《1.2 集合间的基本关系》获奖说课教案教学设计

《1.2集合间的基本关系》教学案教学目的：(1)了解集合之间的包含、相等关系的含义；(2)理解子集、真子集的概念；(3)能利用Venn 图表达集合间的关系；(4)了解与空集的含义.教学重点：子集与空集的概念；用V enn 图表达集合间的关系.教学难点：弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别；教学过程：一、 引入课题1、 复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：(1)0 N ；(2)2 Q ；(3)-1.5 R2、 类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？(宣布课题)二、 新课教学(一) 集合与集合之间的“包含”关系；A ={1，2，3}，B ={1，2，3， 4}集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集(subset).记作：)(A B B A ⊇⊆或读作：A 包含于(is contained in)B ，或B 包含(contains)A当集合A 不包含于集合B 时，记作AB用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系)(A B B A ⊇⊆或(二) 集合与集合之间的 “相等”关系；⊆A B B A ⊆⊆且，则B A =中的元素是一样的，因此B A =即⎩⎨⎧⊆⊆⇔=A B B A B A 练习结论：任何一个集合是它本身的子集(三) 真子集的概念若集合A B ⊆，存在元素A x B x ∉∈且，则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset). 记作：A B(或B A)读作：A 真包含于B (或B 真包含A )举例(由学生举例，共同辨析)(四) 空集的概念(实例引入空集概念)不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作：∅规定： 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.(五) 结论：○1A A ⊆ ○2B A ⊆，且C B ⊆，则C A ⊆(六) 例题(1)写出集合{a ，b }的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.(2)化简集合A ={x |x -3>2}，B ={x |x ≥5}，并表示A 、B 的关系；(七) 课堂练习(八) 归纳小结，强化思想两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法；(九)作业布置 1、书面作业：习题1.1 第5题 2、 提高作业：○1 已知集合}5|{<<=x a x A ，x x B |{=≥}2，且满足B A ⊆，求实数a 的取值范围.○2 设集合}{}{}{矩形平行四边形四边形===，C ，B A ，}{正方形=D ，试用Venn 图表示它们之间的关系.。

1.2 集合间的基本关系教学分析第一节通过研究集合中元素的特点研究了元素与集合之间的关系及集合的表示方法，而本节重点通过研究元素得到两个集合之间的关系，尤其学生学完两个集合之间的关系后，一定让学生明确元素与集合、集合与集合之间的区别.教学目标与核心素养课程目标1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．2. 理解子集.真子集的概念．3. 能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.数学学科素养1.数学抽象：子集和空集含义的理解；2.逻辑推理：子集、真子集、空集之间的联系与区别；3.数学运算：由集合间的关系求参数的范围，常见包含一元二次方程及其不等式和不等式组；4.数据分析：通过集合关系列不等式组，此过程中重点关注端点是否含“=”及 问题；5.数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类.教学重难点重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念．难点：难点是属于关系与包含关系的区别．课前准备教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练.教学工具：多媒体.教学过程一、问题导入：实数有相等、大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断.而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本，思考并完成以下问题1. 集合与集合之间有什么关系？怎样表示集合间的这些关系？2. 集合的子集指什么？真子集又是什么？如何用符号表示？3. 空集是什么样的集合？空集和其他集合间具有什么关系？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题.三、新知探究（一）知识整理1．集合与集合的关系（1）一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集.记作：()A B B A ⊆⊇或读作：A 包含于B (或B 包含A ).图示：（2）如果两个集合所含的元素完全相同（A B B A ⊆⊆且），那么我们称这两个集合相等.记作：A =B读作：A 等于B.图示：2. 真子集 若集合A B ⊆,存在元素A x B x ∉∈且，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B （或B A ）读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）3．空集不含有任何元素的集合称为空集,记作：∅.规定：空集是任何集合的子集.（二）知识扩展1. 能否说任何一集合是它本身的子集，即A A ⊆?2. 集合A 是集合B 的真子集与集合A 是集合B 的子集之间有什么区别?3. 空集是任何集合的子集吗?空集是任何集合的真子集吗?4. 集合的子集和真子集个数与集合元素有什么关系？结合实例探究.5. 0，{0}与∅三者之间有什么关系?6. {}a A ⊆与属于关系a A ∈有什么区别?试结合实例做出解释.7. 对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，B ⊆C ，那么集合A 与C 有什么关系?要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题，教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程.结论：（1）.A A ⊆（类比a a ≤）（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.（3）若,,A B B C ⊆⊆则C A ⊆（类比b a ≤，c b ≤则c a ≤）（4）一般地，一个集合元素若为n 个，则其子集数为2n 个，其真子集数为2n -1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0.四、典例分析、举一反三题型一 写出给定集合的子集例1 (1)写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;(2)填写下表,并回答问题:由此猜想:含n 个元素的集合{a 1,a 2,…,a n }的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢?【答案】见解析【解析】分析:(1)利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有一个元素、含有两个元素、含有三个元素这四种情况分别写出子集.(2)由特殊到一般,归纳得出.解:(1)不含任何元素的子集为⌀;含有一个元素的子集为{0},{1},{2};含有两个元素的子集为{0,1},{0,2},{1,2};含有三个元素的子集为{0,1,2}.故集合{0,1,2}的所有子集为⌀,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.其中除去集合{0,1,2},剩下的都是{0,1,2}的真子集.(2)由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,a n }的所有子集的个数是2n,真子集的个数是2n -1,非空真子集的个数是2n -2.解题技巧：（分类讨论是写出所有子集的方法）1.分类讨论是写出所有子集的有效方法,一般按集合中元素个数的多少来划分,遵循由少到多的原则,做到不重不漏.2.若集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集,有(2n -1)个真子集,有(2n -1)个非空子集,有(2n -2)个非空真子集,该结论可在选择题或填空题中直接使用.跟踪训练一1.若{1,2,3}⊆A⊆{1,2,3,4,5},则满足条件的集合A的个数为()A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】集合{1,2,3}是集合A的真子集,同时集合A又是集合{1,2,3,4,5}的子集,所以集合A 只能取集合{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}.题型二韦恩图及其应用例2下列能正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}的关系的维恩图是()【答案】B【解析】∵N={x| x2+x=0}={x|x=0或x=-1}={0,-1},∴N M,故选B.解题技巧：(Venn图应用)Venn是集合的又一种表示方法,使用方便,表达直观,可迅速帮助我们分析问题、解决问题,但它不能作为严密的数学工具使用.跟踪训练二2.设A={四边形},B={梯形},C={平行四边形},D={菱形},E={正方形},则下列关系正确的是()A.E D C AB.D E C AC.D B AD.E D C B A【答案】A【解析】集合A,B,C,D,E之间的关系可用Venn图表示,结合下图可知,应选A.题型三由集合间的关系求参数的范围例3 已知集合A={x|-5<x<2},B={x|2a-3<x<a-2}.(1)若a=-1,试判断集合A,B之间是否存在子集关系;(2)若A⊇B,求实数a的取值范围.【答案】见解析【解析】分析:(1)令a=-1,写出集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判断其子集关系;(2)根据集合B是否为空集进行分类讨论;然后把两集合在数轴上标出,根据子集关系确定端点值之间的大小关系,进而列出参数a所满足的条件.解:(1)若a=-1,则B={x|-5<x<-3}.如图在数轴上标出集合A,B.由图可知,B A.(2)由已知A⊇B.①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立.②当B≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1.由已知A⊇B,如图在数轴上表示出两个集合,由图可得解得-1≤a≤4.又因为a<1,所以实数a的取值范围为-1≤a<1变式1．[变条件]【例3】(2)中,是否存在实数a,使得A⊆B?若存在,求出实数a的取值范围; 若不存在,试说明理由.【答案】见解析【解析】因为A={x|-5<x<2},所以若A⊆B,则B一定不是空集.变式2．[变条件]若集合A={x|x<-5或x>2},B={x|2a-3<x<a-2},且A⊇B,求实数a的取值范围. 【答案】见解析【解析】①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立.②当B≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1.由已知A⊇B,如图在数轴上表示出两个集合,由图可知2a-3≥2或a-2≤-5,解得又因为a<1,所以a≤-3.综上,实数a的取值范围为a≥1或a≤-3.解题技巧：（根据集合之间关系，求参数的值或范围）1.求解此类问题通常是借助于数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,同时还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表示.2.涉及“A⊆B”,且B≠⌀”的问题,一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论,其中A=⌀的情况容易被忽略,应引起足够的重视.跟踪训练三3.若集合A ={x |x 2+x −6=0},B ={x |x 2+x +a =0},且B ⊆A ,求实数a 的取值范围.【答案】见解析【解析】A ={-3,2}.对于x 2+x +a =0,当Δ=1-4a <0,即a >14时,B =⌀,B ⊆A 成立;当Δ=1-4a =0,即a =14时,B ={-12},B ⊆A 不成立;当Δ=1-4a >0,即a <14时,若B ⊆A 成立,则B ={-3,2},所以a =-3×2=-6. 综上可知,a 的取值范围为a >14或a =-6.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计教学反思在本节的教学过程中，空集和端点问题是学生最不容易掌握的地方，需在此细嚼慢咽.若理解能力比较弱的同学可让其采取“里实外空，‘==’取不到”的方法做题.。

1.1.2集合的基本关系一、[教学目标]1、知识与技能理解集合之间包含与相等的含义，掌握子集、真子集、空集的定义，能够识别给定集合的子集。

同时培养学生类比、分析、归纳的能力，能使用Venn图表达集合的关系。

2、过程与方法通过类比元素与集合的从属关系，实数相等与不相等的关系，探究集合之间的包含与相等关系；初步经历使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力。

3、情感态度与价值观培养学生积极参与、合作交流的主体意识，在知识探索和发现的过程中，激发学生学习数学的兴趣。

二、[教学重点]理解集合之间包含与相等的含义，掌握子集、真子集的概念，以及识别给定集合的子集，同时学会用Venn图表示集合间的关系。

三、[教学难点]识别给定集合的子集,了解子集和真子集之间的区别和联系。

四、[教学方法]1、教法根据本节课的教学目标以及学生的实际情况，为了更有效地突出重点、突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，采用以启发式引导法为主，问答式教学法、反馈式评价法为辅。

教学中，教师精心设计一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情境，诱导学生思考，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养思维能力。

2、学法新课程标准要求教师转换角色，不仅关注教授学生的具体知识，更应关注教授学生学习的策略。

在教学活动中要以学生为主体，充分发挥学生的在学习活动中的作用。

因此本节课学生学习的主要方式是：自主探究法，观察发现法、归纳总结法。

让学生在老师的引导下进行“观察—归纳—检验—应用”的学习过程，启发学生学习思维，最终掌握知识。

五、[教学过程]1、导入新课采用类比思想，元素与集合间有“属于”或“不属于”的关系，实数间有“相等”或“不相等”的关系，引导学生发现问题：集合与集合间有什么样的关系呢？学生观察例子，探究集合A与集合B之间的关系：A={x|x我们班的女同学}，B={x|x我们班的全体同学}2、讲授新课1）集合的包含关系和子集讲解通过讨论得出上述集合A与集合B有包含关系，那么你可以概括包含关系和子集的定义吗？教师提醒学生从集合元素的角度出发，根据集合元素的特征来进行归纳概括。

1.2集合间的基本关系【教学目标】1．理解集合之间包含和相等的含义，并会用符号和Venn图表示．(直观想象)2．会识别给定集合的真子集，会判断给定集合间的关系，并会用符号和Venn图表示．(直观想象)3．在具体情境中理解空集的含义．(数学抽象)【学法解读】1．在本节学习中，学生要以义务教育阶段学过的数学内容为载体，依据老师创设合适的问题情境，理解子集、真子集、集合相等、空集等概念．2．要注意集合之间关系的几种表述方法：自然语言、符合语言、图形语言，应理解并掌握以上方法的转化及应用．必备知识·探新知基础知识知识点1 子集、真子集的概念1．子集的概念定义一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集记法与读法记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)图示或结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A．(2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C．2．真子集的概念定义如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集记法记作A B(或B A)图示结论(1)A B，B C，则A C．(2)A ⊆B且A≠B，则A B．思考1：(1)任意两个集合之间是否有包含关系？(2)符合“∈”与“⊆”有什么区别？提示：(1)不一定，如集合A＝{1,3}，B＝{2,3}，这两个集合就没有包含关系．(2)①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1∉N．②“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1,2,3}⊆{3,2,1}．③“∈”的左边是元素，右边是集合，则“⊆”的两边均为集合．知识点2 集合相等自然语言如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素，都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B．符号语言A⊆B且B⊆A⇔A ＝B图形语言思考2：怎样证明或判断两个集合相等？提示：(1)若A⊆B且B⊆A，则A＝B，这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A＝B，只需证A⊆B与B⊆A均成立．(2)判断两个集合相等，可把握两个原则：①设两集合A，B均为有限集，若两集合的元素个数相同，对应元素分别相同，则两集合相等，即A＝B；②设两集合A，B均是无限集，只需看两集合的代表元素满足的条件是否一致，若一致，则两集合相等，即A＝B．知识点3 空集定义不含任何元素的集合叫做空集记法∅规定空集是任何集合的子集，即∅⊆A特性(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅(2)A≠∅，则∅A思考3：∅，0，{0}与{∅}之间有怎样的关系？提示：∅与0∅与{0}∅与{∅}相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点 ∅是集合；0是实数∅不含任何元素；{0}含一个元素0∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是∅ 关系0∉∅∅{0}∅{∅}或∅∈{∅}知识点4 Venn 图在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图，这种表示集合的方法叫做图示法．注意：1．用Venn 图可以直观、形象地表示出集合之间的关系．⎭⎪⎬⎪⎫A ⊆B A ≠B ⇒A B⎭⎪⎬⎪⎫B ⊆A B ≠A ⇒B A⎭⎬⎫A ⊆B B ⊆A ⇒A ＝BA B B A2．Venn 图适用于元素个数较少的集合． 思考4：Venn 图的优点是什么？ 提示：形象直观．基础自测1．已知集合M ＝{1}，N ＝{1,2,3}，则有( ) A ．M ＜N B ．M ∈N C ．N ⊆MD ．M N【答案】D【解析】∵1∈{1,2,3}，∴{1}{1,2,3}．故选D ． 2．下列四个集合中，是空集的为( ) A ．{0}B ．{x |x ＞8，且x ＜5}C ．{x ∈N |x 2－1＝0}D ．{x |x ＞4}【答案】B【解析】x＞8，且x＜5的数x不存在，∴选项B中的集合不含有任何元素，故选B．3．用适当的符号填空：(1)a____{a，b，c}；(2)0____{x|x2＝0}；(3)∅____{x∈R|x2＋1＝0}；(4){0,1}____N；(5){0}____{x|x2＝x}；(6){2,1}____{x|x2－3x＋2＝0}．【答案】(1)∈(2)∈(3)＝(4)(5)(6)＝4．若A＝{1，a,0}，B＝{－1，b,1}，且A＝B，则a＝____，b＝____．【答案】－10【解析】利用集合相等，元素相同可得a＝－1，b＝0．5．判断下列两个集合之间的关系：(1)A＝{x|x＜0}，B＝{x|x＜1}；(2)A＝{x|x＝3k，k∈N}，B＝{x|x＝6z，z∈N}；(3)A＝{x∈N＋|x是4与10的公倍数}，B＝{x|x＝20m，m∈N＋}．【解】(1)A B(2)A B(3)A＝B关键能力·攻重难题型探究题型一集合间关系的判断例1(1)设集合A＝{x|x＝k4＋12，k∈Z}，B＝{x|x＝k2＋14，k∈Z}，则集合A与B的关系是()A．A⊆B B．B⊆AC．A＝B D．A与B关系不确定(2)在下列各组中的集合M与N中，使M＝N的是() A．M＝{(1，－3)}，N＝{(－3,1)}B．M＝∅，N＝{0}C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R} D．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{t|t＝(y－1)2＋1，y∈R}(3)判断下列两个集合之间的关系：①P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝4n，n∈Z}．②P＝{x|x－3＞0}，Q＝{x|2x－5≥0}．③P＝{x|x2－x＝0}，Q＝{x|x＝1＋(－1)n2}．【答案】(1)B (2)D (3)见解析【解析】(1)对集合B ，x ＝k 2＋14＝14(2k ＋1)，因为k 为整数，所以集合B 表示的数是14的奇数倍；对集合A ，x ＝k 4＋12＝14(k ＋2)，因为k ＋2是整数，所以集合A 表示的数是14的整数倍．因此，B 中元素必定是A 中的元素，即B ⊆A ，故选B ． (2)在A 中，M 和N 表示不同的点； 在B 中，M 是空集，N 是单元素集； 在C 中，M 是数集，N 是点集；在D 中，M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }＝{y |y ≥1}，N ＝{t |t ＝(y －1)2＋1，y ∈R }＝{t |t ≥1}．因此，M ＝N ．故选D ． (3)①因为P 是偶数集，Q 是4的倍数集，所以Q P ；②P ＝{x |x －3＞0}＝{x |x ＞3}，Q ＝{x |2x －5≥0}＝{x |x ≥52}．所以P Q ．③P ＝{x |x 2－x ＝0}＝{0,1}．在Q 中，当n 为奇数时，x ＝1＋(－1)n2＝0，当n 为偶数时，x ＝1＋(－1)n2＝1，所以Q ＝{0,1}，所以P ＝Q ．[归纳提升] (1)集合间基本关系判定的两种方法和一个关键(2)证明集合相等的两种方法①用两个集合相等的定义，证明两个集合A ，B 中的元素全部相同，即可证明A ＝B ； ②证明A ⊆B ，同时B ⊆A ，推出A ＝B ．【对点练习】❶下列各式中，正确的个数是( )①∅＝{0}；②∅⊆{0}；③∅∈{0}；④0＝{0}；⑤0∈{0}；⑥{1}∈{1,2,3}；⑦{1,2}⊆{1,2,3}；⑧{a ，b }⊆{b ，a }． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】∅表示空集，没有元素，{0}有一个元素，则∅≠{0}，故①错误；∵空集是任何集合的子集，故②正确；∅和{0}都表示集合，故③错误；0表示元素，{0}表示集合，故④错误；0∈{0}，故⑤正确；{1}，{1,2,3}都表示集合，故⑥错误；{1,2}中的元素都是{1,2,3}中的元素，故⑦正确；由于集合的元素具有无序性，故{a，b}⊆{b，a}，故⑧正确．综上，正确的个数是4个．题型二确定集合的子集、真子集例2设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．【解】由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)·(x＋4)2＝0，则方程的根为x＝－4或x＝－1或x＝4．故集合A＝{－4，－1,4}，由0个元素构成的子集为：∅．由1个元素构成的子集为：{－4}，{－1}，{4}．由2个元素构成的子集为：{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．由3个元素构成的子集为：{－4，－1,4}．因此集合A的子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}．真子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．[归纳提升](1)若集合A中有n(n∈N＋)个元素，则集合A有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－1)个非空子集，有(2n－2)个非空真子集．(2)写出一个集合的所有子集时，首先要注意两个特殊的子集：∅和自身．其次，依次按含有1个元素的子集，含有2个元素的子集，含有3个元素的子集，……，一一写出，保证不重不漏．【对点练习】❷满足{a，b}⊆A{a，b，c，d，e}的集合A的个数是()A．2B．6C．7 D．8【答案】C【解析】由题意知，集合A可以为{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}．题型三由集合间的关系求参数范围问题例3已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．(1)若A⊆B，求实数m的取值范围；(2)若B A，求实数m的取值范围．【解】(1)当A ⊆B 时，如图所示，此时B ≠∅．∴⎩⎪⎨⎪⎧2m －1＞m ＋1，m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，m ≤－3，m ≥3，∴m 不存在，即不存在实数m 使A ⊆B ． (2)①当B ≠∅时，若B A ，如图所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1＜5，2m －1≥m ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＞－2，2m －1≤5，2m －1≥m ＋1，解这两个不等式组，得2≤m ≤3．②当B ＝∅时，满足B A ，由m ＋1＞2m －1，得m ＜2． 综上可得，m 的取值范围是m ≤3．[归纳提升] (1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示． 此类问题要注意对空集的讨论．【对点练习】❸ (1)已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}，若B ⊆A ，则实数m ＝____；(2)已知集合A ＝{x |x ＜－1，或x ＞4}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)1(2)见解析【解析】(1)因为B ⊆A ，所以m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0，所以m ＝1． 当m ＝1时，A ＝{－1,3,1}，B ＝{3,1}，满足B ⊆A ，故m ＝1． (2)当B ＝∅时，只需2a ＞a ＋3，即a ＞3； 当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3≥2a a ＋3＜－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a2a ＞4，解得a ＜－4或2＜a ≤3．综上可得，实数a 的取值范围为a ＜－4或a ＞2．误区警示忽视“空集”的存在例4 已知集合A ＝{－1,1}，B ＝{x |ax ＋1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的所有可能取值的集合为( D ) A ．{－1}B ．{1}C ．{－1,1}D ．{－1,0,1}[错解] 因为B ⊆A ，而B ＝{x |x ＝－1a }，因此有－1a∈A ，所以a ＝±1，故选C ．[错因分析] 空集是一个特殊而重要的集合，它不含任何元素，记为∅．在解隐含有空集参与的集合问题时，极易忽视空集的特殊性而导致错解．本例求解过程中有两处错误，一是方程ax ＝－1的解不能写成x ＝－1a ，二是忽视了B ⊆A 时，B 可以为空集．事实上a ＝0时，方程无解．[正解] 因为B ⊆A ，所以当B ≠∅，即a ≠0时，B ＝{x |x ＝－1a }，因此有－1a ∈A ，所以a ＝±1；当B ＝∅，即a ＝0时满足条件．综上可得实数a 的所有可能取值的集合是{－1,0,1}．故选D ．[方法点拨] 已知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素之间的关系，需关注子集是否为空集．一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时需注意集合中元素的互异性；当集合为连续型无限集时，往往借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分类讨论、数形结合等思想方法，尤其需注意端点值能否取到．学科素养分类讨论思想的应用分类讨论，通俗地讲，就是“化整为零，各个击破”．分类讨论要弄清楚是依据哪个参数进行分类的，采用的标准是什么．分类讨论的原则是：(1)不重不漏；(2)一次分类只能按所确定的同一个标准进行．例5 若A ＝{|a |，a 2}，B ＝{0,2,4}，且A ⊆B ，则实数a 的所有值为____． 【答案】2，－2【解析】∵A ＝{|a |，a 2}，B ＝{0,2,4}，且A ⊆B ， ∴由元素的互异性可知|a |≠a 2，∴a ≠0，∴|a |≠0．①当|a |＝2时，a ＝±2，a 2＝4，此时A ＝{2,4}，符合题意； ②当|a |＝4时，a ＝±4，a 2＝16，此时A ＝{4,16}，不符合题意． ∴a 的值为2或－2．[归纳提升] A 是B 的子集，则A 中元素都是B 中的元素，可以让A 中元素与B 中元素对应相等，但要注意检验，排除与集合互异性或与已知相矛盾的情形．课堂检测·固双基1．已知集合M ＝{菱形}，N ＝{正方形}，则有( ) A ．M ⊆N B ．M ∈N C ．N ⊆MD ．M ＝N【答案】C【解析】∵M ＝{菱形}，N ＝{正方形}，∴集合N 的元素一定是集合M 的元素，而集合M 的元素不一定是集合N 的元素，∴N ⊆M ． 2．下列四个集合中是空集的是( ) A ．{∅}B ．{x ∈R |x 2＋1＝0}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |x 2＋2x ＋1＝0}【答案】B【解析】方程x 2＋1＝0无实数解，∴集合{x ∈R |x 2＋1＝0}为空集，故选B ． 3．集合A ＝{x |0≤x ＜3且x ∈Z }的真子集个数是( ) A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】A ＝{x |0≤x ＜3且x ∈Z }＝{0,1,2}，∴集合A 的真子集个数为7，故选C ． 4．下列正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的Venn 图是________．【答案】②【解析】由N ＝{－1,0}，知N M ．5．设A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 组成的集合C ＝____． 【答案】{0，13，15}【解析】∵A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，∴A ＝{3,5}．又∵B ＝{x |ax －1＝0}，∴当B ＝∅时，a ＝0，显然B ⊆A ； 当B ≠∅时，B ＝{1a }，由于B ⊆A ，∴1a ＝3或5，∴a ＝13或15．故实数a 组成的集合C ＝{0，13，15}．。

《集合间的基本关系》教案教材分析类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系，了解空集的含义．本节内容是在学习了集合的概念、元素与集合的从属关系以及集合的表示方法的基础上，进一步学习集合与集合之间的关系，同时也为下一节学习集合的基本运算打好基础．因此本节内容起着承上启下的重要作用．教学目标【知识与能力目标】1．了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；2．理解子集、真子集的概念；3．能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用．【过程与方法目标】让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义．【情感态度价值观目标】感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义．教学重难点【教学重点】集合间的包含与相等关系，子集与真子集的概念．【教学难点】属于关系与包含关系的区别．课前准备学生通过预习，观察、类比、思考、交流、讨论，发现集合间的基本关系．教学过程（一）创设情景，揭示课题复习回顾：1．集合有哪两种表示方法？2．元素与集合有哪几种关系？问题提出：集合与集合之间又存在哪些关系？（二）研探新知问题1：实数有相等、大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？让学生自由发言，教师不要急于做出判断．而是继续引导学生；欲知谁正确，让我们一起来观察、研探．投影问题2：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？（1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==；（2）设A 为国兴中学高一（3）班男生的全体组成的集合，B 为这个班学生的全体组成的集合；（3）设{|},{|};C x x D x x ==是两条边相等的三角形是等腰三角形（4）{2,4,6},{6,4,2}E F ==．组织学生充分讨论、交流，使学生发现两个集合所含元素范围存在各种关系，从而类比得出两个集合之间的关系：①一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集．记作：()A B B A ⊆⊇或读作：A 含于B （或B 包含A ）．②如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等．教师引导学生类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处，强化学生对符号所表示意义的理解．并指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图．如图1和图2分别是表示问题2中实例1和实例3的Venn 图．图1 图2投影问题3：与实数中的结论“若,,a b b a a b ≥≥=且则”相类比，在集合中，你能得出什么结论教师引导学生通过类比，思考得出结论： 若,,A B B A A B ⊆⊆=且则．问题4：请同学们举出几个具有包含关系、相等关系的集合实例，并用Venn 图表示． 学生主动发言，教师给予评价．（三）学生自主学习，阅读理解然后教师引导学生阅读教材的相关内容，并思考回答下例问题：（1）集合A 是集合B 的真子集的含义是什么?什么叫空集?（2）集合A 是集合B 的真子集与集合A 是集合B 的子集之间有什么区别?（3）0，{0}与∅三者之间有什么关系?（4）包含关系{}a A ⊆与属于关系a A ∈之间有什么区别?试结合实例作出解释． （5）空集是任何集合的子集吗?空集是任何集合的真子集吗?（6）能否说任何一人集合是它本身的子集，即A A ⊆?（7）对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，B ⊆C ，那么集合A 与C 有什么关系?教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程，然后让学生发表对上述问题看法．（四）巩固深化，发展思维1．学生在教师的引导启发下完成下列两道例题：例1．某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格．若用A 表示合格产品，B 表示质量合格的产品的集合，C 表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些成立？,,,A B B A A C C A ⊆⊆⊆⊆试用Venn 图表示这三个集合的关系．例2．写出集合{0，1，2）的所有子集，并指出哪些是它的真子集．2．学生做教材习题，教师及时检查反馈．强调能确定是真子集关系的最好写真子集，而不写子集．（五）归纳整理，整体认识1． 请学生回顾本节课所学过的知识内容有建些，所涉及到的主要数学思想方法又那些． 2．在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出．。

1.2集合的基本关系一等奖创新教案1.1集合1.1.2集合的基本关系（人教B版）一、教学目标1. 了解集合之间的基本关系．2. 理解子集.真子集的概念．3. 能使用图表达集合间的关系，培养直观逻辑思维。

二、重难点重点：集合间的基本关系．难点：属于关系与包含关系的区别．三、教学过程1、问题导入：问题1：如果一个班级中，所有同学组成的集合记为S，而所有女同学组成的集合记为F，你觉得集合S和F之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？问题考2：给定集合A={1，3}，B={1，3，5，6}，容易看出，集合A的任意一个元素都是集合B的元素.二、知识讲解（一）知识整理概念一子集（1）一般地，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A称为集合B的子集.记作：读作：A包含于B(或B包含A).（2）空集：不含有任何元素的集合称为空集，记作：.任意集合A都是它自身的子集，即AA.空集是任意一个集合A的子集，即A.如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等.记作：读作：A等于B.概念二真子集1、根据子集的定义，让学生用类比的思维写出真子集的定义。

2、接下来由教师给出维恩图（Venn图）的定义，并且用韦恩图分别表示子集、真子集。

子集：集合相等：真子集：问题三集合的相等与子集的关系1.首先让同学们思考以下问题：已知S={x|（x+1）（x+2）=0}，T={-1，-2}，这两个集合的元素的关系，即ST吗？TS吗？2.接下来同学们分小组讨论，并且总结出集合相等的定义与子集的关系。

定义：一般地，由集合相等以及子集的定义可知：（1）如果AB且BA，则A=B；（2）如果A=B，则AB且BA.四、例题解析例1例写出集合A={6，7，8}的所有子集和真子集.解：集合A的所有子集是__ ，{6），{7}，{8}，{6，7}，{6，8}，{7，8}，{6，7，8}.在上述子集中，除去集合A本身，即{6，7，8}，剩下的都是A 的。

《1.1.2集合间的基本关系》教案
一、教学目标
1．知识与技能
（1）理解集合的包含和相等的关系.
（2）了解使用Venn图表示集合及其关系.
（3）掌握包含和相等的有关术语、符号，并会使用它们表达集合之间的关系.
2．过程与方法
（1）通过类比两个实数之间的大小关系，探究两个集合之间的关系.
（2）通过实例分析，获知两个集合间的包含与相等关系，然后给出定义.
（3）从自然语言，符号语言，图形语言三个方面理解包含关系及相关的概念.
3．情感、态度与价值观
应用类比思想，在探究两个集合的包含和相等关系的过程中，培养辨证思想，提高用数学的思维方式去认识世界，尝试解决问题的能力.
二、教学重点与难点
重点：子集的概念；
难点：元素与子集，即属于与包含之间的区别.
三、教学过程
.。

1.1.2 会合间的基本关系教课方案（师）一、教课目的1．知识与技术(1) 认识会合之间包括与相等的含义，能辨别给定会合的子集.(2)理解子集 . 真子集的观点 .(3) 能使用venn图表达会合间的关系，领会直观图示对理解抽象观点的作用.2.过程与方法让学生经过察看身旁的实例，发现会合间的基本关系，体验其现实意义.3.感情、态度与价值观(1)建立数形联合的思想． (2) 领会类比对发现新结论的作用 .二、教课要点. 难点要点：会合间的包括与相等关系，子集与其子集的观点.难点：难点是属于关系与包括关系的差别．三、学法让学生经过察看. 类比 . 思虑 . 沟通 . 议论，发现会合间的基本关系.四、教课过程：（一）复习回首：（1）元素与会合之间的关系（2）会合的三性：确立性，互异性，无序性（3）会合的常用表示方法：列举法，描绘法（4）常有的数集表示( 二 ) 创建情形，新课引入：问题 l ：实数有相等 . 大小关系，如 5=5， 5＜ 7， 5＞ 3 等等，类比实数之间的关系，你会想到会合之间有什么关系呢？让学生自由讲话，教师不要急于做出判断。

而是持续指引学生；欲知谁正确，让我们一同来察看 . 研探 .( 三 ) 师生互动，新课解说：问题 1：察看下边几个例子，你能发现两个会合间有什么关系了吗？（1）A{1,2,3}, B {1,2,3, 4,5} ；(2)设 A 为我班第一组男生的全体构成的会合， B 为我班班第一组的全体构成的会合；(3)设 C{ x | x是两条边相等的三角形 }, D{ x | x是等腰三角形 };(4)E{2, 4,6}, F {6, 4,2} .组织学生充足议论 . 沟通，使学生发现两个会合所含元素范围存在各样关系，进而类比得出两个会合之间的关系 :概括：B 中的元素，我①一般地，对于两个会合A， B，假如会合 A 中随意一个元素都是会合们就说这两个会合有包括关系，称会合A为 B的子集 .A)记作：A B (或B读作： A 包括于 B( 或 B 包括 A).②假如两个会合所含的元素完整同样，那么我们称这两个会合相等.教师指引学生类比表示会合间关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么近似之处，加强学生对符号所表表示义的理解。

第一章集合与常用逻辑用语第2节集合间的基本关系本节内容来自人教版高中数学必修一第一章第一节集合第二课时的内容。

集合论是现代数学的一个重要基础，是一个具有独特地位的数学分支。

高中数学课程是将集合作为一种语言来学习，在这里它是作为刻画函数概念的基础知识和必备工具。

本小节内容是在学习了集合的含义、集合的表示方法以及元素与集合的属于关系的基础上，进一步学习集合与集合之间的关系，同时也是下一节学习集合间的基本运算的基础，因此本小节起着承上启下的关键作用.通过本节内容的学习，可以进一步帮助学生利用集合语言进行交流的能力，帮助学生养成自主学习、合作交流、归纳总结的学习习惯，培养学生从具体到抽象、从一般到特殊的数学思维能力，通过Venn图理解抽象概念，培养学生数形结合思想。

1.教学重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念；2.教学难点：属于关系与包含关系的区别．多媒体中，你能得出什么结论?探究二 集合相等 1.观察下列两个集合，并指出它们元素间的关系 （1）A ＝｛x ｜x 是两条边相等的三角形｝，B ＝｛x ｜x 是等腰三角形｝. （1）中集合A 中的元素和集合B 中的元素相同．2.定义：如果集合Ａ的任何一个元素都是集合Ｂ的元素，同时集合Ｂ任何一个元素都是集合Ａ的元素，我们就说集合Ａ等于集合Ｂ，记作Ａ＝Ｂ ⎧⎨⎩A ⊆B A =B ⇔B ⊆A牛刀小试3：()(){}{}12012A x x x B A B =++==--，，。

集合与什么关系？ 【答案】A=B 。

探究三 真子集 1.观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：（1） A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6}； （2）A={四边形}, B={多边形}。

2.定义：如果集合A ⊆B,但存在元素x ∈B,且x ∉A ，并且A≠B,称集合A 是集合B 的真子集．记作： A B （或B A ） 读作：“A 真含于B ”（或B 真包含A ）。

1.1.2集合间的基本关系说课稿[合集五篇]第一篇：1.1.2集合间的基本关系说课稿1.1.2集合间的基本关系数学必修1第一章第二节第1小节《集合间的基本关系》说课稿.一、教学内容分析集合概念及其理论是近代数学的基石，集合语言是现代数学的基本语言，通过学习、使用集合语言，有利于学生简洁、准确地表达数学内容，高中课程只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力.本章集合的初步知识是学生学习、掌握和使用数学语言的基础，是高中数学学习的出发点。

本小节内容是在学习了集合的概念以及集合的表示方法、元素与集合的从属关系的基础上，进一步学习集合与集合之间的关系，同时也是下一节学习集合之间的运算的基础，因此本小节起着承上启下的重要作用.本节课的教学重视过程的教学，因此我选择了启发式教学的教学方式。

通过问题情境的设置，层层深入，由具体到抽象，由特殊到一般，帮助学生的逐步提升数学思维。

二、学情分析本节课是学生进入高中学习的第3节数学课，也是学生正式学习集合语言的第3节课。

由于一切对于学生来说都是新的，所以学生的学习兴趣相对来说比较浓厚，有利于学习活动的展开。

而集合对于学生来说既熟悉又陌生，熟悉的是在初中就已经使用数轴求简单不等式（组）的解，用图示法表示四边形之间的关系，陌生的是使用集合的语言来描述集合之间的关系。

而从具体的实例中抽象出集合之间的包含关系的本质，对于学生是一个挑战。

根据上面对教材的分析，并结合学生的认知水平和思维特点，确定本节课的教学目标和教学重、难点如下：三、教学目标：知识与技能目标：（1）理解集合之间包含和相等的含义；（2）能识别给定集合的子集；（3）能使用Venn图表达集合之间的包含关系过程与方法目标：（1）通过复习元素与集合之间的关系，对照实数的相等与不相等的关系联系元素与集合之间的从属关系，探究集合之间的包含和相等关系；（2）初步经历使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力；情感、态度、价值观目标：（1）了解集合的包含、相等关系的含义，感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义；（2）探索利用直观图示（Venn图）理解抽象概念，体会数形结合的思想。

1.2 集合间的基本关系-人教A版高中数学必修第一册
（2019版）教案
一、教学目标
1.学生能够理解集合的概念与符号；
2.学生能够掌握集合间的基本关系；
3.学生能够运用集合间的基本关系解决实际问题。

二、教学重点
1.集合的概念与符号；
2.集合间的基本关系。

三、教学难点
1.集合间关系的具体运用；
2.集合符号的理解与运用。

四、教学过程
1. 集合的概念与符号
1.引入集合概念：通过生活中的例子引导学生了解集合的概念，如“同学们就是一个集合”、“手机品牌集合”等等。

2.数学符号：介绍数学符号“∈”和“∩”表示的含义。

2. 集合间的基本关系
1.包含与被包含关系：列举例子让学生理解包含与被包含的概念，如“本班学生集合包含男生集合”、“四年级学生集合被小学生集合包含”。

2.相等关系：引导学生理解相等关系的概念，如“两个集合有相同的元素个数且对应元素相同，则这两个集合相等”。

3.交集与并集：介绍交集与并集的定义与运算方法，结合生活例子与数学符号进行解释。

3. 课堂练习
1.给出一组集合，让学生判断它们之间的关系；
2.给定两个集合，请学生求出它们的交集与并集，并用数学符号表示；
3.小组自由讨论集合运用方法，报告结果。

五、教学方式及方法
1.讲授教学法；
2.案例分析法；
3.情境教学法。

六、教学评价
1.通过小组讨论的形式，检测学生对集合的理解程度；
2.通过测验的方式考察学生的掌握情况；
3.通过学生的作业来检验集合间基本关系的应用能力。

集合间的基本关系说课稿尊敬的各位专家、各位评委：大家好！今天我说课的课题是集合间的基本关系，选自人教A版高中数学必修一第一章第一节集合第二课时的内容。

下面，我从说教材，说教法学法，说教学程序，说板书设计4个方面来展开今天的说课。

第一，说教材分析1、教材的地位和作用本节内容来自人教A版高中数学必修一第一章第一节集合。

集合论是现代数学的一个重要基础，是一个具有独特地位的数学分支。

高中数学课程是将集合作为一种语言来学习，在这里它是作为刻画函数概念的基础知识和必备工具。

本小节内容是在学习了集合的含义、集合的表示方法以及元素与集合的属于关系的基础上，进一步学习集合与集合之间的关系，同时也是下一节学习集合间的基本运算的基础，因此本小节起着承上启下的关键作用.通过本节内容的学习，可以进一步帮助学生利用集合语言进行交流的能力，帮助学生养成自主学习、合作交流、归纳总结的学习习惯，培养学生从具体到抽象、从一般到特殊的数学思维能力，通过Venn图理解抽象概念，培养学生数形结合思想。

2、学情分析在学习本节课之前，学生已经学习了集合的含义与表示，体会了元素与集合的关系，但对于集合与集合间的关系，对于学生来说都是崭新的，所以学生的学习兴趣相对来说比较浓厚，有利于学习活动的展开。

集合间的关系对于学生来说既熟悉又陌生，熟悉的是在初中就已经使用数轴求简单不等式（组）的解，用图示法表示四边形之间的关系，陌生的是使用集合的语言来描述集合间的基本关系。

而从具体的实例中抽象出集合之间的包含关系的本质，对于学生来说是一个挑战。

根据上述教材分析和学情分析，从高中生的心理特点和认知水平出发，结合新课标要求，确定了以下教学目标和教学重难点。

3、教学目标知识与技能（1）理解集合之间包含和相等的含义；（2）能识别给定集合的子集；（3）能使用Venn图表达集合之间的包含关系过程与方法：（1）通过复习元素与集合之间的关系，对照实数的相等与不相等的关系联系元素与集合之间的从属关系，探究集合之间的包含和相等关系；（2）初步经历使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力；情感、态度、价值观：（1）了解集合的包含、相等关系的含义，感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义；（2）探索利用直观图示（Venn图）理解抽象概念，体会数形结合的思想。

1.1.2集合间的基本关系从容说课本课主要是研究集合的关系，从同学们熟知的背景出发逐步建立子集、集合相等、真子集等概念及表述方法和研究手段.对一些结论的产生不是直接得到，而是要引导学生发现.本节包含了较多的新概念、新符号，教学中可通过区别“∈”与“⊆”，“{0}与∅”等关系，帮助学生扫除“符号混淆”这一障碍，对于元素与集合、集合与集合的关系，尤其是一个集合是另一个集合的元素时，学生不易理解，数学中结合实例进行分析，如{a}∈{{a}，{b}，∅}中{a}表示集合{{a}，{b}，∅}的一个元素.三维目标一、知识与技能1.了解集合间包含关系的意义.2.理解子集、真子集的概念和意义.3.会判断简单集合的相等关系.二、过程与方法1.观察、分析、归纳.2.数学化表示日常问题.3.提高学生的逻辑思维能力，培养学生等价和化归的思想方法.三、情感态度与价值观1.培养数学来源于生活，又为生活服务的思维方式.2.个体与集体之间，小集体构成大社会的依存关系.3.发展学生抽象、归纳事物的能力，培养学生辩证的观点.教学重点子集、真子集的概念.教学难点元素与子集，属于与包含间的区别；空集是任何非空集合的真子集的理解.教具准备中国地图、多媒体、胶片.教学过程一、创设情景，引入新课师：今天我们先来看一看中国地图，先看江苏省区域在什么地方？再看一看中国的区域.请问：江苏省的区域与中国的区域有何关系？生：江苏省的区域在中国区域的内部.师：如果我们把江苏省的区域用集合A来表示，中国的区域用集合B来表示，则会发现集合A在集合B内，即集合A中的每一个元素都在集合B内.再看一看下面两个集合之间的关系（投影胶片，胶片上可以用一组人群表示）A=｛x|x为江苏人｝，B=｛x|x为中国人｝，生：江苏人是中国人.师：我说的是从集合的角度看是什么关系？生：集合A中的元素都是集合B中的元素.师：说得对，再来看一看下面给出的集合A中的元素与集合B中的元素有什么关系？（1）A＝｛1，2，3｝，B＝｛1，2，3，4，5｝；（2）设A为海门中学高一（2）班女生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合；（3）设C={x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是等腰三角形}.生：均有集合A中的元素都是集合B中的元素.由此引出子集的概念.二、讲解新课1.子集对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）.读作“A含于B”（或“B包含A”）.其数学语言的表示形式为：若对任意的x∈A，有x∈B，则A⊆B.——为判别A是B的子集的方法之一.很明显：N⊆Z，N⊆Q，R⊇Z，R⊇Q.若A不是B的子集，则记作A B（或B A）.读作“A不包含于B”（或“B不包含A”）.例如，A=｛2，4｝，B=｛3，5，7｝，则A B.2.图示法表示集合（1）Venn图在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图（必要时还可以用小写字母分别定出集合中的某些元素）.由此，A⊆B的图形语言如下图.（2）数轴在数学中，表示实数取值范围的集合，我们往往借助于数轴直观地表示.例如｛x|x＞3｝可表示为又如｛x|x≤2｝可表示为还比如｛x|－1≤x＜3＝可表示为3.集合相等对于C={x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是等腰三角形}，由于“两条边相等的三角形”是等腰三角形，因此，集合C、D都是由所有等腰三角形组成的集合，即集合C中任何一个元素都是集合D中的元素.同时，集合D中任何一个元素也都是集合C中的元素.这样，集合D的元素与集合C的元素是一样的.我们可以用子集概念对两个集合的相等作进一步的数学描述.如果集合A是集合B的子集（A⊆B），且集合B是集合A的子集（B⊆A），此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A=B.事实上，A⊆B，B⊆A⇔A=B.上述结论与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a=b”相类比，同学们有什么体会?4.真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集，记作A B （或B A）.例如，A=｛1，2｝，B=｛1，2，3｝，则有A B.子集与真子集的区别就在于“A B”允许A=B或A B，而“A B”是不允许“A=B”的，所以若“A⊆B”，则“A B”不一定成立.5.空集我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集，即∅⊆A.例如｛x|x2+1=0，x∈R｝，｛边长为3，5，9的三角形｝等都是空集.可以让同学们列举多个生活中空集的例子.空集是任何非空集合的真子集，即若A≠∅，则∅A.6.子集的有关性质（1）A⊆A；（2）A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；A B，B C⇒A C.7.例题讲解【例1】写出集合｛a，b｝的子集.解：∅，｛a｝，｛b｝，｛a，b｝.方法引导：写子集时先写零个元素构成的集合，即∅，然后写出一个元素构成的集合，再写两个元素构成的集合，依此类推.师：请写出｛a，b，c｝的所有子集.生：∅，｛a｝，｛b｝，｛c｝，｛a，b｝，｛a，c｝｛b，c｝，｛a，b，c｝.师：写出｛a｝的子集.生：∅，｛a｝.师：∅的子集是什么？生：∅.师：我们可以列一个表格（板演），先猜一猜4个元素集合的子集个数是多少？生：16个.师：从上面写出的集合子集我们可以看出集合的子集个数与集合的元素个数之间有什么关系？换句话：你能否猜想n个元素集合的子集共有多少个子集？生：2n个.师：猜得很好.因为我们所学知识还不能证明这个结论，要等到高二学过排列、组合知识后就可以证明了，有兴趣的同学可以自己先学.【例2】写出不等式x－3＞2的解集并进行化简（即化成直接表明未知数本身的取值范围的解集）.解：不等式x－3＞2的解集是{x|x－3＞2}={x|x＞5}.【例3】在以下六个写法中，错误写法的个数是①｛0｝∈｛0，1｝②∅｛0｝③｛0，－1，1｝⊆｛－1，0，1｝④0∈∅⑤Z=｛全体整数｝⑥｛（0，0）｝=｛0｝A.3B.4C.5D.6集中无任何元素，所以应是0∉∅；⑤集合符号“｛｝”本身就表示全体元素之意，故此“全体”不应写；⑥等式左边集合的元素是平面上的原点，而右边集合的元素是数零，故不相等.只有②和③正确.故选B.【例4】已知A=｛x|x=8m+14n，m、n∈Z｝，B=｛x|x=2k，k∈Z｝，问：（1）数2与集合A的关系如何?（2）集合A 与集合B 的关系如何?师：元素与集合之间、集合与集合之间分别用什么符号连接?生：元素与集合之间用“∈”或“∉”连接，集合与集合之间用“⊆”“”“=”或“”等连接.师：本问题的第（1）问给了我们什么启示?生：要判别2是否属于A ，只需考虑2能否表示成8m +14n 的形式，若能写成8m +14n 的形式，则说明2∈A ，否则2∉A.师：很好.现在的问题是2能否写成8m +14n 的形式?生：能，并且可以有多种写法，比如：2=8×2+14×（－1），且2∈Z ，－1∈Z ， 2=8×（－5）+14×3，且－5∈Z ，3∈Z 等.所以2∈A . 师：我们从第（2）问中读到了什么?生：判定两个集合A 、B 的关系，应优先考察它们的包含关系.对于本题，我们的思考是A ⊆B 成立吗?B ⊆A 成立吗?如果两个方面都成立，则A =B ；如果只有一个方面成立，则应考虑是否是真子集；如果两个方面都不成立，则两集合不具备包含关系.师：回答得很好，问题是如何判别A ⊆B ?生：用定义法.任取x ∈A ，只要能够证明x ∈B ，则A ⊆B 就成立了. 师：好，现在我们一起解决问题（2）. 生：任取x 0∈B ，则x 0=2k ，k ∈Z .∵2k =8×（－5k ）+14×3k ，且－5k ∈Z ，3k ∈Z ，∴2k ∈A ，即B ⊆A . 任取y 0∈A ，则y 0=8m +14n ，m 、n ∈Z ，∴y 0=8m +14n =2（4m +7n ），且4m +7n ∈Z .∴8m +14n ∈B ，即A ⊆B . 由B ⊆A 且A ⊆B ，∴A =B .师：对于本题我们能够得到A =B ，现在的问题是在集合有关问题中如何证明两个集合相等?生1：欲证A =B ，根据定义，只需证A ⊆B ，且B ⊆A 即可.生2：如果A 、B 是元素较少的有限集合，也可用穷举法判别它们相等.师：很好，两位同学的方法加以组合，判别两个集合相等的方法就完美了.由此，平时的学习中，只要敢于探究，善于探究，我们一定能挖掘出自身的潜能，使自己的学习永远立于不败之地，这对我们今后的学习和工作将十分有益.三、课堂练习 教科书P 8练习题2答案：（1）∈（2）∈（3）＝（4）（5）（6）＝ 四、课堂小结1.本节学习的数学知识：子集、集合相等、真子集、子集的性质. 2.本节学习的数学方法： 归纳的思想、定义法、穷举法. 五、布置作业 1.教科书P 8练习题3.2.教科书P 13习题1.1 A 组第5题.3.满足条件{1，2}M ⊆{1，2，3，4，5}的集合M 的个数是 A.3B.6C.7D.84.已知集合A =｛x ，xy ，1-xy ｝，B =｛0，|x |，y ｝，A =B ，求实数x 、y 的值.5.已知M ｛1，2，3，4，5｝，且a∈M时，也有6－a∈M，试求集合M所有可能的结果.6.若a、x∈R，A=｛2，4，x2－5x+9｝，B=｛3，x2+ax+a｝，C=｛x2+（a+1）x－3，1｝，求：（1）使A=｛2，3，4｝的x的值；（2）使2∈B，BA的a、x的值；（3）使B=C的a、x的值.板书设计1.1.2集合间的基本关系子集Venn图集合相等真子集空集子集的性质例1例2例3例4课堂练习课堂小结。

§1.1.2集合间的基本关系教学目的: 让学生初步了解子集的概念及其表示方法,同时了解相等集合、真子集和空集的有关概念.教学重难点：1、子集、真子集的概念及它们的联系与区别；2、空集的概念以及与一般集合间的关系.教学过程：一、复习（结合提问）：1．集合的概念、集合三要素2．集合的表示、符号、常用数集、列举法、描述法3．关于“属于”的概念二、新课讲授（一）子集的概念1. 实例: A={1,2,3} B={1,2,3,4,5} 引导观察.结论: 对于两个集合A和B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则说:这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A含于B”（或“B包含A”）.2. 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊄B已(或B⊄A)（二）空集的概念不含任何元素的集合叫做空集，记作φ，并规定: 空集是任何集合的子集.（三）“相等”关系1、实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B 的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B（即如果A⊆B同时B⊆A那么A=B）.2、①任何一个集合是它本身的子集. A⊆A②真子集：如果A⊆B ,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B③空集是任何非空集合的真子集.④如果A⊆B, B⊆C ,那么A⊆C.证明：设x 是A 的任一元素，则 x ∈AA ⊆B ,∴x ∈B 又 B ⊆C ∴x ∈C 从而A ⊆C同样；如果 A ⊆B , B ⊆C ,那么 A ⊆C（三）例题与练习例1 ．已知A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |4x ＋a <0}，当B ⊆A 时，求实数a 的取值范围． 解析 ∵A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |4x ＋a <0}＝{x |x <－a 4}， ∵A ⊇B ，∴－a 4≤－1，即a ≥4， 所以a 的取值范围是a ≥4.例2．若集合M ＝{x |x ＜6}，a ＝35，则下列结论正确的是( )A ．{a }MB ．a MC ．{a }∈MD ．a ∉M答案 A解析 ∵a ＝35＜36＝6，即a ＜6，∴a ∈{x |x ＜6}，∴a ∈M ，∴{a }M .[点拨] 描述法表示集合时，大括号内的代表元素和竖线后的制约条件中的代表形式与所运用的符号无关，如集合A ＝{x |x ＞1}＝B {y |y ＞1}，但是集合M ＝{x |y ＝x 2＋1，x ∈R }和N ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }的意思就不一样了，前者和后者有本质的区别．例3．以下共有6组集合．(1)A ＝{(－5,3)}，B ＝{－5,3}；(2)M ＝{1，－3}，N ＝{3，－1}；(3)M ＝∅，N ＝{0}；(4)M ＝{π}，N ＝{3.1415}；(5)M ＝{x |x 是小数}，N ＝{x |x 是实数}；(6)M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，N ＝{y |y 2－3y ＋2＝0}．其中表示相等的集合有( )A ．2组B ．3组C ．4组D ．5组答案 A解析：(5)，(6)表示相等的集合，注意小数是实数，而实数也是小数．例4．下列六个关系式，其中正确的有( )①{a ，b }＝{b ，a }；②{a ，b }⊆{b ，a }；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅{0}；⑥0∈{0}．A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个及3个以下答案 C解析：①②⑤⑥正确．随堂练习1．如果A ＝{x |x >－1}，那么( )A ．0⊆AB ．{0}∈AC ．∅∈AD ．{0}⊆A 解析：选D.A 、B 、C 的关系符号是错误的．2．已知集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |0<x <1}，则( )A ．A >BB ．A BC ．B AD ．A ⊆B解析：选C.利用数轴(图略)可看出x ∈B ⇒x ∈A ，但x ∈A ⇒x ∈B 不成立．3．定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，若A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{2,3,5}，则A －B 等于( )A ．AB ．BC ．{2}D ．{1,7,9}解析：选D.从定义可看出，元素在A 中但是不能在B 中，所以只能是D.5．已知集合A ，B ，若A 不是B 的子集，则下列命题中正确的是( )A ．对任意的a ∈A ，都有a ∉BB ．对任意的b ∈B ，都有b ∈AC ．存在a 0，满足a 0∈A ，a 0∉BD ．存在a 0，满足a 0∈A ，a 0∈B解析：选C.A 不是B 的子集，也就是说A 中存在不是B 中的元素，显然正是C 选项要表达的．对于A 和B 选项，取A ＝{1,2}，B ＝{2,3}可否定，对于D 选项，取A ＝{1}，B ＝{2,3}可否定．6．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝{(x ，y )|y x＝1}，则A 、B 间的关系为________． 解析：在A 中，(0,0)∈A ，而(0,0)∉B ，故B A .答案：B A三、小结子集、真子集、空集的有关概念.四、作业课本习题。

集合间的基本关系一、教学目标:知识与技能目标：(1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。

(2)理解子集.真子集的概念。

(3)能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.过程与方法目标：让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验现实意义.情感态度与价值观：(1)树立数形结合的思想．(2)体会类比对发现新结论的作用.二、教学重点.难点教学重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念.教学难点：难点是属于关系与包含关系的区别．三.教学方法让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，发现集合间的基本关系.四、教学过程：一、复习准备：1.提问：集合的两种表示方法？如何用适当的方法表示下列集合？（1）10以内3的倍数；（2）1000以内3的倍数2.用适当的符号填空： 0______N； -1.5 _____R。

二、情境导入：我们知道，两个实体之间有相等关系、大小关系，如:5=5, 5<7 , 5>3,等等。

两个集合之间是否也有类似的关系呢？三、讲授新课：观察下面几个例子，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能发现下面两个集合之间的关系吗？（1）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}；（2）C为某中学高一（2）班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合；（3）E={x|x是两条边相等的三角形}，F={x|x是等腰三角形}。

1. 子集、空集等概念的教学：可以发现,在(1)中,集合A的任何一个元素都是集合B的元素.这时我们说集合A包含于集合B,或集合B包含集合A.(2)中的集合C与集合D也有这种关系.一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集,记作A ⊆ B(或B ⊇ A),读作“A包含于B”(或“B包含A”).在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.这样,上述集合A与集合B的包含关系,可以用图1.2-1表示.图1.2-1在(3)中,由于“两条边相等的三角形”是等腰三角形,因此,集合E,F都是由所有等腰三形组成的集合.即集合E中任何一个元素都是集合F中的元素,同时,集合F中任何一个元素也都是集合E中的元素.这样,集合E的元素与集合F的元素是一样的.一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作A=B. 也就是说,若A⊆ B,且B⊆A,则A=B.如果集合A ⊆ B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集。