB的中点为M（1，m），∴x1+x2＝2，y1+y2＝2m将A，B代入椭圆C：+＝1中，可得，两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）＝0，∴k＝＝﹣＝﹣点M（1，m）在椭圆内，即，解得0＜m∴k＝﹣．（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2＝2∵++＝，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1＝0，∴x3＝1由椭圆的焦半径公式得则|F A|＝a﹣ex1＝2﹣x1，|FB|＝2﹣x2，|FP|＝2﹣x3＝．则|F A|+|FB|＝4﹣，∴|F A|+|FB|＝2|FP|，35．（2017•新课标Ⅰ）设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．【解答】解：（1）设A（x1，），B（x2，）为曲线C：y＝上两点，则直线AB的斜率为k＝＝（x1+x2）＝×4＝1；（2）设直线AB的方程为y＝x+t，代入曲线C：y＝，可得x2﹣4x﹣4t＝0，即有x1+x2＝4，x1x2＝﹣4t，再由y＝的导数为y′＝x，设M（m，），可得M处切线的斜率为m，由C在M处的切线与直线AB平行，可得m＝1，解得m＝2，即M（2，1），由AM⊥BM可得，k AM•k BM＝﹣1，即为•＝﹣1，化为x1x2+2（x1+x2）+20＝0，即为﹣4t+8+20＝0，解得t＝7．则直线AB的方程为y＝x+7．36．（2017•新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x＝﹣3上，且•＝1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．【解答】解：（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），由点P满足＝．可得（x﹣x0，y）＝（0，y0），可得x﹣x0＝0，y＝y0，即有x0＝x，y0＝，代入椭圆方程+y2＝1，可得+＝1，即有点P的轨迹方程为圆x2+y2＝2；（2）证明：设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），•＝1，可得（cosα，sinα）•（﹣3﹣cosα，m﹣sinα）＝1，即为﹣3cosα﹣2cos2α+m sinα﹣2sin2α＝1，当α＝0时，上式不成立，则0＜α＜2π，解得m＝，即有Q（﹣3，），椭圆+y2＝1的左焦点F（﹣1，0），由•＝（﹣1﹣cosα，﹣sinα）•（﹣3，）＝3+3cosα﹣3（1+cosα）＝0．可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．另解：设Q（﹣3，t），P（m，n），由•＝1，可得（m，n）•（﹣3﹣m，t﹣n）＝﹣3m﹣m2+nt﹣n2＝1，又P在圆x2+y2＝2上，可得m2+n2＝2，即有nt＝3+3m，又椭圆的左焦点F（﹣1，0），•＝（﹣1﹣m，﹣n）•（﹣3，t）＝3+3m﹣nt＝3+3m﹣3﹣3m＝0，则⊥，可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．37．（2017•新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．【解答】解：（1）曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，可设A（x1，0），B（x2，0），由韦达定理可得x1x2＝﹣2，若AC⊥BC，则k AC•k BC＝﹣1，即有•＝﹣1，即为x1x2＝﹣1这与x1x2＝﹣2矛盾，故不出现AC⊥BC的情况；（2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），由题意可得y＝0时，x2+Dx+F＝0与x2+mx﹣2＝0等价，可得D＝m，F＝﹣2，圆的方程即为x2+y2+mx+Ey﹣2＝0，由圆过C（0，1），可得0+1+0+E﹣2＝0，可得E＝1，则圆的方程即为x2+y2+mx+y﹣2＝0，另解：设过A、B、C三点的圆在y轴上的交点为H（0，d），则由相交弦定理可得|OA|•|OB|＝|OC|•|OH|，即有2＝|OH|，再令x＝0，可得y2+y﹣2＝0，解得y＝1或﹣2．即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，﹣2），则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3．38．（2016•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px（p ＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．【解答】解：（Ⅰ）将直线l与抛物线方程联立，解得P（，t），∵M关于点P的对称点为N，∴＝，＝t，∴N（，t），∴ON的方程为y＝x，与抛物线方程联立，解得H（，2t）∴＝＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知k MH＝，∴直线MH的方程为y＝x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2＝0，∴△＝16t2﹣4×4t2＝0，∴直线MH与C除点H外没有其它公共点．39．（2016•新课标Ⅱ）已知A是椭圆E：+＝1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（I）当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积（II）当2|AM|＝|AN|时，证明：＜k＜2．【解答】解：（I）由椭圆E的方程：+＝1知，其左顶点A（﹣2，0），∵|AM|＝|AN|，且MA⊥NA，∴△AMN为等腰直角三角形，∴MN⊥x轴，设M的纵坐标为a，则M（a﹣2，a），∵点M在E上，∴3（a﹣2）2+4a2＝12，整理得：7a2﹣12a＝0，∴a＝或a＝0（舍），∴S△AMN＝a×2a＝a2＝；（II）设直线l AM的方程为：y＝k（x+2），直线l AN的方程为：y＝﹣（x+2），由消去y得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12＝0，∴x M﹣2＝﹣，∴x M＝2﹣＝，∴|AM|＝|x M﹣（﹣2）|＝•＝∵k＞0，∴|AN|＝＝，又∵2|AM|＝|AN|，∴＝，整理得：4k3﹣6k2+3k﹣8＝0，设f（k）＝4k3﹣6k2+3k﹣8，则f′（k）＝12k2﹣12k+3＝3（2k﹣1）2≥0，∴f（k）＝4k3﹣6k2+3k﹣8为（0，+∞）的增函数，又f（）＝4×3﹣6×3+3﹣8＝15﹣26＝﹣＜0，f（2）＝4×8﹣6×4+3×2﹣8＝6＞0，∴＜k＜2．40．（2016•新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B 两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP＝AF，BQ＝BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ＝90°，∴∠PFQ＝90°，∵R是PQ的中点，∴RF＝RP＝RQ，∴△P AR≌△F AR，∴∠P AR＝∠F AR，∠PRA＝∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ＝180°﹣∠QBF＝∠P AF＝2∠P AR，∴∠FQB＝∠P AR，∴∠PRA＝∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为x＝﹣，S△PQF＝|PQ|＝|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，∴S△ABF＝|FN||y1﹣y2|，∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|＝1，∴x N＝1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得＝2（x1﹣x2），又＝，∴＝，即y2＝x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2＝x﹣1．。

专题08 解析几何平面解析几何主要介绍用代数知识研究平面几何的方法．为此，我们要关注：将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．在此之中，要不断地体会数形结合、函数与方程及分类讨论等数学思想与方法．要善于应用初中平面几何、高中三角函数和平面向量等知识来解决直线、圆和圆锥曲线的综合问题．§8－1 直角坐标系【知识要点】1．数轴上的基本公式设数轴的原点为O ，A ，B 为数轴上任意两点，OB ＝x 2，OA ＝x 1，称x 2－x 1叫做向量的坐标或数量，即数量AB ＝x 2－x 1；数轴上两点A ，B 的距离公式是d (A ，B )＝|AB ｜＝|x 2－x 1|．2．平面直角坐标系中的基本公式设A ，B 为直角坐标平面上任意两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点之间的距离公式是.)()(||),.(212212y y x x AB B A d -+-==A ，B 两点的中点M (x ，y )的坐标公式是⋅+=+=2,22121y y y x x x 3．空间直角坐标系在空间直角坐标系O －xyz 中，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，A ，B 两点之间的距离公式是.)()()(||),(212212212z z y y x x AB B A d -+-+-==【复习要求】1．掌握两点间的距离公式，中点坐标公式；会建立平面直角坐标系，用坐标法(也称为解析法)解决简单的几何问题．2．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并掌握两点间的距离公式． 【例题分析】例1 解下列方程或不等式：(1)｜x－3｜＝1；(2)|x－3｜≤4；(3)1＜|x－3｜≤4．略解：(1)设直线坐标系上点A，B的坐标分别为x，3，则｜x－3｜＝1表示点A到点B的距离等于1，如图8－1－1所示，图8－1－1所以，原方程的解为x＝4或x＝2．(2)与(1)类似，如图8－1－2，图8－1－2则｜x－3｜≤4表示直线坐标系上点A到点B的距离小于或等于4，所以，原不等式的解集为{x｜－1≤x≤7}．(3)与(2)类似，解不等式1＜｜x－3｜，得解集{x|x＞4，或x＜2｝，将此与不等式|x－3｜≤4的解集{x|－1≤x≤7｝取交集，得不等式1＜|x－3｜≤4的解集为{x｜－1≤x＜2，或4＜x≤7｝．【评析】解绝对值方程或不等式时，如果未知数x的次数和系数都为1，那么可以利用绝对值的几何意义来解绝对值方程或不等式．｜x－a｜的几何意义：表示数轴(直线坐标系)上点A(x)到点B(a)的距离．例2 已知矩形ABCD及同一平面上一点P，求证：P A2＋PC2＝PB2＋PD2．解：如图8－1－3，以点A为原点，以AB为x轴，向右为正方向，以AD为y轴，向上为正方向，建立平面直角坐标系．图8－1－3设AB＝a，AD＝b，则A(0，0)，B(a，0)，C(a，b)，D(0，b)，设P (x ，y )，则22222222))()(()(b y a x y x PC PA -+-++=+＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2，22222222))(())((b y x y a x PD PB -+++-=+＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2，所以P A 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2．【评析】坐标法是解析几何的一个基本方法,非常重要．坐标法中要注意坐标系的建立，理论上，可以任意建立坐标系，但是坐标系的位置会影响问题解决的复杂程度，适当的坐标系可以使解题过程较为简便．例3 已知空间直角坐标系中有两点A (1，2，－1)，B (2，0，2)． (1)求A ，B 两点的距离；(2)在x 轴上求一点P ，使｜P A |＝｜PB |；(3)设M 为xOy 平面内的一点，若|MA ｜＝｜MB ｜，求M 点的轨迹方程． 解：(1)由两点间的距离公式，得.14)21()02()21(||222=--+-+-=AB(2)设P (a ，0，0)为x 轴上任一点，由题意得222)10()20()1(++-+-a，即a 2－2a ＋6＝a 2－4a ＋8，解得a ＝1，所以P (1，0，0)． (3)设M (x ，y ，0)，则有整理可得x －2y －1＝0．所以，M 点的轨迹方程为x －2y －1＝0．【评析】由两点间的距离公式建立等量关系，体现了方程思想的应用．练习8－1一、选择题1．数轴上三点A ，B ，C 的坐标分别为3，－1，－5，则AC ＋CB 等于( )40)2(2++-=a ,4)0()2()10()2()1(22222+-+-=++-+-y x y xA ．－4B ．4C ．－12D ．122．若数轴上有两点A (x )，B (x 2)(其中x ∈R )，则向量的数量的最小值为( )A ．B ．0C ．D ． 3．在空间直角坐标系中，点(1，－2，3)关于yOz 平面的对称点是( ) A ．(1，－2，－3)B ．(1，2，3)C ．(－1，－2，3)D ．(－1，2，3)4．已知平面直角坐标内有三点A (－2，5)，B (1，－4)，P (x ，y )，且｜AP |＝｜BP |，则实数x ，y 满足的方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x －3y ＋2＝0C ．x ＋3y ＋2＝0D ．x －3y －2＝0二、填空题5．方程｜x ＋2｜＝3的解是______；不等式｜x ＋3｜≥2的解为______． 6．点A (2，3)关于点B (－4，1)的对称点为______． 7．方程｜x ＋2｜－｜x －3｜＝4的解为______．8．如图8－1－4，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|DA |＝3，|DC ｜＝4，|DD 1|＝2，A 1C 的中点为M ，则点B 1的坐标是______，点M 的坐标是______，M 关于点B 1的对称点为______．图8－1－4三、解答题9．求证：平行四边形ABCD 满足AB 2＋BC 2＋CD 2＋DA 2＝AC 2＋BD 2．AB 21414110．求证：以A (4，3，1)，B (7，1，2)，C (5，2，3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形．11．在平面直角坐标系中，设A (1，3)，B (4，5)，点P 在x 轴上，求|P A |＋｜PB ｜的最小值．§8－2 直线的方程【知识要点】1．直线方程的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程．．．．．，这条直线叫做这个方程的直线．．．．．． 2．直线的倾斜角和斜率x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．．．．并规定，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．因此，倾斜角α 的取值范围是0°≤α ＜180°．我们把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率．．．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直线y ＝kx ＋b 上任意两点，其中x 1≠x 2，则斜率倾斜角为90°的直线的斜率不存在，倾斜角为α 的直线的斜率k ＝tan α (α ≠90°)． 3．直线方程的几种形式 点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)； 斜截式：y ＝kx ＋b ；两点式：一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)． 4．两条直线相交、平行与重合的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则⋅--=1212x x yy k );,(2121121121y y x x x x xx y y y y =/=/--=--(1)l 1与l 2相交A 1B 2－A 2B 1≠0或(2)l 1与l 2平行(3)l 1与l 2重合 当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，截距分别为b 1，b 2，则 l 1与l 2相交k 1≠k 2； l 1∥l 2k 1＝k 2，b 1≠b 2； l 1与l 2重合k 1＝k 2，b 1＝b 2． 5．两条直线垂直的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1⊥l 2A 1A 2＋B 1 B 2＝0． 当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，则l 1⊥l 2k 1k 2＝－1． 6．点到直线的距离点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d 的计算公式【复习要求】1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式：点斜式、两点式及一般式，体会斜截式与一次函数的关系．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标． 【例题分析】例1(1)直线的斜率是______，倾斜角为______；(2)设A (2，3)，B (－3，2)，C (－1，－1)，过点C 且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交，则斜率k 的取值⇔)0(222121=/=/B A B B A A ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=/=/=≠-≠-=-).0(;00,0222212121211221211221C B A C CB B A AC A C A B C C B B A B A 或或而⇔⎪⎩⎪⎨⎧=/==≠===).0();0(,,222212121222111C B A C C B B A A C C B B A A 或λλλλ⇔⇔⇔⇔⇔⋅+++=2211||BA C By Ax d 082=-+y x范围为______．略解：(1)直线可以化简为 所以此直线的斜率为，倾斜角(2)如图8－2－1，设直线AC 的倾斜角为α ，图8－2－1因为此直线的斜率为，所以 设直线BC 的倾斜角为β ，因为此直线的斜率为所以 因为直线l 与线段AB 相交，所以直线l 的倾斜角θ 满足α ≤θ ≤β ， 由正切函数图象，得tan θ ≥tan α 或tan θ≤tan β， 故l 斜率k 的取值范围为． 【评析】(1)求直线的斜率常用方法有三种： ①已知直线的倾斜角α，当α≠90°时，k ＝tan α；②已知直线上两点的坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，当x 1≠x 2时，k ＝；③已知直线的方程Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，k ＝． (2)已知直线的斜率k 求倾斜角α 时，要注意当k >0时，α ＝arctan k ；当k <0时，α ＝π－arctan |k |． 例2 根据下列条件求直线方程：082=-+y x ，22822+-=x y 22-;22tan arc π-=α341213=++=AC k ;34tan =α,231312-=+-+=BC k ⋅-=23tan β]23,[],34[-∞+∞∈Y k 1212x x y y --BA -(1)过点A (2，3)，且在两坐标轴上截距相等；(2)过点P (－2，1)，且点Q (－1，－2)到直线的距离为1． 解：(1)设所求直线方程为y －3＝k (x －2)，或x ＝2(舍)， 令y ＝0，得x ＝2－(k ≠0)；令x ＝0，得y ＝3－2k ， 由题意，得2－＝3－2k ，解得k ＝或k ＝－1， 所以，所求直线方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0； (2)设所求直线方程为y －1＝k (x ＋2)或x ＝－2， 当直线为y －1＝k (x ＋2)，即kx —y ＋(2k ＋1)＝0时，由点Q (－1，－2)到直线的距离为1，得＝1，解得， 所以，直线，即4x ＋3y ＋5＝0符合题意； 当直线为x ＝－2时，检验知其符合题意． 所以，所求直线方程为4x ＋3y ＋5＝0或x ＝－2．【评析】求直线方程，应从条件出发，合理选择直线方程的形式，并注意每种形式的适应条件．特别地，在解题过程中要注意“无斜率”，“零截距”的情况．例3 已知直线l 1：(m －2)x ＋(m ＋2)y ＋1＝0，l 2：(m 2－4)x —my －3＝0， (1)若l 1∥l 2，求实数m 的值； (2)若l 1⊥l 2，求实数m 的值．解法一：(1)因为l 1∥l 2，所以(m －2)(－m )＝(m ＋2)(m 2－4)， 解得m ＝2或m ＝－1或m ＝－4， 验证知两直线不重合，所以m ＝2或m ＝－1或m ＝－4时，l 1∥l 2；(2)因为l 1⊥l 2，所以(m －2)(m 2－4)＋(－m )(m ＋2)＝0， 解得m ＝－2或m ＝1或m ＝4．解法二：当l 1斜率不存在，即m ＝－2时，代入直线方程，知l 1⊥l 2；k3k 3231|122|2++++-k k k 34-=k 03534=---y x当l 2斜率不存在，即m ＝0时，代入直线方程，知l 1与l 2既不平行又不垂直； 当l 1，l 2斜率存在，即m ≠0，m ≠－2时，可求l 1，l 2，如的斜率分别为k 1＝－，k 2＝，截距b 1＝－，b 2＝，若l 1∥l 2，由k 1＝k 2，b 1≠b 2，解得m ＝2或m ＝－1或m ＝－4， 若l 1⊥l 2，由k 1k 2＝－1，解得m ＝1或m ＝4 综上，(1)当m ＝2或m ＝－1或m ＝－4时，l 1∥l 2； (2)当m ＝－2或m ＝1或m ＝4时，l 1⊥l 2．【评析】两条直线平行与垂直的充要条件有几个，但各有利弊．简洁的(如解法一)相互之间易混淆，好记的要注意使用条件(如解法二，易丢“无斜率”的情况)，解题过程中要注意正确使用．例4 已知直线l 过两直线l 1：3x －y －1＝0与l 2：x ＋y －3＝0的交点，且点A (3，3)和B (5，2)到l 的距离相等，求直线l 的方程．【分析】所求直线l 有两种情况：一是l 与AB 平行；二是点A ，B 在l 的两侧，此时l 过线段AB 的中点．解：解方程组得交点(1，2)，由题意，当①l 与AB 平行；或②l 过A ，B 的中点时．可以使得点A ，B 到l 的距离相等． ①当l ∥AB 时，因为，此时，即x ＋2y －5＝0；②当l 过AB 的中点时，因为AB 的中点坐标为所以 即l ：x －6y ＋11＝0．综上，所求的直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或l ：x －6y ＋11＝0．例5 已知直线l 1：y ＝kx ＋2k 与l 2：x ＋y ＝5的交点在第一象限，求实数k 的取值范围．解法一：解方程组，得交点 22－+m m m m 42-21+m m3-⎩⎨⎧=-+=--03013y x y x 215323-=--=AB k )1(212:--=-x y l ),25,4(M ,1412252:--=--x y l ⎩⎨⎧=++=52y x k kx y ),1255,125(+--+-k kk k由题意，得，解得解法二：如图8－2－2，由l 1：y ＝k (x ＋2)，知l 1过定点P (－2，0)，图8－2－2由l 2：x ＋y ＝5，知l 2坐标轴相交于点A (0，5)，B (5，0)， 因为 由题意，得 【评析】在例4，例5中，要充分利用平面几何知识解决问题，体会数形结合的思想与方法；要会联立两个曲线(直线)的方程，解方程得到曲线的交点，体会方程思想．例6 如图8－2－3，过点P (4，4)的直线l 与直线l 1：y ＝4x 相交于点A (在第一象限)，与x 轴正半轴相交于点B ，求△ABO 面积的最小值．图8－2－3解：设B (a ，0)，则 将y ＝4x 代入直线l 的方程，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-->+-012550125k k k k⋅<<250k ,0,252005==+-=BP AP k k ⋅<<250k ),4(4044:---=-x ay l得点A 的坐标为 则△ABO 的面积 所以当a ＝6时，△ABO 的面积S 取到最小值24．练习8－2一、选择题1．若直线l 的倾斜角的正弦为，则l 的斜率k 是( ) A ． B ．C ．或D ．或 2．点P (a ＋b ，ab )在第二象限内，则bx ＋ay －ab ＝0直线不经过的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的( ) A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．若直线与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则l 的倾角的取值范围( )A ．B ．C ．D ．二、填空题5．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1∥l 2，则a ＝_______． 6．已知点A (3，0)，B (0，4)，则过点B 且与A 的距离为3的直线方程为_______． 7．若点P (3，4)，Q (a ，b )关于直线x －y －1＝0对称，则a ＋2b ＝_______． 8．若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )，(ab ≠0)共线，则的值等于_______． 三、解答题9．已知点P 在直线2x ＋3y －2＝0上，点A (1，3)，B (－1，－5)．),3)(34,3(>--a a a a a ,121)611(3234212+--=-⨯⨯=a a a a S 5343-4343-433434-21=m 3:-=kx y l )3π,6π[)2π,3π()2π,6π(]2π,6π[ba 11+(1)求｜P A｜的最小值；(2)若|P A|＝|PB|，求点P坐标．10．若直线l夹在两条直线l1：x－3y＋10＝0与l2：2x＋y－8＝0之间的线段恰好被点P(0，1)平分，求直线l 的方程．211．已知点P到两个定点M(－1，0)、N(1，0)距离的比为，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．§8－3 简单的线性规划问题【知识要点】1．二元一次不等式(组)所表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面区域中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域包括边界线(闭半平面)．(2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分．(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般地取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正(或负)来判断Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的区域．当C≠0时，常把原点(0，0)作为特殊点．(4)也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：①y＞kx＋b表示直线上方的半平面区域；y＜kx＋b表示直线下方的半平面区域．②当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线上方区域，Ax＋By＋C＜0表示直线下方区域．2．简单线性规划(1)基本概念目标函数：关于x ，y 的要求最大值或最小值的函数，如z ＝x ＋y ，z ＝x 2＋y 2等． 约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组． 线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数．线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)．线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题． 最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解． 可行解：满足线性约束条件的解(x ，y )叫可行解． 可行域：由所有可行解组成的集合叫可行域． (2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤： ①分析并将已知数据列出表格； ②确定线性约束条件； ③确定线性目标函数； ④画出可行域；⑤利用线性目标函数，求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解． 【复习要求】1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． 2．能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 【例题分析】例1 (1)若点(3，1)在直线3x －2y ＋a ＝0的上方，则实数a 的取值范围是______； (2)若点(3，1)和(－4，6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围是______． 解：(1)将直线化为 由题意，得，解得a ＜－7． (2)由题意，将两点代入直线方程的左侧所得符号相反， 则(3×3－2＋a )[3×(－4)－12＋a ]＜0，即(a ＋7)(a －24)＜0，,223a x y +=23231a+⨯>所以，实数a 的取值范围是(－7，24)．例2 (1)如图8－3－1，写出能表示图中阴影部分的不等式组；图8－3－1(2)如果函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图象与x 轴有两个交点，试在aOb 坐标平面内画出点(a ，b )表示的平面区域．略解：(1) (2)由题意，得b 2－4a 2＞0，即(2a ＋b )(2a －b )＜0，所以或，点(a ，b )表示的平面区域如图8－3－2．图8－3－2【评析】除了掌握二元一次不等式表示平面区域外，还应关注给定平面区域如何用不等式表示这个逆问题．例3 已知x ，y 满足求：(1)z 1＝x ＋y 的最大值； (2)z 2＝x －y 的最大值；，0221⎪⎩⎪⎨⎧≥+-->≤y x y x ⎩⎨⎧<->+0202b a b a ⎩⎨⎧>-<+0202b a ba ⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+.033,042,022y x y x y x(3)z 3＝x 2＋y 2的最小值； (4)的取值范围(x ≠1)． 略解：如图8－3－3，作出已知不等式组表示的平面区域．图8－3－3易求得M (2，3)，A (1，0)，B (0，2)．(1)作直线x ＋y ＝0，通过平移，知在M 点，z 1有最大值5； (2)作直线x －y ＝0，通过平移，知在A 点，z 2有最大值1；(3)作圆x 2＋y 2＝r 2，显然当圆与直线2x ＋y －2＝0相切时，r 2有最小值，即z 3有最小值(4)可看作(1，0)与(x ，y )两点连线的斜率，所以z 4的取值范围是(－∞，－2]∪[3，＋∞)． 【评析】对于非线性目标函数在线性约束条件下的最值问题，要充分挖掘其目标函数z 的几何意义．z 的几何意义常见的有：直线的截距、斜率、圆的半径等．例4 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件则z ＝10x ＋10y 的最大值是( )(A)80(B)85(C)90(D)95略解：由题意，根据已知不等式组及可得到点(x ，y )的可行域．如图8－3－4．14-=x yz 2)52(;541-x y⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x ⎩⎨⎧≥≥0y x图8－3－4作直线x ＋y ＝0，通过平移，知在M 点，z ＝10x ＋10y 有最大值，易得 又由题意，知x ，y ∈N ，作适当调整，知可行域内点(5，4)可使z 取最大值， 所以，z max ＝10×5＋10×4＝90，选C ． 【评析】实际问题中，要关注是否需要整数解．例5 某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克．今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大?解：设此工厂每日需甲种原料x 吨，乙种原料y 吨，则可得产品z ＝90x ＋100y (千克)．由题意，得上述不等式组表示的平面区域如图8－3－5所示，阴影部分(含边界)即为可行域．图8－3－5作直线l ：90x ＋100y ＝0，并作平行于直线l 的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且与直线l 的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里M 点是直线2x ＋3y ＝12和5x ＋4y ＝20的交点，容易解得M，此时z 取到最大值),29,211(M ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,2045,1232.0,0，2000400500，600015001000y x y x y x y x y x yx )720,712(71290⨯答：当每天提供甲原料吨，乙原料吨时，每日最多可生产440千克产品． 例6 设函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4． (1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域； (2)试利用(1)所得的区域，求f (－2)的取值范围． 解：(1)∵f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，∴即如图8－3－6，在平面直角坐标系aOb 中，作出满足上述不等式组的区域，阴影部分(含边界)即为可行域．图8－3－6(2)目标函数f (－2)＝4a －2b ．在平面直角坐标系aOb 中，作直线l ：4a －2b ＝0，并作平行于直线l 的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的B 点，且与直线l 的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里B 点是直线a －b ＝2和a ＋b ＝4的交点，容易解得B (3，1)， 此时f (－2)取到最大值4×3－2×1＝10．同理，其中有一条直线经过可行域上的C 点，此时目标函数达到最小值．这里C 点是直线a －b ＝1和a ＋b ＝2的交点，容易解得此时f (－2)取到最小值 所以5≤f (－2)≤10．.440720100=⨯+712720⎩⎨⎧≤+≤≤-≤.42,21b a b a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+≤-≥-.4,2,2,1b a b a b a ba ),21,23(C .5212234=⨯-⨯【评析】线性规划知识是解决“与二元一次不等式组有关的最值(或范围)问题”的常见方法之一．练习8－3一、选择题1．原点(0，0)和点(1，1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是 ( ) A ．a ＜0或a ＞2B ．a ＝0或a ＝2C ．0＜a ＜2D ．0≤a ≤22．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值是( ) A ．－1B ．1C ．2D ．－23．已知x 和y 是正整数，且满足约束条件则z ＝2x ＋3y 的最小值是( )A ．24B ．14C ．13D ．11.54．根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O 沿正东偏北α 方向行走－段时间后，再向正北方向行走一段时间，但α 的大小以及何时改变方向不定．如图8－3－7．假定机器人行走速度为10米/分钟，设机器人行走2分钟时的可能落点区域为S ，则S 可以用不等式组表示为( )图8－3－7A ．B ．C ．D ．二、填空题⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+.72,2,10x y x y x )2π0(≤≤α⎩⎨⎧≤≤≤≤200200y x ⎩⎨⎧≥+≤+2040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+0040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+202020y x y x5．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是______．6．若实数x 、y 满足，则的取值范围是______．7．点P (x ，y )在直线4x ＋3y ＝0上，且满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是______．8．若当实数x ，y 满足时，z ＝x ＋3y 的最小值为－6，则实数a 等于______．三、解答题9．如果点P 在平面区域内，点Q (2，2)，求|PQ |的最小值．10．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100％和50％()，可能的最大亏损率分别为30％和10％()，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投多少万元，才能使可能的盈利最大?11．设a ，b ∈R ，且b (a ＋b ＋1)＜0，b (a ＋b －1)＜0．⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+20202x y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤>≤+-2001x x y x x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-a x y x y x 005⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥+-0102022y x y x y x %100⨯=投资额盈利额盈利率投资额亏损额亏损率=%100⨯(1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域； (2)试利用(1)所得的区域，指出a 的取值范围．§8－4 圆的方程【知识要点】1．圆的方程(1)标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，其中点(a ，b )为圆心，r 为半径． (2)一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，其中圆心为，半径为2．点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆的圆心距离为d ，则 d ＞r 点在圆外； d ＝r 点在圆上； d ＜r 点在圆内． 3．直线与圆的位置关系(1)代数法：联立直线与圆的方程，解方程组，消去字母y ，得关于x 的一元二次方程，则＞0方程组有两解直线和圆相交； ＝0方程组有一解直线和圆相切； ＜0方程组无解直线和圆相离．(2)几何法(重点)：计算圆心到直线的距离d ，设圆的半径为r ，则 d ＜r 直线和圆相交； d ＝r 直线和圆相切； d ＞r 直线和圆相离．)2,2(E D --21.422F E D -+⇔⇔⇔∆⇔⇔∆⇔⇔∆⇔⇔⇔⇔⇔4．圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R ，r (R ≥r )，两圆的圆心距为d (d ＞0)，则d ＞R ＋r 两圆相离；d ＝R ＋r 两圆外切；R －r ＜d ＜R ＋r 两圆相交；d ＝R －r 两圆内切；d ＜R －r 两圆内含．【复习要求】1．掌握圆的标准方程与一般方程，能根据条件，求出圆的方程．2．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系，解决一些简单问题．【例题分析】例1根据下列条件，求圆的方程：(1)一条直径的端点是A (3，2)，B (－4，1)；(2)经过两点A (1，－1)和B (－1，1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上；(3)经过两点A (4，2)和B (－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2．【分析】求圆的方程，可以用待定系数法．若已知条件与圆心、半径有关，则设圆的标准方程，如第(2)问．若已知条件与圆心、半径关系不大，则设圆的一般方程，如第(3)问．解：(1)由题意圆心为AB 的中点M ，即， 因为所以圆的半径 所以，所求圆的方程为 (2)方法一：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，则⇔⇔⇔⇔⇔)212,243(+-)23,21(-M ,50)12()43(||22=-++=AB ⋅==250||21AB r ⋅=-++225)23()21(22y x，解得所以，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4．方法二：由圆的几何性质可知，圆心一定在弦AB 的垂直平分线上．易得AB 的垂直平分线为y ＝x ．由题意，解方程组，得圆心C 为(1，1)，于是，半径r ＝｜AC |＝2，所以，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4．(3)设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，因为圆过点A ，B ，所以4D ＋2E ＋F ＋20＝0，①－D ＋3E ＋F ＋10＝0，②在圆的方程中，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，设圆在x 轴上的截距为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－D ．在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，设圆在y 轴上的截距为y 1，y 2，则y 1＋y 2＝－E ．由题意，得－D ＋(－E )＝2，③解①②③，得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12，所以，所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0．【评析】①以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为一直径端点的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0．②求圆的方程时，要注意挖掘题中圆的几何意义(如第(2)问)；③待定系数法求圆的方程时，要恰当选择的圆的方程(如第(3)问)，这样有时能大大减少运算量．例2 (1)点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上，求过点P 的圆的切线方程；(2)若点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内，判断直线ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系．解：(1)方法一：因为切线l 与半径OP 垂直，又可求出直线OP 的斜率，所以可得切线l 的斜率，再由点斜式得到切线方程．但要注意斜率是否存在(详细过程略)．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+--=--+-=-+222222)1()1()1()1(02r b a r b a b a ⎪⎩⎪⎨⎧===2,11r b a ⎩⎨⎧=-+=02y x x y方法二：设Q (x ，y )为所求切线上任一点，则，即(x －a ，y －b )·(a ，b )＝0．整理得ax ＋by ＝a 2＋b 2，又因为P 在圆上，所以a 2＋b2＝r 2，故所求的切线方程为ax ＋by ＝r 2．(2)由已知，得a 2＋b 2＜r 2，则圆心O (0，0)到直线ax ＋by ＝r 2的距离所以此直线与圆C 相离．【评析】随着点P (a ，b )与圆C ：x 2＋y 2＝r 2的位置关系的变化，直线l ：ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系也在变化．①当点P 在圆C 上时，直线l 与圆C 相切；②当点P 在圆C 内时，直线l 与圆C 相离；③当点P 在圆外时，直线l 与圆C 相交．例3 已知点A (a ，3)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4．(1)设a ＝3，求过点A 且与圆C 相切的直线方程；(2)设a ＝4，直线l 过点A 且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(3)设a ＝2，直线l 1过点A ，求l 1被圆C 截得的线段的最短长度，并求此时l 1的方程．解：(1)如图8－4－1，此时A (3，3)，图8－4－1设切线为y －3＝k (x －3)或x ＝3，验证知x ＝3符合题意；当切线为y －3＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋3＝0时，0=⋅OP PQ .||22222r r r b a r d =>+=3圆心(1，2)到切线的距离解得所以，切线方程为3x ＋4y －21＝0或x ＝3．(2)如图8－4－2，此时A (4，3)，图8－4－2设直线l 为y －3＝k (x －4)或x ＝4(舍)，设弦PQ 的中点为M ，则｜CP |＝r ＝2，所以，即圆心到直线l 的距离为1， 于是，解得k ＝0或， 所以，直线l 的方程为或y ＝3． (3)如图8－4－3，此时A (2，3)，设所截得的线段为DE ，圆心到直线l 1的距离为d ，图8－4－3,21|332|2=++--=k k k d ,43-=k ,3||=PM ,1||||||22=-=PM CP CM 11|342|2=++--=k k k d 43x y 43=则，即 因为直线l 1过点A ，所以圆心到直线l 1的距离为d ≤|CA ｜＝故当d ＝时，，此时AC ⊥l 1，因为 所以＝－1，故直线l 1方程为y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0．【评析】(1)用点斜式设直线方程时，要注意斜率是否存在；(2)涉及直线与圆的位置关系问题时，用与圆有关的几何意义解题较为方便，常见的有：①比较圆心到直线的距离与半径的大小；②如图8－4－2，在由弦心距、半径及弦组成的Rt △CMP 中，有｜CM |2＋｜MP |2＝｜CP ｜2，CM ⊥MP 等；③如图8－4－1，由切线段、半径组成的Rt △AB C ．例4 已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求证：不论m 取何值，直线l 与圆C 恒交于两点．【分析】要证明直线l 与圆C 恒交于两点，可以用圆心到直线的距离小于半径，也可以联立直线和圆的方程，消去y 后用判别式大于零去证明，但此题这两种方法计算量都很大．如果能说明直线l 恒过圆内一定点，那么直线l 与圆C 显然有两个交点．解：因为直线l ：mx ＋y ＋m ＝0可化为y ＝－m (x ＋1)，所以直线l 恒过点A (－1，0)，又圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25的圆心为(1，2)，半径为5，且点A 到圆C 的圆心的距离等于所以点A 为圆C 内一点，则直线l 恒过圆内一点A ，所以直线l 与圆C 恒交于两点．例5 四边形ABCD 的顶点A (4，3)，B (0，5)，C (－3，－4)，D O 为坐标原点．(1)此四边形是否有外接圆，若有，求出外接圆的方程，若没有，请说明理由；222|)|21(r d DE =+,42||2d DE -=,2222||min =DE ,11223=--=AC k 1l k ,522)2()11(22<=-+--).1,62((2)记△ABC 的外接圆为W ，过W 上的点E (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)作圆W 的切线l ，设l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点P 、Q ，求△OPQ 面积的最小值．【分析】判断四点是否共圆，初中的方法是证明一组对角之和为180°，此题此法不易做．如何用所学知识解决问题是此题的关键，如果想到三点共圆，那么可以求出过三点的圆的方程，然后再判断第四点是否在圆上，问题就迎刃而解．解：(1)设△ABC 的外接圆为W ，圆心M (a ，b )，半径为r (r ＞0)．则W 为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．由题意，得，解得，所以W ：x 2＋y 2＝25． 将点D 的坐标代入W 的方程，适合．所以点D 在△ABC 的外接圆W 上，故四边形ABCD 有外接圆，且外接圆的方程为x 2＋y 2＝25．(2)设切线l 的斜率为k ，直线ME (即OE )的斜率为k 1，∵圆的切线l 垂直于过切点的半径，∴ ∴切线，整理得而，∵点E (x 0，y 0)在圆W 上，即，∴切线l ：x 0x ＋y 0y ＝25．在l 的方程中，令x ＝0，得，同理 ∴△OPQ 的面积 ∵，(其中x 0＞0，y 0＞0)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--+--=-+-=-+-222222222)4()3()5()0()3()4(r b a r b a r b a ⎪⎩⎪⎨⎧===500r b a ,11k k -=Θ,,00001y x k x y k -=∴=)(:0000x x y xy y l --=-202000y x y y x x +=+252020=+y x )25,0(,2500y Q y y ∴=).0,25(0x P ,26252525210000y x y x S OPQ ==⋅⋅∆002020225y x y x ≥=+∴当且仅当时，等号成立． 即当时，△OPQ 的面积有最小值25． 练习8－4一、选择题1．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝92．圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得的弦长等于( )A ．B ．C ．1D ．53．若直线与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则( ) A ．a 2＋b 2≤1 B ．a 2＋b 2≥1 C ． D ． 4．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于点(1，2)对称的圆的方程为( )A ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝5B ．(x －4)2＋(y －4)2＝5C ．(x ＋4)2＋(y ＋4)2＝5D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝5 二、填空题5．由点P (－1，4)向圆x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0所引的切线长是______．6．若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为______． 7．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为的点共有______个．8．若不等式x 2＋2x ＋a ≥－y 2－2y 对任意的实数x 、y 都成立，则实数a 的取值范围是______．三、解答题9．已知直线l ：x －y ＋2＝0与圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点．(1)当a ＝－2时，求弦AB 的垂直平分线方程；.2525625262500=≥=∆y x S OPQ 22500==y x )225225(，E 62251=+by a x 11122≤+b a 11122≥+b a )0(33≥=x x y 2(2)当l 被圆C 截得弦长为时，求a 的值．10．已知圆满足以下三个条件：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为．求该圆的方程．11．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度，以及此时l 的方程．§8－5 曲线与方程【知识要点】1．轨迹方程一般地，一条曲线可以看成动点运动的轨迹，曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．2．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果曲线C 与方程F (x ，y )＝0之间有如下关系：(1)曲线C 上点的坐标都是方程F (x ，y )＝0的解；(2)以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，曲线C 叫做方程F (x ，y )＝0的曲线，方程F (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程．3．曲线的交点已知两条曲线C 1和C 2的方程分别是F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0，那么求两条曲线C 1和C 2的交点坐标，只3255要求方程组的实数解就可以得到．【复习要求】1．了解曲线与方程的对应关系，体会数形结合的思想、方程思想．2．会求简单的轨迹方程；能根据方程研究曲线的简单性质．【例题分析】例1 已知点A (－1，0)，B (2，0)，动点P 到点A 的距离与它到点B 的距离之比为2，求动点P 的轨迹方程．解：设P (x ，y )，则，即 化简得x 2＋y 2－6x ＋5＝0，所以动点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－6x ＋5＝0．【评析】动点轨迹法是求轨迹方程的重要方法，其一般步骤是：①建立平面直角坐标系；②设所求动点的坐标为(x ，y )；③找出动点满足的几何关系；④几何关系代数化，并将其化简；⑤检验以方程的解为坐标的点是否都在所求轨迹上．例2 已知P 为抛物线y ＝x 2＋1上一动点，A (2，3)，P 关于A 的对称点为点P ′，求动点P ′的轨迹方程．解：设P '(x ，y )，P (x 0，y 0)，由题意，得所以x 0＝4－x ，y 0＝6－y ，因为点P (x 0，y 0)在抛物线y ＝x 2＋1上，所以6－y ＝(4－x )2＋1，即动点P '的轨迹方程为y ＝－(x －4)2＋5．例3 已知直角坐标平面上点Q (2，0)和圆C ：x 2＋y 2＝1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ ｜的比等于常数2．求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状．解：如图8－5－1，设直线MN 切圆于N ，⎩⎨⎧==0),(0),(y x G y x F 2||||=PB PA ,2)2()1(2222=+-++yx y x ,32,2200=+=+y y x x。

解析几何04 椭圆及其性质一、具体目标：掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程．能处理与椭圆有关的问题.二、知识概述：1. 椭圆方程的第一定义：一个动点到两个定点的距离为一个常数（大于两定点之间的距离）则动点的轨迹就是椭圆.几何表示：()121222PF PF a a F F +=>.当()121222PF PF a a F F +=<无轨迹；当()121222=PF PF a a F F +=，以12,F F 为端点的线段.⑴①椭圆的标准方程：中心在原点，焦点在x 轴上：()222210x y a b a b +=>>.中心在原点，焦点在轴上：()222210y x a b a b+=>>.②一般方程：()2210,0Ax By A B +=>>.③椭圆的标准参数方程：的参数方程为（一象限应是属于02πθ<<）.⑵①顶点：或.②轴：对称轴：x 轴，轴；长轴长，短轴长. ③焦点：或.④焦距：.⑤准线：或.⑥离心率：()01c e e a=<<.⑦焦点半径：i. 设为椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一点，为左、右焦点，则 y 12222=+b y a x ⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x θ),0)(0,(b a ±±)0,)(,0(b a ±±y a 2b 2)0,)(0,(c c -),0)(,0(c c -2221,2b a c c F F -==c a x 2±=c a y 2±=),(00y x P 21,F F 【考点讲解】⇒-=+=0201,ex a PF ex a PF由椭圆方程的第二定义可以推出.ii.设为椭圆()222210x y a b b a+=>>上的一点，为上、下焦点，则 由椭圆方程的第二定义可以推出.由椭圆第二定义可知：()210000a PF e x a ex x c ⎛⎫=+=+< ⎪⎝⎭()220000a PF e x ex a x c ⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭归结起来为“左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率是，方程是大于0的参数，0a b >>的离心率也是 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为（用余弦定理与可得）. 若是双曲线，则面积为.（6）椭圆的标准方程和几何性质－a ≤x ≤a －b ≤x ≤b 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 A (－a,0)，A (a,0) A (0，－a )，A (0，a ) ),(00y x P 21,F F →)sin ,cos (θθb a N ),(2222a b c a b d -=),(2ab c )(22b a c a c e -==tt b y a x (2222=+ace =12222=+b y a x 21,F F θ=∠21PF F 21F PF ∆2tan2θb a PF PF 221=+2cot 2θ⋅b ⇒-=+=0201,ey a PF ey a PF1.【2019年高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为（ ）A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 【解析】本题考查椭圆标准方程及其简单性质.法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n nn +-⋅⋅⋅=，解得2n =． 22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得【真题分析】223611n n +=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【答案】B2.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8【解析】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质.因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p是椭圆2231x y pp +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ． 【答案】D3.【2019年高考北京卷理数】已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（ ）A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【解析】本题考查椭圆的标准方程与几何性质.椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-，化简得2234a b =，故选B. 【答案】B4.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ）A ．13 B ．12 C ．2 D ．3【解析】本题主要考查椭圆的方程及离心率.由题可得2c =，因为24b =，所以2228a b c =+=，即a =所以椭圆C 的离心率2e ==，故选C ． 【答案】C5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F∠=︒，则C的离心率为（）A．312-B．23-C．312-D．31-【解析】本题主要考查椭圆的定义和简单的几何性质.在12F PF△中，122190,60F PF PF F∠=∠=︒o，设2PF m=，则12122,c F F m PF===，又由椭圆定义可知1221)a PF PF m=+=，则212c cea a====，故选D．【答案】D6.【2018年高考全国Ⅱ理数】已知1F，2F是椭圆22221(0)x yC a ba b+=>>：的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为3的直线上，12PF F△为等腰三角形，12120F F P∠=︒，则C的离心率为（）A．23B．12C．13D．14【解析】因为12PF F△为等腰三角形，12120F F P∠=︒，所以212||2||PF F F c==，由AP的斜率为6可得2tan6PAF∠=，所以2sin PAF∠=，2cos PAF∠=，由正弦定理得2222sinsinPF PAFAF APF∠=∠，所以2225sin()3ca c PAF==+-∠，所以4a c=，14e=，故选D．【答案】D7.【2017年高考全国Ⅰ卷文数】设A，B是椭圆C：2213x ym+=长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（）A．(0,1][9,)+∞U B．[9,)+∞U C．(0,1][4,)+∞U D．[4,)+∞U【解析】本题考查的是以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．解答问题时要利用条件确定ba,的关系，要借助题设条件ο120=∠AMB 转化为360tan =≥οba，简化求解过程. 当03m <<时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o ，则tan 60a b ≥=o≥，得01m <≤；当3m >时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o ，则tan 60ab≥=o≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞U ，故选A ． 【答案】A8.【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用.方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y ，可得22(2)16x y -+=，与方程22195x y +=联立，可解得321,22x x =-=（舍），又点P 在椭圆上且在x 轴的上方，求得32P ⎛- ⎝⎭，所以212PF k ==方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF |=|OM |=c =， 由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-，从而可求得3,22P ⎛- ⎝⎭，所以212PFk ==9.【2019年高考全国Ⅲ卷】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【解析】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y，22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【答案】(10.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围． 【解析】本题主要考查利用椭圆的性质来求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题， （1）连结1PF ，由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，2PF c =，1PF =，于是1221)a PF PF c =+=，故C的离心率是1ce a==. （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在．当且仅当1||2162y c ⋅=，1y y x c x c ⋅=-+-，22221x y a b+=，即||16c y =，① 222x y c +=，② 22221x y a b+=，③由②③及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c=，故4b =．由②③得()22222a x c b c=-，所以22c b ≥，从而2222232,a b c b =+≥=故a ≥当4b =，a ≥存在满足条件的点P ．所以4b =，a的取值范围为)+∞． 【答案】（11；（2）4b =，a的取值范围为)+∞.11.【2019年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .|2||OA OB =（O 为原点）.（1）求椭圆的离心率； （2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x =4上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.（1）设椭圆的半焦距为c ，2b =，又由222a b c =+，消去b得222a c ⎫=+⎪⎪⎝⎭，解得12c a =.所以，椭圆的离心率为12. （2）由（1）知，2,a c b ==，故椭圆方程为2222143x y c c +=.由题意，(, 0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221,433(),4x y c cy x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7c x c x ==-.代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-. 因为点P 在x 轴上方，所以3,2P c c ⎛⎫⎪⎝⎭.由圆心C 在直线4x =上，可设(4, )C t . 因为OC AP ∥，且由（1）知( 2 , 0)A c -，故3242ct c c=+，解得2t =.因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C 与l2=，可得=2c .所以，椭圆的方程为2211612x y +=.【答案】（1）12；（2）2211612x y +=.12．【2019年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4（1）求椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率． 【解析】主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识. （1）设椭圆的半焦距为c，依题意，24,5c b a ==，又222a b c =+，可得a =2,b =1c =． 所以，椭圆的方程为22154x y +=．（2）由题意，设()()()0,,0P P p M P x y x M x ≠，．设直线PB 的斜率为()0k k ≠，又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222,1,54y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2245200k x kx ++=，可得22045P k x k =-+，代入2y kx =+得2281045P k y k -=+，进而直线OP 的斜率24510P py k x k -=-． 在2y kx =+中，令0y =，得2M x k=-． 由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2k-．由OP MN ⊥，得2451102k k k -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，化简得2245k =，从而5k =±．所以，直线PB的斜率为5或5-． 【答案】（1）22154x y +=；（2）230或230-． 13.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.【解析】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题.（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =． 记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-． 由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22222(2)280k x uk x k u +-+-=．① 设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uky k =+．从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k ku k-+=-+-+．所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i ）得2||21PQ u k =+，221||uk k PG +=，所以△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖． 设t =k +1k，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号． 因为2812t S t =+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169．因此，△PQG 面积的最大值为169．1.【2017年高考浙江卷】椭圆22194x y +=的离心率是（ ）A B C ．23 D ．59【解析】椭圆22194x y +=的离心率e ==，故选B ． 【答案】B2.【2017年高考全国Ⅲ】已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A B C D ．13【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，【模拟考场】直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即2223()a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率c e a ===，故选A ． 【答案】A3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1D.x 212＋y 24＝1 【解析】 根据条件可知c a ＝33，且4a ＝43，∴a ＝3，c ＝1，b ＝2，椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.【答案】 A4.【2018年高考浙江卷】已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP u u u u r =2PB u u u u r ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =u u u r u u u r得122x x -=，1212(1)y y -=-，所以1223y y -=-，因为A ，B 在椭圆上，所以22114x y m +=，22224x y m +=，所以22224(23)4x y m +-=， 所以224x +22324()m y -=，与22224x y m +=对应相减得234m y +=，2221(109)44x m m =--+≤， 当且仅当5m =时取最大值． 【答案】55.【2018年高考北京卷理数】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________________；双曲线N 的离心率为________________．【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c +，再根据椭圆定义得2c a +=，所以椭圆M的离心率为1c a ==．双曲线N 的渐近线方程为n y x m =±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为π3，所以222πtan 33n m ==，所以222222234m n m m e m m ++===，所以2e =．1 26.【2016北京理】已知椭圆C ：22221+=x y a b（0a b >>）的离心率为2，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，△OAB 的面积为1.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N . 求证：BM AN ⋅为定值.【分析】（I）根据离心率为2，即2=c a ，△OAB 的面积为1，即121=ab ，椭圆中222c b a +=列方程组进行求解；（II ）根据已知条件分别求出BM AN ,的值，求其乘积为定值.【解析】（I ）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab a c 解得1,2==b a .所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （II ）由（I ）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y . 令0=x ，得2200--=x y y M ，从而221100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为110+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N ，从而12200-+=-=y x x AN N .所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值.7.已知点M 是圆心为E的圆(2216x y ++=上的动点，点)F，线段MF 的垂直平分线交EM于点P .（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）矩形ABCD 的边所在直线与曲线C 均相切，设矩形ABCD 的面积为S ，求S 的取值范围.【分析】1）利用定义法求椭圆的轨迹方程；（2）设AB 的方程为1y k x m =+， CD 的方程为1y k x m =-，直线AB 与CD 间的距离为1d =，直线BC 与AD 间的距离为2d =，S =S 的范围.【解析】（1)依题PM PF =，所以4PE PF PE PM ME +=+== (为定值)，EF =>所以点P 的轨迹是以,E F为焦点的椭圆，其中24,2a c ==所以P 点轨迹C 的方程是2214x y += (2)①当矩形的边与坐标轴垂直或平行时，易得8S =；②当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时，其四边所在直线的斜率存在且不为0，设AB 的方程为1y k x m =+， BC 的方程为2y k x n =+，则CD 的方程为1y k x m =-， AD 的方程为2y k x n =-，其中121k k ⋅=-，直线AB 与CD 间的距离为1d ==，同理直线BC 与AD 间的距离为2d ==()12*S d d =⋅=L2222211111{ 21044x y k x k mx m y k x m+=⎛⎫⇒+++-= ⎪⎝⎭=+，因为直线AB 与椭圆相切，所以221410k m ∆=+-=，所以2141m k =+，同理2241n k =+，所以 S ===44==212112k k +≥ (当且仅当11k =±时，不等式取等号），所以4S <≤810S <≤， 由①②可知， 810S ≤≤.【答案】(1) 2214x y +=;(2) 810S ≤≤.。

解析几何（2020高考）1.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的短轴长为2，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，过点F 2的动直线与椭圆交于点P ，Q ，过点F 2与PQ 垂直的直线与椭圆C 交于A 、B 两点．当直线AB 过原点时，PF 1＝3PF 2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点H(3，0)，记直线PH ，QH ，AH ，BH 的斜率依次为1k ，2k ，3k ，4k ．①若12215k k +=，求直线PQ 的斜率；②求1234()()k k k k ++的最小值．（第18题）2.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:195y x C +=与22221(06)36y x C b b +=<<: 的离心率相等．椭圆1C 的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆1C 交于A B ，两点，射线OB 与椭圆2C 交于点C ．椭圆2C 的右顶点为D ．（1）求椭圆2C 的标准方程； （2）若ABO △求直线AB 的方程；（3）若2AF BF =，求证：四边形AOCD是平行四边形．3.4.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右准线为直线4x =，左顶点为A ，右焦点为F . 已知斜率为2的直线l 经过点F ，与椭圆E 相交于,B C 两点，且O 到直线l 的距离为255.(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 若过O 的直线:m y kx =与直线,AB AC 分别相交于,M N 两点，且OM ON =，求k 的值.5.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：22221x ya b+=(a＞b＞0)左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，两准线间距离为8，圆O的直径为F1F2，直线l与圆O相切于第四象限点T，与y轴交于M点，与椭圆C交于点N（N点在T点上方），且OM＝ON．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求直线l的方程；（3）求直线l上满足到F1，F2距离之和为的所有点的坐标．参考解答1.解：（1）因为椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的短轴长为2，所以b ＝1，当直线AB 过原点时，PQ ⊥x 轴，所以△PF 1F 2为直角三角形， 由定义知PF 1＋PF 2＝2a ，而PF 1＝3PF 2，故132PF a =，212PF a =， 由2221212PF PF F F =+得2222291144(1)444a a c a a =+=+-，化简得a 2＝2， 故椭圆的方程为2212x y +=． （2）①设直线PQ ：(1)y k x =-，代入到椭圆方程得：2222(12)4(22)0k x k x k +-+-=， 设P(1x ，1y )，Q(2x ，2y )，则2122412k x x k +=+，21222212k x x k-=+， 所以121221121212[(1)(3)(1)(3)]33(3)(3)y y k x x x x k k x x x x --+--+=+=----， 化简可得122228715k k k k +==+， 解得：1k =或78k =，即为直线PQ 的斜率．②当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时，1234()()0k k k k ++=， 当两条直线与坐标轴都不垂直时， 由①知122287k k k k +=+，同理可得342287kk k k-+=+ 故21234422244()()1565611356()113k k k k k k k k k--++==++++4225≥=-， 当且仅当221k k =即k ＝±1时取等号．综上，1234()()k k k k ++的最小值为4225-． 2.3.4.(1) 设椭圆E 的焦距为2c ，则直线l 的方程为2()y x c =-，即220x y c --=. 因为O 到直线l 25，222002521c d ⨯--==+255=，则1c =. ………………….3分 因为椭圆E 的右准线的为直线4x =，则24a c =，所以24a =，2223b a c =-=，故椭圆E 的标准方程为22143x y +=. ………………….4分(2) 由(1)知l ：2(1)y x =-，设11(,)B x y ，22(,)C x y .由222(1),3412y x x y =-⎧⎨+=⎩得2193240x x -+=，则212123241940,32,194.19x x x x ⎧⎪∆=-⨯⨯>⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩………….6分 由(2,0)A -，11(,)B x y 可知11:(2)2y AB y x x =++， 由11,(2)2y kx y y x x =⎧⎪⎨=+⎪+⎩得1112(2)M y x k x y =+-， ………………….9分 同理2222(2)N y x k x y =+-，因为OM ON =2211M N k k +=+，由图可知0M N x x +=， ………………….12分 所以1222112[(2)]2[(2)]0y k x y y k x y +-++-=，即122211(1)[(2)2(1)](1)[(2)2(1)]0x k x x x k x x -+--+-+--=， 所以121212122112124(1)(1)4[()1](1)(2)(1)(2)2()4x x x x x x k x x x x x x x x ---++==-++-+++- ……………….14分 4324[1]4(43219)19191432832419241919-+-+===+-⨯⨯+-. ………………….16分5.。

、选择题2 2cA -1.(重庆理8)在圆x y 2x 6y 0内，过点E (0, 1)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD,则四边形ABCDW面积为A. 5、. 2 B 10、. 2 C. 15.2 D. 20.2【答案】B2 2 2C1：3 4 1(a> b>0) C1:x2 *y- 12.(浙江理8)已知椭圆 a b 与双曲线 4 有公共的焦点，C1的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则2 13 -2 1a 2b 2A. 2 B, a 13 C, 2 D. b 2【答案】C3.(四川理10)在抛物线y x2 ax 5(aw0)上取横坐标为x1 4, x2 2的两点，过L 2 L 2这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 5y 36相切，则抛物线顶点的坐标为A. ( 2, 9) B (0, 5) C (2, 9) D (1, 6)【答案】C【解析】由已知的割线的坐标(4,11 4a),(2,2 a 1),K 2 a,设直线方程为36 b22y (a 2)x b,则5 1 (2 a)五、解析几何2y x ax 5 ,b又y (a 2)x b6 a 4 ( 2, 9)4.(陕西理2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x 2,则抛物线的方程是2 2A, y 8x B . y 8x C. y2 4x D . y2 4x5. 理8 )已知双曲线2 2上工2 ,2a b1(a>0, b>0)的两条渐近线均和圆2x2或卫D. 3 2A. 5B. 2 y_5 C. 3 D. 66.（全国新课标理 7) 已知直线 l 过双曲线C 的一个焦点，且与 C 的对称轴垂直，l 与C 交于A, B 两点，1ABi为C 的实轴长的2倍，C 的离心率为 (A)短(B)由 (C) (D) 3 7.（全国大纲理 10）已知抛物线 2 C ：y 4x的焦点为F,直线y 2x 4与C 交于A, B 两点.则cos AFB = A. 5 3B. 5C .8.（江西理 9)若曲线C 1 :点，则实数 m 的取值范围是A.( B .C.[ 9.（湖南理 5) 设双曲线 y 9 D .2xD.(与曲线C2:，0)U (0,y(y的渐近线方程为mx m ） 0有四个不同的交3x 2y0,则a 的值为A. 4 【答案】C D. 110.（湖北理 4）将两个顶点在抛物线 2 px(p 0）上， 另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 A. n=0 【答案】C 11.（福建理 n, 则 B. n=1 C .n=2D. n7) 设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为F1, F2,若曲线r 上存在点P 满足PF 1 : F 1F 2 : PF2 1或3 A. 22=4:3:2 ,则曲线r 的离心率等于 B. 3 或 2【答案】A12 .（北京理8）设A 0，0 , B 4，0 , C t 4，4 , D t ，4 t R .记N t 为平行四边形 ABCg 部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数 的值域为C 22 c13 .（安徽理2）双曲线2x y8的实轴长是则线段AB 的中点到y 轴的距离为、填空题15 .（湖北理14）如图，直角坐标系 x O y 所在的平面为，直角坐标系xOy （其中y 轴一与射影C 的方程是 【答案】(2, 2) (x 1)2 y2 12 x 2116 .（浙江理17）设F1,F 2分别为椭圆 3的左、右焦点，点A,B 在椭圆上，若uuruurnF 1A 5F 2B;则点 A 的坐标是A. 9,10,11B.9,10,12 C.9,11,12D.10,11,12(A) 2(B) 2 2(C) 4(D) 4 214.（辽宁理已知F 是抛物线 y2=x 的焦点, A,B 是该抛物线上的两点， IAF BF =3(A)4(B) 1'轴重合）所在的平面为，xOx 45 。

高三数学解析几何专题(含解析)1.【理科】已知动点P到点A(-1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2，且∠APB=2θ，且d1d2cos2θ=1.Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；Ⅱ）过点B作直线l交轨迹C于M，N两点，交直线x=4于点E，求|EM||EN|的最小值。

2.已知椭圆C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 (a>b>0)的离心率为2，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=7/2，PF·PF3/12=4.其中O为坐标原点。

I）求椭圆C的方程；Ⅱ）如图，过点S（0，1/3），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

3.已知两定点F1(-2,0)、F2(2,0)，满足条件PF2-PF1=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点。

Ⅰ）求k的取值范围；Ⅱ）如果AB=63，且曲线E上存在点C，使OA+OB=mOC，求m的值和△ABC的面积S。

4.已知抛物线W:y=ax^2经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同的直线L1、L2.1）求抛物线W的方程及其准线方程；2）当直线L1与抛物线W相切时，求直线L2与抛物线W所围成封闭区域的面积；3）设直线L1、L2分别交抛物线W于B、C两点（均不与A重合），若以BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程。

5.动点M(x,y)到定点F(-1,0)的距离与到y轴的距离之差为1.I）求动点M的轨迹C的方程；II）过点Q(-3,0)的直线l与曲线C交于A、B两点，问直线x=3上是否存在点P，使得△PAB是等边三角形？若存在，求出所有的点P；若不存在，请说明理由。

6.椭圆M的中心在坐标原点D，左、右焦点F1、F2在x轴上，抛物线N的顶点也在原点D，焦点为F2，椭圆M与抛物线N的一个交点为A(3,26)。

（2019年全国卷I）已知抛物线C ：x y 32=的焦点为F，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若4||||=+BF AF ，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求||AB ．【肢解1】若4||||=+BF AF ，求l 的方程；【肢解2】若3AP PB =，求||AB．【肢解1】若4||||=+BF AF ，求l 的方程；【解析】设直线l 方程为m x y +=23，()11,A x y ，()22,B x y ，由抛物线焦半径公式可知12342AF BF x x +=++=，所以1252x x +=，联立2323y x m y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得04)12(12922=+-+m x m x ，由0144)1212(22>--=∆m m 得12m <，所以121212592m x x -+=-=，解得78m =-，所以直线l 的方程为3728y x =-，即12870x y --=.【肢解2】若3AP PB =，求||AB ．大题肢解一直线与抛物线【解析】设直线l 方程为23x y t =+，联立2233x y t y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得0322=--t y y ，由4120t ∆=+>得31->t ，由韦达定理知221=+y y ，因为PB AP 3=，所以213y y -=，所以12-=y ，31=y ，所以1=t ，321-=y y .则=-+⋅+=212214)(941||y y y y AB =-⨯-⋅+)3(4294123134.设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，过点F 的而直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p.弦长的计算方法：求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解．温馨提示：注意两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点．【拓展1】已知抛物线C ：x y 32=的焦点为F，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．若27||||=+BF AF ，求l 在y 轴上的截距.【解析】设直线l 方程为m x y +=23，()11,A x y ，()22,B x y ，由抛物线焦半径公式可知123722AF BF x x +=++=，所以122x x +=，联立2323y x m y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得04)12(12922=+-+m x m x ，由0144)1212(22>--=∆m m 得12m <，所以12121229m x x -+=-=，解得21m =-，所以直线l 的方程为3122y x =-，令0=x 得21-=y ，所以直线l 在y 轴上的截距为21-.【拓展2】已知抛物线C ：x y 32=的焦点为F，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．若2AP PB =，)0,4(-M ，求ABM ∆的面积．【解析】设直线l 方程为23x y t =+，联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得0322=--t y y ，由4120t ∆=+>得31->t ，由韦达定理知221=+y y ，t y y 321-=，因为PB AP 2=，所以212y y -=，所以22-=y ，41=y ，所以821-=y y .38-=t ，所以=-+⋅+=212214)(941||y y y y AB =-⨯-⋅+)8(429412132，直线l 方程为2833x y =-，即0823=+-y x ，所以点)0,4(-M 到l 的距离13413|812|=+-=d ，所以ABM ∆的面积为413413221||21=⨯⨯=⋅d AB ．1.（2019年山西太原一模)已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AOB ∆的面积为6，求||AB .【解析】由题意知抛物线x y 42=的焦点F 的坐标为)0,1(，易知当直线AB 垂直于x 轴时，AOB ∆的面积为2，不满足题意，所以可设直线AB 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ，与x y 42=联立，消去x 得0442=--k y ky ，设),(11y x A ，),(22y x B ，由韦达定理知ky y 421=+，421-=y y ，变式训练一所以1616||221+=-ky y ，所以AOB ∆的面积为616161212=+⨯⨯k，解得2±=k ，所以6||11||212=-⋅+=y y k AB .2.（2019年湖北荆州模拟)已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于,A B 两点.（1）若3AF FB =，求直线AB 的斜率；（2）设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值.【解析】（1）依题意可设直线:1AB x my =+，将直线AB 与抛物线联立214x my y x =+⎧⎨=⎩⇒2440y my --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由韦达定理得121244y y my y +=⎧⎨=-⎩，因为3AF FB = ，所以213y y -=，即312=m ，所以直线AB的斜率为或．（2）121212242OACB AOB S S OF y y y y ∆==⋅⋅-=-=，当0m =时，四边形OACB 的面积最小，最小值为4．（2020届广东省珠海市高三上学期期末）中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆C 过)1,0(-A 、21,3(B 两点，（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线)0(21:≠+=m m x y l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，求当所取何值时，OPQ ∆的面积最大.【肢解1】求椭圆C 的方程；【肢解2】设直线)0(21:≠+=m m x y l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，求当所取何值时，OPQ ∆的面积最大题肢解二大.【肢解1】求椭圆C 的方程；【解析】（1）由题意可设椭圆C 的方程为22221x y m n+=，代入()0,1A -、12B ⎫⎪⎭两点得()2222222101121m n m n ⎧-+=⎪⎪⎪⎨⎛⎫ ⎪⎝⎭+=⎪⎩解得21n =，24m =，所以椭圆:C 2214x y +=.【肢解2】设直线)0(21:≠+=m m x y l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，求当所取何值时，OPQ ∆的面积最大.【解析】将直线1:,(0)2l y x m m =+>代入2214x y +=得：221442x x m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.整理得222220x mx m ++-=.()()2222422840m m m ∆=--=->得m <<由韦达定理得122x x m +=-，21222x x m =－.12x x -===1212OPQ S m x x ∆=-==由二次函数可知当21m =即1m =时，OPQ ∆的面积的最大．直线与圆锥曲线的相交弦长问题：设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.【变式1】中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆C 过)1,0(-A 、)213(B 两点，（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线)0(21:>+=m m x y l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，若APQ ∆的面积为1+m ，求m 的值.【解析】（1）由题意可设椭圆C 的方程为22221x y m n+=，代入()0,1A -、12B ⎫⎪⎭两点得()22222221011321m n m n ⎧-+=⎪⎪⎪⎨⎛⎫ ⎪⎝⎭+=⎪⎩解得21n =，24m =.所以椭圆:C 2214x y +=.（2）将直线1:,(0)2l y x m m =+>代入2214x y +=得221442x x m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.整理得222220x mx m ++-=.()()2222422840m m m ∆=--=->得m <<设),(11y x P ，),(22y x Q ，韦达定理得122x x m +=-，21222x x m =－.所以)22(4)2()21(1||222---⋅+=m m PQ 252+-⋅=m ，由点到直线的距离公式得点)1,0(-A 到直线l 的距离5|22|m d +=.所以APQ ∆的面积为255|22|212+-⋅⋅+⋅m m 2|1|2+-⋅+=m m ，变式训练二因为APQ ∆的面积为1+m ，所以12|1|2+=+-⋅+m m m ，解得1=m 或1-=m （舍去）.所以1=m ．【变式2】已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为22，其中左焦点为)0,2(-F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线m x y +=与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，1ABF ∆的面积为)2(6-m ，求直线的方程．【解析】(1)由题意，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===222222c b a c a c 解得⎩⎨⎧==222b a ，所以椭圆C 的方程为14822=+y x .（2）设点),(11y x A ，),(22y x B ，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m x y y x 14822消去y 得0824322=-++m mx x ，由0)84(12)4(22>--=∆m m 得3232<<-m ，由韦达定理知3421mx x -=+，382221-=m x x ，所以)82(4)34(2||22---⋅=m m AB 367342+-=m ，由点到直线的距离公式得)0,2(1-F 到直线m x y +=的距离2|2|m d -=，所以1ABF ∆的面积为36342|2|212+-⋅-⋅m m )2(6-=m ，解得3±=m ，满足3232<<-m ，所以所求直线方程为3+=x y 或3-=x y.1.（2019年山东高考模拟）已知圆22:4O x y +=，抛物线2:2(0)C x py p =>．（1）若抛物线C 的焦点F 在圆O 上，且A 为抛物线C 和圆O 的一个交点，求AF ；（2）若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于,M N 两点，设()00,M x y ，当[]03,4y ∈时，求MN 的最大值．【解析】（1）由题意知(0,2)F ，所以4p =.所以抛物线C 的方程为28x y =.将28x y =与224x y +=联立得点A的纵坐标为2)A y =，结合抛物线定义得||22A pAF y =+=-.（2）由22x py =得22x y p=，x y p '=，所以直线l 的斜率为0x p ，故直线l 的方程为()000xy y x x p -=-.即000x x py py --=.又由||2ON ==得02084y p y =-且2040y ->，所以2222200||||||4MN OM ON x y =-=+-220000020824244y py y y y y =+-=+--()2202200022001644164444y y y y y y -+=+-=+---2020641644y y =++--.令204t y =-，0[3,4]y ∈，则[5,12]t ∈，令64()16f t t t =++，则264()1f t t'=-；当[5,8]t ∈时()0f t '≤，()f t 单调递减，当(8,12]t ∈时()0f t '>，()f t 单调递增，又64169(5)16555f =++=，64100169(12)16121235f =++=<，所以max 169()5f x =，即||MN 的最大值为1355.2.（2020黑龙江省齐市地区普高联谊高二上学期期末）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点)23,22(与点)22,1(--.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 过定点1(0,2-，且斜率为()10k k-≠，若椭圆C 上存在A ，B 两点关于直线l 对称，O 为坐标原点，求k 的取值范围及AOB ∆面积的最大值.【解析】（1）由题意，可得2222231441214a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得222,1a b ==，所以椭圆的方程为2212x y +=.（2）由题意，设直线AB 的方程为(0)y kx m k =+≠，由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得222(12)4220k x kmx m +++-=，所以∆>0，即2221k m +>，……….①且2121222422,1212km m x x x x k k-+=-=++，所以线段AB 的中点横坐标02212km x k =-+，纵坐标为00212my kx m k=+=+，将00,x y 代入直线l 方程112y x k =--，可得2122k m +=………②，由①②可得232k <，又0k ≠，所以66(,0)(0,22k ∈-⋃，又AB ==所以2122(12)AOB m S AB d k ∆==⋅+==所以1m =时，AOB S ∆最大值2，此时22k =±，所以22k =±时，AOB S ∆最大值22.3.（2020福建省宁德市高三第一次质量检查）已知抛物线2:2C y px =的焦点为F ，1(2Q 在抛物线C上，且32QF =.（1）求抛物线C 的方程及t 的值；（2）若过点(0,)M t 的直线l 与C 相交于,A B 两点，N 为AB 的中点，O 是坐标原点，且AOB MON S D D =，求直线l 的方程.【解析】（1）因为3||2QF =，所以13222p +=，所以2p =，抛物线C 的方程为：24y x =，将1(2Q 代入24y x =得2t =，（2）设1122(,),(,),A x y B x y 00(,),(0,2)N x y M ，显然直线l 的斜率存在，设直线l ：2(0)y kx k =+≠，联立242y x y kx ⎧=⎨=+⎩，消去y 得224(1)40k x k x --+=，因为22Δ16(1)160k k =-->，得12k <且0k ≠，所以1212224(1)4,k x x x x k k -+==，因为ΔΔAOB MON S =，所以||||AB MN =，所以1200x -=-，即120x x x -=，因为N是AB的中点，所以1202x=，所以22121212()()434x xx x x x++-=×，整理得21212()16x x x x+=所以2224(1)64[]kk k-=，解得1211,3k k=-=，所以直线l的方程为：2y x=-+或123y x=+.4.（2020福建省龙岩市上杭县第一中学月考）已知点A(0，－2)，椭圆E：22221x ya b+=(a>b>0)的离心率为2，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为3，O为坐标原点.（1）求E的方程；（2）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.【解析】（1）设(),0F c，因为直线AF的斜率为233，()0,2A-，所以2233c=，c=.又2223,2c b a ca==-，解得2,1a b==，所以椭圆E的方程为2214x y+=.（2）设()()1122,,,P x y Q x y由题意可设直线l的方程为：2y kx=-，联立22142,x yy kx+==-⎧⎪⎨⎪⎩，消去y得()221416120k x kx+-+=，当()216430k∆=->，所以234k>，所以32k<-或32k>，由韦达定理知1212221612,1414kx x x xk k+==++.所以PQ==214k=+，点O到直线l的距离d=，所以21214OPQS d PQk∆==+，t=>，则2243k t=+，所以244144OPQ S t t t∆==≤=++，当且仅当2t =，即2=，解得72k =±时取等号，满足234k >，所以OPQ ∆的面积最大时直线l 的方程为：22y x =-或22y x =--.5.（2020广东省佛山市高三教学质量检测）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，直线1l 过椭圆C 的右焦点与上顶点，动直线2l ：y kx =与椭圆C 交于M ，N 两点，交1l 于P 点.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，若点P 满足14OP MN =，求此时MN 的长度.【解析】（1）由题意得12c e a ==，2223121a b⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，结合222a b c =+，解得24a =，23b =，21c =，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）易知定直线1l 0y +=.联立22143y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()223412k x +=，解得x =，令M 点的坐标为.因为14OP MN =，由对称性可知，点P 为OM 的中点，故P ，又P 在直线1l0y +=0，解得10k =，23k =，所以M 点的坐标为()2,0或6,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2OM =或2215，所以MN 的长度为4或4215.6.（2020广西名校高三上学期12月高考模拟）如图，中心为坐标原点O 的两圆半径分别为11r =，22r =，射线OT 与两圆分别交于A、B 两点，分别过A、B 作垂直于x 轴、y 轴的直线1l 、2l ，1l 交2l 于点P．（1）当射线OT 绕点O 旋转时，求P 点的轨迹E 的方程；（2）直线l：y kx =+与曲线E 交于M、N 两点，两圆上共有6个点到直线l 的距离为12时，求MN 的取值范围．【解析】（1）设(),P x y ,OT 与x 轴正方向夹角为θ,则cos sin x OA y OB θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩，化简得2214y x +=,即P 点的轨迹E 的方程为2214y x +=.（2）当两圆上有6个点到直线1的距离为12时,原点O 至直线l 的距离13,22d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即1322<<,解得21,113k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，联立方程2214y kx y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()22410k x ++-=，设()11,M x y ,()22,N x y,则1224x x k +=-+,12214x x k =-+，所以MN =()2224134144k k k +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则1616,135MN ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.7.（2020辽宁省沈阳市东北育才学校高三模拟）已知(2,0)P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点，点M 在椭圆C 的长轴上，过点M 且不与x 轴重合的直线交椭圆C 于AB 、两点，当点M 与坐标原点O 重合时，直线PA PB 、的斜率之积为14-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若2AM MB = ，求OAB ∆面积的最大值．【解析】（1）设1(A x ，1)y ，1(B x -，1)y -，则2121144PA PB y k k x ==-- ．又2211221x y a b +=，代入上式可得2214b a -=-，又2a =，解得1b =．所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=．（2）设直线AB 的方程为：(0)x ty m t =+≠，(22)m -．1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立2244x ty m x y =+⎧⎨+=⎩，化为222(4)240t ymty m +++-=，由韦达定理知12224mt y y t +=-+，212244m y y t -=+，因为2AM MB = ，所以122y y =-，所以122152y y y y +=-，代入可得：22241694t m t +=+．所以OAB ∆的面积12213|()|||22S m y y my =-=，22222222222299416161694494(4)(94)(94)t t t S m y t t t t +==⨯=⨯++++ ．所以212||1214949||||t S t t t ==++，当且仅当249t =时取等号．所以OAB ∆面积的最大值为1．。

解析几何高考真题一、单选题（共11题；共22分）1.（2020·新课标Ⅲ·理）设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1 （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F 1 ， F 2 ， 离心率为 √5 ．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a=（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 82.（2020·新课标Ⅲ·理）设O 为坐标原点，直线x=2与抛物线C ：y 2=2px(p>0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（ ）A. （ 14 ，0）B. （ 12 ，0） C. （1，0） D. （2，0） 3.（2020·新课标Ⅱ·理）设O 为坐标原点，直线 x =a 与双曲线 C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的两条渐近线分别交于 D,E 两点，若 △ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 4.（2020·天津）设双曲线 C 的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) ，过抛物线 y 2=4x 的焦点和点 (0,b) 的直线为l ．若C 的一条渐近线与 l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ） A.x 24−y 24=1 B. x 2−y 24=1 C.x 24−y 2=1 D. x 2−y 2=15.（2019·天津）已知抛物线 的焦点为F ，准线为l.若与双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的两条渐近线分别交于点A 和点B ， 且 |AB|=4|OF| （O 为原点），则双曲线的离心率为（ ） A. √2 B. √3 C. 2 D. √56.（2020·北京）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作 PQ ⊥l 于Q ，则线段 FQ 的垂直平分线（ ）．A. 经过点OB. 经过点PC. 平行于直线 OPD. 垂直于直线 OP7.（2019·天津）已知抛物线 y 2=4x 的焦点为 F ，准线为 l ，若 l 与双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0,b >0) 的两条渐近线分别交于点 A 和点 B ，且 |AB|=4|OF| （ O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）A. √2B. √3C. 2D. √5 8.（2019·全国Ⅲ卷理）双曲线 C:x 24−y 22=1 的右焦点为F,点P 在C 的一条渐近线上,O 为坐标原点,若|PO|=|PF|,则△PFO 的面积为（ ）A. 3√24B. 3√22C. 2√2D. 3√29.已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线l:3x-4y=0交椭圆E 于A,B两点．若|AF+BF|=4，点M 到直线l 的距离不小于45 ， 则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A. (0,√32] B. (0,34] C. [√32.1) D. [34,1)10.将离心率为e 1的双曲线c 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线c 2 ， 则（ ）A. 对任意的a,b ， e 1>e 2B. 当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2C. 对任意的a,b ， e 1<e 2D. 当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 211.将离心率为e 1的双曲线c 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加(m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线c 2 ， 则（ ）A. 对任意的a,b,e 1>e 2B. 当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2C. 对任意的a,b,e 1<e 2D. 当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2二、填空题（共5题；共6分）12.（2020·新课标Ⅰ·理）已知F 为双曲线 C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为________.13.（2019·江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 y =x +4x (x >0) 上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是________. 14.（2019·浙江）已知椭圆x 29+y 25=1 的左焦点为F ，点P 在椭圆且在x 轴上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________ 15.（2018·北京）已知椭圆 M:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) ,双曲线 N:x 2m 2−y 2n 2=1 . 若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________16.（2017·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23﹣y 2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1 ， F 2 ， 则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．三、解答题（共9题；共85分）17.（2020·新课标Ⅲ·理）已知椭圆 C:x 225+y 2m 2=1(0<m <5) 的离心率为√154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线 x =6 上，且 |BP|=|BQ| ， BP ⊥BQ ，求 △APQ 的面积．18.（2020·新课标Ⅱ·文）已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1 (a>b>0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD|= 43 |AB|． （1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．19.（2020·新课标Ⅰ·理）已知A 、B 分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2=1 （a>1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =8 ，P 为直线x=6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.20.（2020·新高考Ⅱ）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为 12 ， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.21.（2019·天津）设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，左顶点为A，顶点为B.已知√3|OA|=2|OB|（O为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为p，圆C同时与x轴和直线l 相切，圆心C在直线x=4上，且OC∥AP，求椭圆的方程.22.（2019·全国Ⅲ卷文）已知曲线C：y= x22，D为直线y= −12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.23.（2019·全国Ⅲ卷理）已知曲线C: y=x22，D为直线y=- 12的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点；（2）若以E（0，52）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.24.（2019·全国Ⅱ卷文）已知F1,F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点。

专题八 解析几何1、直线50x +-=的倾斜角为（ ） A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2、过点(1,0)且与直线220x y --＝平行的直线方程是 ( ) A ．210x y --＝ B ．210x y -+＝ C ．220x y +-＝D ．210x y +-＝3、坐标原点到直线3450x y ++=的距离是( ) A.1 B.2 C.3 D.44、已知()(4,51)6,A B ---、，则以线段AB 为直径的圆的方程是 ( ) A ．22132)9()(x y ++－＝ B ．22132)9()(x y -++＝ C ．221311()(6)x y +-+＝D ．221311()(6)x y -++＝50y m -+=与圆22220x y x +--=相切,则实数m 等于( )A.B.C. -D. -或6、已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆E 于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则椭圆E 的方程为( ) A.2214536x y += B.2213627x y += C.2212718x y +=D.221189x y +=7、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>C 的渐近线方程为( )A.14y x =±B.13y x =±C.12y x =±D.y x =±8、点(2,1)A 到抛物线2x ay =的准线的距离为3,则实数a 的值为( ) A.4B.14C.14或120- D.4或-209、已知抛物线22(0)y px p =>上一点M 到抛物线焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( )A ．B ．1±C ．34±D ． 10、如图所示,已知椭圆方程为()222210,x y a b A a b+=>>为椭圆的左顶点, B C 、在椭圆上,若四边形OABC 为平行四边形,且45OAB ∠=︒,则椭圆的离心率为( )A.B.C.D.11、已知直线1l ：4230x y -+=与直线2l ：210ax y ++=垂直，则a = 。

最新高三数学二轮复习精选专题练（理科，有解析）解析几何1、在△ABC 中，若A ＝60°，a则sin sin sin a b cA B C+-+-等于（ ）A ．2 B.12【答案】A 【解析】因为sin sin sin a b c A B C +-+-＝sin aA＝2.2、直线10x y ++=的倾斜角与其在y 轴上的截距分别是（）.A 1,135ο.B 1,45-ο.C 1,45ο.D 1,135-ο【答案】D【解析】因为k=-1,所以直线的倾斜角为135o ；当x=0时，y=-1,所以其在y 轴上的截距分别是-1.3、与直线+32=0x y -关于x 轴对称的直线方程为（） A ．32=0x y --B ．32=0x y -+ C ．+32=0x y +D ．3+2=0x y - 【答案】A【解析】直线023=-+y x 与x 轴的交点为()0,2，与y 轴的交点为⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0，⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0关于x 对称点为⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,0，所求直线过点()0,2，⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,0，因此斜率3120032=---=k ，因此所求直线()2310-=-x y 023=--y x .4、过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>左焦点F 斜率为ab的直线分别与C 的两渐近线交于点P 与Q ，若FP PQ =u u u r u u u r，则C 的渐近线的斜率为（）A ．3±B ．2±C ．1±D ．5± 【答案】A【解析】如图:双曲线左焦点(),0F c -,直线的方程为:()ay x c b=+,两条渐近线方程为:by x a=±解方程组得222222,P Q a c a c x x a b a b -==+-+又FP PQ =u u u r u u u r 所以P 是FQ 中点,所以2222224222222222222222b 3a b 33Q F p a c a c a b a b b x x x c a b a b a b a b a a---+=⇒-=⇒=⇒=⇒=⇒=±-++-++.5、已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】B6、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝λ，b 3λ(λ>0)，A ＝45°，则满足此条件的三角形个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数个【答案】A7、已知圆222()()x a y b r -+-=的圆心为抛物线24y x =的焦点,且与直线3420x y ++=相切,则该圆的方程为（）A.2264(1)25x y -+=B.2264(1)25x y +-=C.22(1)1x y -+=D. 22(1)1x y +-=【答案】C8、直线x +a 2y +6=0和直线(a －2)x +3ay +2a =0没有公共点，则a 的值是 A.a =3 B.a =0 C.a =－1 D.a =0或－1 【答案】D9、在平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为（ ）A. 4B.8C. 16D. 32 【答案】A【解析】平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤的四个边界点（—1，—1），（—1，1），（1，—1），（1，1）满足22ax by -≤，即有22,22,22,22a b a b a b a b +≤-≤--≤-+≤由此计算动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为4。

2020年高考数学（理） 重难点04 解析几何【命题趋势】解析几何一直是高考数学中的计算量代名词，在高考中所占的比例一直是2+1+1模式.即两道选择，一道填空，一道解答题.高考中选择部分，一道圆锥曲线相关的简单概念以及简单性质，另外一道是圆锥曲线的性质会与直线、圆等结合考查一道综合题目，一般难度诶中等.填空题目也是综合题目，难度中等.大题部分一般是以椭圆抛物线性质为主，加之直线与圆的相关性子相结合，常见题型为定值、定点、对应变量的取值范围问题、面积问题等.双曲线一般不出现在解答题中，一般出现在小题中.即复习解答题时也应是以椭圆、抛物线为主.本专题主要通过对高考中解析几何的知识点的统计，整理了高考中常见的解析几何的题型进行详细的分析与总结，通过本专题的学习，能够掌握高考中解析几何出题的脉略，从而能够对于高考中这一重难点有一个比较详细的认知，对于解析几何的题目的做法能够有一定的理解与应用. 【满分技巧】定值问题：采用逆推方法，先计算出结果.即一般会求直线过定点，或者是其他曲线过定点.对于此类题目一般采用特殊点求出两组直线，或者是曲线然后求出两组直线或者是曲线的交点即是所要求的的定点.算出结果以后，再去写出一般情况下的步骤.定值问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.先求结果一般会也是采用满足条件的特殊点进行带入求值（最好是原点或是（1.0）此类的点）.所得答案即是要求的定值.然后再利用答案，写出一般情况下的过程即可.注：过程中比较复杂的解答过程可以不求，因为已经知道答案，直接往答案上凑即可.关于取值范围问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.对于答案的求解，一般利用边界点进行求解，答案即是在边界点范围内.知道答案以后再写出一般情况下的步骤比较好写.一般情况下的步骤对于复杂的计算可以不算. 【考查题型】选择，填空，解答题【限时检测】（建议用时：35分钟） 一、单选题1．（2020·四川高三期末（理））己知点(1,0)A -，(1,0)B 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点，点M 在双曲线C 上，若ABM 是顶角为120︒的等腰三角形，则双曲线C 的方程为A ．2214y x -= B ．2213y x -= C ．2212y x -=D ．221x y -=【答案】D 【解析】分析：由条件可得1a =，不妨设点M 在双曲线的右支上，由题意可得等腰△ABM 中，120ABM ∠=︒且2AB BM ==，由此可得点M 的坐标，然后根据点M 在双曲线上可得1b =，故可得曲线方程．详解：由题意得1a =，故双曲线的方程为2221(0)y x b b-=>．设点M 在双曲线的右支上且在第一象限，则在等腰△ABM 中，有120ABM ∠=︒且2AB BM ==，∴点M 的横坐标为12cos 602M x =+︒=，纵坐标为2sin60M y =︒=，∴点M 的坐标为．又点在双曲线上，∴22221b-=，解得21b =， ∴双曲线的方程为221x y -=． 故选D ．【点睛】：对于圆锥曲线中的特殊几何图形的问题，解题时要根据题意将几何图形的性质转化为曲线中的有关系数的问题处理，如根据等腰三角形可得线段相等、底边上的高与底边垂直等．2．（2020·北京高三期末（理））已知F 是抛物线2:2C y px =(0)p >的焦点，抛物线C的准线与双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的两条渐近线交于A ，B 两点，若ABF ∆为等边三角形，则Γ的离心率e =（ ）A B C ．7D 【答案】D 【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的渐近线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出a ，b 的关系式，结合离心率公式，计算可得所求值． 【详解】解：抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为：2p x =-，联立抛物线的准线方程与双曲线的渐近线方程2p x b y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，解得2pb y a =±，可得||pbAB a=， ABF ∆为等边三角形，可得pb p a=，即有b a =，则3c e a ====．故选：D ．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程和性质，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力，属于中档题．3．（2020·江西高三（理））在直角坐标系xOy 中，12F F 、分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，点()00,P x y 是双曲线右支上的一点，满足120PF PF ⋅=，若点P 的横坐标取值范围是054,43x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则双曲线C 的离心率取值范围为（ ）A ．54,43⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．169,72⎛⎫ ⎪⎝⎭C．72⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D．,53⎛ ⎝⎭【答案】C 【分析】由120PF PF ⋅=可计算得222202()a b c x c+=，再利用054,43x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可得离心率的取值范围. 【详解】由120PF PF ⋅=可得，222000x c y -+=，222220020b x c x b a -+-=，222202c x b c a=+，222202()a b c x c +=，由于054(,)43x a a ∈，所以22222225()16169a b c a a c +<<，2297169b c <<，29171169e <-<，2217916e <<，216972e <<，72e <<. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，向量数量积的运算，考查计算能力，属于中档题．4．（2020·吉林高三期末（理））已知椭圆22143x y +=的右焦点F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，则过F 作倾斜角为60︒的直线分别交抛物线于,A B （A 在x 轴上方）两点，则||||AF BF 的值为（ ） AB ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】利用抛物线的定义和焦点弦的性质，求得1213,3x x ==，进而可求得||||AF BF 的值．【详解】由椭圆22143x y +=，可得右焦点为(1,0)，所以12p =，解得2p =，设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线的定义可得1222816sin 6033p p AB x x p =++===，所以12103x x +=， 又由21214p x x ==，可得1213,3x x ==， 所以12||31231||123px AF p BF x ++===++. 故选C ．【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，以及抛物线的焦点弦的性质的应用，其中解答中熟练应用抛物线的定义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．（2020·广东仲元中学高三月考（理））设F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左.右支交于点P Q 、，若2,60PQ QF PQF =∠=︒，则该双曲线的离心率为（ ）A．1+BC．2+D．4+【答案】A 【解析】∵|PQ |=2|QF |,∠PQF =60°,∴∠PFQ =90°， 设双曲线的左焦点为F 1,连接F 1P ,F 1Q ，由对称性可知,F 1PFQ 为矩形,且|F 1F |=2|QF|,1QF =， 不妨设()1220F F m m =>，则1,QF QF m ==，故121212F F c e a QF QF ====-. 本题选择A 选项.【点睛】离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．二、填空题6．（2019·广东高考模拟（理））已知点E 在y 轴上，点F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，直线EF 与抛物线交于M ， N 两点，若点M 为线段EF 的中点，且|12|NF =，则p =__________． 【答案】8 【解析】设()0,E b ，又,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，由M 为EF 的中点，求得()E ，直线EF 的方程代入22y px =，得22450x px p -+=，求得点N 的横坐标，利用抛物线的定义，即可求解.【详解】设()0,E b ，又,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，因为M 为EF 的中点，所以点M 的坐标为,4p y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22242p p y p =⨯=，即,42p M p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，又由022b p +=，则b =，即()E ，直线EF 的方程为y =-+，代入22y px =，得22450x px p -+=，设(),N x y ，则544p x p +=，解得x p =， 由抛物线的定义得：122pNF p =+=，解得：8p =.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系和抛物线的定义合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.7．（2019·北京高考模拟（理））已知平面内两个定点(3,0)M 和点(3,0)N -，P 是动点，且直线PM ,PN 的斜率乘积为常数(0)a a ≠，设点P 的轨迹为C .① 存在常数(0)a a ≠，使C 上所有点到两点(4,0),(4,0)-距离之和为定值； ② 存在常数(0)a a ≠，使C 上所有点到两点(0,4),(0,4)-距离之和为定值；③ 不存在常数(0)a a ≠，使C 上所有点到两点(4,0),(4,0)-距离差的绝对值为定值； ④ 不存在常数(0)a a ≠，使C 上所有点到两点(0,4),(0,4)-距离差的绝对值为定值. 其中正确的命题是_______________.（填出所有正确命题的序号） 【答案】②④ 【解析】由题意首先求得点P 的轨迹方程，然后结合双曲线方程的性质和椭圆方程的性质考查所给的说法是否正确即可. 【详解】设点P 的坐标为：P （x ，y ）， 依题意，有：33y y a x x ⨯=+-， 整理，得：22199x y a-=，对于①，点的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，且c ＝4，a ＜0，椭圆在x 轴上两顶点的距离为：6，焦点为：2×4＝8，不符； 对于②，点的轨迹为焦点在y 轴上的椭圆，且c ＝4，椭圆方程为：22199y x a +=-，则9916a --=，解得：259a =-，符合；对于③，当79a =时，22197x y -=，所以，存在满足题意的实数a ，③错误；对于④，点的轨迹为焦点在y 轴上的双曲线，即22199y x a +=-，不可能成为焦点在y 轴上的双曲线， 所以，不存在满足题意的实数a ，正确. 所以，正确命题的序号是②④. 【点睛】本题主要考查轨迹方程的求解，双曲线方程的性质，椭圆方程的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题8．（2019·衡水市第二中学高考模拟（理））已知椭圆：2222:1(0)x y C a b a b+=>>的四个顶点围成的四边形的面积为1x y a b +=的距离为4. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知定点(0,2)P ，是否存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以||AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点？若存在，求出l 的方程：若不存在，请说明理由. 【答案】（1）22153x y +=；（2）存在，且方程为2y x =+或2y =+.【解析】 【分析】（1）依题意列出关于a,b,c 的方程组，求得a,b,进而可得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆得到()22352050kxkx +++=，要使以AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点()D ，则0DA DB ⋅=，结合韦达定理可得到参数值.【详解】 （1）直线1x ya b+=的一般方程为0bx ay ab +-=.依题意22224ab a b c ⎧=⎪==+⎩，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 的方程式为22153x y +=. （2）假若存在这样的直线l ，当斜率不存在时，以AB 为直径的圆显然不经过椭圆C 的左顶点， 所以可设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为2y kx =+.由2223515y kx x y =+⎧⎨+=⎩，得()22352050k x kx +++=. 由()2240020350k k∆=-+>，得,k ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 记A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则1222035k x x k +=-+，122535x x k =+， 而()()121222y y kx kx =++ ()2121224k x x k x x =+++.要使以AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点()D ，则0DA DB ⋅=，即(1212y y x x+ ()(()21212129k x x k x x =++++ 0=，所以()(2225201293535kk k kk+-++++ 0=，整理解得k =或k = 所以存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点，直线l 的方程为2y x =+或2y x =+. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．9．（2019·四川高考模拟（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为)F，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.()1求椭圆C 的方程；()2过椭圆内一点()0,P t ，斜率为k 的直线l 交椭圆于,M N 两点，设直线,OM PN（O 为坐标原点）的斜率分别为12,k k ，若对任意k ，存在实数λ，使得12k k k λ+=，求实数λ的取值范围.【答案】（1）22142x y +=；（2）[)2,.+∞【解析】 【分析】（1）根据焦点和通径列出,,a b c 关系，求出椭圆方程.（2）直曲联立，得到1212,x x x x +⋅，再将12k k +用12,x x 表示，得到λ与t 的关系，由t 的范围，得到λ的范围. 【详解】()1由题意得222222c ba abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为：221,42x y +=()2设直线l 的方程为,y kx t =+由221,42,x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元可得()222214240.k x ktx t +++-= 设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222424,.2121kt t x x x x k k --+==++ 而()12121212221211242,2t x x y y kx t kx tk k k k x x x x x x t +++-+=+=+=+=- 由12,k k k λ+=得24.2kk t λ-=- 因为此等式对任意的k 都成立，所以242t λ-=-，即242.t λ=- 由题意，点()0,P t 在椭圆内，故24022t λ≤=-<，解得 2.λ≥所以λ的取值范围是[)2,.+∞ 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直曲联立构造等量关系.对计算能力要求较高，有一定的难度，属于中档题.10．（2019·山东高考模拟（理））已知圆22:4O x y +=，抛物线2:2(0)C x py p =>．（1）若抛物线C 的焦点F 在圆O 上，且A 为抛物线C 和圆O 的一个交点，求AF ；（2）若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于,M N 两点，设()00,M x y ，当[]03,4y ∈时，求MN 的最大值．【答案】（1）2；（2）5. 【解析】 【分析】（1）求出焦点(0,2)F ，得到抛物线方程，联立抛物线和圆，解得A 的纵坐标，再根据抛物线的定义可得；（2）利用导数的几何意义求出切线的方程，利用切线与圆相切，解得p ，再根据22||4MN OM =-求得解析式，根据导数得单调性求出最大值． 【详解】（1）由题意知(0,2)F ，所以4p =. 所以抛物线C 的方程为28x y =.将28x y =与224x y +=联立得点A的纵坐标为2)A y =，结合抛物线定义得||22A pAF y =+=. （2）由22x py =得：22x y p=，x y p '=，所以直线l 的斜率为0x p，故直线l 的方程为()000x y y x x p -=-. 即000x x py py --=.又由||2ON ==得02084y p y =-且2040y -> 所以2222200||||||4MN OM ON x y =-=+-220000020824244y py y y y y =+-=+-- ()2202200022001644164444y y y y y y -+=+-=+---2020641644y y =++-- 令204t y =-，0[3,4]y ∈，则[5,12]t ∈， 令64()16f t t t =++，则264()1f t t'=-； 当[5,8]t ∈时()0f t '≤，()f t 单调递减，当(8,12]t ∈时()0f t '>，()f t 单调递增，又64169(5)16555f =++=，64100169(12)16121235f =++=<， 所以max 169()5f x =，即||MN. 【点睛】本题考查了抛物线的性质，考查直线和抛物线的位置关系和最值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力,属中档题．11．（2019·河北高考模拟（理））已知抛物线E ：28y x =，直线l ：4y kx =-.（1）若直线l 与抛物线E 相切，求直线l 的方程；（2）设(4,0)Q ，直线l 与抛物线E 交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，若存在点C ，满足||||CQ CA CQ CA +=-，且线段OC 与AB 互相平分（O 为原点），求2x 的取值范围.【答案】（1）142y x =--（2）见解析 【解析】 【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，利用0=即可求解.（2）由直线与抛物线相交可得：12k >-，由（1）可得1228(1),k x x k++=128y y k +=，由线段OC 与AB 互相平分可得四边形OACB 为平行四边形，得到C 28(1)8(,)k k k+，利用 ||||CQ CA CQ CA +=-得到AC QC ⊥，即：AC k QC k ==-1，再将QC k =222(1)k k k +-，24AC OBk k k x ==-代入即可求得2822k x k =++，对k 的范围分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】解：（1）法1：由248y kx y x=-⎧⎨=⎩得228(1)160k x k x -++=2221064(1)640,2k k k k ≠=+-==-由及得所以，所求的切线方程为142y x =--法2：因为直线l 恒过（0，-4），所以由28y x =得y =设切点为00(,)x y ，由题可得，直线与抛物线在x 轴下方的图像相切，则0|x x y y ='=∴=所以切线方程为0)y x x +=-，将坐标（0，-4）代入得08x =即切点为（8，-8），再将该点代入4y kx =-得，12k =- 所以，所求的切线方程为142y x =-- （2）由248y kx y x=-⎧⎨=⎩得228(1)160k x k x -++=2264(1)640,k k =+->且0k ≠，12k ∴>-1228(1),k x x k+∴+= 所以12128()8y y k x x k+=+-=，因为线段OC 与AB 互相平分，所以四边形OACB 为平行四边形1212=(,)OC OA OB x x y y ∴+=++28(1)8(,)k k k +=，即C 28(1)8(,)k k k + 由||||CQ CA CQ CA +=-得，AC QC ⊥， 法1：所以AC k QC k ==-1又QCk =22828(1)2(1)4k k k k k k=++--，又2224ACOB y k k k x x ===-所以222(1)k k k +-24()1k x -=-，所以2822k x k=++22228021),1)11258951602,222225k k x x k x k x >≥==<≤<<∴<-+=-<-所以，若，则当且仅当此时0若-，由于k=-时，k++2=-，即（舍去）法2：因为||||CQ CA CQ CA +=-0QC AC ∴= 又222228(1)8(4,),(,)(,4)k QC AC OB x y x kx k k +=-===-2228(1)8(4)(4)0k QC AC x kx k k +∴=-+-=，即2822k x k =++ 22228021),1)11258951602,222225k k x x k x k x >≥==<≤<<∴<-+=-<-所以，若，则当且仅当此时0若-，由于k=-时，k++2=-，即（舍去）【点睛】本题主要考查了直线与抛物线相切的关系，还考查了韦达定理及向量的坐标运算， 考查了两直线垂直的斜率关系，还考查了分类思想及利用基本不等式求最值，考查化归能力及计算能力，属于难题.。