高一数学辅导教案：集合之间的基本关系

高一数学教案：集合间的基本关系一、教学目标1. 知识与技能：a. 学习集合的基本概念和表示方法；b. 掌握集合间的基本关系：相等、包含、相交、并集、交集、补集；c. 理解集合间关系的运算性质。

2. 过程与方法：a. 通过实例引入，帮助学生理解集合的基本概念和表示方法；b. 结合图示、具体例子和符号表示，引导学生理解集合间的基本关系；c. 给予学生足够的练习机会，加深对集合间关系的运算性质的理解。

3. 情感态度价值观：a. 培养学生对数学概念和符号的兴趣，提高数学学习的主动性和积极性；b. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力；c. 培养学生的合作意识和团队精神。

二、教学重点1. 集合的基本概念和表示方法；2. 集合间的基本关系：相等、包含、相交、并集、交集、补集；3. 集合间关系的运算性质。

三、教学难点1. 集合间关系的运算性质的理解和应用；2. 集合间关系的图示表示。

四、教学过程1. 导入与引入（10分钟）a. 提问：大家在日常生活中经常听到和使用“集合”这个概念，你们知道集合是什么吗？b. 引导学生回答并解释集合的概念。

2. 集合的基本概念和表示方法（15分钟）a. 教师通过具体例子，如{1, 2, 3}、{苹果、橙子、香蕉}等，引导学生理解集合的概念。

b. 教师介绍集合的符号表示方法，如大括号{}和里面用逗号分隔各元素。

3. 集合间的基本关系：相等、包含、相交（15分钟）a. 教师通过具体例子和图示，介绍集合间的相等关系：两个集合的元素完全相同。

b. 教师通过具体例子和图示，介绍集合间的包含关系：一个集合的所有元素都在另一个集合内。

c. 教师通过具体例子和图示，介绍集合间的相交关系：两个集合有共同的元素。

4. 集合间的基本关系：并集、交集、补集（20分钟）a. 教师通过具体例子和图示，介绍集合间的并集关系：两个集合合并在一起的所有元素。

b. 教师通过具体例子和图示，介绍集合间的交集关系：两个集合共有的元素。

其中：“A 含于B”中的于是被的意思，简单地说就是A 被B 包含.“⊆”类似于“≤”开口朝向谁谁就“大”.在数学中，除了用列举法、描述法来表示集合之外，我们还有一种更简洁、直观的方法——用平面上的封闭曲线的内部来表示集合venn （韦恩）图.那么，集合A 是集合B 的子集用图形表示如下：B A ⊆2.若集合A 是集合B 的子集，并且存在元素B x ∈,且A x ∉，那么集合A 叫做集合B 的真子集. 记作：A B （或B A ）A = BB A ⊆A B3.集合相等：对于实数b a ,,如果b a ≥且a b ≥，则 a 与b 的大小关系如何？b a = 用子集的观点，仿照上面的结论在什么条件下A=B ？⎩⎨⎧⊆⊆⇔=A B BA B A4.空集：如（1）2{|10}x R x ∈+= （2）{|||20}x R x ∈+<集合中没有元素，我们就把上述集合称为空集.不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，规定：空集是任何集合的子集 ,空集是任何非空集合的真子集.四、【典型例题剖析】[例 1]写出集合{a,b,c}的所有子集并指出，真子集、非空真子集.[举一反三]写出下列各集合的子集及其个数.{}{}{},,,,,,a a b a b c ∅ABA B B A ⊆⊆且1.下列各式中错误的个数为( )①{}10,1,2∈ ②{}{}10,1,2∈ ③{}{}0,1,20,1,2⊆ ④{}{}0,1,22,0,1=A. 1B. 2C. 3D. 4 2.已知{}|22,M x R x a π=∈≥=,给定下列关系：①a M ∈,②{}a M ③a M ④{}a M ∈， 其中正确的是( ) Ａ.①② Ｂ.④ Ｃ.③ Ｄ.①②④ 3.满足{}a M ⊆{},,,abcd 的集合Ｍ共有( ) Ａ.６个 Ｂ.７个 Ｃ.８个 Ｄ.９个4.若,x y R ∈,集合{}(,)|,(,)|1y A x y y x B x y x ⎧⎫====⎨⎬⎩⎭,则Ａ,Ｂ的关系为( ) Ａ. Ａ＝Ｂ Ｂ. Ａ⊆Ｂ Ｃ.ＡＢ Ｄ.ＢＡ5.已知{}{}{}A B C ===菱形正方形平行四边形,则集合Ａ,Ｂ,Ｃ之间的关系为___________6.已知集合{}{}2|320,|10A x x x B x ax =-+==-=若B A,则实数a 的值为__________7.已知Ａ＝{},a b ,{}|B x x A =∈,集合Ａ与集合Ｂ的关系为_______ 8.集合{}{}|12,|0A x x B x x a =<<=-<若A B,则a 的取值范围是_____ 9.已知集合{}{}2|560,|1A x x x B x mx =-+===,若B A ，则实数m 所构成的集合Ｍ＝________10.若集合{}2|30A x x x a =++=为空集,则实数a 的取值范围是______ 11.写出满足{},a b A ⊆{},,,a b c d 的所有集合Ａ.12.已知集合{}{}22,,,2,2,A x y B x y A B ===且,求,x y 的值.。

集合间的基本关系教案篇一：集合间的基本关系示范教案1.1.2 集合间的基本关系整体设计教学分析课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发,通过类比实数间的大小关系引入集合间的关系,同时,结合相关内容介绍子集等概念.在安排这部分内容时,课本注重体现逻辑思考的方法,如类比等.值得注意的问题:在集合间的关系教学中,建议重视使用Venn图,这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念;随着学习的深入,集合符号越来越多,建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号,例如∈与�恋那�别.三维目标1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,能判断给定集合间的关系,提高利用类比发现新结论的能力.2.在具体情境中,了解空集的含义,掌握并能使用Venn图表达集合的关系,加强学生从具体到抽象的思维能力,树立数形结合的思想.重点难点教学重点:理解集合间包含与相等的含义.教学难点:理解空集的含义.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.实数有相等、大小关系,如5=5,5<7,5>3等等,类比实数之间的关系,你会想到集合之间有什么关系呢？(让学生自由发言,教师不要急于作出判断,而是继续引导学生)欲知谁正确,让我们一起来观察、研探.思路2.复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系,填空:(1)0N;(2)2Q;(3)-1.5R. 类比实数的大小关系,如5<7,2≤2,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？(答案：(1)∈;(2)��;(3)∈)推进新课新知探究提出问题(1)观察下面几个例子:①A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};②设A为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B为这个班学生的全体组成的集合;③设C={x|x是两条边相等的三角形},D={x|x是等腰三角形};④E={2,4,6},F={6,4,2}.你能发现两个集合间有什么关系吗？(2)例子①中集合A是集合B的子集,例子④中集合E是集合F的子集,同样是子集,有什么区别？(3)结合例子④,类比实数中的结论:“若a≤b,且b≤a,则a=b”,在集合中,你发现了什么结论?(4)按升国旗时,每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内,从楼顶向下看,每位同学是哪个班的,一目了然.试想一下,根据从楼顶向下看的,要想直观表示集合,联想集合还能用什么表示？(5)试用Venn图表示例子①中集合A和集合B.(6)已知A�罛,试用Venn图表示集合A和B的关系.(7)任何方程的解都能组成集合,那么x2+1=0的实数根也能组成集合,你能用Venn图表示这个集合吗？(8)一座房子内没有任何东西,我们称为这座房子是空房子,那么一个集合没有任何元素,应该如何命名呢？(9)与实数中的结论“若a≥b,且b≥c,则a≥c”相类比,在集合中,你能得出什么结论?活动：教师从以下方面引导学生:(1)观察两个集合间元素的特点.(2)从它们含有的元素间的关系来考虑.规定:如果A?B,但存在x∈B,且x?A,我们称集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA).(3)实数中的“≤”类比集合中的?.(4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的,学生看成集合中的元素,从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内.教师指出:为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.(5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等,没有限制.(6)分类讨论:当A?B时,AB或A=B.(7)方程x2+1=0没有实数解.(8)空集记为?,并规定:空集是任何集合的子集,即??A;空集是任何非空集合的真子集,即A(A≠?).(9)类比子集.讨论结果：(1)①集合A中的元素都在集合B中;②集合A中的元素都在集合B中;③集合C中的元素都在集合D中;④集合E中的元素都在集合F中.可以发现:对于任意两个集合A,B有下列关系:集合A中的元素都在集合B中;或集合B中的元素都在集合A中.(2)例子①中A?B,但有一个元素4∈B,且4?A;而例子②中集合E和集合F中的元素完全相同.(3)若A?B,且B?A,则A=B.(4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合.(5)如图1121所示表示集合A,如图1122所示表示集合B. ?图1-1-2-1(6)如图1-1-2-3和图1-1-2-4所示. 图1-1-2-2图1-1-2-3(7)不能.因为方程x2+1=0没有实数解.(8)空集. 图1-1-2-4(9)若A?B,B?C,则A?C;若A应用示例 B,BC,则AC.思路11.某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时,该产品才合格.若用A表示合格产品的集合,B表示重量合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合.已知集合A、B、C均不是空集.(1)则下列包含关系哪些成立？A?B,B?A,A?C,C?A.(2)试用Venn图表示集合A、B、C间的关系.活动：学生思考集合间的关系以及Venn图的表示形式.当集合A中的元素都属于集合B时,则A?B成立,否则A?B不成立.用相同的方法判断其他包含关系是否成立.教师提示学生以下两点:(1)重量合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定重量合格;长度合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定长度合格.(2)根据集合A、B、C间的关系来画出Venn图.解：(1)包含关系成立的有:B?A,C?A.(2)集合A、B、C间的关系用Venn图表示,如图1-1-2-5所示.图1-1-2-5变式训练课本P7练习3.点评：本题主要考查集合间的包含关系.其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么. 判断两个集合A、B之间是否有包含关系的步骤是:先明确集合A、B中的元素,再分析集合A、B中的元素之间的关系,得:当集合A中的元素都属于集合B时,有A?B;当集合A中的元素都属于集合B,当集合B中至少有一个元素不属于集合A时,有AB;当集合A中的元素都属于集合B,并且集合B中的元素也都属于集合A时,有A=B;当集合A中至少有一个元素不属于集合B,并且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时,有AB,且BA,即集合A、B互不包含.2.写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集.活动：学生思考子集和真子集的定义,教师提示学生空集是任何集合的子集,一个集合不是其本身的真子集.按集合{a,b}的子集所含元素的个数分类讨论.解：集合{a,b}的所有子集为?,{a},{b},{a,b}.真子集为?,{a},{b}.变式训练2007山东济宁一模,1已知集合P={1,2},那么满足Q?P的集合Q的个数是( )A.4B.3C.2D.1分析:集合P={1,2}含有2个元素,其子集有22=4个,又集合Q?P,所以集合Q有4个.答案：A点评：本题主要考查子集和真子集的概念,以及分类讨论的思想.通常按子集中所含元素的个数来写出一个集合的所有子集,这样可以避免重复和遗漏.思考:集合A中含有n个元素,那么集合A有多少个子集？多少个真子集？解：当n=0时,即空集的子集为?,即子集的个数是1=20;当n=1时,即含有一个元素的集合如{a}的子集为?,{a},即子集的个数是2=21;当n=2时,即含有一个元素的集合如{a,b}的子集为?,{a},{b},{a,b},即子集的个数是4=22. ……集合A中含有n个元素,那么集合A有2n个子集,由于一个集合不是其本身的真子集,所以集合A有(2n-1)个真子集.思路21.2006上海高考,理1已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2}.若B?A,则实数m=_______. 活动：先让学生思考B?A的含义,根据B?A,知集合B中的元素都属于集合A,集合元素的互异性,列出方程求实数m的值.因为B?A,所以3∈A,m2∈A.对m2的值分类讨论. 解：∵B?A,∴3∈A,m2∈A.∴m2=-1(舍去)或m2=2m-1.解得m=1.∴m=1.答案：1点评：本题主要考查集合和子集的概念,以及集合元素的互异性.本题容易出现m2=3,其原因是忽视了集合元素的互异性.避免此类错误的方法是解得m的值后,再代入验证.讨论两集合之间关系时,通常依据相关的定义,观察这两个集合元素的关系,转化为解方程或解不等式.变式训练已知集合M={x|2-x<0},集合N={x|ax=1},若NM,求实数a的取值范围.分析:集合N是关于x的方程ax=1的解集,集合M={x|x>2}≠?,由于NM,则N=?或N≠?,要对集合N是否为空集分类讨论.解：由题意得M={x|x>2}≠?,则N=?或N≠?.当N=?时,关于x的方程ax=1中无解,则有a=0;111,又∵NM,∴∈M.∴>2. aaa111∴0<a<.综上所得,实数a的取值范围是a=0或0<a<,即实数a的取值范围是{a|0≤a<} 2222.(1)分别写出下列集合的子集及其个数:?,{a},{a,b},{a,b,c}. 当N≠?时,关于x的方程ax=1中有解,则a≠0,此时x=(2)由(1)你发现集合M中含有n个元素,则集合M有多少个子集？活动：学生思考子集的含义,并试着写出子集.(1)按子集中所含元素的个数分类写出子集;(2)由(1)总结当n=0,n=1,n=2,n=3时子集的个数规律,归纳猜想出结论.答案：(1)?的子集有:?,即�劣�1个子集;{a}的子集有:?、{a},即{a}有2个子集;{a,b}的子集有:?、{a}、{b}、{a,b},即{a,b}有4个子集;{a,b,c}的子集有:?、{a}、{b}、{c}、{a,b}、{a,c}、{b,c}、{a,b,c},即{a,b,c}有8个子集.(2)由(1)可得:当n=0时,有1=20个子集;当n=1时,集合M有2=21个子集;当n=2时,集合M有4=22个子集;当n=3时,集合M有8=23个子集;因此含有n个元素的集合M有2n个子集.变式训练已知集合A{2,3,7},且A中至多有一个奇数,则这样的集合A 有……( )A.3个B.4个C.5个D.6个分析:对集合A所含元素的个数分类讨论.A=?或{2}或{3}或{7}或{2,3}或{2,7}共有6个.答案：D点评：本题主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的能力.集合M中含有n个元素,则集合M有2n个子集,有2n-1个真子集,记住这个结论,可以提高解题速度.写一个集合的子集时,按子集中元素的个数来写不易发生重复和遗漏现象.知能训练课本P7练习1、2.【补充练习】1.判断正误:(1)空集没有子集.( )(2)空集是任何一个集合的真子集. ( )(3)任一集合必有两个或两个以上子集.( )(4)若B?A,那么凡不属于集合A的元素,则必不属于B.( ) 分析:关于判断题应确实把握好概念的实质.解：该题的5个命题,只有(4)是正确的,其余全错.对于(1)、(2)来讲,由规定:空集是任何一个集合的子集,且是任一非空集合的真子集. 对于(3)来讲,可举反例,空集这一个集合就只有自身一个子集.对于(4)来讲,当x∈B时必有x∈A,则x?A时也必有x?B.2.集合A={x|-1<x<3,x∈Z},写出A的真子集.分析:区分子集与真子集的概念,空集是任一非空集合的真子集,一个含有n个元素的子集有2n个,真子集有2n-1个,则该题先找该集合元素,后找真子集.解：因-1<x<3,x∈Z,故x=0,1,2,即a={x|-1<x<3,x∈Z}={0,1,2}.真子集:?、{1}、{2}、{0}、{0,1}、{0,2}、{1,2},共7个.3.(1)下列命题正确的是 ( )A.无限集的真子集是有限集B.任何一个集合必定有两个子集C.自然数集是整数集的真子集D.{1}是质数集的真子集(2)以下五个式子中,错误的个数为( ) ①{1}∈{0,1,2} ②{1,-3}={-3,1} ③{0,1,2}?{1,0,2}④?∈{0,1,2} ⑤?∈{0}A.5B.2C.3D.4(3)M={x|3<x<4},a=π,则下列关系正确的是 ( ) A.aMB.a?MC.{a}∈MD.{a}M分析:(1)该题要在四个选择肢中找到符合条件的选择肢,必须对概念把握准确,无限集的真子集有可能是无限集,如N是R的真子集,排除A;由于?只有一个子集,即它本身,排除B;由于1不是质数,排除D.(2)该题涉及到的是元素与集合,集合与集合的关系.①应是{1}?{0,1,2},④应是??{0,1,2},⑤应是??{0}.故错误的有①④⑤.(3)M={x|3<x<4},a=π.因3<a<4,故a是M的一个元素.{a}是{x|3<x<4}的子集,那么{a}答案：(1)C (2)C (3)D M.篇二：2014高中学科教学设计-集合间的基本关系我的教学设计模板篇三：《集合间的基本关系》教学设计1.1.2集合间的基本关系一、设计理念新课标指出：学生的数学学习活动不应只是接受、记忆、模仿、练习，教师应引导学生自主探究、合作学习、动手操作、阅读自学，应注重提升学生的数学思维能力，注重发展学生的数学应用意识。

集合间的基本关系教案集合间的基本关系教案1（一）教学目标；1．知识与技能（1）理解集合的包含和相等的关系.（2）了解使用Venn图表示集合及其关系.（3）掌握包含和相等的有关术语、符号，并会使用它们表达集合之间的关系.2．过程与方法（1）通过类比两个实数之间的大小关系，探究两个集合之间的关系.（2）通过实例分析，获知两个集合间的包含与相等关系，然后给出定义.（3）从自然语言，符号语言，图形语言三个方面理解包含关系及相关的概念.3．情感、态度与价值观应用类比思想，在探究两个集合的包含和相等关系的过程中，培养学习的辨证思想，提高学生用数学的思维方式去认识世界，尝试解决问题的能力.（二）教学重点与难点重点：子集的概念；难点：元素与子集，即属于与包含之间的区别.（三）教学方法在从实践到理论，从具体到抽象，从特殊到一般的原则下，一方面注意利用生活实例，引入集合的包含关系. 从而形成子集、真子集、相等集合等概念. 另一方面注意几何直观的应用，即Venn图形象直观地表示、理解集合的包含关系，子集、真子集、集合相等概念及有关性质.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图创设情境提出问题思考：实数有相关系，大小关系，类比实数之间的关系，联想集合之间是否具备类似的关系.师：对两个数a、b，应有a＞b或a = b或a＜b.而对于两个集合A、B它们也存在A包含B，或B包含A，或A与B相等的关系.类比生疑，引入课题概念形成分析示例：示例1：考察下列三组集合，并说明两集合内存在怎样的关系（1）A = {1，2，3}B = {1，2，3，4，5}（2）A = {新华中学高（一）6班的全体女生}B = {新华中学高（一）6 班的全体学生}（3）C = {x | x是两条边相等的三角形}D = {x | x是等腰三角形}1．子集：一般地，对于两个集合A、B，如果A中任意一个元素都是B 的元素，称集合A是集合B的子集，记作，读作：“A含于B”（或B包含A）2．集合相等：若，且，则A=B.生：实例（1）、（2）的共同特点是A的每一个元素都是B 的元素.师：具备（1）、（2）的两个集合之间关系的称A是B的子集，那么A是B的'子集怎样定义呢？学生合作：讨论归纳子集的共性.生：C是D的子集，同时D是C的子集.师：类似（3）的两个集合称为相等集合.师生合作得出子集、相等两概念的数学定义.通过实例的共性探究、感知子集、相等概念，通过归纳共性，形成子集、相等的概念.初步了解子集、相等两个概念.概念深化示例1：考察下列各组集合，并指明两集合的关系：（1）A = Z，B = N；（2）A = {长方形}，B = {平行四边形}；（3）A={x| x2–3x+2=0}，B ={1，2}.1．Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合.如果，则Venn图表示为：2．真子集如果集合，但存在元素x∈B，且x A，称A是B的真子集，记作AB (或B A).示例3 考察下列集合. 并指出集合中的元素是什么？（1）A = {(x，y) | x + y =2}.（2）B = {x | x2 + 1 = 0，x∈R}.3．空集称不含任何元素的集合为空集，记作 .规定：空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集.示例1 学生思考并回答.生：（1）（2）（3）A = B师：进一步考察（1）、（2）不难发现：A的任意元素都在B中，而B中存在元素不在A 中，具有这种关系时，称A是B的真子集.示例3 学生思考并回答.生：（1）直线x+y=2上的所有点（2）没有元素师：对于类似（2）的集合称这样的集合为空集.师生合作归纳空集的定义.再次感知子集相等关系，加深对概念的理解，并利用韦恩图从“形”的角度理解包含关系，层层递进形成真子集、空集的概念.能力提升一般结论：① .②若，，则 .③A = B ，且 .师：若a≤a，类比 .若a≤b，b≤c，则a≤c类比.若，，则 .师生合作完成：（1）对于集合A，显然A中的任何元素都在A中，故 .（2）已知集合，同时，即任意x∈A x∈B x∈C，故 .升华并体会类比数学思想的意义.应用举例例1（1）写出集合{a、b}的所有子集；（2）写出集合{a、b、c}的所有子集；（3）写出集合{a、b、c、d}的所有子集；一般地：集合A含有n个元素则A的子集共有2n个.A的真子集共有2n – 1个.学习练习求解，老师点评总结.师：根据问题（1）、（2）、（3），子集个数的探究，提出问题：已知A = {a1，a2，a3…an}，求A的子集共有多少个？通过练习加深对子集、真子集概念的理解.培养学生归纳能力.归纳总结子集：任意x∈A x∈B真子集：A B 任意x∈A x∈B，但存在x0∈B，且x0 A.集合相等：A = B 且空集（）：不含任何元素的集合性质：①，若A非空，则 A.② .③， .师生合作共同归纳—总结—交流—完善.师：请同学合作交流整理本节知识体系引导学生整理知识，体会知识的生成，发展、完善的过程.课后作业1.1 第二课时习案学生独立完成巩固基础提升能力备选训练题例1 能满足关系{a，b} {a，b，c，d，e}的集合的数目是（ A ）A．8个B．6个C．4个D．3个【解析】由关系式知集合A中必须含有元素a，b，且为{a，b，c，d，e}的子集，所以A中元素就是在a，b元素基础上，把{c，d，e}的子集中元素加上即可，故A = {a，b}，A = {a，b，c}，A = {a，b，d}，A = {a，b，e}，A = {a，b，c，d}，A = {a，b，c，e}，A = {a，b，d，e}，A = {a，b，c，d，e}，共8个，故应选A.例2 已知A = {0，1}且B = {x | }，求B.【解析】集合A的子集共有4个，它们分别是：，{0}，{1}，{0，1}.由题意可知B = { ，{0}，{1}，{0，1}}.例3 设集合A = {x – y，x + y，xy}，B = {x2 + y2，x2 – y2，0}，且A = B，求实数x和y的值及集合A、B.【解析】∵A = B，0∈B，∴0∈A.若x + y = 0或x – y = 0，则x2 – y2 = 0，这样集合B = {x2 + y2，0，0}，根据集合元素的互异性知：x + y≠0，x – y≠0.∴（I）或（II）由（I）得：或或由（II）得：或或∴当x = 0，y = 0时，x – y = 0，故舍去.当x = 1，y = 0时，x – y = x + y = 1，故也舍去.∴或，∴A = B = {0，1，–1}.例4 设A = {x | x2 – 8x + 15 = 0}，B = {x | ax – 1 = 0}，若，求实数a组成的集合，并写出它的所有非空真子集.【解析】A = {3，5}，∵，所以（1）若B = ，则a = 0；（2）若B≠，则a≠0，这时有或，即a = 或a = .综上所述，由实数a组成的集合为 .其所有的非空真子集为：{0}，共6个.集合间的基本关系教案2一、预习目标：初步理解子集的含义，能说明集合的基本关系。

集合间的基本关系教案本文介绍了集合之间的基本关系，包括包含和相等的含义，以及如何识别给定集合的子集和使用Venn图表达集合之间的包含关系。

教学目标包括理解集合关系、探究集合之间的包含与相等关系、体会集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义，以及利用直观图示理解抽象概念和体会数形结合的思想。

重点在于帮助学生由具体到抽象地认识集合与集合之间的关系，以及确定集合之间的关系。

难点在于集合关系与其特征性质之间的关系。

教学过程包括新课引入、概念的形成、子集的定义等内容。

一般地，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，我们就说集合A是集合B的子集，用符号表示为XXX或XXX图可以用来表示两个集合之间的包含关系。

练1：0是空集，{0}是只有一个元素0的集合，{正方形}是只有一个元素正方形的集合，{矩形，三角形}是有两个元素矩形和三角形的集合，{等边三角形}是只有一个元素等边三角形的集合，{梯形}是只有一个元素梯形的集合，{平行四边形}是只有一个元素平行四边形的集合，{x|-1<x<5}是表示-1<x<5的实数集合，{x|2<x<4}是表示2<x<4的实数集合。

问题2：如果集合A是集合B的子集，那么对于任意的x A，有x B。

对于集合B中的任何一个元素，它与集合A之间可能的关系是包含、不相交或相等。

具体实例2：(1)、A＝{x|x2}，B={x|x1}，可以得到A B，但B中的所有元素并不都在A中，也就是说至少有一个元素只属于B而不属于A；(2)、A＝{x|-1<x<3}，B={x|-3<2x-1<5}，可以得到A B，但B中的所有元素也都在A中，也就是说XXX，即A和B中的元素完全相同。

相等关系：如果集合A B，且B A，则A=B。

真子集的定义：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，我们称集合A是集合B的真子集，记作A B或B A。

集合之间的关系的教案
教案标题：集合之间的关系
一、教学目标
1. 知识与技能
- 了解集合的概念和基本符号表示
- 掌握集合之间的关系，包括并集、交集、差集和补集
- 能够用集合的概念解决实际问题
2. 过程与方法
- 通过实例和练习，培养学生分析问题和解决问题的能力
- 引导学生探索集合之间的关系，培养逻辑思维和抽象思维能力3. 情感态度价值观
- 培养学生对数学的兴趣和自信心
- 培养学生合作学习和团队合作的意识
二、教学重点与难点
1. 教学重点
- 集合的基本概念和符号表示
- 集合之间的并集、交集、差集和补集的概念和运算
- 实际问题中集合之间关系的应用
2. 教学难点
- 集合之间关系的抽象概念理解
- 集合运算符号的运用
三、教学过程
1. 导入新课
- 通过引入一个实际问题，引出集合的概念和集合之间的关系，激发学生的学习兴趣
2. 概念讲解
- 介绍集合的基本概念和符号表示
- 讲解集合之间的并集、交集、差集和补集的概念和运算方法
3. 练习与训练
- 给学生提供一些具体的例子，让学生通过练习来加深对集合之间关系的理解- 组织学生进行小组讨论，共同解决一些实际问题，培养学生的合作学习和团队合作意识
4. 拓展应用
- 引导学生运用集合的概念解决一些实际问题，如排列组合、概率等
四、教学反思
通过本节课的教学，学生对集合的概念和集合之间的关系有了初步的了解和掌握，但在实际问题的应用中还存在一定的困难，需要在后续的教学中加强练习和拓展应用的训练。

同时，要注重培养学生的逻辑思维和抽象思维能力，引导学生主动参与学习，提高学生的学习兴趣和自信心。

1、1、2集合间的基本关系
一、教学目标：.
1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,能判断给定集合间的关系
2.在具体情境中,了解空集的含义,掌握并能使用Venn图表达集合的关系
二、教学重难点：
教学重点:理解集合间包含与相等的含义.
教学难点:理解空集的含义.
三、教学课时：1课时
四、教学过程：
课题引入：实数有相等关系，大小关系，元素与集合之间有属于与不属于关系，
那类比他们的关系，集合之间是否具备类似的关系？
思考：
例1：观察下面三个集合, 找出它们之
间的关系: A＝{1，2，3}，B＝{1，2，7}，C＝{1，2，3，4，5}
子集：一般地，对于两个集合，如果A中任意一个元素都是B的元素，称集合A 是集合B的子集，记作A B.读作“A包含于B”或“B包含A”.这时说集合A 是集
合B的子集.
注意：①区分∈；②也可用.
文氏图：
A
B
思考:A= {x | x是两条边相等的三角形} B= {x | x是等腰三角形}
有A B，B A，则A＝B.
集合相等：若A B，B A，则A＝B.
思考：A＝{1, 2, 7}，B＝{1, 2, 3, 7}，
真子集：如果A B，但存在元素x B，且x∈A，称A是B的真子
集.记作A B(或B A).读作A真包含于B，或B真包含A。

思考：指出B＝{x| x2＋1＝0，x∈R}.的元素
B没有元素.
1 / 2。

集合间的基本关系教案引言：集合是数学中非常基础且重要的概念之一。

在集合论中，我们研究的是元素的集合，而不关心具体的元素是什么。

为了更好地理解集合的基本关系，我们需要掌握包含、相等、交集、并集、差集等概念。

本教案将介绍集合间的基本关系，并通过实例进行说明。

一、包含关系包含关系是指一个集合包含另一个集合的所有元素。

用符号表示为A⊆B，即集合A是集合B的子集或等于集合B。

包含关系可以表示为：如果x是集合A的元素，则x也是集合B的元素。

实例：假设A={1,2,3}，B={1,2,3,4}，则A⊆B。

二、相等关系相等关系是指两个集合拥有相同的元素。

用符号表示为A=B。

实例：假设A={1,2,3}，B={3,2,1}，则A=B。

三、交集关系交集关系是指两个集合中共同拥有的元素构成的集合。

用符号表示为A∩B，表示集合A与集合B的交集。

实例：假设A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∩B={3}。

四、并集关系并集关系是指两个集合中包含的所有元素构成的集合。

用符号表示为A∪B，表示集合A与集合B的并集。

实例：假设A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。

五、差集关系差集关系是指一个集合中除去与另一个集合共有的元素之外的元素构成的集合。

用符号表示为A-B，表示集合A与集合B的差集。

实例：假设A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A-B={1,2}。

六、互斥关系互斥关系是指两个集合没有共同的元素，其交集为空集。

用符号表示为A∩B=∅。

实例：假设A={1,2,3}，B={4,5,6}，则A∩B=∅。

七、包含关系、相等关系与交集关系的关联1. 如果集合A包含集合B，则A∩B=B。

2. 如果集合A与集合B相等，则A∩B=A。

实例：假设A={1,2,3,4}，B={1,2,3}，由于B是A的子集，所以A∩B=B。

八、包含关系、相等关系与并集关系的关联1. 如果集合A包含集合B，则A∪B=A。

集合间的基本关系教案教学目标：1. 了解并理解集合间的基本关系，包括子集、真子集、超集、幂集的概念。

2. 能够判断集合之间的包含关系，并能运用集合间的基本关系解决实际问题。

3. 提高逻辑思维能力和数学表达能力。

教学内容：1. 集合间的基本关系2. 子集、真子集、超集的概念及判断3. 幂集的概念及判断4. 集合间的基本运算5. 实际问题中的应用教学重点：1. 集合间的基本关系的理解2. 子集、真子集、超集、幂集的判断3. 集合间的基本运算的应用教学难点：1. 幂集的概念及判断2. 集合间的基本运算的运用教学准备：1. 教学课件或黑板2. 教学素材（如集合卡片、实例等）教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入集合的概念，复习集合的基本运算（并集、交集、补集）。

2. 提问：我们已经学习了集合的基本运算，集合之间还有哪些基本关系呢？二、子集、真子集、超集（10分钟）1. 介绍子集的概念，讲解子集的定义及判断方法。

2. 举例说明如何判断一个集合是否是另一个集合的子集。

3. 引入真子集的概念，讲解真子集的定义及判断方法。

4. 举例说明如何判断一个集合是否是另一个集合的真子集。

5. 介绍超集的概念，讲解超集的定义及判断方法。

6. 举例说明如何判断一个集合是否是另一个集合的超集。

三、幂集（10分钟）1. 介绍幂集的概念，讲解幂集的定义及判断方法。

2. 举例说明如何求一个集合的幂集。

3. 讲解幂集的性质及运算规律。

四、集合间的基本运算（10分钟）1. 复习集合的基本运算（并集、交集、补集）。

2. 讲解集合间的基本运算的运用，如求集合的并集、交集、补集等。

3. 举例说明如何运用集合间的基本运算解决实际问题。

五、实际问题中的应用（10分钟）1. 给出几个实际问题，让学生运用集合间的基本关系和基本运算解决。

2. 引导学生思考如何将实际问题转化为集合间的基本关系和基本运算问题。

3. 讲解解题思路和方法，并进行解答。

教学反思：本节课通过讲解集合间的基本关系，让学生了解并理解子集、真子集、超集、幂集的概念及判断方法，能够判断集合之间的包含关系，并能运用集合间的基本关系解决实际问题。

集合间的基本关系学习目标 1.理解子集、真子集、空集的概念.2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法.知识点一子集思考如果把“马”和“白马”视为两个集合，则这两个集合中的元素有什么关系？答案所有的白马都是马，马不一定是白马.梳理对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A含于B”(或“B包含A”).子集的有关性质：(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.(3)若A⊆B，B⊆A，则A＝B.知识点二真子集思考在知识点一中，我们知道集合A是它本身的子集，那么如何刻画至少比A少一个元素的A的子集？答案用真子集.梳理如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，称集合A是集合B的真子集，记作：A B(或B A)，读作：A真包含于B(或B真包含A).知识点三空集思考集合{x∈R|x2＜0}中有几个元素？答案0个.梳理定义不含任何元素的集合叫做空集符号用符号表示为∅规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集知识点四Venn思考图中集合A，B，C的关系用符号可表示为__________.答案A⊆B⊆C梳理一般地，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.Venn图可以直观地表达集合间的关系.类型一求集合的子集例1(1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论.解(1)∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}.(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有2n个子集，2n－1个真子集.如∅，有一个子集，0个真子集.反思与感悟为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等.跟踪训练1适合条件{1}⊆A{1,2,3,4,5}的集合A的个数是()A.15B.16C.31D.32答案A解析这样的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个.类型二判断集合间的关系命题角度1概念间的包含关系例2设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为() A.P⊆N⊆M⊆Q B.Q⊆M⊆N⊆PC.P⊆M⊆N⊆QD.Q⊆N⊆M⊆P答案B解析正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，所以选B.反思与感悟一个概念通常就是一个集合，要判断概念间的关系首先得准确理解概念的定义.跟踪训练2我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N、Z、Q、R表示，用符号表示N、Z、Q、R的关系为________.答案N Z Q R命题角度2数集间的包含关系例3设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为()A.A∈BB.B∈AC.A⊆BD.B⊆A答案C解析∵0<2，∴0∈B.又∵1<2，∴1∈B.∴A⊆B.反思与感悟判断集合关系的方法(1)观察法：一一列举观察.(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.(3)数形结合法：利用数轴或Venn 图.跟踪训练3 已知集合A ＝{x |－1<x <4}，B ＝{x |x <5}，则( )A.A ∈BB.A BC.B AD.B ⊆A答案 B解析 由数轴易知A 中元素都属于B ，B 中至少有一个元素如－2∉A ，故有A B .类型三 由集合间的关系求参数(或参数范围)例4 已知集合A ＝{x |x 2－x ＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，且A ⊇B ，求实数a 的值.解 A ＝{x |x 2－x ＝0}＝{0,1}.(1)当a ＝0时，B ＝∅⊆A ，符合题意.(2)当a ≠0时，B ＝{x |ax ＝1}＝{1a}， ∵1a ≠0，要使A ⊇B ，只有1a＝1，即a ＝1. 综上，a ＝0或a ＝1.反思与感悟 集合A 的子集可分三类：∅、A 本身，A 的非空真子集，解题中易忽略∅.跟踪训练4 已知集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |2a －3<x <a －2}，且A ⊇B ，求实数a 的取值范围.解 (1)当2a －3≥a －2，即a ≥1时，B ＝∅⊆A ，符合题意.(2)当a <1时，要使A ⊇B ，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ a <1，2a －3≥1，a －2≤2，这样的实数a 不存在.综上，实数a 的取值范围是{a |a ≥1}.1.下列集合中，结果是空集的是( )A.{x ∈R |x 2－1＝0}B.{x |x ＞6或x ＜1}C.{(x ，y )|x 2＋y 2＝0}D.{x |x ＞6且x ＜1} 答案 D2.集合P ＝{x |x 2－1＝0}，T ＝{－1,0,1}，则P 与T 的关系为( )A.P TB.P ∈TC.P ＝TD.P ⊈T答案 A3.下列关系错误的是( )A.∅⊆∅B.A⊆AC.∅⊆AD.∅∈A答案D4.下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是()答案B5.若A＝{x|x>a}，B＝{x|x>6}，且A⊆B，则实数a可以是()A.3B.4C.5D.6答案D1.对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法.(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素.(3)在真子集的定义中，A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但xD∈/A.2.集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集.集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集.写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉.3.由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法(1)注意点：①不能忽视集合为∅的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论.(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.课时作业一、选择题1.在下列关系中错误的个数是()①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}⊆{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}；⑤{0,1}⊆{(0,1)}；A.1B.2C.3D.4答案 B解析 ①正确；因为集合{1}是集合{0,1,2}的真子集，而不能用属于来表示，所以②错误；③正确，因为任何集合都是它本身的子集；④正确，因为集合元素具有无序性；因为集合{0,1}表示数集，它有两个元素，而集合{(0,1)}表示点集，它只有一个元素，所以⑤错误，所以错误的个数是2.故选B.2.已知集合A ＝{x |x ＝19(2k ＋1)，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝49k ±19，k ∈Z }，则集合A ，B 之间的关系为( ) A.A BB.B AC.A ＝BD.A ≠B答案 C解析 A ＝{x |x ＝2k ＋19，k ∈Z } ＝{…，－59，－39，－19，19，39，59，…}， B ＝{x |x ＝4k ±19，k ∈Z } ＝{…，－59，－39，－19，19，39，59，…}，故A ＝B . 3.已知集合U 、S 、T 、F 的关系如图所示，则下列关系正确的是( )①S ∈U ；②F ⊆T ；③S ⊆T ；④S ⊆F ；⑤S ∈F ；⑥F ⊆U .A.①③B.②③C.③④D.③⑥ 答案 D解析 元素与集合之间的关系才用∈，故①⑤错；子集的区域要被全部涵盖，故②④错.4.已知集合A ＝{x |x 是三角形}，B ＝{x |x 是等腰三角形}，C ＝{x |x 是等腰直角三角形}，D ＝{x |x 是等边三角形}，则( )A.A ⊆BB.C ⊆BC.D ⊆CD.A ⊆D答案 B解析 ∵等腰三角形包括等腰直角三角形，∴C ⊆B .5.设集合A ＝{－1,1}，集合B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}，若B ≠∅，B ⊆A ，则(a ，b )不能是( )A.(－1,1)B.(－1,0)C.(0，－1)D.(1,1)答案 B 解析 当a ＝－1，b ＝1时，B ＝{x |x 2＋2x ＋1＝0}＝{－1}，符合；当a ＝b ＝1时，B ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}，符合；当a ＝0，b ＝－1时，B ＝{x |x 2－1＝0}＝{－1,1}，符合；当a ＝－1，b ＝0时，B ＝{x |x 2＋2x ＝0}＝{0，－2}，不符合.6.设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ⊆B }，则A 与B 的关系是( )A.A ⊆BB.B ⊆AC.B ∈AD.A ＝B答案 C解析 ∵A ＝{x |x ⊆B }，∴A ＝{∅，{1}，{2}，{1,2}}，∴B ∈A .二、填空题7.若M ⊆P ，M ⊆Q ，P ＝{0,1,2}，Q ＝{0,2,4}，则满足上述条件的集合M 的个数是________.答案 4解析 P ，Q 中的公共元素组成集合C ＝{0,2}，M ⊆C ，这样的集合M 共有22＝4个.8.已知{0,1}A ⊆{－1,0,1}，则集合A ＝________.答案 {－1,0,1}解析 由题意知集合A 中一定含有元素0,1，并且A 中至少含三个元素，又因为A ⊆{－1,0,1}，所以A ＝{－1,0,1}.9.若集合A ＝{x |2≤x ≤3}，集合B ＝{x |ax －2＝0，a ∈Z }，且B ⊆A ，则实数a ＝________.答案 0或1解析 当B ＝∅时，a ＝0，满足B ⊆A ；当B ≠∅时，B ＝{2a }，又B ⊆A ，∴2≤2a≤3， 即23≤a ≤1，又a ∈Z ， ∴a ＝1.综上知a 的值为0或1.10.设集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}和P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}，那么M 与P 的关系为________.答案 M ＝P解析 ∵xy >0，∴x ，y 同号，又x ＋y <0，∴x <0，y <0，即集合M 表示第三象限内的点，而集合P 表示第三象限内的点，故M ＝P .三、解答题11.已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，试列举满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C . 解 先用列举法表示集合A ，B .由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}.由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}.12.已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}的子集只有两个，求实数a 的值.解 ∵集合A 的子集只有两个，∴A 中只有一个元素.当a ＝0时，x ＝23. 当a ≠0时，Δ＝(－3)2－4a ×2＝0，∴a ＝98. 综上，a 的值为0或98. 13.已知集合A ＝{1,3，－x 3}，B ＝{x ＋2,1}，是否存在实数x ，使得B 是A 的子集？若存在，求出集合A ，B ；若不存在，请说明理由.解 因为B 是A 的子集，所以B 中元素必是A 中的元素，若x ＋2＝3，则x ＝1，符合题意.若x ＋2＝－x 3，则x 3＋x ＋2＝0，所以(x ＋1)(x 2－x ＋2)＝0.因为x 2－x ＋2≠0，所以x ＋1＝0，所以x ＝－1，此时x ＋2＝1，集合B 中的元素不满足互异性.综上所述，存在实数x ＝1，使得B 是A 的子集，此时A ＝{1,3，－1}，B ＝{1,3}.四、探究与拓展14.已知集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}和P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}，那么( )A.P MB.M PC.M ＝PD.M ⃘P 答案 C解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y <0，xy >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x <0，y <0.∴M ＝P . 15.已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若A ⊆B ，求实数m 的取值集合.解 ∵A ⊆B ，∴当A ＝∅时，即方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0无实根，故Δ＝16m 2－8(m ＋3)<0，解得－1<m <32. 当A ≠∅时，方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的根为负，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥32或m ≤－1，4m <0，2m ＋6>0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥32或m ≤－1，m <0，m >－3⇒－3<m ≤－1. 综上，实数m 的取值集合是{m |－3<m <32}.。