九年级数学下册 2.4 过不共线三点作圆课件 (新版)湘教版

的外接圆，外接圆的圆心叫作这个三角
形的外心，这个三角形叫作这个圆的内
接三角形，如右图.
从前面的讨论知道，三角形的外心是它
的三条边的垂直平分线的交点.
巩固练习
1. 三角形的外心是指
A. 三角形的三条高的交点
B. 三角形的三条中线的交点
C. 三角形的三条角平分线的交点
D. 三角形的三条边的垂直平分线的交点
平分线DE，FG的交点，而点A，
B，C在一条直线上，则DE∥FG.
圆心不存在。因此过在同一直线
上的三点不能作一个圆.如图.
新知讲解
说一说
经过△ABC的三个顶点可以作一个圆吗？
由于△ABC的三个顶点不在同一直线上，因此过这三个
顶点可以作一个圆，并且只可以作一个圆.
合作探究
经过三角形各顶点的圆叫作这个三角形
∵ AB=AC，AD⊥BC，
∴ BD=CD=6cm，
巩固练习
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
= − = − =8cm.
连接BO.设圆形塑料板的半径为rcm，则
OD=(8-r)cm.
在Rt△OBD中，OD²+BD²=OB²，
即(8-r)²+6²=r².

解得 =
2.4过不共线三点作圆
教学目标
1. 理解确定一个圆的条件：①过三点；②三点不共线 .
2. 学会过不共线三点作圆的方法，能画三角形的外接圆；
3. 掌握三角形的外接圆及外心的概念；
4. 能运用垂径定理等相关知识求三角形的外接圆半径，能
解答与三角形的外接圆有关的实际问题.
新知导入
1. 线段的垂直平分线的性质定理是什么？
2. 如图是一块破残的圆形玻璃镜，现

问题3：过几点可以确定一个圆呢？
●
A
●
●
A
B
新知探究
经过一个已知点A能确定一个圆吗?
经过一个已知点能作无数个圆. A
新知探究
经过两个已知点A、B能确定一个圆吗?
经过两个已知点A、B能作无数个圆.
经过两个已知 点A、B所作的圆 的圆心在怎样的一 条直线上?
A
B
它们的圆心都在线段AB的中垂线上.
新知探究
不在同一直线上的三点 2.确定圆的条件——
圆心、半径
3.锐角三角形
在三角形的内部
直角三角形 --外心的位置-- 在斜边的中点
钝角三角形
在三角形的外部
● 向你的美好的希冀和追求撒开网吧，九百九十九次落空了，还有一千次呢人若软弱就是自己最大的敌人游手好闲会使人心智生锈。故天将降大任于斯人也，必先 苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为，所以动心忍性，增益其所不能。让生活的句号圈住的人，是无法前时半步的。少一点预设的期待， 那份对人的关怀会更自在。榕树因为扎根于深厚的土壤，生命的绿荫才会越长越茂盛。稗子享受着禾苗一样的待遇，结出的却不是谷穗。进取乾用汗水谱烈军属 着奋斗和希望之歌。患难可以试验一个人的品格，非常的境遇方可以显出非常的气节每一件事都要用多方面的角度来看它。机会只对进取有为的人开放，庸人永 远无法光顾。困苦能孕育灵魂和精神的力量骄傲，是断了引线的风筝，稍纵即逝；自卑，是剪了双翼的飞鸟，难上青天。这两者都是成才的。如果圆规的两只脚 都动，永远也画不出一个圆。有困难是坏事也是好事，困难会逼着人想办法，困难环境能锻炼出人才来。只存在於蠢人的字典里。青，取之于蓝而青于蓝；冰， 水为之而寒于水。岁寒，然后知松柏之后凋也。积极的人在每一次忧患中都看到一个机会，而消极的人则在每个机会都看到某种忧患。一个能从别人的观念来看 事情，能了解别人心灵活动的人永远不必为自己的前途担心。志当存高远。绳锯木断，水滴石穿让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧！锲而舍之，朽 木不折；锲而不舍，金石可镂。没有天生的信心，只有不断培养的信心。路曼曼其修远兮，吾将上下而求索天行健，君子以自强不息。会当凌绝顶，一览众山小。 丈夫志四海，万里犹比邻。也，而不可夺赤。信言不美，美言不信。善者不辩，辩者不善。知者不博，博者不知。挫其锐，解其纷，和其光，同其尘，是谓“玄 同”。故不可得而亲，不可得而疏；不可得而利，不可得而害；不可得而贵，不可得而贱。故为天下贵。天下之至柔，驰骋天下之至坚。无有入无间，吾是以知 无为之有益。知者不言，言者不知。更多老子名言敬请关注习古堂国学网的相关文章。柔弱胜刚强。鱼不可脱於渊，国之利器不可以示人。善为士者，不武；善 战者，不怒；善胜敌者，不与；善用人者，为之下。是谓不争之德，是谓用人之力，是谓配天古之极是以圣人后其身而身先，外其身而身存无为而无不为。取天 下常以无事，及其有事，不足以取天下。合抱之木，生於毫末；九层之台，起於累土；千里之行，始於足下。多言数穷，不如守中。天下莫柔弱於水，而攻坚强 者莫之能胜，以其无以易之。天长地久。天地所以能长且久者，以其不自生，故能长生。是以圣人後其身而身先；外其身而身存。非以其无故能成其私。譬道之 在天下，犹川谷之於江海。江海之所以能为百谷王者，以其善下之，故能为百谷王。是以圣人欲上民，必以言下之；欲先民，必以身後之。是以圣人处上而民不 重，处前而民不害。是以天下乐推而不厌。以其不争，故天下莫能与之争。是以圣人抱一为天下式。不自见，故明；不自是，故彰；不自伐，故有功；不自矜， 故长。夫唯不争，故天下莫能与之争。故道大，天大，地大，人亦大。域中有四大，而人居其一焉修之於身，其德乃真；修之於家，其德乃余；修之於乡，其德 乃长；修之於邦，其德乃丰；修之於天下，其德乃普。故以身观身，以家观家，以乡观乡，以邦观邦，以天下观天下。吾何以知天下然哉？以此。慈故能勇；俭 故能广；不敢为天下先，故能成器长。今舍慈且勇；舍俭且广；舍後且先；夫慈以战则胜，以守则固。天将救之，以慈卫之。道生一，一生二，二生三，三生万 物。知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。知足者富。强行者有志。一个实现梦想的人，就是一个成功的人。一个人如果已经把自己完全投入于权力和 仇恨中，你怎么能期望他还有梦梦想无论怎样模糊，总潜伏在我们心底，使我们的心境永远得不到宁静，直到这些梦想成为事实。落叶 ——树叶撒下的泪滴，既 已落下，何须再弯腰拾起；与其肩负

2.4 过不共线三点作圆
备选目标 三角形的外接圆、外心的综合应用
例
如图①，△ABC 内接于⊙O，AD 为边 BC 上的高．
(1)若 AB＝6，AC＝4，AD＝3，求⊙O 的直径 AE； (2)若 AB＋AC＝10，AD＝4，求⊙O 的直径 AE 的最大值，并指 出此时边 AB 的长．
2.4 过不共线三点作圆
2.4 过不共线三点作圆
反思
在△ ABC 中，AB＝AC，BC＝8，△ABC 外接圆的半径为 5，求 AB 的长． 解：如图 2－4－4，连接 OB，连接 AO 并延长交 BC 于点 D， 则 AD 垂直平分 BC， 1 ∴BD＝ BC＝4. 2
图 2－4－4
2.4 过不共线三点作圆
在 Rt△OBD 中，OD＝ OB2－BD2＝ 52－42＝3， ∴AD＝AO＋OD＝5＋3＝8. 在 Rt△ABD 中，AB＝ AD2＋BD2＝ 82＋42＝4 5.
以上解答是否完整？若不完整，请进行补充．

2.4 过不共线三点作圆
解：不完整． 补充：若△ABC 是锐角三角形，则 AB＝4 5；
若△ABC 是钝角三角形，如图所示，连接 OA，OB，OA 交 BC 于点 D. 此时 AD＝OA－OD＝5－3＝2. 在 Rt△ABD 中，AB＝ AD2＋BD2＝ 22＋42＝2 ∴AB 的长为 2 5或 4 5. 5.
[解析] (1)需要找到 AB，AC，AD，AE 之间的数量关系，连接 BE，则 ∠ABE ＝ 90 ° ＝ ∠ADC ， ∠ E ＝ ∠ C( 同 弧 所 对 的 圆 周 角 相 等 ) ， 所 以 △ABE∽△ADC，可得 AB∶AD＝AE∶AC，进而求出 AE 即可；(2)根据已知得 出 AC＝10－AB 的长，利用(1)的结论，将 AE 转化为关于 AB 的二次函数，最 值可求．

第2章 圆
2.4过不共线三点作圆
教学目标
【学习目标】 1．理解确定圆的条件及外接圆和外心的定义． 2．掌握三角形外接圆的画法． 【学习重点】 确定圆的条件及外接圆和外心的定义． 【学习难点】 任意三角形的外接圆的作法．
情境引入：
下图中是一个破碎的圆盘，你能确 定它的尺寸（圆盘的大小）吗？
想一想：
位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的
交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，
则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_（__-_1_，_-_2_）__
课堂总结：
谈谈你本节课的学习收获？
（1）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置 和大小才唯一确定。 （2）经过一个已知点能作无数个圆. （3）经过两个已知点A、B能作无数个圆。这些圆 的圆心在线段AB的垂直平分线上。 （4）不在同一直线上的三个点确定一个圆。 （5）外接圆，外心的概念。
3.小颖同学在手工制作中，把一个边长为12 cm的等 边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的 三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（ ）
4.点O是△ABC的外心,若∠BOC=80°,则∠BAC
的度数为
( B)
A.40°
B.40°或140°
C.100°
D.40°或100°
5.如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单
A
B
C
练一练
1.确定一个圆的条件有
( C)
①已知圆心和半径；②已知直径的位置和大
小；③不在同一条直线上的三个点.
A.①② B.③ C.①②③ D.①
2.已知A,B两点间的距离为2 cm，则经过A,B两 点，且半径为2 cm的圆能作 （ B ） A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个

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4.如图，学校某处空地上有A，B，C三棵树，现准备建一个圆形景
观鱼池，要求A，B，C三棵树恰好在圆周上，请你帮忙设计鱼池.
要求在图中作出鱼池轮廓，保留作图痕迹并将圆心标记为点O.
解：如图，连接AB，BC，分别作AB，
BC的垂直平分线，它们交于点O，以
OA的长度为半径，O为圆心作圆，则


∴△ABC的外接圆半径＝ ×4 ＝2 .
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14.[推理能力]已知AD是△ABC的高，△ABC外接圆☉O的半径为R.
(1)如图，当△ABC为锐角三角形时，求证：AB·AC＝2R·AD；
(1)证明：如答图①所示，连接AO并延长交☉O于点E，连接CE.
෽
∵∠B与∠E是所对的圆周角，∴∠B＝∠E.
＝ .∵AE




＝ ，即AB·AC＝2R·AD.


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13.如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交
AD于点E.
(1)求证：DE＝DB；
(1)证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE.
∵∠DBC＝∠CAD，∴∠DBC＝∠BAE.
∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋
第2章
圆

B．任意一个圆一定有内接三角形，且只有一个内接三角形。
C．任意一个三角形一定有一个外接圆，且只有一个外接圆。 D．三角形外心到三角形三边的距离都相等。
3．下列条件，可以确定(quèdìng)一个圆的是（ D ） A．已知圆心。 B．已知半径长。
C．已知直径长。D．已知不在同一直线上的三点。
4.若三角形的三边长为3、3、3√2 ，其外接圆的面积为( A)
A
经过两个已知点能作无数个圆
2021/12/11
第四页，共十二页。
·· ·
· ·
B
··
3、过三点(sān diǎn)能作几个圆？
（1）三点(sān diǎn)共（线不能：作圆） 因为DE∥FG，所以没有交点 (jiāodiǎn)， （即2）没三有点过不这共三线点的圆心
已知：不在同一直线上的三点A、B、C 求作：⊙O，使它经过A、B、C
如何确定圆心、半径？
∵直线DE和FG只有一个交点O, 并且点O到A,B,C三个点的距离相等, ∴经过点A,B,C三点可以作一个圆,
并且只能作一个圆.
D
F
A
B
C
E
G
D
A
F
B
G
O·
E
C
证明作图的合理性：
∴OA=OB=OC.
定2理021：/12/不11 在同一直线上的三点确定一个圆
第五页，共十二页。
1.由定理可知：经过(jīngguò)三角形三个顶点可以作一个圆.
a c· d b
过一点可作几条直线(zhíxiàn)？过两点可以作几条直线(zhíxiàn)？过三
点呢？
1、若三点共线，则过这三点只能
作一条直线.
A
BC

分析：
O A
C B
C
O
A
B
A O
C
B
新知探究
【例题3】如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是
5cm，求△ABC的外接圆的半径．
A
解：连接OB，过点O作OD⊥BC于点D. 则OD＝5cm， 在Rt△OBD中
O
B
D
C
即△ABC的外接圆点作圆
不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
二、三角形的外接圆
经过三角形各顶点的圆叫作三角形的外接圆. 三角形外接圆的圆心叫作三角形的外心. 三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点. 三角形外心的性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等.
课堂小测
1.判断：
（1）经过三点一定可以作圆； （ ×）
（2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点；
三角形的三个顶点不在 同一条直线上，可以确 定一个圆.
这个三角形叫作圆的内接三角形.
l1
l2 A
三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点.
O
三角形外心的性质：
B
C
三角形的外心到三个顶点的距离相等.
新知探究
【例题2】下列命题：①一个三角形只有一个外心；②钝角三角形的外心在三 角形的外部；③锐角三角形的外心在三角形的内部；④直角三角形的外心是其斜 边的中点.其中正确的是________________.(填序号)
（3）三角形的外心到三边的距离相等； （×） （4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内. （ ×）
（√ ）
课堂小测
2.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则它的外接圆半径

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2. 例：作圆，使它经过不在同一直线上的三个已知点. 已知：不在同一直线上的三点Ａ、Ｂ、Ｃ（如图） 求作：⊙Ｏ，使它经过点Ａ、Ｂ、Ｃ. 分析： 以前我们学过三角形两边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距
离相等，若把三个已知点看作是三角形的三个顶点构造三角形， 那么，两边垂直平分线的交点就是我们要找的圆心. 师生共同完成作图过程.（板书过程） （结合以上的作法与证明，请学生回答下列问题，引出定理）
（２）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；
（）Leabharlann （３）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三 角形；（ ）
（４）三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等.（
）
（5）三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点. （ ）
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四、思考题 经过４个（或４个以上的）点是不是一定能作圆？
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• 一、 讲授新课 • １. 阅读课文，然后分两组画图： • （１）组：经过一个已知点Ａ画圆； • （２）组：经过两个已知点Ａ、Ｂ画圆. • 注意引导：画圆要确定圆心和半径，但要画的圆经过已 知点，圆心确定以后，半径也随之确定，因此，关键是 确定圆心. • （学生在底下画图时，可让两生上黑板画） • 教师作简单小结，并在投影上展示出来. • 过一个点的圆有无数多个 过两个点的圆有无数多个 • 接下下来我们来学习过三个已知点画圆. • （板书课题）
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五、小结 过一点作圆 过二点作圆 三角形的外心 会用尺规作 过三点作圆 三角形的外接圆 三角形的外 圆的内接三角形 接圆
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①经过不在同一条直线上的三点A、B、C的圆是否承在？（承在） ②是否还有其他符合条件的圆？（没有） ③根据是什么？（线段AB、BC的垂直平分线有且只有一个交点） 这说明所作的圆心是唯一的，从而半径也是唯一的，则所作的圆是 唯一的.