2015-2016学年高中数学 2.3.2向量数量积的运算律课时作业 新人教B版必修4

向量数量积的运算律练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 在边长为3的等边三角形ABC 中， BM →=12MC →，则BA →⋅BM →=( ) A.√32 B.32C.34D.122. 设向量a →=(cos α,sin α)，b →=(−sin α,cos α)，向量x 1，x 2，…，x 10中有4个a →，其余为b →，向量y 1，y 2，…，y 10中有3个a →，其余为b →，则x 1y 1+x 2y 2+...+x 10y 10的所有可能取值中最小的值是（ ） A.2 B.3 C.4 D.53. 正四面体ABCD 的棱长为2，动点P 在以BC 为直径的球面上，则AP →⋅AD →的最大值为（ ） A.2 B.2√3 C.4 D.4√34. 设向量a →=(−1,2)，b →=(m +1,−m ) ，且a →⊥b →，则实数m 的值为( ) A.−13 B.13C.2D.−25. 若向量a →b →的夹角为120∘，|a →|=1，若|a →+b →|=√3，则|b →|=( ) A.1 B.2 C.√3D.326. 已知|a →|=1，|b →|=2，且a →⊥(a →+b →)，则a →在b →方向上的投影为( ) A.−1 B.1C.−12D.127. 已知两个单位向量，满足，则与的夹角是（ ）A. B. C. D.8. 已知A ，B 是圆O:x 2+y 2=16的两个动点，|AB →|=4，OC →=53OA →−23OB →，若M 分别是线段AB 的中点，则OC →⋅OM →=( ) A.8+4√3 B.8−4√3 C.12 D.49. 已知a →与b →均为单位向量，它们的夹角为60∘，则|a →−3b →|=( ) A.2√3 B.√13 C.√6 D.√710. 已知e 1→，e 2→，e 3→是空间单位向量，且满足e 1→⋅e 2→=e 2→⋅e 3→=e 3→⋅e 1→=12，若向量b →=3λe 1→+(1−λ)e 2→，λ∈R ．则e 3→在b →方向上的投影的最大值为（ ） A.√22 B.√23C.√32D.√3311. 在平面直角坐标系中，A(1,√3)，若|OB →|=|OC →|=|OD →=1，OB →+OC →+OD →=0→（O 为坐标原点），则AD →⋅OB →的取值范围为________．12. 已知向量a →和b →满足|a →|=|a →−2b →|=√2，|a →−b →|=1，则a →⋅b →=________．13. 窗，古时亦称为牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD 是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形EFGH ，且E ，F ，G ，H 分别是AF ，BG ，CH ，DE 的中点，则AG →⋅DF →的值为________．14. 若向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=2，|a →+2b →|=√21，记a →与b →的夹角为θ，则θ＝________．15. 已知e →为单位向量，平面向量a →,b →满足|a →+e →|＝|b →−e →|＝1，a →⋅b →的取值范围是________．16. 已AB →=(2, 3)，AC →=(3, t)，|BC →|＝1，则AB →⋅BC →=________．17. 已知向量a →,b →的夹角为60∘，且|a →|=1，|b →|=2，设m →=3a →−b →，n →=ta →+2b →． （1）试用t 来表示m →⋅n →的值；（2）若m →与n →的夹角为钝角，试求实数t 的取值范围．18. 已知函数f(x)＝A sin (ωx +θ)(A >0, ω>0, |θ|<π2)的图象与y 轴交于点(0,32)，它在y 轴的右侧的第一个最大值点和最小值点分别为M(x 0, 3)、N(x 0+2π, −3)，点P 是f(x)图象上任意一点． （1）求函数f(x)的解析式；（2）已知j →=(0,1)，求j →⋅(MP →+NP →)的取值范围．19. 已知向量a →=(cos x,cos 2x)，b →=(sin (x +π3),−√3)．设函数f(x)=a →⋅b →+√34，x ∈R ．（1）当x ∈[−π6,π3]时，方程2f(x +π4)=2a −3有两个不等的实根，求a 的取值范围；（2）若方程f(x)=13在(0, π)上的解为x 1，x 2，求cos (x 1−x 2)．20. 已知平面向量a →=(2, 2)，b →=(x, −1) (Ⅰ)若a → // b →，求x(Ⅱ)若a →⊥(a →−2b →)，求a →与b →所成夹角的余弦值参考答案与试题解析 向量数量积的运算律练习题含答案一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 5 分 ，共计50分 ） 1.【答案】 B【考点】平面向量数量积的运算 【解析】用CA →，CB →表示出BM →，再计算BA →⋅BM →. 【解答】解：∵ △ABC 是边长为3的等边三角形， BM →=12MC →，∴ BM →=13BC →，∴ BA →⋅BM →=BA →⋅13BC →=13×3×3×cos π3=32. 故选B . 2.【答案】 B【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】先由平面向量数量积的运算可得：又a →•⋅a →=cos 2α+sin 2α＝1，b →⋅b →=(−sin α)2+cos 2α=1，a →⋅b →=−sin αcos α+sin αcos α=0，再结合分类讨论的数学思想方法分别讨论向量x 1，x 2，…，x 10中的向量与向量y 1，y 2，…，y 10中的向量相乘求其和即可得解． 【解答】因为向量a →=(cos α,sin α)，b →=(−sin α,cos α)，向量x 1，x 2，…，x 10中有4个a →，其余为b →，向量y 1，y 2，…，y 10中有3个a →，其余为b →，又a →•⋅a →=cos 2α+sin 2α＝1，b →⋅b →=(−sin α)2+cos 2α=1，a →⋅b →=−sin αcos α+sin αcos α=0，要使x 1y 1+x 2y 2+...+x 10y 10的值最小，则向量x 1，x 2，…，x 10中的4个a →与向量y 1，y 2，…，y 10中的4个b →相乘，其和为0， 向量x 1，x 2，…，x 10中的3个b →与向量y 1，y 2，…，y 10中的3个a →相乘，其和为0，向量x 1，x 2，…，x 10中剩下的3个b →与向量y 1，y 2，…，y 10中剩下的3个b →相乘，其和为3，综上可知：x 1y 1+x 2y 2+...+x 10y 10的所有可能取值中最小的值是3， 3. 【答案】 C【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】设BC 的中点为O ，则AP →=AB →+BO →+OP →，运用数量积公式代入计算可得AP →⋅AD →=2+2cos <OP →,AD →>，由余弦函数的有界性，即可求得最值． 【解答】 如图，设BC 的中点为O ，则O 为球心，AP →=AB →+BO →+OP →，易知<AB →,AD →>=60,AD ⊥BC ， ∴ AP →⋅AD →=(AB →+BO →+OP →)⋅AD →=AB →⋅AD →+BO →⋅AD →+OP →⋅AD →=2×2×cos 60+0+1×2×cos <OP →,AD →>=2+2cos <OP →,AD →>， 当cos <OP →,AD →>=1，即OP →,AD →方向相同时，取得最大值4． 4.【答案】 A【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为a →⊥b →，所以a →⋅b →=0， 即−(m +1)−2m =0，解得m =−13.故选A . 5.【答案】 B【考点】平面向量数量积坐标表示的应用 【解析】根据向量数量积的应用，求出b →的模长即可得到结论． 【解答】设向量a →b →的夹角为θ，|b →|=x ，∴ θ＝120∘，∵ |a →+b →|=√(a →+b →)2=√(a →)2+(b →)2+2a →⋅b →=√|a →|2+|b →|2+2|a →|⋅|b|→⋅cos θ 即：√3=√12+x 2+2⋅1⋅x ⋅cos 120， 从而解得：x ＝2或x ＝−1（舍）， ∴ |b →|=2， 6.【答案】 C【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】通过向量的垂直，得到向量的数量积的值，然后求解a →在b →方向上的投影． 【解答】解：|a →|=1，|b →|=2，且a →⊥(a →+b →)， 可得a →2+a →⋅b →=0，所以a →⋅b →=−1． 则 a →在b →方向上的投影a →⋅b →|b →|=−12=−12．故选C . 7.【答案】 C【考点】平面向量数量积坐标表示的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 8.C【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】M 是线段AB 的中点⇒OM →=12OA →+12OB →，从而OC →⋅OM →=(53OA →−23OB →)⋅(12OA →+12OB →)=56OA →2−13OB →2+12OA →⋅OB →，再结合题意，可知<OA →，OB →>=60∘，|OA →|＝|OB →|＝4，故OA →⋅OB →=8，OC →⋅OM →=12． 【解答】解：因为M 是线段AB 的中点，所以OM →=12OA →+12OB →，从而OC →⋅OM →=(53OA →−23OB →)⋅(12OA →+12OB →)=56OA →2−13OB →2+12OA →⋅OB →，由圆的方程可知圆O 的半径为4， 即|OA →|=|OB →|=4， 又因为|AB →|=4， 所以<OA →，OB →>=60∘， 故OA →⋅OB →=8，所以OC →⋅OM →=56×16−13×16+12×8=12．故选C . 9. 【答案】 D 【考点】 向量的模 【解析】先根据a →，b →的大小和夹角，求向量|a →−3b →|的平方，再开方即可 【解答】解：∵ a →与b →均为单位向量，它们的夹角为60∘∴ |a →−3b →|2=|a →|2−6a →⋅b →+9|b →|2=1−6×1×1×12+9=7∴ |a →−3b →|=√7 故选D 10. 【答案】 D平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据投影的计算公式，将投影化为关于λ的函数，然后再求函数的最大值即可． 【解答】因为e 1→⋅e 2→=e 2→⋅e 3→=e 3→⋅e 1→=12， ∴e 3→⋅b →=e 3→•[3λe 1→+(1−λ)e 2→]=3λe 3→⋅e 1→+(1−λ)e 3→⋅e 2→=3λ2+1−λ2=λ+12．|b →|=√(3λe 2→)2+[(1−λ)e 2→]2+2⋅3λ(1−λ)e 1→⋅e 2→=√7λ2+λ+1． ∴e 3→⋅b →|b →|=λ+12√7λ2+λ+1⋯①，因为要求最大值，故不妨取λ+12>0，且令t =λ+12，则λ=t −12， 代入①式得√7(t−12)2+t−12+1=√7t −6t+94=√94t 2−6t+7⋯②，令y =94t 2−6t +7=94(1t −43)2+3≥3， 故②式≤√3=√33． 二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ） 11.【答案】[−52,32] 【考点】平面向量数量积的运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 12.【答案】 1【考点】平面向量数量积的性质及其运算 向量的模【解析】把所给向量的模长平方，整理即可求得结论． 【解答】解：∵ 向量a →和b →满足|a →|=|a →−2b →|=√2，|a →−b →|=1， ∴ a →2−4a →⋅b →+4b →2=2①，a →2−2a →⋅b →+b →2=1②，a →2=2③，联立①②③可得：a →⋅b →=1． 故答案为：1. 13.【答案】 0【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】直接根据向量的三角形法则以及其数量积整理即可求出结论 【解答】∵ 窗户的轮廓ABCD 是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形EFGH ，且E ，F ，G ，H 分别是AF ，BG ，CH ，DE 的中点； 设小正方形EFGH 的边长为2，则EF ＝GF ＝1；∴ AG →⋅DF →=(AF →+FG →)⋅(DE →+EF →)=AF →⋅DE →+AF →⋅EF →+FG →⋅DE →+FG →⋅EF →=AF →⋅EF →+FG →⋅DE →=2×1×cos 0∘+2×1×cos 180∘＝0； 14. 【答案】 π3【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】对式子平方，计算a →⋅b →的值，再根据数量积的定义式计算cos θ得出答案． 【解答】∵ |a →+2b →|=√21，∴ a →2+4a →⋅b →+4b →2＝21，即1+4a →⋅b →+16＝21， ∴ a →⋅b →=1， ∴ 1×2×cos θ＝1， ∴ cos θ=12，又0≤θ≤π， ∴ θ=π3． 15. 【答案】 [−4, 12]【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】取单位向量e →=OC →，以点C 为圆心，1为半径作圆，在圆周上任取两点A 、B ，令a →=AO →，b →=OB →，由此表示单位向量，|a →|＝x ，计算a →⋅b →的取值范围． 【解答】取单位向量e →=OC →，以点C 为圆心，1为半径作圆，在圆周上任取两点A 、B ， 令a →=AO →，b →=OB →，如图所示；设|a →|＝x ，则x ∈[0, 2]； 作圆C 的垂直于OA 的切线分别交直线OA 于B 1、B 2两点， 易得a →⋅b →≥AO →⋅OB 1→=−x(1+x2)=−x 22−x ，x ∈[0, 2]；所以a →⋅b →≥−4，当且仅当x ＝2时等号成立；a →⋅b →≤AO →⋅OB 2→=x(1−x 2)=12x(2−x)≤12⋅(x+2−x 2)2=12，当且仅当x ＝1时等号成立，即a →⋅b →≤12；综上知，a →⋅b →的取值范围是[−4, 12]． 16.【答案】 2【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】利用向量的坐标运算求出t ，然后求解向量的数量积． 【解答】AB →=(2, 3)，AC →=(3, t)，BC →=AC →−AB →=(1, t −3) |BC →|＝1，可得t ＝3，则AB →⋅BC →=(2, 3)⋅(1, 0)＝2．三、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ） 17.【答案】∵ m →=3a →−b →，n →=ta →+2b →∴ m →⋅n →=3ta →2+(6−t)a →⋅b →−2b →2=3t +(6−t)−2×4＝2t −2； 夹角为钝角，于是m →⋅n →<0且m →与n →的不平行． 其中m →⋅n →<0⇒t <1，而m → // n →⇒t ＝−6，于是实数t 的取值范围是t ∈(−∞, −6)∪(−6, 1)． 【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】（1）根据已知中m →=3a →−b →，n →=ta →+2b →，结合向量a →,b →的夹角为60∘，代入向量数量积公式，即可表示出结论；（2）若m →与n →的的夹角为钝角，于是且m →与n →不平行，根据（1）中结论，构造关于t 的不等式组，解不等式组，即可得到实数t 的取值范围 【解答】∵ m →=3a →−b →，n →=ta →+2b →∴ m →⋅n →=3ta →2+(6−t)a →⋅b →−2b →2=3t +(6−t)−2×4＝2t −2； 夹角为钝角，于是m →⋅n →<0且m →与n →的不平行． 其中m →⋅n →<0⇒t <1，而m → // n →⇒t ＝−6， 于是实数t 的取值范围是t ∈(−∞, −6)∪(−6, 1)． 18.【答案】由题意f(x)的图象在y 轴的右侧的第一个最大值点和最小值点分别为M(x 0, 3)、N(x 0+2π, −3)，有A ＝3，T2=2π，即ω=2πT=12，又f(0)=32，所以3sin θ=32， 即sin θ=12，又， 所以θ=π6，即f(x)=3sin (12x +π6) 由（1）可得： 2x 0+π6=2kπ+π2， 解得x 0＝4kπ+2π3，k ∈Z又x 0>0，则x 0的最小值为2π3， 即M(2π3, 3)，N(8π3, −3)，3又j →=(0,1)，所以j →⋅(MP →+NP →)=2y ＝6sin (12x +π6)， 即j →⋅(MP →+NP →)的取值范围为：[−6, 6]， 故答案为：[−6, 6]．【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】（1）由三角函数的图象得：由已知有A ＝3，T2=2π，即ω=2πT=12，又f(0)=32，所以3sin θ=32，即sin θ=12，又，所以θ=π6，即f(x)=3sin (12x +π6)（2）由平面向量数量积的性质及其运算得：由（1）可得x 0的最小值为2π3，即M(2π3, 3)，N(8π3, −3)，所以j →⋅(MP →+NP →)=2y ＝6sin (12x +π6)，即j →⋅(MP →+NP →)的取值范围为：[−6, 6]，得解 【解答】由题意f(x)的图象在y 轴的右侧的第一个最大值点和最小值点分别为M(x 0, 3)、N(x 0+2π, −3)，有A ＝3，T2=2π，即ω=2πT=12，又f(0)=32，所以3sin θ=32， 即sin θ=12，又， 所以θ=π6，即f(x)=3sin (12x +π6)由（1）可得： 2x 0+π6=2kπ+π2， 解得x 0＝4kπ+2π3，k ∈Z又x 0>0，则x 0的最小值为2π3， 即M(2π3, 3)，N(8π3, −3)，3又j →=(0,1)，所以j →⋅(MP →+NP →)=2y ＝6sin (12x +π6)， 即j →⋅(MP →+NP →)的取值范围为：[−6, 6]， 故答案为：[−6, 6]． 19. 【答案】由已知，有f(x)=cos x ⋅(12sin x +√32cos x)−√3cos 2x +√34=12sin x ⋅cos x −√32cos 2x +√34=14sin 2x −√34(1+cos 2x)+√34 =14sin 2x −√34cos 2x =12sin (2x −π3)．令g(x)=2f(x +π4)=sin (2x +π6)当x ∈[−π6,π3]时，令t =2x +π6，则t ∈[−π6,5π6]，且y ＝sin t 在区间[−π6,π2]上单调递增，在区间[π2,5π6]上单调递减，故2a −3∈[12,1]，a ∈[74,2)． x ∈(0, π)，令t =2x −π3，则t ∈(−π3,5π3)， 所以y =12sin (2x −π3)=12sin t,t ∈(−π3,5π3)，又因为y =12sin t,t ∈(−π3,4π3)时图象关于t =π2对称，且y ∈(−√34,12)，t ∈(4π3,5π3)时图象关于t =3π2对称，且y ∈(−12,−√34)， 所以f(x)=13等价于12sin t =13,t ∈(−π3,4π3)，则t 1+t 2＝π，且sin (2x 1−π3)=23，2x 1−π3+2x 2−π3=π， 即x 1+x 2=5π6，x 2=5π6−x 1；cos (x 1−x 2)=cos (2x 1−5π6)=cos ((2x 1−π3)−π2)=sin (2x 1−π3)=23． 【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】（1）先化简解析式转化为g(x)=2f(x +π4)=sin (2x +π6)，利用整体代换求出其范围再结合单调性即可求而出结论； （2）结合三角函数的性质得到x 1+x 2=5π6，x 2=5π6−x 1；再结合余弦函数的性质即可求解 【解答】由已知，有f(x)=cos x ⋅(12sin x +√32cos x)−√3cos 2x +√34=12sin x ⋅cos x −√32cos 2x +√34=14sin 2x −√34(1+cos 2x)+√34 =14sin 2x −√34cos 2x =12sin (2x −π3)．令g(x)=2f(x +π4)=sin (2x +π6)当x ∈[−π6,π3]时，令t =2x +π6，则t ∈[−π6,5π6]，且y ＝sin t 在区间[−π6,π2]上单调递增，在区间[π2,5π6]上单调递减，故2a −3∈[12,1]，a ∈[74,2)． x ∈(0, π)，令t =2x −π3，则t ∈(−π3,5π3)， 所以y =12sin (2x −π3)=12sin t,t ∈(−π3,5π3)，又因为y =12sin t,t ∈(−π3,4π3)时图象关于t =π2对称，且y ∈(−√34,12)，t ∈(4π3,5π3)时图象关于t =3π2对称，且y ∈(−12,−√34)， 所以f(x)=13等价于12sin t =13,t ∈(−π3,4π3)，则t 1+t 2＝π，且sin (2x 1−π3)=23，2x 1−π3+2x 2−π3=π， 即x 1+x 2=5π6，x 2=5π6−x 1；cos (x 1−x 2)=cos (2x 1−5π6)=cos ((2x 1−π3)−π2)=sin (2x 1−π3)=23． 20. 【答案】（1）平面向量a →=(2, 2)，b →=(x, −1) 若a → // b →，则2×(−1)−2x ＝0， 解得x ＝−1；（2）若a →⊥(a →−2b →)，则a →⋅(a →−2b →)=a →2−2a →⋅b →=0， 即(22+22)−2(2x −2)＝0，解得x ＝3，∴ b →=(3, −1)，∴ a →与b →所成夹角的余弦值为 cos θ=a →⋅b→|a →|×|b →|=√22+22×√32+(−1)2=√55． 【考点】平面向量数量积的性质及其运算 数量积表示两个向量的夹角【解析】(Ⅰ)由平面向量的共线定理列方程求出x 的值； (Ⅱ)根据平面向量垂直的坐标表示列方程求出x ， 再计算a →与b →所成夹角的余弦值． 【解答】（1）平面向量a →=(2, 2)，b →=(x, −1) 若a → // b →，则2×(−1)−2x ＝0， 解得x ＝−1；（2）若a →⊥(a →−2b →)，则a →⋅(a →−2b →)=a →2−2a →⋅b →=0， 即(22+22)−2(2x −2)＝0， 解得x ＝3， ∴ b →=(3, −1)，∴ a →与b →所成夹角的余弦值为 cos θ=a →⋅b→|a →|×|b →|=√22+22×√32+(−1)2=√55．。

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2。

3.1 向量数量积的物理背景与定义2。

3。

2 向量数量积的运算律1。

理解平面向量数量积的含义及其物理意义。

（难点） 2。

体会平面向量的数量积与向量射影的关系。

3.掌握数量积的运算性质，并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题。

（重点)［基础·初探]教材整理1 两个向量的夹角 阅读教材P 107内容，完成下列问题。

1.已知两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ，错误!＝b ，则∠AOB 称作向量a 和向量b 的夹角，记作〈a ,b 〉，并规定0≤〈a ，b 〉≤π，并且有〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉.2。

当〈a ，b 〉＝错误!时，我们说向量a 和向量b 互相垂直，记作a ⊥b 。

在讨论垂直问题时,规定零向量与任意向量垂直。

3。

当〈a ，b 〉＝0时，a 与b 同向; 当〈a ，b 〉＝π时，a 与b 反向；当〈a ,b >＝错误!或a 与b 中至少有一个为零向量时,a ⊥b 。

如图2.3­1，在△ABC 中,错误!，错误!的夹角与错误!,错误!的夹角的关系为________.图2。

3­1【解析】 根据向量夹角定义可知向量错误!，错误!夹角为∠BAC ,而向量错误!，错误!夹角为π－∠BAC ,故二者互补。

课时作业22向量数量积的运算律(限时：10分钟)．已知|a|＝2，b是单位向量，且a与b夹角为60°，则a·(a－b)等于() ．1B．2－3C．3D．4－ 3(2)(2a－b)·(a＋3b)＝2a－3b＋5a·b＝2×4－3×5＋5×(－10)＝－93.(限时：30分钟)若|a|＝63，|b|＝1，a·b＝－9，则a与b的夹角是()120°B．150°C．60°D．30°|a －b |2＝|a |2－2a·b ＋|b |2，因为|a ＋b |＝|a －b |，所以|a |2＋2a·b ＋|b |2＝|a |2－2a·b ＋|b |2，即2a·b ＝－2a·b ，所以a·b ＝0，a ⊥b .故选B.答案：B3．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )A ．2B ．4C ．6D ．12解析：a·b ＝|a |×4cos60°＝2|a |，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，即|a |2－a·b －6|b |2＝－72，故|a |2－2|a |－96＝－72，解得|a |＝6.答案：C4．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝( )A.7B.10C.13 D ．4解析：∵|a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋9b 2＋6a·b ＝1＋9＋6|a ||b |cos60°＝13，∴|a ＋3b |＝13. 答案：C5．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则AP →·(PB→＋PC →)等于( )A.49B.43 C ．－43 D ．－49解析：∵AM ＝1，且AP →＝2PM →，∴|AP →|＝23. 如图，AP →·(PB →＋PC →)＝AP →·2PM →＝AP →·AP →＝AP →2＝⎝⎛⎭⎫232＝49. 答案：A6．已知|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角是90°，c ＝2a ＋3b ，d ＝k a －4b ，c 与d 垂直，则k 的值为( )A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：∵c·d ＝0，∴(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0，∴2k a 2－8a·b ＋3k a·b －12b 2＝0，∴2k ＝12，∴k ＝6.答案：B7．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a －b |＝__________. 解析：因为|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝12－2×1×2cos60°＋22＝3，故|a －b |＝ 3. 答案： 38．等腰直角三角形ABC 中，|AB →|＝|AC →|＝2，则AB →·BC →＝__________.解析：AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos135°＝2×22×⎝⎛⎭⎫－22＝－4. 答案：－49．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为__________．解析：∵(a ＋2b )·(a －b )＝－6，∴a 2＋a·b －2b 2＝－6.。

导学案：2.3.2向量数量积的运算律一、【使用说明】1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。

二、【重点难点】教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用三、【学习目标】1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.4.掌握向量垂直的条件.四、自主学习平面向量数量积的运算律1．交换律：2．数乘结合律：3．分配律：例1 已知、都是非零向量，且+ 3与7- 5垂直，- 4与7- 2垂直，求a与b的夹角.例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.例3 四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝·a，试问四边形ABCD是什么图形?五、合作探究1.下列叙述不正确的是（）A.向量的数量积满足交换律B.向量的数量积满足分配律C.向量的数量积满足结合律D.a·b是一个实数2.已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为６０°，则(a+2b)·(a-3b)等于（）A.72 B .-72 C.36 D.-363.| a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3D.不平行也不垂直 4.已知||=3，||=4，且与的夹角为150°，则(+)２＝ .5.已知|a |=2，|b |=5，a ·b =-3，则|a +b |=______，|a -b |= . 6.设|a |=3，|b |=5，且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ .六、总结升华1、知识与方法：2、数学思想及方法：七、当堂检测（见大屏幕）。

课时作业2空间向量的数量积运算【原卷版】时间：45分钟一、选择题1．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，则AC →·AD 1→等于()A ．0B ．1C.12D ．－12．已知m ，n 是异面直线，且m ⊥n ，e 1，e 2分别为取自直线m ，n 上的单位向量，且a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为()A ．－6B ．6C ．3D ．－33．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |等于()A.97B ．97C.61D ．614．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，有下列命题：①(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③AD 1→与A 1B →的夹角为60°.其中真命题的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．05．已知非零向量a ，b 不平行，并且其模相等，则a ＋b 与a －b 之间的关系是()A ．垂直B ．共线C ．不垂直D ．以上都可能6.如图所示，在三棱锥A ­BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ，E 为BC 的中点，则AE →·BC →等于()A ．0B ．1C ．2D ．37．已知向量a ，b 满足条件：|a |＝2，|b |＝2，且a 与2b －a 互相垂直，则〈a ，b 〉等于()A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．(多选题)在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列结论正确的是()A ．四边形ABC 1D 1的面积为|AB →||BC 1→|B.AD 1→与A 1B →的夹角为60°C ．(AA 1→＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2D.A 1C →·(A 1B 1→－A 1D 1→)＝0二、填空题9．已知a ，b 为两个非零空间向量，若|a |＝22，|b |＝22，a ·b ＝－2，则〈a ，b 〉＝如图，在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB ＝2，EF ＝4，CA ＝CB ＝3，若AB →·AE →＋AC →·AF →＝7，则EF →与BC →的夹角的余弦值等于11．已知空间向量a ，b ，|a |＝32，|b |＝5，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，〈a ，b 〉＝135°，若m ⊥n ，则λ的值为三、解答题12.如图所示，三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N .设AB →＝a ，AC →＝b，AA 1→＝c .(1)试用a ，b ，c 表示向量MN →；(2)若∠BAC ＝90°，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长．13．在空间四边形OABC 中，连接AC ，OB ，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求向量OA →与BC →所成角的余弦值．14．(多选题)下列命题中不正确的是()A ．|a |－|b |<|a ＋b |是向量a ，b 不共线的充要条件B ．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝0C ．在棱长为1的正四面体ABCD 中，AB →·BC →＝12D ．设A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若OP →＝13OA →＋23OB →＋OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面15．等边三角形ABC 中，P 在线段AB 上，且AP →＝λAB →，若CP →·AB →＝PA →·PB →，则实数λ的值为16.如图，已知平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD.(1)求证：CC 1⊥BD .(2)试求当CDCC 1的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD?课时作业2空间向量的数量积运算【解析版】时间：45分钟一、选择题1．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，则AC →·AD 1→等于(B )A ．0B ．1C.12D ．－1解析：AC →·AD 1→＝(AB →＋AD →)·(AD →＋AA 1→)＝AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →2＋AD →·AA 1→＝0＋0＋1＋0＝1.故选B.2．已知m ，n 是异面直线，且m ⊥n ，e 1，e 2分别为取自直线m ，n 上的单位向量，且a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为(B )A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：∵m ⊥n ，∴e 1⊥e 2，即e 1·e 2＝0，由a ⊥b ，得a ·b ＝0，∴(2e 1＋3e 2)·(k e 1－4e 2)＝0，∴2k －12＝0，∴k ＝6.故选B.3．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |等于(C )A.97B ．97C.61D ．61解析：|2a －3b |2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2＝4×22－12×2×3×cos60°＋9×32＝61，∴|2a －3b |＝61.故选C.4．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，有下列命题：①(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③AD 1→与A 1B →的夹角为60°.其中真命题的个数为(B )A ．1B ．2C ．3D ．0解析：①②正确；∵AD 1→与A 1B →的夹角为120°，∴③不正确．故选B.5．已知非零向量a ，b 不平行，并且其模相等，则a ＋b 与a －b 之间的关系是(A )A ．垂直B ．共线C ．不垂直D ．以上都可能解析：由题意知|a |＝|b |，∵(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．故选A.6.如图所示，在三棱锥A ­BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ，E 为BC 的中点，则AE →·BC →等于(A)A ．0B ．1C ．2D ．3解析：∵AE →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(DC →－DB →)＝12(DB →－DA →＋DC →－DA →)·(DC →－DB →)＝12(DB →－2DA →＋DC →)·(DC →－DB →)＝12DB →·DC →－12DB →2－DA →·DC →＋DA →·DB →＋12DC →2－12DC →·DB →，又易知DB →·DC →＝0，DA →·DC →＝0，DA →·DB →＝0，|DB →|＝|DC →|，∴AE →·BC →＝0.故选A.7．已知向量a ，b 满足条件：|a |＝2，|b |＝2，且a 与2b －a 互相垂直，则〈a ，b 〉等于(B )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：根据a ·(2b －a )＝0，即2a ·b ＝|a |2＝4，解得a ·b ＝2，又cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝22×2＝22，〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝45°.故选B.8．(多选题)在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列结论正确的是(ACD )A ．四边形ABC 1D 1的面积为|AB →||BC 1→|B.AD 1→与A 1B →的夹角为60°C ．(AA 1→＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2D.A 1C →·(A 1B 1→－A 1D 1→)＝0解析：如图．由AB ⊥平面BB 1C 1C 得AB ⊥BC 1，所以四边形ABC 1D 1的面积为|AB →|·|BC 1→|，故A 正确；∵△ACD 1是等边三角形，∴∠AD 1C ＝60°，又∵A 1B ∥D 1C ，∴异面直线AD 1与A 1B 所成的夹角为60°，但是向量AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故B 错误；由向量加法的运算法则可以得AA 1→＋A 1D 1→＋A 1B 1→＝AC 1→，∵AC 1→2＝3A 1B 1→2，∴(AA 1→＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2，故C 正确；由向量运算可得A 1B 1→－A 1D 1→＝D 1B 1→，∵在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 中，D 1B 1⊥平面AA 1C 1C ，∴D 1B 1⊥A 1C ，∴A 1C →·D 1B 1→＝0，故D 正确．故选ACD.二、填空题9．已知a ，b 为两个非零空间向量，若|a |＝22，|b |＝22，a ·b ＝－2，则〈a ，b 〉＝3π4.解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－22，∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝3π4.10.如图，在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB ＝2，EF ＝4，CA ＝CB ＝3，若AB →·AE →＋AC →·AF →＝7，则EF →与BC →的夹角的余弦值等于16.解析：由题意可得BC →2＝9＝(AC →－AB →)2＝AC →2＋AB →2－2AC →·AB →＝9＋4－2AC →·AB →，∴AC →·AB →＝2.由AB →·AE →＋AC →·AF →＝7，可得AB →·(AB →＋BE →)＋AC →·(AB →＋BF →)＝AB →2＋AB →·BE →＋AC →·AB →＋AC →·BF →＝4＋AB →·(－BF →)＋2＋AC →·BF →＝6＋BF →·(AC →－AB →)＝6＋12EF →·BC →＝7.∴EF →·BC →＝2，即4×3×cos 〈EF →，BC →〉＝2，∴cos 〈EF →，BC →〉＝16.11．已知空间向量a ，b ，|a |＝32，|b |＝5，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，〈a ，b 〉＝135°，若m ⊥n ，则λ的值为－310.解析：由题意知a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝32×515，由m ⊥n ，得(a ＋b )·(a ＋λb )＝0，即|a |2＋λa ·b ＋a ·b ＋λ|b |2＝18－15(λ＋1)＋25λ＝0.解得λ＝－310.三、解答题12.如图所示，三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N .设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c .(1)试用a ，b ，c 表示向量MN →；(2)若∠BAC ＝90°，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长．解：(1)MN →＝MA 1→＋A 1B 1→＋B 1N →＝13BA 1→＋AB →＋13B 1C 1→＝13(c －a )＋a ＋13(b －a )＝13a ＋13b ＋13c .(2)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×12＋2×1×1×12＝5，∴|a ＋b ＋c |＝5，∴|MN →|＝13|a ＋b ＋c |＝53，即MN ＝53.13．在空间四边形OABC 中，连接AC ，OB ，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求向量OA →与BC →所成角的余弦值．解：∵BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →|·|AC →|·cos 〈OA →，AC →〉－|OA →|·|AB →|·cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－162，∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225.14．(多选题)下列命题中不正确的是(ACD )A ．|a |－|b |<|a ＋b |是向量a ，b 不共线的充要条件B ．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝0C ．在棱长为1的正四面体ABCD 中，AB →·BC →＝12D ．设A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若OP →＝13OA →＋23OB →＋OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面解析：由|a |－|b |<|a ＋b |，知向量a ，b 可能共线，比如共线向量a ，b 的模分别是2,3，故A 错误；在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝(AC →＋CB →)·CD →－CB →·AD →－AC →·BD →＝AC →·(CD →－BD →)＋CB →·(CD →－AD →)＝AC →·CB →＋CB →·CA →＝0，故B 正确；AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 〈AB →，BC →〉＝1×1×cos120°＝－12，故C 错误；由13＋23＋1＝2≠1可知P ，A ，B ，C 四点不共面，故D 错误．故选ACD.15．等边三角形ABC 中，P 在线段AB 上，且AP →＝λAB →，若CP →·AB →＝PA →·PB →，则实数λ的值为1－22.解析：如图，CP →＝－AC →＋AP →＝－AC →＋λAB →，故CP →·AB →＝(λAB →－AC →)·AB →＝λ|AB →|2－|AB →||AC →|cos APA →·PB →＝(－λAB →)·(1－λ)AB →＝λ(λ－1)|AB →|2，设|AB →|＝a (a ＞0)，则a 2λ－12a 2＝λ(λ－1)a 2，解得λ＝1＝1＋22舍16.如图，已知平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD .(1)求证：CC 1⊥BD .(2)试求当CDCC 1的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD?解：(1)证明：设CD →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c .由题意得|a |＝|b |，BD →＝CD →－CB →＝a －b .CD →，CB →，CC 1→两两夹角的大小相等，设为θ，于是CC 1→·BD →＝c ·(a －b )＝c ·a －c ·b ＝|c |·|a |cos θ－|c |·|b |cos θ＝0，∴CC 1⊥BD .(2)要使A 1C ⊥平面C 1BD ，只需A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DC 1.由CA 1→·C 1D →＝(CA →＋AA 1→)·(CD →－CC 1→)＝(a ＋b ＋c )·(a －c )＝a 2－a ·c ＋a ·b －b ·c ＋c ·a －c 2＝|a |2－|c |2＋|a |·|b |cos θ－|b |·|c |cos θ＝(|a |－|c |)(|a |＋|c |＋|b |cos θ)＝0，得当|c |＝|a |时，A 1C ⊥DC 1.而由(1)知CC 1⊥BD ，又BD ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ，∴BD ⊥平面ACC 1A 1，∴A 1C ⊥BD .综上可得，当CDCC 1＝1时，A 1C ⊥平面C 1BD .。

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式一、选择题1.已知向量a ＝(－5,6)，b ＝(6,5)，则a 与b ( )A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向2.已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( )A.1B. 2C.2D.43.若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )A.－π4B.π6C.π4D.3π44.若a ＝(2，－3)，则与向量a 垂直的单位向量的坐标为( )A.(3,2)B.⎝⎛⎭⎫31313，21313C.⎝⎛⎭⎫31313，21313或⎝⎛⎭⎫－31313，－21313 D.以上都不对5.已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m 等于( )A.－2B.－1C.1D.26.已知向量p ＝(2，－3)，q ＝(x,6)，且p ∥q ，则|p ＋q |的值为( )A. 5B.13C.5D.137.已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( )A. 5B.10C.5D.25二、填空题8.已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________.9.已知A (－3,0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为________.10.已知a ＝(1,3)，b ＝(2＋λ，1)，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________.11.已知点A (1，－2)，若向量AB →与a ＝(2,3)同向，且|AB →|＝213，则点B 的坐标为________.12.已知a ，c 是同一平面内的两个向量，其中a ＝(1,2).若|c |＝25，且c 与a 方向相反，则c 的坐标为________.三、解答题13.已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4).(1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两条对角线所成的锐角的余弦值.四、探究与拓展14.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3).若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝________.15.平面内有向量OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，OP →＝(2,1)，点Q 为直线OP 上的一个动点.(1)当QA →·QB →取最小值时，求OQ →的坐标；(2)当点Q 满足(1)的条件和结论时，求cos ∠AQB 的值.答案精析1．A 2.C 3.C 4.C 5.D 6.B 7.C 8.1 9.1 10.(－5，－53)∪(－53，＋∞) 11．(5,4) 12.(－2，－4)13．(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)．又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 ∵AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴DC →＝AB →.设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴C 点坐标为(0,5)．由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，所以AC →·BD →＝8＋8＝16>0.又|AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5，设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝1620＝45>0， ∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45. 14.⎝⎛⎭⎫－79，－73 15．解 (1)设OQ →＝(x ，y )，∵Q 在直线OP 上，∴向量OQ →与OP →共线．又∵OP →＝(2,1)，∴x －2y ＝0，∴x ＝2y ，∴OQ →＝(2y ，y )．又∵QA →＝OA →－OQ →＝(1－2y,7－y )，QB →＝OB →－OQ →＝(5－2y,1－y )，∴QA →·QB →＝(1－2y )(5－2y )＋(7－y )·(1－y )＝5y 2－20y ＋12＝5(y －2)2－8.故当y ＝2时，QA →·QB →有最小值－8，此时OQ →＝(4,2)．(2)由(1)知：QA →＝(－3,5)，QB →＝(1，－1)，QA →·QB →＝－8，|QA →|＝34，|QB →|＝2，∴cos ∠AQB ＝QA →·QB →|QA →||QB →|＝－834×2 ＝－41717.。

2.3.2向量数量积的运算律课后拔高提能练一、选择题1．已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角60°，则|a －3b |＝( )A ．7B ．10C ．13D ．42．已知|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角是90°，c ＝2a ＋3b ，d ＝k a －4b ，c 与d 垂直，则k 的值为( )A ．－6B ．6C ．3D ．－33．已知平面上三点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值等于( )A ．25B ．24C ．－25D ．－244．已知单位向量α、β满足(α＋2β)·(2α－β)＝1，则α与β夹角的余弦值为( )A ．－13B ．13C ．12D ．155．设a ，b ，c 是三个向量，以下命题中真命题的序号是( )A ．若a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，则b ＝cB ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0C ．若a ，b ，c 互不共线，则(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )D ．(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |26．(2018·天津卷)在如图的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0二、填空题7．如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝________.8．在直角坐标系xOy 中，i ，j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若在直角三角形ABC中，AB →＝i ＋j ，AC →＝2i ＋m j ，则实数m ＝________.9．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________，DE →·DC→的最大值为________．三、解答题10．若平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝2，(a －b )⊥a .(1)求a 与b 的夹角；(2)求|2a ＋b |.11．在△ABC 中，中线AM ＝2.(1)若OA →＝－2OM →，求证：OA →＋OB →＋OC →＝0；(2)若P 为中线AM 上的一个动点，求P A →·(PB →＋PC →)的最小值．12．已知a ，b 是两个非零向量，当a ＋t b (t ∈R )的模取得最小值时，(1)求t 的值(用a ，b 表示)；(2)求证：b 与a ＋t b 垂直．【参考答案】课后拔高提能练一、选择题1．A【解析】 |a －3b |2＝a 2－6a ·b ＋9b 2＝1－6×1×1×12＋9＝7.∴|a －3b |＝7，故选A ． 2．B【解析】由题可得a ·b ＝0，由c ⊥d ，得c ·d ＝(2a ＋3b )·(k a －4b )＝2k a 2－12b 2＝2k －12＝0.∴k ＝6.故选B ．3．C【解析】∵|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，∴|AB →|2＋|BC →|2＝|CA →|2，∴∠ABC ＝90°，∴AB →·BC →＝0，∴原式＝BC →·CA →＋CA →·AB →＝CA →·(AB →＋BC →)＝CA →·AC →＝－25.4．B【解析】设α与β的夹角为θ，由题得2α2－2β2＋3α·β＝2－2＋3cos θ＝1.∴cos θ＝13. 5．D【解析】 A 中，当b ，c 同时与a 垂直，但不相等，也满足a ·b ＝a ·c ，不正确； B 中，a ·b ＝0⇔a ⊥b ，不一定有a ＝0或b ＝0，不正确；C 中，a ·(b ·c )与a 共线，(a ·b )·c 与c 共线，又a 与c 不共线，故(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )，不正确；D 正确．6．C【解析】如图所示，连接MN ，由BM →＝2MA →，CN →＝2NA →可知点M 、N 分别为线段AB 、AC上靠近点A 的三等分点，则BC →＝3MN →＝3(ON →－OM →)，由题意可知，OM → 2＝12＝1，OM →·ON →＝1×2×cos120°＝－1，结合数量积的运算法则可得BC →·OM →＝3(ON →－OM →)·OM →＝3ON →·OM →－3OM→2＝－3－3＝－6.故选C ．二、填空题7．18【解析】设O 点为AC 与BD 的交点，∴AP →·AC →＝|AP →|·|AC →|cos ∠P AC＝|AP →|·2|AO →|cos ∠P AC＝2|AP →|2＝18.8．－2或0【解析】若∠A 为直角，则AB →·AC →＝(i ＋j )·(2i ＋m j )＝2＋m ＝0，得m ＝－2；若∠B 为直角，∵BC →＝AC →－AB →＝i ＋(m －1)j ，则AB →·BC →＝1＋m －1＝0，得m ＝0；若∠C 为直角，∴AC →·BC →＝2＋m (m －1)＝0，即m 2－m ＋2＝0，方程无解．∴m 的值为－2或0.9．1 1【解析】解法一根据平面向量的数量积公式DE →·CB →＝DE →·DA →＝|DE →||DA →|cos θ，由图可知，|DE →|·cos θ＝|DA →|.因此DE →·CB →＝|DA →|2＝1，DE →·DC →＝|DE →||DC →|cos α＝|DE →|cos α，而|DE →|cos α就是向量DE →在DC →边上的射影，要想让DE →·DC →最大，即让射影最大，此时E 点与B 点重合，射影为DC →，所以长度为1.解法二DE →·CB →＝(DA →＋AE →)·CB →＝DA →·CB →＋AE →·CB →＝DA →2＝1.DE →·DC →＝(DA →＋AE →)·DC →＝DA →·DC →＋AE →·DC →＝|AE →||DC →|cos0°＝|AE →|，∴当|AE →|＝1时，DE →·DC →最大，此时E 点与B 点重合．三、解答题10．解(1)由(a －b )⊥a ，∴(a －b )·a ＝0，∴a 2－b ·a ＝0.∴a ·b ＝2，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝22×2＝22. ∴〈a ，b 〉＝π4. (2)|2a ＋b |2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝4×2＋4×2＋4＝20.∴|2a ＋b |＝2 5.11．解(1)证明因为M 是BC 的中点，所以OM →＝12(OB →＋OC →)，代入OA →＝－2OM →，得OA →＝－OB →－OC →，即OA →＋OB →＋OC →＝0.(2)设|AP →|＝x ，即|PM →|＝2－x (0≤x ≤2)．因为M 是BC 的中点，所以PB →＋PC →＝2PM →.所以P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PM →＝－2|P A →||PM →|＝－2x (2－x )＝2(x 2－2x )＝2(x －1)2－2， 当x ＝1时，取最小值－2.12．解(1)|a ＋t b |2＝a 2＋t 2b 2＋2t a ·b ＝b 2⎝⎛⎭⎫t ＋a ·b |b |22＋a 2－(a ·b )2b 2. 当t ＝－a ·b b2时，|a ＋t b |取最小值． (2)证明(a ＋t b )·b ＝a ·b ＋t b 2＝a ·b －a ·b b2·b 2＝0，所以a ＋t b 与b 垂直．。

2．3.2 向量数量积的运算律一、选择题1．已知|a |＝1，|b |＝1，|c |＝2，a 与b 的夹角为90°，b 与c 的夹角为45°，则a ·(b ·c )的化简结果是( )A ．0B ．aC ．bD ．c答案 B解析 ∵b ·c ＝|b ||c |cos 45°＝1，∴a ·(b ·c )＝a .2．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |等于( )A ．0B ．2 2C ．4D ．8答案 B解析 |2a －b |2＝(2a －b )2＝4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a －b |＝2 2.3．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于( )A.32 B ．－32C ．±32D ．1答案 A解析 ∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a·b －2b 2＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0，∴λ＝32.4．设单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则向量3e 1＋4e 2与向量e 1的夹角θ的余弦值是() A.34 B.537 C.2537 D.53737答案 D解析 ∵|3e 1＋4e 2|2＝9e 21＋24e 1·e 2＋16e 22＝9＋24×12＋16＝37，∴|3e 1＋4e 2|＝37.又∵(3e 1＋4e 2)·e 1＝3e 21＋4e 1·e 2＝3＋4×12＝5，∴cos θ＝(3e 1＋4e 2)·e 1|3e 1＋4e 2||e 1|＝537＝53737.5．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为()A ．4B ．－4 C.94 D ．－94答案 B解析 ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0.由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B. 6．设向量a 与b 满足|a |＝2，b 在a 方向上的正射影的数量为1.若存在实数λ，使得a 与a －λb 垂直，则λ等于( )A.12B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 ∵b 在a 方向上的正射影的数量为1，|a |＝2，∴a ·b ＝2×1＝2.又∵a ⊥(a －λb )，∴a ·(a －λb )＝0，∴λa ·b ＝|a |2，故2λ＝4，λ＝2，故选C.7．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －⎝⎛⎭⎫a ·a a ·b b ，则向量a 与c 的夹角为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π2答案 D解析 ∵a ·c ＝a ·⎣⎡⎦⎤a －⎝⎛⎭⎫a ·a a ·b b ＝a ·a －⎝⎛⎭⎫a ·a a ·b ·(a ·b )＝a ·a －a ·a ＝0， ∴a ⊥c .故选D.8．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若非零向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2 C. 2 D.22答案 C解析 因为|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )＝－c ·(a ＋b )＋|c |2＝－|c ||a ＋b |cos θ＋|c |2＝0，其中θ为c 与a ＋b 的夹角，所以|c |＝|a ＋b |·cos θ＝2cos θ≤2，所以|c |的最大值是2，故选C.二、填空题9．已知平面内三个向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，|c |＝3，且a ＋b ＋c ＝0，则向量a ，b 夹角的大小是________．答案 π3解析 ∵a ＋b ＝－c ，∴(a ＋b )2＝c 2，即|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|c |2，∴1＋2a ·b ＋1＝3，a ·b ＝12， 则cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12. 又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝π3. 10．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，则a ，b 的夹角的大小为________．答案 2π3解析 由题意可知，|a ＋x b |2≥|a ＋b |2，即a 2＋2a ·b ·x ＋b 2·x 2≥a 2＋2a ·b ＋b 2，设a 与b 的夹角为θ，则4＋4cos θ·x ＋x 2≥4＋4cos θ＋1，即x 2＋4cos θ·x －1－4cos θ≥0.因为对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，所以Δ＝(4cos θ)2＋4(1＋4cos θ)≤0，即(2cos θ＋1)2≤0，所以2cos θ＋1＝0，cos θ＝－12. 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝2π3. 11．已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 方向上的正射影的数量为－1.则a 与b 的夹角θ为________．答案 2π3解析 ∵|a |＝2|b |＝2，∴|a |＝2，|b |＝1.又∵向量a 在向量b 方向上的正射影的数量为|a |cos θ＝－1，∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－1.∵|a |＝2，|b |＝1，∴cos θ＝－12， 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3. 12．已知非零向量a ，b 满足|a |＝1，(a －b )·(a ＋b )＝12，且a ·b ＝12.则向量a ，b 的夹角为________． 答案 45 °解析 设向量a 与b 的夹角为θ，∵(a －b )·(a ＋b )＝12， ∴a 2－b 2＝12，即|a |2－|b |2＝12. 又|a |＝1，∴|b |＝22. ∵a ·b ＝12，即|a ||b |cos θ＝12， ∴cos θ＝22. 又∵0°≤θ≤180°，∴向量a ，b 的夹角为45°.三、解答题13．已知a ，b 均是非零向量，设a 与b 的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a ＋b |＝3|a －b |成立？若存在，求出θ.解 假设存在满足条件的θ，∵|a ＋b |＝3|a －b |，∴(a ＋b )2＝3(a －b )2，∴|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3(|a |2－2a ·b ＋|b |2)，∴|a |2－4a ·b ＋|b |2＝0，∴|a |2－4|a ||b |cos θ＋|b |2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＞0，Δ＝(－4|b |cos θ)2－4|b |2≥0， 解得cos θ∈⎣⎡⎦⎤12，1.又∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎡⎦⎤0，π3. 四、探究与拓展14．已知非零向量a ，b ，满足a ⊥b ，且a ＋2b 与a －2b 的夹角为120°，则|a ||b |＝________. 答案 233解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0.∵(a ＋2b )·(a －2b )＝a 2－4b 2，|a ＋2b |＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝a 2＋4b 2，|a －2b |＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝a 2＋4b 2，∴a 2－4b 2＝a 2＋4b 2·a 2＋4b 2·cos 120°， 化简得32a 2－2b 2＝0，∴|a ||b |＝233.15．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.(1)求证：(a－b)⊥c；(2)若|k a＋b＋c|>1 (k∈R)，求k的取值范围．(1)证明因为|a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c之间的夹角均为120°，所以(a－b)·c＝a·c－b·c ＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0，所以(a－b)⊥c.(2)解因为|k a＋b＋c|>1，所以(k a＋b＋c)2>1，即k2a2＋b2＋c2＋2k a·b＋2k a·c＋2b·c>1，所以k2＋1＋1＋2k cos 120°＋2k cos 120°＋2cos 120°>1，所以k2－2k>0，解得k<0或k>2.所以实数k的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)．。

2．3.2 向量数量积的运算律知识点一：向量的数量积1．已知向量a 与b 满足|a |＝3，|b |＝6，〈a ，b 〉＝2π3，则a ·b 等于A ．－9B ．9C ．9 3D ．－9 32．已知非零向量m ，n 满足m·n≥0，则m 与n 夹角θ的取值范围是 A ．[0，π2) B ．[0，π2]C ．[π2，π)D ．[π2，π]3．一物体在力F 的作用下沿水平方向由A 运动至B ，已知AB ＝103米，F 与水平方向成30°角，|F |＝5牛顿，则物体从A 运动到B 力F 所做的功W ＝__________________________________________________________________________________________. 4．给出下列命题中，①若a ＝0，则对任一向量b ，有a ·b ＝0；②若a ≠0，则对任意一个非零向量b ，有a ·b ≠0； ③若a ≠0，a ·b ＝0，则b ＝0；④若a ·b ＝0，则a 、b 至少有一个为0； ⑤若a ≠0，a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；⑥若a ·b ＝a ·c ，且b ≠c ，当且仅当a ＝0时成立． 其中真命题为________．5．(2010江西高考，文13)已知向量a ，b 满足|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是__________．知识点二：向量数量积的性质及运算律6．向量a ，b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0且a ⊥b ，|a |＝1，|b |＝2，则|c |2等于 A ．1 B ．2 C ．4 D ．57．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角是A.π6 B.π4 C.π3 D.π28．设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 是A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形9．(2010湖南高考，文6)若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 10．设a ，b ，c 为任意向量，m∈R ，下列各式中 ①(a －b )＋c ＝a －(b －c ) ②m(a ＋b )＝m a ＋m b③(a －b )·c ＝a ·c －b ·c④(a ·b )c ＝a (b ·c ) ⑤|a ·b |＝|a ||b | 不成立的有________．11．已知|a |＝1，|b |＝2，设a 与b 的夹角为θ.(1)若θ＝π3，求|a ＋b |；(2)若a 与a －b 垂直，求θ.能力点一：有关数量积的计算问题12．已知非零向量a ，b ，若(a ＋2b )⊥(a －2b )，则|a ||b |等于A.14 B ．4 C.12D ．2 13．已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在向量b 上的正射影的数量为 A.125B ．3C ．4D ．5 14．对于任意向量x 和y ，|x ||y |与x ·y 的大小关系是 A ．|x||y|≤x·y B ．|x||y|＞x·y C ．|x||y|≥x·y D ．|x||y|＜x·y15．已知|a |＝2，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则|a －λb |的最小值为 A ．4 B ．2 3 C ．2 D. 316．若|a |＝3，|b |＝5，且a ＋λb 与a －λb 垂直，则λ＝________.17．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，求a 与b 夹角的取值范围．18.设平面内两个向量a 与b 互相垂直且|a |＝2，|b |＝1，又k 与t 是两个不同时为零的实数．(1)若x ＝a ＋(t －4)b 与y ＝－k a ＋t b 互相垂直，求k 关于t 的函数解析式k ＝f(t)； (2)求函数k ＝f(t)取最小值时的向量x 、y .能力点二：数量积的应用19．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为A ．6B ．2C ．2 5D ．2720．(2010四川高考，理5)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB→＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|等于A ．8B ．4C ．2D ．121．(2010天津高考，文9)如图，在△ABC 中，AD⊥AB，BC →＝3BD →，|AD →|＝1，则A C →·A D →等于A ．2 3 B.32 C.33D. 3 22．在边长为2的等边三角形ABC 中，设AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，则a·b ＋b·c ＋c·a ＝________.23．在△ABC 中，设AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，且a·b ＝b·c ＝c·a ，试判断△ABC 的形状．24．在等腰直角三角形ABC 中，∠C 是直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上的一点，且AE ＝2EB.求证：AD⊥CE.答案与解析基础巩固1．A 2.B3．75 W ＝|F |·|AB →|·cos30°＝5×103×32＝75.4．①5．1 b 在a 上的投影是|b |cos60°＝2×12＝1.6．D |c |2＝c 2＝[－(a ＋b )]2＝(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ，∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0.∴|c |2＝1＋22＝5.7．C8．B (DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝[(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)]·(AB →－AC →)＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝|AB →|2－|AC →|2＝0，∴|AB →|＝|AC →|.9．C 0＝(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＋|b |2， ∵|a |＝|b |≠0，∴2cos〈a ·b 〉＋1＝0，cos 〈a ，b 〉＝－12，〈a ，b 〉＝120°.10．④⑤11．解：(1)∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b＝1＋(2)2＋2×1×2×cos π3＝3＋2，∴|a ＋b |＝3＋ 2.(2)由条件得a ·(a －b )＝0，∴a 2＝a ·b ＝|a |·|b |·cos θ. ∴cos θ＝a 2|a ||b |＝11×2＝22.∴θ＝π4.能力提升12．D 因为(a ＋2b )⊥(a －2b )，所以(a ＋2b )·(a －2b )＝0.所以a 2＝4b 2.所以|a |＝2|b |.故|a ||b |＝2.13．A 由于cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝123×5＝45， ∴|a |·cos〈a ，b 〉＝3×45＝125.14．C15．D ∵a·(b －a )＝a·b －|a|2＝a·b －4，∴a·b ＝6.|a －λb |2＝|a |2＋λ2|b |2－2λa ·b ＝4＋36λ2－12λ＝36(λ－16)2＋3，∴当λ＝16时，|a －λb |2取最小值3.∴|a －λb |的最小值为 3.16．±35 由于(a ＋λb )·(a －λb )＝0，∴|a |2－λ2|b |2＝0. ∴λ2＝|a |2|b |2＝925.∴λ＝±35.17．解：设a 与b 的夹角为θ，根据题意得Δ≥0，即|a |2－4a ·b ≥0，即|a |2－4|a ||b |·cos θ≥0， ∴|a |2－4|a |×12|a |·cos θ≥0.∴cos θ≤12.∴θ∈[π3，π]．18．解：(1)∵a⊥b ，∴a·b ＝0.又x⊥y ，∴x·y ＝0，即[a ＋(t －3)b ]·(－k a ＋t b )＝0.－k a 2－k(t －3)a·b ＋t a ·b ＋t(t －3)b 2＝0. ∵|a |＝2，|b |＝1，∴－4k ＋t 2－3t ＝0， 即k ＝14(t 2－3t)．(2)由(1)知，k ＝14(t 2－3t)＝14(t －32)2－916，即函数最小值为－916，此时t ＝32，∴x ＝a －52b ，y ＝916a ＋32b .19．D 由已知得F 1＋F 2＋F 3＝0，∴F 3＝－(F 1＋F 2)．F 23＝(F 1＋F 2)2＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2|cos60°＝28.∴|F 3|＝27.20．C 因为|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，平方得AB →·AC →＝0，即AB →⊥AC →， 又BC →2＝16， 所以|BC →|＝4. 所以|AM →|＝12|BC →|＝2.21．D 设|BD →|＝x ，则|BC →|＝3x ，AC →·AD →＝(AB →＋BC →)·AD →＝BC →·AD →＝|BC →|·|AD →|·cos∠ADB＝3x×1×1x ＝ 3.22．－323．解：∵a·b ＝b·c ， ∴b·(a －c )＝0.又b ＝－(a ＋c )，则有－(a ＋c )·(a －c )＝0，即c 2－a 2＝0，也即|c|＝|a|.同理|b|＝|a|，故|a|＝|b|＝|c|. 所以△ABC 为正三角形． 拓展探究24．证明：方法一：AD →·CE →＝(AC →＋CD →)·(CA →＋AE →) ＝AC →·CA →＋AC →·AE →＋CD →·CA →＋CD →·AE → ＝－AC 2→＋AC →·(23AB →)＋0＋12CB →·23AB →＝－|AC →|2＋23|AC →||AB →|cos45°＋13|CB →||AB →|cos45°＝－|AC →|2＋23·|AC →|·2|AC →|·22＋13·|AC →|·2|AC →|·22＝－|AC →|2＋23|AC →|2＋13|AC →|2＝0.∴AD →⊥CE →，即AD⊥CE. 方法二：设CA →＝a ，CB →＝b . 由题设得|a |＝|b |，a ·b ＝0. ∵D 为CB 的中点， ∴AD →＝12b －a .∵AE＝2EB ，∴AE →＝23AB →＝23(b －a )＝23b －23a .∴CE →＝CA →＋AE →＝a ＋23b －23a ＝13a ＋23b .∴AD →·CE →＝(12b －a )(13a ＋23b )＝16a ·b －23a ·b ＋13b 2－13a 2＝13(|b |2－|a |2)＝0.∴AD →⊥CE →，即AD⊥CE.。

课时分层作业(十四) 向量数量积的运算律(建议用时：60分钟)[合格根底练]一、选择题1.向量|a |＝2，|b |＝3，且向量a 与b 的夹角为150°，那么a ·b 的值为( )A ．－ 3B ． 3C ．－3D ．3C [向量|a |＝2，|b |＝3，且向量a 与b 的夹角为150°，那么a·b ＝|a ||b |cos 150°＝2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3.应选C ．] 2.在△ABC 中，∠ BAC ＝π3，AB ＝2，AC ＝3，CM →＝2MB →，那么AM →·BC →＝( ) A ．－113B ．－43C ．43D ．113C [因为AM →＝AC →＋CM →＝AC →＋23CB →＝AC →＋23(AB →－AC →)＝13AC →＋23AB →， 所以AM →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AC →＋23AB →·(AC →－AB →)＝13×32－23×22＋13AB →·AC →＝13＋13×2×3cos π3＝43.] 3.向量|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，那么a 与b 的夹角为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2C [因为向量|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，所以a ·b －a 2＝a ·b －1＝2，那么a ·b ＝3，设a 与b 的夹角为θ，得cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，因为θ∈[0, π]，所以θ＝π3.] 4．设单位向量e 1，e 2的夹角为2π3，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1－3e 2，那么b 在a 上投影的数量为( )A ．－332B ．－ 3C ． 3D ．332A [因为单位向量e 1，e 2的夹角为2π3，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1－3e 2，得e 1·e 2＝1×1×cos 2π3＝－12，|a |＝(e 1＋2e 2)2＝e 21＋4e 22＋4e 1·e 2＝3， a ·b ＝(e 1＋2e 2)·(2e 1－3e 2)＝2e 21－6e 22＋e 1·e 2＝－92，因此b 在a 上投影的数量为a ·b |a |＝－923＝－332，应选A ．] 5．平行四边形ABCD 中，|AB →|＝6，|AD →|＝4，假设点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，那么AM →·NM →＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6C [如下图，由题设知，AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋34AD →，NM →＝13AB →－14AD →， ∴AM →·NM →＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋34AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－14AD →＝13|AB →|2－316|AD |2＋14AB →·AD →－14AB →·AD →＝13×36－316×16＝9.] 6．非零向量a ，b 满足|a ＋2b |＝7|a |，a ⊥(a －2b )，那么向量a ，b 的夹角为( ) A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．π2C [由|a ＋2b |＝7|a |，得a 2＋4a·b ＋4b 2＝7a 2，即a·b ＝32a 2－b 2. 由a ⊥(a －2b )，得a ·(a －2b )＝0，即a·b ＝12a 2. 所以32a 2－b 2＝12a 2，所以|a |＝|b |≠0， 所以向量a ，b 的夹角θ满足cos θ＝a·b |a |·|b |＝12， 又θ∈[0，π]，所以θ＝π3.应选C ．] 二、填空题 7．平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB →＝2a ＋2b ，AC →＝2a －6b ，D 为BC 中点，那么|AD →|＝________.2 [因为AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(2a ＋2b ＋2a －6b )＝2a －2b ，所以|AD →|2＝4(a －b )2＝4(a 2。